You can not select more than 25 topics
Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
3726 lines
87 KiB
3726 lines
87 KiB
\part{\`{A}lgebra lineal}
|
|
|
|
\chapter{Matrius}
|
|
|
|
\section{Definicions}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Una \textbf{matriu} \'{e}s una colecci\'{o} de n\'{u}meros disposats en
|
|
files i columnes. Es diu \textbf{quadrada} si aquesta disposici\'{o} t\'{e}
|
|
tantes files com columnes; en cas contrari es diu \textbf{rectangular}.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
S\'{o}n exemples de matrius les seg\"{u}ents:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & -2 & 0 \\
|
|
\pi & 12 & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-3 & 3 \\
|
|
5 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
La primera \'{e}s una matriu rectangular i la segona \'{e}s una matriu
|
|
quadrada.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
L'\textbf{orde} d'una matriu \'{e}s el n\'{u}mero de files i columnes que t%
|
|
\'{e}, i s'escriu de la forma $n\times m$, on $n$ \'{e}s el n\'{u}mero de
|
|
files i $m$ \'{e}s el n\'{u}mero de columnes.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
En el cas de les matrius quadrades -\'{e}s a dir, aquelles que tenen tantes
|
|
files com columnes- es sol indicar el seu orde \'{u}nicament amb el numero
|
|
de files (o columnes).
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
A l'exemple anterior la primera \'{e}s d'orde $2\times 3$, i la segona \'{e}%
|
|
s d'orde $2\times 2$, o b\'{e}, simplement, d'orde $2$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Una matriu \'{e}s diu \textbf{matriu fila} si nom\'{e}s t\'{e} una fila, i
|
|
\textbf{matriu columna} si nom\'{e}s t\'{e} una columna.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Les matrius%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{llll}
|
|
0 & -3 & 2 & 4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }\left(
|
|
\begin{array}{r}
|
|
3 \\
|
|
-5%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
s\'{o}n matrius fila i columna respectivament.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
S'anomena \textbf{diagonal principal} d'una matriu quadrada al conjunt
|
|
d'elements que van del v\`{e}rtex superior esquerre a l'inferior de la dreta.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
A la matriu%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
3 & -2 & 0 \\
|
|
5 & -1 & 5 \\
|
|
-1 & 4 & 7%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
els n\'{u}meros $3,-1$ i $7$ s\'{o}n els que formen la diagonal principal.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Es diu \textbf{matriu unitat} a aquella matriu quadrada en la qual tots els
|
|
elements de la diagonal principal s\'{o}n uns i la resta d'elements son
|
|
zeros:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
I_{2}=\left(
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 0 \\
|
|
0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }I_{3}=\left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
1 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }I_{4}=...
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Direm que dues matrius s\'{o}n \textbf{iguals} si s\'{o}n del mateix orde i
|
|
els seus elements respectius s\'{o}n iguals.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Per exemple, les matius
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & -2 & 0 \\
|
|
\pi & 12 & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }\left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
1 & -2 & 3-3 \\
|
|
\pi & 24/2 & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
s\'{o}n iguals.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula el valor de $x$ perqu\`{e} les matrius $A$ i $B$ siguin iguals, amb%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
3 & -x+4 \\
|
|
-2 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \text{ \ i \ }B=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
3 & 0 \\
|
|
-2 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Operacions amb matrius}
|
|
|
|
A continuaci\'{o} es defineixen les operacions que es poden realitzar amb
|
|
matrius.
|
|
|
|
\subsection{Suma i difer\`{e}ncia de matrius}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
La \textbf{suma} (i \textbf{difer\`{e}ncia}) de dues matius del mateix orde
|
|
es fa sumant (i restant, respectivament) els elements respectius.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Vegem una difer\`{e}ncia de matrius:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-3 & 3 \\
|
|
5 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) -\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-1 & 5 \\
|
|
5 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) =\left(
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
-3-\left( -1\right) & 3-5 \\
|
|
5-5 & 2-0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) =\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-2 & -2 \\
|
|
0 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
La suma es fa de manera an\`{a}loga.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula $A-B$ i $-A+B$, amb%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-1 & 0 & 3 \\
|
|
0 & -4 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ \ }B=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-1 & -2 & -3 \\
|
|
5 & 4 & -5%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Multiplicaci\'{o} d'un n\'{u}mero per una matriu}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Per \textbf{multiplicar un n\'{u}mero per una matriu} es multiplica aquell n%
|
|
\'{u}mero per cadascun dels elements de la matriu.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
\begin{equation*}
|
|
-5\text{$\cdot $}\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & -2 & 0 \\
|
|
\pi & 12 & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) =\left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
-5\text{$\cdot $}1 & -5\text{$\cdot $}\left( -2\right) & -5\text{$\cdot $}0
|
|
\\
|
|
-5\pi & -5\text{$\cdot $}12 & -5\text{$\cdot $}\left( -4\right)%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) =\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-5 & 10 & 0 \\
|
|
-5\pi & -60 & 20%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula%
|
|
\begin{equation*}
|
|
-3\cdot \left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
-1 & 0 & 3 \\
|
|
0 & -4 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Producte de dues matrius}
|
|
|
|
No sempre \'{e}s possible multiplicar dues matrius. Per aquest motiu, abans
|
|
de definir la multiplicaci\'{o} de dues matrius hem de veure quina condici%
|
|
\'{o} han de cumplir les matrius que volem multiplicar per a que aquesta
|
|
operaci\'{o} es pugui fer.
|
|
|
|
\begin{condition}
|
|
\textbf{(del producte de dues matrius) }Per poder multiplicar dues matrius
|
|
s'ha de cumplir el seg\"{u}ent: el n\'{u}mero de columnes de la primera
|
|
matriu (la que es col\textperiodcentered loca a l'esquerra) ha de coincidir
|
|
amb el n\'{u}mero de files de la segona (la que es col\textperiodcentered
|
|
loca a la dreta).
|
|
\end{condition}
|
|
|
|
Aquesta condici\'{o}, a m\'{e}s de ser necess\`{a}ria per a la multiplicaci%
|
|
\'{o} de dues matrius, \'{e}s suficient.
|
|
|
|
Degut a qu\`{e} el n\'{u}mero de files i de columnes de dues matrius poden
|
|
ser qualssevols, pot succeir que es pugui calcular el producte $A\cdot B$ de
|
|
les matrius $A$ i $B$, per\`{o} que no es pugui calcular $B\cdot A$.
|
|
|
|
Vegem ara com es mulipliquen dues matrius.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Siguin $A$ una matriu d'orde $n\times m$ i $B$ una matriu d'orde $m\times p$%
|
|
. Siguin%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left( a_{i1}\text{ \ }a_{i2}\text{ }...\text{ }a_{im}\right) \text{ i }%
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
b_{1j} \\
|
|
b_{2j} \\
|
|
\vdots \\
|
|
b_{mj}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
la fila $i-$\`{e}sima de la matriu $A$ i la columna $j-$\`{e}sima de la
|
|
matriu $B$ respectivament. Alehores, l'element $c_{ij}$ -\'{e}s a dir, el
|
|
que es troba a la intersecci\'{o} de la fila $i-$\`{e}sima i la columna $j-$%
|
|
\`{e}sima- del producte $A\cdot B$ es calcula de la seg\"{u}ent manera:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+...+a_{im}\cdot b_{mj}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Amb aquesta definici\'{o}, l'orde de la matriu $A\cdot B$ \'{e}s $n\times p$%
|
|
. Esquem\`{a}ticament:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{array}{ccccc}
|
|
A & \cdot & B & = & AB \\
|
|
n\times m & & m\times p & & n\times p%
|
|
\end{array}%
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
\begin{multline*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 0 & -3 \\
|
|
0 & 1 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \text{$\cdot $}\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-2 & -1 & 0 \\
|
|
3 & 5 & 2 \\
|
|
-4 & 0 & 6%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) = \\
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
2(-2)+0\text{$\cdot $}3+(-3)(-4) & 2(-1)+0\text{$\cdot $}5+(-3)\text{$\cdot $%
|
|
}0 & 2\text{$\cdot $}0+0\text{$\cdot $}2+(-3)\text{$\cdot $}6 \\
|
|
& & \\
|
|
0(-2)+1\text{$\cdot $}3+1(-4) & 0(-1)+1\text{$\cdot $}5+1\text{$\cdot $}0 & 0%
|
|
\text{$\cdot $}0+1\text{$\cdot $}2+1\text{$\cdot $}6%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) = \\
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
8 & -2 & -18 \\
|
|
-1 & 5 & 8%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{multline*}%
|
|
\'{E}s a dir, l'element que ha d'anar, per exemple, a la $\mathit{2a}$ fila
|
|
i $\mathit{1a}$ columna es calcula sumant els productes dels elements de la $%
|
|
\mathit{2a}$ fila de la primera matriu amb els elements de la $\mathit{1a}$
|
|
columna de la segona matriu.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula els seg\"{u}ents productes de matrius:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-2 & -1 & 0 \\
|
|
3 & 5 & 2 \\
|
|
-4 & 0 & 6%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \cdot \left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-1 & 2 \\
|
|
0 & -5 \\
|
|
3 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 2 \\
|
|
0 & 8%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \cdot \left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 0 \\
|
|
0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 0 \\
|
|
0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \cdot \left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 2 \\
|
|
0 & 8%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Trasposici\'{o} d'una matriu}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
La \textbf{trasposici\'{o}} d'una matriu \'{e}s l'operaci\'{o} per la qual
|
|
es canvien de manera ordenada les files per les columnes (i viceversa). La
|
|
matriu trasposada de la matriu $A$ es representa per $A^{t}$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
La matriu trasposada de la matriu%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
8 & -2 & -18 \\
|
|
-1 & 5 & 8%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
\'{e}s la matriu%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A^{t}=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
8 & -1 \\
|
|
-2 & 5 \\
|
|
-18 & 8%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Escriu la traposta de la matriu%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
0 & 2 & -1 \\
|
|
-2 & 15 & 6 \\
|
|
1 & 2 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Propietats de les operacions amb matrius}
|
|
|
|
\subsection{Propietats de la suma de matrius}
|
|
|
|
Siguin $A,B$ i $C$ matrius d'orde $m\times n$. Aleshores, es cumpleixen les
|
|
seg\"{u}ents propietats:
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] Associativa:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item[(b)] Commutativa:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A+B=B+A
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{description}
|
|
|
|
\subsection{Propietats del producte de n\'{u}meros per matrius}
|
|
|
|
Siguin $a$ i $b$ n\'{u}meros reals, i $A$ i $B$ matrius d'orde $m\times n$.
|
|
Aleshores, es cumpleixen les seg\"{u}ents propietats:
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] $a\cdot \left( b\text{$\cdot $}A\right) =\left( a\text{$\cdot $}%
|
|
b\right) \cdot A$
|
|
|
|
\item[(b)] $\left( a+b\right) \cdot A=a\cdot A+b\cdot A$
|
|
|
|
\item[(c)] $a\cdot \left( A+B\right) =a\cdot A+a\cdot B$
|
|
|
|
\item[(d)] $1\cdot A=A$
|
|
\end{description}
|
|
|
|
\subsection{Propietats del producte de matrius}
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] $\left( A_{m\times n}\text{$\cdot $}B_{n\times p}\right) \cdot
|
|
C_{p\times q}=A_{m\times n}\cdot \left( B_{n\times p}\text{$\cdot $}%
|
|
C_{p\times q}\right) $
|
|
|
|
\item[(b)] $A_{m}\cdot I$$_{m}=I_{m}\cdot A_{m}=A_{m}$
|
|
\end{description}
|
|
|
|
En general, com ja hem observat, $A\cdot B\neq B\cdot A$.
|
|
|
|
\subsection{Propietats distributives}
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] $A_{m\times n}\cdot \left( B_{n\times p}+C_{n\times p}\right)
|
|
=A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}+A_{m\times n}\cdot C_{n\times p}$
|
|
|
|
\item[(b)] $\left( A_{m\times n}+B_{m\times n}\right) \cdot C_{n\times
|
|
p}=A_{m\times n}\cdot C_{n\times p}+B_{m\times n}\cdot C_{n\times q}$
|
|
\end{description}
|
|
|
|
\subsection{Propietats de la trasposici\'{o} de matrius}
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] $\left( A_{m\times n}+B_{m\times n}\right) ^{t}=\left( A_{m\times
|
|
n}\right) ^{t}+\left( B_{m\times n}\right) ^{t}$
|
|
|
|
\item[(b)] $\left( A_{m\times n}\text{$\cdot $}B_{n\times p}\right)
|
|
^{t}=\left( B_{n\times p}\right) ^{t}\cdot \left( A_{m\times n}\right) ^{t}$
|
|
\end{description}
|
|
|
|
\section{Exercicis proposats}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Donades les matrius%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 0 & -3 \\
|
|
-2 & 1 & 0 \\
|
|
2 & 1 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }B=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
2 & 0 \\
|
|
-2 & 1 \\
|
|
2 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,
|
|
\end{equation*}%
|
|
calcula, si \'{e}s possible, $AB$ i $BA$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula $3AA^{t}-2I$, amb%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 0 & -3 \\
|
|
-2 & 1 & 0 \\
|
|
2 & 1 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Troba dues matrius $X$ i $Y$ que verifiquin el seg\"{u}ent sistema:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
2X-3Y & = & \left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 5 \\
|
|
2 & 4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \\
|
|
& & \\
|
|
X-Y & = & \left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-1 & 0 \\
|
|
3 & 6%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Comprova que $(A\cdot B)^{t}=B^{t}\cdot A^{t}$ amb les matrius%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 5 \\
|
|
2 & 4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \text{ i }B=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-1 & 0 \\
|
|
3 & 6%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Determina els valors de $m$ per als quals es verifica que $X^{2}-\frac{5}{2}%
|
|
X+I=\mathbf{0}$, amb%
|
|
\begin{equation*}
|
|
X=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
m & 0 \\
|
|
0 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Determina $a$ i $b$ de forma que es verifiqui que $A^{2}=A$ amb%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
2 & -1 \\
|
|
a & b%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Troba totes les matrius $X$ de la forma%
|
|
\begin{equation*}
|
|
X=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
a & 1 & 0 \\
|
|
0 & b & 1 \\
|
|
0 & 0 & c%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \text{ tals que }X^{2}=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 0 & 1 \\
|
|
0 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula dos n\'{u}meros reals $m$ y $n$ tals que $A+mA+nI=\mathbf{0}$ si%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
2 & 1 \\
|
|
2 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Siguin $A$ i $B$ les matrius%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
5 & 2 & 0 \\
|
|
2 & 5 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }B=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
a & b & 0 \\
|
|
c & c & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
Troba les condicions que han de cumplir els coeficientes $a,b$ i $c$ perqu%
|
|
\`{e} es verifiqui que $AB=BA$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\chapter{Determinants}
|
|
|
|
Un determinant \'{e}s el valor associat, segons determinades regles, a una
|
|
disposici\'{o} de n\'{u}meros en forma d'$n$ files i $n$ columnes. Exemples
|
|
d'aquesta disposici\'{o} s\'{o}n els seg\"{u}ents:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
3 & -5 \\
|
|
2 & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & -3 \\
|
|
3 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}%
|
|
Observem que aquestes expressions es diferencien de les matrius pel fet que
|
|
aqu\'{\i} el conjunt de n\'{u}meros queda tancat per dues l\'{\i}nees
|
|
verticals; en el cas de les matrius, aquest tancament es fa amb par\`{e}%
|
|
ntesis.
|
|
|
|
A continuaci\'{o} veurem quins s\'{o}n aquest valors num\`{e}rics associats
|
|
a cadascuna d'aquestes expressions.
|
|
|
|
Per comen\c{c}ar, vegem les definicions de determinants d'orde $2$ i d'orde $%
|
|
3$.
|
|
|
|
\section{Determinants d'ordes 2 i 3}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\textbf{Determinants d'orde }$2$:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
a_{11} & a_{12} \\
|
|
a_{21} & a_{22}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Observem que el determinant d'orde $2$ se sembla a les matrius d'orde $2$,
|
|
per\`{o} que, en realidad, no \'{e}s una matriu, sin\'{o} un n\'{u}mero, com
|
|
queda patent per la seva f\'{o}rmula.
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
3 & -5 \\
|
|
2 & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =3\text{$\cdot $}(-1)-(-5)\text{$\cdot $}2=-3+10=7
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
Notem que, dels dos termes de qu\`{e} es composa el determinant d'orde 2, el
|
|
que va precedit del signe positiu (\'{e}s a dir, sense signe visible) \'{e}s
|
|
aquell que cont\'{e} els elements que "cauen" cap a la dreta, i el terme
|
|
precedit pel signe $-$ \'{e}s aquell que cont\'{e} els elements que "cauen"
|
|
cap a l'esquerra. A m\'{e}s, cadascun dels dos termes esta format per
|
|
elements de diferents files i diferents columnes.
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-3 & -1 \\
|
|
2 & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
\textbf{Determinants d'orde }$3$:%
|
|
\begin{multline*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
|
|
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
|
|
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert = \\
|
|
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}
|
|
\end{multline*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Aquesta f\'{o}rmula es coneix com la \textbf{regla de Sarrus. }Notem que,
|
|
dels termes de qu\`{e} es composa el determinant d'orde 3, els que van
|
|
precedits del signe positiu s\'{o}n aquells que contenen els elements del
|
|
determinant que \textit{cauen} cap a la dreta, i els termes precedits pel
|
|
signe $-$ s\'{o}n aquells que contenen els elements que \textit{cauen} cap a
|
|
l'esquerra. A m\'{e}s, cadascun dels termes est\`{a} format per elements
|
|
tant de diferents files com de diferents columnes. Gr\`{a}ficament:
|
|
|
|
%TCIMACRO{%
|
|
%\FRAME{ftbphF}{3.5068in}{1.5013in}{0pt}{}{}{Figure}{%
|
|
%\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 3.5068in;height 1.5013in;depth 0pt;original-width 3.627in;original-height 1.5368in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'MBFNA300.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
|
|
%BeginExpansion
|
|
\begin{figure}[hptb]\begin{center}
|
|
\includegraphics[natheight=1.5368in, natwidth=3.627in, height=1.5013in, width=3.5068in]{./graphics/MBFNA300__1.pdf}
|
|
\end{center}\end{figure}
|
|
%EndExpansion
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
\begin{multline*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & -3 \\
|
|
3 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert = \\
|
|
1\text{$\cdot $}(2)\text{$\cdot $}(-2)+5\text{$\cdot $}0\text{$\cdot $}(-1)+3%
|
|
\text{$\cdot $}4\text{$\cdot $}(-3)-(-3)\text{$\cdot $}2\text{$\cdot $}(-1)-5%
|
|
\text{$\cdot $}3\text{$\cdot $}(-2)-0\text{$\cdot $}4\text{$\cdot $}1= \\
|
|
-4-36-6+30=-16
|
|
\end{multline*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
Els determinants d'orde superior a 3, dels quals no hem donat una definici%
|
|
\'{o}, es solen calcular amb les propietats que es veuran m\'{e}s endavant.
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
10 & -5 & 3 \\
|
|
-3 & 2 & 0 \\
|
|
4 & -3 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Adjunt d'un element d'un determinant}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
S'anomena \textbf{menor complementari} \textbf{d'un element} d'un
|
|
determinant al determinant que resulta de suprimir la fila i la columna a
|
|
les quals pertany aquell element.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
El menor complementari del n\'{u}mero $2$ del seg\"{u}ent determinant%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
1 & 0 & -3 & 4 \\
|
|
3 & 5 & 0 & 0 \\
|
|
-4 & 2 & 3 & 1 \\
|
|
-6 & 1 & 0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}%
|
|
\'{e}s el determinant%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & -3 & 4 \\
|
|
3 & 0 & 0 \\
|
|
-6 & 0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,
|
|
\end{equation*}%
|
|
donat que hem llevat la tercera fila i la segona columna.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
S'anomena \textbf{adjunt d'un element }al menor complementari precedit del
|
|
signe $+$ o $-$ segons el seg\"{u}ent esquema:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cccc}
|
|
+ & - & + & ... \\
|
|
- & + & - & ... \\
|
|
+ & - & + & ... \\
|
|
. & . & . & .%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
A l'exemple anterior, l'adjunt del $2$ \'{e}s%
|
|
\begin{equation*}
|
|
-\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & -3 & 4 \\
|
|
3 & 0 & 0 \\
|
|
-6 & 0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,
|
|
\end{equation*}%
|
|
el valor del qual \'{e}s $-27$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula l'adjunt de l'element central del determinant%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
6 & -1 & 0 \\
|
|
-2 & 0 & -3 \\
|
|
6 & 0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Propietats dels determinats}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
S'anomena \textbf{l\'{\i}nea }d'un determinant a qualsevol fila o columna
|
|
del determinant.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Vegem a continuaci\'{o} les propietats dels determinats.
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \textit{El determinant d'una matriu }$A$ \textit{(quadrada) \'{e}s
|
|
igual al determinant de la seva matriu trasposada, \'{e}s a dir,}%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\right\vert =\left\vert A^{t}\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Per exemple, si
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & -3 \\
|
|
3 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
es t\'{e} que
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\right\vert =\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & -3 \\
|
|
3 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-16,\text{ \ i \ }\left\vert A^{t}\right\vert =\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 3 & -1 \\
|
|
5 & 2 & 4 \\
|
|
-3 & 0 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-16
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item \textit{Si un determinant t\'{e} tots els elements d'una l\'{\i}nea
|
|
qualsevol iguals a zero, el determinat val }$0.$
|
|
|
|
Per exemple:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 3 & 0 \\
|
|
-1 & -2 & 0 \\
|
|
7 & 3 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item \textit{Si es permuten dues l\'{\i}nees paral\textperiodcentered leles
|
|
d'un determinant, aquest canvia de signe.}
|
|
|
|
Per exemple:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & -3 \\
|
|
3 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-16\text{ \ i \ }\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
5 & 1 & -3 \\
|
|
2 & 3 & 0 \\
|
|
4 & -1 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =16
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item \textit{Un determinant que t\'{e} dues l\'{\i}nees
|
|
paral\textperiodcentered les iguals val }$0.$
|
|
|
|
Per exemple:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
5 & 5 & -3 \\
|
|
2 & 2 & 0 \\
|
|
4 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item \textit{Si es multipliquen tots els elements d'una l\'{\i}nea d'un
|
|
determinant per un mateix n\'{u}mero, el valor del determinant queda
|
|
multiplicat per aquest n\'{u}mero.}
|
|
|
|
Per exemple:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & -3 \\
|
|
3 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-16
|
|
\end{equation*}%
|
|
i%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & -3 \\
|
|
6 & 4 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-32
|
|
\end{equation*}%
|
|
ja que en aquest determinant hem multiplicat tots els elements de la segona
|
|
fila per $2.$
|
|
|
|
\begin{claim}
|
|
\textbf{(Extracci\'{o} de factor com\'{u} a un determinat) }Aquesta
|
|
propietat es fa servir per treure factor com\'{u} d'un determinant; aquesta
|
|
operaci\'{o} s'ha de fer l\'{\i}nea a l\'{\i}nea quan s'aplica m\'{e}s d'una
|
|
vegada a un mateix determinant.
|
|
|
|
Per exemple:%
|
|
\begin{multline*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 10 & -6 \\
|
|
6 & 4 & 0 \\
|
|
-2 & 8 & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =2\text{$\cdot $}\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 10 & -6 \\
|
|
6 & 4 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert = \\
|
|
2\text{$\cdot $}2\text{$\cdot $}\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 10 & -6 \\
|
|
3 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =2\text{$\cdot $}2\text{$\cdot $}2\text{$\cdot $}\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & -3 \\
|
|
3 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{multline*}
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Treu tot el factor com\'{u} que es pugui del determinant%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
6 & -18 \\
|
|
-4 & 15%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\item \textit{Si els elements de dues l\'{\i}nees paral\textperiodcentered
|
|
leles d'un determinant s\'{o}n proporcionals, el determinant val }$0$.
|
|
|
|
Per exemple:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & 5 \\
|
|
3 & 2 & 15 \\
|
|
-1 & 4 & -5%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0
|
|
\end{equation*}%
|
|
ja que la tercera columna \'{e}s igual a la primera multiplicada per $5$.
|
|
|
|
\item \textit{Si tots els elements d'una l\'{\i}nea d'un determinant estan
|
|
formats per la suma de dos sumands, aquest determinant es pot descomposar
|
|
com la suma de dos determinants que tenen els mateixos elements que el
|
|
determinant donat, excepte els corresponents a aquella l\'{\i}nea, de tal
|
|
manera que en el primer determinant aquella est\`{a} formada pels primers
|
|
sumands i en el segon determinant pels segons sumands.}
|
|
|
|
Per exemple:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 5 & -3 \\
|
|
3 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2-1 & 5 & -3 \\
|
|
1+2 & 2 & 0 \\
|
|
-1+0 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 5 & -3 \\
|
|
1 & 2 & 0 \\
|
|
-1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert +\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-1 & 5 & -3 \\
|
|
2 & 2 & 0 \\
|
|
0 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item \textit{Si els elements d'una l\'{\i}nea s\'{o}n combinaci\'{o} lineal
|
|
de les altres l\'{\i}nees paral\textperiodcentered leles, \'{e}s a dir, si
|
|
els elements d'una l\'{\i}nea resulten de sumar els elements de les altres l%
|
|
\'{\i}nees paral\textperiodcentered leles previament multiplicades per n\'{u}%
|
|
meros reals, el determinant val }$0.$
|
|
|
|
Per exemple:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
-6 & 0 & -3 & 4 \\
|
|
5 & 5 & 0 & 0 \\
|
|
8 & 2 & 3 & 1 \\
|
|
1 & 1 & 0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0
|
|
\end{equation*}%
|
|
ja que la primera columna resulta de sumar la segona columna multiplicada
|
|
per 1 i la tercera per 2 (i la quarta multiplicada per $0$).
|
|
|
|
\item \textit{Si un determinant val }$0$, \textit{aleshores t\'{e} una fila
|
|
(i columna) que \'{e}s combinaci\'{o} lineal de les altre files (i columnes).%
|
|
}
|
|
|
|
\item \textit{Si als elements d'una l\'{\i}nea d'un determinant se li sumen
|
|
els elements d'una/es altra/es l\'{\i}nea/es paral\textperiodcentered
|
|
lela/es previament multiplicada/es per un n\'{u}mero/s real/s, el valor del
|
|
determinant no varia.}
|
|
|
|
Per exemple, els determinants
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
2 & 5 \\
|
|
-3 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
2 & 5 \\
|
|
-7 & -10%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}%
|
|
tenen el mateix valor, ja que el segon determinant resulta de sumar en el
|
|
primer determinant a la segona fila la primera multiplicada per $-2$.
|
|
|
|
\item \textit{El valor d'un determinant \'{e}s igual a la suma dels
|
|
productes dels elements d'una l\'{\i}nea qualsevol pels seus adjunts
|
|
corresponents.}
|
|
|
|
Per exemple, desenvolupem el seg\"{u}ent determinant pels adjunts de la
|
|
tercera columna (es pot triar qualsevol altra l\'{\i}nea):%
|
|
\begin{multline*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-6 & 0 & -2 \\
|
|
5 & 5 & 0 \\
|
|
8 & 2 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert = \\
|
|
-2\text{$\cdot $}\left( \left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
5 & 5 \\
|
|
8 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \right) +0\text{$\cdot $}\left( -\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-6 & 0 \\
|
|
8 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \right) +3\text{$\cdot $}\left( \left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-6 & 0 \\
|
|
5 & 5%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \right) = \\
|
|
\\
|
|
-2\text{$\cdot $}\left( -30\right) +0+3\text{$\cdot $}\left( -30\right) =-30
|
|
\end{multline*}
|
|
|
|
\item \textit{El determinant del producte de dues matrius \'{e}s igual al
|
|
producte dels seus determinants, \'{e}s a dir,}%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\text{$\cdot $}B\right\vert =\left\vert A\right\vert \text{$%
|
|
\cdot $}\left\vert B\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Per exemple, donades les matrius%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-1 & 2 \\
|
|
0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }B=\left(
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
4 & -2 \\
|
|
1 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
tenim que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\right\vert =-3,\text{ }\left\vert B\right\vert =2,
|
|
\end{equation*}%
|
|
i, per tant,%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\right\vert \text{$\cdot $}\left\vert B\right\vert =-6,
|
|
\end{equation*}%
|
|
que coincideix amb%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\text{$\cdot $}B\right\vert =\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-2 & 2 \\
|
|
3 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-6
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\section{Determinants d'orde superior a 3}
|
|
|
|
Si b\'{e} no donarem la definici\'{o} formal dels determinats d'orde
|
|
superior a 3, s\'{\i} podem calcular el seu valor. Per a aquest c\`{a}lcul
|
|
farem servir la propietat $11$ dels determinants, tal com es mostra en el seg%
|
|
\"{u}ent exemple.
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Calcularem el valor del seg\"{u}ent determinant desenvolupant-lo pels
|
|
adjunts dels elements de la quarta columna (ho podr\'{\i}em fer pels adjunts
|
|
de qualsevol altra l\'{\i}nea):%
|
|
\begin{multline*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
-6 & 0 & -3 & 4 \\
|
|
5 & 5 & 0 & 0 \\
|
|
8 & 2 & 3 & 1 \\
|
|
1 & 1 & 0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =4\text{$\cdot $}\left( -\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
5 & 5 & 0 \\
|
|
8 & 2 & 3 \\
|
|
1 & 1 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \right) +0\text{$\cdot $}\left( \left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-6 & 0 & -3 \\
|
|
8 & 2 & 3 \\
|
|
1 & 1 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \right) \\
|
|
+1\text{$\cdot $}\left( -\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-6 & 0 & -3 \\
|
|
5 & 5 & 0 \\
|
|
1 & 1 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \right) +3\text{$\cdot $}\left( \left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-6 & 0 & -3 \\
|
|
5 & 5 & 0 \\
|
|
8 & 2 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \right) \\
|
|
=4\text{$\cdot $}0+0+1\text{$\cdot $}0+3\text{$\cdot $}0=0
|
|
\end{multline*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
Observem que amb aquest m\`{e}tode \'{e}s convenient triar aquella l\'{\i}%
|
|
nea que contengui m\'{e}s zeros, ja que per a aquests no \'{e}s necessari
|
|
tan sols calcular el seu adjunt.
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula el valor del seg\"{u}ente determinant:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
2 & -1 & 0 & -6 \\
|
|
4 & -4 & 2 & 3 \\
|
|
0 & 6 & 8 & 3 \\
|
|
-5 & -1 & 3 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
D'altra banda, aquest m\`{e}tode pot ser bastant engorr\'{o}s, donat que
|
|
s'han de calcular 4 adjunts d'orde 3 si el determinant inicial \'{e}s d'orde
|
|
4, 5 adjunts d'orde 4 si el determinant inicial \'{e}s d'orde 5, ... Aix%
|
|
\'{\i}, abans d'aplicar aquest m\`{e}tode \'{e}s convenient transformar el
|
|
determinant inicial en un altre que tengui el mateix valor per\`{o} que
|
|
permeti l'aplicaci\'{o} del m\`{e}tode sense necessitat de fer tants de c%
|
|
\`{a}lculs. Aix\`{o} s'aconsegueix amb la regla de Chio:
|
|
|
|
\begin{algorithm}
|
|
\textbf{(Regla de Chio) }Aquest algoritme permet transformar un determinant
|
|
qualsevol en un altre del mateix valor de tal manera que nom\'{e}s s'hagi de
|
|
calcular un dels seus adjunts. Aix\`{o} es fa seguint les seg\"{u}ents
|
|
passes:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Es tria aquella l\'{\i}nea que contengui m\'{e}s zeros; si n'hi ha m%
|
|
\'{e}s d'una amb el mateix n\'{u}mero de zeros, sol \'{e}sser convenient
|
|
triar aquella que tengui qualque $1$ o $-1$ (si \'{e}s el cas),
|
|
|
|
\item es multiplica la l\'{\i}nea perpendicular a l'anterior i que cont\'{e}
|
|
l'$1$ o el $-1$ pel n\'{u}mero que faci falta per a qu\`{e} aquest producte,
|
|
sumat a la l\'{\i}nea que cont\'{e} m\'{e}s zeros, n'aconsegueixi un altre
|
|
all\`{a} on no n'hi havia. Aix\`{o} es repeteix tantes vegades com sigui
|
|
possible per tal d'obtenir el major n\'{u}mero de zeros.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{algorithm}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Anem a calcular el determinant seg\"{u}ent aplicant la regla de Chio.
|
|
Triarem la primera fila (que cont\'{e} un $-1$ i un $0$), i anirem
|
|
multiplicant la segona columna (que cont\'{e} el $-1$ de la primera fila) i
|
|
sumant aquest producte a les columnes restants:
|
|
\begin{multline*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
2 & -1 & 0 & -6 \\
|
|
4 & -4 & 2 & 3 \\
|
|
0 & 6 & 8 & 3 \\
|
|
-5 & -1 & 3 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \overset{C_{1}\rightarrow C_{1}+2C_{2}}{=}\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
0 & -1 & 0 & -6 \\
|
|
-4 & -4 & 2 & 3 \\
|
|
12 & 6 & 8 & 3 \\
|
|
-7 & -1 & 3 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \overset{C_{4}\rightarrow C_{4}-6C_{2}}{=} \\
|
|
\\
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
0 & -1 & 0 & 0 \\
|
|
-4 & -4 & 2 & 27 \\
|
|
12 & 6 & 8 & -33 \\
|
|
-7 & -1 & 3 & 4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-1\cdot \left( -\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-4 & 2 & 27 \\
|
|
12 & 8 & -33 \\
|
|
-7 & 3 & 4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \right) =2326
|
|
\end{multline*}%
|
|
Com s'observa, despr\'{e}s d'aquest proc\'{e}s nom\'{e}s es calcula un \'{u}%
|
|
nic menor.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Aplica la regla de Chio per calcular el seg\"{u}ent determinant:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
4 & 2 & 1 & 3 \\
|
|
-1 & -3 & 0 & -2 \\
|
|
0 & 5 & -3 & 8 \\
|
|
6 & 7 & 3 & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Matriu inversa d'una matriu quadrada}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
S'anomena \textbf{matriu inversa d'una matriu quadrada} $A$ d'orde $n$ a
|
|
aquella matriu quadrada, tamb\'{e} d'orde $n$, i denotada per $A^{-1}$, que
|
|
cumpleix les seg\"{u}ents condicions:%
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
A\cdot A^{-1} &=&I_{n} \\
|
|
&& \\
|
|
A^{-1}\cdot A &=&I_{n}
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
El t\'{\i}tol d'aquest apartat ja ens d\'{o}na una idea de quins tipus de
|
|
matrius poden tenir matriu inversa: les matrius quadrades s\'{o}n les \'{u}%
|
|
niques matrius que en poden tenir, si b\'{e} no totes elles en tenen.
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
La condici\'{o} necess\`{a}ria i suficient que ens assegura que una matriu
|
|
quadrada $A$ t\'{e} inversa ve donada per la seg\"{u}ent doble implicaci\'{o}%
|
|
:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A\text{ t\'{e} inversa}\iff \left\vert A\right\vert \neq 0
|
|
\end{equation*}%
|
|
Expressat amb paraules, \textit{si una matriu quadrada t\'{e} inversa,
|
|
aleshores el seu determinant \'{e}s diferent de zero, i, en sentit contrari,
|
|
si el determinant d'una matriu quadrada no val zero, aleshores aquesta
|
|
matriu t\'{e} inversa.}
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
Com es calcula la matriu inversa d'una matriu quadrada? A continuaci\'{o}
|
|
donam un algoritme que permet calcular-la:
|
|
|
|
\begin{algorithm}
|
|
\textbf{C\`{a}lcul de la matriu inversa }Per calcular la matriu inversa
|
|
d'una matriu quadrada $A$ seguirem les seg\"{u}ents passes:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item En primer lloc calcularem $\left\vert A\right\vert $. Si aquest val $0$%
|
|
, ja podem assegurar que la matriu $A$ no t\'{e} inversa. Si $\left\vert
|
|
A\right\vert \neq 0$ seguim amb els punts seg\"{u}ents.
|
|
|
|
\item Calculam la matriu adjunta de $A$, \'{e}s a dir, aquella matriu en la
|
|
qual cada element \'{e}s l'adjunt de l'element respectiu de la matriu $A$.
|
|
La denotarem per $A^{d}$.
|
|
|
|
\item Farem la trasposada de $A^{d}$. La denotarem per $\left( A^{d}\right)
|
|
^{t}$.
|
|
|
|
\item Finalment, es t\'{e} que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A^{-1}=\frac{\left( A^{d}\right) ^{t}}{\left\vert A\right\vert }
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{algorithm}
|
|
|
|
Vegem-ho amb un exemple.
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Sigui
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 2 & 0 \\
|
|
0 & -3 & -2 \\
|
|
4 & 0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
Tenim que
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\right\vert =-9-16=-25\neq 0
|
|
\end{equation*}%
|
|
El fet de qu\`{e} aquest determinant no valgui zero ens assegura que
|
|
existeix la matriu inversa de $A$. Anem a calcular-la.
|
|
|
|
La matriu adjunta de $A$ \'{e}s%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A^{d}=\left(
|
|
\begin{array}{rrrrr}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-3 & -2 \\
|
|
0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & {\small -}\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
0 & -2 \\
|
|
4 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & \left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
0 & -3 \\
|
|
4 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \\
|
|
& & & & \\
|
|
{\small -}\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
2 & 0 \\
|
|
0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & \left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 0 \\
|
|
4 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & {\small -}\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 2 \\
|
|
4 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \\
|
|
& & & & \\
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
2 & 0 \\
|
|
-3 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & {\small -}\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 0 \\
|
|
0 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & \left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 2 \\
|
|
0 & -3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) =\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-9 & -8 & 12 \\
|
|
-6 & 3 & 8 \\
|
|
-4 & 2 & -3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
La trasposada de l'adjunta \'{e}s, aleshores,%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left( A^{d}\right) ^{t}=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-9 & -6 & -4 \\
|
|
-8 & 3 & 2 \\
|
|
12 & 8 & -3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
Es pot calcular ara la inversa de $A$:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A^{-1}=\frac{\left( A^{d}\right) ^{t}}{\left\vert A\right\vert }=\frac{%
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-9 & -6 & -4 \\
|
|
-8 & 3 & 2 \\
|
|
12 & 8 & -3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) }{-25}=\left(
|
|
\begin{array}{rrrrr}
|
|
9/25 & & 6/25 & & 4/25 \\
|
|
& & & & \\
|
|
8/25 & & -3/25 & & -2/25 \\
|
|
& & & & \\
|
|
-12/25 & & -8/25 & & 3/25%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula la matriu inversa, si en t\'{e}, de la matriu%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 0 & -3 \\
|
|
-1 & 3 & -2 \\
|
|
0 & 5 & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Matriu inversa en funci\'{o} d'un par\`{a}metre}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Suposem que volem calcular la matriu inversa de
|
|
\begin{equation*}
|
|
B=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-3 & 1 & 0 \\
|
|
1 & 2 & b \\
|
|
0 & 7 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
Aquesta matriu dep\`{e}n del par\`{a}metre $b$. Per tant, podem suposar que
|
|
la matriu inversa de $B$ existir\`{a} o no segons el valor num\`{e}ric que
|
|
prengui el par\`{a}metre $b$. \textquestiondown Qu\`{e} ha de valer $b$ per
|
|
a qu\`{e} existeixi $B^{-1}$? Aquest valor de $b$ quedar\`{a} imposat per la
|
|
condici\'{o}%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert B\right\vert \neq 0,
|
|
\end{equation*}%
|
|
que \'{e}s la condici\'{o} que ens assegura que existeix la matriu inversa
|
|
de $B$. Calculem $\left\vert B\right\vert $:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert B\right\vert =\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-3 & 1 & 0 \\
|
|
1 & 2 & b \\
|
|
0 & 7 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =21b-7
|
|
\end{equation*}%
|
|
Aquest determinant val $0$ si i nom\'{e}s si%
|
|
\begin{equation*}
|
|
21b-7=0;\text{ }b=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Aqu\'{\i} apareixen dues possibilitats$:$
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] Si $b=1/3$: tenim que $\left\vert B\right\vert =0$, i, per tant,
|
|
no existeix la matriu inversa de $B$.
|
|
|
|
\item[(b)] Si $b\neq 1/3$: tenim que $\left\vert B\right\vert \neq 0$, i,
|
|
per tant, existeix la matriu inversa de $B$.
|
|
\end{description}
|
|
|
|
Dit d'una altra manera, la matriu inversa de $B$ existeix sempre que es
|
|
substitueixi el par\`{a}metre $b$ per qualsevol n\'{u}mero que no sigui $1/3$%
|
|
. Com que existeixen infinits valors que no s\'{o}n $1/3$, la matriu inversa
|
|
quedar\`{a} en funci\'{o} de $b$, ja que aquest par\`{a}metre no pot ser ara
|
|
substituit per cap valor (ja que, com hem dit, n'hi ha infinits possibles).
|
|
No obstant, el proc\'{e}s per calcular la inversa \'{e}s sempre el
|
|
mateix.Comen\c{c}am calculant la matriu adjunta de $B$:%
|
|
\begin{multline*}
|
|
B^{d}=\left(
|
|
\begin{array}{rrrrr}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
2 & b \\
|
|
7 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & {\small -}\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & b \\
|
|
0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & \left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 2 \\
|
|
0 & 7%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \\
|
|
& & & & \\
|
|
{\small -}\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 0 \\
|
|
7 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & \left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-3 & 0 \\
|
|
0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & -\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-3 & 1 \\
|
|
0 & 7%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \\
|
|
& & & & \\
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 0 \\
|
|
2 & b%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & {\small -}\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-3 & 0 \\
|
|
1 & b%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert & & \left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
-3 & 1 \\
|
|
1 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \\
|
|
\\
|
|
=\left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
2-7b & -1 & 7 \\
|
|
-1 & -3 & 21 \\
|
|
b & 3b & -7%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{multline*}%
|
|
Feim ara la seva trasposada%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left( B^{d}\right) ^{t}=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2-7b & -1 & b \\
|
|
-1 & -3 & 3b \\
|
|
7 & 21 & -7%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
I, finalment, dividim pel seu determinant (que, com hem calculat, \'{e}s $%
|
|
21b-7$):%
|
|
\begin{equation*}
|
|
B^{-1}=\frac{\left( B^{d}\right) ^{t}}{\left\vert B\right\vert }=\frac{%
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2-7b & -1 & b \\
|
|
-1 & -3 & 3b \\
|
|
7 & 21 & -7%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) }{21b-7}=\left(
|
|
\begin{array}{rrrrr}
|
|
\frac{2-7b}{21b-7} & & \frac{1}{7-21b} & & \frac{b}{21b-7} \\
|
|
& & & & \\
|
|
\frac{1}{7-21b} & & \frac{3}{7-21b} & & \frac{3b}{21b-7} \\
|
|
& & & & \\
|
|
\frac{7}{21b-7} & & \frac{21}{21b-7} & & \frac{7}{7-21b}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula la matriu inversa de $B$ en funci\'{o} del par\`{a}metre $\alpha $,
|
|
amb%
|
|
\begin{equation*}
|
|
B=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -7 & \alpha \\
|
|
1 & 3 & 3 \\
|
|
0 & 1 & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Rang d'una matriu d'orde qualsevol}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Si en una matriu qualsevol seleccionam $p$ files i $p$ columnes, els
|
|
elements en qu\`{e} s'encreuen aquestes $p$ files i $p$ columnes formen una
|
|
submatriu quadrada d'orde $p$. El determinant d'aquesta submatriu s'anomena%
|
|
\textit{\ }\textbf{menor d'orde }$p$ de la matriu inicial.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
El determinant%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 0 \\
|
|
\pi & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}%
|
|
\'{e}s un menor d'orde $2$ de la matriu%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
1 & -2 & 0 & 3 \\
|
|
\pi & 12 & -4 & 2 \\
|
|
5 & 2 & -3 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,
|
|
\end{equation*}%
|
|
donat que hem seleccionat els elements en els quals s'encreuen les files $1$
|
|
i $2$ i les columnes $1$ i $3$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
S'anomena \textbf{rang d'una matriu}\textit{\ }al m\`{a}xim orde dels seus
|
|
menors no nuls. \'{E}s a dir, el rang d'una matriu \'{e}s un n\'{u}mero $p$
|
|
que cumpleix les seg\"{u}ents condicions:
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] existeix un menor d'orde $p$ no nul,
|
|
|
|
\item[(b)] tots els menors d'orde $p+1$ s\'{o}n nuls, o b\'{e} no existeixen
|
|
menors d'orde $p+1$.
|
|
|
|
El rang d'una matriu $A$ es representa per $rg\left( A\right) $ o $rgA$.
|
|
\end{description}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{algorithm}
|
|
\textbf{C\`{a}lcul del rang d'una matriu }Segons la definici\'{o} anterior,
|
|
una manera de calcular el rang d'una matriu consisteix en treure un menor
|
|
del m\`{a}xim orde possible i mirar si val zero. Si \'{e}s aix\'{\i}, el
|
|
rang de la matriu \'{e}s l'orde d'aquest determinant. En cas contrari, \'{e}%
|
|
s a dir, si tots els menors d'orde m\`{a}xim que es poden treure de la
|
|
matriu s\'{o}n nuls, aleshores procedim a treure menors d'un orde inferior,
|
|
i es mira si qualcun d'ells \'{e}s diferent de zero; en tal cas el rang de
|
|
la matriu.\'{e}s l'orde d'aquest menor, i en cas contrari repetim aquest proc%
|
|
\'{e}s fins a trobar un menor no nul.
|
|
\end{algorithm}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
El rang de la matriu%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
1 & -1 & 2 & 4 \\
|
|
2 & 3 & -5 & 4 \\
|
|
0 & 3 & 3 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
\'{e}s $3$, ja que existeix, al menys, un menor d'orde $3$ no nul, com, per
|
|
exemple, el menor%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & -1 & 2 \\
|
|
2 & 3 & -5 \\
|
|
0 & 3 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \neq 0,
|
|
\end{equation*}%
|
|
i no hi ha cap menor d'orde $4$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
No obstant, si hi ha molts menors possible a l'hora de calcular el rang
|
|
d'una matriu, \'{e}s convenient tenir presents les seg\"{u}ents indicacions,
|
|
que ens donen una altra manera de calcular el rang:
|
|
|
|
\begin{algorithm}
|
|
\textbf{C\`{a}lcul del rang d'una matriu (}$\mathbf{2}$\textbf{) }Per
|
|
calcular el rang d'una matriu podem seguir les seg\"{u}ents passes:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Es suprimeixen totes les files o columnes que estiguin formades \'{u}%
|
|
nicament per zeros.
|
|
|
|
\item S'observa, per simple inspecci\'{o}, si s'aprecien files o columnes
|
|
que siguin combinaci\'{o} lineal de les seves paral\textperiodcentered
|
|
leles, i es procedeix a eliminar-les.
|
|
|
|
\item Es tria un element no nul de la matriu, amb el que asseguram que el
|
|
rang de la matriu \'{e}s major o igual que $1$, ja que existeix un menor no
|
|
nul d'orde $1$. A continuaci\'{o} orlam aquest menor, \'{e}s a dir, formam
|
|
un menor d'orde $2$ que contengui el n\'{u}mero seleccionat. Si qualcun
|
|
d'aquests menors aix\'{\i} formats \'{e}s no nul, aleshores el rang de la
|
|
matriu \'{e}s, al menys, $2$.
|
|
|
|
\item Repetim aquest proc\'{e}s, orlant el menor que ha resultat diferent de
|
|
zero en el pas anterior, fins a obtenir un menor d'orde $k\neq 0$ tal que
|
|
quan l'orlam amb les restants files i columnes de la matriu per formar
|
|
menors d'orde $k+1$, resultin tots ells nuls. Aleshores es pot concloure que
|
|
el rang de la matriu \'{e}s $k$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{algorithm}
|
|
|
|
Vegem l'aplicaci\'{o} d'aquest m\`{e}tode amb el seg\"{u}ent exemple.
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Suposem que volem calcular el rang de la seg\"{u}ent matriu:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
1 & 0 & -2 & 4 \\
|
|
3 & 1 & 0 & -3 \\
|
|
5 & 1 & -4 & 5%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
Triem un element no nul d'aquesta matriu; per exemple, triem el $-4$, que
|
|
\'{e}s no nul. Orlem aquest n\'{u}mero per a formar un menor d'orde $2$ no
|
|
nul; per exemple:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
1 & 0 \\
|
|
1 & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \neq 0,
|
|
\end{equation*}%
|
|
amb el que asseguram que el rang \'{e}s, al menys, $2$. Si ara orlam aquest
|
|
menor de totes les maneres possibles per formar menors d'orde $3$, es veu
|
|
que tots aquest s\'{o}n nuls, \'{e}s a dir,%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 0 & -2 \\
|
|
3 & 1 & 0 \\
|
|
5 & 1 & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
0 & -2 & 4 \\
|
|
1 & 0 & -3 \\
|
|
1 & -4 & 5%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0,
|
|
\end{equation*}%
|
|
que ens assegura que el rang no pot ser $3$, i, per tant, ha de ser $2$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula el valor del rang de la seg\"{u}ent matriu:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{cccc}
|
|
0 & -1 & 3 & -2 \\
|
|
-4 & 0 & 3 & 8%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Rang d'una matriu en funci\'{o} d'un par\`{a}metre}
|
|
|
|
De vegades, una matriu pot incloure un par\`{a}metre. El rang d'aquesta
|
|
matriu dependr\`{a}, aleshores, del valor que tengui aquest par\`{a}metre.
|
|
Vegem-ho amb un exemple.
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Sigui la matriu%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -1 & 3 \\
|
|
0 & 1 & \alpha \\
|
|
-2 & 2 & 5%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
Anem a calcular el seu rang. Quan en la matriu apareix un par\`{a}metre sol
|
|
ser m\'{e}s f\`{a}cil calcular el rang a partir dels menors m\'{e}s grans
|
|
possibles. Aix\'{\i}, en aquest exemple comen\c{c}arem amb%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -1 & 3 \\
|
|
0 & 1 & \alpha \\
|
|
-2 & 2 & 5%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =10+2\alpha +6-4\alpha =16-2\alpha ,
|
|
\end{equation*}%
|
|
que \'{e}s el menor m\'{e}s gran que es pot treure de $A$. Aquest menor val $%
|
|
0$ si%
|
|
\begin{equation*}
|
|
16-2\alpha =0,
|
|
\end{equation*}%
|
|
\'{e}s a dir, si $\alpha =8$. Aqu\'{\i} apareixen dues possibilitats:
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] Si $\alpha \neq 8$: existeix un menor d'orde $3$ diferent de $0$,
|
|
i no hi ha menors d'orde superior a $3$. Per tant, el rang de $A$ \'{e}s $3$.
|
|
|
|
\item[(b)] Si $\alpha =8$: tots els menors d'orde $3$ -de fet, l'\'{u}nic
|
|
menor d'orde $3$ en aquest cas- s\'{o}n zero. Per tant, el rang no pot ser $%
|
|
3 $. Cerquem, aleshores, un menor d'orde $2$ diferent de $0$. Per exemple%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
2 & -1 \\
|
|
0 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =2\neq 0,
|
|
\end{equation*}%
|
|
per la qual cosa el rang \'{e}s $2$.
|
|
\end{description}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula el $rgA$ en funci\'{o} del par\`{a}metre $\alpha $, amb%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -7 & \alpha \\
|
|
1 & 3 & 3 \\
|
|
0 & 1 & -4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Exercicis proposats}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula el valor dels seg\"{u}ents determinants:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
-2 & 3 \\
|
|
-5 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 2 & 4 \\
|
|
3 & -5 & -4 \\
|
|
3 & 3 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula el valor dels seg\"{u}ents determinants:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
n & p \\
|
|
l & m%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
6n & 6p \\
|
|
6l & 6m%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
l & 4m \\
|
|
n & 4p%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,
|
|
\end{equation*}%
|
|
si sabem que:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
l & m \\
|
|
n & p%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-13
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
De les seg\"{u}ents expressions, indica quines s\'{o}n correctes i, en el
|
|
seu cas, enuncia les propietats que s'hi utilitzen:
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] $\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
a & a \\
|
|
b & b%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0$
|
|
|
|
\item[(b)] $\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
3 & 6 \\
|
|
9 & 9%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =9\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 2 \\
|
|
3 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert $
|
|
|
|
\item[(c)] $\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
3 & 6 \\
|
|
9 & 9%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =3\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 2 \\
|
|
3 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert $
|
|
\end{description}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Si%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
m & n \\
|
|
p & q%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-5,
|
|
\end{equation*}%
|
|
quin \'{e}s el valor de cadascun dels seg\"{u}ents determinants? Justifica
|
|
les respostes.%
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
&&\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
m+3n & p+3q \\
|
|
n & q%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
p & m \\
|
|
q & n%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
3n & -m \\
|
|
3q & -p%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert , \\
|
|
&&\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
p & 2m \\
|
|
q & 2n%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & n/m \\
|
|
mp & mq%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
m & 5m \\
|
|
p & 5p%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Resol les seg\"{u}ents equacions:
|
|
|
|
\begin{description}
|
|
\item[(a)] $\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
x-2 & 1-2x \\
|
|
x & x^{2}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0$
|
|
|
|
\item[(b)] $\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
-1 & 2 & 0 \\
|
|
a & -3 & 1 \\
|
|
0 & -1 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0$
|
|
|
|
\item[(c)] $\left\vert
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
a-1 & 1 & -1 \\
|
|
0 & a+6 & 3 \\
|
|
a-1 & 2 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0$
|
|
\end{description}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Per a quin valor de $x$ s'anul\textperiodcentered la el determinant seg\"{u}%
|
|
ent?%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
-x & 1 & 0 & 1 \\
|
|
1 & -x & 1 & 0 \\
|
|
0 & 1 & -x & 1 \\
|
|
1 & 0 & 1 & -x%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula el valor dels seg\"{u}ents determinants:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
-2 & 0 & 1 & 3 \\
|
|
1 & -3 & -2 & 5 \\
|
|
3 & -1 & 2 & 0 \\
|
|
0 & 2 & -3 & 4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
2 & -1 & 0 & -2 \\
|
|
-1 & 5 & -2 & 1 \\
|
|
-2 & 1 & 2 & 4 \\
|
|
0 & 4 & -3 & -3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Resol la seg\"{u}ent equaci\'{o}:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
x & 1 & 0 & 0 \\
|
|
0 & x & 1 & 0 \\
|
|
0 & 0 & x & 1 \\
|
|
1 & 0 & 0 & x%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Si sabem que
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 1 & 1 \\
|
|
a & b & c \\
|
|
x & y & z%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =5,
|
|
\end{equation*}%
|
|
calcula el valor dels seg\"{u}ents determinants:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
1 & 1 & 1 \\
|
|
a+7 & b+7 & c+7 \\
|
|
x/2 & y/2 & z/2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
a & b & c \\
|
|
x & y & z \\
|
|
1 & 1 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\text{ }\left\vert
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
1-x & 1-y & 1-z \\
|
|
a+2x & b+2y & c+2z \\
|
|
2x & 2y & 2z%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula, si \'{e}s possible, la matriu inversa de cadascuna de les seg\"{u}%
|
|
ents:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 2 \\
|
|
3 & 6%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) & B=\left(
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
1 & 2 \\
|
|
3 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \\
|
|
& \\
|
|
C=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 2 & 3 \\
|
|
3 & -5 & -2 \\
|
|
3 & 3 & 6%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) & D=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 2 & 4 \\
|
|
3 & -5 & -4 \\
|
|
3 & 3 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)%
|
|
\end{array}%
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula la matriu inversa de cadascuna de les seg\"{u}ents:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
-1 & 2 \\
|
|
3 & a%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }B=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 2 & 3 \\
|
|
3 & -5 & -2 \\
|
|
3 & b & 6%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calcula el rang de cadascuna de les seg\"{u}ents matrius:%
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
A &=&\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
1 & 4 & -1 \\
|
|
-1 & 3 & 2 \\
|
|
2 & 2 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }B=\left(
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
1 & -2 & 0 & 3 \\
|
|
-1 & 3 & 1 & 4 \\
|
|
2 & 1 & 5 & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) , \\
|
|
&& \\
|
|
C &=&\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
3 & 5 & 1 \\
|
|
6 & 10 & -2 \\
|
|
1 & 0 & 1 \\
|
|
4 & 5 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }D=\left(
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
1 & -2 & 0 & 3 \\
|
|
-1 & 3 & 1 & 4 \\
|
|
0 & 1 & 1 & 7%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Estudia el rang de les matrius seg\"{u}ents segons el valor del par\`{a}%
|
|
metre que hi apareix:%
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
A &=&\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 1 & 0 \\
|
|
1 & 1 & -2 \\
|
|
3 & 1 & a%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }B=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 1 & a \\
|
|
a & 3 & 4 \\
|
|
3 & -1 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }C=\left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
a & -1 & 1 \\
|
|
1 & -a & 2a-1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) , \\
|
|
D &=&\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
t & 1 & 1 \\
|
|
1 & -t & 1 \\
|
|
1 & 1 & t%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }E=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
t & 2 & 2 \\
|
|
2 & t & 0 \\
|
|
1 & t & t%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }F=\left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
t+3 & 4 & 0 \\
|
|
0 & t-1 & 1 \\
|
|
-4 & -4 & t-1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) , \\
|
|
G &=&\left(
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
t & 1 & 1 & 2 \\
|
|
2 & t & t^{2} & 1 \\
|
|
2 & 1 & 1 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Estudia el rang de la matriu seg\"{u}ent en funci\'{o} de $a,b$ i $c$:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
5 & 5 & 5 \\
|
|
a & b & c \\
|
|
b+c & a+c & a+b%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Troba, en funci\'{o} de $a$, el valor del determinant%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{cccc}
|
|
a+1 & a & a & a \\
|
|
a & a+1 & a & a \\
|
|
a & a & a+1 & a \\
|
|
a & a & a & a+1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\chapter{Sistemas de ecuaciones}
|
|
|
|
\section{Definiciones}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Un \textbf{sistema de ecuaciones lineales} es un conjunto de ecuaciones
|
|
lineales en el que aparecen una o varias inc\'{o}gnitas; es decir, una
|
|
expresi\'{o}n de la forma%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\
|
|
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\
|
|
\vdots & & \vdots \\
|
|
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n} & = & b_{m}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Este es un sistema de $m$ ecuaciones y $n$ \textbf{inc\'{o}gnitas}. Estas
|
|
\'{u}ltimas son $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
A los n\'{u}meros $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ se les llama \textbf{t\'{e}rminos
|
|
independientes}.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Un sistema de ecuaciones se llama \textbf{homog\'{e}neo }si todos sus t\'{e}%
|
|
rminos independientes son cero.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Las matrices%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{cccc}
|
|
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
|
|
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
|
|
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
|
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }M=\left(
|
|
\begin{array}{ccccc}
|
|
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1} \\
|
|
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2} \\
|
|
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
|
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b_{m}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
se llaman\textit{\ \textbf{matriz de los coeficientes} }y\textit{\ }\textbf{%
|
|
matriz ampliada} respectivamente.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Por ejemplo, en el sistema%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rcr}
|
|
2x-y+z & = & 0 \\
|
|
x+3z & = & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
las inc\'{o}gnitas son $x,y$ y $z$, y los t\'{e}rminos independientes son $0$
|
|
y $-2$. La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son,
|
|
respectivamente,%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -1 & 1 \\
|
|
1 & 0 & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) ,\text{ }M=\left(
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
2 & -1 & 1 & 0 \\
|
|
1 & 0 & 3 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Diremos que un conjunto de $n$ n\'{u}meros, $\alpha _{1},\alpha
|
|
_{2},...,\alpha _{n}$, es \textbf{soluci\'{o}n} de un sistema de ecuaciones
|
|
de $n$ inc\'{o}gnitas (y un n\'{u}mero cualquiera de ecuaciones) si al
|
|
sustituir dichos n\'{u}meros por las inc\'{o}gnitas se satisface cada una de
|
|
las ecuaciones del sistema, es decir, si se cumple que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
a_{11}\cdot \alpha _{1}+a_{12}\cdot \alpha _{2}+...+a_{1n}\cdot \alpha _{n}
|
|
& = & b_{1} \\
|
|
a_{21}\cdot \alpha _{1}+a_{22}\cdot \alpha _{2}+...+a_{2n}\cdot \alpha _{n}
|
|
& = & b_{2} \\
|
|
\vdots & & \vdots \\
|
|
a_{m1}\cdot \alpha _{1}+a_{m2}\cdot \alpha _{2}+...+a_{mn}\cdot \alpha _{n}
|
|
& = & b_{m}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Si un conjunto tal de n\'{u}meros existe diremos que el sistema es \textbf{%
|
|
compatible}.\textbf{\ }Si el sistema tiene tan solo una soluci\'{o}n, se
|
|
dice que es \textbf{compatible determinado}; si tiene infinitas, se dice que
|
|
es \textbf{compatible indeterminado}. En caso contrario, -en el cual el
|
|
sistema no tiene ninguna soluci\'{o}n-, diremos que es \textbf{incompatible}.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
El sistema%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rlr}
|
|
4x-y+6z & = & -9 \\
|
|
-x+3y-2z & = & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\} ,
|
|
\end{equation*}%
|
|
es compatible, ya que el conjunto de tres n\'{u}meros $x=-2,$ $y=1,$ $z=0$
|
|
es soluci\'{o}n del sistema, dado que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rlr}
|
|
4\cdot \left( -2\right) -1+6\cdot 0 & = & -9 \\
|
|
-\left( -2\right) +3\cdot \left( -1\right) -2\cdot 0 & = & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
En cambio, el conjunto $x=3,$ $y=27,$ $z=1$ no es soluci\'{o}n, puesto que
|
|
alguna de las ecuaciones no se verifica (la segunda en este caso):%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rlr}
|
|
4\cdot 3-27+6\cdot 1 & = & -9 \\
|
|
-3+3\cdot 27-2\cdot 1 & \neq & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
El sistema%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{lll}
|
|
x+y & = & 3 \\
|
|
x+y & = & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
es incompatible (no tiene soluci\'{o}n), pues no existen dos n\'{u}meros, $x$
|
|
e $y$, cuya suma sea a la vez $3$ y $2$ (o la suma da $3$ o da $2,$ pero no
|
|
los dos valores a la vez).
|
|
\end{example}
|
|
|
|
A veces es costumbre escribir los sistemas de ecuaciones de la siguiente
|
|
forma:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{cccc}
|
|
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
|
|
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
|
|
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
|
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \cdot \left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
x_{1} \\
|
|
x_{2} \\
|
|
\vdots \\
|
|
x_{n}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) =\left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
b_{1} \\
|
|
b_{2} \\
|
|
\vdots \\
|
|
b_{m}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
El sistema%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rlr}
|
|
4x-y+6z & = & -9 \\
|
|
-x+3y-2z & = & -1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
es el mismo que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left(
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
4 & -1 & 6 \\
|
|
-1 & 3 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \cdot \left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
x \\
|
|
y \\
|
|
z%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) =\left(
|
|
\begin{array}{c}
|
|
-9 \\
|
|
-1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\section{Regla de Cramer}
|
|
|
|
La regla que se muestra a continuaci\'{o}n, llamada \textit{regla de Cramer}%
|
|
, permite hallar la soluci\'{o}n de sistemas de ecuaciones lineales en los
|
|
que hay tantas ecuaciones como inc\'{o}gnitas y en los que el determinante
|
|
de la matriz de los coeficientes no es nulo ($\left\vert A\right\vert \neq 0$%
|
|
). M\'{a}s expl\'{\i}citamente, sea el sistema
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\
|
|
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\
|
|
\vdots & \vdots & \vdots \\
|
|
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n} & = & b_{n}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
de $n$ ecuaciones con $n$ inc\'{o}gnitas tal que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\right\vert =\left\vert
|
|
\begin{array}{cccc}
|
|
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
|
|
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
|
|
. & . & . & . \\
|
|
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \neq 0
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{algorithm}
|
|
\textbf{(Regla de Cramer) }La soluci\'{o}n de un sistema en el que hay
|
|
tantas ecuaciones como inc\'{o}gnitas y en el que el determinante de la
|
|
matriz de los coeficientes es no nulo ($\left\vert A\right\vert \neq 0$), es
|
|
la siguiente:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
x_{1}=\frac{\left\vert
|
|
\begin{array}{cccc}
|
|
b_{1} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
|
|
b_{2} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
|
|
. & . & . & . \\
|
|
b_{n} & a_{n2} & ... & a_{nn}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert }{\left\vert A\right\vert },
|
|
\end{equation*}%
|
|
\begin{equation*}
|
|
x_{2}=\frac{\left\vert
|
|
\begin{array}{cccc}
|
|
a_{11} & b_{1} & ... & a_{1n} \\
|
|
a_{21} & b_{2} & ... & a_{2n} \\
|
|
. & . & . & . \\
|
|
a_{n1} & b_{n} & ... & a_{nn}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert }{\left\vert A\right\vert },
|
|
\end{equation*}%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\vdots
|
|
\end{equation*}%
|
|
\begin{equation*}
|
|
x_{n}=\frac{\left\vert
|
|
\begin{array}{cccc}
|
|
a_{11} & a_{12} & ... & b_{1} \\
|
|
a_{21} & a_{22} & ... & b_{2} \\
|
|
. & . & . & . \\
|
|
a_{n1} & a_{n2} & ... & b_{n}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{algorithm}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Sea el sistema%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rcr}
|
|
2x-y+z & = & 0 \\
|
|
x+3z & = & -2 \\
|
|
x+y & = & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Este sistema tiene $3$ ecuaciones y $3$ inc\'{o}gnitas, y adem\'{a}s se
|
|
cumple que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\right\vert =\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -1 & 1 \\
|
|
1 & 0 & 3 \\
|
|
1 & 1 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-3+1-6=-8\neq 0
|
|
\end{equation*}%
|
|
Podemos, pues, aplicar la regla de Cramer, con lo que la soluci\'{o}n del
|
|
sistema es la siguiente:%
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
x &=&\frac{\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
0 & -1 & 1 \\
|
|
-2 & 0 & 3 \\
|
|
1 & 1 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8} \\
|
|
&& \\
|
|
y &=&\frac{\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & 0 & 1 \\
|
|
1 & -2 & 3 \\
|
|
1 & 1 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{-3}{-8}=\frac{3}{8} \\
|
|
&& \\
|
|
z &=&\frac{\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -1 & 0 \\
|
|
1 & 0 & -2 \\
|
|
1 & 1 & 1%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{7}{-8}=\frac{-7}{8}
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Resuelve el siguiente sistema:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rcr}
|
|
-x-2y+5z & = & -3 \\
|
|
3x+3z & = & 4 \\
|
|
2x-2y+z & = & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Discusi\'{o}n de un sistema de ecuaciones}
|
|
|
|
Por supuesto, no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen tantas inc%
|
|
\'{o}gnitas como ecuaciones, y a\'{u}n en este caso no todos cumplen el
|
|
hecho de que el determinante de su matriz de coeficientes sea no nulo, por
|
|
lo que la regla de Cramer no es aplicable directamente. Para resolver, por
|
|
tanto, sistemas de ecuaciones lineales que no cumplan las condiciones
|
|
propias de la regla de Cramer, deber\'{a} hacerse uso de alg\'{u}n criterio
|
|
que nos permita saber, antes de resolverlo, qu\'{e} condiciones debe cumplir
|
|
tal sistema para que tenga soluci\'{o}n o no. Este criterio es el que se
|
|
muestra a continuaci\'{o}n.
|
|
|
|
\begin{theorem}
|
|
\textit{Sea un sistema lineal de ecuaciones cualquiera con }$n$\textit{\ inc%
|
|
\'{o}gnitas, y sean }$A$\textit{\ la matriz de los coeficientes y }$M$%
|
|
\textit{\ la matriz ampliada. Entonces:}%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{array}{lll}
|
|
rgA\neq rgM & \Leftrightarrow &
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\text{\textit{el sistema es incompatible (S.I.)}} \\
|
|
\text{\textit{(no tiene soluci\'{o}n)}}%
|
|
\end{array}
|
|
\\
|
|
& & \\
|
|
rgA=rgM=n & \Leftrightarrow &
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\text{\textit{el sistema es compatible determinado (S.C.D.)}} \\
|
|
\text{\textit{(tiene s\'{o}lo una \'{u}nica soluci\'{o}n)}}%
|
|
\end{array}
|
|
\\
|
|
& & \\
|
|
rgA=rgM<n & \Leftrightarrow &
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\text{\textit{el sistema es compatible indeterminado (S.C.I.)}} \\
|
|
\text{\textit{(tiene infinitas soluciones)}}%
|
|
\end{array}%
|
|
\end{array}%
|
|
\end{equation*}%
|
|
Este resultado se conoce como \textbf{teorema de Rouch\'{e}-Frobenius}.
|
|
\end{theorem}
|
|
|
|
As\'{\i} pues, para saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene soluci%
|
|
\'{o}n o no debe calcularse en primer lugar los valores de $rgA$ y de $rgM$,
|
|
y proceder a continuaci\'{o}n a su clasificaci\'{o}n seg\'{u}n la tabla
|
|
anterior.
|
|
|
|
\begin{claim}
|
|
Una observaci\'{o}n importante es que el rango de $M$ es siempre mayor o
|
|
igual que el rango de $A$, es decir,%
|
|
\begin{equation*}
|
|
rgM\geq rgA
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{claim}
|
|
En los sistemas de ecuaciones homog\'{e}neos (aquellos en que los t\'{e}%
|
|
rminos independientes son todos nulos), se verifica siempre que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
rgM=rgA
|
|
\end{equation*}%
|
|
Por ello, los sistemas homog\'{e}neos son siempre compatibles.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
Veamos un ejemplo de c\'{o}mo se aplica el criterio de Rouch\'{e}-Frobenius.
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Sea el sistema de ecuaciones%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rcr}
|
|
2x-y+z & = & 0 \\
|
|
x+3z & = & -2 \\
|
|
3x-y+4z & = & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Para determinar qu\'{e} tipo de sistema es debemos calcular los rangos de%
|
|
\begin{equation*}
|
|
A=\left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -1 & 1 \\
|
|
1 & 0 & 3 \\
|
|
3 & -1 & 4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right) \text{ \ \ \ \ y \ \ \ }M=\left(
|
|
\begin{array}{rrrr}
|
|
2 & -1 & 1 & 0 \\
|
|
1 & 0 & 3 & -2 \\
|
|
3 & -1 & 4 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right)
|
|
\end{equation*}%
|
|
Para calcular el rango de $A$ tomamos un elemento de la matriz no nulo; por
|
|
ejemplo, el primer elemento, el $2$, y lo orlamos:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rr}
|
|
2 & -1 \\
|
|
1 & 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =1\neq 0
|
|
\end{equation*}%
|
|
Como este menor es no nulo, tenemos que $rgA$ es, al menos, $2$. Orlamos
|
|
este \'{u}ltimo menor de la \'{u}nica manera posible, y obtenemos que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -1 & 1 \\
|
|
1 & 0 & 3 \\
|
|
3 & -1 & 4%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0
|
|
\end{equation*}%
|
|
Por tanto, $rgA=2$.
|
|
|
|
Procediendo del mismo modo para el c\'{a}lculo de $rgM$, y tomando tambi\'{e}%
|
|
n como punto de partida el n\'{u}mero $2$ y orlando este como antes, se
|
|
obtiene que el otro menor de orden $3$ que sirve de orla es%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -1 & 0 \\
|
|
1 & 0 & -2 \\
|
|
3 & -1 & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =0
|
|
\end{equation*}%
|
|
As\'{\i} pues, todas las orlas de orden $3$ en la matriz $M$ son nulas, con
|
|
lo que se concluye que $rgM=2$.
|
|
|
|
Este sistema es compatible determinado, ya que $rgA=rgM=2<3=$ n\'{u}mero de
|
|
inc\'{o}gnitas. Tiene, por tanto, infinitas soluciones.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Clasifica el siguiente sistema%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rcr}
|
|
2x-3y+z & = & 0 \\
|
|
x-3z & = & 3 \\
|
|
3x-3y-2z & = & 3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Discusi\'{o}n de un sistema de ecuaciones en funci\'{o}n de un
|
|
par\'{a}metro}
|
|
|
|
Cuando en un sistema aparece un par\'{a}metro en alg\'{u}n o algunos de los
|
|
coeficientes o de los t\'{e}rminos independientes del sistema, la clasificaci%
|
|
\'{o}n de este depende, por lo general, del valor que demos a ese par\'{a}%
|
|
metro.
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Sea el sistema de ecuaciones%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{rcr}
|
|
2x-3y+5z & = & 0 \\
|
|
x-3z & = & -2 \\
|
|
3x-\alpha y+2z & = & -2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Estudiemos los valores de los rangos de su matriz de coeficientes y de la
|
|
matriz ampliada en funci\'{o}n del par\'{a}metro $\alpha $.
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert A\right\vert =\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
2 & -3 & 5 \\
|
|
1 & 0 & -3 \\
|
|
3 & -\alpha & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =33-11\alpha
|
|
\end{equation*}%
|
|
Por ello, $\left\vert A\right\vert $ valdr\'{a} cero si $33-11\alpha =0,$ es
|
|
decir, si $\alpha =3$. De aqu\'{\i} se sigue la siguiente conclusi\'{o}n:
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[Caso 1] Si $\alpha \neq 3$, entonces se tiene que $\left\vert
|
|
A\right\vert \neq 0$, por lo que hemos hallado un menor de orden $3$
|
|
diferente de cero. Puesto que no hay menores de orden $4$, podemos asegurar
|
|
que $rgA=3$. Adem\'{a}s, como el rango de $M$ es siempre mayor o igual que
|
|
el de $A$, y en $M$ no hay menores de orden $4$, deducimos tambi\'{e}n que $%
|
|
rgM=3$. As\'{\i} pues, si $\alpha \neq 3$ concluimos que $rgA=rgM=3=$ n\'{u}%
|
|
< |