Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
Je kunt niet meer dan 25 onderwerpen selecteren Onderwerpen moeten beginnen met een letter of nummer, kunnen streepjes bevatten ('-') en kunnen maximaal 35 tekens lang zijn.
 
 

3949 regels
170 KiB

\part{Geometria}
% Definició de colors (per gràfics)
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.752941176471,0.752941176471,0.752941176471}
\definecolor{qqttcc}{rgb}{0.,0.2,0.8}
% Començ text
En aquest apartat es tractarà la Geometria en dues parts:
\begin{itemize}
\item Geometria del pla, que estudia aquells elements geomètrics que es
poden representar soble un pla bidimensional.
\item Geometria de l'espai, per a elements de tres dimensions.
\end{itemize}
Tècnicament, s'estudiarà la geometria cartesiana afí i mètrica.
\chapter{Geometria del pla}\label{seccio:geometria-al-pla}
En aquest tema s'estudiaran els vectors i les rectes definits sobre un espai
de dues dimensions.
\section{Punts}
Aquest apartat tracta de l'estudi dels vectors i de les seves operacions a
l'espai de dues dimensions. Aquest espai queda representat per uns \term{eixos de coordenades}\index{eixos de coordenades}, que són dues rectes reglades entre les quals hi ha un angle recte (\autoref{fig:pla-cartesia}):
\begin{itemize}
\item L'eix horitzontal s'anomena \term{eix de les abscises}\index{eix!de les abscises} (o simplement \term{eix de les $X$}) i s'anomena amb la lletra $X$
\item L'eix vertical s'anomena \term{eix de les ordenades}\index{eix!de les ordenades} (o simplement \term{eix de les $Y$}) i s'anomena amb la lletra $Y$
\end{itemize}
En conjunt, els eixos formen el que s'anomena \term{Pla cartesià}\index{pla cartesià}\index{sistema de coordenades}.
Cada punt del pla queda determinat per les seves projeccions sobre cadascun dels eixos, el que s'anomenen \term{coordenades}\index{coordenades} (\autoref{fig:coordenades-punts}).
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
\draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
\draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
\draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
\clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
\end{tikzpicture}.
\caption{Pla cartesià}
\label{fig:pla-cartesia}
\end{figure}
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
\draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
\draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
\draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
\clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
\draw [fill=qqqqff] (2,3) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (2,3) node[anchor=south] {$(2,3)$};
\draw [fill=qqqqff] (-3,1) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (-3,1) node[anchor=south] {$(-3,1)$};
\draw [fill=qqqqff] (-1.5,-2.5) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (-1.5,-2.5) node[anchor=east] {$(-1.5,2.5)$};
\draw [fill=qqqqff] (0,0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (0,0) node[anchor=south west] {$(0,0)$};
\draw [fill=qqqqff] (5,0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (5,0) node[anchor=south] {$(5,0)$};
\end{tikzpicture}.
\caption{Diversos punts al pla cartesià}
\label{fig:coordenades-punts}
\end{figure}
L'\term{origen de coordenades}\index{origen!de coordenades} és el punt de coordenades $(0,0)$.
A partir d'aquest moment identificarem un punt amb les seves coordenades.
\begin{notation}[notació dels punts] Els punts es poden escriure de dues maneres diferents: $A = (0,1)$ o bé $A(0,1)$.
\end{notation}
\subsection{Punt mitjà}
Donats dos punts del pla, $P(x_{1},y_{1})$ i $Q(x_{2},y_{2})$, que
determinen un segment, podem preguntar-nos quines s\'{o}n les cooordenades
del punt mitj\`{a} d'aquest segment. Aquest punt queda determinant per la seg%
\"{u}ent expressi\'{o}:
\begin{equation*}
P_{M}=\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)
\end{equation*}
\begin{example}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( 0,-5\right)$ i $Q\left( -3,1\right)$.%
\begin{equation*}
P_{M}=\left( \frac{0+(-3)}{2},\frac{-5+1}{2}\right) =\left( \frac{-3}{2}%
,-2\right)
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( -3,7\right)$ i $Q\left( -5,3\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Donat el punt $P\left( 0,-5\right)$, calculeu les coordenades del punt simètric de $P$ respecte del punt $M\left( -1,12\right)$.
\end{exercise}
Hem de notar que, encara que pareixi que sí, aquest resultat no es pot estendre quan es vol trobar un punt que estigui a distància $1/3$ d'$A$ en el segment $\overline{AB}$ (en general, a distància $d \neq 1/2$). En aquest cas, s'haurà de procedir a raonar amb vectors (\autoref{seccio:vectors-2d}), per exemple trobant el vector $1/3 \cdot \overrightarrow{AB}$ i situant-lo amb origen $A$. El seu extrem final seria el punt desitjat.
\section{Vectors}\label{seccio:vectors-2d}
\begin{definition}[vector fix]Un \term{vector fix}\index{vector!fix} és una segment orientat a l'espai (és a dir una fletxa), que té un \term{origen}\index{origen!d'un vector} (el punt on comença) i un \term{final}\index{final d'un vector} (punt on acaba). Els dos punts s'anomenen \term{extrems del vector}\index{extrems d'un vector}.
\end{definition}
Per tant, un vector té:
\begin{itemize}
\item Una direcció: la recta sobre la qual està el vector
\item Un sentit: cap a on apunta la fletxa. Si $A$ i $B$ són els extrems d'un vector, aleshores aquest vector pot tenir dos sentits: de $A$ cap a $B$ (punt origen és $A$ i el punt destí és $B$) o de $B$ cap a $A$ (punt origen és $B$ i el punt destí és $A$)
\item La seva longitud. Formalment s'anomena \term{mòdul} del vector\index{mòdul!d'un vector}
\end{itemize}
\begin{notation}[notació de vectors]Els vectors es denoten amb una fletxa a damunt del seu nom. D'aquesta manera escriurem $\overrightarrow{AB}$ per denotar el vector que té origen $A$ i final a $B$. Si volem obviar els extrems, podem escriure $\overrightarrow{u}$, per exemple.
\end{notation}
\begin{example}Siguin els vectors següents (\autoref{fig:diversos-vectors}):
\begin{itemize}
\item Els extems dels vectors són:
\begin{itemize}
\item El vector $\overrightarrow{a}$ té origen $(-1,1)$ i fi $(-3,-1)$
\item El vector $\overrightarrow{b}$ té origen $(-1,-1)$ i fi $(0,0)$
\item El vector $\overrightarrow{c}$ té origen $(-4,3)$ i fi $(-1,3)$
\item El vector $\overrightarrow{d}$ té origen $(-4,2)$ i fi $(-4,-1)$
\item El vector $\overrightarrow{u}$ té origen $(1,1)$ i fi $(3,3)$
\item El vector $\overrightarrow{v}$ té origen $(4,1)$ i fi $(6,3)$
\item El vector $\overrightarrow{w}$ té origen $(1,-1)$ i fi $(3,1)$
\end{itemize}mòdul
\item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ tenen la mateixa direcció
\item Els vectors $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix sentit, però el vector $\overrightarrow{a}$ té sentit contrari
\item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix mòdul. El mòdul de $\overrightarrow{b}$ és la meitat que el mòdul de $\overrightarrow{u}$. I $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{d}$ tenen el mateix mòdul (encara que no tenguin ni la mateixa direcció ni sentit)
\end{itemize}
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-5.1,-2.1) grid (6.1,4.1);
\draw[->,color=black] (-5.5,0) -- (6.2,0);
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-2.1) -- (0,4.1);
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\draw [->] (1.,1.) -- (3.,3.);
\draw [->] (4.,1.) -- (6.,3.);
\draw [->] (1.,-1.) -- (3.,1.);
\draw [->] (-1.,1.) -- (-3.,-1.);
\draw [->] (-1.,-1.) -- (0.,0.);
\draw [->] (-4.,3.) -- (-1.,3.);
\draw [->] (-4.,2.) -- (-4.,-1.);
\draw[color=black] (2.0038916669677724,2.188648367438086) node {$u$};
\draw[color=black] (4.99308545055815,2.188648367438086) node {$v$};
\draw[color=black] (2.0038916669677724,0.17924587958011154) node {$w$};
\draw[color=black] (-1.9152735159618333,0.09621271892482333) node[anchor=south] {$a$};
\draw[color=black] (-0.5037097848219328,-0.3189530843516177) node {$b$};
\draw[color=black] (-2.4632923762867356,3.201652927432602) node {$c$};
\draw[color=black] (-3.908069371688751,0.6442315792497255) node {$d$};
\end{tikzpicture}
\caption{Diversos vectors al pla}
\label{fig:diversos-vectors}
\end{figure}
\end{example}
\begin{definition}[vector lliure]Un \term{vector lliure}\index{vector!lliure} és un segment orientat al pla, però del qual tenim la llibertat de triar el seu origen. És a dir, vector que tenen la mateixa direcció, sentit i longitud són a partir d'ara iguals per a nosaltres, independentment d'on estiguin situats. Formalment aquests vectors s'anomenen \term{equipolents}\index{vector!equipolent}
\end{definition}
En general, si no se'ns diu el contrari, o no se'ns dóna l'origen d'un vector, es suposarà que aquest és lliure. A més sempre suposarem que l'origen del vector és l'origen de coordenades i, per tant, escriurem el vector com a $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(3,5)}$ i no $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(0,0)(3,5)}$, obviant el seu origen.
A més, de la mateixa manera que pels punts, existeixen dues notacions estàndard: $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{(3,5)}$ o bé $\overrightarrow{A}\overrightarrow{(3,5)}$, que podrem usar indistintament.
\begin{example}Els vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ són equipolents (\autoref{fig:diversos-vectors}). És més, tots aquests vectors es consideren el mateix vector que $\overrightarrow{(2,2)}$.
\end{example}
\begin{definition}[coordenades i components d'un vector]Donat un vector $\overrightarrow{v}$, les seves \term{coordenades}\index{coordenada d'un vector} són els nombres que formen el seu producte cartesià, és a dir, si $\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$, aleshores, $v_x$ i $v_y$ són les seves coordenades. $v_x$ es diu \term{coordenada de l'eix de les abscises} i $v_y$, \term{coordenada de l'eix de les ordenades}, o simplement coordenada de l'eix $X$ i coordenada de l'eix $Y$, respectivament.
Les coordenades es poden interpretar com a les longituds, amb signe, de les projeccions d'un vector sobre els dos eixos de coordenades. Cadascuna de les dues components d'un vector pot ser positiva o negativa segons que la respectiva projecció apunti cap a la part positiva o negativa del
corresponent eix de coordenades (figura~\autoref{fig:components-vector-2D}). En aquest sentit les coordenades s'anomenen \term{components}.
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-1.1,-1.1) grid (8,10);
\draw[->,color=black] (-1,0) -- (8,0);
\draw[->,color=black] (0,-1) -- (0,10);
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {$O$};
\draw[color=black] (7.5,0) node[anchor=north] {$x$};
\draw[color=black] (0,9.5) node[anchor=east] {$y$};
\draw [->,color=qqttcc] (2,3) -- (6,8);
\draw [->] (2,3) -- (6,3);
\draw [->] (2,3) -- (2,8);
\draw (3.4,6.04) node[anchor=north west] {$v$};
\draw (3.76,3.04) node[anchor=north west] {$v_x$};
\draw (1.32,5.92) node[anchor=north west] {$v_y$};
\end{tikzpicture}
\caption{Components d'un vector}
\label{fig:components-vector-2D}
\end{figure}
\end{definition}
\begin{example}Són vectors els següents:%
\begin{equation*}
\overrightarrow{B}(3,-2),\, \overrightarrow{C}(-5,1)
\end{equation*}%
El vector $\overrightarrow{B}$ apunta cap a la dreta i cap a baix, i el vector $\overrightarrow{C}$ apunta cap a l'esquerra i cap a dalt. Com que no se'ns diu quins s\'{o}n els seus origens, es considerar\`{a} que aquests vectors s\'{o}n lliures, i que, per tant, podem situar-los els on es desitgi.
\end{example}
\begin{exercise}Representeu gràficament els vectors $\overrightarrow{A}(-3,4)$, $\overrightarrow{B}(5,-1)$ i $\overrightarrow{C}(1,0)$.
\end{exercise}
\begin{claim}[vector d'extrems donats]Si un vector té origen en el punt $P(x_{1},y_{1})$ i final en el punt $Q(x_{2},y_{2})$, aleshores les components d'aquest vector es calculen amb l'expressió següent:%
\begin{equation*}
\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}),
\end{equation*}
és a dir, restem les coordenades del punt final menys les coordenades del punt inicial.
\end{claim}
\begin{example}Calculeu les components del vector que comença en el punt $P\left(0,-6\right)$ i acaba en el punt $Q\left(-3,2\right)$:
\begin{equation*}
\overrightarrow{PQ}=\left( -3-0,2-\left( -6\right) \right) =\left(-3,8\right)
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu les components del vector d'origen $P\left( -2,1\right)$ i que acaba en el punt $Q\left( -3,-5\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Els punts $A(3,0)$, $B(-5,4)$ i $C(6,-4)$ s\'{o}n vèrtexos d'un paral\textperiodcentered lelogram. Representeu gràficament aquests punts i calculeu les cooordenades de vèrtex restant.
\end{exercise}
\begin{definition}[mòdul d'un vector]El \term{mòdul} d'un vector\index{mòdul!d'un vector} és la seva longitud. El mòdul del vector $\overrightarrow{A}(a,b)$, que es representa per $\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert$, es calcula amb la f\'{o}rmula:%
\begin{equation*}
\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\left\vert (a,b)\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{example}El mòdul del vector $\overrightarrow{A}(3,-2)$ és:%
\begin{equation*}
\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\sqrt{3^{2}+\left( -2\right) ^{2}}=\sqrt{13}.
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}
Calculeu el valor del mòdul del vector $\overrightarrow{A}(-5,1)$.
\end{exercise}
Acabem amb unes quantes definicions:
\begin{definition}[vector unitari] Un vector és \term{unitari}\index{vector!unitari} quan té mòdul 1.
\end{definition}
\begin{definition}[ortogonalitat, ortonormalitat]Donats dos vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortogonal}\index{ortogonalitat}\index{vector!ortogonal} a $\overrightarrow{v}$ simplement quan $\overrightarrow{u}$ sigui perpendicular\index{vector!perpendicular} a $\overrightarrow{v}$, és a dir, quan ambdós formen un angle de 90 graus.
Si a més, $\overrightarrow{u}$ és unitari, aleshores direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortonormal}\index{ortonormalitat}\index{vector!ortonormal} a $\overrightarrow{v}$.
\end{definition}
\subsection{Operacions amb vectors}
Definim aqu\'{\i} les diferents operacions que es poden fer amb vectors.
\subsubsection{Suma de dos vectors}
\begin{definition}[suma de dos vectors]. Siguin $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })$ dos vectors. La seva \term{suma}\index{suma!de vectors} es defineix com:
\begin{equation*}
\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A^{\prime }}=(a,b)+(a^{\prime },b^{\prime})=\left( a+a^{\prime },b+b^{\prime }\right)
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{example}
Donats els vectors $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i $\overrightarrow{B}(-5,1)$, la seva suma \'{e}s:%
\begin{equation*}
\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(3,-2)+(-5,1)=\left( 3-5,-2+1\right)=\left( -2,-1\right)
\end{equation*}
\end{example}
Noteu que, per a què es puguin sumar dos vectors aquests han de tenir el mateix origen o bé ser lliures. En aquest cas, la suma de dos vectors es pot calcular gràficament: en el dibuix següent es representa la suma gràfica de $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$ (\autoref{fig:regla-del-parallelogram}):
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [->] (-3.,1.) -- (-2.,3.);
\draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
\draw (-3.08,2.48) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
\draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{B}$};
\end{tikzpicture}
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.}
\definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [->] (-2.,1.) -- (-1.,3.);
\draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
\draw (-2.12,2.54) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
\draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{B}$};
\draw [->,color=qqqqcc] (-1.,3.) -- (2.,4.);
\draw [->,color=qqqqcc] (1.,2.) -- (2.,4.);
\draw [->,color=ccqqqq] (-2.,1.) -- (2.,4.);
\draw (-0.92,3.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$};
\end{tikzpicture}
\caption{Regla del paral·lelogram}
\label{fig:regla-del-parallelogram}
\end{figure}
Es pot procedir de manera anàloga per a qualssevol vectors. Aquesta manera gràfica d'aconseguir la suma es coneix com \term{regla del paral·lelogram}\index{regla!del paral·lelogram}.
\begin{exercise}Calculeu gràficament i analítica la suma dels vectors $\overrightarrow{A}(-5,4)$ i $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
\end{exercise}
\subsubsection{Diferència de dos vectors}
\begin{definition}[diferència de dos vectors] Donats dos vectors $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })$, la seva \term{diferència}\index{diferència!de dos vectors} es defineix com:
\begin{equation*}
\overrightarrow{A}-\overrightarrow{A^{\prime }}=(a,b)-(a^{\prime },b^{\prime})=\left( a-a^{\prime },b-b^{\prime }\right)
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{example}
Donats els vectors $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i $\overrightarrow{B}(-5,1),$
la seva difer\`{e}ncia \'{e}s:%
\begin{equation*}
\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(3,-2)-(-5,1)=\left( 3+5,-2-1\right)
=\left( 8,-3\right)
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}
Calculeu $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$, amb $\overrightarrow{A}(-5,4) $ i $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
\end{exercise}
\subsubsection{Producte d'un escalar per un vector}
\begin{definition}[producte d'un escalar per un vector] Donat un nombre $k \in \mathbb{R}$ i un vector $\overrightarrow{A}(a,b)$, \term{el producte de $k$ per $\overrightarrow{A}$}\index{producte!d'un escalar per vector}, $k \cdot \overrightarrow{A}$, es defineix com:
\begin{equation*}
k \cdot \overrightarrow{A} = k\cdot (a,b)=\left( ka, kb\right)
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{example}
Donats el vector $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i el número $k=-5$, es té que el seu producte és:%
\begin{equation*}
k\text{$\cdot $}\overrightarrow{A}=-5\cdot (3,-2)=\left( -5\cdot 3,-5\cdot
\left( -2\right) \right) =\left( -15,10\right)
\end{equation*}
\end{example}
En el dibuix següent es veu un exemple gràfic del producte d'un nombre (en aquest cas el $3$) per un vector (\autoref{fig:producte-escalar-per-vector}):%
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
\definecolor{ttzzqq}{rgb}{0.2,0.6,0.}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1.,-1.) rectangle (10.,4.);
\draw [->] (0.,0.) -- (2.,1.);
\draw [->] (3.,0.) -- (9.,3.);
\draw (0.46,1.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
\draw (4.94,2.2) node[anchor=north west] {$3\overrightarrow{A}$};
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (3.,0.)-- (5.,1.);
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (4.067082039324995,0.3658359213500132);
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (3.932917960675006,0.6341640786499876);
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (5.,1.)-- (7.,2.);
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.174413302244984,1.4195015528100081);
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.040249223594997,1.6878297101099824);
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.959750776405003,1.312170289890018);
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.825586697755016,1.5804984471899926);
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.,2.)-- (9.,3.);
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (8.067082039324994,2.365835921350013);
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (7.932917960675007,2.634164078649988);
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.852419513485014,2.2585046584300232);
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.718255434835026,2.526832815729998);
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.281744565164972,2.4731671842700025);
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.147580486514986,2.741495341569977);
\draw (1.66,0.68) node[anchor=north west] {$\times 3 =$};
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple d'un producte d'un escalar per un vector}
\label{fig:producte-escalar-per-vector}
\end{figure}
\begin{exercise}
Calculeu gràficament i analítica el producte $-3\cdot \overrightarrow{B}$, amb $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
\end{exercise}
\begin{claim}Aquesta operació ens dóna sempre un vector paral·lel al vector inicial, és a dir, els vectors de components $(a,b)$ i $\left(ka,kb\right)$ són paral·lels, ja que si dividim les components respectives d'aquests dos vectors s'obté sempre el mateix nombre:%
\begin{equation*}
\frac{ka}{a}=\frac{kb}{b}=k.
\end{equation*}
\end{claim}
\begin{proposition}[Condició de parel·lelisme entre dos vectors]\label{resultat:proposicio-parallelisme-vectors}En relació a això, podem establir el resultat següent:%
\begin{equation*}
\overrightarrow{A}(a,b)\text{ és paral·lel a } \overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })\iff \frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}
\end{equation*}
\end{proposition}
Expressat en paraules, això ens diu que si dos vectors són paral·lels, aleshores el quocient entre les seves respectives components dóna el mateix resultat, i viceversa, és a dir, que si el quocient entre les respectives components de dos vectors dóna el mateix resultat, aleshores aquests dos vectors són paral·lels.
\begin{example}Determineu, a cadascun dels apartats següents, si els vectors són paral·lels entre si:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\overrightarrow{A}\left( 2,-3\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 4,-6\right)$:%
\begin{equation*}
\frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}
\end{equation*}%
Per tant, aquests dos vectors són paral·lels entre si.
\item $\overrightarrow{C}\left( 2,-1\right)$ i $\overrightarrow{D}\left( 4,-3\right)$:%
\begin{equation*}
\frac{2}{4}\neq \frac{-1}{-3}
\end{equation*}%
Així, aquests dos vectors no són paral·lels entre si.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{exercise}
Determineu si els vectors següents són paral·lels entre si:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\overrightarrow{A}\left( 1,-3\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 5,-6\right)$
\item $\overrightarrow{C}\left( 3,-1\right)$ i $\overrightarrow{D}\left( -6,2\right)$
\item $\overrightarrow{E}\left( 3,0\right)$ i $\overrightarrow{F}\left( 5,0\right)$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\paragraph{Producte escalar de dos vectors}
\begin{definition}[producte escalar de dos vectors]El \term{producte escalar de dos vectors}\index{producte!escalar}, $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{B}(c,d)$, que es denota per $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$, en una base ortonormal, es defineix de la manera següent:%
\begin{equation}\label{eq:producte-escalar}
\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=(a,b)\cdot(c,d)=a\cdot c+b\cdot d
\end{equation}
\end{definition}
Com es veu, el producte escalar de dos vectors és un nombre.
\begin{example}El producte escalar dels vectors $\overrightarrow{A}(2,0)$ i $\overrightarrow{B}(-3,1)$ és igual a:%
\begin{equation*}
\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=(2,0)\cdot(-3,1)=2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1=-6
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$, amb $\overrightarrow{A}(-3,4)$ i $\overrightarrow{B}(-2,-8)$.
\end{exercise}
\paragraph{Angle entre dos vectors}
\begin{proposition}[Relació entre producte escalar i angle entre dos vectors]\label{resultat:angle-producte-esclar}Es pot provar que es cumpleix que la relació:%
\begin{equation}\label{eq:angle-producte-escalar}
\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert \cdot \left\vert \overrightarrow{B} \right\vert \cdot \cos \alpha,
\end{equation}%
on $\alpha$ és l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$.
Això permet calcular l'angle $\alpha$ entre dos vectors, o qualsevol altre variables desconeguda d'aquesta fórmula \eqref{eq:angle-producte-escalar} si es coneixen les altres. Recordeu que el producte escalar es pot calcular amb seva fórmula \eqref{eq:producte-escalar}. Per tant, l'equació anterior és equivalent a:
\begin{equation}
ac+bd=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\text{$\cdot $}\sqrt{c^2+d^2}\cdot\cos \alpha
\end{equation}
\end{proposition}
\begin{claim}Recordeu que el cosinus d'un angle es defineix com la projecció del radi definit per l'angle sobre el diàmetre horitzontal de la circumferència de radi unitat.
Els valors del cosinus dels angles més usuals es mostren a continuació (taula~\autoref{tab:taula-valors-cosinus}):
\begin{table}[ht!]
\centering
\begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c|c|}
\cline{2-8}
& $0$ \unit{rad} & $\pi/6$ \unit{rad} & $\pi/4$ \unit{rad} & $\pi/3$ \unit{rad} & $\pi/2$ \unit{rad} & $\pi$ \unit{rad} & $3\pi/2$ \unit{rad} \\
\cline{2-8}
& $0\degree$ & $30\degree$ & $45\degree$ & $60\degree$ & $90\degree$ & $180\degree$ & $270\degree$\\
\hline
\multicolumn{1}{|r|}{$\cos \alpha$} & $1$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ & $-1$ & $0$\\
\hline
\end{tabular}%
\caption{Valors dels cosinus pels angles més usuals}
\label{tab:taula-valors-cosinus}
\end{table}
\end{claim}
\begin{example}Què val l'angle format pels vectors $\overrightarrow{A}(2,0)$ i $\overrightarrow{B}(-3,1)$?
Si aplicam la darrera f\'{o}rmula i denotam l'angle per $\alpha $, es té que%
\begin{align*}
2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1 &= \sqrt{2^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{\left( -3\right) ^{2}+1^{2}}\cdot \cos \alpha
\\
-6 &=2 \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\
\cos \alpha &= \frac{-6}{2\sqrt{10}}=\frac{-3}{\sqrt{10}} \\
\alpha &= \arccos \frac{-3}{\sqrt{10}}\simeq 161,565\degree%
\end{align*}
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{A}(-2,-5)$ i $\overrightarrow{B}(-3,2)$.
\end{exercise}
\bigskip
Vegem a continuació les propietats del producte escalar.
\begin{theorem}[Propietats del producte escalar]\label{resultat:propietats-del-producte-esclar} Donats vectors $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{C}$ i un nombre $k$ qualssevol, el producte escalar té les propietats següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\sqrt{\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{A}}$. És a dir, el mòdul d'un vector
es pot calcular amb l'arrel quadrada del producte escalar per si mateix.
\item $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{A}$ (propietat conmutativa)
\item $\left( k\overrightarrow{A}\right) \cdot \overrightarrow{B}=k\left( \overrightarrow{A}\text{$\cdot $}\overrightarrow{B}\right)$ (propietat associativa)
\item $\overrightarrow{A}\cdot \left( \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}\right) =\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C}$ (propietat distributiva)
\item \term{Condició de perpendicularitat entre dos vectors}\index{condició!de perpendicularitat entre dos vectors}: si el producte escalar de dos vectors és $0$, aleshores aquests dos vectors són perpendiculars entre si, i viceversa, és a dir, que si dos vectors són perpendiculars entre si, aleshores el seu producte escalar és $0$. Matemàticament,%
\begin{equation*}
\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=0\iff \overrightarrow{A} \bot \overrightarrow{B}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{example}Per exemple, els vectors $\overrightarrow{A}\left( 30,-9\right) $ i $\overrightarrow{B}\left( 3,10\right) $ són perpendiculars, ja que $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=30\cdot 3+\left( -9\right) \cdot 10=0$.
\end{example}
\begin{exercise}En cada cas, calculeu $x$ per a què els vectors $\overrightarrow{A}\left( 8,-15\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 2,x\right)$ siguin:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item paral·lels,
\item perpendiculars,
\item formin un angle de $60\degree$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Donat el vector $\overrightarrow{A}\left( 5,12\right)$, trobeu:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item un vector paral·lel,
\item un vector perpendicular.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\section{La recta en el pla}
En aquest apartat farem un estudi de la recta en un espai de dues dimensions.
Una recta, en particular, és una col·lecció de punts. Per tant, un objectiu principal serà trobar les coordenades de tots els seus punts. La manera més senzilla de trobar-la és usar vectors.
Donada una recta $r$, sempre podem obtenir un punt qualsevol $P$ i un vector $v$ sobre aquesta --- per exemple, si sabéssim dos punts $A$ i $B$ sobre la recta, aleshores tendríem un punt, $A$ o $B$, i un vector amb aquestes condicions, $A-B$ o qualsevol múltiple seu. Per tant, qer a qualsevol punt $X$ sobre la recta, aquest forma el vector $\overrightarrow{OX}$, que té com a origen l'origen de coordenades i com a destí $X$. Aquest vector es pot posar com a suma del vector $OP$ i un múltiple del vector $v$ (figura \autoref{fig:equacio-vectorial-recta-2d}), és a dir, existeix un nombre $\lambda$ tal que:
\begin{equation}\label{eq:equacio-vectorial-recta-2d}
\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}.
\end{equation}
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[->,color=black] (-3.,0.) -- (5.5,0.);
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0.,-1.) -- (0.,5.);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-3.,-1.) rectangle (5.5,5.);
\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt,domain=-3.:5.5] plot(\x,{(--6.--2.*\x)/4.});
\draw [->] (0.,0.) -- (1.704,2.352);
\draw [->] (0.,0.) -- (4.128,3.564);
\draw [->,color=ffqqqq] (-1.,1.) -- (0.632,1.816);
\draw (-1.9,1.44) node[anchor=north west] {$r$};
\draw (0,0) node[anchor=north east] {$O$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=xdxdff] (1.704,2.352) circle (1.5pt);
\draw[color=xdxdff] (1.84,2.64) node {P};
\draw [fill=xdxdff] (4.128,3.564) circle (1.5pt);
\draw[color=xdxdff] (4.26,3.84) node {X};
\draw [fill=uuuuuu] (0.,0.) circle (1.5pt);
\draw[color=ffqqqq] (-0.16,1.64) node {v};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\caption{Visualització de l'equació vectorial d'una recta}
\label{fig:equacio-vectorial-recta-2d}
\end{figure}
Aquest equació \eqref{eq:equacio-vectorial-recta-2d} s'anomena \term{equació vectorial de la recta}\index{equació!vectorial!d'una recta} i al vector $v$ se li diu \term{vector director} de $r$\index{vector!director}.
\begin{claim}Noteu que realment no fa falta que el vector director $v$ estigui sobre la recta. Basta qualsevol que tengui la mateixa direcció, ja que suposem que feim feina amb vectors lliures. En aquest sentit parlarem de {\em el} vector director de la recta $r$ i no d'{\em un} vector director, per a qualsevol d'aquests vectors, ja que els haurem identificat.
\end{claim}
\begin{example}Trobeu l'equació vectorial de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(4,5)$.
Hem de prendre un punt de la recta i un vector director. Ja tenim el punt: podem prendre $A$ o $B$. Agafarem $A(2,3)$.
Per trobar el vector director, calcularem $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{(4-2,5-3)} = \overrightarrow{(2,2)}$.
Per tant, l'equació vectorial de la recta en qüestió és:
\begin{equation*}
\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{(2,2)}
\end{equation*}
Si denotam $X=(x,y)$ les coordenades del punt $X$, tenim que aquesta equació es transforma en:
\begin{equation*}
\overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(2,3)} + \lambda \overrightarrow{(2,2)}.
\end{equation*}
\end{example}
\begin{claim}
A part d'aquesta equació, n'hi ha d'altres però totes provénen d'aquesta. L'ús d'una o de l'altra dependrà de l'exercici concret que volguem resoldre i de la nostra comoditat.
\end{claim}
\subsection{Equació paramètrica de la recta}
Sigui $r$ una recta donada pel punt $P(x_{1},y_{1})$ i el vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x,v_y)$, aleshores l'equació vectorial de la recta $r$ ve donada per
\begin{equation*}
\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v},
\end{equation*}
on $X(x,y)$ és un punt qualsevol de la recta. Si desenvolupem aquesta equació obtenim que
\begin{equation*}
\overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(x_1,y_1)} + \lambda \cdot \overrightarrow{(v_x, v_y)},
\end{equation*}
és a dir,
\begin{equation*}
\overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(x_1 + \lambda \cdot v_x, y_1 + \lambda v_y)}.
\end{equation*}
Dos vectors són iguals si, i només si, les seves components són iguals. Per tant, $(x,y) = (x_1 + \lambda \cdot v_x, y_1 + \lambda v_y)$, és a dir, s'han de complir simultàniament les equacions següents:
\begin{equation*}
\left\{\begin{aligned}
x & = x_1 + \lambda \cdot v_x,\\
y & = y_1 + \lambda \cdot v_y.
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
Hem obtingut l'\term{equació paramètrica}\index{equació!paramètrica!d'una recta}. L'equació paramètrica d'una recta dóna les coordenades de tots els punts d'una recta depenent d'un paràmetre $\lambda$ (d'aquí el seu nom). Per a cada valor de $\lambda$ obtenim un punt de la recta.
Recapitulant, si $r$ és una recta que passa pel punt $P(x_1, y_1)$ i té com a vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x,v_y)$, aleshores l'equació paramètrica de $r$ ve donada per:
\begin{equation}\label{eq:equacio-parametrica-recta-2d}
r:\left\{\begin{aligned}
x & =x_{1}+\lambda v_{x} \\
y & =y_{1}+\lambda v_{y}%
\end{aligned}%
\right.,
\end{equation}%
amb $\lambda \in \mathbb{R}$.
\begin{example}\label{exemple:equacio-parametria-recta-2d}Si una recta passa pel punt $\left( 0,-1\right)$ i el seu vector director és $\overrightarrow{v}\left(-3,2\right)$, aleshores la seva equació paramètrica és la següent:%
\begin{equation*}
\left. \begin{aligned}
x & =0+\lambda \left( -3\right) \\
y & =-1+\lambda \cdot 2
\end{aligned}%
\right\} ; \left.
\begin{aligned}
x & =-3\lambda \\
y & =-1+2\lambda%
\end{aligned}%
\right\}
\end{equation*}
\end{example}
Per trobar més punts d'aquesta recta basta substituir $\lambda $ per un nombre qualsevol a les expressions anteriors.
\begin{example}Si a la recta anterior feim $\lambda =2$, tenim que%
\begin{equation*}
\left. \begin{aligned}
x & =-6 \\
y & =-1+4=3%
\end{aligned}
\right\},
\end{equation*}%
i, per tant, que $\left( -6,3\right)$ és un altre punt de la recta.
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per $A(-3,0)$ i segueix la direcció $\overrightarrow{v}\left( 5,-1\right)$. Trobeu tres punts més d'aquesta recta.
\end{exercise}
\begin{claim}Per saber si un punt pertany a una recta donada, només hem de veure si aquest punt verifica les equacions de la recta. Per exemple, si volem saber si $P=(5,3)$ pertany o no a la recta de l'\autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, només hem de substituir a les equacions:
\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}
5 & = -3 \lambda\\
3 & = -1 + 2 \lambda
\end{aligned}\right. ,
\end{equation*}
i hem de resoldre aquest sistema. Si aquest sistema té solució, és a dir, existeix $\lambda$, aleshores $P$ pertanyarà a la recta; sinó, no ho farà. En el nostre cas, $\lambda = -5/3$ de la primera equació i $\lambda = 2$ de la segona. Per tant, $P$ no és de la recta.
Aquest fet també ens servirà per a les altres equacions de la recta.
\end{claim}
\subsection{Equació contínua de la recta}
Si aïllem $\lambda $ a cadascuna de les equacions de la recta en forma paramètrica \eqref{eq:equacio-parametrica-recta-2d}, obtenim
\begin{equation*}
\lambda =\frac{x-x_{1}}{v_{x}},\text{ }\lambda =\frac{y-y_{1}}{v_{y}}.
\end{equation*}
Si ara igualam les dues equacions, s'obté \term{l'equació contínua de la recta}\index{equació!contínua!d'una recta}
\begin{equation}\label{eq:equacio-continua-recta-2d}
r:\frac{x-x_{1}}{v_{x}}=\frac{y-y_{1}}{v_{y}},
\end{equation}
on $P(x_{1},y_{1})$ és qualsevol punt de la recta i $\overrightarrow{v_{r}}(v_x,v_u)$ és el vector director de la recta.
\begin{example}Seguint amb la recta de l'exemple anterior, \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, la seva equació contínua és:%
\begin{equation*}
\frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}
\end{equation*}
\end{example}
\begin{claim}Notem que si alguna component del vector director $\overrightarrow{v_r}$ és zero, aleshores no existeix la fracció corresponent a l'equació \eqref{eq:equacio-continua-recta-2d} (no es pot dividir per zero). Ara bé, en aquest cas es veu l'equació \eqref{eq:equacio-continua-recta-2d} com a {\em notació}.
Per exemple, la recta que passa pel punt $(2,3)$ i té com a vector director $\overrightarrow{(5,0)}$, té com a equació contínua:
\begin{equation*}
\frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{0}
\end{equation*}
\end{claim}
\subsection{Equació general de la recta}
Si a les equacions de la recta en forma contínua llevam els denominadors i ho transposam tot al primer membre, l'equació de la recta s'escriu de la manera següent:%
\begin{equation}\label{eq:equacio-general-recta-2d}
Ax+By+C=0,
\end{equation}%
amb $A$, $B$ i $C$ nombres reals. Aquesta equació rep el nom d'\term{equació general de la recta} o \term{equació implícita de la recta}\index{equació!general!d'una recta}\index{equació!implícita!d'una recta}.
\begin{example}Seguint amb la recta anterior, \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, la seva equació general és:%
\begin{equation*}
r \equiv 2x=-3\left( y+1\right),
\end{equation*}
que simplificada és:
\begin{equation*}
r \equiv 2x+3y+3=0.
\end{equation*}
\end{example}
\begin{claim}Notem que, si a l'exemple anterior, feim $x = \lambda$, llavors
\begin{equation*}
y = \left(-3-2x\right)/3 = -1 + 2/3 \lambda,
\end{equation*}
per la qual cosa
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
-1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1\\
-2/3
\end{pmatrix} \cdot \lambda.
\end{equation*}
Això implica que $r$ passa pel punt $(0,-1)$ i té com a vector director $\overrightarrow{(1,-2/3)}$. Noteu que aquest darrer vector director és equivalent a $(-3,2)$ (aquest darrer és el primer multiplicat per $3$), el qual és el que teníem a l'exemple \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}.
\end{claim}
\begin{exercise}Trobeu les equacions contínua i general de la recta que passa per $P(2,-5)$ i segueix la direcció del vector director $\overrightarrow{v}\left(-2,7\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Donada la recta d'equació $5x-y+6=0$, trobeu les cooordenades de dos dels seus punts. A partir d'aquests, calculeu el seu vector director.
\end{exercise}
\subsubsection{Vector director a partir de l'equació general}
\begin{proposition}\label{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}Donada una recta en forma general, és a dir, $Ax+By+C=0$, el seu vector director és $\overrightarrow{v}=\left(-B,A\right)$.
\end{proposition}
\begin{demonstration}Una recta genèrica $r$ que passa pel punt $P(x_1, y_1)$ i que té com a vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x, v_y)$ té l'equació contínua
\begin{equation*}
r \equiv \frac{x-x_1}{v_x} = \frac{y-y_1}{v_y}
\end{equation*}
Per tant, $v_y \cdot (x-x_1) = v_x \cdot (y-y_1)$. Aleshores, $v_y x - v_x y + (-v_y x1 + v_x y_1) = 0$. Per la qual cosa, $A=v_y$, $B=-v_x$ i $C=-v_y x_1 + v_x y_1$. Per tant, el vector director és $(v_x, v_y) = (-B, A)$.
\end{demonstration}
\begin{proposition}Donada una recta $r \equiv Ax + By + C = 0$ en forma implícita, tenim que el vector $(A, B)$ és perpendicular a la recta.
\end{proposition}
\begin{demonstration}El vector $(A,B)$ és perpendicular al vector $(-B,A)$ --- ja que el seu producte escalar és $0$. Per tant, el vector $(A,B)$ és un
vector perpendicular a la recta d'equació $Ax+By+D=0$.
\end{demonstration}
\begin{example}El vector director de la recta $5x-2y+1=0$ és $\overrightarrow{v}=\left(2,5\right)$.
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu el vector director de les rectes següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $4x-3y+1=0$
\item $-y+5=0$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Donada la recta $x-5y+8=0$, trobeu:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item l'equació de la recta paral·lela que passa pel punt $(2,-7)$,
\item l'equació de la recta perpendicular que passa pel punt $(2,-7) $.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{claim}La \autoref{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}, serveix per a passar de l'equació general a l'equació contínua o bé a l'equació paramètrica: directament es pot obtenir el seu vector director $v_r$. I després subtituïnt $x$ o $y$, podem trobar un punt seu.
\end{claim}
\begin{example}Obteniu l'equació contínua de la recta $s$ que té equació general $s \equiv 5x -9y -2 = 0$.
Per la \autoref{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}, tenim que el vector director de $s$ és $v_s = (9,5)$.
D'altra banda, trobarem un punt de $s$. Prendre'm $x = 0$, per exemple, amb el que obtenim $y = -2/9$. Per tant $(0,-2/9) \in s$.
Amb tot, tenim que l'equació contínua de $s$ serà:
\begin{equation*}
s \equiv \frac{x}{9} = \frac{y+\frac{2}{9}}{5}
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}Donada la recta $r \equiv 2x - 9y +5 = 0$, trobeu les equacions contínua, paramètrica i vectorial.
\end{exercise}
\begin{example}Trobeu el punt de tall de les rectes $r \equiv 2x -5y +10 = 0$ i $s \equiv \frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{8}$.
Diem $P(a,b)$ al punt de tall de $r$ i $s$. Si $P \in r \cap s$, aleshores $P$ verifica les equacions de $r$ i $s$ simultàniament. Per tant, s'ha de verificar el sistema:
\begin{equation*}
\left\{\begin{aligned}
2a-5b + 10 = 0\\
\frac{a-2}{5} = \frac{b-3}{8}
\end{aligned}\right.
\end{equation*}
Aplicant el mètode de reducció (multiplicant la segona equació per $40$), tenim que
\begin{equation*}
\left\{\begin{aligned}
2a-5b &= - 10\\
8a -5b & = 1
\end{aligned}\right.
\end{equation*}
Per tant, $a = 3/2$ i $b = 13/5$. Llavors el punt de tall és $P(\frac{3}{2}, \frac{13}{5})$.
Noteu que no sempre dues rectes tendran punt de tall: quan aquestes siguin paral·leles, aleshores no existiran punts de tall. En aquest cas, el sistema no tendria solució. Vegeu l'apartat referent a la posició relativa de dues rectes (\autoref{subseccio:posicio-relativa-rectes-2d}).
\end{example}
\begin{exercise}Donades les rectes $r \equiv 5x - 2y + 8 = 0$ i $s \equiv \frac{x-2}{3} = \frac{y}{5}$, trobeu:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item dues rectes paral·leles a $r$
\item dues rectes paral·leles a $s$
\item una recta perpendicular a $s$ que passi per $(10,10)$
\item una recta perpendicular a $r$ que passi per $(0,0)$
\item el punt de tall de $r$ i $s$
\item el punt de tall de $r$ i la recta perpendicular a $s$ que passa per $(5,20)$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{Equació explícita de la recta}
Si de l'equació general d'una recta \eqref{eq:equacio-general-recta-2d} aillam la $y$ ens queda una equació de la forma:%
\begin{equation}\label{eq:equacio-explícita}
y=mx+b,
\end{equation}%
amb $m$ i $b$ nombres reals. Aquesta equació es coneix amb el nom de \term{equació explícita de la recta}\index{equació!explícita!d'una recta}. S'anomena \term{pendent}\index{pendent d'una recta} al coeficient $m$ i \term{ordenada a l'origen}\index{ordenada a l'origen} al nombre $b$. La interpretació gràfica d'aquests dos paràmetres és la següent:
\begin{itemize}
\item La pendent de la recta és la inclinació d'aquesta:
\begin{itemize}
\item Si $m > 0$, aleshores la recta és \term{creixent}\index{recta!creixent} (quan els valors de $x$ creixen, els valors de $y$ creixen)
\item Si $m < 0$, aleshores la recta és \term{decreixent}\index{recta!decreixent} (quan les valors de $x$ creixen, els valors de $y$ decreixen)
\item Si $m=0$, aleshores la recta és \term{constant}\index{recta!constant}. Té una forma completament horitzontal.
\end{itemize}
D'altra banda, quan $\lvert m \rvert$ és major, la inclinació de la recta és major en el sentit que és més vertical. Per exemple, $y = 3x+2$ tendrà més inclinació que $y=x+2$, i $y=-5x+10$ tendrà més inclinació que $y = -2x+10$.
\item L'ordenada a l'origen $b$ és el valor que de l'eix de les $Y$ quan $x=0$. És a dir, l'ordenada a l'origen ens diu en quin punt talla la recta a l'eix $OY$. En altres paraules, $(0,b)$ és el punt de tall de la recta amb l'eix $OY$.
\end{itemize}
\begin{example}Representeu gràficament la recta $r \equiv y=-2x+3$ i trobeu els seus punts de tall amb els eixos.
Sabem que $r$ és decreixent perquè $-2 < 0$. I que passa per $(0,3)$. Per representar-la només ens fa falta un altre punt (una recta ve determinada per dos punts). Substituïm, per exemple, per $x = 2$: $y = -2 \cdot 2 +3 = -1$. Per tant, $(2,-1) \in r$. Aleshores, $r$ té la representació següent (\autoref{fig:equacio-explicita-recta-2d}):
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[->,color=black] (-1,0) -- (3,0);
\foreach \x in {-1,1,2}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,4);
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-1,-2) rectangle (3,4);
\draw [domain=-1:3] plot(\x,{(--3-2*\x)/1});
\draw (1,2.24) node[anchor=north west] {$r$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=uuuuuu] (0,3) circle (1.5pt);
\draw[color=uuuuuu] (0.14,3.28) node {$A$};
\draw [fill=xdxdff] (2,-1) circle (1.5pt);
\draw[color=xdxdff] (2.14,-0.72) node {$B$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\caption{Visualització de l'equació explícita d'una recta}
\label{fig:equacio-explicita-recta-2d}
\end{figure}
Només fa falta trobar el punt de tall amb l'eix de les abscises. En aquest cas, $y=0$. Per tant, $0=-2x+3$, el que implica que $x = 3/2$. Per tant, el punt $(\frac{3}{2},0)$ és el punt de la recta que està sobre l'eix $OX$.
\end{example}
\subsubsection{Càlcul de la pendent mitjançant dos punts}
Donats dos punts $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$, per calcular la pendent de la recta $r \colon y = mx + b$ que els conté, podem substituir ambdós punts a l'equació de la recta i trobar $m$ i $b$. O bé, podem emprar la fórmula següent per a calcular la pendent de $r$:
\begin{equation*}
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}
\end{equation*}
i després substituir un dels punts a l'equació de la recta per a trobar $b$.
\begin{example} Trobeu l'equació explícita de la recta $r$ que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(10,15)$.
Sigui $r \colon y = mx + n$ l'equació explícita de la recta $r$. Hem de determinar $m$ i $n$. Facem-ho de dues maneres:
\begin{itemize}
\item Substituïnt els dos punts a l'equació explícita.
Com que $A$ i $B$ són punts de la recta $r$, verifiquen la seva equació. Per tant,
\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}
3 & = m \cdot 2 + n\\
15 & = m \cdot 10 + n
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
Si resolem aquest sistema per $m$ i $n$, obtenim $m = 3/2$ i $n = 0$.
\item Emprant la fórmula de la pendent
Podem calcular la pendent amb la fórmula:
\begin{equation*}
m = \frac{15-3}{10-2} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}
\end{equation*}
Per tant, $r \colon y = \frac{3}{2} x + n$. Prenem un punt qualsevol de la recta, per exemple $A$, i substituïm-lo a aquesta equació: $3 = \frac{3}{2} \cdot 2 + n$. D'aquí tenim que $n=0$.
\end{itemize}
\end{example}
\subsubsection{Pendents de rectes paral·leles i perpendiculars}
Existeix una relació entre les pendents de rectes paral·leles o perpendiculars:
\begin{proposition}[relació entre les pendents de rectes paral·leles o perpendiculars] Siguin $r\colon y = m_r x + n_r$ i $s \colon y = m_s x + n_s$ dues rectes en el pla. Aleshores:
\begin{itemize}
\item $r \parallel s \iff \text{r, s tenen la mateix pendent} \iff m_r = m_s$
\item $r \bot s \iff m_{r}=-\frac{1}{m_s}$
\end{itemize}
\end{proposition}
Aquest teorema no es podrà generalitzar a la geometria a l'espai.
\begin{example}Si el pendent d'una recta donada val $-5$, la pendent de qualsevol recta paral·lela val tamb\'{e} $-5$, i la de qualsevol recta perpendicular val $1/5$.
\end{example}
\begin{exercise}Donada la recta $x+5y-3=0$, calculeu la seva pendent, la de una recta paral·lela i la de una recta perpendicular.
\end{exercise}
\subsection{Equació de la recta determinada per dos punts}
\begin{proposition}[equació de la recta determinada per dos punts donats]Donats dos punts coneguts $A(x_{1},y_{1})$ i $B(x_{2},y_{2})$, si volem conèixer la recta que determinen, podem emprar la fórmula següent:
\begin{equation*}
\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}},
\end{equation*}
que ens dóna l'equació contínua de la recta.
\end{proposition}
Amb aquesta proposició, ens evitam haver de cercar el vector director i plantejar una equació.
\begin{example}L'equació de la recta que passa pels punts $A\left( 0,-2\right) $ i $B\left( -4,1\right)$ es la següent:%
\begin{equation*}
\frac{x}{-4}=\frac{y+2}{3}
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu l'equació de la recta que passa pels punts $A\left( 3,-5\right)$ i $B\left( -1,7\right)$.
\end{exercise}
\subsection{Posició relativa entre dues rectes}\label{subseccio:posicio-relativa-rectes-2d}
\begin{proposition}[posició relativa entre dues rectes]Dues rectes al pla cartesià poden ser (vegi's \autoref{fig:posicio-relativa-recta-2d}):
\begin{itemize}
\item \term{secants}\index{rectes!secants}, és a dir, que es tallen a un punt
\item \term{paral·leles}\index{rectes!paral·leles}. Per tant, no es tallen a cap punt.
\item \term{coincidents}\index{rectes!coincidents}, és a dir, són la mateixa recta.
\end{itemize}
Cadascuna d'aquestes posicions s'anomenen la \term{posició relativa} entre les dues rectes\index{posició relativa!entre dues rectes}.
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=.75]
\begin{scope}[shift={(-2,0)}]
\clip(0.,0.) rectangle (18.,6.);
\draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-0.--2.52*\x)/2.7});
\draw [color=qqqqff,domain=0.:18.] plot(\x,{(-4.158--2.52*\x)/2.7});
\draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-17.3304--2.52*\x)/2.7});
\draw [color=qqqqff,domain=0.:18.] plot(\x,{(-29.9192--2.84*\x)/0.22});
\draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-31.4244--2.52*\x)/2.7});
\draw (3.54,4.3) node[anchor=north west] {$r$};
\draw (4.86,2.74) node[anchor=north west] {$s$};
\draw (9.08,3.26) node[anchor=north west] {$r$};
\draw (11.04,3.02) node[anchor=north west] {$s$};
\draw (15.44,4.36) node[anchor=north west] {$r \text{ i } s$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff] (10.82,3.68) circle (1.5pt);
\end{scriptsize}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Les diferents posicions relatives possibles entre dues rectes}
\label{fig:posicio-relativa-recta-2d}
\end{figure}
\end{proposition}
La proposició següent ens diu quan dues rectes són secants, paral·leles o coincidents.
\begin{proposition}[criteri de posició relativa] Per a dues rectes $r$ i $s$ en el pla es compleix:
\begin{itemize}
\item Si $r$ i $s$ tenen diferent pendent, aleshores són secants
\item Si $r$ i $s$ tenen la mateixa pendent, aleshores són paral·leles o coincidents. En aquest cas:
\begin{itemize}
\item Si $r$ i $m$ tenen diferents ordenades a l'origen, llavors són paral·leles
\item Si $r$ i $m$ tenen la mateixa ordenada a l'origen, llavors són coincidents
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proposition}
Aquest criteri usant vectors directors és el següent:
\begin{proposition}[criteri de posició relativa] Per a dues rectes $r$ i $s$ en el pla es compleix:
\begin{itemize}
\item Si $r$ i $s$ tenen diferent vector director, aleshores són secants
\item Si $r$ i $s$ tenen el mateix vector director, aleshores són paral·leles o coincidents. En aquest cas, si $r$ i $m$ passen per un punt en comú, aleshores són coincidents. Altrament, són paral·leles
\end{itemize}
\end{proposition}
\subsubsection{Càlcul dels punts de tall}
Fins ara hem vist quina és la posició relativa entre dues rectes. Això vol dir que podem saber si dues rectes es tallen però {\em encara} no sabem com trobar el seu punt de tall.
Per a trobar el punt de tall entre dues rectes, només hem de notar que si $P$ pertany a les dues rectes, aleshores ha de complir ambdues equacions. D'aquesya manera obtindrem un sistema d'equacions de dues incògnites i dues equacions, que podem resoldre fàcilment per reducció, igualació o substitució.
\begin{example}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes $r:x-3y+1=0$ i $s:-4x+7y=0$.
Hem de resoldre el sistema%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
x-3y+1 & = 0 \\
-4x+7y & = 0%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%
Si aplicam el mètode de substitució, aïllant la $x$ de la primera equació: $x=3y-1$, tenim que $-4\left( 3y-1\right) +7y=0$, és a dir, $y=\frac{4}{5}$. Per tant, si substituïm a la primera equació: $x-3\cdot \frac{4}{5}+1=0$, és a dir, $x=\frac{7}{5}$.
Aleshores, el punt de tall entre ambdues rectes \'{e}s el punt $\left( \frac{7}{5},\frac{4}{5}\right)$.
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes $r:2x-3y+1=0$ i $s:-4x+7y=0$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes $r:2x-3y+1=0$ i $s:-4x+\alpha y=0$ en funció del paràmetre $\alpha$.
\end{exercise}
\section{Exercicis proposats}
\subsection*{Punts i vectors}
\begin{exercise}Els punts $A\left( 3,-2\right) ,$ $B\left( 5,0\right) $ i $C\left(-1,-3\right)$ són vèrtexs d'un paral·lelogram. Calculeu la posició de l'altre vèrtex. I trobeu el seu perímetre.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-1}Donats els punts $A(3,1)$, $B(-5,1)$, $C(-4,-2)$, $D(0,-3)$, calculeu, analíticament, les components i el mòdul dels vectors:
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\overrightarrow{AB}$
\item $\overrightarrow{BA}$
\item $\overrightarrow{BC}$
\item $\overrightarrow{CB}$
\item $\overrightarrow{CD}$
\item $\overrightarrow{AD}$
\item $\overrightarrow{BD}$
\item $\overrightarrow{CA}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-2}Calculeu l'extrem del vector $\overrightarrow{AB}=(3,-4)$ si sabem que el seu origen es troba al punt $A(2,-5)$; trobeu l'origen del vector $\overrightarrow{CD} = (-5,1)$ si sabem que el seu extrem final es troba al punt $D(-5,2)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-3}Donats els punts $A(3,0)$, $B(2,3)$, $C(-2,1)$ i $D(7,2)$, esbrineu si els vectors següents són equipolents:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$
\item $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DB}$
\item $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DA}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-4}Les coordenades del punt $A$ són el doble de les del punt $B$. Sabent que $\overrightarrow{AB}=(-2,5)$, calculeu les coordenades dels punts $A$ i $B$.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-5}Donats els vectors $\overrightarrow{u} = (7,-4)$, $\overrightarrow{v} = (-5,-2)$ i $\overrightarrow{w} = (-6,0)$, calculeu:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $5\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$
\item $3\overrightarrow{u}-\frac{2}{3}\overrightarrow{w}$
\item $-\overrightarrow{w}-3(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$
\item $-3\overrightarrow{v}+5\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
i calculeu-ne els seus mòduls.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-6}Trobeu quatre vectors paral·lels i tres perpendiculars al vector $\overrightarrow{u}(-5,4)$. En podeu trobar d'unitaris?
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-7}Calculeu l'angle que formen els vectors següents i extreis conclusions sobre la seva direcció i sentit:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\overrightarrow{u}(5,2)$ i $\overrightarrow{v}(10,4)$
\item $\overrightarrow{u}(-3,15)$ i $\overrightarrow{v}(2,-10)$
\item $\overrightarrow{u}(3,4)$ i $\overrightarrow{v}(-50,40)$
\item $\overrightarrow{u}(-3,4)$ i $\overrightarrow{v}(-2,10)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-8}Donats els punts $A(2,3)$ i $B(-5,4)$, trobeu els punts que divideixen el segment $AB$ en dues parts iguals, en tres parts iguals i en quatre parts iguals.
\end{exercise}
\subsection*{Rectes}
\begin{example}Trobeu la recta que passa pels punts $A(5,9)$ i $B(-10,8)$.
Ho farem de diverses maneres:
\begin{itemize}
\item Calculant el vector director i amb un punt:
El vector director pot ser $\overrightarrow{v} = (-10-5, 8-9) = (-15,-1)$. Qualsevol múltiple seu també és vector diretor de la recta. Per tant, triarem $\overrightarrow{v}(15,1)$ per evitar els signes.
D'aquí podem obtenir diverses equacions de la recta fàcilment:
\begin{itemize}
\item L'equació vectorial: $\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{(5,9)} + \lambda \cdot \overrightarrow{(15,1)}$
\item L'equació paramètrica: $r \colon \left\{
\begin{aligned}
x & = 5 + 15 \lambda\\
y & = 9 + \lambda
\end{aligned}\right.$
\item L'equació contínua: $r \colon \frac{x-5}{15} = y-9$
\end{itemize}
\item Trobant la pendent:
Amb la fórmula, $m = \frac{8-9}{-10-5} = 1/15$. Per tant $r \colon y = 1/15 x + n$. Substituïnt, per exemple, $A$ a l'equació de la recta, tenim que $9 = 1/15 \cdot 5 + n$. Pel que $n = 26/3$. Per tant, $r \colon y = 1/15 x + 26/3$.
\item A partir de la contínua o a partir de la explícita, podem trobar l'equació general\footnote{No és recomanable fer-ho amb un sistema d'equacions substituïnt els punts.}.
\end{itemize}
\end{example}
\begin{example}Trobeu totes les equacions de la recta que passa pel punt $P\left(3,-2\right)$ i que té per vector director $\overrightarrow{v}\left(1,-4\right)$.
\begin{itemize}
\item L'equació paramètrica és: $r:\left\{
\begin{aligned}
x & =3+\lambda \\
y & =-2-4\lambda%
\end{aligned}%
\right. $
\item L'equació contínua és $r:x-3=\frac{y+2}{-4}$
\item L'equació general és $-4\cdot \left( x-3\right) =y+2$, és a dir, $-4x-y+10=0$
\item Si aïllam la $y$ tenim: $y=-4x+10$. Aleshores, la pendent d'aquesta recta és $-4$.
\end{itemize}
\end{example}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-1}Trobeu la recta determinada per:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Els punts $A(-2,-1)$ i $B(2,4)$
\item El punt $P(1,-4)$ i el vector director $\overrightarrow{v}(5,-3)$
\item El punt $P(1,-2)$ i angle que forma amb l'eix $OX$ és $\alpha = 135 \degree$
\item El punt $P(1,-1)$ i la pendent $m=2$
\item La pendent $m=2$ i l'ordenada a l'origen $-5$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-2}Donada la recta $r$ que passa pel punt $P(-5,-3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(12,8)$:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Trobeu les equacions vectorial i paramètrica de la recta
\item Trobeu tres punts que pertanyin a $r$
\item Esbrina si els punts $(-11,-7)$ i $(2,-1)$ pertanyen a la recta.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-3}Donada la recta $s$ que passa pel punt $P(4,-3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(2,-7)$:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Trobeu l'equació contínua de la recta
\item Trobeu tres punts que pertanyin a $r$
\item Esbrina si els punts $(8,-7)$ i $(0,11)$ pertanyen a la recta.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-4}Donada la recta $s$ que passa pel punt $P(-2,3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(-1,4)$:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Trobeu l'equació general de la recta
\item Trobeu tres punts que pertanyin a $r$
\item Esbrina si els punts $(-5,15)$ i $(4,3)$ pertanyen a la recta.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Troba l'equació general de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(-3,-2)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Troba l'equació explícita de la recta que:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item passa pel punt $A(-3,-1)$ i té pendent $m=-2$
\item passa pels punts $A(-4,-2)$ i $B(-3,-1)$
\item passa pel punt $A(-5,2)$ i té ordenada a l'origen $-4$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-5}Trobeu un punt i el vector director de cadascuna d'aquestes rectes:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(-10,-4)} + k \overrightarrow{(-9,7)}$
\item $\frac{x-15}{-1} = \frac{y+2}{6}$
\item $2x-5y +3=0$
\item $y = -5x+10$
\item $\left\{\begin{aligned}
x & = 2 - 8k\\
y & = 3 + 6k
\end{aligned}\right.$
\item $x-5 = \frac{y+4}{12}$
\item $x+3y+1 = 0$
\item $y = -\frac{3}{2}x-2$
\item $\left\{\begin{aligned}
x & = -7 - k\\
y & = 11 + k
\end{aligned}\right.$
\item $\frac{-x-5}{-1} = \frac{4y+4}{8}$
\item $-2x -y-12=0$
\item $y=x+4$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-6}Indiqueu si els punts següents estan alinets:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $A(-1,1)$, $B(2,1)$ i $C(8,5)$
\item $D(-1,2)$, $E(0,0)$ i $F(2,-2)$
\end{enumerate}
En cas negatiu, obteniu-ne un que hi estigui.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-7}Esbrineu la posició relativa de les rectes següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $r \colon 6x-15y+1=0$ i $s\colon -10x+25y+1=0$
\item $r \colon 2x-10y+8 = 0$ i $s \colon x + 5y +4=0$
\item $r \colon y=2x +3$ i $s \colon y=2x+1$
\item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{4}$ i $s\colon \frac{x-2}{-3} = \frac{y+4}{-12}$
\item $r \colon 2x + 6y +4=0$ i $s \colon -3x-9y -6 = 0$
\item $r \colon y = x+1$ i $s \colon y=-x+1$
\item $r \colon y = 3x+\frac{1}{2}$ i $s \colon 6x-2y +1 =0$
\item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{4}$ i $s \colon \left\{\begin{aligned}
x & = -10 - k\\
y & = 2 + k
\end{aligned}\right.$
\item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{4}$ i $s\colon 2x-y +5=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-8}Trobeu el punt d'intersecció de les rectes secants de l'exercici anterior.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-9}Trobeu la recta paral·lela a la recta $r$ que passa pel punt $P$ en els casos següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $r \colon 4x-5y +3=0$, $P(-3,5)$
\item $r \colon \frac{x+5}{-2} = \frac{y+1}{-3}$, $P(4,-10)$
\item $r \colon y = -5x + 3$, $P(-1,1)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-10}Indiqueu si els parells de rectes següents són perpendiculars:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $r \colon x-5y +1 = 0$, $s\colon 10x+2y-3 =0$
\item $r \colon y=2x+4$, $s\colon y=-\frac{1}{2} x + 8$
\item $r \colon \frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{4}$, $s \colon \frac{x-2}{4} = \frac{y+4}{-1}$
\item $r \colon x+y+4=0$, $s \colon -x-y-1 =0$
\item $r \colon y=x+1$, $s \colon y = -x-2$
\item $r \colon \frac{x-1}{3} = \frac{y-5}{7}$, $s \colon 7x+3y+5=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-11}Trobeu l'equació de la recta perpendicular a la recta $r$ que passa pel punt $P$:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $r \colon 4x-5y+3 =0$, $P(-3,5)$
\item $r \colon \frac{x+5}{-2} = \frac{y+1}{-3}$, $P(4,-10)$
\item $r \colon y=-5x+3$, $P(-1,1)$
\item $r \colon \left\{ \begin{aligned}
x & = 3 + 5 \lambda\\
y & = -2 - 6 \lambda
\end{aligned}\right.$, $P(1,1)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-12}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r \equiv 3x+ay+4=0$ i $s \equiv 4x-2y-1=0$ siguin
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Paral·leles
\item Perpendiculars
\item Formin un angle de 45 graus
\item Formin un angle de 60 graus
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:espuig-13}Calculeu l'angle que formen les rectes següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $r \colon x-y+1=0$, $s\colon 7x+2y-3=0$
\item $r \colon y=-3x+4$, $s \colon y=-x+1$
\item $r \colon 2x+y+4=0$, $s \colon -3x+2y-1=0$
\item $r \colon \frac{x-1}{2} = \frac{y-5}{3}$, $s\colon \frac{x-2}{3} = \frac{y+4}{-2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}Donada la recta $r\colon 2x-3y+1=0$, calculeu:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item el seu vector director i un vector perpendicular,
\item l'equació de la recta que passa pel punt $A\left( 3,-5\right)$ i que és perpendicular a la recta $r$,
\item el punt simètric del punt $A$ respecte de la recta $r$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu la pendent i l'ordenada a l'origen de les rectes següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x+3y=4$
\item $4y+5=-x$
\item $2x - 7y = 0$
\item $-8y = 8$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu les equacions de la recta que passa pels punts $A\left( -1,0\right)$ i $B\left( -4,-1\right) $. Calculeu el seu vector director i altres dos punts més de la recta.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu totes les equacions de la recta que passa pel punt $A\left(3,-5\right)$ i que segueix la direcció $\overrightarrow{v}(-1,7)$. Calculeu la seva pendent.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu totes les equacions de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(-5,1)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Donada la recta $y=2x+8$, calculeu:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item el seu vector director,
\item l'equaci\'{o} de la recta paral\textperiodcentered lela que passa
pel punt $\left( 0,-8\right) $,
\item un vector perpendicular a la recta,
\item l'equaci\'{o} de la recta perpendicular que passa pel punt $\left( 0,-8\right)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu els punts de tall dels parells de rectes següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $r \colon \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{4}$ i $s \colon 3x - 5y + 2 = 0$
\item $r \colon y = 6x - 10$ i $s \colon 9x - 3y + 27 = 0$
\item $r \colon \left\{\begin{aligned}
x & = 3 + 2 \lambda\\
y & = -1 + 10 \lambda
\end{aligned} \right.$ i $s \colon y = -x + 2$
\item $r \colon \left\{\begin{aligned}
x & = 3 + 2 \lambda\\
y & = -1 + 10 \lambda
\end{aligned} \right.$ i $s \colon \left\{\begin{aligned}
x & = - 5 \lambda\\
y & = 2 - 6 \lambda
\end{aligned} \right.$
\item $r \colon \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{4}$ i $s \colon \frac{x}{10} = \frac{y+8}{-1}$
\item $r \colon 3x - 2y + 6 = 0$ i $s \colon 7y -8x + 2 = 0$
\item $r \colon y = 4x - 2$ i $s \colon y = 10x - 8$
\item $r \colon y = 4x -2$ i $s \colon y= 4x-10$
\item $r \colon \left\{\begin{aligned}
x & = 3 + 2 \lambda\\
y & = -1 + 10 \lambda
\end{aligned} \right.$ i $s \colon \frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{3}$
\item $r \colon \left\{\begin{aligned}
x & = 3 + 2 \lambda\\
y & = -1 + 10 \lambda
\end{aligned} \right.$ i $s \colon 10x - 2y + 3 = 0$
\item $r \colon \frac{x-2}{3} = \frac{y+10}{-2}$ i $s \colon y = 10x -12$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\chapter{Geometria de l'espai}
\section{Sistema de coordenades espacials}
De forma anàloga al pla cartesià, a l'espai tridimensional tenim tres eixos de coordenades, $x$, $y$ i $z$, els quals són perpendiculars i parteixen d'un punt, anomenat \term{origen de coordenades}\index{origen!de coordenades}. La forma més usual de representar aquests eixos dibuixant l'eix $x$ en la direccció dreta-esquerra, l'eix $y$ en la direcció davant-darrera i l'eix $z$ en la direcció dalt-baix (\autoref{fig:sistema-de-coordenades-3d})
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb TikZ
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw[->] (0,0,0) -- (3,0,0);
\draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
\draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
\draw (3,0,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
\draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
\draw (0,0,0) node[anchor=north] {$O$};
\end{tikzpicture}
\caption{Representació usual del sistema de coordenades cartesianes}
\label{fig:sistema-de-coordenades-3d}
\end{figure}
En aquest sistema de coordenades\index{sistema de coordenades}\index{espai cartesià}, un punt qualsevol $P$ ve localitzat per les projeccions als eixos de coordenades. De la mateixa manera que el cas bidimensional, direm que $P$\term{coordenades}\index{coodenades} $(x, y, z)$ i el podrem denotar com $P(x,y,z)$. Per exemple, el punt de coordenades $(1,2,3)$ correspon al punt $A$ de la figura següent (\autoref{fig:punt-coordenades-3d}).
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb TikZ
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw[->] (0,0,0) -- (2,0,0);
\draw[->] (0,0,0) -- (0,4,0);
\draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
\draw (2,0,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw (0,4,0) node[anchor=south] {$z$};
\draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
\draw[dashed] (1,0,2) -- (1,3,2);
\draw[loosely dotted] (1,0,2) -- (0,0,2);
\draw[loosely dashed] (1,0,2) -- (1,0,0);
\fill[color=blue] (1,3,2) circle (2pt);
\draw (1,3,2) node[anchor=west] {$A(1,2,3)$};
\end{tikzpicture}
\caption{Representació del punt $A(1,2,3)$}
\label{fig:punt-coordenades-3d}
\end{figure}
\begin{exercise}Representeu gràficament en els eixos de coordenades els punts $A\left(3,-2,4\right)$ i $B\left( 5,0,-2\right)$.
\end{exercise}
\section{Vectors}
Les definicions relatives a vectors que hem estudiat a l'apartat de Geometria del pla (vector fix, vector lliure, extrems d'un vector, etc.; vegi's \autoref{seccio:geometria-al-pla}) poden adaptar-se fàcilment a l'espai només afegint una altra coordenada als vectors. A l'igual que al pla, suposarem que tots els vectors són lliures.
\begin{example}Són vectors el següents:%
\begin{equation*}
\overrightarrow{B}(3,-2,6),\;\overrightarrow{C}(-5,1,-8)
\end{equation*}%
Amb la convenció d'eixos del dibuix anterior (\autoref{fig:sistema-de-coordenades-3d}), el vector $\overrightarrow{B}$ apunta cap a la dreta, cap a baix, i cap al lector, i el vector $\overrightarrow{C}$ apunta cap a l'esquerra, cap a dalt i s'allunya del lector. Com que no se'ns diu quins són els seus origens, es consider que aquests vectors són lliures i que, per tant, es poden situar on es desitgi els seus origens.
\end{example}
\subsection{Base estàndard de vectors}
\begin{definition}[base estàndard de vectors]A l'espai cartesià, existeixen tres vectors que formen el que s'anomena \term{base estàndard de vectors}\index{base estàndard de vectors} la qual està formada per tres vectors $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ i $\overrightarrow{k}$, que tenen les coordenades següents:
\begin{equation*}
\overrightarrow{i}=\overrightarrow{(1,0,0)},\; \overrightarrow{j}=\overrightarrow{(0,1,0)}, \; \overrightarrow{k}=\overrightarrow{(0,0,1)}
\end{equation*}%
Aquests vectors són unitaris, ortogonals (perpendiculars entre si) i formen un base: qualsevol vector es pot posar com a combinació lineal de $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ i $\overrightarrow{k}$\footnote{Les definicions de base d'un espai vectorial escapen a l'abast d'aquest text.}. És a dir, si $\overrightarrow{v}$ és un vector, aleshores existeixen nombres $a$, $b$ i $c$ de manera que $\overrightarrow{v} = a \overrightarrow{i} + b \overrightarrow{j} + c \overrightarrow{k}$. Per les definicions de $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ i $\overrightarrow{k}$ és clar que aquests $a$, $b$ i $c$ són els valors de les coordenades de $v$.
\end{definition}
\begin{example}El vector $\overrightarrow{v} = (3,2,2)$ compleix que $\overrightarrow{v} = 3 \overrightarrow{i} +2 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}$. Es pot veure la seva representació a la figura següent (\autoref{fig:exemple-base-estandard}).
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb TikZ
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw[->] (0,0,0) -- (4,0,0);
\draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
\draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
\draw (4,0,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
\draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
\draw[dashed] (3,0,2) -- (3,2,2);
\draw[loosely dotted] (3,0,2) -- (0,0,2);
\draw[loosely dashed] (3,0,2) -- (3,0,0);
\draw[color=blue,very thick,->] (0,0,0) -- (3,2,2);
\draw (3,2,2) node[anchor=west] {$\overrightarrow{v}(3,2,2)$};
\draw[color=orange,very thick,->] (0,0,0) -- (3,0,0);
\draw[color=orange,very thick,->] (0,0,0) -- (0,2,0);
\draw[color=orange,very thick,->] (0,0,0) -- (0,0,2);
\draw (3,0,0) node[anchor=south west] {$3 \cdot \overrightarrow{i}$};
\draw (0,2,0) node[anchor=east] {$2\cdot \overrightarrow{k}$};
\draw (0,0,2) node[anchor=east] {$2 \cdot \overrightarrow{j}$};
\end{tikzpicture}
% Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
\caption{Descomposició lineal del vector $\protect\overrightarrow{v}(3,2,2)$ respecte de la base estàndard}
\label{fig:exemple-base-estandard}
\end{figure}
\end{example}
\subsection{Operacions amb vectors anàlogues al pla}
El mòdul d'un vector i les operacions de suma i resta de vectors, producte d'un escalar per un vector i producte escalar de dos vectors es defineixen de manera anàloga al pla:
\begin{itemize}
\item El mòdul d'un vector $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ es calcula com
\begin{equation*}
\lvert \overrightarrow{u} \rvert = \sqrt{a^2 + b^2 +c^2}
\end{equation*}
Per exemple, $\lvert \overrightarrow{(3,-2,6)} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$.
\item Donats dos vectors $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$, la seva suma es defineix com $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)$.
Per exemple, si $\overrightarrow{u} = (2,-3,4)$ i $\overrightarrow{v} = (-2,-7,0)$, aleshores $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = (0,-10,4)$.
\item La resta de dos vectors $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ es defineix com $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} = (u_1-v_1,u_2-v_2,u_3-v_3)$.
Per exemple, si $\overrightarrow{u} = (2,-3,4)$ i $\overrightarrow{v} = (-2,-7,0)$, aleshores $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} = (4,4,4)$.
\item Si $k \in \mathbb{R}$ és un nombre qualsevol i $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ és un vector, llavors el producte $k \cdot \overrightarrow{u} = (k \cdot u_1, k \cdot u_2, k \cdot u_3)$.
Per exemple, si $\overrightarrow{u} = (2,-3,4)$ i $k = -3$, aleshores $k \cdot \overrightarrow{u} = (-6,+9,-12)$.
\item Dos vectors $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ són paral·lels si, i només si, $\frac{v_1}{u_1} = \frac{v_2}{u_2} = \frac{v_3}{u_3}$ (vegi's \autoref{resultat:proposicio-parallelisme-vectors})
\item Si $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ són vectors, el seu producte escalar es defineix com
\begin{equation*}
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3
\end{equation*}
Així per exemple, $\overrightarrow{(3,-2,4)} \cdot \overrightarrow{(-1,0,-5)} = -3 + 0 -20 = -23$.
Es verifica el resultat relatiu a l'angle entre dos vectors (\autoref{resultat:angle-producte-esclar}) i les propietats del producte escalar (\autoref{resultat:propietats-del-producte-esclar}).
\end{itemize}
\begin{exercise}Determineu si els vectors són paral·lels entre si:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\overrightarrow{u}\left( 2,-3,1\right)$ i $\overrightarrow{v}\left( 4,-6,2\right)$
\item $\overrightarrow{u}\left( 2,-3,1\right)$ i $\overrightarrow{v}\left( 4,-6,3\right)$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Què val l'angle format entre els vectors $\overrightarrow{u}(2,0,-3)$ i $\overrightarrow{v}(-3,1,2)$?
\end{exercise}
\subsection{Producte vectorial}
Vegem tot seguit una operació nova: el producte vectorial entre vectors. Noteu la paraula {\em vectorial} (que no escalar) a aquesta expressió. La importància d'aquesta paraula és perquè el producte vectorial donarà com a resultat un vector mentre que el producte escalar dóna com a resultat un nombre.
\begin{definition}[producte vectorial de vectors]El \term{producte vectorial de dos vectors}\index{producte!vectorial}, $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{w}(w_1,w_2,w_3)$, que es denota per $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w}$ o $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{w}$, respecte de la base estàndard, es defineix com:
\begin{equation*}
\begin{split}
\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w} & =(u_1,u_2,u_3)\wedge
(w_1, w_2, w_3) \\
& =\left\vert
\begin{array}{ccc}
u_1 & u_2 & u_3 \\
w_1 & w_2 & w_3 \\
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
\end{array}%
\right\vert
\end{split}
\end{equation*}
Aquest determinant es pot fer aplicant la regla de Sarrus (\autoref{alg:regla-de-Sarrus}). O bé es pot desenvolupar per la tercera filera, obtenint que
\begin{equation*}
\begin{split}
\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w} & = \left\vert
\begin{array}{cc}
u_2 & u_3 \\
w_2 & w_3%
\end{array}%
\right\vert \cdot \overrightarrow{i} + \left\vert
\begin{array}{cc}
u_1 & u_3 \\
w_1 & w_3%
\end{array}%
\right\vert \cdot \overrightarrow{j} + \left\vert
\begin{array}{cc}
u_1 & u_2 \\
w_1 & w_2%
\end{array}%
\right\vert \overrightarrow{k}\\
& =\left( \left\vert
\begin{array}{cc}
u_2 & u_3 \\
w_2 & w_3%
\end{array}%
\right\vert ,-\left\vert
\begin{array}{cc}
u_1 & u_3 \\
w_1 & w_3%
\end{array}%
\right\vert ,\left\vert
\begin{array}{cc}
u_1 & u_2 \\
w_1 & w_2%
\end{array}%
\right\vert \right),
\end{split}
\end{equation*}
que és útil per aquelles persones que volen memoritzar fórmules en comptes de realitzar càlculs.
\end{definition}
Notem que el producte vectorial de dos vectors és, per tant, un altre vector.
\begin{example}Siguin els vectors $\overrightarrow{u}(2,0,-3)$ i $\overrightarrow{v}(-3,1,2)$. Aleshores, el seu producte vectorial és:
\begin{equation*}
\begin{split}
\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v} &= \left\vert
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -3 \\
-3 & 1 & 2 \\
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
\end{array}%
\right\vert \\
& = 2\overrightarrow{k} + 0 + 9 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{i} + 0 - 4 \overrightarrow{j}\\
& = 3\overrightarrow{i} + 5 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}\\
& =\left( 3,5,2\right)
\end{split}
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$, amb $\overrightarrow{u}(0,-2,3)$ i $\overrightarrow{v}(-3,-5,4)$.
\end{exercise}
\begin{proposition}[mòdul del producte vectorial]Donat dos vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, el mòdul del seu producte vectorial $\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}$ compleix que \begin{equation*}
\left\vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\right\vert = \lvert \overrightarrow{u} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{v} \rvert \cdot \sin \widehat{uv},
\end{equation*}%
on $\widehat{uv}$ denota l'angle que formen els vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$.
\end{proposition}
Vegem ara les propietats del producte vectorial.
\subsubsection{Propietats del producte vectorial}
Donats els vectors $\vec{a},\vec{b}$ i $\vec{c}$ i el nombre $k$ qualssevol, el producte vectorial verifica les propietats següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}%
\wedge \overrightarrow{a}$ (anticommutativa)
\item $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{a}=\vec{0}$
\item $k\left( \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}\right) =\left( k\overrightarrow{a}\right) \wedge \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\wedge \left( k\overrightarrow{b}\right) $
\item $\overrightarrow{a}\wedge \left( \overrightarrow{b}+\vec{c}%
\right) =\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}%
\wedge \overrightarrow{c}$
\item En general, $\overrightarrow{a}\wedge \left( \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}\right) \neq \left( \overrightarrow{a}\wedge
\overrightarrow{b}\right) \wedge \overrightarrow{c}$
\item El vector $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$ és perpendicular tant al vector $\overrightarrow{a}$ com al vector $\overrightarrow{b}$.
\item El mòdul del producte vectorial de dos vectors ens dóna l'àrea del paralel·ògram definit per aquest dos vectors (\autoref{fig:calcul-area-parallelogram-producte-vectorial}):
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb TikZ
\definecolor{qqzzcc}{rgb}{0.,0.6,0.8}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(0,0) rectangle (9,4.5);
\fill[color=qqzzcc,fill=qqzzcc,fill opacity=0.05] (0.5,1.2) -- (3.,4.) -- (8.5,2.8) -- (6.,0.) -- cycle;
\draw [->] (0.5,1.2) -- (3.,4.);
\draw [->] (0.5,1.2) -- (6.,0.);
\draw (0.58,2.86) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{u}$};
\draw (2.98,0.58) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{v}$};
\draw [color=qqzzcc] (3.,4.)-- (8.5,2.8);
\draw [color=qqzzcc] (8.5,2.8)-- (6.,0.);
\draw (3.72,2.32) node[anchor=north west] {$\vert \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \vert$};
\end{tikzpicture}
% Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
\caption{Àrea del paral·lelogram determinat pels vectors $\protect\overrightarrow{u}$ i $\protect\overrightarrow{v}$}
\label{fig:calcul-area-parallelogram-producte-vectorial}
\end{figure}
\end{enumerate}
\begin{claim}
Com que $\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{a}$ són perpendiculars a $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$, això vol dir que $\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{a}$ estan a la mateixa línia, un apuntant cap a baix i un apuntant cap a dalt. Per determinar l'orientació d'aquests dos vectors de forma gràfica existeix un procediment, anomenat {\em regla del llevataps}\index{regla!del llevataps}.
\end{claim}
\begin{exercise}Trobeu un vector que sigui perpendicular als vectors $\overrightarrow{a}(-4,0,3)$ i $\overrightarrow{b}(-3,-1,0)$, simultàniament.
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu un vector ortogonal a $\overrightarrow{u}(4,-2,5)$ i $\overrightarrow{v}(3,0,-5)$. Trobeu un altre vector ortonormal.
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\overrightarrow{u}(-2,0,4)$ i $\overrightarrow{v}(1,3,-1)$.
\end{exercise}
\subsection{Producte mixt}
Tot seguit veurem una nova operació, entre tres vectors, la qual tendrà la principal aplicació de calcular volums de determinats prismes i piràmides (\autoref{resultat:calcul-volum-parallelepiped}, \autoref{resultat:calcul-volum-tetraedre}).
\begin{definition}[producte mixt]Donats tres vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$, el seu \term{producte mixt}\index{producte!mixt}, que es denota per $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$, es defineix com
\begin{equation*}
\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] =\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}).
\end{equation*}
\end{definition}
Notem que el producte mixt no és, en general, una operació commutativa. És a dir, el valor numèric del producte mixt depèn fortament de l'ordre dels vectors involucrats.
\begin{example}Donats els vectors $\vec{u}\left( 0,-1,5\right) ,$ $\vec{v}(2,0,-3)$ i $\vec{w}(-3,1,2)$, calculeu el producte mixt $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$.
Tenim que
\begin{equation*}
\begin{split}
\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] & = \overrightarrow{u}\cdot \left(\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}\right) \\
& = \left( 0,-1,5\right) \cdot \left( (2,0,-3)\wedge (-3,1,2)\right) \\
& = \left( 0,-1,5\right) \cdot \left( 3,5,2\right)\\
& =0-5+10=5.
\end{split}
\end{equation*}
\end{example}
\begin{claim}Per a qualssevol vectors $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)$, $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)$ i $\overrightarrow{w} = (w_1, w_2, w_3)$, el producte mixt $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$ també es pot calcular amb la fórmula següent:%
\begin{equation*}
\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]
=\left\vert
\begin{array}{rrr}
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3\\
w_1 & w_2 & w_3%
\end{array}%
\right\vert,
\end{equation*}
és a dir, els vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ disposats per fileres al determinant.
\end{claim}
\begin{example}Donats els vectors $\vec{u}\left( 0,-1,5\right)$, $\vec{v}(2,0,-3)$ i $\vec{w}(-3,1,2)$, calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$:%
\begin{equation*}
\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]
=\left\vert
\begin{array}{rrr}
0 & -1 & 5 \\
2 & 0 & -3 \\
-3 & 1 & 2%
\end{array}%
\right\vert =-9+10+4=5.
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$, amb $\vec{u}\left( 3,1,-2\right)$, $\vec{v}(-2,10,0)$ i $\vec{w}(0,-1,-5)$.
\end{exercise}
\begin{definition}[paral·lelepípede]Un \term{paral·lelepípede}\index{paral·lelepípede} és un prisme la base del qual és un paral·lelogram (\autoref{fig:wikipedia-paral·lelepípede}).
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.25]{./graphics/wk-Parallellopipedum.png}
\caption{Un paral·lelepípede}
\label{fig:wikipedia-paral·lelepípede}
\end{figure}
\end{definition}
\begin{proposition}[càlcul del volum d'un paral·lelepípede]\label{resultat:calcul-volum-parallelepiped}Donat el paral·lelepípede\index{volum!paral·lelepípede} definit pels vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ (vegeu \autoref{fig:calcul-volum-paral·lelepípede}), el seu volum $V_p$ és igual al valor absolut del producte mixt, és a dir,
\begin{equation*}
V_p=\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert
\end{equation*}%
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb TikZ
\begin{tikzpicture}[line join=bevel,scale=1.2]
%\rotateRPY{45}{0}{45}
\begin{scope}
\coordinate (A1) at (0,0,0);
\coordinate (A2) at (-2,0,-3);
\coordinate (A3) at (-4,0,-3);
\coordinate (A4) at (-2,0,0);
\coordinate (B1) at (0.2,-1,0);
\coordinate (B2) at (-1.8,-1,-3);
\coordinate (B3) at (-3.8,-1,-3);
\coordinate (B4) at (-1.8,-1,0);
% Punts mitjans
\coordinate (M1) at (-0.5,-1,0);
\coordinate (M2) at (-0.8,-1,-1.5);
\coordinate (M3) at (0.1,-0.5,0);
\draw (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
\draw[loosely dashed] (B1) -- (B2) -- (B3);
\draw (B3) -- (B4)-- (B1);
\draw (A1) -- (B1);
\draw[loosely dashed] (A2) -- (B2);
\draw (A3) -- (B3);
\draw (A4) -- (B4);
%\draw (A1) node {$A1$};
%\draw (A2) node {$A2$};
%\draw (A3) node {$A3$};
%\draw (A4) node {$A4$};
%\fill [fill opacity=0.7,fill=green!20] (A1) -- (A2) -- (B2) -- (B1)-- cycle;
%\fill [fill opacity=0.7,fill=orange!20] (A2) -- (A3) -- (B3) -- (B2)-- cycle;
\fill [fill opacity=0.7,fill=purple!20] (A3) -- (A4) -- (B4) -- (B3)-- cycle;
\fill [fill opacity=0.7,fill=red!40] (A4) -- (A1) -- (B1) -- (B4)-- cycle;
\fill [fill opacity=0.7,fill=yellow!20] (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4)-- cycle;
%\fill [fill opacity=0.7,fill=blue!20] (B1) -- (B2) -- (B3) -- (B4)-- cycle;
\draw[ultra thick, color=blue,->] (B1) -- (A1);
\draw[ultra thick, color=blue,->,loosely dashed] (B1) -- (B2);
\draw[ultra thick, color=blue,->] (B1) -- (B4);
\draw (M1) node[anchor=north] {$\overrightarrow{u}$};
\draw (M2) node[anchor=east] {$\overrightarrow{v}$};
\draw (M3) node[anchor=west] {$\overrightarrow{w}$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
% Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
\caption{Volum del paral·lelepípede definit pels vectors $\protect\overrightarrow{u}$, $\protect\overrightarrow{v}$ i $\protect\overrightarrow{w}$}
\label{fig:calcul-volum-paral·lelepípede}
\end{figure}
\end{proposition}
\begin{definition}[tetraedre] Un \term{tetraedre}\index{tetraedre} és una piràmide amb totes les cares iguals entre si i iguals a triangles equilàters.
\end{definition}
\begin{proposition}[càlcul del volum d'un tetraedre]\label{resultat:calcul-volum-tetraedre}Donat el tetraedre\index{volum!tetraedre} format pels vectors $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$, el seu volum $V_t$ és igual a:
\begin{equation*}
V_t=\frac{1}{6}\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert .
\end{equation*}
\end{proposition}
\section{La recta a l'espai}
En aquest apartat farem un estudi de la recta en un espai de tres
dimensions.
Si d'una recta coneixem un punt qualsevol d'aquesta i un vector tengui la mateixa direcció (és a dir, que estigui situat sobre ella o bé que estigui situat sobre una recta paral·lela), llavors tenim elements suficients per a determinar-la completament, és a dir, per a determinar les coordenades de qualsevol punt.
En altres paraules, basta que coneguem un punt de la recta $P_0$ i el seu \term{vector director}\index{vector!director} $\overrightarrow{v}$.
\begin{definition}[equació vectorial de la recta]Una recta $r$ es pot determinar per un punt $P_0(x_0,y_0,z_0)$ de la recta i un vector director $\overrightarrow{v}$, de manera que, per a qualsevol punt $P(x,y,z)$ pertanyent a la recta, es té que
\begin{equation}\label{eq:eq-vectorial-recta-3d}
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \lambda \overrightarrow{v},
\end{equation}
per qualque $\lambda \in \mathbb{R}$ (\autoref{fig:equacio-vectorial-recta-3d-exemple}). Aquesta equació (\ref{eq:eq-vectorial-recta-3d}) es coneix com a \term{equació vectorial de la recta}\index{equació!vectorial!d'una recta}.
\begin{figure}[h!]
\centering
% Generat amb TikZ
\begin{tikzpicture}[thick]
\coordinate (O) at (0,0,0);
\coordinate (P0) at (3,2,2);
\coordinate (R1) at (-2,1,2);
\coordinate (P) at (5.5,2.5,2);
\coordinate (P2) at (8,3,2);
\coordinate (M) at (4.5,2.3,2);
\coordinate (M2) at (3.75,2.15,2);
% eixos de coordenades
\draw[->] (0,0,0) -- (4,0,0);
\draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
\draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
\draw (4,0,0) node[anchor=west] {$x$};
\draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
\draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
% Punts i rectes
%\draw[dashed] (3,0,2) -- (3,2,2);
%\draw[loosely dotted] (3,0,2) -- (0,0,2);
%\draw[loosely dashed] (3,0,2) -- (3,0,0);
\draw[color=orange,very thick] (R1) -- (P0) -- (P) -- (P2);
\draw (R1) node[anchor=north] {$r$};
\draw[color=blue,very thick,->] (O) -- (P0);
\draw[color=blue,very thick,->] (O) -- (P);
\draw (P0) node[anchor=south] {$P_0$};
\filldraw[color=green] (P0) circle (2pt);
\draw (P) node[anchor=south] {$P$};
\filldraw[color=green] (P) circle (2pt);
\draw[ultra thick,color=blue,->] (P0) -- (M);
\draw (M2) node[anchor=south] {$\overrightarrow{v}$};
\end{tikzpicture}
% Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
\caption{Representació de la recta que té vector director $\protect\overrightarrow{v}$ i que passa per $P_0$.}
\label{fig:equacio-vectorial-recta-3d-exemple}
\end{figure}
\end{definition}
\subsection{Equació paramètriques de la recta}
Sigui $r$ una recta determinada per $P_0(x_0,y_0,z_0)$ un punt qualsevol i $\overrightarrow{v}(v_x,v_y,v_z)$ és el seu vector director. Aleshores un punt $P(x,y,z)$ de la recta compleix l'equació vectorial (\autoref{eq:eq-vectorial-recta-3d}), és a dir, $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \lambda \overrightarrow{v}$, per qualque $\lambda \in \mathbb{R}$, o sigui, $\overrightarrow{(x,y,z)} = \overrightarrow{(x_0,y_0,z_0)} + \lambda \overrightarrow{(v_x, v_y, v_z)}$. Operant, tenim que s'ha de verificar que
\begin{equation*}
\overrightarrow{(x,y,z)} = \overrightarrow{(x_0 + \lambda v_x,y_0 + \lambda v_y ,z_0+ \lambda v_z)}.
\end{equation*}
Si dos vectors són iguals, llavors component a component són iguals. El que implica que
\begin{equation}\label{eq:equacio-parametrica-recta-3d}
r \colon \left\{
\begin{array}{l}
x=x_0+\lambda v_x \\
y=y_0+\lambda v_y \\
z=z_0+\lambda v_z%
\end{array}%
\right. ,
\end{equation}
on $\lambda \in \mathbb{R}$. Aquesta equació (\autoref{eq:equacio-parametrica-recta-3d}), reb el nom de \term{equació paramètrica de la recta}\index{equació!paramètrica!d'una recta}.
\begin{example}\label{exemple:equacio-parametrica-3d-1}Si una recta passa pel punt $(0,-1,3)$ i el seu vector director és el $\overrightarrow{v}(-3,2,0)$, llavors la seva equació paramètrica és la següent:%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=0+\lambda \cdot \left( -3\right) \\
y=-1+\lambda \text{$\cdot $}2 \\
z=3+\lambda \text{$\cdot $}0%
\end{array}%
\right. \text{, és a dir, }\left\{
\begin{array}{l}
x=-3\lambda \\
y=-1+2\lambda \\
z=3%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{example}
Per trobar més punts d'aquesta recta basta substituir $\lambda$ per
qualsevol nombre a les expressions anteriors.
\begin{example}Si a la recta anterior (\autoref{exemple:equacio-parametrica-3d-1}), feim $\lambda=2$, tenim que%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{l}
x=-6 \\
y=-1+4=3 \\
z=3%
\end{array}%
\right\} ,
\end{equation*}%
i, per tant, $(-6,3,3)$ és un altre punt de la recta.
\end{example}
\begin{exercise}Escriviu les equacions paramètriques de les rectes següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item recta que passa pel punt $(-1,0,2)$ i que té la direcció donada pel vector director $\overrightarrow{v}(1,3,-5)$
\item recta que passa per l'origen de coordenades i que té com a vector director $\overrightarrow{(
1,-2,0)}$
\item recta que passa pels punts $(3,-5,2)$ i $(2,-7,-3)$
\end{enumerate}
Trobeu dos punts més de cada recta.
\end{exercise}
\subsection{Equació contínua de la recta}
Si aïllam $\lambda$ en cadascuna de les equacions de la recta en forma
paramètrica (\autoref{eq:equacio-parametrica-recta-3d}), tenim que%
\begin{equation*}
\lambda =\frac{x-x_0}{v_x},\; \lambda =\frac{y-y_0}{v_y},\;\lambda =\frac{z-z_0}{v_z}
\end{equation*}%
Si igualam les expressions, obtenim el que s'anomena \term{equació en forma contínua de la recta} (o simplement \term{equació contínua})\index{equació!contínua!d'una recta}:
\begin{equation}\label{eq:equacio-recta-forma-continua-3d}
r\colon \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z},
\end{equation}%
on $P(x_0,y_0,z_0)$ és un punt qualsevol de la recta i $\overrightarrow{v}(v_x,v_y,v_z)$ és el seu vector director.
\begin{example}\label{exemple:recta-equacio-continua-1}La recta $r$ que passa pel punt $(0,-1,3)$ i té com a vector director $\overrightarrow{v}(-3,2,0)$ té com a equació contínua:%
\begin{equation*}
\frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{0}
\end{equation*}
\end{example}
\begin{claim}Observem que en aquest exemple ha aparegut un denominador igual a $0$. A pesar de què la divisió per $0$ no és una operació que
estigui definida, en el context de l'equació contínua d'una recta, aquesta expressió està permesa.
\end{claim}
\begin{exercise}\label{exercici:equacions-continues-rectes-3d}Escriviu les equacions contínues de la rectes següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item recta que passa per $(0,-5,3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(1,-2,2)$
\item recta que passa pels punts $(6,-2,0)$ i $(2,-1,-1)$
\item recta que passa pel punt $(-1,-1,2)$ i que té com a vector director $\overrightarrow{v}(2,0,-3)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{Equació implícita de la recta}\label{subseccio:equacio-implicita-recta}
Si a les equacions de la recta en forma contínua (\autoref{eq:equacio-recta-forma-continua-3d}) llevam els denominadors i transposem tots els termes al primer membre, obtindrem dues equacions de la forma:%
\begin{equation}\label{eq:equacio-implicita-recta-3d}
\left\{
\begin{aligned}
Ax+By+Cz+D & = 0 \\
A^{\prime}x+B^{\prime}y+C^{\prime}z+D^{\prime} & = 0%
\end{aligned}%
\right.,
\end{equation}%
on $A$, $B$, $C$, $D$, $A'$, $B'$, $C'$ i $D'$ són nombres reals. Aquestes equacions reben el nom d'\term{equació implícita de la
recta}\index{equació!implícita!d'una recta}.
\begin{example}La recta $r$ que passa pel punt $(0,-1,3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(-3,2,0)$ té l'equació contínua:
\begin{equation*}
r \colon \frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{0}
\end{equation*}
(vegis' \autoref{exemple:recta-equacio-continua-1}). Per tant, obtenim que:%
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{array}{rll}
2x & = & -3\left( y+1\right) \\
0\left( y+1\right) & = & 2\left( z-3\right)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
Operant, obtenim que la seva equació implícita és
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{array}{r}
2x+3y+3=0 \\
2z-6=0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}Trobeu les equacions implícites de les rectes de l'\autoref{exercici:equacions-continues-rectes-3d}.
\end{exercise}
\begin{claim}Noteu que en principi no podem obtenir l'equació implícita d'una recta directament amb el seu vector director i un punt d'aquesta. Hem de passar per l'equació contínua per obtenir l'equació implícita.
\end{claim}
\subsubsection{Pas de l'equació implícita a l'equació paramètrica}\label{subseccio:pas-de-implica-a-parametrica-js}
% Dels apunts de COU d'en Javier Sánchez
Resulta més o menys fàcil tornar enrera i obtenir l'equació paramètrica d'una recta a partir de la seva equació implícita. L'únic que s'ha de fer és \term{parametritzar}\index{parametritzar} una variable, és a dir, substituir una variable per un paràmetre (per exemple $\lambda$).
\begin{example}Trobeu les equacions paramètriques de la recta
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{aligned}
2x+y+2z+4 & = 0 \\
x-y+4z+12 & = 0%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%
Fent $z = \lambda$, tenim que
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{aligned}
2x+y & = -4 -2\lambda \\
x-y & = -12 -4 \lambda%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%
Per tant, per reducció, tenim que $3x = -16 -6\lambda$ i, per tant, $x = \frac{-16}{3} - 2\lambda$. Substituïnt aquest resultat a la segona equació de l'anterior sistema, tenim que
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = - \frac{16}{3} -2\lambda + 4 \lambda +12\\
& = \frac{20}{3} + 2\lambda%
\end{split}%
\end{equation*}%
Amb tot, tenim que les equacions paramètriques de la recta són:
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{aligned}
x & = -\frac{16}{3} - 2\lambda\\
y & =\frac{20}{3} + 2\lambda \\
z & =\lambda%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%
\end{example}
\subsubsection{Vector director a partir de l'equació implícita}\label{subseccio:vector-director-equacio-implicita}
La proposició següent dóna una manera per trobar el vector director d'una recta que ve donada mitjançant l'equació implítica.
\begin{proposition}[vector director a partir de l'equació implícita]\label{prop:v-d-a-partir-eq-implicita-3d}Sigui $r$ una recta donada amb l'equació implícita:
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{aligned}
Ax+By+Cz+D & = 0 \\
A'x+B'y+C'z+D' & = 0%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%
El seu vector director, $v_r$, es pot calcular amb la fórmula:%
\begin{equation}\label{eq:calcul-vector-director-producte-vectorial}
\overrightarrow{v_{r}}=(A,B,C)\wedge (A',B',C')
\end{equation}
\end{proposition}
\begin{example}El vector director de la recta%
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{array}{r}
2x+3y+3=0 \\
2z-6=0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
és $\overrightarrow{v}=(2,3,0)\wedge (0,0,2)$, és a dir,
\begin{equation*}
\overrightarrow{v}=\left\vert
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
\end{array}%
\right\vert
=\left( 6,-4,0\right).
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}Calculeu el vector director de les rectes:%
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\left\{
\begin{array}{r}
x-y-5=0 \\
4x+y-5z-6=0%
\end{array}%
\right.$
\item $\left\{
\begin{array}{r}
2x-z-5=0 \\
3x+y-z-2=0%
\end{array}%
\right.$
\item $\left\{
\begin{array}{r}
2x=0 \\
2z+y=0%
\end{array}%
\right.$
\item $\left\{
\begin{array}{r}
2x+3y+5z-2=0 \\
4x+6y+10z-4=0%
\end{array}%
\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\subsubsection{Exercicis d'equacions de rectes}
Tenim diverses equacions per a expressar una recta (\autoref{fig:relacions-equacions-recta-3d}). Practiquem el pas d'unes a les altres.
%\pgfdeclarelayer{background}
%\pgfdeclarelayer{foreground}
%\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\begin{figure}[h!]
\centering
% TikZ picture. From:
% page 147 of manual,
% http://www.texample.net/tikz/examples/inertial-navigation-system/
% http://tex.stackexchange.com/questions/29621/how-can-i-express-half-the-distance-between-two-nodes
% http://tex.stackexchange.com/questions/42611/list-of-available-tikz-libraries-with-a-short-introduction/42674#42674
\begin{tikzpicture}[auto]
\tikzstyle{cloud} = [draw=blue, thick, ellipse, fill=blue!20, minimum height=1em,text width=6em, text centered];
\tikzstyle{blockred} = [rectangle, draw=orange, thick, fill=orange!20, text centered, rounded corners, minimum height=1em, text width=6em];
\tikzstyle{block} = [rectangle, draw=green,thick, fill=green!20, text centered, rounded corners, minimum height=1em, text width=6em];
\tikzstyle{line}=[draw, thick, -latex',shorten >=2pt];
\matrix[column sep=1cm, row sep=2cm]
{
% row 1
\node[block] (vectorial) {Eq. vectorial}; &
\node[block] (parametrica) {Eq. paramètrica}; &
\node[block] (continua) {Eq. contínua}; \\
% row 2
&
&
\node[blockred] (implicita) {Eq. implícita}; \\
% row 2
\node[cloud] (v) {Vector director}; &
\node[cloud] (p) {Un punt de la recta}; &
&
\\
% row 3
&
\node[cloud] (q) {Un punt de la recta}; &
&
\\
};
\tikzstyle{every node}=[font=\itshape]
\tikzstyle{every path}=[line]
\path[<->] (vectorial) -- (parametrica);
\path[<->] (parametrica) -- (continua);
\path (continua) -- node [midway] {igualar eqs.} (implicita);
\path[dashed] (p) -- (v);
\path[loosely dashed] (implicita) |- node[midway] {substituir $x$, $y$, $z$} (p);
\path[loosely dashed] (implicita) edge [bend right] node[midway, anchor=north west] {prod. vect.} (v);
% rectangles
\begin{pgfonlayer}{background}
% Compute a few helper coordinates
\path (v.south west)+(-1,-1) node (a) {};
\path (p.north east)+(+1,+1) node (b) {};
\path[fill=yellow!20,rounded corners, draw=black!50, dashed] (a) rectangle (b);
\path (vectorial.south west)+(-0.5,-0.5) node (c) {};
\path (continua.north east)+(+0.5,+0.5) node (d) {};
\path[fill=red!10,rounded corners, draw=black!50, dashed] (c) rectangle (d);
\end{pgfonlayer}
% Fletxes als quadres
% Punt mitjà i sumes de coordenades usant tikz calc library
\path[dashed] (q) -| ($(v.east) !.5! (p.west)$);
\path[double,<->] ($ (v.north) + (0,1) $) -- ($ (vectorial.south)+(0,-0.5) $);
\path[->] (implicita) -- node [midway] {parametritzar} (parametrica);
\end{tikzpicture}
\caption{Relacions entre les equacions d'una recta}
\label{fig:relacions-equacions-recta-3d}
\end{figure}
\begin{example}Trobeu totes les equacions de la recta que passa pel punt $P(3,-2,0)$ i que té per vector director $\overrightarrow{v}(1,0,-1)$.
\bigskip
Tenim que:
\begin{itemize}
\item L'equació vectorial és
\begin{equation*}
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{(3,-2,0)} + \lambda \overrightarrow{(1,0,-1)}
\end{equation*}
\item Les equacions paramètriques són%
\begin{equation*}
r:\left\{
\begin{array}{l}
x=3+\lambda \\
y=-2 \\
z=-\lambda%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
\item L'equació contínua és%
\begin{equation*}
r:x-3=\frac{y+2}{0}=\frac{z}{-1}
\end{equation*}%
\item I les equacions implícites són%
\begin{equation*}
r:\left\{
\begin{array}{rll}
0\cdot \left( x-3\right) & = & y+2 \\
-1\cdot \left( x-3\right) & = & z%
\end{array}%
\right. \text{, és a dir, }r:\left\{
\begin{array}{rll}
y+2 & = & 0 \\
-x-z+3 & = & 0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{example}
\begin{exercise}Trobeu totes les equacions de les rectes següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Recta que té vector director $\overrightarrow{(2,-3,-1)}$ i passa per $(0,2,-10)$
\item Recta que passa pels punts $(7,-4,0)$ i $(3,0,-5)$
\item Recta donada per l'equació $\overrightarrow{(x,y,z)} = \overrightarrow{(3,2,1)} + \lambda \overrightarrow{(-1,0,1)}$, amb $(x,y,z)$ un punt qualsevol de la recta.
\item Recta donada per $r \colon \frac{x-3}{5} = y+3 = \frac{z+2}{-2}$
\item La recta $s \colon \left\{
\begin{aligned}
x+3y -z & = 0 \\
4x + 7z & = 0%
\end{aligned}\right.$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsubsection{Rectes paral·leles}
Donada una recta $r$ que té vector director $\overrightarrow{v}$ i passa per $P$, si volem trobar una recta paral·lela $s$ que passi per $Q$, només hem de notar que $s$ tendrà $\overrightarrow{v}$ com a vector director i passarà per $Q$.
\begin{example}