Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

07-probabilitat.tex 97KB

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605606607608609610611612613614615616617618619620621622623624625626627628629630631632633634635636637638639640641642643644645646647648649650651652653654655656657658659660661662663664665666667668669670671672673674675676677678679680681682683684685686687688689690691692693694695696697698699700701702703704705706707708709710711712713714715716717718719720721722723724725726727728729730731732733734735736737738739740741742743744745746747748749750751752753754755756757758759760761762763764765766767768769770771772773774775776777778779780781782783784785786787788789790791792793794795796797798799800801802803804805806807808809810811812813814815816817818819820821822823824825826827828829830831832833834835836837838839840841842843844845846847848849850851852853854855856857858859860861862863864865866867868869870871872873874875876877878879880881882883884885886887888889890891892893894895896897898899900901902903904905906907908909910911912913914915916917918919920921922923924925926927928929930931932933934935936937938939940941942943944945946947948949950951952953954955956957958959960961962963964965966967968969970971972973974975976977978979980981982983984985986987988989990991992993994995996997998999100010011002100310041005100610071008100910101011101210131014101510161017101810191020102110221023102410251026102710281029103010311032103310341035103610371038103910401041104210431044104510461047104810491050105110521053105410551056105710581059106010611062106310641065106610671068106910701071107210731074107510761077107810791080108110821083108410851086108710881089109010911092109310941095109610971098109911001101110211031104110511061107110811091110111111121113111411151116111711181119112011211122112311241125112611271128112911301131113211331134113511361137113811391140114111421143114411451146114711481149115011511152115311541155115611571158115911601161116211631164116511661167116811691170117111721173117411751176117711781179118011811182118311841185118611871188118911901191119211931194119511961197119811991200120112021203120412051206120712081209121012111212121312141215121612171218121912201221122212231224122512261227122812291230123112321233123412351236123712381239124012411242124312441245124612471248124912501251125212531254125512561257125812591260126112621263126412651266126712681269127012711272127312741275127612771278127912801281128212831284128512861287128812891290129112921293129412951296129712981299130013011302130313041305130613071308130913101311131213131314131513161317131813191320132113221323132413251326132713281329133013311332133313341335133613371338133913401341134213431344134513461347134813491350135113521353135413551356135713581359136013611362136313641365136613671368136913701371137213731374137513761377137813791380138113821383138413851386138713881389139013911392139313941395139613971398139914001401140214031404140514061407140814091410141114121413141414151416141714181419142014211422142314241425142614271428142914301431143214331434143514361437143814391440144114421443144414451446144714481449145014511452145314541455145614571458145914601461146214631464146514661467146814691470147114721473147414751476147714781479148014811482148314841485148614871488148914901491149214931494149514961497149814991500150115021503150415051506150715081509151015111512151315141515151615171518151915201521152215231524152515261527152815291530153115321533153415351536153715381539154015411542154315441545154615471548154915501551155215531554155515561557155815591560156115621563156415651566156715681569157015711572157315741575157615771578157915801581158215831584158515861587158815891590159115921593159415951596159715981599160016011602160316041605160616071608160916101611161216131614161516161617161816191620162116221623162416251626162716281629163016311632163316341635163616371638163916401641164216431644164516461647164816491650165116521653165416551656165716581659166016611662166316641665166616671668166916701671167216731674167516761677167816791680168116821683168416851686168716881689169016911692169316941695169616971698169917001701170217031704170517061707170817091710171117121713171417151716171717181719172017211722172317241725172617271728172917301731173217331734173517361737173817391740174117421743174417451746174717481749175017511752175317541755175617571758175917601761176217631764176517661767176817691770177117721773177417751776177717781779178017811782178317841785178617871788178917901791179217931794179517961797179817991800180118021803180418051806180718081809181018111812181318141815181618171818181918201821182218231824182518261827182818291830183118321833183418351836183718381839184018411842184318441845184618471848184918501851185218531854185518561857185818591860186118621863186418651866186718681869187018711872187318741875187618771878187918801881188218831884188518861887188818891890189118921893189418951896189718981899190019011902190319041905190619071908190919101911191219131914191519161917191819191920192119221923192419251926192719281929193019311932193319341935193619371938193919401941194219431944194519461947194819491950195119521953195419551956195719581959196019611962196319641965196619671968196919701971197219731974197519761977197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016201720182019202020212022202320242025202620272028202920302031203220332034203520362037203820392040204120422043204420452046204720482049205020512052205320542055205620572058205920602061206220632064206520662067206820692070207120722073207420752076207720782079208020812082208320842085208620872088208920902091209220932094209520962097209820992100210121022103210421052106210721082109211021112112211321142115211621172118211921202121212221232124212521262127212821292130213121322133213421352136213721382139214021412142214321442145214621472148214921502151215221532154215521562157215821592160216121622163216421652166216721682169217021712172217321742175217621772178217921802181218221832184218521862187218821892190219121922193219421952196219721982199220022012202220322042205220622072208220922102211221222132214221522162217221822192220222122222223222422252226222722282229223022312232223322342235223622372238223922402241224222432244224522462247224822492250225122522253225422552256225722582259226022612262226322642265226622672268226922702271227222732274227522762277227822792280228122822283228422852286228722882289229022912292229322942295229622972298229923002301230223032304230523062307230823092310231123122313231423152316231723182319232023212322232323242325232623272328232923302331233223332334233523362337233823392340234123422343234423452346234723482349235023512352235323542355235623572358235923602361236223632364236523662367236823692370237123722373237423752376237723782379238023812382238323842385238623872388238923902391239223932394239523962397239823992400240124022403240424052406240724082409241024112412241324142415241624172418241924202421242224232424242524262427242824292430243124322433243424352436243724382439244024412442244324442445244624472448244924502451245224532454245524562457245824592460246124622463246424652466246724682469247024712472247324742475247624772478247924802481248224832484248524862487248824892490249124922493249424952496249724982499250025012502250325042505250625072508250925102511251225132514251525162517
  1. \part{Probabilitat}
  2. \chapter{Experiències aleatòries}
  3. En aquest capítol ens ocuparem de les definicions, més o menys formals, que permeten definir el concepte de probabilitat.
  4. \begin{definition}[experiència] Una \term{experiència}\index{experiència} o \term{experiment}\index{experiment} és qualsevol procediment, pràctica o simplement aconteixement en el que les regles de joc, és a dir, com s'ha de realitzar aquest, estan clares des d'un principi i en el que es mesura cert resultat final.
  5. En principi existeixen variables rellevants a l'experiment i altres de negligibles.
  6. \end{definition}
  7. \begin{example}\label{exemple:experiments}Exemples d'experiments serien:
  8. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  9. \item Llançar una moneda i mirar-ne el resultat
  10. En aquest experiment les variables rellevants serien, per exemple, la distribució de pesos de les cares, la forma de la moneda i el mètode de tir.
  11. \item Accelerar un vehicle fins a una velocitat concreta i després frenar bruscament i mirar la distància recorreguda
  12. En aquest experiment les variables rellevants seiren la velocitat just abans de frenar, el pes del vehicle, la pendent del terreny i la força de fregament.
  13. \item Comptar la freqüència absoluta dels colors dels cotxes en un aparcament per a determinar el color més freqüent.
  14. En aquest darrer experiment, les variables rellevants serien, per exemple, el nombre de cotxes de cada tipus de color a l'aparcament.
  15. \end{enumerate}
  16. \end{example}
  17. \begin{definition}[experiment determinista]Un \term{experiment determinista}\index{experiment!determinista}\index{experiència!determinista} és aquell experiment la repetició del qual produeix idèntics resultats, és a dir, per al mateix valor de les variables rellevants, s'obté el mateix resultat\footnote{Tècnicament, si les condicions inicials són les mateixes, les condicions finals també ho són.}. Per tant, el resultat de l'experiment es pot conèixer abans de dur-lo a terme una vegada estudiat aquest prèviament.
  18. \end{definition}
  19. \begin{definition}[experiment aleatori] Un \term{experiment aleatori}\index{experiment!aleatori}\index{experiència!aleatòria} és aquell experiment que es caracteritza per la imprevisibilitat del seu desenllaç, a pesar de què s'executi sempre amb les mateixes condicions. En general, depèn de l'atzar.
  20. \end{definition}
  21. Els experiments aleatoris tenen les característiques següents:
  22. \begin{itemize}
  23. \item En la realització de cada repetició, el seu resultat pot diferir
  24. \item Si repetim les proves calculant les seves freqüències relatives\footnote{Recordem que la freqüència relativa no és res més que la divisió entre el nombre de vegades que apareix un resultat dividit pel nombre total de proves. És el tant per u d'aparició.} de cadascun dels resultats possibles, llavors aquestes freqüències tendeixen a estabilitzar-se cap a un nombre fix, que és el que anomerarem \term{probabilitat}
  25. \end{itemize}
  26. \begin{example}En l'exemple anterior, \autoref{exemple:experiments}, el llançament de la moneda seria un experiment aleatori, l'experiment de la frenada del vehicle seria un experiment determinista i l'experiment dels colors dels vehicles es consideraria un experiment aleatori.
  27. \end{example}
  28. En aquesta part ens ocuparem dels experiments aleatoris.
  29. \section{Espai mostral i esdeveniments}
  30. \begin{definition}[espai mostral]S'anomena \term{espai mostral}\index{espai mostral} al conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment aleatori. Es sol designar per $E$ o per $\Omega$.
  31. \end{definition}
  32. \begin{example}Si llançam un dau, l'espai mostral és $E=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} $. Si llançam una moneda, l'espai mostral és $E = \{ C, X \}$ (hem obviat que ens pugui sortir cantó).
  33. \end{example}
  34. \begin{example}\label{exemple:bolles}En l'experiment corresponent a extreure una bolla d'una urna amb tres bolles vermelles ($V$), dues de blaves ($B$) i 4 de negres ($N$), l'espai mostral és $E = \{V, B, N\}$.
  35. \end{example}
  36. Hi ha exemples d'espais mostrals més complicats.
  37. \begin{example}\label{exemple:dues-monedes-espai-m}Si llançam dues monedes l'espai mostral és%
  38. \begin{equation*}
  39. E=\left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(X,X\right) \right\}
  40. \end{equation*}
  41. Recordem que la notació $(a,b)$ denota un parell ordenat. Per tant, el resultat $(C,X)$ no és el mateix que el resultat $(X, C)$. En el primer cas, voldria dir que la moneda és cara i el segona moneda ha donat creu. El segon cas és totalment el contrari.
  42. Si no tenguéssim en compte l'ordre, és a dir, si per a nosaltres les monedes fossin indistingibles\footnote{Ho sigui si només {\em comptéssim} el nombre de cares i el nombre de creus.}, llavors l'espai mostral seria
  43. \begin{equation*}
  44. E=\left\{ CC ,CX, XX \right\}
  45. \end{equation*}
  46. De forma intuïtiva està clar que la probabilitat de $CX$ en el segon cas seria major que la probabilitat de $(C, X)$ en el primer, ja que {\em compta doble}. Per tant, hem d'anar molt alerta de si prenem els resultats amb ordre o no.
  47. \end{example}
  48. \begin{example}\label{exemple:dos-daus-em}Si llançéssim dos daus, l'espai mostral seria%
  49. \begin{equation*}
  50. E=\left\{
  51. \begin{tabular}{llllll}
  52. $\left( 1,1\right) ,$ & $\left( 1,2\right) ,$ & $\left( 1,3\right) ,$ & $%
  53. \left( 1,4\right) ,$ & $\left( 1,5\right) ,$ & $\left( 1,6\right) ,$ \\
  54. $\left( 2,1\right) ,$ & $\left( 2,2\right) ,$ & $\left( 2,3\right) ,$ & $%
  55. \left( 2,4\right) ,$ & $\left( 2,5\right) ,$ & $\left( 2,6\right) ,$ \\
  56. $\left( 3,1\right) ,$ & $\left( 3,2\right) ,$ & $\left( 3,3\right) ,$ & $%
  57. \left( 3,4\right) ,$ & $\left( 3,5\right) ,$ & $\left( 3,6\right) ,$ \\
  58. $\left( 4,1\right) ,$ & $\left( 4,2\right) ,$ & $\left( 4,3\right) ,$ & $%
  59. \left( 4,4\right) ,$ & $\left( 4,5\right) ,$ & $\left( 4,6\right) ,$ \\
  60. $\left( 5,1\right) ,$ & $\left( 5,2\right) ,$ & $\left( 5,3\right) ,$ & $%
  61. \left( 5,4\right) ,$ & $\left( 5,5\right) ,$ & $\left( 5,6\right) ,$ \\
  62. $\left( 6,1\right) ,$ & $\left( 6,2\right) ,$ & $\left( 6,3\right) ,$ & $%
  63. \left( 6,4\right) ,$ & $\left( 6,5\right) ,$ & $\left( 6,6\right) $%
  64. \end{tabular}%
  65. \right\}
  66. \end{equation*}
  67. \end{example}
  68. \begin{example}\label{exemple:moneda-dau-em}En l'experiment consistent en llançar una moneda i posteriorment un dau, l'espai mostral és%
  69. \begin{equation*}
  70. E=\left\{
  71. \begin{tabular}{llllll}
  72. $\left( C,1\right) ,$ & $\left( C,2\right) ,$ & $\left( C,3\right) ,$ & $%
  73. \left( C,4\right) ,$ & $\left( C,5\right) ,$ & $\left( C,6\right) ,$ \\
  74. $\left( X,1\right) ,$ & $\left( X,2\right) ,$ & $\left( X,3\right) ,$ & $%
  75. \left( X,4\right) ,$ & $\left( X,5\right) ,$ & $\left( X,6\right) $%
  76. \end{tabular}%
  77. \right\}
  78. \end{equation*}
  79. \end{example}
  80. Notem que si l'experiment consistís en tirar primer el dau i després la moneda, llavors l'espai mostral seria:
  81. Si no s'especifica l'ordre amb el qual llancem les coses, l'ordre amb el qual escrivim els resultats no té importància, però una vegada decidit s'ha de mantenir al llarg de tot l'exercici.
  82. \begin{exercise}Escriviu l'espai mostral corresponent als experiments següents:
  83. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  84. \item Un dau de quatre cares
  85. \item Tres monedes
  86. \end{enumerate}
  87. \end{exercise}
  88. \begin{definition}[esdeveniment]S'anomena \term{esdeveniment} (o \term{succés})\index{esdeveniment}\index{succés} a qualsevol subconjunt de $E$.
  89. \end{definition}
  90. \begin{example}
  91. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  92. \item En l'experiment aleatori del llançament d'una moneda, tenim que els seus esdeveniments són: $\{C, X\}$, $\{ C \}$, $\{X\}$ i $\emptyset$. $\emptyset$ denota el \term{conjunt buit}\index{conjunt buit}, el qual no té cap element.
  93. \item Els esdeveniments de l'experiment consistent en llançar un dau serien $\{1\}$, $\{2\}$, \ldots, $\{1,2\}$, \ldots, $\{1,2,3\}$, \ldots, $\{3,5,6\}$, \ldots, $\{1,2,3,4,5,6\}$.
  94. \end{enumerate}
  95. \end{example}
  96. \begin{exercise}\label{exercici:em-1}Escriviu tots els possibles esdeveniments corresponents als experiments següents:
  97. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  98. \item Llançar un dau de 4 cares
  99. \item Llançar dues monedes (\autoref{exemple:dues-monedes-espai-m})
  100. \item Extreure una bolla d'una urna de l'\autoref{exemple:bolles}
  101. \end{enumerate}
  102. \end{exercise}
  103. \begin{exercise}\label{exercici:em-2}
  104. Escriviu quatre esdeveniments corresponents als experiments:
  105. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  106. \item Llançar dos daus (\autoref{exemple:dos-daus-em})
  107. \item Llançar una moneda i un dau (\autoref{exemple:moneda-dau-em})
  108. \end{enumerate}
  109. \end{exercise}
  110. \begin{proposition}En un experiment aleatori, si el seu espai mostral $E$ és finit i té $n$ elements, llavors hi ha $2^n$ possibles esdeveniments.
  111. \end{proposition}
  112. \begin{definition}[esdeveniment elemental] Un \term{esdeveniment elemental}\index{esdeveniment!elemental} és qualsevol esdeveniment que té un sol element. En cas contrari, quan l'esdeveniment tengui més d'un element, es diu \term{esdeveniment compost}\index{esdeveniment!compost}.
  113. \end{definition}
  114. \begin{example}Referint-nos al llançament d'un dau de sis cares, els seus esdeveniments elementals són $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{4\}$, $\{5\}$, $\{6\}$. Esdeveniments compostos són, per exemple $\{2, 3, 6\}$ i $\{1, 5\}$ o el mateix $E$.
  115. En el llançament d'una moneda, els seus esdeveniments elementals són $\{C\}$ i $\{X\}$ i els seus esdeveniments compostos són $\{C, X\}$.
  116. \end{example}
  117. \begin{definition}[esdeveniment impossible]S'anomena \term{esdeveniment impossible}\index{esdeveniment!impossible} a aquell esdeveniment que mai pot ocórrer. És el conjunt buit, $\emptyset$.
  118. \end{definition}
  119. \begin{definition}[esdeveniment segur]S'anomena \term{esdeveniment segur}\index{esdeveniment!segur} al que sempre es verifica. Correspon a l'espai mostral, $E$.
  120. \end{definition}
  121. \begin{example}En el llan\c{c}ament de dues monedes l'esdeveniment segur és%
  122. \begin{equation*}
  123. \left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(
  124. X,X\right) \right\}
  125. \end{equation*}%
  126. \end{example}
  127. \begin{exercise}Trobeu els esdeveniments segurs i impossibles dels exercicis \autoref{exercici:em-1} i \autoref{exercici:em-2}.
  128. \end{exercise}
  129. \section{Operacions amb esdeveniments}
  130. \begin{definition}[unió d'esdeveniments]La \term{unió}\index{unió d'esdeveniments} de dos esdeveniments, $A$ i $B$, és aquell esdeveniment, denotat per $A\cup B$, format per cada element que hi ha en $A$ o en $B$.
  131. \end{definition}
  132. Col·loquialment, la unió de dos esdeveniments és aquell esdeveniment que ocorre quan ocorre, al menys, un dels dos. De la definició és veu que $A\cup B$ és el mateix que $B\cup A$.
  133. Gràficament, aquest concepte es pot representar mitjançant un diagrama de Venn (\autoref{fig:operacions-conjunts-unio}):
  134. \begin{figure}[h!]
  135. \centering
  136. \def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
  137. \def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
  138. \colorlet{circle edge}{blue!50}
  139. \colorlet{circle area}{blue!20}
  140. \tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
  141. outline/.style={draw=circle edge, thick}}
  142. \tikzset{filled2/.style={fill=white, draw=black, thick},
  143. outline/.style={draw=black, thick}}
  144. \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
  145. % Generat amb TikZ
  146. % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
  147. \begin{tikzpicture}
  148. \draw[filled] \firstcircle node {$A$} \secondcircle node {$B$};
  149. \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cup B$};
  150. \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
  151. \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  152. \end{tikzpicture}
  153. \caption{Unió de dos esdeveniments}
  154. \label{fig:operacions-conjunts-unio}
  155. \end{subfigure}
  156. \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
  157. % Generat amb TikZ
  158. % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
  159. \begin{tikzpicture}
  160. \begin{scope}
  161. \clip \firstcircle;
  162. \fill[filled] \secondcircle;
  163. \end{scope}
  164. \draw[outline] \firstcircle node {$A$};
  165. \draw[outline] \secondcircle node {$B$};
  166. \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cap B$};
  167. \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
  168. \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  169. \end{tikzpicture}
  170. \caption{Intersecció de dos esdeveniments}
  171. \label{fig:operacions-conjunts-interseccio}
  172. \end{subfigure}
  173. \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
  174. % Generat amb TikZ
  175. % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
  176. \begin{tikzpicture}
  177. \begin{scope}
  178. \clip \secondcircle;
  179. \draw[filled, even odd rule] \firstcircle
  180. \secondcircle node {$B$};
  181. \end{scope}
  182. \draw[outline] \firstcircle node {$A$}
  183. \secondcircle;
  184. \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$B - A$};
  185. \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
  186. \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  187. \end{tikzpicture}
  188. \caption{Diferència de dos esdeveniments}
  189. \label{fig:operacions-conjunts-resta}
  190. \end{subfigure}
  191. \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
  192. % Generat amb TikZ
  193. % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
  194. \begin{tikzpicture}
  195. \draw[fill=blue!20] (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
  196. \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  197. \draw[filled2] \firstcircle node {$A$};
  198. \node[anchor=south] at (0,1.5) {$A^c$};
  199. \end{tikzpicture}
  200. \caption{Complementari d'un esdeveniment}
  201. \label{fig:operacions-conjunts-complementari}
  202. \end{subfigure}
  203. \caption{Operacions entre esdeveniments}
  204. \label{fig:operacions-conjunts}
  205. \end{figure}
  206. \begin{definition}[intersecció d'esdeveniments]La \term{intersecció}\index{intersecció d'esdeveniments} de dos esdeveniments, $A$ i $B$, és aquell esdeveniment, denotat per $A\cap B$, format per aquells elements que estan simultàniament a $A$ i a $B$. Dos esdeveniments són \term{incompatibles}\index{esdeveniments!incompatibles} si la seva intersecció és el conjunt buit. En cas contrari, es diu que són \term{compatibles}\index{esdeveniments!compatibles}.
  207. \end{definition}
  208. De manera informal, l'esdeveniment intersecció de dos esdeveniment és aquell que ocorre quan ocorren ambdós. De la definició es veu que $A\cap B$ és el mateix que $B\cap A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-interseccio}).
  209. \begin{definition}[esdeveniment contrari]Donat un esdeveniment $A$, el seu \term{esdeveniment contrari} o \term{complementari}\index{esdeveniment!contrari}\index{esdeveniment!complementari}, que es denota per $A^c$ o $\overline{A}$, és l'esdeveniment format per tots els elements de l'espai mostral que no són de $A$. És a dir, l'esdeveniment contrari de $A$ es verifica quan no ocorre $A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-complementari}.
  210. \end{definition}
  211. \begin{definition}[diferència d'esdeveniments]Donats dos esdeveniments, $A$ i $B$, la \term{diferència} entre $A$ i $B$, que es denota per $A \setminus B$ (o $A - B$), és l'esdeveniment format pels elements de $A$ que no estan en $B$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-resta}).
  212. \end{definition}
  213. \begin{example}En l'experiment de llançar un dau i mirar el resultat, tenim que $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si agafam $A =$ que surti parell i $B =$ que surti un nombre menor que 5, tenim que:
  214. \begin{itemize}
  215. \item $A \cup B$ = que surti parell o menor que 5 = $\{2,4,6\} \cup \{1,2,3,4\}$ = $\{1,2,3,4,6\}$. Per tant, $A \cup B = \{1,2,3,4,6\}$.
  216. \item $A \cap B$ = que surti parell i menor que 5 = $\{2,4,6\} \cap \{1,2,3,4\}$ = $\{2,4\}$. Per tant, $A \cap B = \{2, 4\}$.
  217. \item $A \setminus B$ = $\{6\}$
  218. \item $B \setminus A$ = $\{1,2\}$
  219. \item $A^c$ = el contrari de què surti parell = $\{1,3,5\}$
  220. \item $B^c$ = el contrari de què surti un nombre menor que 5 = $\{6\}$
  221. \end{itemize}
  222. \end{example}
  223. \subsection{Propietats de les operacions}
  224. Les operacions sobre el conjunt d'esdeveniments anteriorment descrites satisfan certes propietats. Si $A$, $B$ i $C$ són esdeveniments qualssevol i $E$ denota l'espai mostral, aleshores:
  225. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  226. \item $A \cup E =E$; $A \cup \emptyset = A$; $A \cup A^c = E$
  227. \item $A \cap E =A$; $A \cap \emptyset = \emptyset$; $A \cap A^c = \emptyset$
  228. \item $A \setminus B = A \cap B^c$
  229. \item $(A \setminus B) \cup (A \cap B) \cup (B \setminus A) = A \cup B$
  230. \item Idempotència: $\left(A^c\right)^c = A$
  231. \item Commutatives:
  232. \begin{enumerate}
  233. \item $A \cup B = B \cup A$
  234. \item $A \cap B = B \cap A$
  235. \end{enumerate}
  236. \item Associatives:
  237. \begin{enumerate}
  238. \item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
  239. \item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
  240. \end{enumerate}
  241. \item Distributives:
  242. \begin{enumerate}
  243. \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
  244. \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
  245. \end{enumerate}
  246. En particular:
  247. \begin{itemize}
  248. \item $A\cup \left( A\cap B\right) =A$
  249. \item $A\cap \left( A\cup B\right) =A$
  250. \end{itemize}
  251. \item \term{Lleis de De Morgan}\index{lleis!de De Morgan}
  252. \begin{enumerate}
  253. \item $\left( A\cup B\right) ^{c}=A^{c}\cap B^{c}$
  254. \item $\left( A\cap B\right) ^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
  255. \end{enumerate}
  256. \end{enumerate}
  257. Les més importants són les propietats distributives i les lleis de de Morgan.
  258. \begin{exercise}Es disposa d'una urna amb bolles numerades de l'1 al 16, de la qual s'extreu una bolla. Considerem els esdeveniments següents:
  259. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  260. \item $A$ = treure un 7
  261. \item $B$ = treure un nombre menor que 7
  262. \item $C$ = treure un nombre parell
  263. \item $D$ = treure un múltiple de 3
  264. \end{enumerate}
  265. Calculeu \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\Omega$, \item $A \cap B$, \item $A \cup B$, \item $B \cap C$, \item $C \cap D$, \item $C \cup D$, \item $B^c$, \item $A\setminus B$, $B \setminus A$ \end{enumerate*}. Existeixen esdeveniments incompatible entre si?
  266. \end{exercise}
  267. \begin{exercise} Es llança una ruleta de 10 costats, numerats de la següent manera: 2, 4, 6, 8, \ldots, 20, i s'observa el resultat obtingut.
  268. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  269. \item Trobeu l'espai mostral.
  270. \item Escriviu com a conjunts els esdeveniments següents:
  271. \begin{enumerate}
  272. \item $A$ = ``obtenir un nombre parell''
  273. \item $B$ = ``obtenir un nombre senar''
  274. \item $C$ = ``obtenir un múltiple de 3''
  275. \item $D$ = ``obtenir un múltiple de 5''
  276. \item $E$ = ``obtenir un nombre major que 4''
  277. \item $F$ = ``obtenir un nombre menor que 6''
  278. \item $G$ = ``obtenir un múltiple de 3 i 4''
  279. \end{enumerate}
  280. \item Calculeu els seus esdeveniments contraris.
  281. \item Trobeu la unió, la intersecció i la diferència d'$A$ amb cadascun dels altres esdeveniments.
  282. \item Assenyaleu un parell d'esdeveniments incompatibles entre si. Justifiqueu la resposta.
  283. \end{enumerate}
  284. \end{exercise}
  285. \begin{exercise}Aplicant les propietats anteriors, demostreu que:
  286. \begin{multicols}{2}
  287. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  288. \item $A \cap (A \cap B) = A \cap B$
  289. \item $A \cup (B \setminus A) = A \cup B$
  290. \item $(A \setminus B) \cap B = \emptyset$
  291. \item $(A^c \cap B) \cup A = A \cup B$
  292. \item $(A \cup B^c) \cap B = A \cap B$
  293. \item $\left( \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) \right)^c = A \cap B$
  294. \end{enumerate}
  295. \end{multicols}
  296. \end{exercise}
  297. \begin{example}D'entre els habitants d'un poble es tria una persona a l'atzar. Considerem els esdeveniments següents: $A$ = ser soci del casino, $B$ = ser soci del club de futbol local i $C$ ser soci d'alguna associació juvenil. Expresseu en funció de $A$, $B$ i $C$ les situacions següents:
  298. \end{example}
  299. \begin{exercise}Siguin els esdeveniments següents: $A$ = ``plou avui'', $B$ = ``plou demà'' i $C$ = ``plou passat-demà''. Expresseu mitjançant operacions entre esdeveniments:
  300. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  301. \item Plou un dels tres dies, almenys
  302. \item Plou avui però no demà ni passat-demà
  303. \item No plou cap dels tres dies
  304. \item Plou com a màxim dos d'aquests tres dies
  305. \item Plou avui però no demà
  306. \end{enumerate}
  307. Expliqueu el significat de
  308. \begin{multicols}{2}
  309. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  310. \item $( A \cap B) - C$
  311. \item $(A \cup B) - C$
  312. \item $ A \cup B \cup \overline{C}$
  313. \item $\left( A \cap B \right) \cup \left( C \cap A \right)$
  314. \item $\overline{A \cup B}$
  315. \end{enumerate}
  316. \end{multicols}
  317. \end{exercise}
  318. \begin{exercise}Considerem els esdeveniments ``ser oient de RNE'', ``set oient de la SER'', ``ser oient de M80''. Expreseu, mitjançant operacions amb esdeveniments, els esdeveniments següents: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item ``ser oient de només dues emissores'', \item ``ser oient de RNE però no de la SER ni de M80'', \item ``ser oient de, almenys, una emissora'', \item `escoltar alguna emissora però no les tres'', \item ``no escoltar més d'una emissora'' \end{enumerate*}
  319. \end{exercise}
  320. \section{Definici\'{o} de probabilitat}
  321. \begin{definition}
  322. La \textbf{probabilitat} \'{e}s una aplicaci\'{o} que associa a cada succ%
  323. \'{e}s $A$ un n\'{u}mero, $P(A)$, anomenat la probabilitat de $A$, que satisf%
  324. \`{a} el seg\"{u}ent:
  325. \begin{description}
  326. \item[(I)] $P(A)\geq 0$ per a qualsevol succ\'{e}s $A$. \'{E}s a dir, la
  327. probabilitat d'un succ\'{e}s qualsevol no pot ser negativa.
  328. \item[(II)] $P(E)=1$. La probabilitat del succ\'{e}s segur \'{e}s $1$.
  329. \item[(III)] Si $A$ i $B$ s\'{o}n successos incompatibles, la probabilitat
  330. de la seva uni\'{o} verifica el seg\"{u}ent:
  331. \begin{equation*}
  332. P(A\cup B)=P(A)+P(B)
  333. \end{equation*}
  334. \end{description}
  335. \end{definition}
  336. Aquesta definici\'{o} t\'{e} una s\`{e}rie de conseq\"{u}\`{e}ncies:
  337. \begin{description}
  338. \item[(a)] La probabilitat del succ\'{e}s contrari a un succ\'{e}s $A$
  339. qualsevol \'{e}s igual a $1$ menys la probabilitat de $A$:
  340. \begin{equation*}
  341. P(A^{c})=1-P(A)
  342. \end{equation*}
  343. \item[(b)] Si $A$ i $B$ s\'{o}n successos compatibles, aleshores es verifica
  344. el seg\"{u}ent:
  345. \begin{equation*}
  346. P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
  347. \end{equation*}
  348. \item[(c)] \textbf{(\textit{Regla de Laplace}) }\textit{Si l'espai mostral
  349. est\`{a} format per }$n$\textit{\ succesos elementals i tots ells tenen la
  350. mateixa probabilitat d'oc\'{o}rrer, i }$A$\textit{\ \'{e}s un succ\'{e}s
  351. format per }$k$\textit{\ succesos elementals, aleshores es t\'{e} que}
  352. \begin{equation*}
  353. P\left( \text{succ\'{e}s }A\right) =\frac{\text{{\small n\'{u}mero de casos
  354. favorables al succ\'{e}s} }A}{\text{{\small n\'{u}mero de casos posssibles
  355. de l'experiment aleatori}}},
  356. \end{equation*}%
  357. \'{e}s a dir,%
  358. \begin{equation*}
  359. P\left( A\right) =\frac{k}{n}
  360. \end{equation*}%
  361. Expressant aquesta idea de manera col\textperiodcentered loquial, podriem
  362. dir que la probabilitat de qu\`{e} ocorri el succ\'{e}s $A$ respon a la seg%
  363. \"{u}ent idea: si feim l'experiment aleatori un n\'{u}mero $N$ de vegades,
  364. en quantes d'elles haur\`{a} succeit $A$?
  365. \end{description}
  366. A continuaci\'{o} aplicam la llei de Laplace en els seg\"{u}ents exemples.
  367. \begin{example}
  368. \textit{Una urna cont\'{e} }$5$\textit{\ bolles blanques i }$7$\textit{\ de
  369. negres. Se'n treu una a l'atzar. Quina \'{e}s la probabilitat de qu\`{e}
  370. aquesta sigui negra?}
  371. Si aplicam la llei de Laplace -ja que tots els succesos elementals de
  372. l'experiment (qualsevol bolla) s\'{o}n equiprobables- tenim que%
  373. \begin{multline*}
  374. P\left( \text{{\small treure una bolla negra}}\right) = \\
  375. \frac{\text{{\small n\'{u}mero de resultats favorables a l'extracci\'{o}
  376. d'una bolla negra}}}{\text{{\small n\'{u}mero de resultats posibles de
  377. l'experiment aleatori}}}= \\
  378. \frac{\text{{\small n\'{u}mero de bolles negres}}}{\text{{\small n\'{u}mero
  379. total de bolles de l'urna}}}=\frac{7}{12}
  380. \end{multline*}
  381. \end{example}
  382. \begin{example}
  383. \textit{D'un joc de cartes espanyoles (}$48$\textit{\ cartes}:\textit{\ }$12$%
  384. \textit{\ d'ors, }$12$\textit{\ de bastos, }$12$\textit{\ d'espases i }$12$%
  385. \textit{\ de copes) en treim una a l'atzar. Quina \'{e}s la probabilitat de
  386. qu\`{e} aquesta sigui una figura (un }$10$\textit{, anomenat sota, un }$11$%
  387. \textit{, anomenat cavall, i un }$12$\textit{, anomenat rei)?}
  388. Com cada succ\'{e}s elemental de l'espai mostral, a saber, cadascuna de les
  389. cartes del joc, \'{e}s equiprobable, podem aplicar la llei de Lapalce:%
  390. \begin{multline*}
  391. P\left( \text{{\small la carta triada sigui una figura}}\right) = \\
  392. \frac{\text{{\small n\'{u}mero de resultats favorables a l'extracci\'{o}
  393. d'una figura}}}{\text{{\small n\'{u}mero de resultats possibles de
  394. l'experiment aleatori}}}= \\
  395. \frac{\text{{\small n\'{u}mero de figures}}}{\text{{\small n\'{u}mero total
  396. de cartes del joc}}}=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}
  397. \end{multline*}
  398. \end{example}
  399. \begin{exercise}
  400. En el llan\c{c}ament d'un dau, calcula la probabilitat de qu\`{e}:
  401. \begin{description}
  402. \item[(a)] surti un cinc,
  403. \item[(b)] surti un n\'{u}mero parell,
  404. \item[(c)] no surti un n\'{u}mero parell,
  405. \item[(d)] surti m\'{u}ltiple de $3$.
  406. \end{description}
  407. \end{exercise}
  408. \begin{exercise}
  409. A una oficina, un $30\%$ del personal s\'{o}n homes. Es tria una persona a
  410. l'atzar. Calcula la probabilitat de qu\`{e} sigui una dona.
  411. \end{exercise}
  412. \section{Probabilitat condicionada}
  413. En molts de casos la probabilitat d'un succ\'{e}s dep\`{e}n del coneixement
  414. que tenim d'ell. El fet de tenir una informaci\'{o} adicional de l'elecci%
  415. \'{o} que s'ha fet fa que les probabilitats canvi\"{\i}n respecte de les que
  416. hav\'{\i}em examinat a l'apartat anterior. Per exemple, si d'una determinada
  417. poblaci\'{o} triam una persona, les probabilitats $P($home$)$ i $P($%
  418. home/presenta calv\'{\i}cie$)$ han de ser for\c{c}osament diferents, ja que
  419. la calv\'{\i}cie afecta quasi exclusivament als homes: la probabilitat de
  420. que h\`{a}gim triat un home no \'{e}s la mateixa que la de qu\`{e} h\`{a}gim
  421. triat un home sabent que la persona triada presenta clav\'{\i}cie.
  422. Aquest fet ens obliga a introduir la definici\'{o} que es presenta a
  423. continuaci\'{o}:
  424. \begin{definition}
  425. Es defineix la \textbf{probabilitat del succ\'{e}s }$A$\textbf{\
  426. condicionada al succ\'{e}s }$B$, denotada per $P\left( A/B\right) $, com:%
  427. \begin{equation*}
  428. P\left( A/B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
  429. \end{equation*}
  430. \end{definition}
  431. Aquesta f\'{o}rmula es pot interpretar de la seg\"{u}ent manera:
  432. \begin{multline*}
  433. P\left( \text{{\small ocorri el succ\'{e}s} }A\text{ {\small sabent que ha
  434. ocorregut el succ\'{e}s} }B\right) = \\
  435. \frac{P\left( \text{{\small succeeixin tant a} }A\text{ {\small com} }%
  436. B\right) }{P\left( \text{{\small succeeixi} }B\right) }
  437. \end{multline*}%
  438. Observem que en aquesta f\'{o}rmula donam per suposat que \textit{tenim la
  439. certesa} de qu\`{e} el succ\'{e}s $B$ ha ocorregut.
  440. \begin{example}
  441. A una bossa tenim:
  442. \begin{itemize}
  443. \item tres bolles verdes, numerades de l'$1$ al $3,$
  444. \item quatre bolles vermelles, numerades del $4$ al $7$,
  445. \item una bolla negra, amb el n\'{u}mero $8$.
  446. \end{itemize}
  447. Aleshores, si l'experiment consisteix en treure una bolla, es t\'{e} el seg%
  448. \"{u}ent:%
  449. \begin{eqnarray*}
  450. P(parell/verda) &=&\frac{P(parell\text{ i }verda)}{P(verda)}=\frac{1/8}{3/8}=%
  451. \frac{1}{3} \\
  452. P(parell/vermella) &=&\frac{P(parell\text{ i }vermella)}{P(vermella)}=\frac{%
  453. 2/8}{4/8}=\frac{1}{2} \\
  454. P(parell/negra) &=&\frac{P(parell\text{ i }negra)}{P(negra)}=\frac{1/8}{1/8}%
  455. =1
  456. \end{eqnarray*}
  457. \end{example}
  458. \begin{exercise}
  459. D'un joc de cartes se'n treu una a l'atzar. Calcula la probabilitat de qu%
  460. \`{e}:
  461. \begin{description}
  462. \item[(a)] sigui un rei,
  463. \item[(b)] sigui una figura,
  464. \item[(c)] sigui el rei d'espases,
  465. \item[(d)] sigui un rei sabent que ha sortit una figura,
  466. \item[(e)] sigui una figura sabent que ha sortit un rei,
  467. \item[(f)] sigui el rei d'espases sabent que ha sortit una figura.
  468. \end{description}
  469. \end{exercise}
  470. \begin{definition}
  471. Direm que \textbf{el succ\'{e}s }$A$\textbf{\ \'{e}s independent del succ%
  472. \'{e}s }$B$ si es cumpleix el seg\"{u}ent:%
  473. \begin{equation*}
  474. P\left( A/B\right) =P\left( A\right)
  475. \end{equation*}%
  476. En aquest cas es cumpleix que%
  477. \begin{equation*}
  478. P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
  479. \end{equation*}
  480. \end{definition}
  481. \begin{example}
  482. A l'exemple anterior, els successos "parell" i "vermella" s\'{o}n
  483. independents, ja que%
  484. \begin{equation*}
  485. P(parell/vermella)=P(parell)=\frac{1}{2}
  486. \end{equation*}
  487. \end{example}
  488. Es pot provar que si dos successos $A$ i $B$ s\'{o}n independents, tamb\'{e}
  489. ho s\'{o}n els successos que resulten de substituir un o els dos pels
  490. successos contraris.
  491. \chapter{M\`{e}todes de resoluci\'{o} de problemes}
  492. \section{Descripci\'{o} de tots els resultats possibles d'un experiment}
  493. \begin{example}
  494. \textit{Llan\c{c}am una moneda dues vegades. Quina \'{e}s la probabilitat
  495. d'obtenir dues cares?}
  496. Escrivim en primer lloc l'espai mostral:%
  497. \begin{equation*}
  498. E=\left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(
  499. X,X\right) \right\} ,
  500. \end{equation*}%
  501. i aplicam ara la llei de Laplace:%
  502. \begin{multline*}
  503. P\left( \text{{\small obtenir dues cares}}\right) = \\
  504. \frac{\text{{\small n\'{u}mero resultats que contenen} }\left( C,C\right) }{%
  505. \text{{\small n\'{u}mero de casos posssibles de l'experiment aleatori}}}=%
  506. \frac{1}{4}
  507. \end{multline*}%
  508. \newline
  509. Aqu\'{\i} hi ha que recalcar que els quatre resultats possibles de
  510. l'experiment aleatori s\'{o}n igualment probables; en cas contrari no podr%
  511. \'{\i}em aplicar l'esmentada llei.
  512. \end{example}
  513. \section{Diagrama d'arbre}
  514. \begin{example}
  515. \textit{Llan\c{c}am dues monedes. Quina \'{e}s la probabilitat d'obtenir
  516. dues cares? I de qu\`{e} a la primera moneda surti cara i a la segona creu?
  517. I d'obtenir una cara i una creu?}
  518. Observem que en aquest experiment aleatori tenim dos processos: el llan\c{c}%
  519. ament d'una moneda i el llan\c{c}ament de l'altra. Podem imaginar que llan%
  520. \c{c}am en primer lloc una moneda i despr\'{e}s l'altra, en lloc d'imaginar
  521. que les llan\c{c}am les dues a la vegada; els resultats s\'{o}n els
  522. mateixos. Aix\'{\i}, crearem una columna pel primer proc\'{e}s i una altra
  523. pel segon, tal com es mostra a continuaci\'{o}:
  524. %TCIMACRO{%
  525. %\FRAME{ftbpF}{5.0228in}{2.3315in}{0pt}{}{}{Figure}{%
  526. %\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 5.0228in;height 2.3315in;depth 0pt;original-width 12.3322in;original-height 5.7034in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'N1CFL801.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
  527. %BeginExpansion
  528. \begin{figure}[ptb]\begin{center}
  529. \includegraphics[natheight=5.7034in, natwidth=12.3322in, height=2.3315in, width=5.0228in]{./graphics/N1CFL801__23.pdf}
  530. \end{center}\end{figure}
  531. %EndExpansion
  532. \begin{equation*}
  533. \begin{tabular}{ccccc}
  534. & $\underline{{\small 1a\ moneda}}$ & & \underline{${\small 2a\ moneda}$} &
  535. $\underline{{\small Probabilitat\ de\ cada\ cam\acute{\imath}}}$ \\
  536. & & & ${\small C}$ & $\left\{
  537. \begin{array}{c}
  538. P\left( \text{{\small 1%
  539. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  540. %BeginExpansion
  541. ${{}^a}$
  542. %EndExpansion
  543. moneda} }C\text{ {\small i 2%
  544. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  545. %BeginExpansion
  546. ${{}^a}$
  547. %EndExpansion
  548. moneda} }C\right) \\
  549. =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}%
  550. \end{array}%
  551. \right. $ \\
  552. & & $\overset{1/2}{\nearrow }$ & & \\
  553. & ${\small C}$ & & & \\
  554. $\overset{1/2}{\nearrow }$ & & $\underset{1/2}{\searrow }$ & & \\
  555. & & & ${\small X}$ & $\left\{
  556. \begin{array}{c}
  557. P\left( \text{{\small 1%
  558. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  559. %BeginExpansion
  560. ${{}^a}$
  561. %EndExpansion
  562. moneda} }C\text{ {\small i 2%
  563. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  564. %BeginExpansion
  565. ${{}^a}$
  566. %EndExpansion
  567. moneda} }X\right) \\
  568. =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}%
  569. \end{array}%
  570. \right. $ \\
  571. & & & ${\small C}$ & $\left\{
  572. \begin{array}{c}
  573. P\left( \text{{\small 1%
  574. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  575. %BeginExpansion
  576. ${{}^a}$
  577. %EndExpansion
  578. moneda} }X\text{ {\small i 2%
  579. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  580. %BeginExpansion
  581. ${{}^a}$
  582. %EndExpansion
  583. moneda} }C\right) \\
  584. =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}%
  585. \end{array}%
  586. \right. $ \\
  587. $\underset{1/2}{\searrow }$ & & $\overset{1/2}{\nearrow }$ & & \\
  588. & ${\small X}$ & & & \\
  589. & & $\underset{1/2}{\searrow }$ & & \\
  590. & & & ${\small X}$ & $\left\{
  591. \begin{array}{c}
  592. P\left( \text{{\small 1%
  593. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  594. %BeginExpansion
  595. ${{}^a}$
  596. %EndExpansion
  597. moneda} }X\text{ {\small i 2%
  598. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  599. %BeginExpansion
  600. ${{}^a}$
  601. %EndExpansion
  602. moneda} }X\right) \\
  603. =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}%
  604. \end{array}%
  605. \right. $%
  606. \end{tabular}%
  607. \end{equation*}%
  608. Facem una descripci\'{o} d'aquest esquema.
  609. \end{example}
  610. \begin{enumerate}
  611. \item Notem que a les dues primeres columnes apareixen tots els resultats
  612. possibles de cadascuna de les monedes.
  613. \item Observem que a cada columna tots els resultats s\'{o}n mutuament
  614. excloents; \'{e}s a dir, si surt cara no surt creu, i viceversa.
  615. \item A la segona columna apareixen els resultats possibles de la segona
  616. moneda repetits per a cadascun dels resultats de la primera moneda.
  617. \item Abans de la primera columna hem dibuixat una fletxa per a cadascun
  618. dels resultats possibles de la primera moneda amb la probabilitat de que
  619. succeeixi cadascun d'ells. De manera semblant hem dibuixat les fletxes que
  620. hi ha davant dels resultats de la segona columna.
  621. \item La suma de les probabilitats de les fletxes d'un mateix nivell que
  622. surten d'un mateix punt ha de donar sempre $1$.
  623. \item La suma de les probabilitats de tots els camins ha de donar sempre $1$.
  624. \item La probabilitat de cada cam\'{\i} es calcula multiplicant les
  625. probabilitats indicades a les fletxes que pertanyen a aquell cam\'{\i}.
  626. \item Si la probabilitat que ens demanen afecta a m\'{e}s d'un cam\'{\i},
  627. s'han de sumar les probabilitats de cadascun dels camins implicats.
  628. \end{enumerate}
  629. Aquestes observacions, que s'han particularitzat per a aquest exemple, s\'{o}%
  630. n aplicables de manera semblant a qualsevol diagrama d'arbre de
  631. probabilitats, com veurem en els exemples seg\"{u}ents.
  632. Quina interpretaci\'{o} intuitiva podem donar de l'arbre de probabilitats
  633. d'aquest exemple? Si feim l'experiment aleatori que consisteix en llan\c{c}%
  634. ar moltes vegades dues monedes, d'aquestes la meitat d'elles haur\`{a}
  635. sortit cara a la primera moneda, i creu a l'altra meitat. De les vegades en
  636. les quals ha sortit cara a la primera moneda, en la meitat d'elles haur\`{a}
  637. sortit cara a la segona moneda, i creu a l'altra meitat. Finalment, de les
  638. vegades en les quals ha sortit creu a la primera moneda, en la meitat
  639. d'elles haur\`{a} sortit cara a la segona moneda, i creu a l'altra meitat.
  640. Per aix\`{o}, de forma \textit{intuitiva} podem fer l'associaci\'{o} de
  641. conceptes $probabilitat=proporci\acute{o}$.
  642. Amb aquestes indicacions podem respondre les preguntes d'aquest exercici. Aix%
  643. \'{\i}, per calcular la probabilitat d'obtenir dues cares ens fixam en l'%
  644. \'{u}nic cam\'{\i} que t\'{e} dues cares -el primer cam\'{\i} de l'esquema-;
  645. per tant,%
  646. \begin{equation*}
  647. P\left( \text{{\small dues cares}}\right) =P\left( \text{{\small 1%
  648. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  649. %BeginExpansion
  650. ${{}^a}$
  651. %EndExpansion
  652. moneda} }C\text{ {\small i 2%
  653. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  654. %BeginExpansion
  655. ${{}^a}$
  656. %EndExpansion
  657. moneda} }C\right) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}
  658. \end{equation*}%
  659. De la mateixa manera,%
  660. \begin{equation*}
  661. P\left( \text{{\small 1%
  662. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  663. %BeginExpansion
  664. ${{}^a}$
  665. %EndExpansion
  666. moneda} }C\text{ {\small i 2%
  667. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  668. %BeginExpansion
  669. ${{}^a}$
  670. %EndExpansion
  671. moneda} }X\right) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}
  672. \end{equation*}%
  673. Per calcular la probabilitat de qu\`{e} surti una cara i una creu hem de
  674. sumar les probabilitats d'aquells camins en qu\`{e} apareixen una cara i un
  675. creu, que s\'{o}n el segon i el tercer:%
  676. \begin{multline*}
  677. P\left( \text{{\small una cara i una creu}}\right) = \\
  678. P\left( \text{{\small 1%
  679. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  680. %BeginExpansion
  681. ${{}^a}$
  682. %EndExpansion
  683. moneda} }C\text{ {\small i 2%
  684. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  685. %BeginExpansion
  686. ${{}^a}$
  687. %EndExpansion
  688. moneda} }X\right) +P\left( \text{{\small 1%
  689. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  690. %BeginExpansion
  691. ${{}^a}$
  692. %EndExpansion
  693. moneda} }X\text{ {\small i 2%
  694. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  695. %BeginExpansion
  696. ${{}^a}$
  697. %EndExpansion
  698. moneda} }C\right) = \\
  699. =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{%
  700. 1}{2}
  701. \end{multline*}
  702. Vegem un altre exemple d'aquest m\`{e}tode.
  703. \begin{example}
  704. \textit{A una casa hi ha tres clauers, }$A$, $B$\textit{\ i }$C$\textit{,
  705. amb }$5$, $7$\ \textit{i} $8$\textit{\ claus respectivament, de les quals
  706. una de cada clauer obri la porta del rebost. Es tria a l'atzar un clauer i,
  707. d'aquest, una clau per intentar obrir el rebost. Quina \'{e}s la
  708. probabilitat de qu\`{e} s'encerti amb la clau? I la de qu\`{e} es tri\"{\i}n
  709. el tercer clauer i una de les claus d'aquest clauer que no obrin?}\label%
  710. {problema dels 3 clauers}
  711. Facem, en primer lloc, el diagrama d'arbre:%
  712. \begin{equation*}
  713. \begin{tabular}{ccccl}
  714. & & & obri & $\left\{
  715. \begin{array}{c}
  716. P\left( \text{{\small triar clauer }}A\text{ {\small i encertar clau}}%
  717. \right) = \\
  718. \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{15}%
  719. \end{array}%
  720. \right. $ \\
  721. & & $\overset{1/5}{\nearrow }$ & & \\
  722. & $A$ & & & \\
  723. $\overset{1/3}{\nearrow }$ & & $\underset{4/5}{\searrow }$ & & \\
  724. & & & no obri & $\left\{
  725. \begin{array}{c}
  726. P\left( \text{{\small triar clauer }}A\text{ {\small i no encertar clau}}%
  727. \right) = \\
  728. \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}%
  729. \end{array}%
  730. \right. $%
  731. \end{tabular}%
  732. \end{equation*}%
  733. \begin{equation*}
  734. \begin{tabular}{ccccl}
  735. & & & obri & $\left\{
  736. \begin{array}{c}
  737. P\left( \text{{\small triar clauer }}B\text{ {\small i encertar clau}}%
  738. \right) = \\
  739. \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{21}%
  740. \end{array}%
  741. \right. $ \\
  742. & & $\overset{1/7}{\nearrow }$ & & \\
  743. $\overset{1/3}{\longrightarrow }$ & $B$ & & & \\
  744. & & $\underset{6/7}{\searrow }$ & & \\
  745. & & & no obri & $\left\{
  746. \begin{array}{c}
  747. P\left( \text{{\small triar clauer }}B\text{ {\small i no encertar clau}}%
  748. \right) = \\
  749. \frac{1}{3}\cdot \frac{6}{7}=\frac{6}{21}%
  750. \end{array}%
  751. \right. $%
  752. \end{tabular}%
  753. \end{equation*}%
  754. \begin{equation*}
  755. \begin{tabular}{ccccl}
  756. & & & obri & $\left\{
  757. \begin{array}{c}
  758. P\left( \text{{\small triar clauer }}C\text{{\small \ i encertar clau}}%
  759. \right) = \\
  760. \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{24}%
  761. \end{array}%
  762. \right. $ \\
  763. $\underset{1/3}{\searrow }$ & & $\overset{1/8}{\nearrow }$ & & \\
  764. & $C$ & & & \\
  765. & & $\underset{7/8}{\searrow }$ & & \\
  766. & & & no obri & $\left\{
  767. \begin{array}{c}
  768. P\left( \text{{\small triar clauer }}C\text{ {\small i no encertar clau}}%
  769. \right) = \\
  770. \frac{1}{3}\cdot \frac{7}{8}=\frac{7}{24}%
  771. \end{array}%
  772. \right. $%
  773. \end{tabular}%
  774. \end{equation*}%
  775. Aix\'{\i}, amb aquest esquema tenim que:%
  776. \begin{equation*}
  777. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} s'encerti amb la clau}}=\text{ }
  778. \end{equation*}%
  779. \begin{equation*}
  780. \text{{\small suma de les probabilitats de tos els camins en els quals
  781. s'encerta amb la clau}}=
  782. \end{equation*}%
  783. \begin{gather*}
  784. P\left( \text{{\small tria clauer }}A\text{ {\small i encerta clau}}\right) +
  785. \\
  786. P\left( \text{{\small tria clauer }}B\text{ {\small i encerta clau}}\right) +
  787. \\
  788. P\left( \text{{\small tria clauer }}C\text{ {\small i encerta clau}}\right) =
  789. \\
  790. \frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{24}=\frac{131}{840}
  791. \end{gather*}%
  792. Per altra banda:%
  793. \begin{multline*}
  794. \text{{\small probabilitat de que es tri\"{\i}n el tercer clauer i una de
  795. les seves claus que no obri}}= \\
  796. P\left( \text{{\small triar clauer }}C\text{ {\small i no encertar clau}}%
  797. \right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{8}=\frac{7}{24}
  798. \end{multline*}%
  799. Vegem un altre exemple d'aquest m\`{e}tode.
  800. \end{example}
  801. \begin{example}
  802. \textit{Un moix encal\c{c}a un ratol\'{\i}. Aquest pot fugir per tres
  803. carrerons diferents, que designarem per }$A$, $B$\textit{\ i }$C$\textit{.
  804. Les probabilitats de qu\`{e} el ratol\'{\i} entri en els carrerons }$A$, $B$%
  805. \textit{\ i }$C$\textit{\ s\'{o}n, respectivament, de }$0.3$, $0.5$\ \textit{%
  806. i} $0.2$\textit{. Se sap que si el ratol\'{\i} entra en el carrer\'{o} }$A$%
  807. \textit{\ el moix t\'{e} una probabilitat de ca\c{c}ar-lo de }$0.4$\textit{,
  808. que si entra en el carrer\'{o} }$B$\textit{\ la probabilitat de ca\c{c}ar-lo
  809. \'{e}s de }$0.6$\textit{, i de }$0.1$\textit{\ si entra en el carrer\'{o} }$%
  810. C.$\textit{\ Calcula la probabilitat de qu\`{e} el moix caci el ratol\'{\i}.%
  811. \label{problema de moix il ratoli}}
  812. Com abans, aqu\'{\i} tenim dues fases: la primera \'{e}s l'entrada del ratol%
  813. \'{\i} per un dels tres carrerons, i la segona \'{e}s el fet de qu\`{e} el
  814. moix el ca\c{c}i o no. El diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
  815. \begin{equation*}
  816. \begin{tabular}{ccccl}
  817. & & & ca\c{c}a & $\left\{
  818. \begin{array}{c}
  819. P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }A\text{ {\small i el moix el
  820. caci}}\right) = \\
  821. 0.3\cdot 0.4=0.12%
  822. \end{array}%
  823. \right. $ \\
  824. & & $\overset{0.4}{\nearrow }$ & & \\
  825. & $A$ & & & \\
  826. $\overset{0.3}{\nearrow }$ & & $\underset{0.6}{\searrow }$ & & \\
  827. & & & no ca\c{c}a & $\left\{
  828. \begin{array}{c}
  829. P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }A\text{ {\small i el moix no el
  830. caci}}\right) = \\
  831. 0.3\cdot 0.6=0.18%
  832. \end{array}%
  833. \right. $%
  834. \end{tabular}%
  835. \end{equation*}%
  836. \begin{equation*}
  837. \begin{tabular}{ccccl}
  838. & & & ca\c{c}a & $\left\{
  839. \begin{array}{c}
  840. P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }B\text{ {\small i el moix el
  841. caci}}\right) = \\
  842. 0.5\cdot 0.6=0.3%
  843. \end{array}%
  844. \right. $ \\
  845. & & $\overset{0.6}{\nearrow }$ & & \\
  846. $\overset{0.5}{\longrightarrow }$ & $B$ & & & \\
  847. & & $\underset{0.4}{\searrow }$ & & \\
  848. & & & no ca\c{c}a & $\left\{
  849. \begin{array}{c}
  850. P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }B\text{ {\small i el moix no el
  851. caci}}\right) = \\
  852. 0.5\cdot 0.4=0.2%
  853. \end{array}%
  854. \right. $%
  855. \end{tabular}%
  856. \end{equation*}%
  857. \begin{equation*}
  858. \begin{tabular}{ccccl}
  859. & & & ca\c{c}a & $\left\{
  860. \begin{array}{c}
  861. P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }C\text{ {\small i el moix el
  862. caci}}\right) = \\
  863. 0.2\cdot 0.1=0.02%
  864. \end{array}%
  865. \right. $ \\
  866. $\underset{0.2}{\searrow }$ & & $\overset{0.1}{\nearrow }$ & & \\
  867. & $C$ & & & \\
  868. & & $\underset{0.9}{\searrow }$ & & \\
  869. & & & no ca\c{c}a & $\left\{
  870. \begin{array}{c}
  871. P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }C\text{ {\small i el moix no el
  872. caci}}\right) = \\
  873. 0.2\cdot 0.9=0.18%
  874. \end{array}%
  875. \right. $%
  876. \end{tabular}%
  877. \end{equation*}%
  878. Com que aqu\'{\i} hi ha diverses branques d'aquest arbre en les quals el
  879. moix ca\c{c}a el ratol\'{\i}, la probabilitat de qu\`{e} el ca\c{c}i ser\`{a}
  880. la suma de les probabilitats de cadascun d'aquests camins:%
  881. \begin{gather*}
  882. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} el moix caci el ratol\'{\i}}}= \\
  883. \text{{\small suma de les probabilitats dels camins en els quals el moix ca%
  884. \c{c}a el ratol\'{\i}}}= \\
  885. P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }A\text{ {\small i el moix el
  886. caci}}\right) \\
  887. +P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }B\text{ {\small i el moix el
  888. caci}}\right) \\
  889. +P\left( \text{{\small ratol\'{\i} entri en} }C\text{ {\small i el moix el
  890. caci}}\right) \\
  891. =0.12+0.3+0.02=0.44
  892. \end{gather*}
  893. \end{example}
  894. Mostrem un \'{u}ltim exemple d'aquest m\`{e}tode.
  895. \begin{example}
  896. \textit{D'un joc de cartes espanyoles n'extreim dues. Quina \'{e}s la
  897. probabilitat de qu\`{e} ambdues siguin d'espases}?
  898. El diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
  899. \begin{equation*}
  900. \begin{tabular}{ccccc}
  901. & \underline{{\small 1%
  902. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  903. %BeginExpansion
  904. ${{}^a}$
  905. %EndExpansion
  906. carta}} & & \underline{{\small 2%
  907. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  908. %BeginExpansion
  909. ${{}^a}$
  910. %EndExpansion
  911. carta}} & \underline{{\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\
  912. & & & $E$ & $\left\{
  913. \begin{array}{c}
  914. P\left( \text{{\small 1%
  915. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  916. %BeginExpansion
  917. ${{}^a}$
  918. %EndExpansion
  919. carta} }E\text{ {\small i 2%
  920. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  921. %BeginExpansion
  922. ${{}^a}$
  923. %EndExpansion
  924. carta} }E\right) \\
  925. =\frac{12}{48}\cdot \frac{11}{47}=\frac{11}{188}%
  926. \end{array}%
  927. \right. $ \\
  928. & & $\overset{11/47}{\nearrow }$ & & \\
  929. & $E$ & & & \\
  930. $\overset{12/48}{\nearrow }$ & & $\underset{36/47}{\searrow }$ & & \\
  931. & & & $\overline{E}$ & $\left\{
  932. \begin{array}{c}
  933. P\left( \text{{\small 1%
  934. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  935. %BeginExpansion
  936. ${{}^a}$
  937. %EndExpansion
  938. carta} }E\text{ {\small i 2%
  939. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  940. %BeginExpansion
  941. ${{}^a}$
  942. %EndExpansion
  943. carta} }\overline{E}\right) \\
  944. =\frac{12}{48}\cdot \frac{36}{47}=\frac{9}{47}%
  945. \end{array}%
  946. \right. $ \\
  947. & & & & \\
  948. & & & $E$ & $\left\{
  949. \begin{array}{c}
  950. P\left( \text{{\small 1%
  951. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  952. %BeginExpansion
  953. ${{}^a}$
  954. %EndExpansion
  955. carta} }\overline{E}\text{ {\small i 2%
  956. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  957. %BeginExpansion
  958. ${{}^a}$
  959. %EndExpansion
  960. carta} }E\right) \\
  961. =\frac{36}{48}\cdot \frac{12}{47}=\frac{9}{47}%
  962. \end{array}%
  963. \right. $ \\
  964. $\underset{36/48}{\searrow }$ & & $\overset{12/47}{\nearrow }$ & & \\
  965. & $\overline{E}$ & & & \\
  966. & & $\underset{35/47}{\searrow }$ & & \\
  967. & & & $\overline{E}$ & $\left\{
  968. \begin{array}{c}
  969. P\left( \text{{\small 1%
  970. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  971. %BeginExpansion
  972. ${{}^a}$
  973. %EndExpansion
  974. carta} }\overline{E}\text{ {\small i 2%
  975. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  976. %BeginExpansion
  977. ${{}^a}$
  978. %EndExpansion
  979. carta} }\overline{E}\right) \\
  980. =\frac{36}{48}\cdot \frac{35}{47}=\frac{105}{188}%
  981. \end{array}%
  982. \right. $%
  983. \end{tabular}%
  984. \end{equation*}%
  985. Segons la pregunta de l'enunciat, l'\'{u}nic cam\'{\i} que ens interessa
  986. \'{e}s el primer:%
  987. \begin{eqnarray*}
  988. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} ambdues siguin d'espases}} &\mathit{=}&
  989. \\
  990. P\left( \text{{\small 1%
  991. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  992. %BeginExpansion
  993. ${{}^a}$
  994. %EndExpansion
  995. carta} }E\text{ {\small i 2%
  996. %TCIMACRO{\U{aa} }%
  997. %BeginExpansion
  998. ${{}^a}$
  999. %EndExpansion
  1000. carta} }E\right) &=&\frac{12}{48}\text{$\cdot $}\frac{11}{47}=\frac{11}{188}
  1001. \end{eqnarray*}%
  1002. Facem una observaci\'{o} d'aquest diagrama d'arbre. Notem que si a l'extracci%
  1003. \'{o} de la primera carta s'ha obtengut una espasa, aleshores, de cara a fer
  1004. la segona extracci\'{o}, nom\'{e}s queden 11 cartes d'espases. Per aquest
  1005. motiu, la probabilitat de qu\`{e} la segona carta sigui espasa si la primera
  1006. tamb\'{e} ho ha estat \'{e}s de $11/47$. Un raonament semblant s'aplica a
  1007. les altres posibilitats.
  1008. \end{example}
  1009. \begin{example}
  1010. \textit{Retrobem l'exemple dels tres clauers }{\small (veure p\`{a}gina %
  1011. \pageref{problema dels 3 clauers})}\textit{, i demanem-nos ara quina \'{e}s
  1012. la probabilitat de qu\`{e} haguem triat el clauer }$A$\textit{\ si sabem que
  1013. la clau triada obri la porta}.
  1014. Observem que hem resaltat la paraula \textit{sabem}, amb el que volem donar
  1015. a entendre que tenim la certesa de qu\`{e}, una vegada hem realitzat
  1016. l'experiment aleatori complet, la clau triada a l'atzar \'{e}s una de les
  1017. que obrin la porta del rebost. Aix\'{\i}, fent \'{u}s de la f\'{o}rmula
  1018. anterior tenim que:%
  1019. \begin{multline*}
  1020. \text{{\small probabilitat d'haver triat }}A\text{ {\small si sabem que la
  1021. clau triada obri la porta}}= \\
  1022. \frac{P\left( \text{{\small aquells camins que tenen el clauer} }A\text{%
  1023. {\small \ i la clau que obri la porta}}\right) }{P\left( \text{{\small %
  1024. aquells camins que tenen la clau que obri la porta}}\right) }= \\
  1025. \\
  1026. \frac{1/15}{1/15+1/21+1/24}=\frac{56}{131}
  1027. \end{multline*}
  1028. \end{example}
  1029. \begin{example}
  1030. \textit{A l'exemple del moix que encal\c{c}a el ratol\'{\i} }{\small (veure p%
  1031. \`{a}gina \pageref{problema de moix il ratoli})}\textit{, quina \'{e}s la
  1032. probabilitat de qu\`{e} el ratol\'{\i} hagi entrat en el carrer\'{o} }$A$%
  1033. \textit{\ si sabem que finalment el moix l'ha ca\c{c}at}?%
  1034. \begin{multline*}
  1035. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} el ratol\'{\i} hagi entrat per} }A%
  1036. \text{ {\small si sabem que el moix l'ha ca\c{c}at}}= \\
  1037. \frac{P\left( \text{{\small aquells camins que tenen el carrer\'{o}} }A\text{
  1038. {\small i el moix ha ca\c{c}at el ratol\'{\i}}}\right) }{P\left( \text{%
  1039. {\small aquells camins en qu\`{e} el moix ha ca\c{c}at el ratol\'{\i}}}%
  1040. \right) }= \\
  1041. \frac{0.12}{0.12+0.3+0.02}=0.273
  1042. \end{multline*}
  1043. \end{example}
  1044. \newpage
  1045. \subsection{Forma general dels diagrames d'arbre}
  1046. En vista de la definici\'{o} de probabilitat condicionada, els diagrames
  1047. d'arbre, que tenen sempre la mateixa forma (introduint, com es natural,
  1048. tantes etapes i successos com siguin necessaris), poden escriure's com es
  1049. mostra en aquest apartat.
  1050. En el cas de dues etapes, en la primera de les quals els resultats possibles
  1051. s\'{o}n, per exemple, $A_{1}$ i $A_{2}$, i $B_{1}$ i $B_{2}$ els resultats
  1052. de la segona, l'esquema \'{e}s el seg\"{u}ent:%
  1053. \begin{equation*}
  1054. \begin{tabular}{ccccc}
  1055. & & & $B_{1}$ & $P\left( A_{1}\cap B_{1}\right) =P\left( A_{1}\right)
  1056. \cdot P\left( B_{1}/A_{1}\right) $ \\
  1057. & & $\overset{P\left( B_{1}/A_{1}\right) }{\nearrow }$ & & \\
  1058. & $A_{1}$ & & & \\
  1059. $\overset{P\left( A_{1}\right) }{\nearrow }$ & & $\underset{P\left(
  1060. B_{2}/A_{1}\right) }{\searrow }$ & & \\
  1061. & & & $B_{2}$ & $P\left( A_{1}\cap B_{2}\right) =P\left( A_{1}\right)
  1062. \cdot P\left( B_{2}/A_{1}\right) $%
  1063. \end{tabular}%
  1064. \end{equation*}%
  1065. \begin{equation*}
  1066. \begin{tabular}{ccccc}
  1067. & & & $B_{1}$ & $P\left( A_{2}\cap B_{1}\right) =P\left( A_{2}\right)
  1068. \cdot P\left( B_{1}/A_{2}\right) $ \\
  1069. $\underset{P\left( A_{2}\right) }{\searrow }$ & & $\overset{P\left(
  1070. B_{1}/A_{2}\right) }{\nearrow }$ & & \\
  1071. & $A_{2}$ & & & \\
  1072. & & $\underset{P\left( B_{2}/A_{2}\right) }{\searrow }$ & & \\
  1073. & & & $B_{2}$ & $P\left( A_{2}\cap B_{2}\right) =P\left( A_{2}\right)
  1074. \cdot P\left( B_{2}/A_{2}\right) $%
  1075. \end{tabular}%
  1076. \end{equation*}%
  1077. \newpage
  1078. En el cas de tres estapes un possible diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
  1079. \begin{equation*}
  1080. \begin{tabular}{ccccccc}
  1081. & & & & $\overset{P\left( C_{1}/A_{1}\cap B_{1}\right) }{\nearrow }$ & $%
  1082. {\small C}_{1}$ & $\left\{
  1083. \begin{array}{l}
  1084. {\small P}\left( A_{1}\cap B_{1}\cap C_{1}\right) {\small =} \\
  1085. {\small P}\left( A_{1}\right) \cdot {\small P}\left( B_{1}/A_{1}\right)
  1086. \cdot {\small P}\left( C_{1}/A_{1}\cap B_{1}\right)%
  1087. \end{array}%
  1088. \right. $ \\
  1089. & & & ${\small B}_{1}$ & & & \\
  1090. & & & & $\underset{P\left( C_{2}/A_{1}\cap B_{1}\right) }{\searrow }$ & $%
  1091. {\small C}_{2}$ & $\left\{
  1092. \begin{array}{l}
  1093. {\small P}\left( A_{1}\cap B_{1}\cap C_{2}\right) {\small =} \\
  1094. {\small P}\left( A_{1}\right) \cdot {\small P}\left( B_{1}/A_{1}\right)
  1095. \cdot {\small P}\left( C_{2}/A_{1}\cap B_{1}\right)%
  1096. \end{array}%
  1097. \right. $ \\
  1098. & & $\overset{P\left( B_{1}/A_{1}\right) }{\nearrow }$ & & & & \\
  1099. & ${\small A}_{1}$ & & & & & \\
  1100. $\overset{P\left( A_{1}\right) }{\nearrow }$ & & $\underset{P\left(
  1101. B_{2}/A_{1}\right) }{\searrow }$ & & & & \\
  1102. & & & & $\overset{P\left( C_{1}/A_{1}\cap B_{1}\right) }{\nearrow }$ & $%
  1103. C_{1}$ & $\left\{
  1104. \begin{array}{l}
  1105. {\small P}\left( A_{1}\cap B_{2}\cap C_{1}\right) {\small =} \\
  1106. {\small P}\left( A_{1}\right) \cdot {\small P}\left( B_{2}/A_{1}\right)
  1107. \cdot {\small P}\left( C_{1}/A_{1}\cap B_{2}\right)%
  1108. \end{array}%
  1109. \right. $ \\
  1110. & & & ${\small B}_{2}$ & & & \\
  1111. & & & & $\underset{P\left( C_{2}/A_{1}\cap B_{1}\right) }{\searrow }$ & $%
  1112. C_{2}$ & $\left\{
  1113. \begin{array}{l}
  1114. {\small P}\left( A_{1}\cap B_{2}\cap C_{2}\right) {\small =} \\
  1115. {\small P}\left( A_{1}\right) \cdot {\small P}\left( B_{2}/A_{1}\right)
  1116. \cdot {\small P}\left( C_{2}/A_{1}\cap B_{2}\right)%
  1117. \end{array}%
  1118. \right. $%
  1119. \end{tabular}%
  1120. \end{equation*}%
  1121. \begin{equation*}
  1122. \begin{tabular}{ccccccc}
  1123. & & & & $\overset{P\left( C_{1}/A_{2}\cap B_{1}\right) }{\nearrow }$ & $%
  1124. C_{1}$ & $\left\{
  1125. \begin{array}{l}
  1126. {\small P}\left( A_{2}\cap B_{1}\cap C_{1}\right) {\small =} \\
  1127. {\small P}\left( A_{2}\right) \cdot {\small P}\left( B_{1}/A_{2}\right)
  1128. \cdot {\small P}\left( C_{1}/A_{2}\cap B_{1}\right)%
  1129. \end{array}%
  1130. \right. $ \\
  1131. & & & ${\small B}_{1}$ & & & \\
  1132. & & & & $\underset{P\left( C_{2}/A_{2}\cap B_{1}\right) }{\searrow }$ & $%
  1133. C_{2}$ & $\left\{
  1134. \begin{array}{l}
  1135. {\small P}\left( A_{2}\cap B_{1}\cap C_{2}\right) {\small =} \\
  1136. {\small P}\left( A_{2}\right) \cdot {\small P}\left( B_{1}/A_{2}\right)
  1137. \cdot {\small P}\left( C_{2}/A_{2}\cap B_{1}\right)%
  1138. \end{array}%
  1139. \right. $ \\
  1140. $\underset{P\left( A_{2}\right) }{\searrow }$ & & $\overset{P\left(
  1141. B_{1}/A_{2}\right) }{\nearrow }$ & & & & \\
  1142. & ${\small A}_{2}$ & & & & & \\
  1143. & & $\underset{P\left( B_{2}/A_{2}\right) }{\searrow }$ & & & & \\
  1144. & & & & $\overset{P\left( C_{1}/A_{2}\cap B_{2}\right) }{\nearrow }$ & $%
  1145. C_{1}$ & $\left\{
  1146. \begin{array}{l}
  1147. {\small P}\left( A_{2}\cap B_{2}\cap C_{1}\right) {\small =} \\
  1148. {\small P}\left( A_{2}\right) \cdot {\small P}\left( B_{2}/A_{2}\right)
  1149. \cdot {\small P}\left( C_{1}/A_{2}\cap B_{2}\right)%
  1150. \end{array}%
  1151. \right. $ \\
  1152. & & & ${\small B}_{2}$ & & & \\
  1153. & & & & $\underset{P\left( C_{2}/A_{2}\cap B_{2}\right) }{\searrow }$ & $%
  1154. C_{2}$ & $\left\{
  1155. \begin{array}{l}
  1156. {\small P}\left( A_{2}\cap B_{2}\cap C_{2}\right) {\small =} \\
  1157. {\small P}\left( A_{2}\right) \cdot {\small P}\left( B_{2}/A_{2}\right)
  1158. \cdot {\small P}\left( C_{2}/A_{2}\cap B_{2}\right)%
  1159. \end{array}%
  1160. \right. $%
  1161. \end{tabular}%
  1162. \end{equation*}
  1163. \begin{exercise}
  1164. \bigskip En cierta florister\'{\i}a recibieron cantidades iguales de rosas y
  1165. gladiolos, de color blanco o amarillo. El $60$ $\%$ de los gladiolos son de
  1166. color amarillo, mientras que el $70$ $\%$ de las rosas son de color blanco.
  1167. \begin{description}
  1168. \item[(a)] Si elegimos una rosa, \textquestiondown qu\'{e} probabilidad
  1169. tenemos de que sea de color amarillo?
  1170. \item[(b)] \textquestiondown Qu\'{e} proporci\'{o}n de flores son de color
  1171. blanco?
  1172. \item[(c)] Si se compr\'{o} un total de 2000 flores y cogemos dos gladiolos,
  1173. \textquestiondown cu\'{a}l es la probabilidad de que sean de distinto color?
  1174. \end{description}
  1175. \end{exercise}
  1176. \begin{exercise}
  1177. En una m\'{a}quina se han fabricado 100 piezas, de las cuales 15 han
  1178. presentado alg\'{u}n defecto.
  1179. \begin{description}
  1180. \item[(a)] Calcular la proporci\'{o}n de piezas que no son defectuosas.
  1181. \item[(b)] Calcular la probabilidad de que si examinamos dos piezas, ambas
  1182. resulten defectuosas.
  1183. \item[(c)] Si probamos dos piezas y la primera es defectuosa,
  1184. \textquestiondown cu\'{a}l es la probabilidad de que la segunda no lo sea?
  1185. \end{description}
  1186. \end{exercise}
  1187. \begin{exercise}
  1188. Un estuche contiene 15 l\'{a}pices de color rojo y 10 de color azul.
  1189. \begin{description}
  1190. \item[(a)] Si elegimos uno al azar, \textquestiondown cu\'{a}l es la
  1191. probabilidad de que sea rojo?
  1192. \item[(b)] Si extraemos dos, \textquestiondown cu\'{a}l es la probabilidad
  1193. de que ambos sean azules?
  1194. \item[(c)] Si elegimos dos, calcular la probabilidad de que el primero sea
  1195. azul y el segundo rojo.
  1196. \end{description}
  1197. \end{exercise}
  1198. \section{Taules de conting\`{e}ncia}
  1199. Aquest m\`{e}tode sol ser \'{u}til quan avaluam dues caracter\'{\i}stiques.
  1200. Vegem-ho amb el seg\"{u}ent exemple.
  1201. \begin{example}
  1202. \textit{A una determinada poblaci\'{o} el percentage de dones \'{e}s del }$%
  1203. 53 $ $\%$\textit{. Dels homes, un }$20$ $\%$\textit{\ t\'{e} afici\'{o} per
  1204. la lectura, i el }$30$ $\%$\textit{\ de les dones t\'{e} aquest mateixa afici%
  1205. \'{o}. Es tria una persona a l'atzar. Quina \'{e}s la probabilitat de qu\`{e}
  1206. sigui dona i no tengui afici\'{o} per la lectura}?\label{problema dones i
  1207. lectura}
  1208. Aqu\'{\i} ens parlen de dues caracter\'{\i}stiques: el sexe de la persona i
  1209. el fet de ser aficionat a la lectura o no. En aquest tipus de problemes, en
  1210. els quals apareixen percentatges, podem suposar, si volem, que el total de
  1211. la poblaci\'{o} en q\"{u}esti\'{o} est\`{a} compost, per exemple, de 100
  1212. individus (persones en aquest cas). Amb aix\`{o}, podem construir la seg\"{u}%
  1213. ent taula:%
  1214. \begin{equation*}
  1215. \begin{tabular}{cccc}
  1216. \cline{2-3}
  1217. & \multicolumn{1}{|c}{\small Homes} & \multicolumn{1}{|c}{\small Dones} &
  1218. \multicolumn{1}{|c}{} \\ \cline{1-3}\cline{2-3}
  1219. \multicolumn{1}{|c}{\small Aficionats a la lectura} & \multicolumn{1}{|c}{$%
  1220. 0.2\cdot 47$} & \multicolumn{1}{|c}{$0.3\cdot 53$} & \multicolumn{1}{|c}{$%
  1221. 25.3$} \\ \cline{1-3}\cline{2-3}
  1222. \multicolumn{1}{|c}{\small No aficionats a la lectura} & \multicolumn{1}{|c}{%
  1223. $0.8\cdot 47$} & \multicolumn{1}{|c}{$0.7\cdot 53$} & \multicolumn{1}{|c}{$%
  1224. 74.7$} \\ \cline{1-3}\cline{2-3}
  1225. & $47$ & $53$ & $100$%
  1226. \end{tabular}%
  1227. \end{equation*}%
  1228. Observem que apareixen n\'{u}meros decimals referits al n\'{u}mero de
  1229. persones. \`{O}bviament, no \'{e}s possible tenir un n\'{u}mero decimal de
  1230. persones, per\`{o} aquest fet no influeix a l'hora de calcular les
  1231. probabilitats.
  1232. De la taula podem concloure que%
  1233. \begin{multline*}
  1234. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} la persona triada} {\small sigui dona
  1235. i no tengui afici\'{o}}}= \\
  1236. \frac{\text{{\small n\'{u}mero de dones sense afici\'{o} per la lectura}}}{%
  1237. \text{{\small n\'{u}mero total de persones}}}=\frac{0.7\text{$\cdot $}53}{100%
  1238. }=0.371\equiv 37.1\%
  1239. \end{multline*}
  1240. \end{example}
  1241. \begin{example}
  1242. \textit{Amb la taula de conting\`{e}ncia de l'exemple de l'apartat anterior }%
  1243. {\small (veure p\`{a}gina \pageref{problema dones i lectura})}\textit{,
  1244. quina \'{e}s la probabilitat de qu\`{e} la persona triada sigui una dona si
  1245. sabem que t\'{e} afici\'{o} per la lectura}?%
  1246. \begin{multline*}
  1247. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} la persona triada sigui una dona si
  1248. sabem que t\'{e} afici\'{o}}}= \\
  1249. \frac{\text{{\small n\'{u}mero de dones aficionades a la lectura}}}{\text{%
  1250. {\small n\'{u}mero total de persones aficionades a la lectura}}}=\frac{0.3%
  1251. \text{$\cdot $}53}{0.3\text{$\cdot $}53+0.2\text{$\cdot $}47}=0.63
  1252. \end{multline*}
  1253. \end{example}
  1254. \begin{exercise}
  1255. En una oficina, el $70$ $\%$ de los empleados son extranjeros. De entre los
  1256. extranjeros, el $50$ $\%$ son mujeres, mientras que de los no extranjeros s%
  1257. \'{o}lo son hombres el $20$ $\%$.
  1258. \begin{description}
  1259. \item[(a)] \textquestiondown Qu\'{e} porcentaje de empleados no extranjeros
  1260. son mujeres?
  1261. \item[(b)] Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea
  1262. mujer.
  1263. \item[(c)] Fernando trabaja en dicha oficina. \textquestiondown Cu\'{a}l es
  1264. la probabilidad de que sea extranjero?
  1265. \end{description}
  1266. \end{exercise}
  1267. \begin{exercise}
  1268. Una ciudad ha remodelado su paseo mar\'{\i}timo, y en un peri\'{o}dico ha
  1269. aparecido una encuesta realizada a $200$ personas acerca de si el resultado
  1270. ha sido satisfactorio o no. De los $200$ encuestados, $120$ viven en la
  1271. ciudad. Adem\'{a}s, el porcentaje de los que viven en la ciudad y a quienes
  1272. adem\'{a}s les han gustado las obras es del $30$ $\%$, el mismo de aquellos
  1273. que no viven en la ciudad y a quienes tambi\'{e}n les han gustado las obras.
  1274. \begin{description}
  1275. \item[(a)] Si se elige una encuesta de entre las $200$, y \'{e}sta se ha
  1276. hecho a un habitante de la ciudad, \textquestiondown cu\'{a}l es la
  1277. probabilidad de que le gusten las obras?
  1278. \item[(b)] Si se elige una encuesta de entre las $200$, y el individuo
  1279. afirma que le gustan las obras, \textquestiondown qu\'{e} probabilidad hay
  1280. de que viva en la ciudad?
  1281. \end{description}
  1282. \end{exercise}
  1283. \begin{exercise}
  1284. Se ha realizado una peque\~{n}a encuesta a un grupo de estudiantes de inform%
  1285. \'{a}tica. Entre sus conclusiones est\'{a} que un $40$ $\%$ ha recibido ya
  1286. alg\'{u}n cursillo de inform\'{a}tica. Adem\'{a}s, el $20$ $\%$ de los que
  1287. recibieron con anterioridad alg\'{u}n cursillo de inform\'{a}tica tiene
  1288. ordenador en casa. Un $10$ $\%$ de estudiantes tiene ordenador en casa y no
  1289. recibi\'{o} con anterioridad un cursillo de inform\'{a}tica.
  1290. \begin{description}
  1291. \item[(a)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que un
  1292. estudiante tenga ordenador en casa y haya recibido un cursillo de inform\'{a}%
  1293. tica con anterioridad?
  1294. \item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que un
  1295. estudiante tenga ordenador en casa?
  1296. \item[(c)] Si un estudiante tiene ordenador en casa, \textquestiondown cu%
  1297. \'{a}l es la probabilidad de que ya haya recibido un cursillo de inform\'{a}%
  1298. tica?
  1299. \end{description}
  1300. \end{exercise}
  1301. \section{Altres m\`{e}todes}
  1302. \begin{example}
  1303. \textit{A una ciutat el }$55$ $\%$\textit{\ dels habitants consumeix pa
  1304. integral, el }$30$ $\%$\textit{\ de multicereals i el }$20$ $\%$\textit{\
  1305. d'ambdos tipus. Quina \'{e}s la probabilitat de qu\`{e} una persona
  1306. d'aquesta ciutat no consumesqui cap dels dos tipus de pa}?
  1307. Suposarem, com a l'exemple anterior, que la poblaci\'{o} total \'{e}s de $%
  1308. 100 $ persones.
  1309. Podem fer el seg\"{u}ent diagrama:
  1310. %TCIMACRO{%
  1311. %\FRAME{ftbphF}{4.6484in}{2.5927in}{0pt}{}{}{Figure}{%
  1312. %\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 4.6484in;height 2.5927in;depth 0pt;original-width 10.1321in;original-height 5.6334in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'N0WAIE00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
  1313. %BeginExpansion
  1314. \begin{figure}[hptb]\begin{center}
  1315. \includegraphics[natheight=5.6334in, natwidth=10.1321in, height=2.5927in, width=4.6484in]{./graphics/N0WAIE00__24.pdf}
  1316. \end{center}\end{figure}
  1317. %EndExpansion
  1318. D'aqu\'{\i} es veu que:
  1319. n\'{u}mero de persones d'aquesta ciutat que consumeixen nom\'{e}s pa
  1320. integral: $35$
  1321. n\'{u}mero de persones d'aquesta ciutat que consumeixen nom\'{e}s pa de
  1322. multicereals: $10$
  1323. n\'{u}mero de persones d'aquesta ciutat que consumeixen tant pa integral com
  1324. de multicerals: $20$
  1325. n\'{u}mero de persones d'aquesta ciutat que no consumeixen cap dels dos
  1326. tipus de pa: $35$
  1327. Aleshores:%
  1328. \begin{multline*}
  1329. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} una persona no consumesqui cap dels
  1330. dos tipus de pa}}= \\
  1331. \frac{\text{{\small n\'{u}mero de persones que cap dels dos tipus de pa}}}{%
  1332. \text{{\small n\'{u}mero total de persones}}}=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}
  1333. \end{multline*}
  1334. \end{example}
  1335. \begin{exercise}
  1336. En una poblaci\'{o}n se sabe que el $30$ $\%$ escucha los informativos por
  1337. la radio, el $60$ $\%$ por la televisi\'{o}n, y el $20$ $\%$ los escucha por
  1338. los dos medios de comunicaci\'{o}n. Si se elige una persona al azar,
  1339. determina la probabilidad de que:
  1340. \begin{description}
  1341. \item[(a)] escuche alguno de los medios de comunicaci\'{o}n,
  1342. \item[(b)] escuche la radio sabiendo que no ve la televisi\'{o}n,
  1343. \item[(c)] escuche s\'{o}lo uno de los dos medios.
  1344. \end{description}
  1345. \end{exercise}
  1346. \section{Aplicaci\'{o} directa de les f\'{o}rmules}
  1347. De vegades se'ns plantejaran problemes de probabilitat en els quals no es dir%
  1348. \`{a} de manera expl\'{\i}cita quins s\'{o}n els succesos del problema, sin%
  1349. \'{o} que se'ns parlar\`{a} d'uns successos gen\`{e}rics. En aquest casos no
  1350. quedar\`{a} altra soluci\'{o} que aplicar les f\'{o}rmules que coneixem:
  1351. \begin{itemize}
  1352. \item probabilitat del complementari:%
  1353. \begin{equation*}
  1354. P(A^{c})=1-P(A)\text{ }
  1355. \end{equation*}
  1356. \item probabilitat de la uni\'{o}:%
  1357. \begin{equation*}
  1358. P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
  1359. \end{equation*}
  1360. \item probabilitat condicionada:%
  1361. \begin{equation*}
  1362. P\left( A/B\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
  1363. \end{equation*}
  1364. \item lleis de Morgan:%
  1365. \begin{eqnarray*}
  1366. \left( A\cup B\right) ^{c} &=&A^{c}\cap B^{c} \\
  1367. \left( A\cap B\right) ^{c} &=&A^{c}\cup B^{c}
  1368. \end{eqnarray*}
  1369. \end{itemize}
  1370. \begin{example}
  1371. Donats els successos $A$ i $B$, i les probabilitats $P(A)=0.1,$ $P(B)=0.2$ i
  1372. $P(A\cup B)=0.25$, calcula $P(A^{c})$ i $P(A\cap B)$.
  1373. Si aplicam la primera f\'{o}rmula tenim que $P(A^{c})=1-P(A)=1-0.1=0.9$.
  1374. Amb la segona f\'{o}rmula es t\'{e} que:%
  1375. \begin{equation*}
  1376. 0.25=0.1+0.2-P(A\cap B),
  1377. \end{equation*}%
  1378. i d'aqu\'{\i} que%
  1379. \begin{equation*}
  1380. P(A\cap B)=0.1+0.2-0.25=0.05
  1381. \end{equation*}
  1382. \end{example}
  1383. \begin{exercise}
  1384. Determina si s\'{o}n compatibles o incompatibles els successos $A$ i $B$,
  1385. sabent que $P(A)=1/4,$ $P(B)=1/2$ i $P(A\cup B)=2/3$.
  1386. \end{exercise}
  1387. \begin{exercise}
  1388. Dels successos $A$ i $B$ se sap que $P(A)=2/5,$ $P(B)=1/3$ i $P(A^{c}\cap
  1389. B^{c})=1/3$. Calcula $P(A\cup B)$ i $P(A\cap B)$.
  1390. \end{exercise}
  1391. \chapter{Altres exercicis}
  1392. \begin{example}
  1393. \textit{En una ciutat es publiquen tres diaris: }$A$, $B$\textit{\ i }$C$%
  1394. \textit{. El }$50$ $\%$\textit{\ de la gent est\`{a} subscrita a }$A$,%
  1395. \textit{\ el }$40$ $\%$\textit{\ a }$B$\textit{\ i el }$30$ $\%$\textit{\ a }%
  1396. $C$. \textit{El }$20$ $\%$\textit{\ est\`{a} subscrita a }$A$\textit{\ i }$B$%
  1397. ;\textit{\ el }$10$ $\%$\textit{\ a }$A$\textit{\ i }$C$;\textit{\ el }$20$ $%
  1398. \%$\textit{\ a }$B$\textit{\ i }$C$,\textit{\ i el }$5$ $\%$ \textit{a\ }$A$%
  1399. , \textit{a} $B$\textit{\ i a }$C$\textit{. Si escollim a l'atzar un
  1400. habitant d'aquesta ciutat},\textit{\ calculau la probabilitat de qu\`{e}}:
  1401. \begin{description}
  1402. \item[(a)] \textit{estigui subscrit almenys a un diari},
  1403. \item[(b)] \textit{no estigui subscrit a cap diari},
  1404. \item[(c)] \textit{estigui subscrit exactament a un diari.}
  1405. \end{description}
  1406. \end{example}
  1407. Per resoldre el problema introduim la seg\"{u}ent notaci\'{o} :
  1408. \begin{description}
  1409. \item $NA$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament al
  1410. diari $A$,
  1411. \item $NB$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament al
  1412. diari $B$,
  1413. \item $NC$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament al
  1414. diari $C$,
  1415. \item $AB$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament als
  1416. diaris $A$ i $B$,
  1417. \item $AC$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament als
  1418. diaris $A$ i $C$,
  1419. \item $BC$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites \'{u}nicament als
  1420. diaris $B$ i $C$,
  1421. \item $ABC$: n\'{u}mero de persones que estan subscrites als tres diaris.
  1422. \end{description}
  1423. Com ja hem fet a altres exercicis en els quals intervenen percentatges,
  1424. suposarem aqu\'{\i} que el n\'{u}mero total de persones \'{e}s de $100$.
  1425. Aix\'{\i}, podem plantejar el seg\"{u}ent sistema d'equacions:%
  1426. \begin{equation*}
  1427. \left.
  1428. \begin{array}{rcl}
  1429. NA+AB+AC+ABC & = & 50 \\
  1430. NB+AB+BC+ABC & = & 40 \\
  1431. NC+AC+BC+ABC & = & 30 \\
  1432. AB+ABC & = & 20 \\
  1433. AC+ABC & = & 10 \\
  1434. BC+ABC & = & 20 \\
  1435. ABC & = & 5%
  1436. \end{array}%
  1437. \right\}
  1438. \end{equation*}
  1439. La soluci\'{o} d'aquest sistema \'{e}s:%
  1440. \begin{equation*}
  1441. ABC=5,\text{ }BC=15,\text{ }AC=5,\text{ }AB=15,\text{ }NC=5,\text{ }NB=5,%
  1442. \text{ }NA=25
  1443. \end{equation*}%
  1444. O b\'{e} fer el seg\"{u}ent diagrama:
  1445. %TCIMACRO{%
  1446. %\FRAME{ftbphF}{4.8551in}{2.7432in}{0pt}{}{}{Figure}{%
  1447. %\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 4.8551in;height 2.7432in;depth 0pt;original-width 12.3322in;original-height 6.9488in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'N0UHJ200.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
  1448. %BeginExpansion
  1449. \begin{figure}[hptb]\begin{center}
  1450. \includegraphics[natheight=6.9488in, natwidth=12.3322in, height=2.7432in, width=4.8551in]{./graphics/N0UHJ200__25.pdf}
  1451. \end{center}\end{figure}
  1452. %EndExpansion
  1453. Amb aix\`{o},%
  1454. \begin{multline*}
  1455. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} estigui subscrit almenys a un diari}}=
  1456. \\
  1457. \frac{NA+NB+NC+AB+AC+BC+ABC}{100}=\frac{75}{100},
  1458. \end{multline*}%
  1459. \begin{multline*}
  1460. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} no estigui subscrit a cap diari}}= \\
  1461. \frac{100-\left( NA+NB+NC+AB+AC+BC+ABC\right) }{100}=\frac{25}{100},
  1462. \end{multline*}%
  1463. \begin{multline*}
  1464. \text{{\small probabilitat de qu\`{e} estigui subscrit exactament a un diari}%
  1465. }= \\
  1466. \frac{NA+NB+NC}{100}=\frac{35}{100}
  1467. \end{multline*}
  1468. \begin{example}
  1469. \textit{En un grupo de matrimonios se ha observado que en el }$50$ $\%$%
  1470. \textit{\ la mujer tiene estudios universitarios. En un }$30$ $\%$\textit{\
  1471. de los matrimonios tanto el hombre como la mujer los tienen. Finalmente},%
  1472. \textit{\ en el }$37.5$ $\%$\textit{\ de los matrimonios en los que el
  1473. marido tiene estudios universitarios la mujer los tiene.}
  1474. \begin{description}
  1475. \item[(a)] \textquestiondown \textit{Qu\'{e} probabilidad hay de que en un
  1476. matrimonio el marido tenga estudios universitarios}?
  1477. \item[(b)] \textquestiondown \textit{En qu\'{e} porcentaje de matrimonios en
  1478. los que la mujer tiene estudios universitarios el marido tambi\'{e}n los
  1479. tiene}?
  1480. \item[(c)] \textquestiondown \textit{En qu\'{e} porcentaje de matrimonios el
  1481. marido no tiene estudios universitarios y la mujer s\'{\i}}?
  1482. \end{description}
  1483. \end{example}
  1484. Per resoldre el problema introduim la seg\"{u}ent notaci\'{o}:
  1485. \begin{description}
  1486. \item $hd$: n\'{u}mero de matrimonis en qu\`{e} tots dos tenen estudis
  1487. universitaris,
  1488. \item $h\overline{d}$: n\'{u}mero de matrimonis en qu\`{e} l'home t\'{e}
  1489. estudis universitaris i la d\'{o}na no,
  1490. \item $\overline{h}d$: n\'{u}mero de matrimonis en qu\`{e} l'home no t\'{e}
  1491. estudis universitaris i la d\'{o}na s\'{\i} els t\'{e},
  1492. \item $\overline{h}\overline{d}$: n\'{u}mero de matrimonis en qu\`{e} cap
  1493. dels dos tenen estudis universitaris.
  1494. \end{description}
  1495. Suposam que el n\'{u}mero total de matrimonis \'{e}s de $100$. Amb aix\`{o}
  1496. plantejam el seg\"{u}ent sistema d'equacions:%
  1497. \begin{equation*}
  1498. \left.
  1499. \begin{array}{rcr}
  1500. hd+\overline{h}d & = & 50 \\
  1501. hd & = & 30 \\
  1502. 0.375\left( hd+h\overline{d}\right) & = & hd \\
  1503. hd+h\overline{d}+\overline{h}d+\overline{h}\overline{d} & = & 100%
  1504. \end{array}%
  1505. \right\} ,
  1506. \end{equation*}%
  1507. la soluci\'{o} del qual \'{e}s la seg\"{u}ent:%
  1508. \begin{equation*}
  1509. hd=30,\text{ }\overline{h}d=20,\text{ }h\overline{d}=50,\text{ }\overline{h}%
  1510. \overline{d}=0
  1511. \end{equation*}%
  1512. Amb aix\`{o} ja podem respondre les preguntes plantejades:
  1513. \begin{description}
  1514. \item[(a)]
  1515. \begin{eqnarray*}
  1516. P\left( \text{{\small en un matrimonio el marido tenga estudios
  1517. universitarios}}\right) &=& \\
  1518. \frac{hd+h\overline{d}}{100} &=&\frac{80}{100}\equiv 80\%
  1519. \end{eqnarray*}
  1520. \item[(b)]
  1521. \begin{gather*}
  1522. \text{{\small porcentaje de matrimonios en los que el marido }} \\
  1523. \text{{\small tiene estudios universitarios sabiendo que la mujer tambi\'{e}%
  1524. n los tiene}}= \\
  1525. \frac{%
  1526. \begin{array}{c}
  1527. \text{{\small n\'{u}mero de matrimonios en que }} \\
  1528. \text{{\small el hombre y la mujer tienen estudios universitarios}}%
  1529. \end{array}%
  1530. }{\text{{\small n\'{u}mero de matrimonios en que la mujer tiene estudios
  1531. universitrios}}}= \\
  1532. \frac{hd}{hd+\overline{h}d}=\frac{30}{30+20}\equiv 60\%
  1533. \end{gather*}
  1534. \item[(c)]
  1535. \begin{eqnarray*}
  1536. \text{{\small porcentaje de matrimonios en que}} &\text{{\small \ }}& \\
  1537. \text{{\small el marido no tiene estudios universitarios y la mujer s\'{\i}}}
  1538. &&\text{{\small \ }}= \\
  1539. \frac{\overline{h}d}{100} &=&\frac{20}{100}=20\%
  1540. \end{eqnarray*}
  1541. \end{description}
  1542. \begin{example}
  1543. \textit{Un estudiant fa dues proves el mateix dia. La probabilitat de qu\`{e}
  1544. passi la primera \'{e}s de }$0.6$\textit{, la de qu\`{e} passi la segona
  1545. \'{e}s de }$0.8$\textit{, i la de que passi ambdues \'{e}s de }$0.5$\textit{%
  1546. . Es demana:}
  1547. \begin{description}
  1548. \item[(a)] \textit{Probabilitat de qu\`{e} passi almenys una prova.}
  1549. \item[(b)] \textit{Probabilitat de qu\`{e} no passi cap prova.}
  1550. \item[(c)] \textit{S\'{o}n les proves successos independents?}
  1551. \item[(d)] \textit{Probabilitat de qu\`{e} passi la segona prova en cas de
  1552. no haver superat la primera.}
  1553. \end{description}
  1554. \end{example}
  1555. \textbf{Soluci\'{o} 1} \ \ El diagrama d'arbre, amb les dades del problema,
  1556. \'{e}s el seg\"{u}ent:%
  1557. \begin{equation*}
  1558. \begin{tabular}{ccccc}
  1559. & \underline{{\small 1a prova}} & & \underline{{\small 2a prova}} &
  1560. \underline{{\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\
  1561. & & & $p$ & \multicolumn{1}{l}{$P\left( \text{{\small passi 1a prova i
  1562. passi 2a prova}}\right) =0.5$} \\
  1563. & & $\overset{x}{\nearrow }$ & & \multicolumn{1}{l}{} \\
  1564. & $p$ & & & \multicolumn{1}{l}{} \\
  1565. $\overset{0.6}{\nearrow }$ & & $\underset{1-x}{\searrow }$ & &
  1566. \multicolumn{1}{l}{} \\
  1567. & & & $\overline{p}$ & \multicolumn{1}{l}{$P\left( \text{{\small passi 1a
  1568. prova i no passi 2a prova}}\right) $} \\
  1569. & & & & \multicolumn{1}{l}{} \\
  1570. & & & $p$ & \multicolumn{1}{l}{$P\left( \text{{\small no passi 1a prova i
  1571. passi 2a prova}}\right) $} \\
  1572. $\underset{0.4}{\searrow }$ & & $\overset{y}{\nearrow }$ & &
  1573. \multicolumn{1}{l}{} \\
  1574. & $\overline{p}$ & & & \multicolumn{1}{l}{} \\
  1575. & & $\underset{1-y}{\searrow }$ & & \multicolumn{1}{l}{} \\
  1576. & & & $\overline{p}$ & \multicolumn{1}{l}{$P\left( \text{{\small no passi
  1577. 1a prova i no passi 2a prova}}\right) $}%
  1578. \end{tabular}%
  1579. \end{equation*}%
  1580. Observem que aqu\'{\i} no donam per suposada la independ\`{e}ncia de les
  1581. dues proves. Calculem a continuaci\'{o} els valors de $x$ i de $y$, per tal
  1582. de completar l'arbre amb dades num\`{e}riques.
  1583. Ara:%
  1584. \begin{equation*}
  1585. P\left( \text{{\small passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) =0.6x,
  1586. \end{equation*}%
  1587. i, per tant,%
  1588. \begin{equation*}
  1589. 0.6x=0.5,
  1590. \end{equation*}%
  1591. del que es dedueix que%
  1592. \begin{equation*}
  1593. x=\frac{5}{6}\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }1-x=\frac{1}{6}
  1594. \end{equation*}%
  1595. Per altra banda, els camins en els quals es passa la segona prova s\'{o}n el
  1596. primer i el tercer, i de l'enunciat del problema sabem que la probabilitat
  1597. de qu\`{e} passi la segona prova \'{e}s de $0.8$. Aix\`{o} s'escriu com:%
  1598. \begin{equation*}
  1599. P\left( \text{{\small passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) +P\left(
  1600. \text{{\small no passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) =0.8,
  1601. \end{equation*}%
  1602. o b\'{e}%
  1603. \begin{equation*}
  1604. 0.5+0.4y=0.8,
  1605. \end{equation*}%
  1606. del que resulta que
  1607. \begin{equation*}
  1608. y=0.75
  1609. \end{equation*}%
  1610. Amb tot aix\`{o} es pot escriure de nou el diagrama d'arbre:%
  1611. \begin{equation*}
  1612. \begin{tabular}{ccccc}
  1613. & \underline{{\small 1a prova}} & & \underline{{\small 2a prova}} &
  1614. \underline{{\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\
  1615. & & & $p$ & \multicolumn{1}{l}{$\left\{ P\left( \text{{\small passi 1a
  1616. prova i passi 2a prova}}\right) =0.5\right. $} \\
  1617. & & $\overset{5/6}{\nearrow }$ & & \multicolumn{1}{l}{} \\
  1618. & $p$ & & & \multicolumn{1}{l}{} \\
  1619. $\overset{0.6}{\nearrow }$ & & $\underset{1/6}{\searrow }$ & &
  1620. \multicolumn{1}{l}{} \\
  1621. & & & $\overline{p}$ & \multicolumn{1}{l}{$\left\{
  1622. \begin{array}{c}
  1623. P\left( \text{{\small passi 1a prova i no passi 2a prova}}\right) = \\
  1624. 0.6\cdot \frac{1}{6}=0.1%
  1625. \end{array}%
  1626. \right. $} \\
  1627. & & & $p$ & \multicolumn{1}{l}{$\left\{
  1628. \begin{array}{c}
  1629. P\left( \text{{\small no passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) = \\
  1630. 0.4\cdot 0.75=0.3%
  1631. \end{array}%
  1632. \right. $} \\
  1633. $\underset{0.4}{\searrow }$ & & $\overset{0.75}{\nearrow }$ & &
  1634. \multicolumn{1}{l}{} \\
  1635. & $\overline{p}$ & & & \multicolumn{1}{l}{} \\
  1636. & & $\underset{0.25}{\searrow }$ & & \multicolumn{1}{l}{} \\
  1637. & & & $\overline{p}$ & \multicolumn{1}{l}{$\left\{
  1638. \begin{array}{c}
  1639. P\left( \text{{\small no passi 1a prova i no passi 2a prova}}\right) = \\
  1640. 0.4\cdot 0.25=0.1%
  1641. \end{array}%
  1642. \right. $}%
  1643. \end{tabular}%
  1644. \end{equation*}%
  1645. Ara podem respondre les preguntes:%
  1646. \begin{gather*}
  1647. \text{{\small Probabilitat de qu\`{e} passi almenys una prova}}= \\
  1648. P\left( \text{{\small passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) + \\
  1649. P\left( \text{{\small passi 1a prova i no passi 2a prova}}\right) + \\
  1650. P\left( \text{{\small no passi 1a prova i passi 2a prova}}\right) = \\
  1651. 0.5+0.1+0.3=0.9
  1652. \end{gather*}%
  1653. \begin{eqnarray*}
  1654. \text{{\small Probabilitat de qu\`{e} no passi cap prova}} &=& \\
  1655. P\left( \text{{\small no passi 1a prova i no passi 2a prova}}\right) &=&0.1
  1656. \end{eqnarray*}%
  1657. Les proves no s\'{o}n independents, ja que
  1658. \begin{eqnarray*}
  1659. P\left( \text{{\small \ passi 2a prova sabent que ha passat la 1a prova}}%
  1660. \right) &=&\frac{5}{6} \\
  1661. &\neq &0.8=P\left( \text{{\small passi la 2a prova}}\right)
  1662. \end{eqnarray*}%
  1663. Finalment:%
  1664. \begin{equation*}
  1665. \text{{\small Probabilitat de qu\`{e} passi la segona en cas de no haver
  1666. superat la primera}}=0.75,
  1667. \end{equation*}%
  1668. com podem veure directament, sense necessitat d'aplicar la f\'{o}rmula de la
  1669. probabilitat condicionada, en el diagrama d'arbre.
  1670. \textbf{Soluci\'{o} 2} \ \ Suposem que l'alumne fa $100$ vegades aquest
  1671. conjunt de dues proves. Aleshores, utilitzam la seg\"{u}ent notaci\'{o}:
  1672. $sp:$ n\'{u}mero de vegades en qu\`{e} nom\'{e}s passa la primera prova,
  1673. $ss:$ n\'{u}mero de vegades en qu\`{e} nom\'{e}s passa la segona prova,
  1674. $ps:$ n\'{u}mero de vegades en qu\`{e} passa tant la primera com la segona
  1675. prova,
  1676. $\overline{ps}:$ n\'{u}mero de vegades en qu\`{e} no passa la primera ni la
  1677. segona prova.
  1678. Amb aix\`{o} podem plantejar el seg\"{u}ent sistema d'equacions:%
  1679. \begin{equation*}
  1680. \left.
  1681. \begin{array}{rcr}
  1682. sp+ps & = & 60 \\
  1683. ss+ps & = & 80 \\
  1684. ps & = & 50 \\
  1685. sp+ss+ps+\overline{ps} & = & 100%
  1686. \end{array}%
  1687. \right\}
  1688. \end{equation*}%
  1689. la soluci\'{o} del qual \'{e}s:%
  1690. \begin{equation*}
  1691. ps=50,\text{ }ss=30,\text{ }sp=10,\text{ }\overline{ps}=10
  1692. \end{equation*}%
  1693. Ara es poden respondre les preguntes de l'enunciat:%
  1694. \begin{eqnarray*}
  1695. \text{{\small Probabilitat de qu\`{e} passi almenys una prova}} &=&\frac{%
  1696. 50+30+10}{100}=90\% \\
  1697. \text{{\small Probabilitat de qu\`{e} no passi cap prova}} &=&\frac{10}{100}%
  1698. =10\% \\
  1699. P\left( \text{{\small \ passi 2a prova sabent que ha passat la 1a prova}}%
  1700. \right) &=&\frac{ps}{sp+ps}=\frac{50}{60}
  1701. \end{eqnarray*}%
  1702. \begin{multline*}
  1703. \text{{\small Probabilitat de qu\`{e} passi la segona prova si no ha superat
  1704. la primera}}= \\
  1705. \frac{ss}{ss+\overline{ps}}=\frac{30}{40}
  1706. \end{multline*}
  1707. \begin{example}
  1708. \textit{Una m\'{a}quina se compone de dos elementos},\textit{\ }$A$ y $B$.
  1709. La probabilidad de que el funcionamiento de $A$ sea defectuoso es $0.05$,\ y
  1710. la de que el funcionamiento de $B$ \textit{sea defectuoso es }$0.03$\textit{%
  1711. . La m\'{a}quina funciona correctamente siempre que lo hacen ambos elementos
  1712. y tambi\'{e}n en el }$30$ $\%$\textit{\ de los casos en que ambos son
  1713. defectuosos. Calcula la probabilidad de que la m\'{a}quina no funcione
  1714. correctamente si consideramos que ambas partes son independientes.}
  1715. \end{example}
  1716. El diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
  1717. \begin{equation*}
  1718. \begin{tabular}{ccccccc}
  1719. & $\underline{A}$ & & $\underline{B}$ & & \underline{{\small funciona?}} &
  1720. \underline{{\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\
  1721. & & & & $\overset{30/100}{\nearrow }$ & ${\small s\acute{\imath}}$ & $%
  1722. 0.05\cdot 0.03\cdot \frac{30}{100}$ \\
  1723. & & & ${\small d}$ & & & \\
  1724. & & & & $\underset{70/100}{\searrow }$ & ${\small no}$ & $0.05\cdot
  1725. 0.03\cdot \frac{70}{100}$ \\
  1726. & & $\overset{0.03}{\nearrow }$ & & & & \\
  1727. & ${\small d}$ & & & & & \\
  1728. $\overset{0.05}{\nearrow }$ & & $\underset{0.97}{\searrow }$ & & & & \\
  1729. & & & & $\overset{0}{\nearrow }$ & $s\acute{\imath}$ & $0.05\cdot
  1730. 0.97\cdot 0$ \\
  1731. & & & $\overline{{\small d}}$ & & & \\
  1732. & & & & $\underset{1}{\searrow }$ & $no$ & $0.05\cdot 0.97\cdot 1$ \\
  1733. & & & & & & \\
  1734. & & & & $\overset{0}{\nearrow }$ & $s\acute{\imath}$ & $0.95\cdot
  1735. 0.03\cdot 0$ \\
  1736. & & & ${\small d}$ & & & \\
  1737. & & & & $\underset{1}{\searrow }$ & $no$ & $0.95\cdot 0.03\cdot 1$ \\
  1738. $\underset{0.95}{\searrow }$ & & $\overset{0.03}{\nearrow }$ & & & & \\
  1739. & $\overline{{\small d}}$ & & & & & \\
  1740. & & $\underset{0.97}{\searrow }$ & & & & \\
  1741. & & & & $\overset{1}{\nearrow }$ & $s\acute{\imath}$ & $0.95\cdot
  1742. 0.97\cdot 1$ \\
  1743. & & & $\overline{{\small d}}$ & & & \\
  1744. & & & & $\underset{0}{\searrow }$ & $no$ & $0.95\cdot 0.97\cdot 0$%
  1745. \end{tabular}%
  1746. \end{equation*}
  1747. Ara podem respondre la pregunta de l'enunciat:%
  1748. \begin{multline*}
  1749. \text{{\small probabilidad de que la m\'{a}quina no funcione correctamente}}=
  1750. \\
  1751. 0.05\cdot 0.03\cdot \frac{70}{100}+0.05\cdot 0.97\cdot 1+0.95\cdot 0.03\cdot
  1752. 1+0.95\cdot 0.97\cdot 0= \\
  1753. 0.078\,05
  1754. \end{multline*}
  1755. \begin{example}
  1756. \textit{Un aparell el\`{e}ctric est\`{a} constituit per dos components},%
  1757. \textit{\ }$A$ i $B$\textit{. Sabent que hi ha una probabilitat de }$0.58$%
  1758. \textit{\ que no falli cap dels components},\textit{\ i que en el }$32$ $\%$%
  1759. \textit{\ dels casos falla }$B$ per no $A$, determina la probabilitat que en
  1760. un d'aquests aparells no falli el component $A$.
  1761. \end{example}
  1762. \textbf{Soluci\'{o} 1} \ \ El diagrama d'arbre \'{e}s el seg\"{u}ent:%
  1763. \begin{equation*}
  1764. \begin{tabular}{ccccl}
  1765. & \underline{${\small A}$} & & \underline{${\small B}$} & \underline{%
  1766. {\small Probabilitat de cada cam\'{\i}}} \\
  1767. & & & $f$ & $P\left( \text{{\small falli }}{\small A}\text{{\small \ i
  1768. falli }}{\small B}\right) $ \\
  1769. & & $\overset{}{\nearrow }$ & & \\
  1770. & $f$ & & & \\
  1771. $\overset{}{\nearrow }$ & & $\underset{}{\searrow }$ & & \\
  1772. & & & $\overline{f}$ & $P\left( \text{{\small falli }}{\small A}\text{%
  1773. {\small \ i no falli }}{\small B}\right) $ \\
  1774. & & & & \\
  1775. & & & $f$ & $P\left( \text{{\small no} {\small falli }}{\small A}\text{%
  1776. {\small \ i falli }}{\small B}\right) =0.32$ \\
  1777. $\underset{}{\searrow }$ & & $\overset{}{\nearrow }$ & & \\
  1778. & $\overline{f}$ & & & \\
  1779. & & $\underset{}{\searrow }$ & & \\
  1780. & & & $\overline{f}$ & $P\left( \text{{\small no} {\small falli }}{\small A%
  1781. }\text{{\small \ i no falli }}{\small B}\right) =0.58$%
  1782. \end{tabular}%
  1783. \end{equation*}%
  1784. Aleshores,
  1785. \begin{multline*}
  1786. \text{{\small probabilitat que en un d'aquests aparells no falli el
  1787. component }}{\small A}= \\
  1788. 0.32+0.58=0.9
  1789. \end{multline*}%
  1790. \textbf{Soluci\'{o} 2} \ \ Suposam que tenim $100$ d'aquests aparells, i
  1791. introduim la seg\"{u}ent notaci\'{o}:
  1792. $sfA:$ n\'{u}mero d'aparells en els quals nom\'{e}s falla la part $A$,
  1793. $sfB:$ n\'{u}mero d'aparells en els quals nom\'{e}s falla la part $B$,
  1794. $fAfB:$ n\'{u}mero d'aparells en els quals falla tant la part $A$ com la $B$,
  1795. $\overline{f}A\overline{f}B:$ n\'{u}mero d'aparells en els quals no falla ni
  1796. la part $A$ ni la $B$.
  1797. Segons l'enunciat tenim que:%
  1798. \begin{equation*}
  1799. \left.
  1800. \begin{array}{rcr}
  1801. \overline{f}A\overline{f}B & = & 58 \\
  1802. sfB & = & 32%
  1803. \end{array}%
  1804. \right\} ,
  1805. \end{equation*}%
  1806. per\`{o} el n\'{u}mero d'aparells en els quals no falla el component A \'{e}%
  1807. s igual a
  1808. \begin{equation*}
  1809. \overline{f}A\overline{f}B+sfB=58+32=90
  1810. \end{equation*}%
  1811. Aix\'{\i},%
  1812. \begin{multline*}
  1813. \text{{\small probabilitat que en un d'aquests aparells no falli el
  1814. component }}{\small A}= \\
  1815. \frac{90}{100}=0.9
  1816. \end{multline*}
  1817. \chapter{Exercicis proposats}
  1818. \begin{enumerate}
  1819. \item Un restaurante tiene contratados a dos camareros, Javier y Ana, para
  1820. atender el servicio de comedor. Ana pone el servicio el $70$ $\%$ de los d%
  1821. \'{\i}as y se confunde al colocar la cuberter\'{\i}a s\'{o}lo el $5$ $\%$ de
  1822. los d\'{\i}as. Javier, por el contrario, coloca mal alguna pieza el $25$ $\%$
  1823. de los d\'{\i}as que pone el servicio.
  1824. \begin{description}
  1825. \item[(a)] Esta ma\~{n}ana, el encargado del restaurante va a pasar revista
  1826. al servicio. \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que encuentre
  1827. alg\'{u}n servicio mal colocado?
  1828. \item[(b)] Por desgracia, el encargado encontr\'{o} unos cubiertos mal
  1829. ubicados y desea conocer la probabilidad de que haya sido Javier.
  1830. \end{description}
  1831. \item Cierta persona compra todos los d\'{\i}as el diario local, adquiri\'{e}%
  1832. ndolo independientemente en uno de los dos quioscos, $A$ y $B$, que est\'{a}%
  1833. n m\'{a}s pr\'{o}ximos a su casa. El $80$ $\%$ de los d\'{\i}as lo compra en
  1834. el quiosco $A$.
  1835. \begin{description}
  1836. \item[(a)] Calcular la proporci\'{o}n de d\'{\i}as que compra el diario en
  1837. el quiosco $B$.
  1838. \item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que compre el
  1839. diario dos d\'{\i}as consecutivos en el quiosco $A$?
  1840. \item[(c)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que dos d\'{\i}%
  1841. as consecutivos compre el diario en quioscos distintos?
  1842. \end{description}
  1843. \item La probabilidad de que un aficionado al f\'{u}tbol acuda al campo
  1844. municipal a ver un partido es del $90$ $\%$ cuando se celebra en un fin de
  1845. semana (s\'{a}bado y domingo) y del $50$ $\%$ si tiene lugar en un d\'{\i}a
  1846. laborable (lunes a viernes).
  1847. \begin{description}
  1848. \item[(a)] Si el pr\'{o}ximo fin de semana hay partido, \textquestiondown cu%
  1849. \'{a}l es la probabilidad de que este aficionado no vaya al campo a verlo?
  1850. \item Sup\'{o}ngase ahora que se juegan tantos partidos entre semana como en
  1851. fin de semana.
  1852. \item[(b)] Cierto partido se celebrar\'{a} la pr\'{o}xima semana en un d%
  1853. \'{\i}a a\'{u}n sin determinar. Calcular la probabilidad de que el
  1854. aficionado acuda a verlo al campo.
  1855. \item[(c)] Si el aficionado acudi\'{o} a ver un partido, \textquestiondown cu%
  1856. \'{a}l es la probabilidad de que \'{e}ste se celebrara en fin de semana?
  1857. \end{description}
  1858. \item En una caja est\'{a}n guardados 20 relojes, de los cuales hay 15 que
  1859. funcionan correctamente.
  1860. \begin{description}
  1861. \item[(a)] Si se extrae un reloj al azar, \textquestiondown cu\'{a}l es la
  1862. probabilidad de que funcione bien?
  1863. \item[(b)] Si se extraen dos relojes al azar, \textquestiondown cu\'{a}l es
  1864. la probabilidad de que ambos funcionen bien?
  1865. \item[(c)] Si se extraen dos relojes al azar sucesivamente, y el primero no
  1866. funciona correctamente, \textquestiondown cu\'{a}l es la probabilidad de que
  1867. el segundo tampoco?
  1868. \end{description}
  1869. \item El 25 $\%$ de las familias de cierta comunidad aut\'{o}noma espa\~{n}%
  1870. ola no sale fuera de la misma durante las vacaciones de verano. El 65 $\%$
  1871. veranea por el resto de Espa\~{n}a, y el 10 $\%$ restante se va al
  1872. extranjero. De los que se quedan en su comunidad, s\'{o}lo un 10 $\%$ no
  1873. utiliza el coche en sus desplazamientos. Esta cantidad aumenta al 30 $\%$
  1874. entre los que salen por el resto de Espa\~{n}a, y al 90 $\%$ entre los que
  1875. viajan al extranjero.
  1876. \begin{description}
  1877. \item[(a)] Calcula el porcentaje de familias de esa comunidad que utiliza el
  1878. coche en sus desplazamientos de vacaciones de verano.
  1879. \item[(b)] Una familia no usa coche en sus vacaciones de verano.%
  1880. \textquestiondown\ Cu\'{a}l es la probabilidad de que salga de su comunidad
  1881. movi\'{e}ndose por el resto de Espa\~{n}a?
  1882. \end{description}
  1883. \item Un grupo de 40 personas acaba de tomar un autob\'{u}s. De los 40, s%
  1884. \'{o}lo 10 son fumadores. Entre los fumadores, el 70 $\%$ se marea, y entre
  1885. los no fumadores esta cantidad baja al 40 $\%$.
  1886. \begin{description}
  1887. \item[(a)] Como el trayecto es largo se permite fumar a quien lo desee. Dos
  1888. individuos se han sentado juntos y no se conocen. \textquestiondown Cu\'{a}l
  1889. es la probabilidad de que ambos sean fumadores?
  1890. \item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que un viajero
  1891. no se maree?
  1892. \end{description}
  1893. \item Dos j\'{o}venes aficionados a los juegos de azar se encuentran
  1894. realizando un solitario con una baraja espa\~{n}ola de 48 cartas. Extraen
  1895. una carta de dicha baraja y desean saber cu\'{a}l es la probabilidad de
  1896. \textquotedblright obtener rey\textquotedblright\ condicionado al suceso
  1897. \textquotedblright obtener figura\textquotedblright .
  1898. \item En un pa\'{\i}s se ha constituido una comisi\'{o}n parlamentaria
  1899. integrada por diez miembros, de los cuales siete pertenecen al partido
  1900. gobernante y el resto al partido de la oposici\'{o}n. Entre los siete
  1901. miembros del partido gobernante hay cuatro varones, y dos entre los del
  1902. partido de la oposici\'{o}n. El presidente de la comisi\'{o}n se elige por
  1903. sorteo entre sus integrantes. Celebrado el sorteo, se sabe que el presidente
  1904. elegido ha sido un hombre. \textquestiondown Qu\'{e} partido tiene m\'{a}s
  1905. posibilidades de dirigir la comisi\'{o}n?
  1906. \item Se ha hecho un estudio de un nuevo tratamiento sobre 120 personas
  1907. aquejadas de cierta enfermedad. 30 de ellas ya hab\'{\i}an padecido esta
  1908. enfermedad con anterioridad. Entre las que la hab\'{\i}an padecido con
  1909. anterioridad, el 80 $\%$ ha reaccionado positivamente al nuevo tratamiento.
  1910. Entre las que no la hab\'{\i}an padecido, ha sido el 90 $\%$ el que reaccion%
  1911. \'{o} positivamente.
  1912. \begin{description}
  1913. \item[(a)] Si elegimos dos pacientes al azar \textquestiondown cu\'{a}l es
  1914. la probabilidad de que los dos ya hayan padecido la enfermedad?
  1915. \item[(b)] Si elegimos un paciente al azar \textquestiondown cu\'{a}l es la
  1916. probabilidad de que no reaccione positivamente al nuevo tratamiento?
  1917. \item[(c)] Si un paciente ha reaccionado positivamente, \textquestiondown cu%
  1918. \'{a}l es la probabilidad de que no haya padecido la enfermedad con
  1919. anterioridad?
  1920. \end{description}
  1921. \item En cierto curso de un centro de ense\~{n}anza el 62.5 $\%$ de los
  1922. alumnos aprobaron Matem\'{a}ticas. Por otro lado, entre quienes aprobaron
  1923. Matem\'{a}ticas, el 80 $\%$ aprob\'{o} tambi\'{e}n F\'{\i}sica. Se sabe
  1924. igualmente que s\'{o}lo el 33.3 $\%$ de quienes no aprobaron Matem\'{a}ticas
  1925. aprobaron F\'{\i}sica.
  1926. \begin{description}
  1927. \item[(a)] \textquestiondown Qu\'{e} porcentaje consigui\'{o} aprobar ambas
  1928. asignaturas a la vez?
  1929. \item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l fue el porcentaje de aprobados en la
  1930. asignatura de F\'{\i}sica?
  1931. \item[(c)] Si un estudiante no aprob\'{o} F\'{\i}sica, \textquestiondown qu%
  1932. \'{e} probabilidad hay de que aprobara Matem\'{a}ticas?
  1933. \end{description}
  1934. \item El 70 $\%$ de los solicitantes de un puesto de trabajo tiene
  1935. experiencia y adem\'{a}s una formaci\'{o}n acorde con el puesto. Sin
  1936. embargo, hay un 20 $\%$ que tiene experiencia y no una formaci\'{o}n acorde
  1937. con el puesto. Se sabe tambi\'{e}n que entre los solicitantes que tienen
  1938. formaci\'{o}n acorde con el puesto, un 87.5 $\%$ tiene experiencia.
  1939. \begin{description}
  1940. \item[(a)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que un
  1941. solicitante no tenga experiencia?
  1942. \item[(b)] Si un solicitante tiene experiencia, \textquestiondown cu\'{a}l
  1943. es la probabilidad de que su formaci\'{o}n sea acorde con el puesto?
  1944. \item[(c)] Calcula la probabilidad de que un solicitante tenga formaci\'{o}n
  1945. acorde con el puesto.
  1946. \end{description}
  1947. \item Un grupo de amigos ha estado hablando de sus gustos musicales. La m%
  1948. \'{u}sica cl\'{a}sica gusta al 20 $\%$ de ellos. Se sabe tambi\'{e}n que el
  1949. porcentaje de a quienes les gusta la m\'{u}sica moderna de entre los que les
  1950. gusta la cl\'{a}sica es del 75 $\%$ y que el porcentaje de a quienes gusta
  1951. la m\'{u}sica moderna de entre quienes no les gusta la cl\'{a}sica es del
  1952. 87.5$\%$
  1953. \begin{description}
  1954. \item[(a)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que a un
  1955. individuo del grupo le guste la m\'{u}sica moderna?
  1956. \item[(b)] \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de que a un
  1957. individuo del grupo le guste tanto la m\'{u}sica cl\'{a}sica como la moderna?
  1958. \item[(c)] Si a un individuo le gusta la moderna \textquestiondown cu\'{a}l
  1959. es la probabilidad de que tambi\'{e}n le guste la cl\'{a}sica?
  1960. \item[(d)] Si a un individuo no le gusta la moderna \textquestiondown cu\'{a}%
  1961. l es la probabilidad de que s\'{\i} le guste la cl\'{a}sica?
  1962. \end{description}
  1963. \item En un grupo de matrimonios se ha observado que en el 50 $\%$ la mujer
  1964. tiene estudios universitarios. En un 30 $\%$ de los matrimonios tanto el
  1965. hombre como la mujer los tienen. Finalmente, en el 37.5 $\%$ de los
  1966. matrimonios en los que el marido tiene estudios universitarios la mujer los
  1967. tiene.
  1968. \begin{description}
  1969. \item[(a)] \textquestiondown Qu\'{e} probabilidad hay de que en un
  1970. matrimonio el marido tenga estudios universitarios?
  1971. \item[(b)] \textquestiondown En qu\'{e} porcentaje de matrimonios en los que
  1972. la mujer tiene estudios universitarios el marido tambi\'{e}n los tiene?
  1973. \item[(c)] \textquestiondown En qu\'{e} porcentaje de matrimonios el marido
  1974. no tiene estudios universitarios y la mujer s\'{\i}?
  1975. \end{description}
  1976. \item En un grupo de personas, al 50 $\%$ les han puesto alguna vez una
  1977. multa de tr\'{a}fico. Por otro lado, al 12.5 $\%$ no les han puesto nunca
  1978. una multa pero s\'{\i} han sufrido alguna vez un accidente. Finalmente, al
  1979. 60 $\%$ de quienes nunca han tenido un accidente no les han puesto nunca una
  1980. multa.
  1981. \begin{description}
  1982. \item[(a)] \textquestiondown Qu\'{e} porcentaje no han tenido nunca un
  1983. accidente ni les han puesto una multa?
  1984. \item[(b)] \textquestiondown Que porcentaje no han tenido nunca un accidente?
  1985. \item[(c)] Entre las personas que nunca han tenido una multa,
  1986. \textquestiondown qu\'{e} porcentaje no han tenido nunca un accidente?
  1987. \end{description}
  1988. \item La urna $S$ contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y la urna $T$
  1989. contiene 3 bolas blancas y dos negras. Tomamos al azar una bola de $S$ y,
  1990. sin mirarla, la introducimos en $T$. A continuaci\'{o}n extraemos con
  1991. reemplazamiento dos bolas de $T$. Hallar la probabilidad de que:
  1992. \begin{description}
  1993. \item[(a)] sean del mismo color,
  1994. \item[(b)] sean de distinto color.
  1995. \end{description}
  1996. \item Una entidad bancaria concede tres tipos de cr\'{e}ditos: hipotecarios,
  1997. para industria y personales. Se sabe que el 30 $\%$ de los cr\'{e}ditos que
  1998. concede son hipotecarios, el 50 $\%$ para industria y el 20 $\%$ restante
  1999. son personales. Han resultado impagados el 20 $\%$ de los cr\'{e}ditos para
  2000. vivienda, el 25 $\%$ de los cr\'{e}ditos para industria y el 50 $\%$ de los
  2001. cr\'{e}ditos para consumo. Se pide:
  2002. \begin{description}
  2003. \item[(a)] Representar la situaci\'{o}n mediante un diagrama en \'{a}rbol.
  2004. \item[(b)] Seleccionado un cr\'{e}dito al azar, calcular la probabilidad de
  2005. que se pague.
  2006. \item[(c)] Un determinado cr\'{e}dito ha resultado impagado; calcular la
  2007. probabilidad de que sea un cr\'{e}dito de vivienda.
  2008. \end{description}
  2009. \item En un trayecto entre dos ciudades pr\'{o}ximas, un automovilista ha de
  2010. atravesar tres zonas que est\'{a}n en obras y en las que se regula el tr\'{a}%
  2011. fico mediante sem\'{a}foros. La probabilidad de encontrar la luz en rojo
  2012. para cada uno de los tres sem\'{a}foros es, respectivamente, 0.3, 0.7 y 0.5.
  2013. Se pide la probabilidad de que el conductor:
  2014. \begin{description}
  2015. \item[(a)] encuentre los tres sem\'{a}foros en rojo,
  2016. \item[(b)] encuentre los tres sem\'{a}foros en verde,
  2017. \item[(c)] encuentre en rojo uno de ellos y los otros dos en verde.
  2018. \end{description}
  2019. \item En un determinado barrio de la ciudad se ha observado que el 70 $\%$
  2020. de sus habitantes tiene m\'{a}s de 50 a\~{n}os y que de \'{e}stos el 60 $\%$
  2021. es propietario de la vivienda en la que habita. Tambi\'{e}n se sabe que el
  2022. porcentaje de propietarios es del 30 $\%$ entre aquellos que no superan los
  2023. 50 a\~{n}os. Se pide:
  2024. \begin{description}
  2025. \item[(a)] Calcula la probabilidad de que un vecino, que ha sido elegido al
  2026. azar, sea propietario de la vivienda en la que habita.
  2027. \item[(b)] Elegido un vecino al azar, resulta ser propietario de la vivienda
  2028. en la que habita. Calcula la probabilidad de que tenga m\'{a}s de 50 a\~{n}%
  2029. os.
  2030. \end{description}
  2031. \item Probamos una vacuna contra la gripe en un grupo de 400 personas, de
  2032. las que 180 son hombres y 220 mujeres. De las mujeres, 25 cogen la gripe y
  2033. de los hombres 23. Determina las probabilidades de:
  2034. \begin{description}
  2035. \item[(a)] que al seleccionar una persona al azar resulte que no tiene gripe,
  2036. \item[(b)] que al seleccionar una persona al azar resulte ser una mujer que
  2037. no tiene gripe,
  2038. \item[(c)] que seleccionada una persona que no tiene gripe resulte ser un
  2039. hombre,
  2040. \item[(d)] que seleccionada una mujer resulte no tener gripe.
  2041. \end{description}
  2042. \item El 20 $\%$ de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20 $%
  2043. \% $ son economistas. El 75 $\%$ de los ingenieros ocupa un puesto directivo
  2044. y el 50 $\%$ de los economistas tambi\'{e}n, mientras que entre el resto de
  2045. empleados \'{u}nicamente el 20 $\%$ ocupa un puesto directivo. Calcula las
  2046. probabilidades de:
  2047. \begin{description}
  2048. \item[(a)] que al seleccionar un empleado al azar resulte ser un ingeniero
  2049. que no ocupa un cargo directivo,
  2050. \item[(b)] que al seleccionar un empleado al azar resulte no ser ni
  2051. ingeniero ni economista, pero que ocupe un cargo directivo,
  2052. \item[(c)] que al seleccionar un cargo directivo al azar resulte ser
  2053. economista,
  2054. \item[(d)] que al seleccionar un cargo directivo al azar resulte ser
  2055. ingeniero o economista.
  2056. \end{description}
  2057. \item El 15 $\%$ de los habitantes de un pa\'{\i}s padece cierta enfermedad.
  2058. Para diagnosticar la misma, se dispone de un procedimiento que no es
  2059. completamente fiable, ya que da positivo en el 90 $\%$ de los casos de
  2060. personas realmente enfermas, pero tambi\'{e}n da positivo en el 5 $\%$ de
  2061. personas sanas. Determina la probabilidad de que:
  2062. \begin{description}
  2063. \item[(a)] est\'{e} sana una persona cuyo diagn\'{o}stico ha sido positivo,
  2064. \item[(b)] est\'{e} enferma una persona cuyo diagn\'{o}stico ha sido
  2065. negativo.
  2066. \end{description}
  2067. \item Tres aviones disparan simult\'{a}neamente sobre un blanco, siendo
  2068. independientes los disparos de uno y otro, y siendo la probabilidad de que
  2069. un avi\'{o}n acierte el blanco igual a 0.6. Calcular la probabilidad de que
  2070. el blanco sea destruido.
  2071. \item Una caja contiene 100 piezas, entre las cuales hay 20 defectuosas en
  2072. cuanto a su longitud, 12 defectuosas en cuanto a la anchura y 15 defectuosas
  2073. en cuanto a su altura. Por otra parte, sabemos que hay 7 piezas defectuosas
  2074. en longitud y altura, 4 en longitud y anchura, 5 en anchura y altura y 2
  2075. piezas defectuosas en sus tres dimensiones. Se pide:
  2076. \begin{description}
  2077. \item[(a)] Probabilidad de que una pieza tomada al azar presente un solo
  2078. defecto.
  2079. \item[(b)] Probabilidad de que una pieza tomada al azar sea defectuosa solo
  2080. en longitud.
  2081. \end{description}
  2082. \item De 150 pacientes, 90 tienen una enfermedad card\'{\i}aca, 50 tienen c%
  2083. \'{a}ncer y 20 tienen ambas enfermedades. Determinar la probabilidad de que
  2084. una persona tomada al azar tenga una sola de las dos enfermedades.
  2085. \item Se tienen 2 urnas que contienen 13 y 15 bolas respectivamente. La urna
  2086. $I$ contiene 5 Blancas y 8 Negras, mientras que la urna $II$ contiene 6
  2087. Blancas y 9 Rojas. Se toma al azar una bola de la urna $I$ y se pasa a la
  2088. urna $II$. A continuaci\'{o}n, se toma al azar una bola de la urna $II$ y se
  2089. pasa a la urna $I$. Extraemos, a continuaci\'{o}n, una bola al azar de la
  2090. urna $I$. Calcula la probabilidad de que sea Roja.
  2091. \item Una m\'{a}quina se compone de dos elementos, $A$ y $B$. La
  2092. probabilidad de que el funcionamiento de $A$ sea defectuoso es 0.05, y la de
  2093. que el funcionamiento de $B$ sea defectuoso es 0.03. La m\'{a}quina funciona
  2094. correctamente siempre que lo hacen ambos elementos y tambi\'{e}n en el 30 $%
  2095. \% $ de los casos en que ambos son defectuosos. Calcula la probabilidad de
  2096. que la m\'{a}quina no funcione correctamente.
  2097. \item Los habitantes de una ciudad reparten sus votos entre los partidos $A$
  2098. y $B$. El 55 $\%$ de los habitantes son menores de 30 a\~{n}os; de ellos, el
  2099. 80 $\%$ son del partido $B$. De los mayores de 30 a\~{n}os, s\'{o}lo lo son
  2100. el 10 $\%$. Elegimos una persona al azar.
  2101. \begin{description}
  2102. \item[(a)] Calcula la probabilidad de que sea del partido $A$.
  2103. \item[(b)] La persona elegida resulta ser del partido $A$. Calcula la
  2104. probabilidad de que tenga menos de 30 a\~{n}os.
  2105. \end{description}
  2106. \item Amelia, Javier y Ram\'{o}n, sortean, al azar, el orden en que van a
  2107. entrar, de uno en uno, por una puerta.
  2108. \begin{description}
  2109. \item[(a)] Calcula la probabilidad de que los dos \'{u}ltimos en entrar sean
  2110. hombres.
  2111. \item[(b)] Determina si son independientes los sucesos $S1$ y $S2$, siendo:
  2112. \begin{itemize}
  2113. \item $S1$ : \textquotedblright la mujer entra antes que alguno de los
  2114. hombres\textquotedblright ,
  2115. \item $S2$ : \textquotedblright los dos hombres entran
  2116. consecutivamente\textquotedblright .
  2117. \end{itemize}
  2118. \end{description}
  2119. \item En un determinado pueblo hay tres lugares de diversi\'{o}n, a los que
  2120. suelen ir un grupo de tres amigos. Las probabilidades de que vayan al
  2121. primero, segundo o tercero son, respectivamente, 0.3, 0.5 y 0.7. Halla la
  2122. probabilidad de que el grupo de amigos vaya:
  2123. \begin{description}
  2124. \item[(a)] solamente a uno de los lugares,
  2125. \item[(b)] \'{u}nicamente a dos de los lugares,
  2126. \item[(c)] a los tres lugares.
  2127. \end{description}
  2128. \item Se tienen dos urnas, $U1$ y $U2$, cuyo contenido en bolas rojas,
  2129. azules y verdes es:
  2130. \begin{itemize}
  2131. \item en la urna $U1$: 4 azules, 3 rojas y 3 verdes,
  2132. \item en la urna $U2$: 4 rojas, 5 azules y 1 verde.
  2133. Se lanzan tres monedas y, si se obtienen exactamente dos caras, se extrae
  2134. una bola de la urna $U1$; en cualquier otro caso, la bola se extrae de la
  2135. urna $U2$. Se pide:
  2136. \begin{description}
  2137. \item[(a)] Efectuar un diagrama para el experimento de lanzar las 3 monedas.
  2138. \item[(b)] Calcular la probabilidad de que la bola extra\'{\i}da sea azul.
  2139. \end{description}
  2140. \end{itemize}
  2141. \item Un aparell el\`{e}ctric est\`{a} constituit per dos components, $A$ i $%
  2142. B$. Sabent que hi ha una probabilitat de 0.58 que no falli cap dels
  2143. components, i que en el 32 $\%$ dels casos falla $B$ no havent fallat $A$,
  2144. determina la probabilitat que en un d'aquests aparells no falli el component
  2145. $A$.
  2146. \item Una urna $A$ cont\'{e} 5 bolles blanques i 3 de negres. Una altra
  2147. urna, $B$, en t\'{e} 6 de blanques i 4 de negres. Elegim una urna a l'atzar
  2148. i extraiem dues bolles, que resulten ser negres. Troba la probabilitat que
  2149. la urna elegida hagi estat la $B$.
  2150. \end{enumerate}