Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

4447 lines
114KB

  1. \part{Àlgebra lineal}
  2. \chapter{Determinants}
  3. Un \term{determinant}\index{determinant} el nombre, que es calcula segons determinades regles, associat a una disposici\'{o} de nombres escrits en forma d'$n$ fileres i $n$ columnes. El tamany del determinant, és a dir, el nombre de fileres (o de columnes) s'anomena \term{ordre}\index{ordre!determinant}. Alguns exemples d'aquesta disposici\'{o} s\'{o}n les expressions seg\"{u}ents:%
  4. \begin{equation*}
  5. \left\vert
  6. \begin{array}{rr}
  7. 3 & -5 \\
  8. 2 & -1%
  9. \end{array}%
  10. \right\vert ,\text{ }\left\vert
  11. \begin{array}{rrr}
  12. 1 & 5 & -3 \\
  13. 3 & 2 & 0 \\
  14. -1 & 4 & -2%
  15. \end{array}%
  16. \right\vert
  17. \end{equation*}%
  18. En aquest cas, el primer determinant té ordre $2$ i el segon determinant té ordre $3$.
  19. En general, un determinant d'ordre $n$ tendrà una expressió de l'estil
  20. \begin{equation*}
  21. \text{ }\left\vert
  22. \begin{array}{rrrr}
  23. a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
  24. a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
  25. \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
  26. a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}%
  27. \end{array}%
  28. \right\vert,
  29. \end{equation*}%
  30. on cada $a_{ij}$ és un nombre, amb $i=1,\ldots,n$ i $j=1,\ldots,n$.
  31. \medskip
  32. A continuaci\'{o} veurem com es calculen aquests valors num\`{e}rics associats a cadascuna d'aquestes expressions. Com pareix natural, aquests valors dependran de l'ordre del determinant.
  33. \section{Càlcul de determinants}
  34. \begin{description}
  35. \item[Ordre 1] El determinant d'ordre 1 és el propi element que el constitueix:
  36. \begin{equation*}
  37. \left\vert a \right\vert = a
  38. \end{equation*}
  39. \item[Ordre 2] Es calculen mitjançant la regla següent:
  40. \begin{equation*}
  41. \left\vert
  42. \begin{array}{cc}
  43. a_{11} & a_{12} \\
  44. a_{21} & a_{22}%
  45. \end{array}%
  46. \right\vert =a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}
  47. \end{equation*}
  48. \begin{example}
  49. \begin{equation*}
  50. \left\vert
  51. \begin{array}{rr}
  52. 3 & -5 \\
  53. 2 & -1%
  54. \end{array}%
  55. \right\vert =3\text{$\cdot $}(-1)-(-5)\text{$\cdot $}2=-3+10=7
  56. \end{equation*}
  57. \end{example}
  58. Observem que el que va precedit del signe positiu és aquell que s'aconsegueix multiplicant els nombres en {\em sentit dret}. En canvi, el terme precedit pel signe negatiu s'obté multiplicant els dos nombres en {\em sentit esquerre}.
  59. \item[Ordre 3] Es calculen mitjançant la regla de Sarrus
  60. \begin{algorithm}[regla de Sarrus]\label{alg:regla-de-Sarrus}\index{regla!de Sarrus}
  61. \begin{equation*}
  62. \begin{split}
  63. \left\vert
  64. \begin{array}{ccc}
  65. a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  66. a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  67. a_{31} & a_{32} & a_{33}%
  68. \end{array}%
  69. \right\vert & = a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13} \\
  70. & \quad -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}
  71. \end{split}
  72. \end{equation*}
  73. \end{algorithm}
  74. De la mateixa manera que per als determinants d'ordre 2, els termes del determinant que es calculen multiplicant els nombre en {\em sentit dret} van precedits de signe positiu i tenen signe negatiu els que provénen de multiplicacions de nombres {\em en sentit esquerre}. Gr\`{a}ficament (\autoref{fig:sarrus}):
  75. \begin{figure}[h!ptb]
  76. \centering
  77. % pàgina 434 de Manual de TikZ
  78. % No funciona si no és amb això: http://tex.stackexchange.com/questions/271301/tikz-matrix-does-not-allow-me-to-draw-line-between-nodes/271303#271303
  79. \begin{tikzpicture}[
  80. dot/.style={inner sep=0pt,minimum size=2pt,fill=black,circle},
  81. ring/.style={inner sep=0pt,minimum size=5pt,draw,circle}]
  82. % Matrius
  83. \matrix (A) [matrix of math nodes,
  84. left delimiter=\lvert,
  85. right delimiter=\rvert,
  86. column sep=4pt,row sep=4pt] at (0,0)
  87. {
  88. |[ring]| & |[dot]| & |[dot]| \\
  89. |[dot]| & |[ring]| & |[dot]| \\
  90. |[dot]| & |[dot]| & |[ring]| \\
  91. };
  92. \draw[thick,red,->] (A-1-1) -- (A-2-2) -- (A-3-3);
  93. \matrix (B) [matrix of math nodes,
  94. left delimiter=\lvert,
  95. right delimiter=\rvert,
  96. column sep=4pt,row sep=4pt] at (70pt,0)
  97. {
  98. |[dot]| & |[ring]| & |[dot]|\\
  99. |[dot]| & |[dot]| & |[ring]|\\
  100. |[ring]| & |[dot]| & |[dot]| \\
  101. };
  102. \draw[thick,red,->] (B-1-2) -- (B-2-3) -- (B-3-1);
  103. \matrix (C) [matrix of math nodes,
  104. left delimiter=\lvert,
  105. right delimiter=\rvert,
  106. column sep=4pt,row sep=4pt] at (140pt,0)
  107. {
  108. |[dot]| & |[dot]| & |[ring]|\\
  109. |[ring]| & |[dot]| & |[dot]|\\
  110. |[dot]| & |[ring]| & |[dot]| \\
  111. };
  112. \draw[thick,red,->] (C-1-3) -- (C-2-1) -- (C-3-2);
  113. \matrix (X) [matrix of math nodes,
  114. left delimiter=\lvert,
  115. right delimiter=\rvert,
  116. column sep=4pt,row sep=4pt] at (210pt,0)
  117. {
  118. |[dot]| & |[dot]| & |[ring]|\\
  119. |[dot]| & |[ring]| & |[dot]|\\
  120. |[ring]| & |[dot]| & |[dot]| \\
  121. };
  122. \draw[thick,blue,->] (X-1-3) -- (X-2-2) -- (X-3-1);
  123. \matrix (Y) [matrix of math nodes,
  124. left delimiter=\lvert,
  125. right delimiter=\rvert,
  126. column sep=4pt,row sep=4pt] at (280pt,0)
  127. {
  128. |[dot]| & |[ring]| & |[dot]|\\
  129. |[ring]| & |[dot]| & |[dot]|\\
  130. |[dot]| & |[dot]| & |[ring]| \\
  131. };
  132. \draw[thick,blue,->] (Y-1-2) -- (Y-2-1) -- (Y-3-3);
  133. \matrix (Z) [matrix of math nodes,
  134. left delimiter=\lvert,
  135. right delimiter=\rvert,
  136. column sep=4pt,row sep=4pt] at (350pt,0)
  137. {
  138. |[ring]| & |[dot]| & |[dot]|\\
  139. |[dot]| & |[dot]| & |[ring]|\\
  140. |[dot]| & |[ring]| & |[dot]|\\
  141. };
  142. \draw[thick,blue,->] (Z-1-1) -- (Z-2-3) -- (Z-3-2);
  143. % Sumes
  144. \node [right=10pt] at (A.east) {$+$};
  145. \node [right=10pt] at (B.east) {$+$};
  146. \node [right=10pt] at (C.east) {$-$};
  147. \node [right=10pt] at (X.east) {$-$};
  148. \node [right=10pt] at (Y.east) {$-$};
  149. \end{tikzpicture}
  150. \caption{Regla pnemotècnica per a recordar la regla de Sarrus}
  151. \label{fig:sarrus}
  152. \end{figure}
  153. \begin{example}
  154. \begin{equation*}
  155. \begin{split}
  156. \left\vert
  157. \begin{array}{rrr}
  158. 1 & 5 & -3 \\
  159. 3 & 2 & 0 \\
  160. -1 & 4 & -2%
  161. \end{array}%
  162. \right\vert & = 1 \cdot 2 \cdot (-2) + 5 \cdot 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-3)\\
  163. & \quad -(-3) \cdot 2 (-1) -5 \cdot 3 \cdot (-2) - 0 \cdot 4 1 \\
  164. & = -4-36-6+30\\
  165. & = -16
  166. \end{split}
  167. \end{equation*}
  168. \end{example}
  169. \item[Ordre $\geq 4$] Per a calcular els determinants d'ordre superior a 3 ens fan falta alguns conceptes que veure més endavant (vegeu \autoref{seccio:adjunt-determinant}).
  170. \end{description}
  171. \begin{exercise} Calculeu els determinants següents:
  172. \begin{multicols}{3}
  173. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  174. \item \begin{equation*}
  175. \left\vert
  176. \begin{array}{rr}
  177. -3 & -1 \\
  178. 2 & -1%
  179. \end{array}%
  180. \right\vert
  181. \end{equation*}
  182. \item \begin{equation*}
  183. \left\vert
  184. \begin{array}{rrr}
  185. 10 & -5 & 3 \\
  186. -3 & 2 & 0 \\
  187. 4 & -3 & -2%
  188. \end{array}%
  189. \right\vert
  190. \end{equation*}
  191. \item \begin{equation*}
  192. \left\vert
  193. \begin{array}{rrr}
  194. 2 & 1 & -2 \\
  195. -3 & 0 & 2 \\
  196. 4 & -1 & 3%
  197. \end{array}%
  198. \right\vert
  199. \end{equation*}
  200. \item \begin{equation*}
  201. \left\vert
  202. \begin{array}{rr}
  203. 7 & -2 \\
  204. 1 & 4
  205. \end{array}%
  206. \right\vert
  207. \end{equation*}
  208. \item \begin{equation*}
  209. \left\vert
  210. \begin{array}{rrr}
  211. 4 & 3 & 2 \\
  212. 1 & 2 & 4 \\
  213. 6 & 7 & 2%
  214. \end{array}%
  215. \right\vert
  216. \end{equation*}
  217. \item \begin{equation*}
  218. \left\vert
  219. \begin{array}{rrr}
  220. -2 & 3 & 7 \\
  221. 2 & 4 & 6 \\
  222. 2 & 5 & 3%
  223. \end{array}%
  224. \right\vert
  225. \end{equation*}
  226. \item \begin{equation*}
  227. \left\vert
  228. \begin{array}{cc}
  229. 3-x & 4x^2\\
  230. 6 & 7+2x
  231. \end{array}%
  232. \right\vert
  233. \end{equation*}
  234. \item \begin{equation*}
  235. \left\vert
  236. \begin{array}{ccc}
  237. x+1 & 1 & 1 \\
  238. 1 & x+1 & 1 \\
  239. 1 & 1 & x+1%
  240. \end{array}%
  241. \right\vert
  242. \end{equation*}
  243. \end{enumerate}
  244. \end{multicols}
  245. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]
  246. \item $5$, \item $-7$, \item $15$, \item $30$, \item $-40$, \item $68$, \item $-26x^2 -x + 21$, \item $x^3+3x^2$.
  247. \end{enumerate*}
  248. \end{solution*}
  249. \end{exercise}
  250. \section{Adjunt d'un element d'un determinant}\label{seccio:adjunt-determinant}
  251. \begin{definition}[menor complementari]\index{menor!complementari} Donat un determinant, el \term{menor complementari} d'un element qualsevol és el determinant que resulta de suprimir la filera i la columna a les quals pertany aquest element.
  252. \end{definition}
  253. \begin{example} Donat el determinant següent:
  254. \begin{equation*}
  255. \left\vert
  256. \begin{array}{rrrr}
  257. 1 & 0 & -3 & 4 \\
  258. 3 & 5 & 0 & 0 \\
  259. -4 & 2 & 3 & 1 \\
  260. -6 & 1 & 0 & 3%
  261. \end{array}%
  262. \right\vert
  263. \end{equation*}%
  264. El menor complementari de l'element que ocupa la filera $3$ i la columna $2$ (és a dir, el nombre $2$) és:
  265. \begin{equation*}
  266. \left\vert
  267. \begin{array}{rrr}
  268. 1 & -3 & 4 \\
  269. 3 & 0 & 0 \\
  270. -6 & 0 & 3%
  271. \end{array}%
  272. \right\vert ,
  273. \end{equation*}%
  274. donat que hem llevat la tercera filera i la segona columna.
  275. \end{example}
  276. \begin{definition}[adjunt] S'anomena \term{adjunt}\index{adjunt} d'un element al menor complementari precedit del signe $+$ o $-$ segons l'esquema següent:
  277. \begin{equation*}
  278. \left\vert
  279. \begin{array}{cccc}
  280. + & - & + & ... \\
  281. - & + & - & ... \\
  282. + & - & + & ... \\
  283. . & . & . & .%
  284. \end{array}%
  285. \right\vert
  286. \end{equation*}
  287. De forma compacte, el signe de l'element $a_{ij}$ és $(-1)^{i+j}$, on $i$, $j$ indiquen, respectivament, la filera i la columna d'aquest element dins el determinant. Això vol dir que si la suma $i+j$ és parell, aleshores el signe de l'adjunt serà positiu, i si $i+j$ és senar, aleshores l'adjunt tendrà signe negatiu.
  288. \end{definition}
  289. \begin{example}
  290. A l'exemple anterior, l'adjunt del $2$ \'{e}s%
  291. \begin{equation*}
  292. -\left\vert
  293. \begin{array}{rrr}
  294. 1 & -3 & 4 \\
  295. 3 & 0 & 0 \\
  296. -6 & 0 & 3%
  297. \end{array}%
  298. \right\vert ,
  299. \end{equation*}%
  300. el valor del qual \'{e}s $-27$.
  301. \end{example}
  302. \begin{exercise}
  303. Calculeu l'adjunt de l'element central i de l'element $a_{13}$ del determinant%
  304. \begin{equation*}
  305. \left\vert
  306. \begin{array}{rrr}
  307. 6 & -1 & 0 \\
  308. -2 & 0 & -3 \\
  309. 6 & 0 & 3%
  310. \end{array}%
  311. \right\vert
  312. \end{equation*}
  313. \end{exercise}
  314. \section{Càlcul de determinants d'ordre superior a 3}
  315. Per al càlcul de determinants d'ordre 4 o majors s'utilitza el \term{desenvolupament}\index{desenvopulament d'un determinant} per una filera o una columna, que consisteix en calcular un determinant d'ordre $n$ a partir de $n$ determinants d'ordre $n-1$. Les passes a seguir són les següents:
  316. \begin{algorithm}[desenvolupament d'un determinant]\hfill%
  317. \begin{enumerate}
  318. \item Es tria una filera o columna qualsevol (la tria és arbitrària)
  319. \item El resultat del determinant és la suma dels adjunts dels elements d'aquesta filera o columna
  320. \end{enumerate}
  321. És a dir, si tenim un determinant d'ordre $n$:
  322. \begin{equation*}
  323. \text{ }\left\vert
  324. \begin{array}{rrrr}
  325. a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
  326. a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
  327. \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
  328. a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}%
  329. \end{array}%
  330. \right\vert,
  331. \end{equation*}%
  332. aleshores el seu desenvolupament per la primer filera seria
  333. \begin{equation*}
  334. a_{11} \cdot \Delta_{11} + a_{12} \cdot \Delta_{12} + a_{13} \cdot \Delta_{13} + a_{14} \cdot \Delta_{14} + \ldots + a_{1n} \cdot\Delta_{1n},
  335. \end{equation*}
  336. on $\Delta_{ij}$ denota l'adjunt de l'element $a_{ij}$.
  337. \end{algorithm}
  338. \begin{example} Calcularem el valor del determinant seg\"{u}ent desenvolupant-lo per la quarta columna:
  339. \begin{equation*}
  340. \begin{split}
  341. \left\vert
  342. \begin{array}{rrrr}
  343. -6 & 5 & 2 & -3 \\
  344. 2 & 5 & -1 & 1 \\
  345. -3 & 1 & 3 & 0 \\
  346. 4 & -2 & 0 & 3%
  347. \end{array}%
  348. \right\vert & =-3 \cdot \left( -\left\vert
  349. \begin{array}{rrr}
  350. 2 & 5 & -1 \\
  351. -3 & 1 & 3 \\
  352. 4 & -2 & 0
  353. \end{array}
  354. \right\vert \right) +1 \cdot \left( \left\vert
  355. \begin{array}{rrr}
  356. -6 & 5 & 2 \\
  357. -3 & 1 & 3 \\
  358. 4 & -2 & 0
  359. \end{array}
  360. \right\vert \right) \\
  361. & \quad + 0 \cdot \left( -\left\vert
  362. \begin{array}{rrr}
  363. -6 & 5 & 2 \\
  364. 2 & 5 & -1 \\
  365. 4 & -2 & 0
  366. \end{array}
  367. \right\vert \right) +3 \cdot \left( \left\vert
  368. \begin{array}{rrr}
  369. -6 & 5 & 2 \\
  370. 2 & 5 & -1 \\
  371. -3 & 1 & 3
  372. \end{array}
  373. \right\vert \right) \\
  374. & = -3 \cdot (-70) + 1 \cdot 28 + 0 + 3 \cdot (-77)\\
  375. & = 7
  376. \end{split}
  377. \end{equation*}
  378. \end{example}
  379. Observem que, amb aquest mètode, és convenient triar aquella línea que contengui més zeros, ja que per a aquests no és necessari
  380. tan sols calcular el seu adjunt.
  381. \begin{exercise} Calculeu el valor dels determinants seg\"{u}ents:
  382. \begin{multicols}{2}
  383. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  384. \item \begin{equation*}
  385. \left\vert
  386. \begin{array}{rrrr}
  387. 2 & -1 & 0 & -6 \\
  388. 4 & -4 & 2 & 3 \\
  389. 0 & 6 & 8 & 3 \\
  390. -5 & -1 & 3 & -2
  391. \end{array}
  392. \right\vert
  393. \end{equation*}
  394. \item \begin{equation*}
  395. \left\vert
  396. \begin{array}{rrrr}
  397. -6 & 0 & -3 & 4 \\
  398. 5 & 5 & 0 & 0 \\
  399. 8 & 2 & 3 & 1 \\
  400. 1 & 1 & 0 & 3
  401. \end{array}
  402. \right\vert
  403. \end{equation*}
  404. \end{enumerate}
  405. \end{multicols}
  406. \begin{solution*}
  407. \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]
  408. \item $2326$, \item $0$
  409. \end{enumerate*}
  410. \end{solution*}
  411. \end{exercise}
  412. \section{Propietats dels determinants}\label{seccio:propietats-dels-determinants}
  413. \begin{definition}[línia d'un determinant]S'anomena \term{línia}\index{línia d'un determinant} d'un determinant a qualsevol filera o columna del determinant.
  414. \end{definition}
  415. Vegem a continuaci\'{o} les propietats dels determinants.
  416. \begin{enumerate}
  417. \item Si un determinant té tots els elements d'una línia qualsevol iguals a zero, el determinant val $0$.
  418. Per exemple:
  419. \begin{equation*}
  420. \left\vert
  421. \begin{array}{rrr}
  422. 1 & 3 & 0 \\
  423. -1 & -2 & 0 \\
  424. 7 & 3 & 0%
  425. \end{array}%
  426. \right\vert =0
  427. \end{equation*}
  428. \item\label{item:propietat-2} Si es permuten dues línees paral·leles d'un determinant, aquest canvia de signe.
  429. Per exemple:%
  430. \begin{equation*}
  431. \left\vert
  432. \begin{array}{rrr}
  433. 1 & 5 & -3 \\
  434. 3 & 2 & 0 \\
  435. -1 & 4 & -2%
  436. \end{array}%
  437. \right\vert =-16\quad\text{ \ i \ }\quad\left\vert
  438. \begin{array}{rrr}
  439. 5 & 1 & -3 \\
  440. 2 & 3 & 0 \\
  441. 4 & -1 & -2%
  442. \end{array}%
  443. \right\vert =16
  444. \end{equation*}
  445. \item\label{item:propietat-3} Un determinant que t\'{e} dues línees paral·leles iguals val $0$.
  446. Per exemple:%
  447. \begin{equation*}
  448. \left\vert
  449. \begin{array}{rrr}
  450. 5 & 5 & -3 \\
  451. 2 & 2 & 0 \\
  452. 4 & 4 & -2%
  453. \end{array}%
  454. \right\vert =0
  455. \end{equation*}
  456. Això és especialment útil quan el determinant involucra lletres. Per exemple:%
  457. \begin{equation*}
  458. \left\vert
  459. \begin{array}{rrr}
  460. a & 1 & a \\
  461. a & 2 & a \\
  462. a & 3 & a%
  463. \end{array}%
  464. \right\vert =0,
  465. \end{equation*}
  466. fet que ens estalvia una considerable feina, que de ben segur faríem si calculèssim el valor d'aquest determinant emprant la regla de Sarrus.
  467. \item\label{multiplicacio-determinant-escalar-propietat} Si es multipliquen tots els elements d'una línia d'un determinant per un mateix nombre, el valor del determinant queda
  468. multiplicat per aquest nombre.
  469. Per exemple:%
  470. \begin{equation*}
  471. \left\vert
  472. \begin{array}{rrr}
  473. 1 & 5 & -3 \\
  474. 3 & 2 & 0 \\
  475. -1 & 4 & -2%
  476. \end{array}%
  477. \right\vert =-16\quad\text{ \ i \ }\quad\left\vert
  478. \begin{array}{rrr}
  479. 1 & 5 & -3 \\
  480. 6 & 4 & 0 \\
  481. -1 & 4 & -2%
  482. \end{array}%
  483. \right\vert =-32.
  484. \end{equation*}%
  485. En aquest darrer determinant hem multiplicat tots els elements de la segona filera per $2$.
  486. Aquesta propietat es fa servir per treure factor com\'{u} d'un determinant; aquesta operaci\'{o} s'ha de fer l\'{\i}nia a l\'{\i}nia quan s'aplica m\'{e}s d'una vegada a un mateix determinant:
  487. \begin{claim}[extracció de factor comú a un determinant]\label{nota:extraccio-factor-comu} Si una línia d'un determinant està multiplicada per un mateix nombre, es pot treure factor comú aquest nombre a fora del determinant. Per exemple:%
  488. \begin{equation*}
  489. \begin{split}
  490. \left\vert
  491. \begin{array}{rrr}
  492. 2 & 10 & -6 \\
  493. 6 & 4 & 0 \\
  494. -2 & 8 & -4%
  495. \end{array}%
  496. \right\vert & = 2 \cdot \left\vert
  497. \begin{array}{rrr}
  498. 2 & 10 & -6 \\
  499. 6 & 4 & 0 \\
  500. -1 & 4 & -2%
  501. \end{array}%
  502. \right\vert \\
  503. & = 2 \cdot 2 \cdot \left\vert
  504. \begin{array}{rrr}
  505. 2 & 10 & -6 \\
  506. 3 & 2 & 0 \\
  507. -1 & 4 & -2%
  508. \end{array}%
  509. \right\vert \\
  510. & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \left\vert
  511. \begin{array}{rrr}
  512. 1 & 5 & -3 \\
  513. 3 & 2 & 0 \\
  514. -1 & 4 & -2%
  515. \end{array}%
  516. \right\vert\\
  517. & = 8 \cdot 56 \\
  518. & = 448
  519. \end{split}
  520. \end{equation*}
  521. Després de seguir aquesta regla, el determinant resultant té nombres més petits i, per tant, resulta més fàcil de calcular.
  522. \end{claim}
  523. \begin{example}Volem calcular el determinant $\left\vert
  524. \begin{array}{rrr}
  525. a & 1 & b \\
  526. a & 3 & b \\
  527. a & 2 & b%
  528. \end{array}%
  529. \right\vert$.
  530. Podríem aplicar la regla de Sarrus, però el fet de què el determinant tingui lletres faria que fos molt farragós. Per això intentarem extreure factor comú:
  531. \begin{equation*}
  532. \left\vert
  533. \begin{array}{rrr}
  534. a & 1 & b \\
  535. a & 3 & b \\
  536. a & 2 & b%
  537. \end{array}%
  538. \right\vert = a \cdot \left\vert
  539. \begin{array}{rrr}
  540. 1 & 1 & b \\
  541. 1 & 3 & b \\
  542. 1 & 2 & b%
  543. \end{array}%
  544. \right\vert
  545. = a b \left\vert
  546. \begin{array}{rrr}
  547. 1 & 1 & 1 \\
  548. 1 & 3 & 1 \\
  549. 1 & 2 & 1%
  550. \end{array}%
  551. \right\vert = 0,
  552. \end{equation*}
  553. ja que té dues columnes iguals.
  554. \end{example}
  555. \begin{exercise} Treieu tot el factor com\'{u} que es pugui del determinant%
  556. \begin{equation*}
  557. \left\vert
  558. \begin{array}{cc}
  559. 6 & -18 \\
  560. -4 & 15%
  561. \end{array}%
  562. \right\vert
  563. \end{equation*}
  564. \end{exercise}
  565. \begin{exercise}Només treient factor comú, calculeu el valor del determinant
  566. \begin{equation*}
  567. \left\vert
  568. \begin{array}{rrr}
  569. x & 2x & 4x \\
  570. x^2 & 2x^2 & 4x^2 \\
  571. x^3 & 2x^3 & 4x^3%
  572. \end{array}%
  573. \right\vert.
  574. \end{equation*}
  575. \end{exercise}
  576. \item Si els elements de dues línees paral·leles d'un determinant s\'{o}n proporcionals, el determinant val $0$.
  577. Per exemple:%
  578. \begin{equation*}
  579. \left\vert
  580. \begin{array}{rrr}
  581. 1 & 5 & 5 \\
  582. 3 & 2 & 15 \\
  583. -1 & 4 & -5%
  584. \end{array}%
  585. \right\vert =0,
  586. \end{equation*}%
  587. ja que la tercera columna \'{e}s igual a la primera multiplicada per $5$.
  588. \item\label{item:propietat-sis} Si tots els elements d'una línia d'un determinant estan
  589. formats per la suma de dos sumands, aquest determinant es pot descomposar en la suma de dos determinants. En concret, si la línia $i$ està formada per la suma de dos sumants, el determinant original es divideix en dos determinants:
  590. \begin{enumerate}
  591. \item un que té el primers sumands en la línia $i$ i a la resta de línies és idèntic al determinant original
  592. \item l'altre que té els segons sumands en la línia $i$ i a la resta de línies és idèntic al determinant original
  593. \end{enumerate}
  594. Per exemple:%
  595. \begin{equation*}
  596. \left\vert
  597. \begin{array}{rrr}
  598. 1 & 5 & -3 \\
  599. 3 & 2 & 0 \\
  600. -1 & 4 & -2%
  601. \end{array}%
  602. \right\vert =\left\vert
  603. \begin{array}{rrr}
  604. 2-1 & 5 & -3 \\
  605. 1+2 & 2 & 0 \\
  606. -1+0 & 4 & -2%
  607. \end{array}%
  608. \right\vert =\left\vert
  609. \begin{array}{rrr}
  610. 2 & 5 & -3 \\
  611. 1 & 2 & 0 \\
  612. -1 & 4 & -2%
  613. \end{array}%
  614. \right\vert +\left\vert
  615. \begin{array}{rrr}
  616. -1 & 5 & -3 \\
  617. 2 & 2 & 0 \\
  618. 0 & 4 & -2%
  619. \end{array}%
  620. \right\vert
  621. \end{equation*}
  622. Per exemple:
  623. \begin{equation*}
  624. \begin{split}
  625. \left\vert
  626. \begin{array}{rrr}
  627. x+a & 2 & 1 \\
  628. x+a & 0 & 1 \\
  629. x+b & 1 & 1%
  630. \end{array}%
  631. \right\vert & =\left\vert
  632. \begin{array}{rrr}
  633. x & 2 & 1 \\
  634. x & 0 & 1 \\
  635. x & 1 & 1%
  636. \end{array}%
  637. \right\vert + \left\vert
  638. \begin{array}{rrr}
  639. a & 2 & 1 \\
  640. a & 0 & 1 \\
  641. b & 1 & 1%
  642. \end{array}%
  643. \right\vert \\
  644. & = x \left\vert
  645. \begin{array}{rrr}
  646. 1 & 2 & 1 \\
  647. 1 & 0 & 1 \\
  648. 1 & 1 & 1%
  649. \end{array}%
  650. \right\vert + \left\vert
  651. \begin{array}{rrr}
  652. a & 2 & 1 \\
  653. a & 0 & 1 \\
  654. b & 1 & 1%
  655. \end{array}%
  656. \right\vert \\
  657. & = 0 + \left(2b-2a\right) \\
  658. & = 2b-2a
  659. \end{split}
  660. \end{equation*}
  661. \item\label{item:propietat-set} Si els elements d'una línia s\'{o}n combinaci\'{o} lineal
  662. de les altres línees paral·leles, aleshores el determinant és igual a $0$.
  663. \begin{definition}[combinació lineal]\label{definicio:combinacio-lineal}\index{combinació lineal} Una línia $L$ és \term{combinació lineal} de $n$ línies $L_1$, $L_2$, \ldots, $L_n$ si, i només si, podem obtenir la línia $L$ com a suma de les línies $L_1$, \ldots, $L_n$ prèviament multiplicades per nombres reals, és a dir,
  664. \begin{equation*}
  665. L = a_1 \cdot L_1 + a_2 \cdot L_2 + \ldots + a_n \cdot L_n.
  666. \end{equation*}
  667. \end{definition}
  668. Per exemple:%
  669. \begin{equation*}
  670. \left\vert
  671. \begin{array}{rrrr}
  672. -6 & 0 & -3 & 4 \\
  673. 5 & 5 & 0 & 0 \\
  674. 8 & 2 & 3 & 1 \\
  675. 1 & 1 & 0 & 3%
  676. \end{array}%
  677. \right\vert =0,
  678. \end{equation*}%
  679. ja que la primera columna resulta de sumar la segona columna multiplicada per 1 i la tercera per 2 (i la quarta multiplicada per $0$) i
  680. \begin{equation*}
  681. \left\vert
  682. \begin{array}{rrrr}
  683. 8 & 6 & 2 & 4 \\
  684. 8 & 6 & 2 & 0 \\
  685. 8 & 4 & 4 & 1 \\
  686. 8 & 1 & 7 & 3%
  687. \end{array}%
  688. \right\vert =0,
  689. \end{equation*}%,
  690. ja que la primera columna és la suma de les dues primeres columnes.
  691. \item Recíprocament, si un determinant val $0$, aleshores té una línia que és combinaci\'{o} lineal de les altres línies
  692. \item\label{regla-combinacio-lienal} Si a una línia d'un determinant se li suma una combinació lineal d'altres línies paral·leles, aleshores el valor del
  693. determinant no varia.
  694. Per exemple, els determinants
  695. \begin{equation*}
  696. \left\vert
  697. \begin{array}{rrr}
  698. 1 & 2 & 4\\
  699. -3 & -3 & 2\\
  700. 2 & 5 & 3
  701. \end{array}%
  702. \right\vert ,\text{ }\left\vert
  703. \begin{array}{rrr}
  704. 1 & 0 & 4 \\
  705. -3 & 3 & 2\\
  706. 2 & 1 & 3
  707. \end{array}%
  708. \right\vert
  709. \end{equation*}%
  710. tenen el mateix valor, ja que el segon determinant resulta de sumar, en el primer determinant, a la segona filera la primera multiplicada per $-2$.
  711. \end{enumerate}
  712. \section{Regla de Chió}
  713. La regla \ref{regla-combinacio-lienal} permet simplificar el càlcul dels determinants, sobretot els d'ordre superior a 3:
  714. \begin{algorithm}[regla de Chió]\index{regla!de Chió} Aquest algorisme permet transformar un determinant qualsevol en un altre del mateix valor de tal manera que nom\'{e}s s'hagi de calcular un dels seus adjunts. Aix\`{o} es fa seguint les passes seg\"{u}ents:
  715. \begin{enumerate}
  716. \item Es tria aquella línia que contengui un $1$ o un $-1$. D'haver-n'hi més d'una, es tria aquella que contengui més zeros. En cas de no haver-n'hi cap es divideix una línia qualsevol pel nombre convenient per aconseguir-lo (aplicant la regla \ref{multiplicacio-determinant-escalar-propietat})
  717. \item Es multiplica aquesta línia pel nombre que faci falta per obtenir zeros a totes les línies perpendiculars i es suma aquesta multiplicació a la línia en la qual es volen obtenir zeros. Es diu que la línia \term{pivota}\index{pivotar}. Esquemàticament, si volem aconseguir zeros a la línia $F_i$ amb la línia pivot $F_p$, aleshores $F_i + n F_p \rightarrow F_i$\footnote{És molt important notar que no podem modificar la línia en la qual volem aconseguir zeros. En cap cas podríem fer $n F_p - F_i \rightarrow F_i$, perquè ens canviaria el signe del determinant: per exemple, $\left\vert
  718. \begin{array}{cc}
  719. a+1 & a\\%
  720. a & a+1%
  721. \end{array}%
  722. \right\vert = \left\vert
  723. \begin{array}{cc}
  724. a+1 & a\\%
  725. -1 & 1%
  726. \end{array}\right\vert$ fent $F_2 -F_1 \rightarrow F_2$ però $\left\vert
  727. \begin{array}{cc}
  728. a+1 & a\\%
  729. a & a+1%
  730. \end{array}%
  731. \right\vert \neq \left\vert
  732. \begin{array}{cc}
  733. a+1 & a\\%
  734. 1 & -1%
  735. \end{array}\right\vert$ fent $F1 - F_2 \rightarrow F_2$. }
  736. \item D'aquesta manera, s'aconsegueix un determinant amb una línia formada per un $1$ i la resta d'elements iguals a $0$.
  737. \item Es desenvolupa el determinant per aquesta línia.
  738. \end{enumerate}
  739. \end{algorithm}
  740. \begin{example} Calculem el determinant següent aplicant la regla de Chió. Triarem la primera filera (que conté un $-1$ i un $0$) i la multiplicarem per nombres conveninents sumant el resultat a les fileres restants:
  741. \begin{align*}
  742. \left\vert
  743. \begin{array}{rrrr}
  744. 2 & -1 & 0 & -6 \\
  745. 4 & -4 & 2 & 3 \\
  746. 0 & 6 & 8 & 3 \\
  747. -5 & -1 & 3 & -2%
  748. \end{array}%
  749. \right\vert & = \left\vert
  750. \begin{array}{rrrr}
  751. 2 & -1 & 0 & -6 \\
  752. -4 & 0 & 2 & 27 \\
  753. 0 & 6 & 8 & 3 \\
  754. -5 & -1 & 3 & -2%
  755. \end{array} \right\vert && (F_2 -4F_{1} \rightarrow F_2)\\
  756. & = \left\vert
  757. \begin{array}{rrrr}
  758. 2 & -1 & 0 & -6 \\
  759. -4 & 0 & 2 & 27 \\
  760. 12 & 0 & 8 & -33 \\
  761. -5 & -1 & 3 & -2%
  762. \end{array} \right\vert && (F_3+6F_{1}\rightarrow F_3)\\
  763. & = \left\vert
  764. \begin{array}{rrrr}
  765. 2 & -1 & 0 & -6 \\
  766. -4 & 0 & 2 & 27 \\
  767. 12 & 0 & 8 & -33 \\
  768. -7 & 0 & 3 & 4%
  769. \end{array} \right\vert && (F_4-F_{1}\rightarrow F_4)\\
  770. & = - 1 \cdot \left( -\left\vert
  771. \begin{array}{rrr}
  772. -4 & 2 & 27 \\
  773. 12 & 8 & -33 \\
  774. -7 & 3 & 4%
  775. \end{array}%
  776. \right\vert \right) && \text{(desenvolupament)}\\
  777. & = 2326
  778. \end{align*}%
  779. Com s'observa, despr\'{e}s d'aquest proc\'{e}s nom\'{e}s es calcula un \'{u}%
  780. nic menor.
  781. \end{example}
  782. \begin{exercise} Apliqueu la regla de Chió per calcular els determinants següents:
  783. \begin{multicols}{2}
  784. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  785. \item \begin{equation*}
  786. \left\vert
  787. \begin{array}{rrrr}
  788. 4 & 2 & 1 & 3 \\
  789. -1 & -3 & 0 & -2 \\
  790. 0 & 5 & -3 & 8 \\
  791. 6 & 7 & 3 & -1%
  792. \end{array}%
  793. \right\vert
  794. \end{equation*}
  795. \item \begin{equation*}
  796. \left\vert
  797. \begin{array}{rrrr}
  798. 2 & 1 & 1 & 0 \\
  799. 4 & 3 & -2 & 1 \\
  800. -1 & -1 & 0 & 2 \\
  801. 3 & 3 & 0 & 1%
  802. \end{array}%
  803. \right\vert
  804. \end{equation*}
  805. \item \begin{equation*}
  806. \left\vert
  807. \begin{array}{rrr}
  808. x & 2x & 3x \\
  809. x^2 & 3x & 2x \\
  810. 2x & 5x & 6x%
  811. \end{array}%
  812. \right\vert
  813. \end{equation*}
  814. \item \begin{equation*}
  815. \left\vert
  816. \begin{array}{rrr}
  817. x & 1 & 2 \\
  818. 1 & 2x & 2 \\
  819. 2 & 5x & 6x%
  820. \end{array}%
  821. \right\vert
  822. \end{equation*}
  823. \item \begin{equation*}
  824. \left\vert
  825. \begin{array}{ccc}
  826. a+1 & a & a \\
  827. a & a+1 & a \\
  828. a & a & a+1%
  829. \end{array}%
  830. \right\vert
  831. \end{equation*}
  832. \item \begin{equation*}
  833. \left\vert
  834. \begin{array}{rrr}
  835. x & 2x & 4x \\
  836. 4x & x & 2x \\
  837. 2x & 4x & x%
  838. \end{array}%
  839. \right\vert
  840. \end{equation*}
  841. \end{enumerate}
  842. \end{multicols}
  843. \end{exercise}
  844. \section{Tipus de determinants}
  845. Existeixen tipus particulars de determinants que fan que el seu càlcul sigui més senzill:
  846. \begin{definition}[diagonal principal] S'anomena \term{diagonal principal}\index{diagonal principal} d'un determinant al conjunt d'elements que van del v\`{e}rtex superior esquerre a l'inferior de la dreta.
  847. \end{definition}
  848. \begin{definition}[determinant triangular superior]Un determinant és diu que és \term{triangular superior}\index{determinant!triangular superior} si, i només si, els elements per davall de la diagonal principal són zero. D'aquesta manera, els elements del triangle superior de la diagonal són, en principi, diferents de zero.
  849. \end{definition}
  850. \begin{definition}[determinant triangular inferior]Un determinant és diu que és \term{triangular inferior}\index{determinant!triangular inferior} si, i només si, els elements per damunt de la diagonal principal són zero, és a dir, els elements del triangle inferior de la diagonal són, en principi, diferents de zero.
  851. \end{definition}
  852. Si no volem especificar el tipus de determinant, parlarem de determinants \term{triangulars}\index{determinant!triangular}. També hem de notar que potser alguns dels elements que es trobin dins el triangle que forma el determinant triangular siguin també iguals a zero.
  853. \begin{example}\label{exemple:det:triangulars} Per exemple, els determinants
  854. \begin{multicols}{2}
  855. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  856. \item \begin{equation*}
  857. \left\vert
  858. \begin{array}{rrrr}
  859. 2 & 1 & 1 & 0 \\
  860. 0 & 3 & -2 & 1 \\
  861. 0 & 0 & 0 & 2 \\
  862. 0 & 0 & 0 & 1%
  863. \end{array}%
  864. \right\vert
  865. \end{equation*}
  866. \item \begin{equation*}
  867. \left\vert
  868. \begin{array}{rrrr}
  869. 2 & 0 & 0 & 0 \\
  870. 8 & -7 & 0 & 0 \\
  871. 0 & -1 & 2 & 0 \\
  872. 4 & 2 & 5 & 1%
  873. \end{array}%
  874. \right\vert
  875. \end{equation*}
  876. \end{enumerate}
  877. \end{multicols}
  878. són determinants triangulars superior i inferior, respectivament.
  879. \end{example}
  880. \begin{definition}[determinant diagonal] Un determinant es diu que és \term{diagonal}\index{determinant!diagonal} quan té els elements fora de la diagonal principal iguals a zero.
  881. Alguns o tots els elements de la diagonal poden ser també zero.
  882. \end{definition}
  883. \begin{example}\label{exemple:det:diagonal} El determinant següent
  884. \begin{equation*}
  885. \left\vert
  886. \begin{array}{rrrr}
  887. 2 & 0 & 0 & 0 \\
  888. 0 & -20 & 0 & 0 \\
  889. 0 & 0 & 1 & 0 \\
  890. 0 & 0 & 0 & -1%
  891. \end{array}%
  892. \right\vert
  893. \end{equation*}
  894. és un determinant diagonal
  895. \end{example}
  896. Noteu que els determinants diagonals són casos particulars de determinants triangulars
  897. \begin{proposition} Si $\Delta$ és un determinant triangular, aleshores el seu valor és el producte dels elements de la diagonal: $\Delta = a_{11} \cdot a_{12} \cdot \ldots \cdot a_{nn}$.
  898. \end{proposition}
  899. \begin{example} Els valors dels determinants de l'\autoref{exemple:det:diagonal} i l'\autoref{exemple:det:triangulars} són, respectivament, iguals a $0$, $-28$ i $40$.
  900. \end{example}
  901. Aquest resultat, juntament amb la regla de Chió, facilita moltíssim el càlcul dels determinants.
  902. \section{Exercicis proposats}
  903. \begin{exercise}\label{exercici:det-1}
  904. Calculeu el valor dels determinants següents:
  905. \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]
  906. \item $\left\vert
  907. \begin{array}{cc}
  908. -2 & 3 \\
  909. -5 & 1%
  910. \end{array}%
  911. \right\vert$
  912. \item $\left\vert
  913. \begin{array}{rrr}
  914. 1 & 2 & 4 \\
  915. 3 & -5 & -4 \\
  916. 3 & 3 & 1%
  917. \end{array}%
  918. \right\vert$
  919. \item $\left\vert
  920. \begin{array}{rrr}
  921. 1 & 2 & 3 \\
  922. 3 & 2 & 1 \\
  923. 2 & 1 & 3%
  924. \end{array}%
  925. \right\vert$
  926. \item $\left\vert
  927. \begin{array}{rrr}
  928. 0 & -4 & 5 \\
  929. 6 & 1 & -3 \\
  930. 6 & -8 & 9%
  931. \end{array}%
  932. \right\vert$
  933. \item $\left\vert
  934. \begin{array}{rrr}
  935. -7 & -4 & -1 \\
  936. 0 & 2 & -8 \\
  937. 4 & 5 & 8 %
  938. \end{array}%
  939. \right\vert$
  940. \end{enumerate*}
  941. \end{exercise}
  942. \begin{exercise}\label{exercici:det-7} Calculeu el valor dels determinants següents:%
  943. \begin{multicols}{2}
  944. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  945. \item $\left\vert
  946. \begin{array}{rrrr}
  947. -2 & 0 & 1 & 3 \\
  948. 1 & -3 & -2 & 5 \\
  949. 3 & -1 & 2 & 0 \\
  950. 0 & 2 & -3 & 4%
  951. \end{array}%
  952. \right\vert$
  953. \item $\left\vert
  954. \begin{array}{rrrr}
  955. 2 & -1 & 0 & -2 \\
  956. -1 & 5 & -2 & 1 \\
  957. -2 & 1 & 2 & 4 \\
  958. 0 & 4 & -3 & -3%
  959. \end{array}%
  960. \right\vert$
  961. \item $\left\vert
  962. \begin{array}{cccc}
  963. 1 & -7 & -4 & -1 \\
  964. 1 & 0 & 2 & -8 \\
  965. 0 & 4 & 5 & 8 \\
  966. 0 & 0 & -3 & 4%
  967. \end{array}%
  968. \right\vert$
  969. \item $\left\vert
  970. \begin{array}{cccc}
  971. 1 & 0 & 30 & 2 \\
  972. 0 & 0 & -2 & 0 \\
  973. 0 & 0 & 5 & 0 \\
  974. 4 & 0 & -7 & 4%
  975. \end{array}%
  976. \right\vert$
  977. \item $\left\vert
  978. \begin{array}{cccc}
  979. 1 & 0 & 3 & 2 \\
  980. 1 & 0 & -2 & 0 \\
  981. 0 & 0 & 5 & 0 \\
  982. 2 & -20 & -7 & 4%
  983. \end{array}%
  984. \right\vert$
  985. \end{enumerate}
  986. \end{multicols}
  987. \end{exercise}
  988. \begin{exercise}\label{exercici:det-2} Calculeu el valor dels determinants següents:%
  989. \begin{multicols}{3}
  990. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  991. \item $\left\vert
  992. \begin{array}{cc}
  993. n & p \\
  994. l & m%
  995. \end{array}
  996. \right\vert$
  997. \item $\left\vert
  998. \begin{array}{cc}
  999. 6n & 6p \\
  1000. 6l & 6m%
  1001. \end{array}%
  1002. \right\vert$
  1003. \item $\left\vert
  1004. \begin{array}{cc}
  1005. l & 4m \\
  1006. n & 4p%
  1007. \end{array}%
  1008. \right\vert$
  1009. \end{enumerate}
  1010. \end{multicols}
  1011. si sabem que:
  1012. \begin{equation*}
  1013. \left\vert
  1014. \begin{array}{cc}
  1015. l & m \\
  1016. n & p%
  1017. \end{array}%
  1018. \right\vert =-13
  1019. \end{equation*}
  1020. \end{exercise}
  1021. \begin{exercise}\label{exercici:det-3} De les expressions següents, indiqueu quines són correctes i, en el seu cas, enuncieu les propietats que s'hi utilitzen:
  1022. \begin{multicols}{2}
  1023. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1024. \item $\left\vert
  1025. \begin{array}{cc}
  1026. a & a \\
  1027. b & b%
  1028. \end{array}%
  1029. \right\vert =0$
  1030. \item $\left\vert
  1031. \begin{array}{cc}
  1032. 3 & 6 \\
  1033. 9 & 9%
  1034. \end{array}%
  1035. \right\vert =9\left\vert
  1036. \begin{array}{cc}
  1037. 1 & 2 \\
  1038. 3 & 3%
  1039. \end{array}%
  1040. \right\vert $
  1041. \item $\left\vert
  1042. \begin{array}{cc}
  1043. 3 & 6 \\
  1044. 9 & 9%
  1045. \end{array}%
  1046. \right\vert =3\left\vert
  1047. \begin{array}{cc}
  1048. 1 & 2 \\
  1049. 3 & 3%
  1050. \end{array}%
  1051. \right\vert $
  1052. \end{enumerate}
  1053. \end{multicols}
  1054. \end{exercise}
  1055. \begin{exercise}\label{exercici:det-4}
  1056. Si $\left\vert
  1057. \begin{array}{cc}
  1058. m & n \\
  1059. p & q%
  1060. \end{array}
  1061. \right\vert =-5$ i $\left\vert
  1062. \begin{array}{cc}
  1063. m & p \\
  1064. n & q%
  1065. \end{array}
  1066. \right\vert =-5$, quin és el valor de cadascun dels determinants següents?\footnote{Es pot veure fàcilment que $\left\vert
  1067. \begin{array}{cc}
  1068. m & n \\
  1069. p & q%
  1070. \end{array}
  1071. \right\vert = \left\vert
  1072. \begin{array}{cc}
  1073. m & p \\
  1074. n & q%
  1075. \end{array}
  1076. \right\vert$ fent el càlcul directe i aplicant que el producte de nombres és una operació associativa. Més endavant es pot demostrar aquest aplicant directament la transposició de matrius (Secció \ref{subseccio:propietats-matrius-determinants}, \autoref{prop:determinant-matriu-transposta}).} Justifiqueu les respostes.
  1077. \begin{multicols}{3}
  1078. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1079. \item $\left\vert
  1080. \begin{array}{cc}
  1081. p & m \\
  1082. q & n%
  1083. \end{array}%
  1084. \right\vert$
  1085. \item $\left\vert
  1086. \begin{array}{cc}
  1087. m+3n & p+3q \\
  1088. n & q%
  1089. \end{array}%
  1090. \right\vert$
  1091. \item $\left\vert
  1092. \begin{array}{cc}
  1093. 3n & -m \\
  1094. 3q & -p%
  1095. \end{array}%
  1096. \right\vert$
  1097. \item $\left\vert
  1098. \begin{array}{cc}
  1099. p & 2m \\
  1100. q & 2n%
  1101. \end{array}%
  1102. \right\vert$
  1103. \item $\left\vert
  1104. \begin{array}{cc}
  1105. 1 & n/m \\
  1106. mp & mq%
  1107. \end{array}%
  1108. \right\vert$
  1109. \item $\left\vert
  1110. \begin{array}{cc}
  1111. m & 5m \\
  1112. p & 5p%
  1113. \end{array}%
  1114. \right\vert$
  1115. \end{enumerate}
  1116. \end{multicols}
  1117. \end{exercise}
  1118. \begin{exercise}\label{exercici:det-9} Si sabem que
  1119. \begin{equation*}
  1120. \left\vert
  1121. \begin{array}{rrr}
  1122. 1 & 1 & 1 \\
  1123. a & b & c \\
  1124. x & y & z%
  1125. \end{array}%
  1126. \right\vert =5,
  1127. \end{equation*}%
  1128. calculeu el valor dels determinants següents:%
  1129. \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]
  1130. \item $\left\vert
  1131. \begin{array}{ccc}
  1132. 1 & 1 & 1 \\
  1133. a+7 & b+7 & c+7 \\
  1134. x/2 & y/2 & z/2%
  1135. \end{array}%
  1136. \right\vert$
  1137. \item $\left\vert
  1138. \begin{array}{rrr}
  1139. a & b & c \\
  1140. x & y & z \\
  1141. 1 & 1 & 1%
  1142. \end{array}%
  1143. \right\vert$
  1144. \item $\left\vert
  1145. \begin{array}{ccc}
  1146. 1-x & 1-y & 1-z \\
  1147. a+2x & b+2y & c+2z \\
  1148. 2x & 2y & 2z%
  1149. \end{array}%
  1150. \right\vert$.
  1151. \end{enumerate*}
  1152. \end{exercise}
  1153. \begin{exercise}\label{exercici:det-5} Resoleu les equacions següents:
  1154. \begin{multicols}{2}
  1155. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1156. \item $\left\vert
  1157. \begin{array}{cc}
  1158. x-2 & 1-2x \\
  1159. x & x^{2}%
  1160. \end{array}%
  1161. \right\vert =0$
  1162. \item $\left\vert
  1163. \begin{array}{rrr}
  1164. -1 & 2 & 0 \\
  1165. a & -3 & 1 \\
  1166. 0 & -1 & 1%
  1167. \end{array}%
  1168. \right\vert =0$
  1169. \item $\left\vert
  1170. \begin{array}{ccc}
  1171. a-1 & 1 & -1 \\
  1172. 0 & a+6 & 3 \\
  1173. a-1 & 2 & 0%
  1174. \end{array}%
  1175. \right\vert =0$
  1176. \end{enumerate}
  1177. \end{multicols}
  1178. \end{exercise}
  1179. \begin{exercise}\label{exercici:det-6} Per a quin valor de $x$ s'anul·la el determinant següent?
  1180. \begin{equation*}
  1181. \left\vert
  1182. \begin{array}{rrrr}
  1183. -x & 1 & 0 & 1 \\
  1184. 1 & -x & 1 & 0 \\
  1185. 0 & 1 & -x & 1 \\
  1186. 1 & 0 & 1 & -x%
  1187. \end{array}%
  1188. \right\vert
  1189. \end{equation*}
  1190. \end{exercise}
  1191. \begin{exercise}\label{exercici:det-8} Resoleu l'equació següent:%
  1192. \begin{equation*}
  1193. \left\vert
  1194. \begin{array}{rrrr}
  1195. x & 1 & 0 & 0 \\
  1196. 0 & x & 1 & 0 \\
  1197. 0 & 0 & x & 1 \\
  1198. 1 & 0 & 0 & x%
  1199. \end{array}%
  1200. \right\vert =0
  1201. \end{equation*}
  1202. \end{exercise}
  1203. \medskip
  1204. \begin{exercise}\label{exercici:det-10} Trobeu, en funció de $a$, el valor del determinant%
  1205. \begin{equation*}
  1206. \left\vert
  1207. \begin{array}{cccc}
  1208. a+1 & a & a & a \\
  1209. a & a+1 & a & a \\
  1210. a & a & a+1 & a \\
  1211. a & a & a & a+1%
  1212. \end{array}%
  1213. \right\vert
  1214. \end{equation*}
  1215. \end{exercise}
  1216. \chapter{Matrius}
  1217. \section{Definicions}
  1218. \begin{definition}[matriu] Una \term{matriu}\index{matriu} és una col·lecci\'{o} de nombres disposats en fileres i columnes. Es diu \term{quadrada}\index{matriu!quadrada} si aquesta disposici\'{o} t\'{e} tantes fileres com columnes; en cas contrari es diu \term{rectangular}\index{matriu!rectangular}.
  1219. \end{definition}
  1220. \begin{example}
  1221. S\'{o}n exemples de matrius les seg\"{u}ents:%
  1222. \begin{equation*}
  1223. \left(
  1224. \begin{array}{rrr}
  1225. 1 & -2 & 0 \\
  1226. \pi & 12 & -4%
  1227. \end{array}%
  1228. \right) ,\text{ }\left(
  1229. \begin{array}{rr}
  1230. -3 & 3 \\
  1231. 5 & 2%
  1232. \end{array}%
  1233. \right)
  1234. \end{equation*}%
  1235. La primera \'{e}s una matriu rectangular i la segona \'{e}s una matriu
  1236. quadrada.
  1237. \end{example}
  1238. \begin{definition}[ordre d'una matriu] L'\term{ordre}\index{ordre} d'una matriu és el nombre de fileres i columnes que té, i s'escriu de la forma $n\times m$, on $n$ és el nombre de fileres i $m$ és el nombre de columnes.
  1239. De vegades també s'anomena \term{dimensió} de la matriu\index{dimensió}.
  1240. \end{definition}
  1241. En el cas de les matrius quadrades es sol indicar el seu ordre \'{u}nicament amb el nombre de fileres (o columnes).
  1242. \begin{example}
  1243. A l'exemple anterior la primera \'{e}s d'ordre $2\times 3$, i la segona \'{e}%
  1244. s d'ordre $2\times 2$, o b\'{e}, simplement, d'ordre $2$.
  1245. \end{example}
  1246. En general, una matriu $A$ d'ordre $n \times m$ tendrà l'aspecte
  1247. \begin{equation*}
  1248. A = \left(
  1249. \begin{array}{rrrr}
  1250. a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\
  1251. a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\
  1252. \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
  1253. a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \\
  1254. \end{array}%
  1255. \right),
  1256. \end{equation*}
  1257. o bé de forma compacte $A= (a_{ij})$ on $i=1,\ldots,n$ i $j=1,\ldots, m$. Per tant, en últim terme, una matriu d'ordre $n \times m$ no és res més que una successió de $n \cdot m$ nombres, que, per diverses raons, s'ha preferit escriure en forma de quadre.
  1258. \begin{notation}[conjunt de les matrius] El conjunt de totes les matrius d'ordre $n \times m$ s'indica per $\mathcal{M}_{n \times m}(\mathbb{R})$ o, simplement, $\mathcal{M}_{n \times m}$. Si $m=n$, es sol escriure $\mathcal{M}_{n}$.\footnote{La raó de tenir $\mathbb{R}$ és especificar que les entrades de la matriu pertanyen al conjunt de nombres reals $\mathbb{R}$.}
  1259. \end{notation}
  1260. \subsection*{Tipus de matrius}
  1261. \begin{definition}[matriu nul·la]Una matriu és \term{nul·la}\index{matriu!nul·la} quan tots els seus elements són iguals a zero, és a dir, $a_{ij} = 0$, per a tot $i, j$.
  1262. \end{definition}
  1263. \begin{example} Les matrius
  1264. \begin{multicols}{2}
  1265. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1266. \item \begin{equation*}
  1267. \left(
  1268. \begin{array}{llll}
  1269. 0 & 0 & 0 & 0\\
  1270. 0 & 0 & 0 & 0\\
  1271. 0 & 0 & 0 & 0
  1272. \end{array}%
  1273. \right)
  1274. \end{equation*}%
  1275. \item \begin{equation*}
  1276. \left(
  1277. \begin{array}{lll}
  1278. 0 & 0 & 0\\
  1279. 0 & 0 & 0\\
  1280. 0 & 0 & 0
  1281. \end{array}%
  1282. \right)
  1283. \end{equation*}%
  1284. \end{enumerate}
  1285. \end{multicols}
  1286. són nul·les (d'ordre $3 \times 4$ i $3 \times 3$ respectivament).
  1287. \end{example}
  1288. \begin{definition}[matriu oposada]Donada una matriu $A$, la seva \term{oposada}\index{matriu!oposada} és la matriu formada pels elements d'$A$ amb signe oposat, és a dir, $-A = (-a_{ij})$.
  1289. \end{definition}
  1290. \begin{example} La matriu $\left(
  1291. \begin{array}{rrrr}
  1292. 2 & -1 & 3 & -5\\
  1293. 0 & 3 & -a & 6
  1294. \end{array}%
  1295. \right)$ és la matriu oposada de la matriu $\left(
  1296. \begin{array}{rrrr}
  1297. -2 & 1 & -3 & 5\\
  1298. 0 & -3 & a & -6
  1299. \end{array}%
  1300. \right)$.
  1301. \end{example}
  1302. \begin{definition}[matriu filera] Una matriu es diu \term{matriu filera}\index{matriu!filera} si nom\'{e}s t\'{e} una filera, és a dir, quan és d'ordre $1 \times m$.
  1303. \end{definition}
  1304. \begin{definition}[matriu columna] Una matriu s'anomena \term{matriu columna}\index{matriu!columna} si nom\'{e}s t\'{e} una columna, o sigui quan té ordre $n \times 1$.
  1305. \end{definition}
  1306. \begin{example}
  1307. Les matrius%
  1308. \begin{equation*}
  1309. \left(
  1310. \begin{array}{llll}
  1311. 0 & -3 & 2 & 4%
  1312. \end{array}%
  1313. \right) ,\text{ }\left(
  1314. \begin{array}{r}
  1315. 3 \\
  1316. -5%
  1317. \end{array}%
  1318. \right)
  1319. \end{equation*}%
  1320. s\'{o}n matrius filera i columna respectivament.
  1321. \end{example}
  1322. A l'igual que pels determinants, tenim el concepte de diagonal principal per a les matrius.
  1323. \begin{definition}[diagonal principal] S'anomena \term{diagonal principal}\index{diagonal principal} d'una matriu quadrada al conjunt d'elements que van del v\`{e}rtex superior esquerre a l'inferior de la dreta.
  1324. \end{definition}
  1325. \begin{example}
  1326. A la matriu%
  1327. \begin{equation*}
  1328. \left(
  1329. \begin{array}{rrr}
  1330. 3 & -2 & 0 \\
  1331. 5 & -1 & 5 \\
  1332. -1 & 4 & 7%
  1333. \end{array}%
  1334. \right)
  1335. \end{equation*}%
  1336. els nombres $3,-1$ i $7$ s\'{o}n els que formen la diagonal principal.
  1337. \end{example}
  1338. \begin{definition}[matriu unitat] Es diu \term{matriu unitat} (o \term{matriu identitat})\index{matriu!unitat}\index{matriu!identitat} a aquella matriu quadrada en la qual tots els
  1339. elements de la diagonal principal s\'{o}n uns i la resta d'elements són zeros. Es simbolitza per $I$ o $Id$. Si es vol indicar el seu ordre, aleshores s'indica mitjançant un subíndex:%
  1340. \begin{equation*}
  1341. I_{2}=\left(
  1342. \begin{array}{cc}
  1343. 1 & 0 \\
  1344. 0 & 1%
  1345. \end{array}%
  1346. \right) ,\text{ }I_{3}=\left(
  1347. \begin{array}{ccc}
  1348. 1 & 0 & 0 \\
  1349. 0 & 1 & 0 \\
  1350. 0 & 0 & 1%
  1351. \end{array}%
  1352. \right) ,\text{ }I_{4}=\left(
  1353. \begin{array}{cccc}
  1354. 1 & 0 & 0 & 0\\
  1355. 0 & 1 & 0 & 0\\
  1356. 0 & 0 & 1 & 0\\
  1357. 0 & 0 & 0 & 1%
  1358. \end{array}%
  1359. \right), \ldots
  1360. \end{equation*}
  1361. són les matrius unitat d'ordre $2$, d'ordre $3$, etc.
  1362. \end{definition}
  1363. \begin{definition}[matriu triangular] Una matriu $A=(a_{ij})$ es diu \term{triangular}\index{matriu!triangular} quan $a_{ij} = 0$ per a tot $i < j$ o bé quan $a_{ij} = 0$ per a tot $i > j$. En paraules, quan els elements per davall o per damunt de la diagonal principal són zero.
  1364. \end{definition}
  1365. \begin{definition}[matriu diagonal] Una matriu $A=(a_{ij})$ s'anomena \term{diagonal}\index{matriu!diagonal} si, i només si, $a_{ij} = 0$ per a tot $i \neq j$, és a dir, els elements que no estan a la diagonal principal són zero.
  1366. \end{definition}
  1367. \begin{claim} Una matriu no té res que veure amb un determinant: un determinant és un nombre i una matriu una col·lecció de nombres. Encara que a tota matriu quadrada li podem associar un determinant, que es denota per $\lvert A \rvert$ o bé $\det (A)$.
  1368. \end{claim}
  1369. \subsection*{Igualtat entre matrius}
  1370. \begin{definition}[igualtat de matrius] Direm que dues matrius s\'{o}n \term{iguals}\index{igualtat de matrius} si s\'{o}n del mateix ordre i els seus elements respectius s\'{o}n iguals.
  1371. \end{definition}
  1372. \begin{example}
  1373. Per exemple, les matrius
  1374. \begin{equation*}
  1375. \left(
  1376. \begin{array}{rrr}
  1377. 1 & -2 & 0 \\
  1378. \pi & 12 & -4%
  1379. \end{array}%
  1380. \right) ,\text{ }\left(
  1381. \begin{array}{ccc}
  1382. 1 & -2 & 3-3 \\
  1383. \pi & 24/2 & -4%
  1384. \end{array}%
  1385. \right)
  1386. \end{equation*}%
  1387. s\'{o}n iguals.
  1388. \end{example}
  1389. \begin{exercise} Calculeu el valor de $x$ perqu\`{e} les matrius $A$ i $B$ siguin iguals, amb%
  1390. \begin{equation*}
  1391. A=\left(
  1392. \begin{array}{cc}
  1393. 3 & -x+4 \\
  1394. -2 & 0%
  1395. \end{array}%
  1396. \right) \text{ \ i \ }B=\left(
  1397. \begin{array}{rr}
  1398. 3 & 0 \\
  1399. -2 & 0%
  1400. \end{array}%
  1401. \right)
  1402. \end{equation*}
  1403. \end{exercise}
  1404. \section{Operacions amb matrius}
  1405. A continuaci\'{o} es defineixen les operacions que es poden realitzar amb matrius.
  1406. \subsection{Suma i difer\`{e}ncia de matrius}
  1407. \begin{definition}[suma i resta de matrius] La \term{suma}\index{suma!de matrius} de dues matrius del mateix ordre es fa sumant els elements respectius. La \term{diferència} (o resta)\index{resta!de matrius} es calcula restant els elements corresponents.
  1408. És a dir, si $A = (a_{ij})$ i $B = (b_{ij})$ són dues matrius d'ordre $n \times m$, aleshores les matrius $A + B$ i $A-B$ són iguals $(a_{ij} + b_{ij})$ i $(a_{ij} - b_{ij})$, respectivament, i tenen ordre $n \times m$.
  1409. \end{definition}
  1410. \begin{example}
  1411. Vegem una difer\`{e}ncia de matrius:%
  1412. \begin{equation*}
  1413. \left(
  1414. \begin{array}{rr}
  1415. -3 & 3 \\
  1416. 5 & 2%
  1417. \end{array}%
  1418. \right) -\left(
  1419. \begin{array}{rr}
  1420. -1 & 5 \\
  1421. 5 & 0%
  1422. \end{array}%
  1423. \right) =\left(
  1424. \begin{array}{cc}
  1425. -3-\left( -1\right) & 3-5 \\
  1426. 5-5 & 2-0%
  1427. \end{array}%
  1428. \right) =\left(
  1429. \begin{array}{rr}
  1430. -2 & -2 \\
  1431. 0 & 2%
  1432. \end{array}%
  1433. \right)
  1434. \end{equation*}%
  1435. La suma es fa de manera an\`{a}loga.
  1436. \end{example}
  1437. \begin{exercise}
  1438. Calculeu $A-B$, $B-A$ i $-A+B$, amb%
  1439. \begin{equation*}
  1440. A=\left(
  1441. \begin{array}{rrr}
  1442. -1 & 0 & 3 \\
  1443. 0 & -4 & 2%
  1444. \end{array}%
  1445. \right) ,\text{ \ }B=\left(
  1446. \begin{array}{rrr}
  1447. -1 & -2 & -3 \\
  1448. 5 & 4 & -5%
  1449. \end{array}%
  1450. \right)
  1451. \end{equation*}
  1452. \end{exercise}
  1453. \subsection{Multiplicaci\'{o} d'un nombre per una matriu}
  1454. \begin{definition}[multiplicació de nombres i matrius] Per \term{multiplicar un nombre per una matriu}\index{multiplicació!d'escalar per matriu} es multiplica aquest nombre per cadascun dels elements de la matriu.
  1455. De vegades aquest nombre s'anomena \term{escalar}\index{escalar}.
  1456. \end{definition}
  1457. \begin{example}
  1458. \begin{equation*}
  1459. -5\text{$\cdot $}\left(
  1460. \begin{array}{rrr}
  1461. 1 & -2 & 0 \\
  1462. \pi & 12 & -4%
  1463. \end{array}%
  1464. \right) =\left(
  1465. \begin{array}{ccc}
  1466. -5\text{$\cdot $}1 & -5\text{$\cdot $}\left( -2\right) & -5\text{$\cdot $}0
  1467. \\
  1468. -5\pi & -5\text{$\cdot $}12 & -5\text{$\cdot $}\left( -4\right)%
  1469. \end{array}%
  1470. \right) =\left(
  1471. \begin{array}{rrr}
  1472. -5 & 10 & 0 \\
  1473. -5\pi & -60 & 20%
  1474. \end{array}%
  1475. \right)
  1476. \end{equation*}
  1477. \end{example}
  1478. \begin{exercise}
  1479. Calculeu%
  1480. \begin{equation*}
  1481. -3\cdot \left(
  1482. \begin{array}{ccc}
  1483. -1 & 0 & 3 \\
  1484. 0 & -4 & 2%
  1485. \end{array}%
  1486. \right), \quad 5\cdot \left(
  1487. \begin{array}{ccc}
  1488. 1 & -3 & 4 \\
  1489. 0 & 5 & 2 \\
  1490. 2 & -5 & -1%
  1491. \end{array}%
  1492. \right)
  1493. \end{equation*}
  1494. \end{exercise}
  1495. \subsection{Producte de dues matrius}
  1496. No sempre \'{e}s possible multiplicar dues matrius. Per aquest motiu, abans de definir la multiplicaci\'{o} de dues matrius hem de veure quina condició han de complir les matrius que volem multiplicar per a que aquesta operaci\'{o} es pugui fer.
  1497. \begin{condition}[producte de dues matrius]\label{condicio:producte:matrius} Per poder multiplicar dues matrius s'ha de complir que el nombre de columnes de la primera matriu (la que es col·loca a l'esquerra) ha de coincidir
  1498. amb el nombre de fileres de la segona (la que es col·loca a la dreta).
  1499. \end{condition}
  1500. Aquesta condici\'{o}, a m\'{e}s de ser necess\`{a}ria per a la multiplicaci%
  1501. \'{o} de dues matrius, \'{e}s suficient.
  1502. Degut a qu\`{e} el nombre de fileres i de columnes de dues matrius poden ser qualssevol, pot ocorre que es pugui calcular el producte $A\cdot B$ de les matrius $A$ i $B$, per\`{o} que no es pugui calcular $B\cdot A$.
  1503. \begin{example} No podem calcular el producte
  1504. \begin{equation*}
  1505. \left(
  1506. \begin{array}{ccc}
  1507. 2 & 1 & 1 \\
  1508. 1 & 2 & 1%
  1509. \end{array}%
  1510. \right)
  1511. \cdot \left(
  1512. \begin{array}{ccc}
  1513. 1 & 1 & 0 \\
  1514. -2 & 1 & 1%
  1515. \end{array}%
  1516. \right)
  1517. \end{equation*}
  1518. però sí podem calcular el producte
  1519. \begin{equation*}
  1520. \left(
  1521. \begin{array}{cc}
  1522. 2 & 1\\
  1523. 3 & 4 %
  1524. \end{array}%
  1525. \right)
  1526. \cdot \left(
  1527. \begin{array}{ccc}
  1528. 1 & 1 & 0 \\
  1529. -2 & 1 & 1%
  1530. \end{array}%
  1531. \right)
  1532. \end{equation*}
  1533. \end{example}
  1534. Vegem ara com es multipliquen dues matrius.
  1535. \begin{definition}[multiplicació de matrius] Siguin $A$ i $B$ dues matrius d'ordres\index{multiplicació!de matrius} $n\times m$ i $m\times p$ respectivament. El seu producte
  1536. \begin{equation*}
  1537. \left(
  1538. \begin{array}{rrrr}
  1539. a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
  1540. a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
  1541. \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
  1542. a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} %
  1543. \end{array}%
  1544. \right)
  1545. \cdot \left(
  1546. \begin{array}{rrrr}
  1547. b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1p}\\
  1548. b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2p}\\
  1549. \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
  1550. b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mp} %
  1551. \end{array}%
  1552. \right) = \left(
  1553. \begin{array}{rrrr}
  1554. c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1p}\\
  1555. c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2p}\\
  1556. \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
  1557. c_{n1} & c_{m2} & \ldots & c_{np} %
  1558. \end{array}%
  1559. \right)
  1560. \end{equation*}
  1561. té ordre $n \times p$ i es calcula de la manera següent:
  1562. \begin{enumerate}
  1563. \item L'element $c_{ij}$, que és l'element del resultat $A \cdot B$, es calcula multiplicant la filera $i$-èssima de $A$ per la columna $j$-èssima de $B$, és a dir,
  1564. \begin{equation*}
  1565. c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+...+a_{im}\cdot b_{mj}
  1566. \end{equation*}%
  1567. (l'element $c_{11}$ s'obté multiplicant la filera $1$ de $A$ per la columna $2$ de $B$, l'element $c_{12}$ s'obté multiplicant la filera $1$ de $A$ per la columna $2$ de $B$, etc.)
  1568. \item Això es realitza per a totes les fileres i columnes
  1569. \end{enumerate}
  1570. \end{definition}
  1571. Amb aquesta definici\'{o}, l'ordre de la matriu $A\cdot B$ \'{e}s $n\times p$%
  1572. . Esquem\`{a}ticament:%
  1573. \begin{equation*}
  1574. \begin{array}{ccccc}
  1575. A & \cdot & B & = & AB \\
  1576. n\times m & & m\times p & & n\times p%
  1577. \end{array}%
  1578. \end{equation*}
  1579. \begin{example}
  1580. \begin{multline*}
  1581. \left(
  1582. \begin{array}{rrr}
  1583. 2 & 0 & -3 \\
  1584. 0 & 1 & 1%
  1585. \end{array}%
  1586. \right) \text{$\cdot $}\left(
  1587. \begin{array}{rrr}
  1588. -2 & -1 & 0 \\
  1589. 3 & 5 & 2 \\
  1590. -4 & 0 & 6%
  1591. \end{array}%
  1592. \right) = \\
  1593. \left(
  1594. \begin{array}{ccc}
  1595. 2(-2)+0\text{$\cdot $}3+(-3)(-4) & 2(-1)+0\text{$\cdot $}5+(-3)\text{$\cdot $%
  1596. }0 & 2\text{$\cdot $}0+0\text{$\cdot $}2+(-3)\text{$\cdot $}6 \\
  1597. & & \\
  1598. 0(-2)+1\text{$\cdot $}3+1(-4) & 0(-1)+1\text{$\cdot $}5+1\text{$\cdot $}0 & 0%
  1599. \text{$\cdot $}0+1\text{$\cdot $}2+1\text{$\cdot $}6%
  1600. \end{array}%
  1601. \right) = \\
  1602. \left(
  1603. \begin{array}{rrr}
  1604. 8 & -2 & -18 \\
  1605. -1 & 5 & 8%
  1606. \end{array}%
  1607. \right)
  1608. \end{multline*}%
  1609. És a dir, l'element que ha d'anar, per exemple, a la 2a filera i 1a columna es calcula sumant els productes dels elements de la 2a filera de la primera matriu amb els elements de la 1a columna de la segona matriu.
  1610. \end{example}
  1611. \begin{exercise}
  1612. Calculeu els productes de matrius següents:%
  1613. \begin{equation*}
  1614. \left(
  1615. \begin{array}{rrr}
  1616. -2 & -1 & 0 \\
  1617. 3 & 5 & 2 \\
  1618. -4 & 0 & 6%
  1619. \end{array}%
  1620. \right) \cdot \left(
  1621. \begin{array}{rr}
  1622. -1 & 2 \\
  1623. 0 & -5 \\
  1624. 3 & 2%
  1625. \end{array}%
  1626. \right) ,\text{ }\left(
  1627. \begin{array}{rr}
  1628. 1 & 2 \\
  1629. 0 & 8%
  1630. \end{array}%
  1631. \right) \cdot \left(
  1632. \begin{array}{rrr}
  1633. 4 & 2 & 1\\
  1634. 0 & -3 & -2%
  1635. \end{array}%
  1636. \right) ,\text{ }\left(
  1637. \begin{array}{rr}
  1638. 3 & 0 \\
  1639. 0 & -2%
  1640. \end{array}%
  1641. \right) \cdot \left(
  1642. \begin{array}{rr}
  1643. 1 & 2 \\
  1644. 0 & 8%
  1645. \end{array}%
  1646. \right)
  1647. \end{equation*}
  1648. \end{exercise}
  1649. \subsection{Transposici\'{o} d'una matriu}
  1650. \begin{definition}[transposició de matrius] La \term{transposici\'{o}}\index{transposició de matrius} d'una matriu \'{e}s l'operaci\'{o} per la qual es canvien de manera ordenada les fileres per les columnes (i viceversa). La \term{matriu transposta}\index{matriu!transposta} de la matriu $A$ es representa per $A^{t}$.
  1651. \end{definition}
  1652. \begin{example}
  1653. La matriu transposta de la matriu%
  1654. \begin{equation*}
  1655. A=\left(
  1656. \begin{array}{rrr}
  1657. 8 & -2 & -18 \\
  1658. -1 & 5 & 8%
  1659. \end{array}%
  1660. \right)
  1661. \end{equation*}%
  1662. \'{e}s la matriu%
  1663. \begin{equation*}
  1664. A^{t}=\left(
  1665. \begin{array}{rr}
  1666. 8 & -1 \\
  1667. -2 & 5 \\
  1668. -18 & 8%
  1669. \end{array}%
  1670. \right)
  1671. \end{equation*}
  1672. \end{example}
  1673. \begin{exercise}
  1674. Escriviu les transpostes de les matrius%
  1675. \begin{equation*}
  1676. A=\left(
  1677. \begin{array}{rrr}
  1678. 0 & 2 & -1 \\
  1679. -2 & 15 & 6 \\
  1680. 1 & 2 & 3%
  1681. \end{array}%
  1682. \right), \quad B=\left(
  1683. \begin{array}{rr}
  1684. -1 & 4 \\
  1685. -5 & 1 \\
  1686. 1 & 1 \\
  1687. 2 & 1%
  1688. \end{array}%
  1689. \right)
  1690. \end{equation*}
  1691. \end{exercise}
  1692. \section{Propietats de les operacions amb matrius}
  1693. \subsection*{Propietats de la suma de matrius}
  1694. Siguin $A,B$ i $C$ matrius d'ordre $m\times n$. Aleshores, es compleixen les
  1695. seg\"{u}ents propietats:
  1696. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1697. \item Associativa:%
  1698. \begin{equation*}
  1699. \left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
  1700. \end{equation*}
  1701. \item Commutativa:%
  1702. \begin{equation*}
  1703. A+B=B+A
  1704. \end{equation*}
  1705. \end{enumerate}
  1706. \subsection*{Propietats del producte de nombres per matrius}
  1707. Siguin $a$ i $b$ nombres reals, i $A$ i $B$ matrius d'ordre $m\times n$.
  1708. Aleshores, es compleixen les seg\"{u}ents propietats:
  1709. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1710. \item Pseudoassociativa: $a\cdot \left( b \cdot A\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot A$
  1711. \item Distributiva respecte la suma d'escalars: $\left( a+b\right) \cdot A=a\cdot A+b\cdot A$
  1712. \item Distributiva respecte la suma de matrius: $a\cdot \left( A+B\right) =a\cdot A+a\cdot B$
  1713. \item Element neutre: $1\cdot A=A$
  1714. \end{enumerate}
  1715. \subsection*{Propietats del producte de matrius}
  1716. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1717. \item Associativa: $\left( A \cdot B \right) \cdot
  1718. C = A \cdot \left( B \cdot C \right) $
  1719. \item Element neutre: $A \cdot I = I \cdot A =A $
  1720. \item Commmutativa: en general, com ja hem observat, $A\cdot B\neq B\cdot A$.
  1721. \end{enumerate}
  1722. \subsection*{Propietats distributives}
  1723. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1724. \item $A \cdot \left( B + C \right) =A \cdot B +A \cdot C$
  1725. \item $\left( A + B \right) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$
  1726. \end{enumerate}
  1727. \subsection*{Propietats de la transposició de matrius}
  1728. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1729. \item $\left( A +B \right)^{t}= A^{t} + B^{t}$
  1730. \item $\left( A \cdot B\right)^{t}= B^{t} \cdot A^{t}$
  1731. \end{enumerate}
  1732. \subsection*{Propietats dels determinants de matrius}\label{subseccio:propietats-matrius-determinants}
  1733. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1734. \item El determinant del producte de dues matrius és igual al
  1735. producte dels seus determinants, és a dir,
  1736. \begin{equation*}
  1737. \left\vert A\text{$\cdot $}B\right\vert =\left\vert A\right\vert \text{$%
  1738. \cdot $}\left\vert B\right\vert
  1739. \end{equation*}
  1740. \item\label{prop:determinant-matriu-transposta} El determinant d'una matriu (quadrada) $A$ és igual al determinant de la seva matriu transposta, és a dir,
  1741. \begin{equation*}
  1742. \left\vert A\right\vert =\left\vert A^{t}\right\vert.
  1743. \end{equation*}
  1744. \end{enumerate}
  1745. \begin{example} Donades les matrius%
  1746. \begin{equation*}
  1747. A=\left(
  1748. \begin{array}{rr}
  1749. -1 & 2 \\
  1750. 0 & 3%
  1751. \end{array}%
  1752. \right) \, B=\left(
  1753. \begin{array}{rr}
  1754. 4 & -2 \\
  1755. 1 & 0%
  1756. \end{array}%
  1757. \right)
  1758. \end{equation*}%
  1759. tenim que $\left\vert A\right\vert =-3$ i $\left\vert B\right\vert =2$ i, per tant, $\left\vert A\right\vert \text{$\cdot $}\left\vert B\right\vert =-6$,
  1760. que coincideix amb%
  1761. \begin{equation*}
  1762. \left\vert A\text{$\cdot $}B\right\vert =\left\vert
  1763. \begin{array}{rr}
  1764. -2 & 2 \\
  1765. 3 & 0%
  1766. \end{array}%
  1767. \right\vert =-6
  1768. \end{equation*}
  1769. \end{example}
  1770. \begin{example} Si
  1771. \begin{equation*}
  1772. A=\left(
  1773. \begin{array}{rrr}
  1774. 1 & 5 & -3 \\
  1775. 3 & 2 & 0 \\
  1776. -1 & 4 & -2%
  1777. \end{array}%
  1778. \right)
  1779. \end{equation*}%
  1780. es t\'{e} que
  1781. \begin{equation*}
  1782. \left\vert A\right\vert =\left\vert
  1783. \begin{array}{rrr}
  1784. 1 & 5 & -3 \\
  1785. 3 & 2 & 0 \\
  1786. -1 & 4 & -2%
  1787. \end{array}%
  1788. \right\vert =-16\text{ \ i \ }\left\vert A^{t}\right\vert =\left\vert
  1789. \begin{array}{rrr}
  1790. 1 & 3 & -1 \\
  1791. 5 & 2 & 4 \\
  1792. -3 & 0 & -2%
  1793. \end{array}%
  1794. \right\vert =-16.
  1795. \end{equation*}
  1796. \end{example}
  1797. \section{Matriu inversa d'una matriu quadrada}
  1798. \begin{definition}[matriu inversa] Donada una matriu quadrada $A$, la seva \term{matriu inversa}\index{matriu!inversa}, que es denota per $A^{-1}$, és una matriu del mateix ordre tal que compleix les condicions següents de forma simultània:%
  1799. \begin{eqnarray*}
  1800. A\cdot A^{-1} &=&I, \\
  1801. A^{-1}\cdot A &=&I.
  1802. \end{eqnarray*}
  1803. \end{definition}
  1804. Noteu que una condició per a què una matriu tengui inversa és que sigui quadrada. Les matrius rectangulars no tenen matriu inversa perquè un dels productes no existeix (vegeu \autoref{condicio:producte:matrius}).
  1805. \begin{definition}[matriu regular] Les matrius que tenen inversa s'anomenen \term{matrius regulars}\index{matriu!regular}. En altre cas, es diu que la matriu és \term{singular}\index{matriu!singular}.
  1806. \end{definition}
  1807. \begin{example} No totes les matrius són regulars: per exemple la matriu
  1808. \begin{equation*}
  1809. A = \left(\begin{array}{rr}
  1810. 1 & -1 \\
  1811. -1 & 1
  1812. \end{array}%
  1813. \right)
  1814. \end{equation*}
  1815. no té inversa, ja que si en tengués arribaríem a un error: si suposem que $A^{-1} = \left(\begin{array}{rr}
  1816. a & b \\
  1817. c & d
  1818. \end{array}%
  1819. \right)$, aleshores s'hauria de complir que
  1820. \begin{equation*}
  1821. \left(\begin{array}{rr}
  1822. 1 & -1 \\
  1823. -1 & 1
  1824. \end{array}%
  1825. \right) \cdot \left(\begin{array}{rr}
  1826. a & b \\
  1827. c & d
  1828. \end{array}%
  1829. \right) = \left(\begin{array}{rr}
  1830. 1 & 0 \\
  1831. 0 & 1
  1832. \end{array}%
  1833. \right)
  1834. \end{equation*}
  1835. el que implica que
  1836. \begin{equation*}
  1837. \left\{\begin{aligned}
  1838. a-c &= -1 \\
  1839. b-d &= 0 \\
  1840. -a+c & = 0\\
  1841. -b+d & = 1
  1842. \end{aligned}\right.
  1843. \end{equation*}
  1844. Però la primera i la segona equació impliquen que $0 = 1$. Contradicció!.
  1845. \end{example}
  1846. \begin{theorem} Una matriu quadrada $A$ és regular si, i només si, $\lvert A \rvert \neq 0$. És a dir
  1847. \begin{equation*}
  1848. A\text{ t\'{e} inversa}\iff \left\vert A\right\vert \neq 0
  1849. \end{equation*}%
  1850. Expressat amb paraules:
  1851. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1852. \item Si una matriu quadrada t\'{e} inversa, aleshores el seu determinant \'{e}s diferent de zero
  1853. \item I si el determinant d'una matriu quadrada no val zero, aleshores aquesta matriu t\'{e} inversa.
  1854. \end{enumerate}
  1855. \end{theorem}
  1856. Ara sabem quina condició s'ha de complir per a què una matriu sigui regular, però com es calcula la matriu inversa d'una matriu quadrada? A continuaci\'{o} ho veurem.
  1857. \begin{theorem}[càlcul de la matriu inversa] Si $A$ és regular, aleshores
  1858. \begin{equation*}
  1859. A^{-1} = \frac{\left( Adj(A)\right)^{t}}{\left\vert A\right\vert },
  1860. \end{equation*}
  1861. on $Adj(A)$ denota la \term{matriu adjunta} d'$A$\index{matriu!adjunta}, formada pels adjunts dels elements de $A$.
  1862. \end{theorem}
  1863. \begin{algorithm}[càlcul de la matriu inversa] Per calcular la matriu inversa d'una matriu quadrada $A$ seguirem les passes següents:
  1864. \begin{enumerate}
  1865. \item En primer lloc calcularem $\left\vert A\right\vert $. Si aquest val $0$, ja podem assegurar que la matriu $A$ no t\'{e} inversa. Si $\left\vert A\right\vert \neq 0$, seguim amb els punts seg\"{u}ents.
  1866. \item Calculam la matriu adjunta de $A$, és a dir, $Adj(A)$.
  1867. \item Farem la transposta de $Adj(A)$. La denotarem per $\left( Adj(A)\right)^{t}$.
  1868. \item Finalment, es t\'{e} que%
  1869. \begin{equation*}
  1870. A^{-1}=\frac{\left( Adj(A)\right)^{t}}{\left\vert A\right\vert }
  1871. \end{equation*}
  1872. \end{enumerate}
  1873. \end{algorithm}
  1874. Vegem-ho amb un exemple.
  1875. \begin{example}
  1876. Sigui
  1877. \begin{equation*}
  1878. A=\left(
  1879. \begin{array}{rrr}
  1880. 1 & 2 & 0 \\
  1881. 0 & -3 & -2 \\
  1882. 4 & 0 & 3%
  1883. \end{array}%
  1884. \right)
  1885. \end{equation*}%
  1886. Tenim que
  1887. \begin{equation*}
  1888. \left\vert A\right\vert =-9-16=-25\neq 0
  1889. \end{equation*}%
  1890. El fet de qu\`{e} aquest determinant no valgui zero ens assegura que
  1891. existeix la matriu inversa de $A$. Anem a calcular-la.
  1892. La matriu adjunta de $A$ \'{e}s%
  1893. \begin{equation*}
  1894. \begin{split}
  1895. Adj(A) & =\left(
  1896. \begin{array}{rrrrr}
  1897. \left\vert
  1898. \begin{array}{rr}
  1899. -3 & -2 \\
  1900. 0 & 3%
  1901. \end{array}%
  1902. \right\vert & & -\left\vert
  1903. \begin{array}{rr}
  1904. 0 & -2 \\
  1905. 4 & 3%
  1906. \end{array}%
  1907. \right\vert & & \left\vert
  1908. \begin{array}{rr}
  1909. 0 & -3 \\
  1910. 4 & 0%
  1911. \end{array}%
  1912. \right\vert \\
  1913. & & & & \\
  1914. -\left\vert
  1915. \begin{array}{rr}
  1916. 2 & 0 \\
  1917. 0 & 3%
  1918. \end{array}%
  1919. \right\vert & & \left\vert
  1920. \begin{array}{cc}
  1921. 1 & 0 \\
  1922. 4 & 3%
  1923. \end{array}%
  1924. \right\vert & & -\left\vert
  1925. \begin{array}{cc}
  1926. 1 & 2 \\
  1927. 4 & 0%
  1928. \end{array}%
  1929. \right\vert \\
  1930. & & & & \\
  1931. \left\vert
  1932. \begin{array}{rr}
  1933. 2 & 0 \\
  1934. -3 & -2%
  1935. \end{array}%
  1936. \right\vert & & -\left\vert
  1937. \begin{array}{rr}
  1938. 1 & 0 \\
  1939. 0 & -2%
  1940. \end{array}%
  1941. \right\vert & & \left\vert
  1942. \begin{array}{rr}
  1943. 1 & 2 \\
  1944. 0 & -3%
  1945. \end{array}%
  1946. \right\vert%
  1947. \end{array}%
  1948. \right) \\
  1949. & =\left(
  1950. \begin{array}{rrr}
  1951. -9 & -8 & 12 \\
  1952. -6 & 3 & 8 \\
  1953. -4 & 2 & -3%
  1954. \end{array}%
  1955. \right)
  1956. \end{split}
  1957. \end{equation*}%
  1958. La transposta de l'adjunta \'{e}s, aleshores,%
  1959. \begin{equation*}
  1960. \left( Adj(A)\right)^{t}=\left(
  1961. \begin{array}{rrr}
  1962. -9 & -6 & -4 \\
  1963. -8 & 3 & 2 \\
  1964. 12 & 8 & -3%
  1965. \end{array}%
  1966. \right)
  1967. \end{equation*}%
  1968. Per tant, la inversa de $A$ és:%
  1969. \begin{equation*}
  1970. A^{-1}=\frac{\left( Adj(A)\right)^{t}}{\left\vert A\right\vert }=\frac{%
  1971. \left(
  1972. \begin{array}{rrr}
  1973. -9 & -6 & -4 \\
  1974. -8 & 3 & 2 \\
  1975. 12 & 8 & -3%
  1976. \end{array}%
  1977. \right) }{-25}=\left(
  1978. \begin{array}{rrrrr}
  1979. 9/25 & & 6/25 & & 4/25 \\
  1980. & & & & \\
  1981. 8/25 & & -3/25 & & -2/25 \\
  1982. & & & & \\
  1983. -12/25 & & -8/25 & & 3/25%
  1984. \end{array}%
  1985. \right)
  1986. \end{equation*}
  1987. \end{example}
  1988. \begin{exercise}Calculeu, si en té, la matriu inversa de la matriu%
  1989. \begin{equation*}
  1990. A=\left(
  1991. \begin{array}{rrr}
  1992. 1 & 0 & -3 \\
  1993. -1 & 3 & -2 \\
  1994. 0 & 5 & -1%
  1995. \end{array}%
  1996. \right)
  1997. \end{equation*}
  1998. \end{exercise}
  1999. \subsection{Matriu inversa en funció d'un paràmetre}
  2000. \begin{example}
  2001. Suposem que volem calcular la matriu inversa de
  2002. \begin{equation*}
  2003. B=\left(
  2004. \begin{array}{rrr}
  2005. -3 & 1 & 0 \\
  2006. 1 & 2 & a \\
  2007. 0 & 7 & 1%
  2008. \end{array}%
  2009. \right)
  2010. \end{equation*}%
  2011. Aquesta matriu dep\`{e}n del par\`{a}metre $a$. Per tant, podem suposar que la matriu inversa de $B$ existir\`{a} o no segons el valor num\`{e}ric que prengui el par\`{a}metre $a$. \textquestiondown Qu\`{e} ha de valer $a$ per a qu\`{e} existeixi $B^{-1}$? Aquest valor de $a$ quedar\`{a} imposat per la
  2012. condici\'{o}
  2013. \begin{equation*}
  2014. \left\vert B\right\vert \neq 0,
  2015. \end{equation*}
  2016. que \'{e}s la condici\'{o} que ens assegura que existeix la matriu inversa de $B$. Calculem $\left\vert B\right\vert $:%
  2017. \begin{equation*}
  2018. \left\vert B\right\vert =\left\vert
  2019. \begin{array}{rrr}
  2020. -3 & 1 & 0 \\
  2021. 1 & 2 & a \\
  2022. 0 & 7 & 1%
  2023. \end{array}%
  2024. \right\vert =21a-7
  2025. \end{equation*}%
  2026. Aquest determinant val $0$ si, i nom\'{e}s si, quan $21a-7=0$. És a dir, quan $a=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$. Aquí apareixen dues possibilitats:
  2027. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2028. \item Si $a=1/3$, tenim que $\left\vert B\right\vert =0$, i, per tant, no existeix la matriu inversa de $B$.
  2029. \item Si $a\neq 1/3$, aleshores $\left\vert B\right\vert \neq 0$, i,
  2030. per tant, existeix $B^{-1}$. En aquest cas, podem calcular la matriu inversa de $B$, que òbviament dependrà del paràmetre $a$
  2031. \begin{equation*}
  2032. \begin{split}
  2033. Adj(B) & =\left(
  2034. \begin{array}{rrrrr}
  2035. \left\vert
  2036. \begin{array}{cc}
  2037. 2 & a \\
  2038. 7 & 1%
  2039. \end{array}%
  2040. \right\vert & & -\left\vert
  2041. \begin{array}{cc}
  2042. 1 & a \\
  2043. 0 & 1%
  2044. \end{array}%
  2045. \right\vert & & \left\vert
  2046. \begin{array}{cc}
  2047. 1 & 2 \\
  2048. 0 & 7%
  2049. \end{array}%
  2050. \right\vert \\
  2051. & & & & \\
  2052. -\left\vert
  2053. \begin{array}{cc}
  2054. 1 & 0 \\
  2055. 7 & 1%
  2056. \end{array}%
  2057. \right\vert & & \left\vert
  2058. \begin{array}{rr}
  2059. -3 & 0 \\
  2060. 0 & 1%
  2061. \end{array}%
  2062. \right\vert & & -\left\vert
  2063. \begin{array}{rr}
  2064. -3 & 1 \\
  2065. 0 & 7%
  2066. \end{array}%
  2067. \right\vert \\
  2068. & & & & \\
  2069. \left\vert
  2070. \begin{array}{cc}
  2071. 1 & 0 \\
  2072. 2 & a%
  2073. \end{array}%
  2074. \right\vert & & -\left\vert
  2075. \begin{array}{rr}
  2076. -3 & 0 \\
  2077. 1 & a%
  2078. \end{array}%
  2079. \right\vert & & \left\vert
  2080. \begin{array}{rr}
  2081. -3 & 1 \\
  2082. 1 & 2%
  2083. \end{array}%
  2084. \right\vert%
  2085. \end{array}%
  2086. \right) \\
  2087. \\
  2088. &=\left(
  2089. \begin{array}{ccc}
  2090. 2-7a & -1 & 7 \\
  2091. -1 & -3 & 21 \\
  2092. a & 3a & -7%
  2093. \end{array}%
  2094. \right)
  2095. \end{split}
  2096. \end{equation*}%
  2097. Per tant, la matriu inversa de $B$ és:
  2098. \begin{equation*}
  2099. B^{-1}=\frac{\left( Adj(B)\right)^{t}}{\left\vert B\right\vert }=\frac{%
  2100. \left(
  2101. \begin{array}{rrr}
  2102. 2-7a & -1 & a \\
  2103. -1 & -3 & 3a \\
  2104. 7 & 21 & -7%
  2105. \end{array}%
  2106. \right) }{21a-7}=\left(
  2107. \begin{array}{rrrrr}
  2108. \frac{2-7a}{21a-7} & & \frac{1}{7-21a} & & \frac{a}{21a-7} \\
  2109. & & & & \\
  2110. \frac{1}{7-21a} & & \frac{3}{7-21b} & & \frac{3a}{21a-7} \\
  2111. & & & & \\
  2112. \frac{7}{21a-7} & & \frac{21}{21a-7} & & \frac{7}{7-21a}%
  2113. \end{array}%
  2114. \right)
  2115. \end{equation*}
  2116. \end{enumerate}
  2117. \end{example}
  2118. \begin{exercise}
  2119. Calculeu la matriu inversa de $B$ en funci\'{o} del par\`{a}metre $\alpha$, amb%
  2120. \begin{equation*}
  2121. B=\left(
  2122. \begin{array}{rrr}
  2123. 2 & -7 & \alpha \\
  2124. 1 & 3 & 3 \\
  2125. 0 & 1 & -4%
  2126. \end{array}%
  2127. \right)
  2128. \end{equation*}
  2129. \end{exercise}
  2130. \section{Rang d'una matriu d'ordre qualsevol}
  2131. \begin{definition}[menor d'una matriu] Si en una matriu qualsevol (no necessàriament quadrada) seleccionam $p$ fileres i $p$ columnes, els elements en què s'encreuen aquestes $p$ fileres i $p$ columnes formen una submatriu quadrada d'ordre $p$. El determinant d'aquesta submatriu s'anomena \term{menor d'ordre $p$} (o simplement {\em menor})\index{menor!d'una matriu}\index{ordre!d'un menor} de la matriu inicial.
  2132. \end{definition}
  2133. \begin{example} De la matriu
  2134. \begin{equation*}
  2135. \left(
  2136. \begin{array}{rrrr}
  2137. 1 & -2 & 0 & 3 \\
  2138. \pi & 12 & -4 & 2 \\
  2139. 5 & 2 & -3 & 1%
  2140. \end{array}%
  2141. \right) ,
  2142. \end{equation*}
  2143. el determinant
  2144. \begin{equation*}
  2145. \left\vert
  2146. \begin{array}{rr}
  2147. 1 & 0 \\
  2148. \pi & -4%
  2149. \end{array}%
  2150. \right\vert
  2151. \end{equation*}%
  2152. és un menor d'ordre $2$.
  2153. En aquest cas, hem seleccionat els elements en els quals s'encreuen les fileres $1$ i $2$ i les columnes $1$ i $3$.
  2154. \end{example}
  2155. \begin{definition}[rang d'una matriu] Donada una matriu qualsevol $A$, es defineix el seu \term{rang}\index{rang} al màxim ordre dels seus menors no nuls. És a dir, el rang d'una matriu és un nombre $p$
  2156. que compleix les condicions següents:
  2157. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2158. \item Existeix un menor no nul d'ordre $p$
  2159. \item Tots els menors d'ordre $p+1$ són nuls, o bé no existeixen
  2160. menors d'ordre $p+1$.
  2161. \end{enumerate}
  2162. En altres paraules, calculem el
  2163. \begin{equation*}
  2164. \max \{p \mid \text{ existeix un menor d'ordre } p \text{ no nul }\}.
  2165. \end{equation*}
  2166. El rang d'una matriu $A$ es representa per $rg \left( A\right)$ o simplement $rg A$.
  2167. \end{definition}
  2168. \begin{example}
  2169. El rang de la matriu%
  2170. \begin{equation*}
  2171. \left(
  2172. \begin{array}{rrrr}
  2173. 1 & -1 & 2 & 4 \\
  2174. 2 & 3 & -5 & 4 \\
  2175. 0 & 3 & 3 & 1%
  2176. \end{array}%
  2177. \right)
  2178. \end{equation*}%
  2179. \'{e}s $3$, ja que existeix, al menys, un menor d'ordre $3$ no nul, com, per
  2180. exemple, el menor%
  2181. \begin{equation*}
  2182. \left\vert
  2183. \begin{array}{rrr}
  2184. 1 & -1 & 2 \\
  2185. 2 & 3 & -5 \\
  2186. 0 & 3 & 3%
  2187. \end{array}%
  2188. \right\vert \neq 0,
  2189. \end{equation*}%
  2190. i no hi ha cap menor d'ordre $4$.
  2191. \end{example}
  2192. Tot seguit, veurem com podem calcular el rang d'una matriu de forma efectiva. Per això, hem d'introduïr el concepte d'independència lineal. En primer lloc, recordem la definició de combinació lineal (veure \autoref{definicio:combinacio-lineal}): una línia $L$ és {\em combinació lineal} de $n$ línies $L_1$, $L_2$, \ldots, $L_n$ si, i només si, podem obtenir la línia $L$ com a suma de les línies $L_1$, \ldots, $L_n$ prèviament multiplicades per nombres reals, és a dir,
  2193. \begin{equation*}
  2194. L = a_1 \cdot L_1 + a_2 \cdot L_2 + \ldots + a_n \cdot L_n.
  2195. \end{equation*}
  2196. \begin{definition}[dependència lineal]\label{def:dependencia-lineal-linies} Una línia és \term{linealment dependent}\index{dependència lineal} de $n$ línies $L_1$, $L_2$, \ldots, $L_n$ si, i només si, $L$ es pot expressar com a combinació lineal de $L_1$, \ldots, $L_n$.
  2197. En cas contrari, $L$ és \term{linealment independent}\index{independència lineal}, és a dir, no existeixen cap nombres $a_1$, \ldots, $a_n$ tals que $L$ sigui igual a $a_1 \cdot L_1 + \ldots + a_n \cdot L_n$.
  2198. \end{definition}
  2199. \begin{proposition}[fites del rang d'una matriu]\label{proposicio:fites-rang} Es pot veure que, si $A$ és una matriu qualsevol d'ordre $n \times m$, aleshores:
  2200. \begin{enumerate}[label=\alph*)]
  2201. \item $rg A$ és igual al nombre de línies linealment independents
  2202. \item $rg A \leq \min \{m, n\}$
  2203. \item $rg A \geq 0$. I $rg A = 0$ si, i només si, $A$ és igual a la matriu nul·la.
  2204. \item Si $A$ no és la matriu nul·la, aleshores $rg A \geq 1$.
  2205. \end{enumerate}
  2206. \end{proposition}
  2207. \begin{algorithm}[càlcul del rang d'una matriu de dalt a baix] Per a calcular el rang d'una matriu $A$ d'ordre $n \times m$ es segueixen els passos següents:
  2208. \begin{enumerate}[label=\alph*)]
  2209. \item Es calcula el mínim del nombre de fileres i columnes d'$A$, és a dir, $r = \min \{n, m\}$. Aquest és el rang màxim que pot tenir $A$.
  2210. \item Es calculen els menors d'ordre $r$ d'$A$. Si algun d'aquests és no nul, aleshores automàticament $rg A = r$. En cas contrari, $rg A < r$.
  2211. Notem que només calcularem {\em tots} els menors d'ordre $r$ quan {\em tots} ells sigui nuls. Tot d'una que trobem un menor d'ordre $r$ no nul, ja no calcularem cap més menor d'ordre $r$ i conclourem que $rg A = r$.
  2212. \item Es procedeix de manera anàloga al pas anterior pels menors d'ordre $r-1$ i es conclou que $rg A = r-1$ o bé $rg A < r-1$.
  2213. \item Es repeteixen aquestes passes successivament.
  2214. \end{enumerate}
  2215. \end{algorithm}
  2216. \begin{example}\label{exemple:calcul-rang-matriu-dalt-abaix}
  2217. Suposem que volem calcular el rang de la matriu
  2218. \begin{equation*}
  2219. A = \left(
  2220. \begin{array}{rrrr}
  2221. 1 & 0 & -2 & 4 \\
  2222. 3 & 1 & 0 & -3 \\
  2223. 5 & 1 & -4 & 5%
  2224. \end{array}%
  2225. \right)
  2226. \end{equation*}%
  2227. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2228. \item Per la \autoref{proposicio:fites-rang}, tenim que $rg A \leq \min \{3,4\} = 3$.
  2229. \item Hem de veure si existeix un menor d'ordre $3$ no nul. Hi ha quatre possibilitats per a formar menors d'ordre $3$: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item triar les columnes $1$, $2$ i $3$, \item triar les columnes $1$, $2$ i $4$, \item triar les columnes $1$, $3$ i $4$ i \item triar les colimnes $2$, $3$ i $4$ \end{enumerate*}. Si algun d'aquests menors fos no nul, aleshores el rang d'$A$ seria $3$. Ara bé,
  2230. \begin{equation*}
  2231. \left\vert
  2232. \begin{array}{rrr}
  2233. 1 & 0 & -2 \\
  2234. 3 & 1 & 0 \\
  2235. 5 & 1 & -4%
  2236. \end{array}%
  2237. \right\vert =0,\,\left\vert
  2238. \begin{array}{rrr}
  2239. 1 & 0 & 4 \\
  2240. 3 & 1 & -3 \\
  2241. 5 & 1 & 5%
  2242. \end{array}%
  2243. \right\vert =0,\,\left\vert
  2244. \begin{array}{rrr}
  2245. 1 & -2 & 4 \\
  2246. 3 & 0 & -3 \\
  2247. 5 & -4 & 5%
  2248. \end{array}%
  2249. \right\vert =0,\,\left\vert
  2250. \begin{array}{rrr}
  2251. 0 & -2 & 4 \\
  2252. 1 & 0 & -3 \\
  2253. 1 & -4 & 5%
  2254. \end{array}%
  2255. \right\vert =0
  2256. \end{equation*}%
  2257. Per tant, $rg A < 3$.
  2258. \item Vegem si és dos: existeix un menor no nul d'ordre 2? Sí, per exemple, $\left\vert
  2259. \begin{array}{rr}
  2260. 1 & 0 \\
  2261. 1 & -4%
  2262. \end{array}%
  2263. \right\vert \neq 0$. Per la qual cosa, $rg A = 2$.
  2264. \end{enumerate}
  2265. \end{example}
  2266. \begin{exercise} Calculeu el valor del rang de la matriu següent:
  2267. \begin{equation*}
  2268. \left(
  2269. \begin{array}{cccc}
  2270. 0 & 0 & 3 & -2 \\
  2271. -4 & 2 & 3 & 8%
  2272. \end{array}%
  2273. \right)
  2274. \end{equation*}
  2275. \end{exercise}
  2276. \subsection{Rang d'una matriu en funció d'un paràmetre}
  2277. De vegades, una matriu pot incloure un paràmetre. El rang d'aquesta
  2278. matriu dependrà, aleshores, del valor que tengui aquest paràmetre.
  2279. Vegem-ho amb un exemple.
  2280. \begin{example}
  2281. Sigui la matriu%
  2282. \begin{equation*}
  2283. A=\left(
  2284. \begin{array}{rrr}
  2285. 2 & -1 & 3 \\
  2286. 0 & 1 & \alpha \\
  2287. -2 & 2 & 5%
  2288. \end{array}%
  2289. \right)
  2290. \end{equation*}%
  2291. Anem a calcular el seu rang. De manera anàloga a l'\autoref{exemple:calcul-rang-matriu-dalt-abaix}, calcularem el rang d'$A$ arran dels menors més grans possibles. Així, en aquest exemple començarem amb%
  2292. \begin{equation*}
  2293. \Delta = \left\vert
  2294. \begin{array}{rrr}
  2295. 2 & -1 & 3 \\
  2296. 0 & 1 & \alpha \\
  2297. -2 & 2 & 5%
  2298. \end{array}%
  2299. \right\vert =10+2\alpha +6-4\alpha =16-2\alpha ,
  2300. \end{equation*}%
  2301. que és el menor més gran que es pot treure a partir d'$A$. Aquest menor val $0$ si, i només si, $16-2\alpha =0$, és a dir, quan $\alpha =8$.
  2302. Diferenciem casos:
  2303. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2304. \item Si $\alpha \neq 8$: existeix un menor d'ordre $3$ diferent de $0$ ($\Delta \neq 0$), i no hi ha menors d'ordre superior a $3$ ($rg A \leq 3$). Per tant, el rang de $A$ \'{e}s $3$.
  2305. \item Si $\alpha =8$: tots els menors d'ordre $3$ (de fet, l'\'{u}nic menor d'ordre $3$ en aquest cas) s\'{o}n zero. Per tant, $rg A < 3$. Cerquem, aleshores, un menor d'ordre $2$ diferent de $0$. Per exemple%
  2306. \begin{equation*}
  2307. \left\vert
  2308. \begin{array}{rr}
  2309. 2 & -1 \\
  2310. 0 & 1%
  2311. \end{array}%
  2312. \right\vert =2\neq 0,
  2313. \end{equation*}%
  2314. per la qual cosa el rang \'{e}s $2$.
  2315. \end{enumerate}
  2316. En conclusió, si $\alpha \neq 8$, aleshores $rg A = 3$. I si $\alpha = 8$, aleshores $rg A = 2$.
  2317. \end{example}
  2318. \begin{exercise} Calculeu $rg A$ en funció del paràmetre $\alpha$, on%
  2319. \begin{equation*}
  2320. A=\left(
  2321. \begin{array}{rrr}
  2322. 2 & -7 & \alpha \\
  2323. 1 & 3 & 3 \\
  2324. 0 & 1 & -4%
  2325. \end{array}%
  2326. \right).
  2327. \end{equation*}
  2328. \end{exercise}
  2329. \section{Exercicis proposats}
  2330. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-1}
  2331. Donades les matrius%
  2332. \begin{equation*}
  2333. A=\left(
  2334. \begin{array}{rrr}
  2335. 2 & 0 & -3 \\
  2336. -2 & 1 & 0 \\
  2337. 2 & 1 & 3%
  2338. \end{array}%
  2339. \right) ,\text{ }B=\left(
  2340. \begin{array}{rr}
  2341. 2 & 0 \\
  2342. -2 & 1 \\
  2343. 2 & 1%
  2344. \end{array}%
  2345. \right) ,
  2346. \end{equation*}%
  2347. calculeu, si \'{e}s possible, $AB$ i $BA$.
  2348. \end{exercise}
  2349. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-2}
  2350. Calculeu $3AA^{t}-2I$, amb%
  2351. \begin{equation*}
  2352. A=\left(
  2353. \begin{array}{rrr}
  2354. 2 & 0 & -3 \\
  2355. -2 & 1 & 0 \\
  2356. 2 & 1 & 3%
  2357. \end{array}%
  2358. \right)
  2359. \end{equation*}
  2360. \end{exercise}
  2361. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-4}
  2362. Comproveu que $(A\cdot B)^{t}=B^{t}\cdot A^{t}$ amb les matrius%
  2363. \begin{equation*}
  2364. A=\left(
  2365. \begin{array}{rr}
  2366. 1 & 5 \\
  2367. 2 & 4%
  2368. \end{array}%
  2369. \right) \text{ i }B=\left(
  2370. \begin{array}{rr}
  2371. -1 & 0 \\
  2372. 3 & 6%
  2373. \end{array}%
  2374. \right)
  2375. \end{equation*}
  2376. \end{exercise}
  2377. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-5}
  2378. Determineu els valors de $m$ per als quals es verifica que $X^{2}-\frac{5}{2} X+I=\mathbf{0}$, amb%
  2379. \begin{equation*}
  2380. X=\left(
  2381. \begin{array}{rr}
  2382. m & 0 \\
  2383. 0 & 2%
  2384. \end{array}%
  2385. \right)
  2386. \end{equation*}
  2387. \end{exercise}
  2388. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-6}
  2389. Determineu $a$ i $b$ de forma que es verifiqui que $A^{2}=A$ amb%
  2390. \begin{equation*}
  2391. A=\left(
  2392. \begin{array}{rr}
  2393. 2 & -1 \\
  2394. a & b%
  2395. \end{array}%
  2396. \right)
  2397. \end{equation*}
  2398. \end{exercise}
  2399. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-7}
  2400. Trobeu totes les matrius $X$ de la forma%
  2401. \begin{equation*}
  2402. X=\left(
  2403. \begin{array}{rrr}
  2404. a & 1 & 0 \\
  2405. 0 & b & 1 \\
  2406. 0 & 0 & c%
  2407. \end{array}%
  2408. \right) \text{ tals que }X^{2}=\left(
  2409. \begin{array}{rrr}
  2410. 1 & 0 & 1 \\
  2411. 0 & 1 & 0 \\
  2412. 0 & 0 & 1%
  2413. \end{array}%
  2414. \right)
  2415. \end{equation*}
  2416. \end{exercise}
  2417. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-8}
  2418. Calculeu dos nombres reals $m$ y $n$ tals que $A + mA + nI=\pmb{0}$ si%
  2419. \begin{equation*}
  2420. A=\left(
  2421. \begin{array}{rr}
  2422. 2 & 1 \\
  2423. 2 & 3%
  2424. \end{array}%
  2425. \right)
  2426. \end{equation*}
  2427. \end{exercise}
  2428. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-9}
  2429. Siguin $A$ i $B$ les matrius%
  2430. \begin{equation*}
  2431. A=\left(
  2432. \begin{array}{rrr}
  2433. 5 & 2 & 0 \\
  2434. 2 & 5 & 0 \\
  2435. 0 & 0 & 1%
  2436. \end{array}%
  2437. \right) ,\text{ }B=\left(
  2438. \begin{array}{rrr}
  2439. a & b & 0 \\
  2440. c & c & 0 \\
  2441. 0 & 0 & 1%
  2442. \end{array}%
  2443. \right)
  2444. \end{equation*}%
  2445. Trobeu les condicions que han de complir els coeficientes $a,b$ i $c$ perquè es verifiqui que $AB = BA$.
  2446. \end{exercise}
  2447. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-3}
  2448. Trobeu dues matrius $X$ i $Y$ que verifiquin el sistema següent:%
  2449. \begin{equation*}
  2450. \left.
  2451. \begin{array}{ccc}
  2452. 2X-3Y & = & \left(
  2453. \begin{array}{rr}
  2454. 1 & 5 \\
  2455. 2 & 4%
  2456. \end{array}%
  2457. \right) \\
  2458. & & \\
  2459. X-Y & = & \left(
  2460. \begin{array}{rr}
  2461. -1 & 0 \\
  2462. 3 & 6%
  2463. \end{array}%
  2464. \right)%
  2465. \end{array}%
  2466. \right\}
  2467. \end{equation*}
  2468. \end{exercise}
  2469. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-10}
  2470. Calculeu, si és possible, la matriu inversa de cadascuna de les matrius següents:%
  2471. \begin{equation*}
  2472. \begin{array}{ll}
  2473. A=\left(
  2474. \begin{array}{cc}
  2475. 1 & 2 \\
  2476. 3 & 6%
  2477. \end{array}%
  2478. \right) & B=\left(
  2479. \begin{array}{cc}
  2480. 1 & 2 \\
  2481. 3 & 3%
  2482. \end{array}%
  2483. \right) \\
  2484. & \\
  2485. C=\left(
  2486. \begin{array}{rrr}
  2487. 1 & 2 & 3 \\
  2488. 3 & -5 & -2 \\
  2489. 3 & 3 & 6%
  2490. \end{array}%
  2491. \right) & D=\left(
  2492. \begin{array}{rrr}
  2493. 1 & 2 & 4 \\
  2494. 3 & -5 & -4 \\
  2495. 3 & 3 & 1%
  2496. \end{array}%
  2497. \right)%
  2498. \end{array}%
  2499. \end{equation*}
  2500. \end{exercise}
  2501. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-11}
  2502. Calculeu la matriu inversa de cadascuna de les matrius següents:%
  2503. \begin{equation*}
  2504. A=\left(
  2505. \begin{array}{cc}
  2506. -1 & 2 \\
  2507. 3 & a%
  2508. \end{array}%
  2509. \right) ,\text{ }B=\left(
  2510. \begin{array}{rrr}
  2511. 1 & 2 & 3 \\
  2512. 3 & -5 & -2 \\
  2513. 3 & b & 6%
  2514. \end{array}%
  2515. \right)
  2516. \end{equation*}
  2517. \end{exercise}
  2518. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-15-parametre}
  2519. Digueu en funció dels paràmetres corresponents quan les matrius següents són regulars. En cas de ser-ho, trobeu la seva inversa:%
  2520. \begin{multicols}{2}
  2521. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2522. \item \begin{equation*}
  2523. A=\left(
  2524. \begin{array}{ccc}
  2525. \alpha+2 & 1 & 1\\
  2526. 1 & \alpha + 2 & 1\\
  2527. 1 & 1 & \alpha +2%
  2528. \end{array}%
  2529. \right)
  2530. \end{equation*}
  2531. \item \begin{equation*}
  2532. A=\left(
  2533. \begin{array}{ccc}
  2534. 1 & 1 & 1\\
  2535. 1 & a & 2\\
  2536. -1 & 1 & a%
  2537. \end{array}%
  2538. \right)
  2539. \end{equation*}
  2540. \item \begin{equation*}
  2541. A=\left(
  2542. \begin{array}{ccc}
  2543. -1 & 2 & 4\\
  2544. 3 & 2 & a\\
  2545. -5 & -6 & 2%
  2546. \end{array}%
  2547. \right)
  2548. \end{equation*}
  2549. \item \begin{equation*}
  2550. A=\left(
  2551. \begin{array}{ccc}
  2552. \alpha & 2 & -1\\
  2553. 3 & 2 & \alpha + 1\\
  2554. 7 & 6 & 1%
  2555. \end{array}%
  2556. \right)
  2557. \end{equation*}
  2558. \item \begin{equation*}
  2559. A=\left(
  2560. \begin{array}{ccc}
  2561. 1 & a & 1\\
  2562. a-1 & -2 & -1\\
  2563. 1 & a+1 & 1%
  2564. \end{array}%
  2565. \right)
  2566. \end{equation*}
  2567. \item \begin{equation*}
  2568. A=\left(
  2569. \begin{array}{ccc}
  2570. m & 0 & 2\\
  2571. m & m & 4\\
  2572. 0 & m & 2%
  2573. \end{array}%
  2574. \right)
  2575. \end{equation*}
  2576. \item \begin{equation*}
  2577. A=\left(
  2578. \begin{array}{ccc}
  2579. 0 & 1 & 1\\
  2580. m & 4 & 4\\
  2581. m & 2 & 1%
  2582. \end{array}%
  2583. \right)
  2584. \end{equation*}
  2585. \item \begin{equation*}
  2586. A=\left(
  2587. \begin{array}{ccc}
  2588. 1 & 1 & 0\\
  2589. a & 0 & 1\\
  2590. a+1 & 1 & a%
  2591. \end{array}%
  2592. \right)
  2593. \end{equation*}
  2594. \item \begin{equation*}
  2595. A=\left(
  2596. \begin{array}{ccc}
  2597. 4 & 3 & \lambda\\
  2598. 2 & 1 & 2\\
  2599. \lambda & \lambda & -1%
  2600. \end{array}%
  2601. \right)
  2602. \end{equation*}
  2603. \item \begin{equation*}
  2604. A=\left(
  2605. \begin{array}{ccc}
  2606. 2 & 1 & -a\\
  2607. 2a & 1 & -1\\
  2608. 2 & a & 1%
  2609. \end{array}%
  2610. \right)
  2611. \end{equation*}
  2612. \item \begin{equation*}
  2613. A=\left(
  2614. \begin{array}{ccc}
  2615. -1 & -1 & 2\\
  2616. k & 0 & 1\\
  2617. 1 & 1 & 1%
  2618. \end{array}%
  2619. \right)
  2620. \end{equation*}
  2621. \item \begin{equation*}
  2622. A=\left(
  2623. \begin{array}{ccc}
  2624. a & 1 & 2\\
  2625. a & a & 2\\
  2626. 1 & 1 & 1%
  2627. \end{array}%
  2628. \right)
  2629. \end{equation*}
  2630. \item \begin{equation*}
  2631. A=\left(
  2632. \begin{array}{ccc}
  2633. a & 1 & a\\
  2634. 2 & a & 2\\
  2635. a & 1 & 1%
  2636. \end{array}%
  2637. \right)
  2638. \end{equation*}
  2639. \item \begin{equation*}
  2640. A=\left(
  2641. \begin{array}{ccc}
  2642. a & 1 & 2\\
  2643. 2 & a & 2\\
  2644. a & 1 & a%
  2645. \end{array}%
  2646. \right)
  2647. \end{equation*}
  2648. \item \begin{equation*}
  2649. A=\left(
  2650. \begin{array}{ccc}
  2651. a & -1 & 1\\
  2652. 1 & a & 1\\
  2653. 1 & 1 & 4a%
  2654. \end{array}%
  2655. \right)
  2656. \end{equation*}
  2657. \item \begin{equation*}
  2658. A=\left(
  2659. \begin{array}{ccc}
  2660. k & -1 & 1\\
  2661. k & k & 1\\
  2662. 1 & -1 & k%
  2663. \end{array}%
  2664. \right)
  2665. \end{equation*}
  2666. \end{enumerate}
  2667. \end{multicols}
  2668. \end{exercise}
  2669. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-12}
  2670. Calculeu el rang de cadascuna de les matrius següents:%
  2671. \begin{eqnarray*}
  2672. A &=&\left(
  2673. \begin{array}{rrr}
  2674. 1 & 4 & -1 \\
  2675. -1 & 3 & 2 \\
  2676. 2 & 2 & 0%
  2677. \end{array}%
  2678. \right) ,\text{ }B=\left(
  2679. \begin{array}{rrrr}
  2680. 1 & -2 & 0 & 3 \\
  2681. -1 & 3 & 1 & 4 \\
  2682. 2 & 1 & 5 & -1%
  2683. \end{array}%
  2684. \right) , \\
  2685. && \\
  2686. C &=&\left(
  2687. \begin{array}{rrr}
  2688. 3 & 5 & 1 \\
  2689. 6 & 10 & -2 \\
  2690. 1 & 0 & 1 \\
  2691. 4 & 5 & 0%
  2692. \end{array}%
  2693. \right) ,\text{ }D=\left(
  2694. \begin{array}{rrrr}
  2695. 1 & -2 & 0 & 3 \\
  2696. -1 & 3 & 1 & 4 \\
  2697. 0 & 1 & 1 & 7%
  2698. \end{array}%
  2699. \right)
  2700. \end{eqnarray*}
  2701. \end{exercise}
  2702. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-13}
  2703. Estudieu el rang de les matrius següents segons el valor del paràmetre que hi apareix:%
  2704. \begin{eqnarray*}
  2705. A &=&\left(
  2706. \begin{array}{rrr}
  2707. 2 & 1 & 0 \\
  2708. 1 & 1 & -2 \\
  2709. 3 & 1 & a%
  2710. \end{array}%
  2711. \right) ,\text{ }B=\left(
  2712. \begin{array}{rrr}
  2713. 2 & 1 & a \\
  2714. a & 3 & 4 \\
  2715. 3 & -1 & 2%
  2716. \end{array}%
  2717. \right) ,\text{ }C=\left(
  2718. \begin{array}{ccc}
  2719. a & -1 & 1 \\
  2720. 1 & -a & 2a-1%
  2721. \end{array}%
  2722. \right) , \\
  2723. D &=&\left(
  2724. \begin{array}{rrr}
  2725. t & 1 & 1 \\
  2726. 1 & -t & 1 \\
  2727. 1 & 1 & t%
  2728. \end{array}%
  2729. \right) ,\text{ }E=\left(
  2730. \begin{array}{rrr}
  2731. t & 2 & 2 \\
  2732. 2 & t & 0 \\
  2733. 1 & t & t%
  2734. \end{array}%
  2735. \right) ,\text{ }F=\left(
  2736. \begin{array}{ccc}
  2737. t+3 & 4 & 0 \\
  2738. 0 & t-1 & 1 \\
  2739. -4 & -4 & t-1%
  2740. \end{array}%
  2741. \right) , \\
  2742. G &=&\left(
  2743. \begin{array}{rrrr}
  2744. t & 1 & 1 & 2 \\
  2745. 2 & t & t^{2} & 1 \\
  2746. 2 & 1 & 1 & 2%
  2747. \end{array}%
  2748. \right)
  2749. \end{eqnarray*}
  2750. \end{exercise}
  2751. \begin{exercise}\label{exercici:matrius-14}
  2752. Estudieu el rang de la matriu seg\"{u}ent en funci\'{o} de $a,b$ i $c$:%
  2753. \begin{equation*}
  2754. \left(
  2755. \begin{array}{ccc}
  2756. 5 & 5 & 5 \\
  2757. a & b & c \\
  2758. b+c & a+c & a+b%
  2759. \end{array}%
  2760. \right)
  2761. \end{equation*}
  2762. \end{exercise}
  2763. \chapter{Sistemes d'equacions lineals}
  2764. \section{Definicions}
  2765. \begin{definition}[sistema d'equacions lineal] Un \term{sistema d'equacions lineals de $m$ equacions i $n$ incògnites}\index{sistema d'equacions lineal} és un conjunt d'equacions que tenen l'aspecte general següent:
  2766. \begin{equation*}
  2767. \left.
  2768. \begin{array}{ccc}
  2769. a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\
  2770. a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\
  2771. \vdots & & \vdots \\
  2772. a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{mn}x_{n} & = & b_{m}%
  2773. \end{array}%
  2774. \right\},
  2775. \end{equation*}%
  2776. de manera que s'han de verificar conjuntament.
  2777. Anomenarem:
  2778. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2779. \item A $x_1$, \ldots, $x_n$ les \term{incògnites} del sistema\index{incògnites d'un sistema}
  2780. \item A $a_{ij}$, on $i=1,\ldots, m$ i $j=1,\ldots, n$, els \term{coeficients} del sistema\index{coeficients d'un sistema}
  2781. \item A $b_1$, \ldots, $b_m$ els \term{termes independents} del sistema\index{termes independents d'un sistema}
  2782. \end{enumerate}
  2783. Una \term{solució} del sistema\index{solució d'un sistema} és un conjunt de valors $c_1$, \ldots, $c_n$ de manera que verifiquen simultàniament cada equació, és a dir,
  2784. \begin{equation*}
  2785. \left.
  2786. \begin{array}{ccc}
  2787. a_{11}\cdot c_{1} + a_{12}\cdot c_{2} + \ldots + a_{1n}\cdot c_{n}
  2788. & = & b_{1} \\
  2789. a_{21}\cdot c_{1} + a_{22}\cdot c_{2} + \ldots + a_{2n}\cdot c_{n}
  2790. & = & b_{2} \\
  2791. \vdots & & \vdots \\
  2792. a_{m1}\cdot c_{1} + a_{m2}\cdot c_{2} + \ldots + a_{mn}\cdot c_{n}
  2793. & = & b_{m}%
  2794. \end{array}%
  2795. \right\}.
  2796. \end{equation*}%
  2797. Aquests valors es poden escriure en forma de $n$-tupla ordenada $(c_1, \ldots, c_n)$.
  2798. \term{Resoldre}\index{resoldre un sistema} el sistema és trobar totes les $n$-tuples que són solució d'aquest.
  2799. \end{definition}
  2800. \section{Tipus de sistemes}
  2801. \begin{definition}[tipus de sistemes lineals] Atenent al nombre de solucions, un sistema pot esser de diversos tipus:
  2802. \begin{itemize}
  2803. \item Si un sistema no té solució, s'anomena \term{incompatible}\index{sistema!incompatible}
  2804. \item Si té solució, s'anomena \term{compatible}\index{sistema!compatible}
  2805. \begin{itemize}
  2806. \item Si el sistema té una sola solució, aleshores s'anomena \term{compatible determinat}\index{sistema!compatible!determinat}
  2807. \item Si el sistema té més d'una solució, aleshores s'anomena \term{compatible indeterminat}\index{sistema!compatible!indeterminat}. En els sistemes lineals, un sistema compatible indeterminat té infinites solucions (no en pot tenir un nombre finit distint d'$1$).
  2808. \begin{itemize}
  2809. \item Un sistema compatible indeterminat es diu \term{simplement indeterminat}\index{sistema!simplement indeterminat} si el conjunt de solucions depèn d'un paràmetre
  2810. \item Un sistema compatible indeterminat es diu \term{doblement indeterminat}\index{sistema!doblement indeterminat} si el conjunt de solucions depèn de dos paràmetres\footnote{Per exemple, les solucions del sistema format per l'única equació $2x-3y+4z = 1$ es poden expressar com $y = a$, $z = b$ i $x= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}a -2b$, on $a$ i $b$ són nombres reals qualsevols (paràmetres).}
  2811. \end{itemize}
  2812. \end{itemize}
  2813. \end{itemize}
  2814. \end{definition}
  2815. \begin{definition}[sistema homogeni] Un sistema d'equacions s'anomena \term{homogeni}\index{sistema!homogeni} si tots els seus termes independents són iguals a zero. És a dir, els sistemes d'equacions tenen la pinta següent:
  2816. \begin{equation*}
  2817. \left.
  2818. \begin{array}{ccc}
  2819. a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} & = & 0 \\
  2820. a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} & = & 0 \\
  2821. \vdots & & \vdots \\
  2822. a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{mn}x_{n} & = & 0%
  2823. \end{array}%
  2824. \right\}.
  2825. \end{equation*}%
  2826. \end{definition}
  2827. \begin{example}
  2828. El sistema%
  2829. \begin{equation*}
  2830. \left.
  2831. \begin{array}{rlr}
  2832. 4x-y+6z & = & -9 \\
  2833. -x+3y-2z & = & -1%
  2834. \end{array}%
  2835. \right\}
  2836. \end{equation*}%
  2837. és compatible, ja que el conjunt de tres nombres $x=-2,$ $y=1,$ $z=0$ és solució del sistema, donat que
  2838. \begin{equation*}
  2839. \left.
  2840. \begin{array}{rlr}
  2841. 4\cdot \left( -2\right) -1+6\cdot 0 & = & -9 \\
  2842. -\left( -2\right) +3\cdot \left( -1\right) -2\cdot 0 & = & -1%
  2843. \end{array}%
  2844. \right\}
  2845. \end{equation*}%
  2846. En canvi, el conjunt $x=3,$ $y=27,$ $z=1$ no es solució, ja que alguna de les equacions no es verifica (la segona en aquest cas):%
  2847. \begin{equation*}
  2848. \left.
  2849. \begin{array}{rlr}
  2850. 4\cdot 3-27+6\cdot 1 & = & -9 \\
  2851. -3+3\cdot 27-2\cdot 1 & \neq & -1%
  2852. \end{array}%
  2853. \right\}.
  2854. \end{equation*}
  2855. \end{example}
  2856. \begin{example}
  2857. El sistema%
  2858. \begin{equation*}
  2859. \left.
  2860. \begin{array}{lll}
  2861. x+y & = & 3 \\
  2862. x+y & = & 2%
  2863. \end{array}%
  2864. \right\}
  2865. \end{equation*}%
  2866. és incompatible (no tiene solució), ja que no existeixen dos nombres, $x$ i $y$, tals que la seva suma sigui, a la vegada, $3$ i $2$ (o la suma dóna $3$ o dóna $2,$ pero no els dos valors de cop).
  2867. \end{example}
  2868. \section{Sistemes matricials}
  2869. Per resoldre sistemes d'equacions de forma còmoda, és necessari passar de la seva forma algebraica clàssica (com a conjunt d'equacions) a una forma matricial (com a igualtat entre matrius). Això facilitarà enormement esbrinar el nombre de solucions d'un sistema i el seu càlcul.
  2870. Un sistema de $m$ equacions i $n$ incògnites $x_1$, \ldots, $x_n$ adopta la forma general:
  2871. \begin{equation*}
  2872. \left.
  2873. \begin{array}{ccc}
  2874. a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1 \\
  2875. a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2 \\
  2876. \vdots & & \vdots \\
  2877. a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n & = & b_m%
  2878. \end{array}%
  2879. \right\}.
  2880. \end{equation*}%
  2881. Aquest es pot expressar de forma matricial\index{forma matricial d'un sistema} com:
  2882. \begin{equation*}
  2883. \begin{pmatrix}
  2884. a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
  2885. a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
  2886. \hdotsfor{4}\\
  2887. a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
  2888. \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
  2889. x_1\\
  2890. x_2\\
  2891. \vdots\\
  2892. x_n
  2893. \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  2894. b_1\\
  2895. b_2\\
  2896. \vdots\\
  2897. b_m
  2898. \end{pmatrix},
  2899. \end{equation*}
  2900. o bé en la forma més compacte
  2901. \begin{equation*}
  2902. A \cdot x = b,
  2903. \end{equation*}
  2904. on
  2905. \begin{equation*}
  2906. A = \begin{pmatrix}
  2907. a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
  2908. a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
  2909. \hdotsfor{4}\\
  2910. a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
  2911. \end{pmatrix}; x = \begin{pmatrix}
  2912. x_1\\
  2913. x_2\\
  2914. \vdots\\
  2915. x_n
  2916. \end{pmatrix}; b = \begin{pmatrix}
  2917. b_1\\
  2918. b_2\\
  2919. \vdots\\
  2920. b_m
  2921. \end{pmatrix},
  2922. \end{equation*}
  2923. La matriu $A$ s'anomena \term{matriu de coeficients del sistema}\index{matriu!de coeficients}, la matriu (filera) $b$ s'anomena \term{matriu de termes independents}\index{matriu!de termes independents} i $x$ reb el nom de \term{matriu de variables}\index{matriu!de variables}.
  2924. Anomenarem \term{matriu ampliada (o completa) del sistema}\index{matriu!ampliada} i la representarem com a $M$, a la matriu d'ordre $m \times (n+1)$:
  2925. \begin{equation*}
  2926. M = \begin{pmatrix}
  2927. a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1\\
  2928. a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2\\
  2929. \hdotsfor{4}\\
  2930. a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m
  2931. \end{pmatrix}.
  2932. \end{equation*}
  2933. \begin{example} Per exemple, en el sistema%
  2934. \begin{equation*}
  2935. \left.
  2936. \begin{array}{rcr}
  2937. 2x-y+z & = & 0 \\
  2938. x+3z & = & -2%
  2939. \end{array}%
  2940. \right\}
  2941. \end{equation*}%
  2942. les incògnites són $x,y$ y $z$, y els termes independients són $0$
  2943. i $-2$. La matriu dels coeficients i la matriu ampliada són,
  2944. respectivamente,%
  2945. \begin{equation*}
  2946. A=\left(
  2947. \begin{array}{rrr}
  2948. 2 & -1 & 1 \\
  2949. 1 & 0 & 3%
  2950. \end{array}%
  2951. \right) ,\text{ }M=\left(
  2952. \begin{array}{rrrr}
  2953. 2 & -1 & 1 & 0 \\
  2954. 1 & 0 & 3 & -2%
  2955. \end{array}%
  2956. \right)
  2957. \end{equation*}
  2958. \end{example}
  2959. \begin{example}
  2960. El sistema%
  2961. \begin{equation*}
  2962. \left.
  2963. \begin{array}{rlr}
  2964. 4x-y+6z & = & -9 \\
  2965. -x+3y-2z & = & -1%
  2966. \end{array}%
  2967. \right\}
  2968. \end{equation*}%
  2969. és el mateix que%
  2970. \begin{equation*}
  2971. \left(
  2972. \begin{array}{ccc}
  2973. 4 & -1 & 6 \\
  2974. -1 & 3 & -2%
  2975. \end{array}%
  2976. \right) \cdot \left(
  2977. \begin{array}{c}
  2978. x \\
  2979. y \\
  2980. z%
  2981. \end{array}%
  2982. \right) =\left(
  2983. \begin{array}{c}
  2984. -9 \\
  2985. -1%
  2986. \end{array}%
  2987. \right)
  2988. \end{equation*}
  2989. \end{example}
  2990. \section{Regla de Cràmer}
  2991. La regla de Cràmer permet trobar la solució de sistemes d'equacions lineals en els que es verifiquin, simultàniament, les condicions següents:
  2992. \begin{itemize}
  2993. \item Hi ha tantes equacions com a incògnites
  2994. \item La matriu de coeficients té determinant no nul
  2995. \end{itemize}
  2996. Amb aquestes condicions, la regla de Cràmer permet trobar la solució del sistema. En aquest cas, podem assegurar que només existeix una única solució (el sistema és compatible determinat), però això ho veurem més endavant (\autoref{seccio:discussio-sistemes}).
  2997. \begin{algorithm}[regla de Cràmer]\index{regla!de Cràmer} Sigui
  2998. \begin{equation*}
  2999. \left.
  3000. \begin{array}{ccc}
  3001. a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1 \\
  3002. a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2 \\
  3003. \vdots & & \vdots \\
  3004. a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n%
  3005. \end{array}%
  3006. \right\}.
  3007. \end{equation*}%
  3008. un sistema d'equacions d'$n$ equacions amb $n$ incògnites tal que el determinant $\lvert A \rvert$ de la seva matriu de coeficients $A$ és no nul.
  3009. Aleshores, el sistema té una sola solució, $(x_1, \ldots, x_n)$, que ve donada per:%
  3010. \begin{equation*}
  3011. x_{1}=\frac{\left\vert
  3012. \begin{array}{cccc}
  3013. b_{1} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
  3014. b_{2} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
  3015. . & . & . & . \\
  3016. b_{n} & a_{n2} & ... & a_{nn}%
  3017. \end{array}%
  3018. \right\vert }{\left\vert A\right\vert },
  3019. \end{equation*}%
  3020. \begin{equation*}
  3021. x_{2}=\frac{\left\vert
  3022. \begin{array}{cccc}
  3023. a_{11} & b_{1} & ... & a_{1n} \\
  3024. a_{21} & b_{2} & ... & a_{2n} \\
  3025. . & . & . & . \\
  3026. a_{n1} & b_{n} & ... & a_{nn}%
  3027. \end{array}%
  3028. \right\vert }{\left\vert A\right\vert },
  3029. \end{equation*}%
  3030. \begin{equation*}
  3031. \vdots
  3032. \end{equation*}%
  3033. \begin{equation*}
  3034. x_{n}=\frac{\left\vert
  3035. \begin{array}{cccc}
  3036. a_{11} & a_{12} & ... & b_{1} \\
  3037. a_{21} & a_{22} & ... & b_{2} \\
  3038. . & . & . & . \\
  3039. a_{n1} & a_{n2} & ... & b_{n}%
  3040. \end{array}%
  3041. \right\vert }{\left\vert A\right\vert }
  3042. \end{equation*}
  3043. \end{algorithm}
  3044. \begin{example}
  3045. Sigui el sistema%
  3046. \begin{equation*}
  3047. \left.
  3048. \begin{array}{rcr}
  3049. 2x-y+z & = & 0 \\
  3050. x+3z & = & -2 \\
  3051. x+y & = & 1%
  3052. \end{array}%
  3053. \right\}
  3054. \end{equation*}%
  3055. Aquest sistema té $3$ equacions i $3$ incògnites i, a més, es compleix que%
  3056. \begin{equation*}
  3057. \left\vert A\right\vert =\left\vert
  3058. \begin{array}{rrr}
  3059. 2 & -1 & 1 \\
  3060. 1 & 0 & 3 \\
  3061. 1 & 1 & 0%
  3062. \end{array}%
  3063. \right\vert =-3+1-6=-8\neq 0
  3064. \end{equation*}%
  3065. Per tant, podem aplicar la regla de Cràmer, amb el que la solució del sistema és:%
  3066. \begin{eqnarray*}
  3067. x &=&\frac{\left\vert
  3068. \begin{array}{rrr}
  3069. 0 & -1 & 1 \\
  3070. -2 & 0 & 3 \\
  3071. 1 & 1 & 0%
  3072. \end{array}%
  3073. \right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8} \\
  3074. && \\
  3075. y &=&\frac{\left\vert
  3076. \begin{array}{rrr}
  3077. 2 & 0 & 1 \\
  3078. 1 & -2 & 3 \\
  3079. 1 & 1 & 0%
  3080. \end{array}%
  3081. \right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{-3}{-8}=\frac{3}{8} \\
  3082. && \\
  3083. z &=&\frac{\left\vert
  3084. \begin{array}{rrr}
  3085. 2 & -1 & 0 \\
  3086. 1 & 0 & -2 \\
  3087. 1 & 1 & 1%
  3088. \end{array}%
  3089. \right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{7}{-8}=\frac{-7}{8}
  3090. \end{eqnarray*}
  3091. Per tant, $(5/8, 3/8, -7/8)$ és la solució del sistema d'equacions.
  3092. \end{example}
  3093. \begin{exercise}
  3094. Resoleu el sistema següent:%
  3095. \begin{equation*}
  3096. \left.
  3097. \begin{array}{rcr}
  3098. -x-2y+5z & = & -3 \\
  3099. 3x+3z & = & 4 \\
  3100. 2x-2y+z & = & 0%
  3101. \end{array}%
  3102. \right\}
  3103. \end{equation*}
  3104. \end{exercise}
  3105. \section{Discussió d'un sistema de equacions}\label{seccio:discussio-sistemes}
  3106. Per suposat, no tots els sistemes d'equacions lineals tenen tantes equacions com incògnites, i fins i tot en aquest cas, no tots compleixen que el determinant de la seva matriu de coeficients sigui no nul. Per tant, la regla de Cràmer no és aplicable en aquests casos. Ara bé, tendrem algorismes per a la resolució dels sistemes d'equacions més generals (\autoref{seccio:resolucio-general-sistemes})
  3107. Ara bé, abans d'ocupar-nos de la resolució general dels sistemes d'equacions lineals, ens interessarem sobre els criteris que han de complir per a què aquests tenguin solució. És a dir, estudiarem en quins casos un sistema d'equacions té solució i, en aquest cas, quantes en té. D'aquesta manera, podem assegurar-nos que, abans de resoldre un sistema d'equacions, aquest té una solució i, per tant, no començarem a resoldre sistemes que no tenguin solució, amb el conseqüent guany de temps.
  3108. \begin{theorem}[teorema de Rouché-Frobenius]\index{teorema!de Rouché-Frobenius}\label{thm-Rouche-Frobenius} Sigui un sistema d'equacions lineals qualsevol amb $n$ incògnites. I siguin $A$ la matriu de coeficients i $M$ la matriu ampliada. Aleshores:%
  3109. \begin{itemize}
  3110. \item $rg A \neq rg M$ $\iff$ El sistema és incompatible (no té solució)
  3111. \item $rg A = rg M$ $\iff$ El sistema és compatible (té solució)
  3112. \begin{itemize}
  3113. \item $rg A = rg M = n$ $\iff$ El sistema és compatible determinat (té una única solució)
  3114. \item $rg A = rg M < n$ $\iff$ El sistema és compatible indeterminat (té infinites solucions)
  3115. \end{itemize}
  3116. \end{itemize}
  3117. \end{theorem}
  3118. D'aquesta manera, per saber si un sistema d'equacions té solució o no, en primer lloc s'han de calcular els valors de $rg A$ i $rg M$ i procedir a classificar el sistema segons la taula anterior.
  3119. \begin{claim} Recordem que el rang d'una matriu és el nombre de línies linealment independents (\autoref{proposicio:fites-rang}). Per tant, clarament, tenim que
  3120. \begin{equation*}
  3121. rg A \leq rg M
  3122. \end{equation*}
  3123. Notem que, en el cas d'un sistema homogeni, aquest desigualtat realment és una igualtat, és a dir, $rg A = rg M$.
  3124. \end{claim}
  3125. \begin{claim}
  3126. La idea que s'amaga darrera del teorema de Rouché-Frobenius (\autoref{thm-Rouche-Frobenius}) és analitzar si una equació és combinació lineal de les altres: si això passa, aleshores la podem suprimir del sistema, ja que aquesta equació no ens aporta cap informació. Per exemple, en el sistema
  3127. \begin{equation*}
  3128. \left.
  3129. \begin{array}{rcr}
  3130. 2x + 3y + 4z & = & 2 \\
  3131. x + 2y + 3z & = & 1 \\
  3132. x + y + z & = & 1
  3133. \end{array}%
  3134. \right\}
  3135. \end{equation*}
  3136. tenim que la tercera equació és combinació lineal de les dues primeres ($L_3 = L_1 - L2$). En el nostre cas, això és el mateix que dir que el rang de la matriu ampliada és menor que 3 (el nombre d'incògnites), per aplicació de \autoref{proposicio:fites-rang}, ja que les fileres de la matriu ampliada són les equacions del sistema d'equació. Si el rang de la matriu ampliada coincideix amb el nombre d'incògnites, vol dir que totes les equacions són linealment independents i, per tant, no n'hi ha cap que sigui deduïble de les altres.
  3137. D'altra banda, la comparació entre els rangs de la matriu ampliada i la matriu de coeficients ens dóna informació sobre la compatibilitat del sistema. Per a què un sistema tengui solució, la independència lineal de les seves equacions ha de ser la mateixa que la independència lineal de les equacions considerades sense termes independents.
  3138. \end{claim}
  3139. \begin{example}
  3140. Sigui el sistema de equacions%
  3141. \begin{equation*}
  3142. \left.
  3143. \begin{array}{rcr}
  3144. 2x-y+z & = & 0 \\
  3145. x+3z & = & -2 \\
  3146. 3x-y+4z & = & -2%
  3147. \end{array}%
  3148. \right\}
  3149. \end{equation*}%
  3150. Per a determinar quin tipus de sistema és, hem de calcular els rangs de les matrius%
  3151. \begin{equation*}
  3152. A=\left(
  3153. \begin{array}{rrr}
  3154. 2 & -1 & 1 \\
  3155. 1 & 0 & 3 \\
  3156. 3 & -1 & 4%
  3157. \end{array}%
  3158. \right) \quad \text{i} \quad M=\left(
  3159. \begin{array}{rrrr}
  3160. 2 & -1 & 1 & 0 \\
  3161. 1 & 0 & 3 & -2 \\
  3162. 3 & -1 & 4 & -2%
  3163. \end{array}%
  3164. \right)
  3165. \end{equation*}%
  3166. \begin{itemize}
  3167. \item Com que
  3168. \begin{equation*}
  3169. \left\vert
  3170. \begin{array}{rrr}
  3171. 2 & -1 & 1 \\
  3172. 1 & 0 & 3 \\
  3173. 3 & -1 & 4%
  3174. \end{array}%
  3175. \right\vert =0
  3176. \end{equation*}%
  3177. aleshores $rg A < 3$. Si cercam un menor d'ordre 2, en trobem un no nul:
  3178. \begin{equation*}
  3179. \left\vert
  3180. \begin{array}{rr}
  3181. 2 & -1 \\
  3182. 1 & 0%
  3183. \end{array}%
  3184. \right\vert =1\neq 0
  3185. \end{equation*}%
  3186. Per tant, $rg A = 2$.
  3187. \item Com que $rg A = 2$ i $rg A \leq rg M$, sabem que $rg M \geq 2$. Hem de veure si $rg M$ pot ser igual a $3$. Per aixo, hem de calcular tots els menors d'ordre 3 de $M$. Ara bé,
  3188. \begin{equation*}
  3189. \left\vert
  3190. \begin{array}{rrr}
  3191. 2 & -1 & 0 \\
  3192. 1 & 0 & -2 \\
  3193. 3 & -1 & -2%
  3194. \end{array}%
  3195. \right\vert =0, \quad \left\vert
  3196. \begin{array}{rrr}
  3197. 2 & 1 & 0 \\
  3198. 1 & 3 & -2 \\
  3199. 3 & 4 & -2%
  3200. \end{array}%
  3201. \right\vert =0, \quad \left\vert
  3202. \begin{array}{rrr}
  3203. -1 & 1 & 0 \\
  3204. 0 & 3 & -2 \\
  3205. -1 & 4 & -2%
  3206. \end{array}%
  3207. \right\vert =0,
  3208. \end{equation*}%
  3209. pel que $rg M = 2$.
  3210. \item Per tant, $rg A = rg M = 2 < 3$. Per la qual cosa, aquest sistema és compatible indeterminat. Per tant, té un nombre infinit d'incògnites.
  3211. \end{itemize}
  3212. \end{example}
  3213. \begin{exercise}
  3214. Clasifiqueu el sistema d'equacions següent:%
  3215. \begin{equation*}
  3216. \left.
  3217. \begin{array}{rcr}
  3218. 2x-3y+z & = & 0 \\
  3219. x-3z & = & 3 \\
  3220. 3x-3y-2z & = & 3%
  3221. \end{array}%
  3222. \right\}
  3223. \end{equation*}
  3224. \end{exercise}
  3225. \subsection{Discussió d'un sistema de equacions en funció d'un paràmetre}
  3226. Quan en un sistema apareix un paràmetre en els termes independents o en els coeficients del sistema, aleshores la classificació d'aquest depèn del valors que té aquest paràmetre.
  3227. \begin{example} Sigui el sistema d'equacions%
  3228. \begin{equation*}
  3229. \left.
  3230. \begin{array}{rcr}
  3231. 2x-3y+5z & = & 0 \\
  3232. x-3z & = & -2 \\
  3233. 3x-\alpha y+2z & = & -2%
  3234. \end{array}%
  3235. \right\}
  3236. \end{equation*}%
  3237. Estudiem els valors dels rangs de les seves matrius de coeficients i ampliada en funció del paràmetre $\alpha$.
  3238. \begin{equation*}
  3239. \left\vert A\right\vert =\left\vert
  3240. \begin{array}{rrr}
  3241. 2 & -3 & 5 \\
  3242. 1 & 0 & -3 \\
  3243. 3 & -\alpha & 2%
  3244. \end{array}%
  3245. \right\vert =33-11\alpha
  3246. \end{equation*}%
  3247. Pel que, $\left\vert A\right\vert $ valdrà zero si, i només si, $33-11\alpha =0$, és a dir, si $\alpha =3$. D'aquí es segueix que hem de diferenciar casos:
  3248. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  3249. \item Si $\alpha \neq 3$, aleshores $\lvert A \rvert \neq 0$. Per tant, $rg A = 3$. I, per tant, com que $rg A \leq rg M \leq 3$, tenim que $rg M = 3$. I tenim tres incògnites, pel que el sistema és compatible determinat (té una única solució per a cada valor concret de $\alpha$).
  3250. \item Si $\alpha = 3$, aleshores les matrius de coeficients i ampliades són:
  3251. \begin{equation*}
  3252. A=\left(
  3253. \begin{array}{rrr}
  3254. 2 & -3 & 5 \\
  3255. 1 & 0 & -3 \\
  3256. 3 & -3 & 2%
  3257. \end{array}%
  3258. \right) ,\quad M=\left(
  3259. \begin{array}{rrrr}
  3260. 2 & -3 & 5 & 0 \\
  3261. 1 & 0 & -3 & -2 \\
  3262. 3 & -3 & 2 & -2%
  3263. \end{array}%
  3264. \right)
  3265. \end{equation*}%
  3266. En aquest cas, sabem que $rg A < 3$ (l'únic menor d'ordre 3, $\lvert A \rvert$, és zero). I com que
  3267. \begin{equation*}
  3268. \left\vert
  3269. \begin{array}{rr}
  3270. 2 & -3 \\
  3271. 1 & 0%
  3272. \end{array}%
  3273. \right\vert =3\neq 0
  3274. \end{equation*}%
  3275. aleshores $rg A = 2$ (hi ha un menor d'ordre dos no nul).
  3276. Queda ara calcular el rang de $M$. Sabem segur que $rg M$ com a mínim és 2. Hem de veure si pot ser tres. Per això, calculem tots els menors d'ordre tres:
  3277. \begin{equation*}
  3278. \left\vert
  3279. \begin{array}{rrr}
  3280. 2 & 5 & 0 \\
  3281. 1 & -3 & -2 \\
  3282. 3 & 2 & -2%
  3283. \end{array}%
  3284. \right\vert =0,\quad \left\vert
  3285. \begin{array}{rrr}
  3286. 2 & -3 & 0 \\
  3287. 1 & 0 & -2 \\
  3288. 3 & -3 & -2%
  3289. \end{array}%
  3290. \right\vert =0, \quad \left\vert
  3291. \begin{array}{rrr}
  3292. -3 & 5 & 0 \\
  3293. 0 & -3 & -2 \\
  3294. -3 & 2 & -2%
  3295. \end{array}%
  3296. \right\vert =0.
  3297. \end{equation*}%
  3298. Per tant, $rg M = 2$.
  3299. \end{enumerate}
  3300. En resum, si $\alpha \neq 3$, el sistema és compatible determinat. I si $\alpha = 3$, el sistema és compatible indeterminat.
  3301. \end{example}
  3302. \begin{exercise}Clasifiqueu el sistema següent en funci\'{o} del paràmetre $\alpha$:%
  3303. \begin{equation*}
  3304. \left.
  3305. \begin{array}{rcr}
  3306. 2x-3y+z & = & 0 \\
  3307. \alpha x-3z & = & 3 \\
  3308. 3x-3y-2z & = & 3%
  3309. \end{array}%
  3310. \right\}
  3311. \end{equation*}
  3312. \end{exercise}
  3313. Notem que l'aplicació del teorema de Rouché-Frobenius (\autoref{thm-Rouche-Frobenius}) no proporciona la solució del sistema, sinó tan sols quantes en té. En l'apartat següent es mostra com trobar aquestes solucions.
  3314. \section{Resolució d'un sistema d'equacions}\label{seccio:resolucio-general-sistemes}
  3315. La resolució d'un sistema d'equacions varia lleugerament segons si aquest és un sistema compatible determinat o un sistema compatible indeterminat. Ara bé, a grans trets, sempre es realitzen els mateixos passos:
  3316. \begin{itemize}
  3317. \item En primer lloc, s'esbrina si el sistema és compatible o incompatible usant el teorema de Rouché-Frobenius (\autoref{thm-Rouche-Frobenius}). En cas de què el sistema sigui incompatible, s'ha acabat (no hi ha solució per tant no es pot calcular).
  3318. \item Quan es té un sistema compatible, es determina si aquest és determinat o indeterminat.
  3319. \item En el primer cas, usant la regla de Cràmer es resol el sistema i es calcula la seva única solució. En l'altra cas, es transforma el sistema en un altre compatible determinat, el qual depèn d'un paràmetre, i es calcula la seva solució, aplicant de nou la regla de Cràmer. En aquest cas, s'obté una solució que depèn d'un paràmetre.
  3320. \end{itemize}
  3321. Vegem els dos tipus de sistemes a continuació.
  3322. \subsection{Sistema compatible determinat}
  3323. \begin{example}Sigui el sistema%
  3324. \begin{equation*}
  3325. \left.
  3326. \begin{array}{rcr}
  3327. x-2y+3z & = & -2 \\
  3328. 4x-3y & = & 0 \\
  3329. y+z & = & -1 \\
  3330. 3x-2z & = & 1%
  3331. \end{array}%
  3332. \right\}
  3333. \end{equation*}%
  3334. Volem resoldre aquest sistema. Per fer-ho, escrivim les matrius de coeficients i ampliada, respectivament:
  3335. \begin{equation*}
  3336. A=\left(
  3337. \begin{array}{rrr}
  3338. 1 & -2 & 3 \\
  3339. 4 & -3 & 0 \\
  3340. 0 & 1 & 1 \\
  3341. 3 & 0 & -2%
  3342. \end{array}%
  3343. \right) , \; M=\left(
  3344. \begin{array}{rrrr}
  3345. 1 & -2 & 3 & -2 \\
  3346. 4 & -3 & 0 & 0 \\
  3347. 0 & 1 & 1 & -1 \\
  3348. 3 & 0 & -2 & 1%
  3349. \end{array}%
  3350. \right)
  3351. \end{equation*}%
  3352. i calculem els seus rangs:
  3353. \begin{itemize}
  3354. \item $A$ té un menor d'ordre $3$ no nul:
  3355. \begin{equation*}
  3356. \left\vert
  3357. \begin{array}{rrr}
  3358. 4 & -3 & 0 \\
  3359. 0 & 1 & 1 \\
  3360. 3 & 0 & -2%
  3361. \end{array}%
  3362. \right\vert =-17\neq 0,
  3363. \end{equation*}%
  3364. Per tant, $rgA=3$ (recordem que $rg A \leq 3$ perquè no hi pot haver menors d'ordre $4$).
  3365. \item $\lvert M \rvert =0$, ja que
  3366. \begin{equation*}
  3367. \left\vert
  3368. \begin{array}{rrrr}
  3369. 1 & -2 & 3 & -2 \\
  3370. 4 & -3 & 0 & 0 \\
  3371. 0 & 1 & 1 & -1 \\
  3372. 3 & 0 & -2 & 1%
  3373. \end{array}%
  3374. \right\vert =0,
  3375. \end{equation*}%
  3376. (que és l'únic menor d'ordre $4$ de $M$). Per tant, $rg M = 3$.
  3377. \item Com que $rgA=rgM=3$, aleshores el sistema és compatible determinat (teorema de Rouché-Frobenius)
  3378. \end{itemize}
  3379. Per tant, per ara sabem que el sistema té una solució i que aquesta és única, però encara no sabem com calcular-la. El pas següent és reduïr el nombre d'equacions del sistema: el nostre sistema té tres incògnites i quatre equacions. Per tant, de qualque manera, {\em sobra} una equació. Per saber quina sobra, trobarem quines equacions són (linealment) independents unes de les altres. Ara bé, hem vist que el menor
  3380. \begin{equation*}
  3381. \Delta = \left\vert
  3382. \begin{array}{rrr}
  3383. 4 & -3 & 0 \\
  3384. 0 & 1 & 1 \\
  3385. 3 & 0 & -2%
  3386. \end{array}%
  3387. \right\vert
  3388. \end{equation*}%
  3389. era diferent de zero. Aquest menor correspon a les fileres 2a, 3a i 4a. Això vol dir que les equacions 2a, 3a i 4a són independents unes de les altres (tres línies són linealment independents si el seu determinant no és zero). O sigui, la primera equació és redundant (és combinació lineal de les altres).
  3390. Aleshores, a partir d'ara les úniques equacions que es tendran en compte seran la segona, la tercera i la quarta. El nostre sistema és ara:
  3391. \begin{equation*}
  3392. \left.
  3393. \begin{array}{rcr}
  3394. 4x-3y & = & 0 \\
  3395. y+z & = & -1 \\
  3396. 3x-2z & = & -1%
  3397. \end{array}%
  3398. \right\}
  3399. \end{equation*}%
  3400. Ara el nostre sistema compleix les condicions de la regla de Cràmer ($\Delta \neq 0$ i hi ha tantes equacions com a incògnites). Aleshores, aplicant aquesta regla es té que la seva solució és:
  3401. \begin{eqnarray*}
  3402. x &=&\frac{\left\vert
  3403. \begin{array}{rrr}
  3404. 0 & -3 & 0 \\
  3405. -1 & 1 & 1 \\
  3406. 1 & 0 & -2%
  3407. \end{array}%
  3408. \right\vert }{-17}=\frac{3}{-17}=\frac{-3}{17} \\
  3409. && \\
  3410. y &=&\frac{\left\vert
  3411. \begin{array}{rrr}
  3412. 4 & 0 & 0 \\
  3413. 0 & -1 & 1 \\
  3414. 3 & 1 & -2%
  3415. \end{array}%
  3416. \right\vert }{-17}=\frac{4}{-17}=\frac{-4}{17} \\
  3417. && \\
  3418. z &=&\frac{\left\vert
  3419. \begin{array}{rrr}
  3420. 4 & -3 & 0 \\
  3421. 0 & 1 & -1 \\
  3422. 3 & 0 & 1%
  3423. \end{array}%
  3424. \right\vert }{-17}=\frac{13}{-17}=\frac{-13}{17}
  3425. \end{eqnarray*}%
  3426. Per tant, l'única solució del sistema és:%
  3427. \begin{equation*}
  3428. x=\frac{-3}{17},\text{ }y=\frac{-4}{17},\text{ }z=\frac{-13}{17}
  3429. \end{equation*}
  3430. \end{example}
  3431. \begin{exercise}Resoleu el sistema següent:%
  3432. \begin{equation*}
  3433. \left.
  3434. \begin{array}{rcr}
  3435. 4x+y & = & -1 \\
  3436. -x+3y & = & 2 \\
  3437. 3x+4y & = & 1%
  3438. \end{array}%
  3439. \right\}
  3440. \end{equation*}
  3441. \end{exercise}
  3442. \subsection{Sistema compatible indeterminat}
  3443. \begin{example}Sigui el sistema%
  3444. \begin{equation*}
  3445. \left.
  3446. \begin{array}{rcr}
  3447. 6x+y-3z & = & 1 \\
  3448. 2x-y+z & = & -1 \\
  3449. 10x-y-z & = & -1%
  3450. \end{array}%
  3451. \right\}
  3452. \end{equation*}%
  3453. La matriu de coeficients i la matriu ampliada són, respectivament%
  3454. \begin{equation*}
  3455. A=\left(
  3456. \begin{array}{rrr}
  3457. 6 & 1 & -3 \\
  3458. 2 & -1 & 1 \\
  3459. 10 & -1 & -1%
  3460. \end{array}%
  3461. \right) ,\; M=\left(
  3462. \begin{array}{rrrr}
  3463. 6 & 1 & -3 & 1 \\
  3464. 2 & -1 & 1 & -1 \\
  3465. 10 & -1 & -1 & -1%
  3466. \end{array}%
  3467. \right)
  3468. \end{equation*}%
  3469. En primer lloc, hem de calcular $rg A$ i $rg M$ per a saber de quin tipus de sistema es tracta:
  3470. \begin{itemize}
  3471. \item En primer lloc, calculem el determinant d'$A$:
  3472. \begin{equation*}
  3473. \lvert A \rvert = \left\vert
  3474. \begin{array}{rrr}
  3475. 6 & 1 & -3 \\
  3476. 2 & -1 & 1 \\
  3477. 10 & -1 & -1%
  3478. \end{array}%
  3479. \right\vert =0
  3480. \end{equation*}%
  3481. Per tant, $rg A < 3$. I com que
  3482. \begin{equation*}
  3483. \left\vert
  3484. \begin{array}{rr}
  3485. 6 & -3 \\
  3486. 2 & 1%
  3487. \end{array}%
  3488. \right\vert = 6+6 = 12 \neq 0,
  3489. \end{equation*}%
  3490. aleshores $rg A = 2$.
  3491. \item Per a calcular $rg M$, mirem si existeixen menors d'ordre tres no nuls. Ja sabem que $\lvert A \rvert = 0$. Per tant, ens queden tres menors d'ordre tres a calcular:
  3492. \begin{equation*}
  3493. \left\vert
  3494. \begin{array}{rrr}
  3495. 6 & 1 & -1 \\
  3496. 2 & -1 & -1 \\
  3497. 10 & -1 & -1%
  3498. \end{array}%
  3499. \right\vert =0, \; \left\vert
  3500. \begin{array}{rrr}
  3501. 6 & -3 & 1 \\
  3502. 2 & 1 & -1 \\
  3503. 10 & -1 & -1%
  3504. \end{array}%
  3505. \right\vert =0, \; \left\vert
  3506. \begin{array}{rrr}
  3507. 1 & -3 & 1 \\
  3508. -1 & 1 & -1 \\
  3509. -1 & -1 & -1%
  3510. \end{array}%
  3511. \right\vert =0
  3512. \end{equation*}%
  3513. Per tant, el $rg M$ no pot ser $3$. I com que $rg A \leq rg M$, tenim que $rg M = 2$.
  3514. \item Amb tot, el sistema és compatible indeterminat, ja que $rg A = rg M = 2 <$ nombre d'incògnites del sistema. Per tant, té infinites solucions.
  3515. \end{itemize}
  3516. El menor que ha decidit el rang d'ambdues matrius ha estat%
  3517. \begin{equation*}
  3518. \Delta = \left\vert
  3519. \begin{array}{rr}
  3520. 6 & -3 \\
  3521. 2 & 1%
  3522. \end{array}%
  3523. \right\vert .
  3524. \end{equation*}%
  3525. Per tant, aquest és el menor que indica quines són les {\em les equacions i incògnites principals} del sistema. Aquest menor correspon a les fileres $1$a i $2$a i a les columnes $1$a i $3$a. Per les que les úniques equacions que es tendran en compte a partir d'ara seran la primer i la segona. D'altra banda, aïllarem a l'esquerra del símbol $=$, les incògnites $x$ i $z$ (que són la primera i la tercera), i es passaran a la dreta de l'igual els termes de la incògnita $y$. Aleshores, el nostre sistema és ara:%
  3526. \begin{equation*}
  3527. \left.
  3528. \begin{array}{rcr}
  3529. 6x-3z & = & 1-y \\
  3530. 2x+z & = & -1+y%
  3531. \end{array}%
  3532. \right\}
  3533. \end{equation*}%
  3534. Les incògnites $x$ i $z$ depenen d'una tercera incògnita, $y$, que pot tenir el valor que es vulgui. És a dir, $y$ és un paràmetre. Per a fer constar aquest fet i no confondre una incògnita amb un paràmetre, es fa el canvi de variable $y = \lambda$, on $\lambda$ és un nombre real qualsevol. Amb tot el sistema queda:
  3535. \begin{equation*}
  3536. \left.
  3537. \begin{array}{rcr}
  3538. 6x-3z & = & 1-\lambda \\
  3539. 2x+z & = & -1+\lambda%
  3540. \end{array}%
  3541. \right\}
  3542. \end{equation*}%
  3543. Ara volem resoldre aquest sistema que té incògnites $x$ i $z$. Aquest sistema compleix les condicions de la regla de Cràmer (té tantes equacions com a incògnites i el determinant de la matriu de coeficients és no nul, ja que aquest és $\Delta$). Aplicant la regla de Cràmer, s'obté que:%
  3544. \begin{eqnarray*}
  3545. x &=&\frac{\left\vert
  3546. \begin{array}{rr}
  3547. 1-\lambda & -3 \\
  3548. -1+\lambda & 1%
  3549. \end{array}%
  3550. \right\vert }{12}=\frac{-2+2\lambda}{12}=\frac{2\left( -1+\lambda\right) }{2\cdot 6}=\frac{-1+\lambda}{6} \\
  3551. z &=&\frac{\left\vert
  3552. \begin{array}{rr}
  3553. 6 & 1-\lambda \\
  3554. 2 & -1+\lambda%
  3555. \end{array}%
  3556. \right\vert }{12}=\frac{-8+8\lambda}{12}=\frac{4\left( -2+2\lambda\right) }{4\cdot 3}=\frac{-2+2\lambda}{3} \\
  3557. \end{eqnarray*}%
  3558. Per tant, les solucions del sistema d'equacions són:
  3559. \begin{equation*}
  3560. x = \frac{-1+\lambda}{6}, \; y = \lambda \; z= \frac{-2 + 2 \lambda}{3},
  3561. \end{equation*}
  3562. on $\lambda \in \mathbb{R}$ és un nombre qualsevol.
  3563. \end{example}
  3564. \begin{exercise}Resoleu el sistema següent:%
  3565. \begin{equation*}
  3566. \left.
  3567. \begin{array}{rcr}
  3568. x-5y+2z & = & -3 \\
  3569. -5x-y & = & 2 \\
  3570. -4x-6y+2z & = & -1%
  3571. \end{array}%
  3572. \right\}
  3573. \end{equation*}
  3574. \end{exercise}
  3575. \subsection{Sistemes d'equacions amb un paràmetre}
  3576. La solució, en cas d'existir, d'un sistema d'equacions lineals en el que apareix un paràmetre dependrà del valors d'aquest paràmetre. Vegem-ne un exemple.
  3577. \begin{example}Sigui el sistema d'equacions%
  3578. \begin{equation*}
  3579. \left.
  3580. \begin{array}{rcr}
  3581. \alpha x+y+z & = & 4 \\
  3582. x+y+z & = & \alpha \\
  3583. x-y+\alpha z & = & 2%
  3584. \end{array}%
  3585. \right\}
  3586. \end{equation*}%
  3587. Aquest sistema depèn del paràmetre $\alpha$. L'existència de solucions i quines siguin aquestes solucions, en cas d'existir, dependrà, doncs, del valor d'$\alpha$.
  3588. La matriu de coeficients i la matriu ampliada són, respectivament:%
  3589. \begin{equation*}
  3590. A=\left(
  3591. \begin{array}{rrr}
  3592. \alpha & 1 & 1 \\
  3593. 1 & 1 & 1 \\
  3594. 1 & -1 & \alpha%
  3595. \end{array}%
  3596. \right) , \; M=\left(
  3597. \begin{array}{rrrr}
  3598. \alpha & 1 & 1 & 4 \\
  3599. 1 & 1 & 1 & \alpha \\
  3600. 1 & -1 & \alpha & 2%
  3601. \end{array}%
  3602. \right)
  3603. \end{equation*}%
  3604. En primer lloc, hem de classificar el sistema. Per tant, hem de calcular $rg A$ y $rg M$. Però, com què ambdues matrius depenen d'$\alpha$, aquests rangs també dependran d'aquest paràmetre. D'aquesta manera, hem d'estudiar els rangs de $A$ i $M$ en funció d'$\alpha$.
  3605. Comencem, per exemple, amb la matriu de coeficients. Prenem el menor més gran possible:
  3606. \begin{equation*}
  3607. \lvert A \rvert = \left\vert
  3608. \begin{array}{rrr}
  3609. \alpha & 1 & 1 \\
  3610. 1 & 1 & 1 \\
  3611. 1 & -1 & \alpha%
  3612. \end{array}%
  3613. \right\vert =\alpha ^{2}-1
  3614. \end{equation*}%
  3615. Aquest menor valdrà zero si, i només si,%
  3616. \begin{equation*}
  3617. \alpha ^{2}-1=0 \iff \alpha ^{2}=1 \iff \alpha =\pm 1
  3618. \end{equation*}%
  3619. Per tant, hem de considerar diverses possibilitats:
  3620. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  3621. \item Si $\alpha \neq \pm 1$, aleshores $\lvert A \rvert \neq 0$. Per tant, existeix un menor d'ordre $3$ no nul. El que implica que, $rg A=3$. I aleshores $rg M = 3$. Per tant, el sistema és compatible determinat. I a més es compleixen les condicions de la regla de Cràmer. Per tant,
  3622. \begin{eqnarray*}
  3623. x &=&\frac{\left\vert
  3624. \begin{array}{rrr}
  3625. 4 & 1 & 1 \\
  3626. \alpha & 1 & 1 \\
  3627. 2 & -1 & \alpha%
  3628. \end{array}%
  3629. \right\vert }{\alpha^2-1}=\frac{-\alpha^2+3\alpha +4}{\alpha^2-1}=%
  3630. \frac{\left( \alpha -4\right) \left( -\alpha -1\right) }{\left( \alpha
  3631. +1\right) \left( \alpha -1\right) }=\frac{4-\alpha }{\alpha -1} \\
  3632. y &=&\frac{\left\vert
  3633. \begin{array}{rrr}
  3634. \alpha & 4 & 1 \\
  3635. 1 & \alpha & 1 \\
  3636. 1 & 2 & \alpha%
  3637. \end{array}%
  3638. \right\vert }{\alpha^2-1}=\frac{\alpha^3-7\alpha +6}{\alpha^2-1}=%
  3639. \frac{\left( \alpha -1\right) \left( \alpha -2\right) \left( \alpha
  3640. +3\right) }{\left( \alpha +1\right) \left( \alpha -1\right) }=\frac{\left(
  3641. \alpha -2\right) \left( \alpha +3\right) }{\alpha +1} \\
  3642. z &=&\frac{\left\vert
  3643. \begin{array}{rrr}
  3644. \alpha & 1 & 4 \\
  3645. 1 & 1 & \alpha \\
  3646. 1 & -1 & 2%
  3647. \end{array}%
  3648. \right\vert }{\alpha^2-1}=\frac{\alpha^2+3\alpha -10}{\alpha^2-1}=%
  3649. \frac{\left( \alpha -2\right) \left( \alpha +5\right) }{\left( \alpha
  3650. +1\right) \left( \alpha -1\right) }
  3651. \end{eqnarray*}%
  3652. Per tant, per a cada possible valor de $\alpha$, tenim una única solució.
  3653. \item Si $\alpha =1$, aleshores les matrius $A$ i $M$ són:%
  3654. \begin{equation*}
  3655. A=\left(
  3656. \begin{array}{rrr}
  3657. 1 & 1 & 1 \\
  3658. 1 & 1 & 1 \\
  3659. 1 & -1 & 1%
  3660. \end{array}%
  3661. \right) \; M=\left(
  3662. \begin{array}{rrrr}
  3663. 1 & 1 & 1 & 4 \\
  3664. 1 & 1 & 1 & 1 \\
  3665. 1 & -1 & 1 & 2%
  3666. \end{array}\right) .
  3667. \end{equation*}%
  3668. Esbrinem el rang de $M$. Per això, calculem tots els seus menors d'ordre $4$, excepte $\lvert A \rvert$ que ja hem calculat. Ara bé, no importa calcular-los tots\footnote{Els altres dos menors donen $0$ i $6$.}, ja que
  3669. \begin{equation*}
  3670. \left\vert
  3671. \begin{array}{rrr}
  3672. 1 & 1 & 4 \\
  3673. 1 & 1 & 1 \\
  3674. 1 & -1 & 2%
  3675. \end{array}%
  3676. \right\vert = -6.
  3677. \end{equation*}%
  3678. Per tant, tenim que $rg M = 3$. Ara bé, $rg A \neq 3$. Per tant, el sistema és incompatible. I per tant, no té solució.
  3679. \item Si $\alpha = -1$, aleshores les matrius de coeficients i ampliada són iguals a:
  3680. \begin{equation*}
  3681. A=\left(
  3682. \begin{array}{rrr}
  3683. -1 & 1 & 1 \\
  3684. 1 & 1 & 1 \\
  3685. 1 & -1 & -1%
  3686. \end{array}%
  3687. \right) \; M=\left(
  3688. \begin{array}{rrrr}
  3689. -1 & 1 & 1 & 4 \\
  3690. 1 & 1 & 1 & -1 \\
  3691. 1 & -1 & -1 & 2%
  3692. \end{array}%
  3693. \right).
  3694. \end{equation*}%
  3695. Sabem que $rg A \neq 3$. D'altra banda, $rg M = 3$, ja que el menor següent és no nul:
  3696. \begin{equation*}
  3697. \left\vert
  3698. \begin{array}{rrr}
  3699. 1 & 1 & 4 \\
  3700. 1 & 1 & 1 \\
  3701. -1 & 1 & 2%
  3702. \end{array}%
  3703. \right\vert =6\neq 0 .
  3704. \end{equation*}%
  3705. Per tant, de nou, el sistema és compatible indeterminat.
  3706. \end{enumerate}
  3707. \end{example}
  3708. \section{Exercicis proposats}
  3709. \begin{exercise}Apliqueu la regla de Cràmer per resoldre els sistemes següents:%
  3710. \begin{multicols}{2}
  3711. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  3712. \item $\left\{
  3713. \begin{array}{r}
  3714. x+y-z=1 \\
  3715. x-y+z=1 \\
  3716. -x+y+z=1%
  3717. \end{array}%
  3718. \right.$
  3719. \item $\left\{
  3720. \begin{array}{r}
  3721. 3x-y=2 \\
  3722. 2x+y+z=0 \\
  3723. 3y+2z=-1%
  3724. \end{array}%
  3725. \right.$
  3726. \item $\left\{
  3727. \begin{array}{ll}
  3728. x +y + 2z & =2 \\
  3729. x -z & =0 \\
  3730. y -z & =-1%
  3731. \end{array}%
  3732. \right.$
  3733. \item $\left\{
  3734. \begin{array}{ll}
  3735. 3x -2y & =4 \\
  3736. y -z & =4 \\
  3737. 2x +2z & =4%
  3738. \end{array}%
  3739. \right.$
  3740. \item $\left\{
  3741. \begin{array}{ll}
  3742. 2x +3y + 4z & =0 \\
  3743. -5x -4y -3z & =0 \\
  3744. x+ y +2z & =0%
  3745. \end{array}%
  3746. \right.$
  3747. \item $\left\{
  3748. \begin{array}{ll}
  3749. x +2y + 3z & =1 \\
  3750. 2x -y +z & =1 \\
  3751. x+ y +z & =0%
  3752. \end{array}%
  3753. \right.$
  3754. \end{enumerate}
  3755. \end{multicols}
  3756. \end{exercise}
  3757. \begin{exercise}\label{exer:classificacio-2}Classifiqueu els sistemes d'equacions següents:%
  3758. \begin{multicols}{2}
  3759. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  3760. \item $\left\{
  3761. \begin{array}{r}
  3762. 3x-y=2 \\
  3763. 2x+y+z=0 \\
  3764. 6x-2y=-1%
  3765. \end{array}%
  3766. \right. $
  3767. \item $\left\{
  3768. \begin{array}{r}
  3769. 3x-y=2 \\
  3770. 2x+y+z=0 \\
  3771. 5x+z=2%
  3772. \end{array}%
  3773. \right. $
  3774. \item $\left\{
  3775. \begin{array}{r}
  3776. x+y-z+t=1 \\
  3777. x-y-t=2 \\
  3778. z-t=0%
  3779. \end{array}%
  3780. \right. $
  3781. \item $\left\{
  3782. \begin{array}{r}
  3783. x-y-z+t=4 \\
  3784. x+y+z-t=2%
  3785. \end{array}%
  3786. \right. $
  3787. \item $\left\{
  3788. \begin{array}{r}
  3789. 3x-y=0 \\
  3790. 2x+y+z=0 \\
  3791. 3x-2y-z=0%
  3792. \end{array}%
  3793. \right. $
  3794. \end{enumerate}
  3795. \end{multicols}
  3796. \end{exercise}
  3797. \begin{exercise}Discutiu els sistemes següents segons els valors del paràmetre $m$:%
  3798. \begin{multicols}{2}
  3799. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  3800. \item $\left\{
  3801. \begin{array}{r}
  3802. mx+y+z=4 \\
  3803. x+y+z=m \\
  3804. x-y+mz=2%
  3805. \end{array}%
  3806. \right.$
  3807. \item $\left\{
  3808. \begin{array}{r}
  3809. x+2y+3z=0 \\
  3810. x+my+z=0 \\
  3811. 2x+3y+4z=2%
  3812. \end{array}%
  3813. \right.$
  3814. \item $\left\{
  3815. \begin{array}{r}
  3816. x+my+z=4 \\
  3817. x+3y+z=5 \\
  3818. mx+y+z=4%
  3819. \end{array}%
  3820. \right.$
  3821. \item $\left\{
  3822. \begin{array}{r}
  3823. mx+y+z=m \\
  3824. x+y+z=3 \\
  3825. x+y+mz=3%
  3826. \end{array}%
  3827. \right.$
  3828. \end{enumerate}
  3829. \end{multicols}
  3830. \end{exercise}
  3831. \begin{exercise}\label{alicia-espuig-sistemes-0}Resoleu, si es pot, els sistemes següents:
  3832. \begin{multicols}{2}
  3833. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  3834. \item $\left\{
  3835. \begin{array}{r}
  3836. -x+2y +z =3 \\
  3837. 5x-y+4z=3 \\
  3838. -3x+3y-5z=-2%
  3839. \end{array}%
  3840. \right. $
  3841. \item $\left\{
  3842. \begin{array}{r}
  3843. 2x+2y +5z =1 \\
  3844. x-y+3z=-4 \\
  3845. 3x-4y+z=-6%
  3846. \end{array}%
  3847. \right. $
  3848. \item $\left\{
  3849. \begin{array}{r}
  3850. x-3y +8z =2 \\
  3851. x+3y-z=8 \\
  3852. -x+2y+z=-3%
  3853. \end{array}%
  3854. \right. $
  3855. \item $\left\{
  3856. \begin{array}{r}
  3857. x+2y +z =1 \\
  3858. 6x-4y+7z=11 \\
  3859. -x+2y+3z=2%
  3860. \end{array}%
  3861. \right. $
  3862. \item $\left\{
  3863. \begin{array}{r}
  3864. x+y -2z =0 \\
  3865. -x+y-z=0 \\
  3866. -2x+4y-5z=0%
  3867. \end{array}%
  3868. \right. $
  3869. \item $\left\{
  3870. \begin{array}{r}
  3871. x+3y +z =5 \\
  3872. x+5y+7z=1 \\
  3873. -x-y+5z=1%
  3874. \end{array}%
  3875. \right. $
  3876. \end{enumerate}
  3877. \end{multicols}
  3878. \end{exercise}
  3879. \begin{exercise}Resoleu els sistemes compatibles de l'\autoref{exer:classificacio-2}.
  3880. \end{exercise}
  3881. \begin{exercise}Resoleu aquests sistemes compatibles indeterminats:
  3882. \begin{multicols}{2}
  3883. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  3884. \item $\left\{
  3885. \begin{array}{r}
  3886. -x+2y +z =3 \\
  3887. 3x-y+2z=5 \\
  3888. x+3y+4z=11%
  3889. \end{array}%
  3890. \right. $
  3891. \item $\left\{
  3892. \begin{array}{r}
  3893. 2x+2y +6z =12 \\
  3894. x+y+3z=6 \\
  3895. 3x-y+z=0%
  3896. \end{array}%
  3897. \right. $
  3898. \item $\left\{
  3899. \begin{array}{r}
  3900. x-2y +z =6 \\
  3901. 3x-6y+3z=18 \\
  3902. x-2y+z=6%
  3903. \end{array}%
  3904. \right. $
  3905. \item $\left\{
  3906. \begin{array}{r}
  3907. x+2y +z =10 \\
  3908. 2x-y=5 \\
  3909. 5x+z=20%
  3910. \end{array}%
  3911. \right. $
  3912. \end{enumerate}
  3913. \end{multicols}
  3914. \end{exercise}
  3915. \begin{exercise}Discutiu i resoleu els sistemes següents en funció del paràmetre corresponent:%
  3916. \begin{multicols}{2}
  3917. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  3918. \item $\left\{
  3919. \begin{array}{r}
  3920. mx-y-z=m \\
  3921. x-y+mz=m \\
  3922. x+y+z=-1%
  3923. \end{array}%
  3924. \right.$
  3925. \item $\left\{
  3926. \begin{array}{r}
  3927. 3x-2y-3z=2 \\
  3928. 2x+ay-5z=-4 \\
  3929. x+y+2z=2%
  3930. \end{array}%
  3931. \right.$
  3932. \item $\left\{
  3933. \begin{array}{r}
  3934. ax+7y+20z=1 \\
  3935. ax+8y+23z=1 \\
  3936. x-az=1%
  3937. \end{array}%
  3938. \right.$
  3939. \item $\left\{
  3940. \begin{array}{r}
  3941. mx+y=2-2m \\
  3942. x+my=m-1%
  3943. \end{array}%
  3944. \right.$
  3945. \item $\left\{
  3946. \begin{array}{r}
  3947. x+y+z=1 \\
  3948. ax=2 \\
  3949. ay+2z=0%
  3950. \end{array}%
  3951. \right.$
  3952. \end{enumerate}
  3953. \end{multicols}
  3954. \end{exercise}
  3955. \begin{exercise}Hi ha algun valor d'$a$ per al qual el sistema tengui infinites solucions?%
  3956. \begin{equation*}
  3957. \left.
  3958. \begin{array}{rcl}
  3959. \left( a+1\right) x+2y+z & = & a+3 \\
  3960. ax+y & = & a \\
  3961. ax+3y+z & = & a+2%
  3962. \end{array}%
  3963. \right\}
  3964. \end{equation*}
  3965. \end{exercise}
  3966. \subsection{Problemes de sistemes d'equacions}
  3967. \begin{exercise}\label{exer:espuig-sistemes-1}En una fàbrica produeixen cotxes blancs, negres i vermells. Fabriquen 140 cotxes diaris. El nombre de cotxes negres representa $3/5$ del nombre de cotxes blancs, i el nombre de cotxes vermells és $1/4$ del nombre de cotxes negres. Quants cotxes de cada color es fabriquen cada dia?
  3968. % Exercici d'Alícia Espuig
  3969. \end{exercise}
  3970. \begin{exercise}\label{exer:espuig-sistemes-2}Els diners que porten en Pere, en Joan i n'Àngel sumen 200€. N'Àngel porta la mateixa quantitat de diners que en Pere i en Joan junts, i en Pere porta $3/2$ dels diners que porta en Joan. Quants diners porta cadascú?
  3971. % Exercici d'Alícia Espuig
  3972. \end{exercise}
  3973. \begin{exercise}\label{exer:espuig-sistemes-3}La Mariona va tres diumenges seguits a la pastisseria. El primer diumenge compra tres pastissets de moniato, dos de nata i un de xocolata, i es gasta 15,75 €. El segon diumenge compra dos pastissets de moniato, un de nata i un de xocolata, i es gasta 10 €. El tercer dia compra un pastisset de cada tipus i es gasta 7,5 €. Quin és el preu de cada pastisset?
  3974. % Exercici d'Alícia Espuig
  3975. \end{exercise}
  3976. \begin{exercise}\label{exer:espuig-sistemes-4}En una caixa hi ha pomes, peres i plàtans. En total sumen 12 peces de fruita. El triple del nombre de pomes és igual a la suma del nombre de peres i plàtans i el doble del nombre de peres és igual a la suma del nombre de pomes i plàtans. Trobeu el nombre de pomes, peres, i plàtans.
  3977. \end{exercise}