Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
 
 

229 lines
8.1 KiB

  1. \chapter{Recordatori de matemàtica elemental}\label{apendix}
  2. Aqu\'{\i} es fa un recordatori de qualcuns continguts de matem\`{a}tiques
  3. elementals.
  4. \section{Operacions amb n\'{u}meros}
  5. \subsection{Sumes i restes}
  6. Si en una expressió només hi apareixen sumes i restes de nombres sencers, el valor final d'aquesta expressió es calcula de la manera següent:
  7. \begin{enumerate}
  8. \item es sumen per separat el nombres positius i els nombres negatius
  9. \item es resten els resultats de l'apartat anterior i es posa el signe del
  10. que tengui major valor absolut.
  11. \end{enumerate}
  12. \begin{example}
  13. \begin{equation*}
  14. -2+8-15-3+7=15-20=-5
  15. \end{equation*}
  16. \end{example}
  17. \subsection{Producte i quocient de dos n\'{u}meros}
  18. Per multiplicar o dividir {\em dos} nombres es segueix la regla següent: si els dos nombres tenen el mateix signe, el resultat del producte o de la divisió és positiu, i si els dos nombres tenen signes diferents, el resultat és negatiu.
  19. \begin{example}
  20. \begin{equation*}
  21. -2\cdot \left( -3\right) =6
  22. \end{equation*}%
  23. \begin{equation*}
  24. 20:\left( -4\right) =-5
  25. \end{equation*}
  26. \end{example}
  27. \subsection{Càlcul del mínim comú múltiple}
  28. \begin{definition}[múltiple d'un nombre] Donat dos nombres $a$, $b$, direm que $b$ és un \term{múltiple}\index{múltiple} de $a$ si, i només si, existeix un altre nombre $r$ tal que $a \cdot r = b$ o dit d'altra manera si quan dividim $b$ entre $a$ el reste és 0.
  29. \end{definition}
  30. \begin{example}60 és múltiple de 2 perquè $2 \cdot 30 = 60$. També és múltiple de 3, 5, 10, 20, 30 i 60. Però $60$ no és múltiple de $40$ perquè $60$ entre $40$ no dóna reste 0.
  31. \end{example}
  32. Es pot fer una llista de {\em tots} els múltiples d'un nombre multiplicant aquest nombre consecutivament per $1$, $2$, etc. Per exemple, els múltiples de $60$ són: $60 \cdot 1 = 60$, $60 \cdot 2 = 120$, $60 \cdot 3 = 180$, etc.
  33. \begin{definition}[mínim comú múltiple] Donats els nombres $a_1, a_2, \ldots, a_r$ el seu \term{mínim comú múltiple}\index{mínim comú múltiple} és el menor de tots els seus múltiples comuns. El mínim comú múltiple s'abreuja mcm.
  34. \end{definition}
  35. \begin{example}\label{exemple-llista-mcm} Els nombres 10 i 12 tenen com a mínim comú múltiple. La raó és que:
  36. \begin{itemize}
  37. \item Els múltiples de 10 són: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, \ldots
  38. \item Els múltiples de 12 són: 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, \ldots
  39. \end{itemize}
  40. Per tant, els múltiples comuns són $60$, $120$, etc. Llavors $60$ és el menor d'aquests múltiples i, per tant, és el mcm.
  41. \end{example}
  42. Existeixen diversos procediments per a calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres:
  43. \begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la llista de múltiples] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
  44. \begin{enumerate}
  45. \item Es llisten els múltiples de cada nombre
  46. \item Es selecciona el múltiple més petit
  47. \end{enumerate}
  48. \end{algorithm}
  49. L'exemple anterior (\autoref{exemple-llista-mcm}) exemplifica aquest procediment.
  50. S'ha de dir que aquest procediment és molt lent, sobretot per nombres grans.
  51. \begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la factorització de nombres] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
  52. \begin{enumerate}
  53. \item Es factoritzen els nombres en factors primers\footnote{La llista de primers és infinita, però els sis primers primers són: 2, 3, 5, 7, 11, 13.}
  54. \item El mínim comú múltiple s'obté prenent tots els factors elevats al màxim exponent
  55. \end{enumerate}
  56. \end{algorithm}
  57. Aquest és el procediment {\em estàndard} per al càlcul del mínim comú múltiple.
  58. \begin{example} Calculeu el mcm de 20, 12 i 100:
  59. \begin{enumerate}
  60. \item Factoritzem els nombres
  61. \item Per tant, $20 = 2^2 \cdot 5$, $12 = 2^2 \cdot 3$ i $100 = 2^2 \cdot 5^2$
  62. \item Llavors el mcm és igual a $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$
  63. \end{enumerate}
  64. \end{example}
  65. \begin{algorithm}[càlcul del mcm de forma ràpida per nombres petits] TODO: agafar el nombre més gran i anar provant múltiples seus si es poden dividir o no amb els altres nombres.
  66. \end{algorithm}
  67. El més usual és que necessitem el mínim comú múltiple per resoldre equacions de primer grau que tenguin fraccions. En aquest cas però no és necessari calcular el mínim comú múltiple. Bastaria calcular un múltiple (vegi's \autoref{repas-equacions-de-primer-grau}).
  68. \begin{exercise} Calculeu el mínim comú múltiple per als conjunts de nombres següents:
  69. \begin{multicols}{3}
  70. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  71. \item $20$ i $8$
  72. \item $12$ i $42$
  73. \item $8$ i $12$
  74. \item $12$ i $21$
  75. \item $30$ i $65$
  76. \item $10$ i $12$
  77. \item $20$ i $36$
  78. \item $15$, $20$ i $30$
  79. \item $6$, $8$ i $12$
  80. \item $30$, $45$ i $60$
  81. \item $12$, $18$, $20$ i $32$
  82. \item $17$, $68$ i $34$
  83. \item $10$, $105$ i $22$
  84. \item $25$, $75$ i $200$
  85. \end{enumerate}
  86. \end{multicols}
  87. \end{exercise}
  88. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 40, \item 84, \item 24, \item 84, \item 390, \item 60, \item 180, \item 60, \item 24, \item 180, \item 1440, \item 68, \item 2310, \item 600 \end{enumerate*} \end{solution*}
  89. \section{Equacions de primer grau}\label{repas-equacions-de-primer-grau}
  90. Per resoldre una equació de primer grau es segueixen les passes de
  91. l'exemple següent:
  92. \begin{example}
  93. Resol l'equaci\'{o}%
  94. \begin{equation*}
  95. 5x-\frac{3x+1}{8}=x+\frac{5x-3}{4}-\frac{3}{2}
  96. \end{equation*}
  97. Resolució:
  98. \begin{enumerate}
  99. \item Primer:
  100. $$\dfrac{5x}{1}-\dfrac{3x+1}{8}=\dfrac{x}{1}+\dfrac{5x-3}{4}-\dfrac{3}{2}$$
  101. \item Segon (càlcul del mcm): $mcm\left( 8,4,2\right) =8$
  102. \item Tercer (reducció a comú denominador):
  103. $$\dfrac{40x}{8}- \dfrac{ 3x+1}{8} =\dfrac{8x}{8}+\dfrac{2\cdot \left(5x-3\right)}{8} -\dfrac{12}{8}$$
  104. \item Quart (eliminem els denominadors):
  105. $$40x-\left( 3x+1\right) =8x+2\cdot \left(5x-3\right) -12$$
  106. \item Cinquè (eliminem els parèntesis):
  107. $$40x-3x-1=8x+10x-6-12$$
  108. \item Sisè (transposició de termes):
  109. $$40x-3x-8x-10x=-6-12+1$$
  110. \item Setè (operar):
  111. $$19x=-17$$
  112. \item Vuitè (aïllar l'incògnita):
  113. $$x=\dfrac{-17}{19}$$
  114. \end{enumerate}
  115. \end{example}
  116. \begin{remark}Normalment es passa del segon al cinquè pas quan es té suficient soltura.
  117. \end{remark}
  118. \begin{remark}D'altra banda, es pot no calcular el mínim comú múltiple dels denominadors i només calcular-ne {\em un} múltiple. Per exemple es podria calcular el múltiple sorgit de la multiplicació dels denominadors, o sigui, $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$. I realitzar tots els càlculs amb 64 en comptes de 8. L'equació resultant tendria les mateixes solucions, encara que els nombres sorgits (dels passos tercer al vuitè) serien majors.
  119. \end{remark}
  120. \section{Equacions de segon grau}
  121. Les equacions de segon grau s\'{o}n de la forma%
  122. \begin{equation*}
  123. ax^{2}+bx+c=0,\text{ amb }a\neq 0
  124. \end{equation*}%
  125. La soluci\'{o} d'aquestes equacions es calcula amb la seg\"{u}ent f\'{o}%
  126. rmula:%
  127. \begin{equation*}
  128. x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
  129. \end{equation*}
  130. \begin{example}
  131. La soluci\'{o} de l'equaci\'{o} $x^{2}-5x+6=0$ \'{e}s%
  132. \begin{eqnarray*}
  133. x &=&\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right) ^{2}-4\cdot 1\cdot 6}%
  134. }{2\cdot 1}=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2} \\
  135. && \\
  136. &=&\frac{5\pm 1}{2}=\left\{
  137. \begin{array}{c}
  138. \frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3 \\
  139. \\
  140. \frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2%
  141. \end{array}%
  142. \right.
  143. \end{eqnarray*}
  144. \end{example}
  145. Les equacions incompletes de segon grau, \'{e}s a dir, aquelles en les quals
  146. $b=0$ o $c=0$ -o tots dos valen zero- es poden resoldre d'una altra manera:
  147. \begin{example}
  148. \begin{equation*}
  149. -3x^{2}+12=0;\text{ }-3x^{2}=-12;\text{ }x^{2}=\frac{-12}{-3}=4;\text{ }%
  150. x=\pm \sqrt{4}=\pm 2
  151. \end{equation*}
  152. \end{example}
  153. \begin{example}
  154. \begin{equation*}
  155. 2x^{2}-5x=0;\text{ }x\left( 2x-5\right) =0\text{ }\left\{
  156. \begin{array}{l}
  157. x=0 \\
  158. \\
  159. 2x-5=0;\text{ }x=\frac{5}{2}%
  160. \end{array}%
  161. \right.
  162. \end{equation*}
  163. \end{example}
  164. \section{Extracci\'{o} de factor com\'{u}}
  165. El factor com\'{u} d'una expressi\'{o} pot ser un n\'{u}mero, una lletra, o b%
  166. \'{e} ambdues coses:
  167. \begin{example}
  168. \begin{eqnarray*}
  169. -8+12-6+2 &=&2\cdot \left( -4+6-3+1\right) \\
  170. && \\
  171. -x^{5}+4x^{3}-x^{2} &=&x^{2}\cdot \left( -x^{3}+4x-1\right) \\
  172. && \\
  173. 5x^{6}-10x^{4}-15x^{3} &=&5x^{3}\cdot \left( x^{3}-2x-3\right)
  174. \end{eqnarray*}
  175. \end{example}