apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/07-probabilitat.tex

\part{Probabilitat}

\chapter{Experiències aleatòries}

En aquest capítol ens ocuparem de les definicions, més o menys formals, que permeten definir el concepte de probabilitat.

\begin{definition}[experiència] Una \term{experiència}\index{experiència} o \term{experiment}\index{experiment} és qualsevol procediment, pràctica o simplement aconteixement en el que les regles de joc, és a dir, com s'ha de realitzar aquest, estan clares des d'un principi i en el que es mesura cert resultat final.

En principi existeixen variables rellevants a l'experiment i altres de negligibles.
\end{definition}

\begin{example}\label{exemple:experiments}Exemples d'experiments serien:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Llançar una moneda i mirar-ne el resultat

En aquest experiment les variables rellevants serien, per exemple, la distribució de pesos de les cares, la forma de la moneda i el mètode de tir.

\item Accelerar un vehicle fins a una velocitat concreta i després frenar bruscament i mirar la distància recorreguda

 En aquest experiment les variables rellevants seiren la velocitat just abans de frenar, el pes del vehicle, la pendent del terreny i la força de fregament.
 
\item Comptar la freqüència absoluta dels colors dels cotxes en un aparcament per a determinar el color més freqüent.

En aquest darrer experiment, les variables rellevants serien, per exemple, el nombre de cotxes de cada tipus de color a l'aparcament.
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{definition}[experiment determinista]Un \term{experiment determinista}\index{experiment!determinista}\index{experiència!determinista} és aquell experiment la repetició del qual produeix idèntics resultats, és a dir, per al mateix valor de les variables rellevants, s'obté el mateix resultat\footnote{Tècnicament, si les condicions inicials són les mateixes, les condicions finals també ho són.}. Per tant, el resultat de l'experiment es pot conèixer abans de dur-lo a terme una vegada estudiat aquest prèviament.
\end{definition}

\begin{definition}[experiment aleatori] Un \term{experiment aleatori}\index{experiment!aleatori}\index{experiència!aleatòria} és aquell experiment que es caracteritza per la imprevisibilitat del seu desenllaç, a pesar de què s'executi sempre amb les mateixes condicions. En general, depèn de l'atzar.
\end{definition}

Els experiments aleatoris tenen les característiques següents:
\begin{itemize}
\item En la realització de cada repetició, el seu resultat pot diferir
\item Si repetim les proves calculant les seves freqüències relatives\footnote{Recordem que la freqüència relativa no és res més que la divisió entre el nombre de vegades que apareix un resultat dividit pel nombre total de proves. És el tant per u d'aparició.} de cadascun dels resultats possibles, llavors aquestes freqüències tendeixen a estabilitzar-se cap a un nombre fix, que és el que anomerarem \term{probabilitat}
\end{itemize}

\begin{example}En l'exemple anterior, \autoref{exemple:experiments}, el llançament de la moneda seria un experiment aleatori, l'experiment de la frenada del vehicle seria un experiment determinista i l'experiment dels colors dels vehicles es consideraria un experiment aleatori.
\end{example}

En aquesta part ens ocuparem dels experiments aleatoris.

\section{Espai mostral i esdeveniments}

\begin{definition}[espai mostral]S'anomena \term{espai mostral}\index{espai mostral} al conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment aleatori. Es sol designar per $E$ o per $\Omega$.
\end{definition}

\begin{example}Si llançam un dau, l'espai mostral és $E=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} $. Si llançam una moneda, l'espai mostral és $E = \{ C, X \}$ (hem obviat que ens pugui sortir cantó).
\end{example}

\begin{example}\label{exemple:bolles}En l'experiment corresponent a extreure una bolla d'una urna amb tres bolles vermelles ($V$), dues de blaves ($B$) i 4 de negres ($N$), l'espai mostral és $E = \{V, B, N\}$.
\end{example}

Hi ha exemples d'espais mostrals més complicats.
\begin{example}\label{exemple:dues-monedes-espai-m}Si llançam dues monedes l'espai mostral és%
\begin{equation*}
E=\left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(X,X\right) \right\}
\end{equation*}

Recordem que la notació $(a,b)$ denota un parell ordenat. Per tant, el resultat $(C,X)$ no és el mateix que el resultat $(X, C)$. En el primer cas, voldria dir que la moneda és cara i el segona moneda ha donat creu. El segon cas és totalment el contrari.

Si no tenguéssim en compte l'ordre, és a dir, si per a nosaltres les monedes fossin indistingibles\footnote{Ho sigui si només {\em comptéssim} el nombre de cares i el nombre de creus.}, llavors l'espai mostral seria
\begin{equation*}
E=\left\{ CC ,CX, XX \right\}
\end{equation*}

De forma intuïtiva està clar que la probabilitat de $CX$ en el segon cas seria major que la probabilitat de $(C, X)$ en el primer, ja que {\em compta doble}. Per tant, hem d'anar molt alerta de si prenem els resultats amb ordre o no.
\end{example}

\begin{example}\label{exemple:dos-daus-em}Si llançéssim dos daus, l'espai mostral seria%
\begin{equation*}
E=\left\{ 
\begin{tabular}{llllll}
$\left( 1,1\right) ,$ & $\left( 1,2\right) ,$ & $\left( 1,3\right) ,$ & $%
\left( 1,4\right) ,$ & $\left( 1,5\right) ,$ & $\left( 1,6\right) ,$ \\ 
$\left( 2,1\right) ,$ & $\left( 2,2\right) ,$ & $\left( 2,3\right) ,$ & $%
\left( 2,4\right) ,$ & $\left( 2,5\right) ,$ & $\left( 2,6\right) ,$ \\ 
$\left( 3,1\right) ,$ & $\left( 3,2\right) ,$ & $\left( 3,3\right) ,$ & $%
\left( 3,4\right) ,$ & $\left( 3,5\right) ,$ & $\left( 3,6\right) ,$ \\ 
$\left( 4,1\right) ,$ & $\left( 4,2\right) ,$ & $\left( 4,3\right) ,$ & $%
\left( 4,4\right) ,$ & $\left( 4,5\right) ,$ & $\left( 4,6\right) ,$ \\ 
$\left( 5,1\right) ,$ & $\left( 5,2\right) ,$ & $\left( 5,3\right) ,$ & $%
\left( 5,4\right) ,$ & $\left( 5,5\right) ,$ & $\left( 5,6\right) ,$ \\ 
$\left( 6,1\right) ,$ & $\left( 6,2\right) ,$ & $\left( 6,3\right) ,$ & $%
\left( 6,4\right) ,$ & $\left( 6,5\right) ,$ & $\left( 6,6\right) $%
\end{tabular}%
\right\}
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}\label{exemple:moneda-dau-em}En l'experiment consistent en llançar una moneda i posteriorment un dau, l'espai mostral és%
\begin{equation*}
E=\left\{ 
\begin{tabular}{llllll}
$\left( C,1\right) ,$ & $\left( C,2\right) ,$ & $\left( C,3\right) ,$ & $%
\left( C,4\right) ,$ & $\left( C,5\right) ,$ & $\left( C,6\right) ,$ \\ 
$\left( X,1\right) ,$ & $\left( X,2\right) ,$ & $\left( X,3\right) ,$ & $%
\left( X,4\right) ,$ & $\left( X,5\right) ,$ & $\left( X,6\right) $%
\end{tabular}%
\right\}
\end{equation*}
\end{example}

Notem que si l'experiment consistís en tirar primer el dau i després la moneda, llavors l'espai mostral seria:

Si no s'especifica l'ordre amb el qual llancem les coses, l'ordre amb el qual escrivim els resultats no té importància, però una vegada decidit s'ha de mantenir al llarg de tot l'exercici.

\begin{exercise}Escriviu l'espai mostral corresponent als experiments següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Un dau de quatre cares
\item Tres monedes
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{definition}[esdeveniment]S'anomena \term{esdeveniment} (o \term{succés})\index{esdeveniment}\index{succés} a qualsevol subconjunt de $E$.
\end{definition}

\begin{example}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item En l'experiment aleatori del llançament d'una moneda, tenim que els seus esdeveniments són: $\{C, X\}$, $\{ C \}$, $\{X\}$ i $\emptyset$. $\emptyset$ denota el \term{conjunt buit}\index{conjunt buit}, el qual no té cap element.
\item Els esdeveniments de l'experiment consistent en llançar un dau serien $\{1\}$, $\{2\}$, \ldots, $\{1,2\}$, \ldots, $\{1,2,3\}$, \ldots, $\{3,5,6\}$, \ldots, $\{1,2,3,4,5,6\}$.
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{exercise}\label{exercici:em-1}Escriviu tots els possibles esdeveniments corresponents als experiments següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Llançar un dau de 4 cares
\item Llançar dues monedes (\autoref{exemple:dues-monedes-espai-m})
\item Extreure una bolla d'una urna de l'\autoref{exemple:bolles}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:em-2}
Escriviu quatre esdeveniments corresponents als experiments:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Llançar dos daus (\autoref{exemple:dos-daus-em})
\item Llançar una moneda i un dau (\autoref{exemple:moneda-dau-em})
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{proposition}En un experiment aleatori, si el seu espai mostral $E$ és finit i té $n$ elements, llavors hi ha $2^n$ possibles esdeveniments.
\end{proposition}

\begin{definition}[esdeveniment elemental] Un \term{esdeveniment elemental}\index{esdeveniment!elemental} és qualsevol esdeveniment que té un sol element. En cas contrari, quan l'esdeveniment tengui més d'un element, es diu \term{esdeveniment compost}\index{esdeveniment!compost}.
\end{definition}

\begin{example}Referint-nos al llançament d'un dau de sis cares, els seus esdeveniments elementals són $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{4\}$, $\{5\}$, $\{6\}$. Esdeveniments compostos són, per exemple $\{2, 3, 6\}$ i $\{1, 5\}$ o el mateix $E$.

En el llançament d'una moneda, els seus esdeveniments elementals són $\{C\}$ i $\{X\}$ i els seus esdeveniments compostos són $\{C, X\}$.
\end{example}

\begin{definition}[esdeveniment impossible]S'anomena \term{esdeveniment impossible}\index{esdeveniment!impossible} a aquell esdeveniment que mai pot ocórrer. És el conjunt buit, $\emptyset$.
\end{definition}

\begin{definition}[esdeveniment segur]S'anomena \term{esdeveniment segur}\index{esdeveniment!segur} al que sempre es verifica. Correspon a l'espai mostral, $E$.
\end{definition}

\begin{example}En el llan\c{c}ament de dues monedes l'esdeveniment segur és%
\begin{equation*}
\left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(
X,X\right) \right\}
\end{equation*}%
\end{example}

\begin{exercise}Trobeu els esdeveniments segurs i impossibles dels exercicis \autoref{exercici:em-1} i \autoref{exercici:em-2}.
\end{exercise}

\section{Operacions amb esdeveniments}

\begin{definition}[unió d'esdeveniments]La \term{unió}\index{unió d'esdeveniments} de dos esdeveniments, $A$ i $B$, és aquell esdeveniment, denotat per $A\cup B$, format per cada element que hi ha en $A$ o en $B$.
\end{definition}

Col·loquialment, la unió de dos esdeveniments és aquell esdeveniment que ocorre quan ocorre, al menys, un dels dos. De la definició és veu que $A\cup B$ és el mateix que $B\cup A$.

Gràficament, aquest concepte es pot representar mitjançant un diagrama de Venn (\autoref{fig:operacions-conjunts-unio}):

\begin{figure}[h!]
    \centering

	\def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
	\def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}

	\colorlet{circle edge}{blue!50}
	\colorlet{circle area}{blue!20}

	\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
	    outline/.style={draw=circle edge, thick}}

	\tikzset{filled2/.style={fill=white, draw=black, thick},
	    outline/.style={draw=black, thick}}
    
    \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
    % Generat amb TikZ
    % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
	\begin{tikzpicture}
	    \draw[filled] \firstcircle node {$A$} \secondcircle node {$B$};
	    \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cup B$};
	    \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
	    \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
	\end{tikzpicture}
        \caption{Unió de dos esdeveniments}
        \label{fig:operacions-conjunts-unio}
    \end{subfigure}

    \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
    % Generat amb TikZ
    % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
	\begin{tikzpicture}
	    \begin{scope}
	        \clip \firstcircle;
	        \fill[filled] \secondcircle;
	    \end{scope}
	    \draw[outline] \firstcircle node {$A$};
	    \draw[outline] \secondcircle node {$B$};
	    \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cap B$};
	    \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
	    \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
	\end{tikzpicture}
        \caption{Intersecció de dos esdeveniments}
        \label{fig:operacions-conjunts-interseccio}
    \end{subfigure}

    \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
    % Generat amb TikZ
    % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
	\begin{tikzpicture}
	   \begin{scope}
	        \clip \secondcircle;
	        \draw[filled, even odd rule] \firstcircle
	                                     \secondcircle node {$B$};
	    \end{scope}
	    \draw[outline] \firstcircle node {$A$}
	                   \secondcircle;
	    \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$B - A$};
	    \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
	    \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
	\end{tikzpicture}
        \caption{Diferència de dos esdeveniments}
        \label{fig:operacions-conjunts-resta}
    \end{subfigure}

    \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
    % Generat amb TikZ
    % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
	\begin{tikzpicture}

	    \draw[fill=blue!20] (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
	    \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
	    \draw[filled2] \firstcircle node {$A$};
	    \node[anchor=south] at (0,1.5) {$A^c$};
	\end{tikzpicture}
        \caption{Complementari d'un esdeveniment}
        \label{fig:operacions-conjunts-complementari}
    \end{subfigure}


    \caption{Operacions entre esdeveniments}
    \label{fig:operacions-conjunts}
\end{figure}


\begin{definition}[intersecció d'esdeveniments]La \term{intersecció}\index{intersecció d'esdeveniments} de dos esdeveniments, $A$ i $B$, és aquell esdeveniment, denotat per $A\cap B$, format per aquells elements que estan simultàniament a $A$ i a $B$. Dos esdeveniments són \term{incompatibles}\index{esdeveniments!incompatibles} si la seva intersecció és el conjunt buit. En cas contrari, es diu que són \term{compatibles}\index{esdeveniments!compatibles}.
\end{definition}

De manera informal, l'esdeveniment intersecció de dos esdeveniment és aquell que ocorre quan ocorren ambdós. De la definició es veu que $A\cap B$ és el mateix que $B\cap A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-interseccio}).

\begin{definition}[esdeveniment contrari]Donat un esdeveniment $A$, el seu \term{esdeveniment contrari} o \term{complementari}\index{esdeveniment!contrari}\index{esdeveniment!complementari}, que es denota per $A^c$ o $\overline{A}$, és l'esdeveniment format per tots els elements de l'espai mostral que no són de $A$. És a dir, l'esdeveniment contrari de $A$ es verifica quan no ocorre $A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-complementari}.
\end{definition}

\begin{definition}[diferència d'esdeveniments]Donats dos esdeveniments, $A$ i $B$, la \term{diferència} entre $A$ i $B$, que es denota per $A \setminus B$ (o $A - B$), és l'esdeveniment format pels elements de $A$ que no estan en $B$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-resta}).
\end{definition}

\begin{example}En l'experiment de llançar un dau i mirar el resultat, tenim que $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si agafam $A =$ que surti parell i $B =$ que surti un nombre menor que 5, tenim que:
\begin{itemize}
\item $A \cup B$ = que surti parell o menor que 5 = $\{2,4,6\} \cup \{1,2,3,4\}$ = $\{1,2,3,4,6\}$. Per tant, $A \cup B = \{1,2,3,4,6\}$.
\item $A \cap B$ = que surti parell i menor que 5 = $\{2,4,6\} \cap \{1,2,3,4\}$ = $\{2,4\}$. Per tant, $A \cap B = \{2, 4\}$.
\item $A \setminus B$ = $\{6\}$
\item $B \setminus A$ = $\{1,2\}$
\item $A^c$ = el contrari de què surti parell = $\{1,3,5\}$
\item $B^c$ = el contrari de què surti un nombre menor que 5 = $\{6\}$
\end{itemize}
\end{example}

\subsection{Propietats de les operacions}

Les operacions sobre el conjunt d'esdeveniments anteriorment descrites satisfan certes propietats. Si $A$, $B$ i $C$ són esdeveniments qualssevol i $E$ denota l'espai mostral, aleshores:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $A \cup E =E$; $A \cup \emptyset = A$; $A \cup A^c = E$
\item $A \cap E =A$; $A \cap \emptyset = \emptyset$; $A \cap A^c = \emptyset$
\item $A \setminus B = A \cap B^c$
\item $(A \setminus B) \cup (A \cap B) \cup (B \setminus A) = A \cup B$
\item Idempotència: $\left(A^c\right)^c = A$
\item Commutatives:
\begin{enumerate}
\item $A \cup B = B \cup A$
\item $A \cap B = B \cap A$
\end{enumerate}
\item Associatives:
\begin{enumerate}
\item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
\item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
\end{enumerate}
\item Distributives:
\begin{enumerate}
\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
\end{enumerate}

En particular:
\begin{itemize}
\item $A\cup \left( A\cap B\right) =A$
\item $A\cap \left( A\cup B\right) =A$
\end{itemize}

\item \term{Lleis de De Morgan}\index{lleis!de De Morgan}
\begin{enumerate}
\item $\left( A\cup B\right) ^{c}=A^{c}\cap B^{c}$
\item $\left( A\cap B\right) ^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Les més importants són les propietats distributives i les lleis de de Morgan.

\begin{exercise}Es disposa d'una urna amb bolles numerades de l'1 al 16, de la qual s'extreu una bolla. Considerem els esdeveniments següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $A$ = treure un 7
\item $B$ = treure un nombre menor que 7
\item $C$ = treure un nombre parell
\item $D$ = treure un múltiple de 3
\end{enumerate}
Calculeu \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\Omega$, \item $A \cap B$, \item $A \cup B$, \item $B \cap C$, \item $C \cap D$, \item $C \cup D$, \item $B^c$, \item $A\setminus B$, $B \setminus A$ \end{enumerate*}. Existeixen esdeveniments incompatible entre si?
\end{exercise}

\begin{exercise} Es llança una ruleta de 10 costats, numerats de la següent manera: 2, 4, 6, 8, \ldots, 20, i s'observa el resultat obtingut.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Trobeu l'espai mostral.
\item Escriviu com a conjunts els esdeveniments següents:
\begin{enumerate}
\item $A$ = ``obtenir un nombre parell''
\item $B$ = ``obtenir un nombre senar''
\item $C$ = ``obtenir un múltiple de 3''
\item $D$ = ``obtenir un múltiple de 5''
\item $E$ = ``obtenir un nombre major que 4''
\item $F$ = ``obtenir un nombre menor que 6''
\item $G$ = ``obtenir un múltiple de 3 i 4''
\end{enumerate}
\item Calculeu els seus esdeveniments contraris.
\item Trobeu la unió, la intersecció i la diferència d'$A$ amb cadascun dels altres esdeveniments.
\item Assenyaleu un parell d'esdeveniments incompatibles entre si. Justifiqueu la resposta.

\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}Aplicant les propietats anteriors, demostreu que:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $A \cap (A \cap B) = A \cap B$
\item $A \cup (B \setminus A) = A \cup B$
\item $(A \setminus B) \cap B = \emptyset$
\item $(A^c \cap B) \cup A = A \cup B$
\item $(A \cup B^c) \cap B = A \cap B$
\item $\left( \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) \right)^c = A \cap B$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{example}D'entre els habitants d'un poble es tria una persona a l'atzar. Considerem els esdeveniments següents: $A$ = ser soci del casino, $B$ = ser soci del club de futbol local i $C$ ser soci d'alguna associació juvenil. Expresseu en funció de $A$, $B$ i $C$ les situacions següents:
\end{example}

\begin{exercise}Siguin els esdeveniments següents: $A$ = ``plou avui'', $B$ = ``plou demà'' i $C$ = ``plou passat-demà''. Expresseu mitjançant operacions entre esdeveniments:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Plou un dels tres dies, almenys
\item Plou avui però no demà ni passat-demà
\item No plou cap dels tres dies
\item Plou com a màxim dos d'aquests tres dies
\item Plou avui però no demà
\end{enumerate}
Expliqueu el significat de
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $( A \cap B) - C$
\item $(A \cup B) - C$
\item $ A \cup B \cup \overline{C}$
\item $\left( A \cap B \right) \cup \left( C \cap A \right)$
\item $\overline{A \cup B}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}Considerem els esdeveniments ``ser oient de RNE'', ``set oient de la SER'', ``ser oient de M80''. Expreseu, mitjançant operacions amb esdeveniments, els esdeveniments següents: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item ``ser oient de només dues emissores'', \item ``ser oient de RNE però no de la SER ni de M80'', \item ``ser oient de, almenys, una emissora'', \item `escoltar alguna emissora però no les tres'', \item ``no escoltar més d'una emissora'' \end{enumerate*}
\end{exercise}

\section{Definici\'{o} de probabilitat}

\begin{definition}
La \textbf{probabilitat} \'{e}s una aplicaci\'{o} que associa a cada succ%
\'{e}s $A$ un n\'{u}mero, $P(A)$, anomenat la probabilitat de $A$, que satisf%
\`{a} el seg\"{u}ent:

\begin{description}
\item[(I)] $P(A)\geq 0$ per a qualsevol succ\'{e}s $A$. \'{E}s a dir, la
probabilitat d'un succ\'{e}s qualsevol no pot ser negativa.

\item[(II)] $P(E)=1$. La probabilitat del succ\'{e}s segur \'{e}s $1$.

\item[(III)] Si $A$ i $B$ s\'{o}n successos incompatibles, la probabilitat
de la seva uni\'{o} verifica el seg\"{u}ent:

\begin{equation*}
P(A\cup B)=P(A)+P(B)
\end{equation*}
\end{description}
\end{definition}

Aquesta definici\'{o} t\'{e} una s\`{e}rie de conseq\"{u}\`{e}ncies:

\begin{description}
\item[(a)] La probabilitat del succ\'{e}s contrari a un succ\'{e}s $A$
qualsevol \'{e}s igual a $1$ menys la probabilitat de $A$:

\begin{equation*}
P(A^{c})=1-P(A)
\end{equation*}

\item[(b)] Si $A$ i $B$ s\'{o}n successos compatibles, aleshores es verifica
el seg\"{u}ent:

\begin{equation*}
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
\end{equation*}

\item[(c)] \textbf{(\textit{Regla de Laplace}) }\textit{Si l'espai mostral
est\`{a} format per }$n$\textit{\ succesos elementals i tots ells tenen la
mateixa probabilitat d'oc\'{o}rrer, i }$A$\textit{\ \'{e}s un succ\'{e}s
format per }$k$\textit{\ succesos elementals, aleshores es t\'{e} que} 
\begin{equation*}
P\left( \text{succ\'{e}s }A\right) =\frac{\text{{\small n\'{u}mero de casos
favorables al succ\'{e}s} }A}{\text{{\small n\'{u}mero de casos posssibles
de l'experiment aleatori}}},
\end{equation*}%
\'{e}s a dir,%
\begin{equation*}
P\left( A\right) =\frac{k}{n}
\end{equation*}%
Expressant aquesta idea de manera col\textperiodcentered loquial, podriem
dir que la probabilitat de qu\`{e} ocorri el succ\'{e}s $A$ respon a la seg%
\"{u}ent idea: si feim l'experiment aleatori un n\'{u}mero $N$ de vegades,
en quantes d'elles haur\`{a} succeit $A$?
\end{description}

A continuaci\'{o} aplicam la llei de Laplace en els seg\"{u}ents exemples.

\begin{example}
\textit{Una urna cont\'{e} }$5$\textit{\ bolles blanques i }$7$\textit{\ de
negres. Se'n treu una a l'atzar. Quina \'{e}s la probabilitat de qu\`{e}
aquesta sigui negra?}

Si aplicam la llei de Laplace -ja que tots els succesos elementals de
l'experiment (qualsevol bolla) s\'{o}n equiprobables- tenim que%
\begin{multline*}
P\left( \text{{\small treure una bolla negra}}\right) = \\
\frac{\text{{\small n\'{u}mero de resultats favorables a l'extracci\'{o}
d'una bolla negra}}}{\text{{\small n\'{u}mero de resultats posibles de
l'experiment aleatori}}}= \\
\frac{\text{{\small n\'{u}mero de bolles negres}}}{\text{{\small n\'{u}mero
total de bolles de l'urna}}}=\frac{7}{12}
\end{multline*}
\end{example}

\begin{example}
\textit{D'un joc de cartes espanyoles (}$48$\textit{\ cartes}:\textit{\ }$12$%
\textit{\ d'ors, }$12$\textit{\ de bastos, }$12$\textit{\ d'espases i }$12$%
\textit{\ de copes) en treim una a l'atzar. Quina \'{e}s la probabilitat de
qu\`{e} aquesta sigui una figura (un }$10$\textit{, anomenat sota, un }$11$%
\textit{, anomenat cavall, i un }$12$\textit{, anomenat rei)?}

Com cada succ\'{e}s elemental de l'espai mostral, a saber, cadascuna de les
cartes del joc, \'{e}s equiprobable, podem aplicar la llei de Lapalce:%
\begin{multline*}
P\left( \text{{\small la carta triada sigui una figura}}\right) = \\
\frac{\text{{\small n\'{u}mero de resultats favorables a l'extracci\'{o}
d'una figura}}}{\text{{\small n\'{u}mero de resultats possibles de
l'experiment aleatori}}}= \\
\frac{\text{{\small n\'{u}mero de figures}}}{\text{{\small n\'{u}mero total
de cartes del joc}}}=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}
\end{multline*}
\end{example}

\begin{exercise}
En el llan\c{c}ament d'un dau, calcula la probabilitat de qu\`{e}:

\begin{description}
\item[(a)] surti un cinc,

\item[(b)] surti un n\'{u}mero parell,

\item[(c)] no surti un n\'{u}mero parell,

\item[(d)] surti m\'{u}ltiple de $3$.
\end{description}
\end{exercise}

\begin{exercise}
A una oficina, un $30\%$ del personal s\'{o}n homes. Es tria una persona a
l'atzar. Calcula la probabilitat de qu\`{e} sigui una dona.
\end{exercise}

\section{Probabilitat condicionada}

En molts de casos la probabilitat d'un succ\'{e}s dep\`{e}n del coneixement
que tenim d'ell. El fet de tenir una informaci\'{o} adicional de l'elecci%
\'{o} que s'ha fet fa que les probabilitats canvi\"{\i}n respecte de les que
hav\'{\i}em examinat a l'apartat anterior. Per exemple, si d'una determinada
poblaci\'{o} triam una persona, les probabilitats $P($home$)$ i $P($%
home/presenta calv\'{\i}cie$)$ han de ser for\c{c}osament diferents, ja que
la calv\'{\i}cie afecta quasi exclusivament als homes: la probabilitat de
que h\`{a}gim triat un home no \'{e}s la mateixa que la de qu\`{e} h\`{a}gim
triat un home sabent que la persona triada presenta clav\'{\i}cie.

Aquest fet ens obliga a introduir la definici\'{o} que es presenta a
continuaci\'{o}:

\begin{definition}
Es defineix la \textbf{probabilitat del succ\'{e}s }$A$\textbf{\
condicionada al succ\'{e}s }$B$, denotada per $P\left( A/B\right) $, com:%
\begin{equation*}
P\left( A/B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}
\end{definition}

Aquesta f\'{o}rmula es pot interpretar de la seg\"{u}ent manera: 
\begin{multline*}
P\left( \text{{\small ocorri el succ\'{e}s} }A\text{ {\small sabent que ha
ocorregut el succ\'{e}s} }B\right) = \\
\frac{P\left( \text{{\small succeeixin tant a} }A\text{ {\small com} }%
B\right) }{P\left( \text{{\small succeeixi} }B\right) }
\end{multline*}%
Observem que en aquesta f\'{o}rmula donam per suposat que \textit{tenim la
certesa} de qu\`{e} el succ\'{e}s $B$ ha ocorregut.

\begin{example}
A una bossa tenim:

\begin{itemize}
\item tres bolles verdes, numerades de l'$1$ al $3,$

\item quatre bolles vermelles, numerades del $4$ al $7$,

\item una bolla negra, amb el n\'{u}mero $8$.
\end{itemize}

Aleshores, si l'experiment consisteix en treure una bolla, es t\'{e} el seg%
\"{u}ent:%
\begin{eqnarray*}
P(parell/verda) &=&\frac{P(parell\text{ i }verda)}{P(verda)}=\frac{1/8}{3/8}=%
\frac{1}{3} \\
P(parell/vermella) &=&\frac{P(parell\text{ i }vermella)}{P(vermella)}=\frac{%
2/8}{4/8}=\frac{1}{2} \\
P(parell/negra) &=&\frac{P(parell\text{ i }negra)}{P(negra)}=\frac{1/8}{1/8}%
=1
\end{eqnarray*}
\end{example}

\begin{exercise}
D'un joc de cartes se'n treu una a l'atzar. Calcula la probabilitat de qu%
\`{e}:

\begin{description}
\item[(a)] sigui un rei,

\item[(b)] sigui una figura,

\item[(c)] sigui el rei d'espases,

\item[(d)] sigui un rei sabent que ha sortit una figura,

\item[(e)] sigui una figura sabent que ha sortit un rei,

\item[(f)] sigui el rei d'espases sabent que ha sortit una figura.
\end{description}
\end{exercise}

\begin{definition}
Direm que \textbf{el succ\'{e}s }$A$\textbf{\ \'{e}s independent del succ%
\'{e}s }$B$ si es cumpleix el seg\"{u}ent:%
\begin{equation*}
P\left( A/B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}%
En aquest cas es cumpleix que%
\begin{equation*}
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{example}
A l'exemple anterior, els successos "parell" i "vermella" s\'{o}n
independents, ja que%
\begin{equation*}
P(parell/vermella)=P(parell)=\frac{1}{2}
\end{equation*}
\end{example}

Es pot provar que si dos successos $A$ i $B$ s\'{o}n independents, tamb\'{e}
ho s\'{o}n els successos que resulten de substituir un o els dos pels
successos contraris.

\chapter{M\`{e}todes de resoluci\'{o} de problemes}

\section{Descripci\'{o} de tots els resultats possibles d'un experiment}

\begin{example}
\textit{Llan\c{c}am una moneda dues vegades. Quina \'{e}s la probabilitat
d'obtenir dues cares?}

Escrivim en primer lloc l'espai mostral:%
\begin{equation*}
E=\left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(
X,X\right) \right\} ,
\end{equation*}%
i aplicam ara la llei de Laplace:%
\begin{multline*}
P\left( \text{{\small obtenir dues cares}}\right) = \\
\frac{\text{{\small n\'{u}mero resultats que contenen} }\left( C,C\right) }{%
\text{{\small n\'{u}mero de casos posssibles de l'experiment aleatori}}}=%
\frac{1}{4}
\end{multline*}%
\newline
Aqu\'{\i} hi ha que recalcar que els quatre resultats possibles de
l'experiment aleatori s\'{o}n igualment probables; en cas contrari no podr%
\'{\i}em aplicar l'esmentada llei.
\end{example}

\section{Diagrama d'arbre}

\begin{example}
\textit{Llan\c{c}am dues monedes. Quina \'{e}s la probabilitat d'obtenir
dues cares? I de qu\`{e} a la primera moneda surti cara i a la segona creu?
I d'obtenir una cara i una creu?}

Observem que en aquest experiment aleatori tenim dos processos: el llan\c{c}%
ament d'una moneda i el llan\c{c}ament de l'altra. Podem imaginar que llan%
\c{c}am en primer lloc una moneda i despr\'{e}s l'altra, en lloc d'imaginar
que les llan\c{c}am les dues a la vegada; els resultats s\'{o}n els
mateixos. Aix\'{\i}, crearem una columna pel primer proc\'{e}s i una altra
pel segon, tal com es mostra a continuaci\'{o}:

%TCIMACRO{%
%\FRAME{ftbpF}{5.0228in}{2.3315in}{0pt}{}{}{Figure}{%
%\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 5.0228in;height 2.3315in;depth 0pt;original-width 12.3322in;original-height 5.7034in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'N1CFL801.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}[ptb]\begin{center}
\includegraphics[natheight=5.7034in, natwidth=12.3322in, height=2.3315in, width=5.0228in]{./graphics/N1CFL801__23.pdf}
\end{center}\end{figure}
%EndExpansion
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccc}
& $\underline{{\small 1a\ moneda}}$ &  & \underline{${\small 2a\ moneda}$} & 
$\underline{{\small Probabilitat\ de\ cada\ cam\acute{\imath}}}$ \\ 
&  &  & ${\small C}$ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }C\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }C\right)  \\ 
=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  & $\overset{1/2}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& ${\small C}$ &  &  &  \\ 
$\overset{1/2}{\nearrow }$ &  & $\underset{1/2}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & ${\small X}$ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }C\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }X\right)  \\ 
=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  &  & ${\small C}$ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }X\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }C\right)  \\ 
=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}%
\end{array}%
\right. $ \\ 
$\underset{1/2}{\searrow }$ &  & $\overset{1/2}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& ${\small X}$ &  &  &  \\ 
&  & $\underset{1/2}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & ${\small X}$ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }X\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }X\right)  \\ 
=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Facem una descripci\'{o} d'aquest esquema.
\end{example}

\begin{enumerate}
\item Notem que a les dues primeres columnes apareixen tots els resultats
possibles de cadascuna de les monedes.

\item Observem que a cada columna tots els resultats s\'{o}n mutuament
excloents; \'{e}s a dir, si surt cara no surt creu, i viceversa.

\item A la segona columna apareixen els resultats possibles de la segona
moneda repetits per a cadascun dels resultats de la primera moneda.

\item Abans de la primera columna hem dibuixat una fletxa per a cadascun
dels resultats possibles de la primera moneda amb la probabilitat de que
succeeixi cadascun d'ells. De manera semblant hem dibuixat les fletxes que
hi ha davant dels resultats de la segona columna.

\item La suma de les probabilitats de les fletxes d'un mateix nivell que
surten d'un mateix punt ha de donar sempre $1$.

\item La suma de les probabilitats de tots els camins ha de donar sempre $1$.

\item La probabilitat de cada cam\'{\i} es calcula multiplicant les
probabilitats indicades a les fletxes que pertanyen a aquell cam\'{\i}.

\item Si la probabilitat que ens demanen afecta a m\'{e}s d'un cam\'{\i},
s'han de sumar les probabilitats de cadascun dels camins implicats.
\end{enumerate}

Aquestes observacions, que s'han particularitzat per a aquest exemple, s\'{o}%
n aplicables de manera semblant a qualsevol diagrama d'arbre de
probabilitats, com veurem en els exemples seg\"{u}ents.

Quina interpretaci\'{o} intuitiva podem donar de l'arbre de probabilitats
d'aquest exemple? Si feim l'experiment aleatori que consisteix en llan\c{c}%
ar moltes vegades dues monedes, d'aquestes la meitat d'elles haur\`{a}
sortit cara a la primera moneda, i creu a l'altra meitat. De les vegades en
les quals ha sortit cara a la primera moneda, en la meitat d'elles haur\`{a}
sortit cara a la segona moneda, i creu a l'altra meitat. Finalment, de les
vegades en les quals ha sortit creu a la primera moneda, en la meitat
d'elles haur\`{a} sortit cara a la segona moneda, i creu a l'altra meitat.
Per aix\`{o}, de forma \textit{intuitiva} podem fer l'associaci\'{o} de
conceptes $probabilitat=proporci\acute{o}$.

Amb aquestes indicacions podem respondre les preguntes d'aquest exercici. Aix%
\'{\i}, per calcular la probabilitat d'obtenir dues cares ens fixam en l'%
\'{u}nic cam\'{\i} que t\'{e} dues cares -el primer cam\'{\i} de l'esquema-;
per tant,%
\begin{equation*}
P\left( \text{{\small dues cares}}\right) =P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }C\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }C\right) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}
\end{equation*}%
De la mateixa manera,%
\begin{equation*}
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }C\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }X\right) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}
\end{equation*}%
Per calcular la probabilitat de qu\`{e} surti una cara i una creu hem de
sumar les probabilitats d'aquells camins en qu\`{e} apareixen una cara i un
creu, que s\'{o}n el segon i el tercer:%
\begin{multline*}
P\left( \text{{\small una cara i una creu}}\right) = \\
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }C\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }X\right) +P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }X\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
moneda} }C\right) = \\
=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{%
1}{2}
\end{multline*}

Vegem un altre exemple d'aquest m\`{e}tode.

\begin{example}
\textit{A una casa hi ha tres clauers, }$A$, $B$\textit{\ i }$C$\textit{,
amb }$5$, $7$\ \textit{i} $8$\textit{\ claus respectivament, de les quals
una de cada clauer obri la porta del rebost. Es tria a l'atzar un clauer i,
d'aquest, una clau per intentar obrir el rebost. Quina \'{e}s la
probabilitat de qu\`{e} s'encerti amb la clau? I la de qu\`{e} es tri\"{\i}n
el tercer clauer i una de les claus d'aquest clauer que no obrin?}\label%
{problema dels 3 clauers}

Facem, en primer lloc, el diagrama d'arbre:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccl}
&  &  & obri & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small triar clauer }}A\text{ {\small i encertar clau}}%
\right) = \\ 
\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{15}%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  & $\overset{1/5}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $A$ &  &  &  \\ 
$\overset{1/3}{\nearrow }$ &  & $\underset{4/5}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & no obri & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small triar clauer }}A\text{ {\small i no encertar clau}}%
\right) = \\ 
\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccl}
&  &  & obri & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small triar clauer }}B\text{ {\small i encertar clau}}%
\right) = \\ 
\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{21}%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  & $\overset{1/7}{\nearrow }$ &  &  \\ 
$\overset{1/3}{\longrightarrow }$ & $B$ &  &  &  \\ 
&  & $\underset{6/7}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & no obri & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small triar clauer }}B\text{ {\small i no encertar clau}}%
\right) = \\ 
\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{7}=\frac{6}{21}%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccl}
&  &  & obri & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small triar clauer }}C\text{{\small \ i encertar clau}}%
\right) = \\ 
\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{24}%
\end{array}%
\right. $ \\ 
$\underset{1/3}{\searrow }$ &  & $\overset{1/8}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $C$ &  &  &  \\ 
&  & $\underset{7/8}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & no obri & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small triar clauer }}C\text{ {\small i no encertar clau}}%
\right) = \\ 
\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{8}=\frac{7}{24}%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Aix\'{\i}, amb aquest esquema tenim que:%
\begin{equation*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} s'encerti amb la clau}}=\text{ }
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\text{{\small suma de les probabilitats de tos els camins en els quals
s'encerta amb la clau}}=
\end{equation*}%
\begin{gather*}
P\left( \text{{\small tria clauer }}A\text{ {\small i encerta clau}}\right) +
\\
P\left( \text{{\small tria clauer }}B\text{ {\small i encerta clau}}\right) +
\\
P\left( \text{{\small tria clauer }}C\text{ {\small i encerta clau}}\right) =
\\
\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{24}=\frac{131}{840}
\end{gather*}%
Per altra banda:%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat de que es tri\"{\i}n el tercer clauer i una de
les seves claus que no obri}}= \\
P\left( \text{{\small triar clauer }}C\text{ {\small i no encertar clau}}%
\right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{8}=\frac{7}{24}
\end{multline*}%
Vegem un altre exemple d'aquest m\`{e}tode.
\end{example}

\begin{example}
\textit{Un moix encal\c{c}a un ratol\'{\i}. Aquest pot fugir per tres
carrerons diferents, que designarem per }$A$, $B$\textit{\ i }$C$\textit{.
Les probabilitats de qu\`{e} el ratol\'{\i} entri en els carrerons }$A$, $B$%
\textit{\ i }$C$\textit{\ s\'{o}n, respectivament, de }$0.3$, $0.5$\ \textit{%
i} $0.2$\textit{. Se sap que si el ratol\'{\i} entra en el carrer\'{o} }$A$%
\textit{\ el moix t\'{e} una probabilitat de ca\c{c}ar-lo de }$0.4$\textit{,
que si entra en el carrer\'{o} }$B$\textit{\ la probabilitat de ca\c{c}ar-lo 
\'{e}s de }$0.6$\textit{, i de }$0.1$\textit{\ si entra en el carrer\'{o} }$%
C.$\textit{\ Calcula la probabilitat de qu\`{e} el moix caci el ratol\'{\i}.%
\label{problema de moix il ratoli}}

Com abans, aqu\'{\i} tenim dues fases: la primera \'{e}s l'entrada del ratol%
\'{\i} per un dels tres carrerons, i la segona \'{e}s el fet de qu\`{e} el
moix el ca\c{c}i o no. El diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccl}
&  &  & ca\c{c}a & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }A\text{ {\small i el moix el
caci}}\right) = \\ 
0.3\cdot 0.4=0.12%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  & $\overset{0.4}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $A$ &  &  &  \\ 
$\overset{0.3}{\nearrow }$ &  & $\underset{0.6}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & no ca\c{c}a & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }A\text{ {\small i el moix no el
caci}}\right) = \\ 
0.3\cdot 0.6=0.18%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccl}
&  &  & ca\c{c}a & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }B\text{ {\small i el moix el
caci}}\right) = \\ 
0.5\cdot 0.6=0.3%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  & $\overset{0.6}{\nearrow }$ &  &  \\ 
$\overset{0.5}{\longrightarrow }$ & $B$ &  &  &  \\ 
&  & $\underset{0.4}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & no ca\c{c}a & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }B\text{ {\small i el moix no el
caci}}\right) = \\ 
0.5\cdot 0.4=0.2%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccl}
&  &  & ca\c{c}a & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }C\text{ {\small i el moix el
caci}}\right) = \\ 
0.2\cdot 0.1=0.02%
\end{array}%
\right. $ \\ 
$\underset{0.2}{\searrow }$ &  & $\overset{0.1}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $C$ &  &  &  \\ 
&  & $\underset{0.9}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & no ca\c{c}a & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }C\text{ {\small i el moix no el
caci}}\right) = \\ 
0.2\cdot 0.9=0.18%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Com que aqu\'{\i} hi ha diverses branques d'aquest arbre en les quals el
moix ca\c{c}a el ratol\'{\i}, la probabilitat de qu\`{e} el ca\c{c}i ser\`{a}
la suma de les probabilitats de cadascun d'aquests camins:%
\begin{gather*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} el moix caci el ratol\'{\i}}}= \\
\text{{\small suma de les probabilitats dels camins en els quals el moix ca%
\c{c}a el ratol\'{\i}}}= \\
P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }A\text{ {\small i el moix el
caci}}\right) \\
+P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }B\text{ {\small i el moix el
caci}}\right) \\
+P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }C\text{ {\small i el moix el
caci}}\right) \\
=0.12+0.3+0.02=0.44
\end{gather*}
\end{example}

Mostrem un \'{u}ltim exemple d'aquest m\`{e}tode.

\begin{example}
\textit{D'un joc de cartes espanyoles n'extreim dues. Quina \'{e}s la
probabilitat de qu\`{e} ambdues siguin d'espases}?

El diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccc}
& \underline{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta}} &  & \underline{{\small 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta}} & \underline{{\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\ 
&  &  & $E$ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }E\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }E\right) \\ 
=\frac{12}{48}\cdot \frac{11}{47}=\frac{11}{188}%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  & $\overset{11/47}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $E$ &  &  &  \\ 
$\overset{12/48}{\nearrow }$ &  & $\underset{36/47}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & $\overline{E}$ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }E\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }\overline{E}\right) \\ 
=\frac{12}{48}\cdot \frac{36}{47}=\frac{9}{47}%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  &  &  &  \\ 
&  &  & $E$ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }\overline{E}\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }E\right) \\ 
=\frac{36}{48}\cdot \frac{12}{47}=\frac{9}{47}%
\end{array}%
\right. $ \\ 
$\underset{36/48}{\searrow }$ &  & $\overset{12/47}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $\overline{E}$ &  &  &  \\ 
&  & $\underset{35/47}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & $\overline{E}$ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }\overline{E}\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }\overline{E}\right) \\ 
=\frac{36}{48}\cdot \frac{35}{47}=\frac{105}{188}%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Segons la pregunta de l'enunciat, l'\'{u}nic cam\'{\i} que ens interessa 
\'{e}s el primer:%
\begin{eqnarray*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} ambdues siguin d'espases}} &\mathit{=}&
\\
P\left( \text{{\small 1%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }E\text{ {\small i 2%
%TCIMACRO{\U{aa} }%
%BeginExpansion
${{}^a}$
%EndExpansion
carta} }E\right) &=&\frac{12}{48}\text{$\cdot $}\frac{11}{47}=\frac{11}{188}
\end{eqnarray*}%
Facem una observaci\'{o} d'aquest diagrama d'arbre. Notem que si a l'extracci%
\'{o} de la primera carta s'ha obtengut una espasa, aleshores, de cara a fer
la segona extracci\'{o}, nom\'{e}s queden 11 cartes d'espases. Per aquest
motiu, la probabilitat de qu\`{e} la segona carta sigui espasa si la primera
tamb\'{e} ho ha estat \'{e}s de $11/47$. Un raonament semblant s'aplica a
les altres posibilitats.
\end{example}

\begin{example}
\textit{Retrobem l'exemple dels tres clauers }{\small (veure p\`{a}gina %
\pageref{problema dels 3 clauers})}\textit{, i demanem-nos ara quina \'{e}s
la probabilitat de qu\`{e} haguem triat el clauer }$A$\textit{\ si sabem que
la clau triada obri la porta}.

Observem que hem resaltat la paraula \textit{sabem}, amb el que volem donar
a entendre que tenim la certesa de qu\`{e}, una vegada hem realitzat
l'experiment aleatori complet, la clau triada a l'atzar \'{e}s una de les
que obrin la porta del rebost. Aix\'{\i}, fent \'{u}s de la f\'{o}rmula
anterior tenim que:%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat d'haver triat }}A\text{ {\small si sabem que la
clau triada obri la porta}}= \\
\frac{P\left( \text{{\small aquells camins que tenen el clauer} }A\text{%
{\small \ i la clau que obri la porta}}\right) }{P\left( \text{{\small %
aquells camins que tenen la clau que obri la porta}}\right) }= \\
\\
\frac{1/15}{1/15+1/21+1/24}=\frac{56}{131}
\end{multline*}
\end{example}

\begin{example}
\textit{A l'exemple del moix que encal\c{c}a el ratol\'{\i} }{\small (veure p%
\`{a}gina \pageref{problema de moix il ratoli})}\textit{, quina \'{e}s la
probabilitat de qu\`{e} el ratol\'{\i} hagi entrat en el carrer\'{o} }$A$%
\textit{\ si sabem que finalment el moix l'ha ca\c{c}at}?%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} el ratol\'{\i} hagi entrat per} }A%
\text{ {\small si sabem que el moix l'ha ca\c{c}at}}= \\
\frac{P\left( \text{{\small aquells camins que tenen el carrer\'{o}} }A\text{
{\small i el moix ha ca\c{c}at el ratol\'{\i}}}\right) }{P\left( \text{%
{\small aquells camins en qu\`{e} el moix ha ca\c{c}at el ratol\'{\i}}}%
\right) }= \\
\frac{0.12}{0.12+0.3+0.02}=0.273
\end{multline*}
\end{example}

\newpage

\subsection{Forma general dels diagrames d'arbre}

En vista de la definici\'{o} de probabilitat condicionada, els diagrames
d'arbre, que tenen sempre la mateixa forma (introduint, com es natural,
tantes etapes i successos com siguin necessaris), poden escriure's com es
mostra en aquest apartat.

En el cas de dues etapes, en la primera de les quals els resultats possibles
s\'{o}n, per exemple, $A_{1}$ i $A_{2}$, i $B_{1}$ i $B_{2}$ els resultats
de la segona, l'esquema \'{e}s el seg\"{u}ent:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccc}
&  &  & $B_{1}$ & $P\left( A_{1}\cap B_{1}\right) =P\left( A_{1}\right)
\cdot P\left( B_{1}/A_{1}\right) $ \\ 
&  & $\overset{P\left( B_{1}/A_{1}\right) }{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $A_{1}$ &  &  &  \\ 
$\overset{P\left( A_{1}\right) }{\nearrow }$ &  & $\underset{P\left(
B_{2}/A_{1}\right) }{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & $B_{2}$ & $P\left( A_{1}\cap B_{2}\right) =P\left( A_{1}\right)
\cdot P\left( B_{2}/A_{1}\right) $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccc}
&  &  & $B_{1}$ & $P\left( A_{2}\cap B_{1}\right) =P\left( A_{2}\right)
\cdot P\left( B_{1}/A_{2}\right) $ \\ 
$\underset{P\left( A_{2}\right) }{\searrow }$ &  & $\overset{P\left(
B_{1}/A_{2}\right) }{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $A_{2}$ &  &  &  \\ 
&  & $\underset{P\left( B_{2}/A_{2}\right) }{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & $B_{2}$ & $P\left( A_{2}\cap B_{2}\right) =P\left( A_{2}\right)
\cdot P\left( B_{2}/A_{2}\right) $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\newpage

En el cas de tres estapes un possible diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccccc}
&  &  &  & $\overset{P\left( C_{1}/A_{1}\cap B_{1}\right) }{\nearrow }$ & $%
{\small C}_{1}$ & $\left\{ 
\begin{array}{l}
{\small P}\left( A_{1}\cap B_{1}\cap C_{1}\right) {\small =} \\ 
{\small P}\left( A_{1}\right) \cdot {\small P}\left( B_{1}/A_{1}\right)
\cdot {\small P}\left( C_{1}/A_{1}\cap B_{1}\right)%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  &  & ${\small B}_{1}$ &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\underset{P\left( C_{2}/A_{1}\cap B_{1}\right) }{\searrow }$ & $%
{\small C}_{2}$ & $\left\{ 
\begin{array}{l}
{\small P}\left( A_{1}\cap B_{1}\cap C_{2}\right) {\small =} \\ 
{\small P}\left( A_{1}\right) \cdot {\small P}\left( B_{1}/A_{1}\right)
\cdot {\small P}\left( C_{2}/A_{1}\cap B_{1}\right)%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  & $\overset{P\left( B_{1}/A_{1}\right) }{\nearrow }$ &  &  &  &  \\ 
& ${\small A}_{1}$ &  &  &  &  &  \\ 
$\overset{P\left( A_{1}\right) }{\nearrow }$ &  & $\underset{P\left(
B_{2}/A_{1}\right) }{\searrow }$ &  &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\overset{P\left( C_{1}/A_{1}\cap B_{1}\right) }{\nearrow }$ & $%
C_{1}$ & $\left\{ 
\begin{array}{l}
{\small P}\left( A_{1}\cap B_{2}\cap C_{1}\right) {\small =} \\ 
{\small P}\left( A_{1}\right) \cdot {\small P}\left( B_{2}/A_{1}\right)
\cdot {\small P}\left( C_{1}/A_{1}\cap B_{2}\right)%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  &  & ${\small B}_{2}$ &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\underset{P\left( C_{2}/A_{1}\cap B_{1}\right) }{\searrow }$ & $%
C_{2}$ & $\left\{ 
\begin{array}{l}
{\small P}\left( A_{1}\cap B_{2}\cap C_{2}\right) {\small =} \\ 
{\small P}\left( A_{1}\right) \cdot {\small P}\left( B_{2}/A_{1}\right)
\cdot {\small P}\left( C_{2}/A_{1}\cap B_{2}\right)%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccccc}
&  &  &  & $\overset{P\left( C_{1}/A_{2}\cap B_{1}\right) }{\nearrow }$ & $%
C_{1}$ & $\left\{ 
\begin{array}{l}
{\small P}\left( A_{2}\cap B_{1}\cap C_{1}\right) {\small =} \\ 
{\small P}\left( A_{2}\right) \cdot {\small P}\left( B_{1}/A_{2}\right)
\cdot {\small P}\left( C_{1}/A_{2}\cap B_{1}\right)%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  &  & ${\small B}_{1}$ &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\underset{P\left( C_{2}/A_{2}\cap B_{1}\right) }{\searrow }$ & $%
C_{2}$ & $\left\{ 
\begin{array}{l}
{\small P}\left( A_{2}\cap B_{1}\cap C_{2}\right) {\small =} \\ 
{\small P}\left( A_{2}\right) \cdot {\small P}\left( B_{1}/A_{2}\right)
\cdot {\small P}\left( C_{2}/A_{2}\cap B_{1}\right)%
\end{array}%
\right. $ \\ 
$\underset{P\left( A_{2}\right) }{\searrow }$ &  & $\overset{P\left(
B_{1}/A_{2}\right) }{\nearrow }$ &  &  &  &  \\ 
& ${\small A}_{2}$ &  &  &  &  &  \\ 
&  & $\underset{P\left( B_{2}/A_{2}\right) }{\searrow }$ &  &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\overset{P\left( C_{1}/A_{2}\cap B_{2}\right) }{\nearrow }$ & $%
C_{1}$ & $\left\{ 
\begin{array}{l}
{\small P}\left( A_{2}\cap B_{2}\cap C_{1}\right) {\small =} \\ 
{\small P}\left( A_{2}\right) \cdot {\small P}\left( B_{2}/A_{2}\right)
\cdot {\small P}\left( C_{1}/A_{2}\cap B_{2}\right)%
\end{array}%
\right. $ \\ 
&  &  & ${\small B}_{2}$ &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\underset{P\left( C_{2}/A_{2}\cap B_{2}\right) }{\searrow }$ & $%
C_{2}$ & $\left\{ 
\begin{array}{l}
{\small P}\left( A_{2}\cap B_{2}\cap C_{2}\right) {\small =} \\ 
{\small P}\left( A_{2}\right) \cdot {\small P}\left( B_{2}/A_{2}\right)
\cdot {\small P}\left( C_{2}/A_{2}\cap B_{2}\right)%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\begin{exercise}
\bigskip En cierta florister\'{\i}a recibieron cantidades iguales de rosas y
gladiolos, de color blanco o amarillo. El $60$ $\%$ de los gladiolos son de
color amarillo, mientras que el $70$ $\%$ de las rosas son de color blanco.

\begin{description}
\item[(a)] Si elegimos una rosa, \textquestiondown qu\'{e} probabilidad
tenemos de que sea de color amarillo?

\item[(b)] \textquestiondown Qu\'{e} proporci\'{o}n de flores son de color
blanco?

\item[(c)] Si se compr\'{o} un total de 2000 flores y cogemos dos gladiolos, 
\textquestiondown cu\'{a}l es la probabilidad de que sean de distinto color?
\end{description}
\end{exercise}

\begin{exercise}
En una m\'{a}quina se han fabricado 100 piezas, de las cuales 15 han
presentado alg\'{u}n defecto.

\begin{description}
\item[(a)] Calcular la proporci\'{o}n de piezas que no son defectuosas.

\item[(b)] Calcular la probabilidad de que si examinamos dos piezas, ambas
resulten defectuosas.

\item[(c)] Si probamos dos piezas y la primera es defectuosa, 
\textquestiondown cu\'{a}l es la probabilidad de que la segunda no lo sea?
\end{description}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Un estuche contiene 15 l\'{a}pices de color rojo y 10 de color azul.

\begin{description}
\item[(a)] Si elegimos uno al azar, \textquestiondown cu\'{a}l es la
probabilidad de que sea rojo?

\item[(b)] Si extraemos dos, \textquestiondown cu\'{a}l es la probabilidad
de que ambos sean azules?

\item[(c)] Si elegimos dos, calcular la probabilidad de que el primero sea
azul y el segundo rojo.
\end{description}
\end{exercise}

\section{Taules de conting\`{e}ncia}

Aquest m\`{e}tode sol ser \'{u}til quan avaluam dues caracter\'{\i}stiques.
Vegem-ho amb el seg\"{u}ent exemple.

\begin{example}
\textit{A una determinada poblaci\'{o} el percentage de dones \'{e}s del }$%
53 $ $\%$\textit{. Dels homes, un }$20$ $\%$\textit{\ t\'{e} afici\'{o} per
la lectura, i el }$30$ $\%$\textit{\ de les dones t\'{e} aquest mateixa afici%
\'{o}. Es tria una persona a l'atzar. Quina \'{e}s la probabilitat de qu\`{e}
sigui dona i no tengui afici\'{o} per la lectura}?\label{problema dones i
lectura}

Aqu\'{\i} ens parlen de dues caracter\'{\i}stiques: el sexe de la persona i
el fet de ser aficionat a la lectura o no. En aquest tipus de problemes, en
els quals apareixen percentatges, podem suposar, si volem, que el total de
la poblaci\'{o} en q\"{u}esti\'{o} est\`{a} compost, per exemple, de 100
individus (persones en aquest cas). Amb aix\`{o}, podem construir la seg\"{u}%
ent taula:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{cccc}
\cline{2-3}
& \multicolumn{1}{|c}{\small Homes} & \multicolumn{1}{|c}{\small Dones} & 
\multicolumn{1}{|c}{} \\ \cline{1-3}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{|c}{\small Aficionats a la lectura} & \multicolumn{1}{|c}{$%
0.2\cdot 47$} & \multicolumn{1}{|c}{$0.3\cdot 53$} & \multicolumn{1}{|c}{$%
25.3$} \\ \cline{1-3}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{|c}{\small No aficionats a la lectura} & \multicolumn{1}{|c}{%
$0.8\cdot 47$} & \multicolumn{1}{|c}{$0.7\cdot 53$} & \multicolumn{1}{|c}{$%
74.7$} \\ \cline{1-3}\cline{2-3}
& $47$ & $53$ & $100$%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Observem que apareixen n\'{u}meros decimals referits al n\'{u}mero de
persones. \`{O}bviament, no \'{e}s possible tenir un n\'{u}mero decimal de
persones, per\`{o} aquest fet no influeix a l'hora de calcular les
probabilitats.

De la taula podem concloure que%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} la persona triada} {\small sigui dona
i no tengui afici\'{o}}}= \\
\frac{\text{{\small n\'{u}mero de dones sense afici\'{o} per la lectura}}}{%
\text{{\small n\'{u}mero total de persones}}}=\frac{0.7\text{$\cdot $}53}{100%
}=0.371\equiv 37.1\%
\end{multline*}
\end{example}

\begin{example}
\textit{Amb la taula de conting\`{e}ncia de l'exemple de l'apartat anterior }%
{\small (veure p\`{a}gina \pageref{problema dones i lectura})}\textit{,
quina \'{e}s la probabilitat de qu\`{e} la persona triada sigui una dona si
sabem que t\'{e} afici\'{o} per la lectura}?%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} la persona triada sigui una dona si
sabem que t\'{e} afici\'{o}}}= \\
\frac{\text{{\small n\'{u}mero de dones aficionades a la lectura}}}{\text{%
{\small n\'{u}mero total de persones aficionades a la lectura}}}=\frac{0.3%
\text{$\cdot $}53}{0.3\text{$\cdot $}53+0.2\text{$\cdot $}47}=0.63
\end{multline*}
\end{example}

\begin{exercise}
En una oficina, el $70$ $\%$ de los empleados son extranjeros. De entre los
extranjeros, el $50$ $\%$ son mujeres, mientras que de los no extranjeros s%
\'{o}lo son hombres el $20$ $\%$.

\begin{description}
\item[(a)] \textquestiondown Qu\'{e} porcentaje de empleados no extranjeros
son mujeres?

\item[(b)] Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea
mujer.

\item[(c)] Fernando trabaja en dicha oficina. \textquestiondown Cu\'{a}l es
la probabilidad de que sea extranjero?
\end{description}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Una ciudad ha remodelado su paseo mar\'{\i}timo, y en un peri\'{o}dico ha
aparecido una encuesta realizada a $200$ personas acerca de si el resultado
ha sido satisfactorio o no. De los $200$ encuestados, $120$ viven en la
ciudad. Adem\'{a}s, el porcentaje de los que viven en la ciudad y a quienes
adem\'{a}s les han gustado las obras es del $30$ $\%$, el mismo de aquellos
que no viven en la ciudad y a quienes tambi\'{e}n les han gustado las obras.

\begin{description}
\item[(a)] Si se elige una encuesta de entre las $200$, y \'{e}sta se ha
hecho a un habitante de la ciudad, \textquestiondown cu\'{a}l es la
probabilidad de que le gusten las obras?

\item[(b)] Si se elige una encuesta de entre las $200$, y el individuo
afirma que le gustan las obras, \textquestiondown qu\'{e} probabilidad hay
de que viva en la ciudad?
\end{description}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Se ha realizado una peque\~{n}a encuesta a un grupo de estudiantes de inform%
\'{a}tica. Entre sus conclusiones est\'{a} que un $40$ $\%$ ha recibido ya
alg\'{u}n cursillo de inform\'{a}tica. Adem\'{a}s, el $20$ $\%$ de los que
recibieron con anterioridad alg\'{u}n cursillo de inform\'{a}tica tiene
ordenador en casa. Un $10$ $\%$ de estudiantes tiene ordenador en casa y no
recibi\'{o} con anterioridad un cursillo de inform\'{a}tica.

\begin{description}
\item[(a)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que un
estudiante tenga ordenador en casa y haya recibido un cursillo de inform\'{a}%
tica con anterioridad?

\item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que un
estudiante tenga ordenador en casa?

\item[(c)] Si un estudiante tiene ordenador en casa, \textquestiondown cu%
\'{a}l es la probabilidad de que ya haya recibido un cursillo de inform\'{a}%
tica?
\end{description}
\end{exercise}

\section{Altres m\`{e}todes}

\begin{example}
\textit{A una ciutat el }$55$ $\%$\textit{\ dels habitants consumeix pa
integral, el }$30$ $\%$\textit{\ de multicereals i el }$20$ $\%$\textit{\
d'ambdos tipus. Quina \'{e}s la probabilitat de qu\`{e} una persona
d'aquesta ciutat no consumesqui cap dels dos tipus de pa}?

Suposarem, com a l'exemple anterior, que la poblaci\'{o} total \'{e}s de $%
100 $ persones.

Podem fer el seg\"{u}ent diagrama:

%TCIMACRO{%
%\FRAME{ftbphF}{4.6484in}{2.5927in}{0pt}{}{}{Figure}{%
%\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 4.6484in;height 2.5927in;depth 0pt;original-width 10.1321in;original-height 5.6334in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'N0WAIE00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}[hptb]\begin{center}
\includegraphics[natheight=5.6334in, natwidth=10.1321in, height=2.5927in, width=4.6484in]{./graphics/N0WAIE00__24.pdf}
\end{center}\end{figure}
%EndExpansion

D'aqu\'{\i} es veu que:

n\'{u}mero de persones d'aquesta ciutat que consumeixen nom\'{e}s pa
integral: $35$

n\'{u}mero de persones d'aquesta ciutat que consumeixen nom\'{e}s pa de
multicereals: $10$

n\'{u}mero de persones d'aquesta ciutat que consumeixen tant pa integral com
de multicerals: $20$

n\'{u}mero de persones d'aquesta ciutat que no consumeixen cap dels dos
tipus de pa: $35$

Aleshores:%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} una persona no consumesqui cap dels
dos tipus de pa}}= \\
\frac{\text{{\small n\'{u}mero de persones que cap dels dos tipus de pa}}}{%
\text{{\small n\'{u}mero total de persones}}}=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}
\end{multline*}
\end{example}

\begin{exercise}
En una poblaci\'{o}n se sabe que el $30$ $\%$ escucha los informativos por
la radio, el $60$ $\%$ por la televisi\'{o}n, y el $20$ $\%$ los escucha por
los dos medios de comunicaci\'{o}n. Si se elige una persona al azar,
determina la probabilidad de que:

\begin{description}
\item[(a)] escuche alguno de los medios de comunicaci\'{o}n,

\item[(b)] escuche la radio sabiendo que no ve la televisi\'{o}n,

\item[(c)] escuche s\'{o}lo uno de los dos medios.
\end{description}
\end{exercise}

\section{Aplicaci\'{o} directa de les f\'{o}rmules}

De vegades se'ns plantejaran problemes de probabilitat en els quals no es dir%
\`{a} de manera expl\'{\i}cita quins s\'{o}n els succesos del problema, sin%
\'{o} que se'ns parlar\`{a} d'uns successos gen\`{e}rics. En aquest casos no
quedar\`{a} altra soluci\'{o} que aplicar les f\'{o}rmules que coneixem:

\begin{itemize}
\item probabilitat del complementari:%
\begin{equation*}
P(A^{c})=1-P(A)\text{ }
\end{equation*}

\item probabilitat de la uni\'{o}:%
\begin{equation*}
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
\end{equation*}

\item probabilitat condicionada:%
\begin{equation*}
P\left( A/B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}

\item lleis de Morgan:%
\begin{eqnarray*}
\left( A\cup B\right) ^{c} &=&A^{c}\cap B^{c} \\
\left( A\cap B\right) ^{c} &=&A^{c}\cup B^{c}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

\begin{example}
Donats els successos $A$ i $B$, i les probabilitats $P(A)=0.1,$ $P(B)=0.2$ i 
$P(A\cup B)=0.25$, calcula $P(A^{c})$ i $P(A\cap B)$.

Si aplicam la primera f\'{o}rmula tenim que $P(A^{c})=1-P(A)=1-0.1=0.9$.

Amb la segona f\'{o}rmula es t\'{e} que:%
\begin{equation*}
0.25=0.1+0.2-P(A\cap B),
\end{equation*}%
i d'aqu\'{\i} que%
\begin{equation*}
P(A\cap B)=0.1+0.2-0.25=0.05
\end{equation*}
\end{example}

\begin{exercise}
Determina si s\'{o}n compatibles o incompatibles els successos $A$ i $B$,
sabent que $P(A)=1/4,$ $P(B)=1/2$ i $P(A\cup B)=2/3$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Dels successos $A$ i $B$ se sap que $P(A)=2/5,$ $P(B)=1/3$ i $P(A^{c}\cap
B^{c})=1/3$. Calcula $P(A\cup B)$ i $P(A\cap B)$.
\end{exercise}

\chapter{Altres exercicis}

\begin{example}
\textit{En una ciutat es publiquen tres diaris: }$A$, $B$\textit{\ i }$C$%
\textit{. El }$50$ $\%$\textit{\ de la gent est\`{a} subscrita a }$A$,%
\textit{\ el }$40$ $\%$\textit{\ a }$B$\textit{\ i el }$30$ $\%$\textit{\ a }%
$C$. \textit{El }$20$ $\%$\textit{\ est\`{a} subscrita a }$A$\textit{\ i }$B$%
;\textit{\ el }$10$ $\%$\textit{\ a }$A$\textit{\ i }$C$;\textit{\ el }$20$ $%
\%$\textit{\ a }$B$\textit{\ i }$C$,\textit{\ i el }$5$ $\%$ \textit{a\ }$A$%
, \textit{a} $B$\textit{\ i a }$C$\textit{. Si escollim a l'atzar un
habitant d'aquesta ciutat},\textit{\ calculau la probabilitat de qu\`{e}}:

\begin{description}
\item[(a)] \textit{estigui subscrit almenys a un diari},

\item[(b)] \textit{no estigui subscrit a cap diari},

\item[(c)] \textit{estigui subscrit exactament a un diari.}
\end{description}
\end{example}

Per resoldre el problema introduim la seg\"{u}ent notaci\'{o} :

\begin{description}
\item $NA$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament al
diari $A$,

\item $NB$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament al
diari $B$,

\item $NC$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament al
diari $C$,

\item $AB$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament als
diaris $A$ i $B$,

\item $AC$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament als
diaris $A$ i $C$,

\item $BC$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament als
diaris $B$ i $C$,

\item $ABC$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites als tres diaris.
\end{description}

Com ja hem fet a altres exercicis en els quals intervenen percentatges,
suposarem aqu\'{\i} que el n\'{u}mero total de persones \'{e}s de $100$.

Aix\'{\i}, podem plantejar el seg\"{u}ent sistema d'equacions:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcl}
NA+AB+AC+ABC & = & 50 \\ 
NB+AB+BC+ABC & = & 40 \\ 
NC+AC+BC+ABC & = & 30 \\ 
AB+ABC & = & 20 \\ 
AC+ABC & = & 10 \\ 
BC+ABC & = & 20 \\ 
ABC & = & 5%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}

La soluci\'{o} d'aquest sistema \'{e}s:%
\begin{equation*}
ABC=5,\text{ }BC=15,\text{ }AC=5,\text{ }AB=15,\text{ }NC=5,\text{ }NB=5,%
\text{ }NA=25
\end{equation*}%
O b\'{e} fer el seg\"{u}ent diagrama:

%TCIMACRO{%
%\FRAME{ftbphF}{4.8551in}{2.7432in}{0pt}{}{}{Figure}{%
%\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 4.8551in;height 2.7432in;depth 0pt;original-width 12.3322in;original-height 6.9488in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'N0UHJ200.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}[hptb]\begin{center}
\includegraphics[natheight=6.9488in, natwidth=12.3322in, height=2.7432in, width=4.8551in]{./graphics/N0UHJ200__25.pdf}
\end{center}\end{figure}
%EndExpansion

Amb aix\`{o},%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} estigui subscrit almenys a un diari}}=
\\
\frac{NA+NB+NC+AB+AC+BC+ABC}{100}=\frac{75}{100},
\end{multline*}%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} no estigui subscrit a cap diari}}= \\
\frac{100-\left( NA+NB+NC+AB+AC+BC+ABC\right) }{100}=\frac{25}{100},
\end{multline*}%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat de qu\`{e} estigui subscrit exactament a un diari}%
}= \\
\frac{NA+NB+NC}{100}=\frac{35}{100}
\end{multline*}

\begin{example}
\textit{En un grupo de matrimonios se ha observado que en el }$50$ $\%$%
\textit{\ la mujer tiene estudios universitarios. En un }$30$ $\%$\textit{\
de los matrimonios tanto el hombre como la mujer los tienen. Finalmente},%
\textit{\ en el }$37.5$ $\%$\textit{\ de los matrimonios en los que el
marido tiene estudios universitarios la mujer los tiene.}

\begin{description}
\item[(a)] \textquestiondown \textit{Qu\'{e} probabilidad hay de que en un
matrimonio el marido tenga estudios universitarios}?

\item[(b)] \textquestiondown \textit{En qu\'{e} porcentaje de matrimonios en
los que la mujer tiene estudios universitarios el marido tambi\'{e}n los
tiene}?

\item[(c)] \textquestiondown \textit{En qu\'{e} porcentaje de matrimonios el
marido no tiene estudios universitarios y la mujer s\'{\i}}?
\end{description}
\end{example}

Per resoldre el problema introduim la seg\"{u}ent notaci\'{o}:

\begin{description}
\item $hd$: n\'{u}mero de matrimonis en qu\`{e} tots dos tenen estudis
universitaris,

\item $h\overline{d}$: n\'{u}mero de matrimonis en qu\`{e} l'home t\'{e}
estudis universitaris i la d\'{o}na no,

\item $\overline{h}d$: n\'{u}mero de matrimonis en qu\`{e} l'home no t\'{e}
estudis universitaris i la d\'{o}na s\'{\i} els t\'{e},

\item $\overline{h}\overline{d}$: n\'{u}mero de matrimonis en qu\`{e} cap
dels dos tenen estudis universitaris.
\end{description}

Suposam que el n\'{u}mero total de matrimonis \'{e}s de $100$. Amb aix\`{o}
plantejam el seg\"{u}ent sistema d'equacions:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
hd+\overline{h}d & = & 50 \\ 
hd & = & 30 \\ 
0.375\left( hd+h\overline{d}\right) & = & hd \\ 
hd+h\overline{d}+\overline{h}d+\overline{h}\overline{d} & = & 100%
\end{array}%
\right\} ,
\end{equation*}%
la soluci\'{o} del qual \'{e}s la seg\"{u}ent:%
\begin{equation*}
hd=30,\text{ }\overline{h}d=20,\text{ }h\overline{d}=50,\text{ }\overline{h}%
\overline{d}=0
\end{equation*}%
Amb aix\`{o} ja podem respondre les preguntes plantejades:

\begin{description}
\item[(a)] 
\begin{eqnarray*}
P\left( \text{{\small en un matrimonio el marido tenga estudios
universitarios}}\right) &=& \\
\frac{hd+h\overline{d}}{100} &=&\frac{80}{100}\equiv 80\%
\end{eqnarray*}

\item[(b)] 
\begin{gather*}
\text{{\small porcentaje de matrimonios en los que el marido }} \\
\text{{\small tiene estudios universitarios sabiendo que la mujer tambi\'{e}%
n los tiene}}= \\
\frac{%
\begin{array}{c}
\text{{\small n\'{u}mero de matrimonios en que }} \\ 
\text{{\small el hombre y la mujer tienen estudios universitarios}}%
\end{array}%
}{\text{{\small n\'{u}mero de matrimonios en que la mujer tiene estudios
universitrios}}}= \\
\frac{hd}{hd+\overline{h}d}=\frac{30}{30+20}\equiv 60\%
\end{gather*}

\item[(c)] 
\begin{eqnarray*}
\text{{\small porcentaje de matrimonios en que}} &\text{{\small \ }}& \\
\text{{\small el marido no tiene estudios universitarios y la mujer s\'{\i}}}
&&\text{{\small \ }}= \\
\frac{\overline{h}d}{100} &=&\frac{20}{100}=20\%
\end{eqnarray*}
\end{description}

\begin{example}
\textit{Un estudiant fa dues proves el mateix dia. La probabilitat de qu\`{e}
passi la primera \'{e}s de }$0.6$\textit{, la de qu\`{e} passi la segona 
\'{e}s de }$0.8$\textit{, i la de que passi ambdues \'{e}s de }$0.5$\textit{%
. Es demana:}

\begin{description}
\item[(a)] \textit{Probabilitat de qu\`{e} passi almenys una prova.}

\item[(b)] \textit{Probabilitat de qu\`{e} no passi cap prova.}

\item[(c)] \textit{S\'{o}n les proves successos independents?}

\item[(d)] \textit{Probabilitat de qu\`{e} passi la segona prova en cas de
no haver superat la primera.}
\end{description}
\end{example}

\textbf{Soluci\'{o} 1} \ \ El diagrama d'arbre, amb les dades del problema, 
\'{e}s el seg\"{u}ent:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccc}
& \underline{{\small 1a prova}} &  & \underline{{\small 2a prova}} & 
\underline{{\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\ 
&  &  & $p$ & \multicolumn{1}{l}{$P\left( \text{{\small passi 1a prova i
passi 2a prova}}\right) =0.5$} \\ 
&  & $\overset{x}{\nearrow }$ &  & \multicolumn{1}{l}{} \\ 
& $p$ &  &  & \multicolumn{1}{l}{} \\ 
$\overset{0.6}{\nearrow }$ &  & $\underset{1-x}{\searrow }$ &  & 
\multicolumn{1}{l}{} \\ 
&  &  & $\overline{p}$ & \multicolumn{1}{l}{$P\left( \text{{\small passi 1a
prova i no passi 2a prova}}\right) $} \\ 
&  &  &  & \multicolumn{1}{l}{} \\ 
&  &  & $p$ & \multicolumn{1}{l}{$P\left( \text{{\small no passi 1a prova i
passi 2a prova}}\right) $} \\ 
$\underset{0.4}{\searrow }$ &  & $\overset{y}{\nearrow }$ &  & 
\multicolumn{1}{l}{} \\ 
& $\overline{p}$ &  &  & \multicolumn{1}{l}{} \\ 
&  & $\underset{1-y}{\searrow }$ &  & \multicolumn{1}{l}{} \\ 
&  &  & $\overline{p}$ & \multicolumn{1}{l}{$P\left( \text{{\small no passi
1a prova i no passi 2a prova}}\right) $}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Observem que aqu\'{\i} no donam per suposada la independ\`{e}ncia de les
dues proves. Calculem a continuaci\'{o} els valors de $x$ i de $y$, per tal
de completar l'arbre amb dades num\`{e}riques.

Ara:%
\begin{equation*}
P\left( \text{{\small passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) =0.6x,
\end{equation*}%
i, per tant,%
\begin{equation*}
0.6x=0.5,
\end{equation*}%
del que es dedueix que%
\begin{equation*}
x=\frac{5}{6}\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }1-x=\frac{1}{6}
\end{equation*}%
Per altra banda, els camins en els quals es passa la segona prova s\'{o}n el
primer i el tercer, i de l'enunciat del problema sabem que la probabilitat
de qu\`{e} passi la segona prova \'{e}s de $0.8$. Aix\`{o} s'escriu com:%
\begin{equation*}
P\left( \text{{\small passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) +P\left( 
\text{{\small no passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) =0.8,
\end{equation*}%
o b\'{e}%
\begin{equation*}
0.5+0.4y=0.8,
\end{equation*}%
del que resulta que 
\begin{equation*}
y=0.75
\end{equation*}%
Amb tot aix\`{o} es pot escriure de nou el diagrama d'arbre:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccc}
& \underline{{\small 1a prova}} &  & \underline{{\small 2a prova}} & 
\underline{{\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\ 
&  &  & $p$ & \multicolumn{1}{l}{$\left\{ P\left( \text{{\small passi 1a
prova i passi 2a prova}}\right) =0.5\right. $} \\ 
&  & $\overset{5/6}{\nearrow }$ &  & \multicolumn{1}{l}{} \\ 
& $p$ &  &  & \multicolumn{1}{l}{} \\ 
$\overset{0.6}{\nearrow }$ &  & $\underset{1/6}{\searrow }$ &  & 
\multicolumn{1}{l}{} \\ 
&  &  & $\overline{p}$ & \multicolumn{1}{l}{$\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small passi 1a prova i no passi 2a prova}}\right) = \\ 
0.6\cdot \frac{1}{6}=0.1%
\end{array}%
\right. $} \\ 
&  &  & $p$ & \multicolumn{1}{l}{$\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small no passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) = \\ 
0.4\cdot 0.75=0.3%
\end{array}%
\right. $} \\ 
$\underset{0.4}{\searrow }$ &  & $\overset{0.75}{\nearrow }$ &  & 
\multicolumn{1}{l}{} \\ 
& $\overline{p}$ &  &  & \multicolumn{1}{l}{} \\ 
&  & $\underset{0.25}{\searrow }$ &  & \multicolumn{1}{l}{} \\ 
&  &  & $\overline{p}$ & \multicolumn{1}{l}{$\left\{ 
\begin{array}{c}
P\left( \text{{\small no passi 1a prova i no passi 2a prova}}\right) = \\ 
0.4\cdot 0.25=0.1%
\end{array}%
\right. $}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Ara podem respondre les preguntes:%
\begin{gather*}
\text{{\small Probabilitat de qu\`{e} passi almenys una prova}}= \\
P\left( \text{{\small passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) + \\
P\left( \text{{\small passi 1a prova i no passi 2a prova}}\right) + \\
P\left( \text{{\small no passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) = \\
0.5+0.1+0.3=0.9
\end{gather*}%
\begin{eqnarray*}
\text{{\small Probabilitat de qu\`{e} no passi cap prova}} &=& \\
P\left( \text{{\small no passi 1a prova i no passi 2a prova}}\right) &=&0.1
\end{eqnarray*}%
Les proves no s\'{o}n independents, ja que 
\begin{eqnarray*}
P\left( \text{{\small \ passi 2a prova sabent que ha passat la 1a prova}}%
\right) &=&\frac{5}{6} \\
&\neq &0.8=P\left( \text{{\small passi la 2a prova}}\right)
\end{eqnarray*}%
Finalment:%
\begin{equation*}
\text{{\small Probabilitat de qu\`{e} passi la segona en cas de no haver
superat la primera}}=0.75,
\end{equation*}%
com podem veure directament, sense necessitat d'aplicar la f\'{o}rmula de la
probabilitat condicionada, en el diagrama d'arbre.

\textbf{Soluci\'{o} 2} \ \ Suposem que l'alumne fa $100$ vegades aquest
conjunt de dues proves. Aleshores, utilitzam la seg\"{u}ent notaci\'{o}:

$sp:$ n\'{u}mero de vegades en qu\`{e} nom\'{e}s passa la primera prova,

$ss:$ n\'{u}mero de vegades en qu\`{e} nom\'{e}s passa la segona prova,

$ps:$ n\'{u}mero de vegades en qu\`{e} passa tant la primera com la segona
prova,

$\overline{ps}:$ n\'{u}mero de vegades en qu\`{e} no passa la primera ni la
segona prova.

Amb aix\`{o} podem plantejar el seg\"{u}ent sistema d'equacions:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
sp+ps & = & 60 \\ 
ss+ps & = & 80 \\ 
ps & = & 50 \\ 
sp+ss+ps+\overline{ps} & = & 100%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
la soluci\'{o} del qual \'{e}s:%
\begin{equation*}
ps=50,\text{ }ss=30,\text{ }sp=10,\text{ }\overline{ps}=10
\end{equation*}%
Ara es poden respondre les preguntes de l'enunciat:%
\begin{eqnarray*}
\text{{\small Probabilitat de qu\`{e} passi almenys una prova}} &=&\frac{%
50+30+10}{100}=90\% \\
\text{{\small Probabilitat de qu\`{e} no passi cap prova}} &=&\frac{10}{100}%
=10\% \\
P\left( \text{{\small \ passi 2a prova sabent que ha passat la 1a prova}}%
\right) &=&\frac{ps}{sp+ps}=\frac{50}{60}
\end{eqnarray*}%
\begin{multline*}
\text{{\small Probabilitat de qu\`{e} passi la segona prova si no ha superat
la primera}}= \\
\frac{ss}{ss+\overline{ps}}=\frac{30}{40}
\end{multline*}

\begin{example}
\textit{Una m\'{a}quina se compone de dos elementos},\textit{\ }$A$ y $B$.
La probabilidad de que el funcionamiento de $A$ sea defectuoso es $0.05$,\ y
la de que el funcionamiento de $B$ \textit{sea defectuoso es }$0.03$\textit{%
. La m\'{a}quina funciona correctamente siempre que lo hacen ambos elementos
y tambi\'{e}n en el }$30$ $\%$\textit{\ de los casos en que ambos son
defectuosos. Calcula la probabilidad de que la m\'{a}quina no funcione
correctamente si consideramos que ambas partes son independientes.}
\end{example}

El diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccccc}
& $\underline{A}$ &  & $\underline{B}$ &  & \underline{{\small funciona?}} & 
\underline{{\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\ 
&  &  &  & $\overset{30/100}{\nearrow }$ & ${\small s\acute{\imath}}$ & $%
0.05\cdot 0.03\cdot \frac{30}{100}$ \\ 
&  &  & ${\small d}$ &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\underset{70/100}{\searrow }$ & ${\small no}$ & $0.05\cdot
0.03\cdot \frac{70}{100}$ \\ 
&  & $\overset{0.03}{\nearrow }$ &  &  &  &  \\ 
& ${\small d}$ &  &  &  &  &  \\ 
$\overset{0.05}{\nearrow }$ &  & $\underset{0.97}{\searrow }$ &  &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\overset{0}{\nearrow }$ & $s\acute{\imath}$ & $0.05\cdot
0.97\cdot 0$ \\ 
&  &  & $\overline{{\small d}}$ &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\underset{1}{\searrow }$ & $no$ & $0.05\cdot 0.97\cdot 1$ \\ 
&  &  &  &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\overset{0}{\nearrow }$ & $s\acute{\imath}$ & $0.95\cdot
0.03\cdot 0$ \\ 
&  &  & ${\small d}$ &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\underset{1}{\searrow }$ & $no$ & $0.95\cdot 0.03\cdot 1$ \\ 
$\underset{0.95}{\searrow }$ &  & $\overset{0.03}{\nearrow }$ &  &  &  &  \\ 
& $\overline{{\small d}}$ &  &  &  &  &  \\ 
&  & $\underset{0.97}{\searrow }$ &  &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\overset{1}{\nearrow }$ & $s\acute{\imath}$ & $0.95\cdot
0.97\cdot 1$ \\ 
&  &  & $\overline{{\small d}}$ &  &  &  \\ 
&  &  &  & $\underset{0}{\searrow }$ & $no$ & $0.95\cdot 0.97\cdot 0$%
\end{tabular}%
\end{equation*}

Ara podem respondre la pregunta de l'enunciat:%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilidad de que la m\'{a}quina no funcione correctamente}}=
\\
0.05\cdot 0.03\cdot \frac{70}{100}+0.05\cdot 0.97\cdot 1+0.95\cdot 0.03\cdot
1+0.95\cdot 0.97\cdot 0= \\
0.078\,05
\end{multline*}

\begin{example}
\textit{Un aparell el\`{e}ctric est\`{a} constituit per dos components},%
\textit{\ }$A$ i $B$\textit{. Sabent que hi ha una probabilitat de }$0.58$%
\textit{\ que no falli cap dels components},\textit{\ i que en el }$32$ $\%$%
\textit{\ dels casos falla }$B$ per no $A$, determina la probabilitat que en
un d'aquests aparells no falli el component $A$.
\end{example}

\textbf{Soluci\'{o} 1} \ \ El diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{ccccl}
& \underline{${\small A}$} &  & \underline{${\small B}$} & \underline{%
{\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\ 
&  &  & $f$ & $P\left( \text{{\small falli }}{\small A}\text{{\small \ i
falli }}{\small B}\right) $ \\ 
&  & $\overset{}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $f$ &  &  &  \\ 
$\overset{}{\nearrow }$ &  & $\underset{}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & $\overline{f}$ & $P\left( \text{{\small falli }}{\small A}\text{%
{\small \ i no falli }}{\small B}\right) $ \\ 
&  &  &  &  \\ 
&  &  & $f$ & $P\left( \text{{\small no} {\small falli }}{\small A}\text{%
{\small \ i falli }}{\small B}\right) =0.32$ \\ 
$\underset{}{\searrow }$ &  & $\overset{}{\nearrow }$ &  &  \\ 
& $\overline{f}$ &  &  &  \\ 
&  & $\underset{}{\searrow }$ &  &  \\ 
&  &  & $\overline{f}$ & $P\left( \text{{\small no} {\small falli }}{\small A%
}\text{{\small \ i no falli }}{\small B}\right) =0.58$%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Aleshores, 
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat que en un d'aquests aparells no falli el
component }}{\small A}= \\
0.32+0.58=0.9
\end{multline*}%
\textbf{Soluci\'{o} 2} \ \ Suposam que tenim $100$ d'aquests aparells, i
introduim la seg\"{u}ent notaci\'{o}:

$sfA:$ n\'{u}mero d'aparells en els quals nom\'{e}s falla la part $A$,

$sfB:$ n\'{u}mero d'aparells en els quals nom\'{e}s falla la part $B$,

$fAfB:$ n\'{u}mero d'aparells en els quals falla tant la part $A$ com la $B$,

$\overline{f}A\overline{f}B:$ n\'{u}mero d'aparells en els quals no falla ni
la part $A$ ni la $B$.

Segons l'enunciat tenim que:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
\overline{f}A\overline{f}B & = & 58 \\ 
sfB & = & 32%
\end{array}%
\right\} ,
\end{equation*}%
per\`{o} el n\'{u}mero d'aparells en els quals no falla el component A \'{e}%
s igual a 
\begin{equation*}
\overline{f}A\overline{f}B+sfB=58+32=90
\end{equation*}%
Aix\'{\i},%
\begin{multline*}
\text{{\small probabilitat que en un d'aquests aparells no falli el
component }}{\small A}= \\
\frac{90}{100}=0.9
\end{multline*}

\chapter{Exercicis proposats}

\begin{enumerate}
\item Un restaurante tiene contratados a dos camareros, Javier y Ana, para
atender el servicio de comedor. Ana pone el servicio el $70$ $\%$ de los d%
\'{\i}as y se confunde al colocar la cuberter\'{\i}a s\'{o}lo el $5$ $\%$ de
los d\'{\i}as. Javier, por el contrario, coloca mal alguna pieza el $25$ $\%$
de los d\'{\i}as que pone el servicio.

\begin{description}
\item[(a)] Esta ma\~{n}ana, el encargado del restaurante va a pasar revista
al servicio. \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que encuentre
alg\'{u}n servicio mal colocado?

\item[(b)] Por desgracia, el encargado encontr\'{o} unos cubiertos mal
ubicados y desea conocer la probabilidad de que haya sido Javier.
\end{description}

\item Cierta persona compra todos los d\'{\i}as el diario local, adquiri\'{e}%
ndolo independientemente en uno de los dos quioscos, $A$ y $B$, que est\'{a}%
n m\'{a}s pr\'{o}ximos a su casa. El $80$ $\%$ de los d\'{\i}as lo compra en
el quiosco $A$.

\begin{description}
\item[(a)] Calcular la proporci\'{o}n de d\'{\i}as que compra el diario en
el quiosco $B$.

\item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que compre el
diario dos d\'{\i}as consecutivos en el quiosco $A$?

\item[(c)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que dos d\'{\i}%
as consecutivos compre el diario en quioscos distintos?
\end{description}

\item La probabilidad de que un aficionado al f\'{u}tbol acuda al campo
municipal a ver un partido es del $90$ $\%$ cuando se celebra en un fin de
semana (s\'{a}bado y domingo) y del $50$ $\%$ si tiene lugar en un d\'{\i}a
laborable (lunes a viernes).

\begin{description}
\item[(a)] Si el pr\'{o}ximo fin de semana hay partido, \textquestiondown cu%
\'{a}l es la probabilidad de que este aficionado no vaya al campo a verlo?

\item Sup\'{o}ngase ahora que se juegan tantos partidos entre semana como en
fin de semana.

\item[(b)] Cierto partido se celebrar\'{a} la pr\'{o}xima semana en un d%
\'{\i}a a\'{u}n sin determinar. Calcular la probabilidad de que el
aficionado acuda a verlo al campo.

\item[(c)] Si el aficionado acudi\'{o} a ver un partido, \textquestiondown cu%
\'{a}l es la probabilidad de que \'{e}ste se celebrara en fin de semana?
\end{description}

\item En una caja est\'{a}n guardados 20 relojes, de los cuales hay 15 que
funcionan correctamente.

\begin{description}
\item[(a)] Si se extrae un reloj al azar, \textquestiondown cu\'{a}l es la
probabilidad de que funcione bien?

\item[(b)] Si se extraen dos relojes al azar, \textquestiondown cu\'{a}l es
la probabilidad de que ambos funcionen bien?

\item[(c)] Si se extraen dos relojes al azar sucesivamente, y el primero no
funciona correctamente, \textquestiondown cu\'{a}l es la probabilidad de que
el segundo tampoco?
\end{description}

\item El 25 $\%$ de las familias de cierta comunidad aut\'{o}noma espa\~{n}%
ola no sale fuera de la misma durante las vacaciones de verano. El 65 $\%$
veranea por el resto de Espa\~{n}a, y el 10 $\%$ restante se va al
extranjero. De los que se quedan en su comunidad, s\'{o}lo un 10 $\%$ no
utiliza el coche en sus desplazamientos. Esta cantidad aumenta al 30 $\%$
entre los que salen por el resto de Espa\~{n}a, y al 90 $\%$ entre los que
viajan al extranjero.

\begin{description}
\item[(a)] Calcula el porcentaje de familias de esa comunidad que utiliza el
coche en sus desplazamientos de vacaciones de verano.

\item[(b)] Una familia no usa coche en sus vacaciones de verano.%
\textquestiondown\ Cu\'{a}l es la probabilidad de que salga de su comunidad
movi\'{e}ndose por el resto de Espa\~{n}a?
\end{description}

\item Un grupo de 40 personas acaba de tomar un autob\'{u}s. De los 40, s%
\'{o}lo 10 son fumadores. Entre los fumadores, el 70 $\%$ se marea, y entre
los no fumadores esta cantidad baja al 40 $\%$.

\begin{description}
\item[(a)] Como el trayecto es largo se permite fumar a quien lo desee. Dos
individuos se han sentado juntos y no se conocen. \textquestiondown Cu\'{a}l
es la probabilidad de que ambos sean fumadores?

\item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que un viajero
no se maree?
\end{description}

\item Dos j\'{o}venes aficionados a los juegos de azar se encuentran
realizando un solitario con una baraja espa\~{n}ola de 48 cartas. Extraen
una carta de dicha baraja y desean saber cu\'{a}l es la probabilidad de
\textquotedblright obtener rey\textquotedblright\ condicionado al suceso
\textquotedblright obtener figura\textquotedblright .

\item En un pa\'{\i}s se ha constituido una comisi\'{o}n parlamentaria
integrada por diez miembros, de los cuales siete pertenecen al partido
gobernante y el resto al partido de la oposici\'{o}n. Entre los siete
miembros del partido gobernante hay cuatro varones, y dos entre los del
partido de la oposici\'{o}n. El presidente de la comisi\'{o}n se elige por
sorteo entre sus integrantes. Celebrado el sorteo, se sabe que el presidente
elegido ha sido un hombre. \textquestiondown Qu\'{e} partido tiene m\'{a}s
posibilidades de dirigir la comisi\'{o}n?

\item Se ha hecho un estudio de un nuevo tratamiento sobre 120 personas
aquejadas de cierta enfermedad. 30 de ellas ya hab\'{\i}an padecido esta
enfermedad con anterioridad. Entre las que la hab\'{\i}an padecido con
anterioridad, el 80 $\%$ ha reaccionado positivamente al nuevo tratamiento.
Entre las que no la hab\'{\i}an padecido, ha sido el 90 $\%$ el que reaccion%
\'{o} positivamente.

\begin{description}
\item[(a)] Si elegimos dos pacientes al azar \textquestiondown cu\'{a}l es
la probabilidad de que los dos ya hayan padecido la enfermedad?

\item[(b)] Si elegimos un paciente al azar \textquestiondown cu\'{a}l es la
probabilidad de que no reaccione positivamente al nuevo tratamiento?

\item[(c)] Si un paciente ha reaccionado positivamente, \textquestiondown cu%
\'{a}l es la probabilidad de que no haya padecido la enfermedad con
anterioridad?
\end{description}

\item En cierto curso de un centro de ense\~{n}anza el 62.5 $\%$ de los
alumnos aprobaron Matem\'{a}ticas. Por otro lado, entre quienes aprobaron
Matem\'{a}ticas, el 80 $\%$ aprob\'{o} tambi\'{e}n F\'{\i}sica. Se sabe
igualmente que s\'{o}lo el 33.3 $\%$ de quienes no aprobaron Matem\'{a}ticas
aprobaron F\'{\i}sica.

\begin{description}
\item[(a)] \textquestiondown Qu\'{e} porcentaje consigui\'{o} aprobar ambas
asignaturas a la vez?

\item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l fue el porcentaje de aprobados en la
asignatura de F\'{\i}sica?

\item[(c)] Si un estudiante no aprob\'{o} F\'{\i}sica, \textquestiondown qu%
\'{e} probabilidad hay de que aprobara Matem\'{a}ticas?
\end{description}

\item El 70 $\%$ de los solicitantes de un puesto de trabajo tiene
experiencia y adem\'{a}s una formaci\'{o}n acorde con el puesto. Sin
embargo, hay un 20 $\%$ que tiene experiencia y no una formaci\'{o}n acorde
con el puesto. Se sabe tambi\'{e}n que entre los solicitantes que tienen
formaci\'{o}n acorde con el puesto, un 87.5 $\%$ tiene experiencia.

\begin{description}
\item[(a)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que un
solicitante no tenga experiencia?

\item[(b)] Si un solicitante tiene experiencia, \textquestiondown cu\'{a}l
es la probabilidad de que su formaci\'{o}n sea acorde con el puesto?

\item[(c)] Calcula la probabilidad de que un solicitante tenga formaci\'{o}n
acorde con el puesto.
\end{description}

\item Un grupo de amigos ha estado hablando de sus gustos musicales. La m%
\'{u}sica cl\'{a}sica gusta al 20 $\%$ de ellos. Se sabe tambi\'{e}n que el
porcentaje de a quienes les gusta la m\'{u}sica moderna de entre los que les
gusta la cl\'{a}sica es del 75 $\%$ y que el porcentaje de a quienes gusta
la m\'{u}sica moderna de entre quienes no les gusta la cl\'{a}sica es del
87.5$\%$

\begin{description}
\item[(a)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que a un
individuo del grupo le guste la m\'{u}sica moderna?

\item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que a un
individuo del grupo le guste tanto la m\'{u}sica cl\'{a}sica como la moderna?

\item[(c)] Si a un individuo le gusta la moderna \textquestiondown cu\'{a}l
es la probabilidad de que tambi\'{e}n le guste la cl\'{a}sica?

\item[(d)] Si a un individuo no le gusta la moderna \textquestiondown cu\'{a}%
l es la probabilidad de que s\'{\i} le guste la cl\'{a}sica?
\end{description}

\item En un grupo de matrimonios se ha observado que en el 50 $\%$ la mujer
tiene estudios universitarios. En un 30 $\%$ de los matrimonios tanto el
hombre como la mujer los tienen. Finalmente, en el 37.5 $\%$ de los
matrimonios en los que el marido tiene estudios universitarios la mujer los
tiene.

\begin{description}
\item[(a)] \textquestiondown Qu\'{e} probabilidad hay de que en un
matrimonio el marido tenga estudios universitarios?

\item[(b)] \textquestiondown En qu\'{e} porcentaje de matrimonios en los que
la mujer tiene estudios universitarios el marido tambi\'{e}n los tiene?

\item[(c)] \textquestiondown En qu\'{e} porcentaje de matrimonios el marido
no tiene estudios universitarios y la mujer s\'{\i}?
\end{description}

\item En un grupo de personas, al 50 $\%$ les han puesto alguna vez una
multa de tr\'{a}fico. Por otro lado, al 12.5 $\%$ no les han puesto nunca
una multa pero s\'{\i} han sufrido alguna vez un accidente. Finalmente, al
60 $\%$ de quienes nunca han tenido un accidente no les han puesto nunca una
multa.

\begin{description}
\item[(a)] \textquestiondown Qu\'{e} porcentaje no han tenido nunca un
accidente ni les han puesto una multa?

\item[(b)] \textquestiondown Que porcentaje no han tenido nunca un accidente?

\item[(c)] Entre las personas que nunca han tenido una multa, 
\textquestiondown qu\'{e} porcentaje no han tenido nunca un accidente?
\end{description}

\item La urna $S$ contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y la urna $T$
contiene 3 bolas blancas y dos negras. Tomamos al azar una bola de $S$ y,
sin mirarla, la introducimos en $T$. A continuaci\'{o}n extraemos con
reemplazamiento dos bolas de $T$. Hallar la probabilidad de que:

\begin{description}
\item[(a)] sean del mismo color,

\item[(b)] sean de distinto color.
\end{description}

\item Una entidad bancaria concede tres tipos de cr\'{e}ditos: hipotecarios,
para industria y personales. Se sabe que el 30 $\%$ de los cr\'{e}ditos que
concede son hipotecarios, el 50 $\%$ para industria y el 20 $\%$ restante
son personales. Han resultado impagados el 20 $\%$ de los cr\'{e}ditos para
vivienda, el 25 $\%$ de los cr\'{e}ditos para industria y el 50 $\%$ de los
cr\'{e}ditos para consumo. Se pide:

\begin{description}
\item[(a)] Representar la situaci\'{o}n mediante un diagrama en \'{a}rbol.

\item[(b)] Seleccionado un cr\'{e}dito al azar, calcular la probabilidad de
que se pague.

\item[(c)] Un determinado cr\'{e}dito ha resultado impagado; calcular la
probabilidad de que sea un cr\'{e}dito de vivienda.
\end{description}

\item En un trayecto entre dos ciudades pr\'{o}ximas, un automovilista ha de
atravesar tres zonas que est\'{a}n en obras y en las que se regula el tr\'{a}%
fico mediante sem\'{a}foros. La probabilidad de encontrar la luz en rojo
para cada uno de los tres sem\'{a}foros es, respectivamente, 0.3, 0.7 y 0.5.
Se pide la probabilidad de que el conductor:

\begin{description}
\item[(a)] encuentre los tres sem\'{a}foros en rojo,

\item[(b)] encuentre los tres sem\'{a}foros en verde,

\item[(c)] encuentre en rojo uno de ellos y los otros dos en verde.
\end{description}

\item En un determinado barrio de la ciudad se ha observado que el 70 $\%$
de sus habitantes tiene m\'{a}s de 50 a\~{n}os y que de \'{e}stos el 60 $\%$
es propietario de la vivienda en la que habita. Tambi\'{e}n se sabe que el
porcentaje de propietarios es del 30 $\%$ entre aquellos que no superan los
50 a\~{n}os. Se pide:

\begin{description}
\item[(a)] Calcula la probabilidad de que un vecino, que ha sido elegido al
azar, sea propietario de la vivienda en la que habita.

\item[(b)] Elegido un vecino al azar, resulta ser propietario de la vivienda
en la que habita. Calcula la probabilidad de que tenga m\'{a}s de 50 a\~{n}%
os.
\end{description}

\item Probamos una vacuna contra la gripe en un grupo de 400 personas, de
las que 180 son hombres y 220 mujeres. De las mujeres, 25 cogen la gripe y
de los hombres 23. Determina las probabilidades de:

\begin{description}
\item[(a)] que al seleccionar una persona al azar resulte que no tiene gripe,

\item[(b)] que al seleccionar una persona al azar resulte ser una mujer que
no tiene gripe,

\item[(c)] que seleccionada una persona que no tiene gripe resulte ser un
hombre,

\item[(d)] que seleccionada una mujer resulte no tener gripe.
\end{description}

\item El 20 $\%$ de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20 $%
\% $ son economistas. El 75 $\%$ de los ingenieros ocupa un puesto directivo
y el 50 $\%$ de los economistas tambi\'{e}n, mientras que entre el resto de
empleados \'{u}nicamente el 20 $\%$ ocupa un puesto directivo. Calcula las
probabilidades de:

\begin{description}
\item[(a)] que al seleccionar un empleado al azar resulte ser un ingeniero
que no ocupa un cargo directivo,

\item[(b)] que al seleccionar un empleado al azar resulte no ser ni
ingeniero ni economista, pero que ocupe un cargo directivo,

\item[(c)] que al seleccionar un cargo directivo al azar resulte ser
economista,

\item[(d)] que al seleccionar un cargo directivo al azar resulte ser
ingeniero o economista.
\end{description}

\item El 15 $\%$ de los habitantes de un pa\'{\i}s padece cierta enfermedad.
Para diagnosticar la misma, se dispone de un procedimiento que no es
completamente fiable, ya que da positivo en el 90 $\%$ de los casos de
personas realmente enfermas, pero tambi\'{e}n da positivo en el 5 $\%$ de
personas sanas. Determina la probabilidad de que:

\begin{description}
\item[(a)] est\'{e} sana una persona cuyo diagn\'{o}stico ha sido positivo,

\item[(b)] est\'{e} enferma una persona cuyo diagn\'{o}stico ha sido
negativo.
\end{description}

\item Tres aviones disparan simult\'{a}neamente sobre un blanco, siendo
independientes los disparos de uno y otro, y siendo la probabilidad de que
un avi\'{o}n acierte el blanco igual a 0.6. Calcular la probabilidad de que
el blanco sea destruido.

\item Una caja contiene 100 piezas, entre las cuales hay 20 defectuosas en
cuanto a su longitud, 12 defectuosas en cuanto a la anchura y 15 defectuosas
en cuanto a su altura. Por otra parte, sabemos que hay 7 piezas defectuosas
en longitud y altura, 4 en longitud y anchura, 5 en anchura y altura y 2
piezas defectuosas en sus tres dimensiones. Se pide:

\begin{description}
\item[(a)] Probabilidad de que una pieza tomada al azar presente un solo
defecto.

\item[(b)] Probabilidad de que una pieza tomada al azar sea defectuosa solo
en longitud.
\end{description}

\item De 150 pacientes, 90 tienen una enfermedad card\'{\i}aca, 50 tienen c%
\'{a}ncer y 20 tienen ambas enfermedades. Determinar la probabilidad de que
una persona tomada al azar tenga una sola de las dos enfermedades.

\item Se tienen 2 urnas que contienen 13 y 15 bolas respectivamente. La urna 
$I$ contiene 5 Blancas y 8 Negras, mientras que la urna $II$ contiene 6
Blancas y 9 Rojas. Se toma al azar una bola de la urna $I$ y se pasa a la
urna $II$. A continuaci\'{o}n, se toma al azar una bola de la urna $II$ y se
pasa a la urna $I$. Extraemos, a continuaci\'{o}n, una bola al azar de la
urna $I$. Calcula la probabilidad de que sea Roja.

\item Una m\'{a}quina se compone de dos elementos, $A$ y $B$. La
probabilidad de que el funcionamiento de $A$ sea defectuoso es 0.05, y la de
que el funcionamiento de $B$ sea defectuoso es 0.03. La m\'{a}quina funciona
correctamente siempre que lo hacen ambos elementos y tambi\'{e}n en el 30 $%
\% $ de los casos en que ambos son defectuosos. Calcula la probabilidad de
que la m\'{a}quina no funcione correctamente.

\item Los habitantes de una ciudad reparten sus votos entre los partidos $A$
y $B$. El 55 $\%$ de los habitantes son menores de 30 a\~{n}os; de ellos, el
80 $\%$ son del partido $B$. De los mayores de 30 a\~{n}os, s\'{o}lo lo son
el 10 $\%$. Elegimos una persona al azar.

\begin{description}
\item[(a)] Calcula la probabilidad de que sea del partido $A$.

\item[(b)] La persona elegida resulta ser del partido $A$. Calcula la
probabilidad de que tenga menos de 30 a\~{n}os.
\end{description}

\item Amelia, Javier y Ram\'{o}n, sortean, al azar, el orden en que van a
entrar, de uno en uno, por una puerta.

\begin{description}
\item[(a)] Calcula la probabilidad de que los dos \'{u}ltimos en entrar sean
hombres.

\item[(b)] Determina si son independientes los sucesos $S1$ y $S2$, siendo:

\begin{itemize}
\item $S1$ : \textquotedblright la mujer entra antes que alguno de los
hombres\textquotedblright ,

\item $S2$ : \textquotedblright los dos hombres entran
consecutivamente\textquotedblright .
\end{itemize}
\end{description}

\item En un determinado pueblo hay tres lugares de diversi\'{o}n, a los que
suelen ir un grupo de tres amigos. Las probabilidades de que vayan al
primero, segundo o tercero son, respectivamente, 0.3, 0.5 y 0.7. Halla la
probabilidad de que el grupo de amigos vaya:

\begin{description}
\item[(a)] solamente a uno de los lugares,

\item[(b)] \'{u}nicamente a dos de los lugares,

\item[(c)] a los tres lugares.
\end{description}

\item Se tienen dos urnas, $U1$ y $U2$, cuyo contenido en bolas rojas,
azules y verdes es:

\begin{itemize}
\item en la urna $U1$: 4 azules, 3 rojas y 3 verdes,

\item en la urna $U2$: 4 rojas, 5 azules y 1 verde.

Se lanzan tres monedas y, si se obtienen exactamente dos caras, se extrae
una bola de la urna $U1$; en cualquier otro caso, la bola se extrae de la
urna $U2$. Se pide:

\begin{description}
\item[(a)] Efectuar un diagrama para el experimento de lanzar las 3 monedas.

\item[(b)] Calcular la probabilidad de que la bola extra\'{\i}da sea azul.
\end{description}
\end{itemize}

\item Un aparell el\`{e}ctric est\`{a} constituit per dos components, $A$ i $%
B$. Sabent que hi ha una probabilitat de 0.58 que no falli cap dels
components, i que en el 32 $\%$ dels casos falla $B$ no havent fallat $A$,
determina la probabilitat que en un d'aquests aparells no falli el component 
$A$.

\item Una urna $A$ cont\'{e} 5 bolles blanques i 3 de negres. Una altra
urna, $B$, en t\'{e} 6 de blanques i 4 de negres. Elegim una urna a l'atzar
i extraiem dues bolles, que resulten ser negres. Troba la probabilitat que
la urna elegida hagi estat la $B$.
\end{enumerate}