Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
 
 

3726 lines
87 KiB

\part{\`{A}lgebra lineal}
\chapter{Matrius}
\section{Definicions}
\begin{definition}
Una \textbf{matriu} \'{e}s una colecci\'{o} de n\'{u}meros disposats en
files i columnes. Es diu \textbf{quadrada} si aquesta disposici\'{o} t\'{e}
tantes files com columnes; en cas contrari es diu \textbf{rectangular}.
\end{definition}
\begin{example}
S\'{o}n exemples de matrius les seg\"{u}ents:%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 0 \\
\pi & 12 & -4%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left(
\begin{array}{rr}
-3 & 3 \\
5 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
La primera \'{e}s una matriu rectangular i la segona \'{e}s una matriu
quadrada.
\end{example}
\begin{definition}
L'\textbf{orde} d'una matriu \'{e}s el n\'{u}mero de files i columnes que t%
\'{e}, i s'escriu de la forma $n\times m$, on $n$ \'{e}s el n\'{u}mero de
files i $m$ \'{e}s el n\'{u}mero de columnes.
\end{definition}
En el cas de les matrius quadrades -\'{e}s a dir, aquelles que tenen tantes
files com columnes- es sol indicar el seu orde \'{u}nicament amb el numero
de files (o columnes).
\begin{example}
A l'exemple anterior la primera \'{e}s d'orde $2\times 3$, i la segona \'{e}%
s d'orde $2\times 2$, o b\'{e}, simplement, d'orde $2$.
\end{example}
\begin{definition}
Una matriu \'{e}s diu \textbf{matriu fila} si nom\'{e}s t\'{e} una fila, i
\textbf{matriu columna} si nom\'{e}s t\'{e} una columna.
\end{definition}
\begin{example}
Les matrius%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{llll}
0 & -3 & 2 & 4%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left(
\begin{array}{r}
3 \\
-5%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
s\'{o}n matrius fila i columna respectivament.
\end{example}
\begin{definition}
S'anomena \textbf{diagonal principal} d'una matriu quadrada al conjunt
d'elements que van del v\`{e}rtex superior esquerre a l'inferior de la dreta.
\end{definition}
\begin{example}
A la matriu%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rrr}
3 & -2 & 0 \\
5 & -1 & 5 \\
-1 & 4 & 7%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
els n\'{u}meros $3,-1$ i $7$ s\'{o}n els que formen la diagonal principal.
\end{example}
\begin{definition}
Es diu \textbf{matriu unitat} a aquella matriu quadrada en la qual tots els
elements de la diagonal principal s\'{o}n uns i la resta d'elements son
zeros:%
\begin{equation*}
I_{2}=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1%
\end{array}%
\right) ,\text{ }I_{3}=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) ,\text{ }I_{4}=...
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{definition}
Direm que dues matrius s\'{o}n \textbf{iguals} si s\'{o}n del mateix orde i
els seus elements respectius s\'{o}n iguals.
\end{definition}
\begin{example}
Per exemple, les matius
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 0 \\
\pi & 12 & -4%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3-3 \\
\pi & 24/2 & -4%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
s\'{o}n iguals.
\end{example}
\begin{exercise}
Calcula el valor de $x$ perqu\`{e} les matrius $A$ i $B$ siguin iguals, amb%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{cc}
3 & -x+4 \\
-2 & 0%
\end{array}%
\right) \text{ \ i \ }B=\left(
\begin{array}{rr}
3 & 0 \\
-2 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\section{Operacions amb matrius}
A continuaci\'{o} es defineixen les operacions que es poden realitzar amb
matrius.
\subsection{Suma i difer\`{e}ncia de matrius}
\begin{definition}
La \textbf{suma} (i \textbf{difer\`{e}ncia}) de dues matius del mateix orde
es fa sumant (i restant, respectivament) els elements respectius.
\end{definition}
\begin{example}
Vegem una difer\`{e}ncia de matrius:%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rr}
-3 & 3 \\
5 & 2%
\end{array}%
\right) -\left(
\begin{array}{rr}
-1 & 5 \\
5 & 0%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{cc}
-3-\left( -1\right) & 3-5 \\
5-5 & 2-0%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{rr}
-2 & -2 \\
0 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
La suma es fa de manera an\`{a}loga.
\end{example}
\begin{exercise}
Calcula $A-B$ i $-A+B$, amb%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 3 \\
0 & -4 & 2%
\end{array}%
\right) ,\text{ \ }B=\left(
\begin{array}{rrr}
-1 & -2 & -3 \\
5 & 4 & -5%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\subsection{Multiplicaci\'{o} d'un n\'{u}mero per una matriu}
\begin{definition}
Per \textbf{multiplicar un n\'{u}mero per una matriu} es multiplica aquell n%
\'{u}mero per cadascun dels elements de la matriu.
\end{definition}
\begin{example}
\begin{equation*}
-5\text{$\cdot $}\left(
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 0 \\
\pi & 12 & -4%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{ccc}
-5\text{$\cdot $}1 & -5\text{$\cdot $}\left( -2\right) & -5\text{$\cdot $}0
\\
-5\pi & -5\text{$\cdot $}12 & -5\text{$\cdot $}\left( -4\right)%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{rrr}
-5 & 10 & 0 \\
-5\pi & -60 & 20%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}
Calcula%
\begin{equation*}
-3\cdot \left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 3 \\
0 & -4 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\subsection{Producte de dues matrius}
No sempre \'{e}s possible multiplicar dues matrius. Per aquest motiu, abans
de definir la multiplicaci\'{o} de dues matrius hem de veure quina condici%
\'{o} han de cumplir les matrius que volem multiplicar per a que aquesta
operaci\'{o} es pugui fer.
\begin{condition}
\textbf{(del producte de dues matrius) }Per poder multiplicar dues matrius
s'ha de cumplir el seg\"{u}ent: el n\'{u}mero de columnes de la primera
matriu (la que es col\textperiodcentered loca a l'esquerra) ha de coincidir
amb el n\'{u}mero de files de la segona (la que es col\textperiodcentered
loca a la dreta).
\end{condition}
Aquesta condici\'{o}, a m\'{e}s de ser necess\`{a}ria per a la multiplicaci%
\'{o} de dues matrius, \'{e}s suficient.
Degut a qu\`{e} el n\'{u}mero de files i de columnes de dues matrius poden
ser qualssevols, pot succeir que es pugui calcular el producte $A\cdot B$ de
les matrius $A$ i $B$, per\`{o} que no es pugui calcular $B\cdot A$.
Vegem ara com es mulipliquen dues matrius.
\begin{definition}
Siguin $A$ una matriu d'orde $n\times m$ i $B$ una matriu d'orde $m\times p$%
. Siguin%
\begin{equation*}
\left( a_{i1}\text{ \ }a_{i2}\text{ }...\text{ }a_{im}\right) \text{ i }%
\left(
\begin{array}{c}
b_{1j} \\
b_{2j} \\
\vdots \\
b_{mj}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
la fila $i-$\`{e}sima de la matriu $A$ i la columna $j-$\`{e}sima de la
matriu $B$ respectivament. Alehores, l'element $c_{ij}$ -\'{e}s a dir, el
que es troba a la intersecci\'{o} de la fila $i-$\`{e}sima i la columna $j-$%
\`{e}sima- del producte $A\cdot B$ es calcula de la seg\"{u}ent manera:%
\begin{equation*}
c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+...+a_{im}\cdot b_{mj}
\end{equation*}%
Amb aquesta definici\'{o}, l'orde de la matriu $A\cdot B$ \'{e}s $n\times p$%
. Esquem\`{a}ticament:%
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccc}
A & \cdot & B & = & AB \\
n\times m & & m\times p & & n\times p%
\end{array}%
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{example}
\begin{multline*}
\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 1%
\end{array}%
\right) \text{$\cdot $}\left(
\begin{array}{rrr}
-2 & -1 & 0 \\
3 & 5 & 2 \\
-4 & 0 & 6%
\end{array}%
\right) = \\
\left(
\begin{array}{ccc}
2(-2)+0\text{$\cdot $}3+(-3)(-4) & 2(-1)+0\text{$\cdot $}5+(-3)\text{$\cdot $%
}0 & 2\text{$\cdot $}0+0\text{$\cdot $}2+(-3)\text{$\cdot $}6 \\
& & \\
0(-2)+1\text{$\cdot $}3+1(-4) & 0(-1)+1\text{$\cdot $}5+1\text{$\cdot $}0 & 0%
\text{$\cdot $}0+1\text{$\cdot $}2+1\text{$\cdot $}6%
\end{array}%
\right) = \\
\left(
\begin{array}{rrr}
8 & -2 & -18 \\
-1 & 5 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{multline*}%
\'{E}s a dir, l'element que ha d'anar, per exemple, a la $\mathit{2a}$ fila
i $\mathit{1a}$ columna es calcula sumant els productes dels elements de la $%
\mathit{2a}$ fila de la primera matriu amb els elements de la $\mathit{1a}$
columna de la segona matriu.
\end{example}
\begin{exercise}
Calcula els seg\"{u}ents productes de matrius:%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rrr}
-2 & -1 & 0 \\
3 & 5 & 2 \\
-4 & 0 & 6%
\end{array}%
\right) \cdot \left(
\begin{array}{rr}
-1 & 2 \\
0 & -5 \\
3 & 2%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left(
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
0 & 8%
\end{array}%
\right) \cdot \left(
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left(
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1%
\end{array}%
\right) \cdot \left(
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
0 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\subsection{Trasposici\'{o} d'una matriu}
\begin{definition}
La \textbf{trasposici\'{o}} d'una matriu \'{e}s l'operaci\'{o} per la qual
es canvien de manera ordenada les files per les columnes (i viceversa). La
matriu trasposada de la matriu $A$ es representa per $A^{t}$.
\end{definition}
\begin{example}
La matriu trasposada de la matriu%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
8 & -2 & -18 \\
-1 & 5 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
\'{e}s la matriu%
\begin{equation*}
A^{t}=\left(
\begin{array}{rr}
8 & -1 \\
-2 & 5 \\
-18 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}
Escriu la traposta de la matriu%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 15 & 6 \\
1 & 2 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\section{Propietats de les operacions amb matrius}
\subsection{Propietats de la suma de matrius}
Siguin $A,B$ i $C$ matrius d'orde $m\times n$. Aleshores, es cumpleixen les
seg\"{u}ents propietats:
\begin{description}
\item[(a)] Associativa:%
\begin{equation*}
\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
\end{equation*}
\item[(b)] Commutativa:%
\begin{equation*}
A+B=B+A
\end{equation*}
\end{description}
\subsection{Propietats del producte de n\'{u}meros per matrius}
Siguin $a$ i $b$ n\'{u}meros reals, i $A$ i $B$ matrius d'orde $m\times n$.
Aleshores, es cumpleixen les seg\"{u}ents propietats:
\begin{description}
\item[(a)] $a\cdot \left( b\text{$\cdot $}A\right) =\left( a\text{$\cdot $}%
b\right) \cdot A$
\item[(b)] $\left( a+b\right) \cdot A=a\cdot A+b\cdot A$
\item[(c)] $a\cdot \left( A+B\right) =a\cdot A+a\cdot B$
\item[(d)] $1\cdot A=A$
\end{description}
\subsection{Propietats del producte de matrius}
\begin{description}
\item[(a)] $\left( A_{m\times n}\text{$\cdot $}B_{n\times p}\right) \cdot
C_{p\times q}=A_{m\times n}\cdot \left( B_{n\times p}\text{$\cdot $}%
C_{p\times q}\right) $
\item[(b)] $A_{m}\cdot I$$_{m}=I_{m}\cdot A_{m}=A_{m}$
\end{description}
En general, com ja hem observat, $A\cdot B\neq B\cdot A$.
\subsection{Propietats distributives}
\begin{description}
\item[(a)] $A_{m\times n}\cdot \left( B_{n\times p}+C_{n\times p}\right)
=A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}+A_{m\times n}\cdot C_{n\times p}$
\item[(b)] $\left( A_{m\times n}+B_{m\times n}\right) \cdot C_{n\times
p}=A_{m\times n}\cdot C_{n\times p}+B_{m\times n}\cdot C_{n\times q}$
\end{description}
\subsection{Propietats de la trasposici\'{o} de matrius}
\begin{description}
\item[(a)] $\left( A_{m\times n}+B_{m\times n}\right) ^{t}=\left( A_{m\times
n}\right) ^{t}+\left( B_{m\times n}\right) ^{t}$
\item[(b)] $\left( A_{m\times n}\text{$\cdot $}B_{n\times p}\right)
^{t}=\left( B_{n\times p}\right) ^{t}\cdot \left( A_{m\times n}\right) ^{t}$
\end{description}
\section{Exercicis proposats}
\begin{exercise}
Donades les matrius%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & -3 \\
-2 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left(
\begin{array}{rr}
2 & 0 \\
-2 & 1 \\
2 & 1%
\end{array}%
\right) ,
\end{equation*}%
calcula, si \'{e}s possible, $AB$ i $BA$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Calcula $3AA^{t}-2I$, amb%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & -3 \\
-2 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Troba dues matrius $X$ i $Y$ que verifiquin el seg\"{u}ent sistema:%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{ccc}
2X-3Y & = & \left(
\begin{array}{rr}
1 & 5 \\
2 & 4%
\end{array}%
\right) \\
& & \\
X-Y & = & \left(
\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
3 & 6%
\end{array}%
\right)%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Comprova que $(A\cdot B)^{t}=B^{t}\cdot A^{t}$ amb les matrius%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rr}
1 & 5 \\
2 & 4%
\end{array}%
\right) \text{ i }B=\left(
\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
3 & 6%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Determina els valors de $m$ per als quals es verifica que $X^{2}-\frac{5}{2}%
X+I=\mathbf{0}$, amb%
\begin{equation*}
X=\left(
\begin{array}{rr}
m & 0 \\
0 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Determina $a$ i $b$ de forma que es verifiqui que $A^{2}=A$ amb%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
a & b%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Troba totes les matrius $X$ de la forma%
\begin{equation*}
X=\left(
\begin{array}{rrr}
a & 1 & 0 \\
0 & b & 1 \\
0 & 0 & c%
\end{array}%
\right) \text{ tals que }X^{2}=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Calcula dos n\'{u}meros reals $m$ y $n$ tals que $A+mA+nI=\mathbf{0}$ si%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
2 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Siguin $A$ i $B$ les matrius%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 0 \\
2 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left(
\begin{array}{rrr}
a & b & 0 \\
c & c & 0 \\
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Troba les condicions que han de cumplir els coeficientes $a,b$ i $c$ perqu%
\`{e} es verifiqui que $AB=BA$.
\end{exercise}
\chapter{Determinants}
Un determinant \'{e}s el valor associat, segons determinades regles, a una
disposici\'{o} de n\'{u}meros en forma d'$n$ files i $n$ columnes. Exemples
d'aquesta disposici\'{o} s\'{o}n els seg\"{u}ents:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
3 & -5 \\
2 & -1%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
Observem que aquestes expressions es diferencien de les matrius pel fet que
aqu\'{\i} el conjunt de n\'{u}meros queda tancat per dues l\'{\i}nees
verticals; en el cas de les matrius, aquest tancament es fa amb par\`{e}%
ntesis.
A continuaci\'{o} veurem quins s\'{o}n aquest valors num\`{e}rics associats
a cadascuna d'aquestes expressions.
Per comen\c{c}ar, vegem les definicions de determinants d'orde $2$ i d'orde $%
3$.
\section{Determinants d'ordes 2 i 3}
\begin{definition}
\textbf{Determinants d'orde }$2$:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}%
\end{array}%
\right\vert =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}
\end{definition}
Observem que el determinant d'orde $2$ se sembla a les matrius d'orde $2$,
per\`{o} que, en realidad, no \'{e}s una matriu, sin\'{o} un n\'{u}mero, com
queda patent per la seva f\'{o}rmula.
\begin{example}
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
3 & -5 \\
2 & -1%
\end{array}%
\right\vert =3\text{$\cdot $}(-1)-(-5)\text{$\cdot $}2=-3+10=7
\end{equation*}
\end{example}
Notem que, dels dos termes de qu\`{e} es composa el determinant d'orde 2, el
que va precedit del signe positiu (\'{e}s a dir, sense signe visible) \'{e}s
aquell que cont\'{e} els elements que "cauen" cap a la dreta, i el terme
precedit pel signe $-$ \'{e}s aquell que cont\'{e} els elements que "cauen"
cap a l'esquerra. A m\'{e}s, cadascun dels dos termes esta format per
elements de diferents files i diferents columnes.
\begin{exercise}
Calcula%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
-3 & -1 \\
2 & -1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{definition}
\textbf{Determinants d'orde }$3$:%
\begin{multline*}
\left\vert
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{array}%
\right\vert = \\
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}
\end{multline*}
\end{definition}
Aquesta f\'{o}rmula es coneix com la \textbf{regla de Sarrus. }Notem que,
dels termes de qu\`{e} es composa el determinant d'orde 3, els que van
precedits del signe positiu s\'{o}n aquells que contenen els elements del
determinant que \textit{cauen} cap a la dreta, i els termes precedits pel
signe $-$ s\'{o}n aquells que contenen els elements que \textit{cauen} cap a
l'esquerra. A m\'{e}s, cadascun dels termes est\`{a} format per elements
tant de diferents files com de diferents columnes. Gr\`{a}ficament:
%TCIMACRO{%
%\FRAME{ftbphF}{3.5068in}{1.5013in}{0pt}{}{}{Figure}{%
%\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 3.5068in;height 1.5013in;depth 0pt;original-width 3.627in;original-height 1.5368in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'MBFNA300.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}[hptb]\begin{center}
\includegraphics[natheight=1.5368in, natwidth=3.627in, height=1.5013in, width=3.5068in]{./graphics/MBFNA300__1.pdf}
\end{center}\end{figure}
%EndExpansion
\begin{example}
\begin{multline*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert = \\
1\text{$\cdot $}(2)\text{$\cdot $}(-2)+5\text{$\cdot $}0\text{$\cdot $}(-1)+3%
\text{$\cdot $}4\text{$\cdot $}(-3)-(-3)\text{$\cdot $}2\text{$\cdot $}(-1)-5%
\text{$\cdot $}3\text{$\cdot $}(-2)-0\text{$\cdot $}4\text{$\cdot $}1= \\
-4-36-6+30=-16
\end{multline*}
\end{example}
Els determinants d'orde superior a 3, dels quals no hem donat una definici%
\'{o}, es solen calcular amb les propietats que es veuran m\'{e}s endavant.
\begin{exercise}
Calcula%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
10 & -5 & 3 \\
-3 & 2 & 0 \\
4 & -3 & -2%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\section{Adjunt d'un element d'un determinant}
\begin{definition}
S'anomena \textbf{menor complementari} \textbf{d'un element} d'un
determinant al determinant que resulta de suprimir la fila i la columna a
les quals pertany aquell element.
\end{definition}
\begin{example}
El menor complementari del n\'{u}mero $2$ del seg\"{u}ent determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & -3 & 4 \\
3 & 5 & 0 & 0 \\
-4 & 2 & 3 & 1 \\
-6 & 1 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
\'{e}s el determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 4 \\
3 & 0 & 0 \\
-6 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert ,
\end{equation*}%
donat que hem llevat la tercera fila i la segona columna.
\end{example}
\begin{definition}
S'anomena \textbf{adjunt d'un element }al menor complementari precedit del
signe $+$ o $-$ segons el seg\"{u}ent esquema:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cccc}
+ & - & + & ... \\
- & + & - & ... \\
+ & - & + & ... \\
. & . & . & .%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{example}
A l'exemple anterior, l'adjunt del $2$ \'{e}s%
\begin{equation*}
-\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 4 \\
3 & 0 & 0 \\
-6 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert ,
\end{equation*}%
el valor del qual \'{e}s $-27$.
\end{example}
\begin{exercise}
Calcula l'adjunt de l'element central del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
6 & -1 & 0 \\
-2 & 0 & -3 \\
6 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\section{Propietats dels determinats}
\begin{definition}
S'anomena \textbf{l\'{\i}nea }d'un determinant a qualsevol fila o columna
del determinant.
\end{definition}
Vegem a continuaci\'{o} les propietats dels determinats.
\begin{enumerate}
\item \textit{El determinant d'una matriu }$A$ \textit{(quadrada) \'{e}s
igual al determinant de la seva matriu trasposada, \'{e}s a dir,}%
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert A^{t}\right\vert
\end{equation*}
Per exemple, si
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
es t\'{e} que
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-16,\text{ \ i \ }\left\vert A^{t}\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 3 & -1 \\
5 & 2 & 4 \\
-3 & 0 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-16
\end{equation*}
\item \textit{Si un determinant t\'{e} tots els elements d'una l\'{\i}nea
qualsevol iguals a zero, el determinat val }$0.$
Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 3 & 0 \\
-1 & -2 & 0 \\
7 & 3 & 0%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}
\item \textit{Si es permuten dues l\'{\i}nees paral\textperiodcentered leles
d'un determinant, aquest canvia de signe.}
Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-16\text{ \ i \ }\left\vert
\begin{array}{rrr}
5 & 1 & -3 \\
2 & 3 & 0 \\
4 & -1 & -2%
\end{array}%
\right\vert =16
\end{equation*}
\item \textit{Un determinant que t\'{e} dues l\'{\i}nees
paral\textperiodcentered les iguals val }$0.$
Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
5 & 5 & -3 \\
2 & 2 & 0 \\
4 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}
\item \textit{Si es multipliquen tots els elements d'una l\'{\i}nea d'un
determinant per un mateix n\'{u}mero, el valor del determinant queda
multiplicat per aquest n\'{u}mero.}
Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-16
\end{equation*}%
i%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
6 & 4 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-32
\end{equation*}%
ja que en aquest determinant hem multiplicat tots els elements de la segona
fila per $2.$
\begin{claim}
\textbf{(Extracci\'{o} de factor com\'{u} a un determinat) }Aquesta
propietat es fa servir per treure factor com\'{u} d'un determinant; aquesta
operaci\'{o} s'ha de fer l\'{\i}nea a l\'{\i}nea quan s'aplica m\'{e}s d'una
vegada a un mateix determinant.
Per exemple:%
\begin{multline*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 10 & -6 \\
6 & 4 & 0 \\
-2 & 8 & -4%
\end{array}%
\right\vert =2\text{$\cdot $}\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 10 & -6 \\
6 & 4 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert = \\
2\text{$\cdot $}2\text{$\cdot $}\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 10 & -6 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =2\text{$\cdot $}2\text{$\cdot $}2\text{$\cdot $}\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert
\end{multline*}
\end{claim}
\begin{exercise}
Treu tot el factor com\'{u} que es pugui del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
6 & -18 \\
-4 & 15%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\item \textit{Si els elements de dues l\'{\i}nees paral\textperiodcentered
leles d'un determinant s\'{o}n proporcionals, el determinant val }$0$.
Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & 5 \\
3 & 2 & 15 \\
-1 & 4 & -5%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}%
ja que la tercera columna \'{e}s igual a la primera multiplicada per $5$.
\item \textit{Si tots els elements d'una l\'{\i}nea d'un determinant estan
formats per la suma de dos sumands, aquest determinant es pot descomposar
com la suma de dos determinants que tenen els mateixos elements que el
determinant donat, excepte els corresponents a aquella l\'{\i}nea, de tal
manera que en el primer determinant aquella est\`{a} formada pels primers
sumands i en el segon determinant pels segons sumands.}
Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
2-1 & 5 & -3 \\
1+2 & 2 & 0 \\
-1+0 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 5 & -3 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert +\left\vert
\begin{array}{rrr}
-1 & 5 & -3 \\
2 & 2 & 0 \\
0 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\item \textit{Si els elements d'una l\'{\i}nea s\'{o}n combinaci\'{o} lineal
de les altres l\'{\i}nees paral\textperiodcentered leles, \'{e}s a dir, si
els elements d'una l\'{\i}nea resulten de sumar els elements de les altres l%
\'{\i}nees paral\textperiodcentered leles previament multiplicades per n\'{u}%
meros reals, el determinant val }$0.$
Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-6 & 0 & -3 & 4 \\
5 & 5 & 0 & 0 \\
8 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}%
ja que la primera columna resulta de sumar la segona columna multiplicada
per 1 i la tercera per 2 (i la quarta multiplicada per $0$).
\item \textit{Si un determinant val }$0$, \textit{aleshores t\'{e} una fila
(i columna) que \'{e}s combinaci\'{o} lineal de les altre files (i columnes).%
}
\item \textit{Si als elements d'una l\'{\i}nea d'un determinant se li sumen
els elements d'una/es altra/es l\'{\i}nea/es paral\textperiodcentered
lela/es previament multiplicada/es per un n\'{u}mero/s real/s, el valor del
determinant no varia.}
Per exemple, els determinants
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
2 & 5 \\
-3 & 0%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{rr}
2 & 5 \\
-7 & -10%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
tenen el mateix valor, ja que el segon determinant resulta de sumar en el
primer determinant a la segona fila la primera multiplicada per $-2$.
\item \textit{El valor d'un determinant \'{e}s igual a la suma dels
productes dels elements d'una l\'{\i}nea qualsevol pels seus adjunts
corresponents.}
Per exemple, desenvolupem el seg\"{u}ent determinant pels adjunts de la
tercera columna (es pot triar qualsevol altra l\'{\i}nea):%
\begin{multline*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 0 & -2 \\
5 & 5 & 0 \\
8 & 2 & 3%
\end{array}%
\right\vert = \\
-2\text{$\cdot $}\left( \left\vert
\begin{array}{rr}
5 & 5 \\
8 & 2%
\end{array}%
\right\vert \right) +0\text{$\cdot $}\left( -\left\vert
\begin{array}{rr}
-6 & 0 \\
8 & 2%
\end{array}%
\right\vert \right) +3\text{$\cdot $}\left( \left\vert
\begin{array}{rr}
-6 & 0 \\
5 & 5%
\end{array}%
\right\vert \right) = \\
\\
-2\text{$\cdot $}\left( -30\right) +0+3\text{$\cdot $}\left( -30\right) =-30
\end{multline*}
\item \textit{El determinant del producte de dues matrius \'{e}s igual al
producte dels seus determinants, \'{e}s a dir,}%
\begin{equation*}
\left\vert A\text{$\cdot $}B\right\vert =\left\vert A\right\vert \text{$%
\cdot $}\left\vert B\right\vert
\end{equation*}
Per exemple, donades les matrius%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rr}
-1 & 2 \\
0 & 3%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left(
\begin{array}{rr}
4 & -2 \\
1 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
tenim que%
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =-3,\text{ }\left\vert B\right\vert =2,
\end{equation*}%
i, per tant,%
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert \text{$\cdot $}\left\vert B\right\vert =-6,
\end{equation*}%
que coincideix amb%
\begin{equation*}
\left\vert A\text{$\cdot $}B\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rr}
-2 & 2 \\
3 & 0%
\end{array}%
\right\vert =-6
\end{equation*}
\end{enumerate}
\section{Determinants d'orde superior a 3}
Si b\'{e} no donarem la definici\'{o} formal dels determinats d'orde
superior a 3, s\'{\i} podem calcular el seu valor. Per a aquest c\`{a}lcul
farem servir la propietat $11$ dels determinants, tal com es mostra en el seg%
\"{u}ent exemple.
\begin{example}
Calcularem el valor del seg\"{u}ent determinant desenvolupant-lo pels
adjunts dels elements de la quarta columna (ho podr\'{\i}em fer pels adjunts
de qualsevol altra l\'{\i}nea):%
\begin{multline*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-6 & 0 & -3 & 4 \\
5 & 5 & 0 & 0 \\
8 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert =4\text{$\cdot $}\left( -\left\vert
\begin{array}{rrr}
5 & 5 & 0 \\
8 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right\vert \right) +0\text{$\cdot $}\left( \left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 0 & -3 \\
8 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right\vert \right) \\
+1\text{$\cdot $}\left( -\left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 0 & -3 \\
5 & 5 & 0 \\
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right\vert \right) +3\text{$\cdot $}\left( \left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 0 & -3 \\
5 & 5 & 0 \\
8 & 2 & 3%
\end{array}%
\right\vert \right) \\
=4\text{$\cdot $}0+0+1\text{$\cdot $}0+3\text{$\cdot $}0=0
\end{multline*}
\end{example}
Observem que amb aquest m\`{e}tode \'{e}s convenient triar aquella l\'{\i}%
nea que contengui m\'{e}s zeros, ja que per a aquests no \'{e}s necessari
tan sols calcular el seu adjunt.
\begin{exercise}
Calcula el valor del seg\"{u}ente determinant:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 0 & -6 \\
4 & -4 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 8 & 3 \\
-5 & -1 & 3 & -2%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
D'altra banda, aquest m\`{e}tode pot ser bastant engorr\'{o}s, donat que
s'han de calcular 4 adjunts d'orde 3 si el determinant inicial \'{e}s d'orde
4, 5 adjunts d'orde 4 si el determinant inicial \'{e}s d'orde 5, ... Aix%
\'{\i}, abans d'aplicar aquest m\`{e}tode \'{e}s convenient transformar el
determinant inicial en un altre que tengui el mateix valor per\`{o} que
permeti l'aplicaci\'{o} del m\`{e}tode sense necessitat de fer tants de c%
\`{a}lculs. Aix\`{o} s'aconsegueix amb la regla de Chio:
\begin{algorithm}
\textbf{(Regla de Chio) }Aquest algoritme permet transformar un determinant
qualsevol en un altre del mateix valor de tal manera que nom\'{e}s s'hagi de
calcular un dels seus adjunts. Aix\`{o} es fa seguint les seg\"{u}ents
passes:
\begin{enumerate}
\item Es tria aquella l\'{\i}nea que contengui m\'{e}s zeros; si n'hi ha m%
\'{e}s d'una amb el mateix n\'{u}mero de zeros, sol \'{e}sser convenient
triar aquella que tengui qualque $1$ o $-1$ (si \'{e}s el cas),
\item es multiplica la l\'{\i}nea perpendicular a l'anterior i que cont\'{e}
l'$1$ o el $-1$ pel n\'{u}mero que faci falta per a qu\`{e} aquest producte,
sumat a la l\'{\i}nea que cont\'{e} m\'{e}s zeros, n'aconsegueixi un altre
all\`{a} on no n'hi havia. Aix\`{o} es repeteix tantes vegades com sigui
possible per tal d'obtenir el major n\'{u}mero de zeros.
\end{enumerate}
\end{algorithm}
\begin{example}
Anem a calcular el determinant seg\"{u}ent aplicant la regla de Chio.
Triarem la primera fila (que cont\'{e} un $-1$ i un $0$), i anirem
multiplicant la segona columna (que cont\'{e} el $-1$ de la primera fila) i
sumant aquest producte a les columnes restants:
\begin{multline*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 0 & -6 \\
4 & -4 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 8 & 3 \\
-5 & -1 & 3 & -2%
\end{array}%
\right\vert \overset{C_{1}\rightarrow C_{1}+2C_{2}}{=}\left\vert
\begin{array}{rrrr}
0 & -1 & 0 & -6 \\
-4 & -4 & 2 & 3 \\
12 & 6 & 8 & 3 \\
-7 & -1 & 3 & -2%
\end{array}%
\right\vert \overset{C_{4}\rightarrow C_{4}-6C_{2}}{=} \\
\\
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
0 & -1 & 0 & 0 \\
-4 & -4 & 2 & 27 \\
12 & 6 & 8 & -33 \\
-7 & -1 & 3 & 4%
\end{array}%
\right\vert =-1\cdot \left( -\left\vert
\begin{array}{rrr}
-4 & 2 & 27 \\
12 & 8 & -33 \\
-7 & 3 & 4%
\end{array}%
\right\vert \right) =2326
\end{multline*}%
Com s'observa, despr\'{e}s d'aquest proc\'{e}s nom\'{e}s es calcula un \'{u}%
nic menor.
\end{example}
\begin{exercise}
Aplica la regla de Chio per calcular el seg\"{u}ent determinant:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
4 & 2 & 1 & 3 \\
-1 & -3 & 0 & -2 \\
0 & 5 & -3 & 8 \\
6 & 7 & 3 & -1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\section{Matriu inversa d'una matriu quadrada}
\begin{definition}
S'anomena \textbf{matriu inversa d'una matriu quadrada} $A$ d'orde $n$ a
aquella matriu quadrada, tamb\'{e} d'orde $n$, i denotada per $A^{-1}$, que
cumpleix les seg\"{u}ents condicions:%
\begin{eqnarray*}
A\cdot A^{-1} &=&I_{n} \\
&& \\
A^{-1}\cdot A &=&I_{n}
\end{eqnarray*}
\end{definition}
El t\'{\i}tol d'aquest apartat ja ens d\'{o}na una idea de quins tipus de
matrius poden tenir matriu inversa: les matrius quadrades s\'{o}n les \'{u}%
niques matrius que en poden tenir, si b\'{e} no totes elles en tenen.
\begin{proposition}
La condici\'{o} necess\`{a}ria i suficient que ens assegura que una matriu
quadrada $A$ t\'{e} inversa ve donada per la seg\"{u}ent doble implicaci\'{o}%
:%
\begin{equation*}
A\text{ t\'{e} inversa}\iff \left\vert A\right\vert \neq 0
\end{equation*}%
Expressat amb paraules, \textit{si una matriu quadrada t\'{e} inversa,
aleshores el seu determinant \'{e}s diferent de zero, i, en sentit contrari,
si el determinant d'una matriu quadrada no val zero, aleshores aquesta
matriu t\'{e} inversa.}
\end{proposition}
Com es calcula la matriu inversa d'una matriu quadrada? A continuaci\'{o}
donam un algoritme que permet calcular-la:
\begin{algorithm}
\textbf{C\`{a}lcul de la matriu inversa }Per calcular la matriu inversa
d'una matriu quadrada $A$ seguirem les seg\"{u}ents passes:
\begin{enumerate}
\item En primer lloc calcularem $\left\vert A\right\vert $. Si aquest val $0$%
, ja podem assegurar que la matriu $A$ no t\'{e} inversa. Si $\left\vert
A\right\vert \neq 0$ seguim amb els punts seg\"{u}ents.
\item Calculam la matriu adjunta de $A$, \'{e}s a dir, aquella matriu en la
qual cada element \'{e}s l'adjunt de l'element respectiu de la matriu $A$.
La denotarem per $A^{d}$.
\item Farem la trasposada de $A^{d}$. La denotarem per $\left( A^{d}\right)
^{t}$.
\item Finalment, es t\'{e} que%
\begin{equation*}
A^{-1}=\frac{\left( A^{d}\right) ^{t}}{\left\vert A\right\vert }
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{algorithm}
Vegem-ho amb un exemple.
\begin{example}
Sigui
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 0 \\
0 & -3 & -2 \\
4 & 0 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Tenim que
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =-9-16=-25\neq 0
\end{equation*}%
El fet de qu\`{e} aquest determinant no valgui zero ens assegura que
existeix la matriu inversa de $A$. Anem a calcular-la.
La matriu adjunta de $A$ \'{e}s%
\begin{equation*}
A^{d}=\left(
\begin{array}{rrrrr}
\left\vert
\begin{array}{rr}
-3 & -2 \\
0 & 3%
\end{array}%
\right\vert & & {\small -}\left\vert
\begin{array}{rr}
0 & -2 \\
4 & 3%
\end{array}%
\right\vert & & \left\vert
\begin{array}{rr}
0 & -3 \\
4 & 0%
\end{array}%
\right\vert \\
& & & & \\
{\small -}\left\vert
\begin{array}{rr}
2 & 0 \\
0 & 3%
\end{array}%
\right\vert & & \left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
4 & 3%
\end{array}%
\right\vert & & {\small -}\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
4 & 0%
\end{array}%
\right\vert \\
& & & & \\
\left\vert
\begin{array}{rr}
2 & 0 \\
-3 & -2%
\end{array}%
\right\vert & & {\small -}\left\vert
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -2%
\end{array}%
\right\vert & & \left\vert
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
0 & -3%
\end{array}%
\right\vert%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{rrr}
-9 & -8 & 12 \\
-6 & 3 & 8 \\
-4 & 2 & -3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
La trasposada de l'adjunta \'{e}s, aleshores,%
\begin{equation*}
\left( A^{d}\right) ^{t}=\left(
\begin{array}{rrr}
-9 & -6 & -4 \\
-8 & 3 & 2 \\
12 & 8 & -3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Es pot calcular ara la inversa de $A$:%
\begin{equation*}
A^{-1}=\frac{\left( A^{d}\right) ^{t}}{\left\vert A\right\vert }=\frac{%
\left(
\begin{array}{rrr}
-9 & -6 & -4 \\
-8 & 3 & 2 \\
12 & 8 & -3%
\end{array}%
\right) }{-25}=\left(
\begin{array}{rrrrr}
9/25 & & 6/25 & & 4/25 \\
& & & & \\
8/25 & & -3/25 & & -2/25 \\
& & & & \\
-12/25 & & -8/25 & & 3/25%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}
Calcula la matriu inversa, si en t\'{e}, de la matriu%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -3 \\
-1 & 3 & -2 \\
0 & 5 & -1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\subsection{Matriu inversa en funci\'{o} d'un par\`{a}metre}
\begin{example}
Suposem que volem calcular la matriu inversa de
\begin{equation*}
B=\left(
\begin{array}{rrr}
-3 & 1 & 0 \\
1 & 2 & b \\
0 & 7 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Aquesta matriu dep\`{e}n del par\`{a}metre $b$. Per tant, podem suposar que
la matriu inversa de $B$ existir\`{a} o no segons el valor num\`{e}ric que
prengui el par\`{a}metre $b$. \textquestiondown Qu\`{e} ha de valer $b$ per
a qu\`{e} existeixi $B^{-1}$? Aquest valor de $b$ quedar\`{a} imposat per la
condici\'{o}%
\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert \neq 0,
\end{equation*}%
que \'{e}s la condici\'{o} que ens assegura que existeix la matriu inversa
de $B$. Calculem $\left\vert B\right\vert $:%
\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
-3 & 1 & 0 \\
1 & 2 & b \\
0 & 7 & 1%
\end{array}%
\right\vert =21b-7
\end{equation*}%
Aquest determinant val $0$ si i nom\'{e}s si%
\begin{equation*}
21b-7=0;\text{ }b=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}
\end{equation*}%
Aqu\'{\i} apareixen dues possibilitats$:$
\begin{description}
\item[(a)] Si $b=1/3$: tenim que $\left\vert B\right\vert =0$, i, per tant,
no existeix la matriu inversa de $B$.
\item[(b)] Si $b\neq 1/3$: tenim que $\left\vert B\right\vert \neq 0$, i,
per tant, existeix la matriu inversa de $B$.
\end{description}
Dit d'una altra manera, la matriu inversa de $B$ existeix sempre que es
substitueixi el par\`{a}metre $b$ per qualsevol n\'{u}mero que no sigui $1/3$%
. Com que existeixen infinits valors que no s\'{o}n $1/3$, la matriu inversa
quedar\`{a} en funci\'{o} de $b$, ja que aquest par\`{a}metre no pot ser ara
substituit per cap valor (ja que, com hem dit, n'hi ha infinits possibles).
No obstant, el proc\'{e}s per calcular la inversa \'{e}s sempre el
mateix.Comen\c{c}am calculant la matriu adjunta de $B$:%
\begin{multline*}
B^{d}=\left(
\begin{array}{rrrrr}
\left\vert
\begin{array}{cc}
2 & b \\
7 & 1%
\end{array}%
\right\vert & & {\small -}\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & b \\
0 & 1%
\end{array}%
\right\vert & & \left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0 & 7%
\end{array}%
\right\vert \\
& & & & \\
{\small -}\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
7 & 1%
\end{array}%
\right\vert & & \left\vert
\begin{array}{rr}
-3 & 0 \\
0 & 1%
\end{array}%
\right\vert & & -\left\vert
\begin{array}{rr}
-3 & 1 \\
0 & 7%
\end{array}%
\right\vert \\
& & & & \\
\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & b%
\end{array}%
\right\vert & & {\small -}\left\vert
\begin{array}{rr}
-3 & 0 \\
1 & b%
\end{array}%
\right\vert & & \left\vert
\begin{array}{rr}
-3 & 1 \\
1 & 2%
\end{array}%
\right\vert%
\end{array}%
\right) \\
\\
=\left(
\begin{array}{ccc}
2-7b & -1 & 7 \\
-1 & -3 & 21 \\
b & 3b & -7%
\end{array}%
\right)
\end{multline*}%
Feim ara la seva trasposada%
\begin{equation*}
\left( B^{d}\right) ^{t}=\left(
\begin{array}{rrr}
2-7b & -1 & b \\
-1 & -3 & 3b \\
7 & 21 & -7%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
I, finalment, dividim pel seu determinant (que, com hem calculat, \'{e}s $%
21b-7$):%
\begin{equation*}
B^{-1}=\frac{\left( B^{d}\right) ^{t}}{\left\vert B\right\vert }=\frac{%
\left(
\begin{array}{rrr}
2-7b & -1 & b \\
-1 & -3 & 3b \\
7 & 21 & -7%
\end{array}%
\right) }{21b-7}=\left(
\begin{array}{rrrrr}
\frac{2-7b}{21b-7} & & \frac{1}{7-21b} & & \frac{b}{21b-7} \\
& & & & \\
\frac{1}{7-21b} & & \frac{3}{7-21b} & & \frac{3b}{21b-7} \\
& & & & \\
\frac{7}{21b-7} & & \frac{21}{21b-7} & & \frac{7}{7-21b}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}
\begin{exercise}
Calcula la matriu inversa de $B$ en funci\'{o} del par\`{a}metre $\alpha $,
amb%
\begin{equation*}
B=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & -7 & \alpha \\
1 & 3 & 3 \\
0 & 1 & -4%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\section{Rang d'una matriu d'orde qualsevol}
\begin{definition}
Si en una matriu qualsevol seleccionam $p$ files i $p$ columnes, els
elements en qu\`{e} s'encreuen aquestes $p$ files i $p$ columnes formen una
submatriu quadrada d'orde $p$. El determinant d'aquesta submatriu s'anomena%
\textit{\ }\textbf{menor d'orde }$p$ de la matriu inicial.
\end{definition}
\begin{example}
El determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
\pi & -4%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
\'{e}s un menor d'orde $2$ de la matriu%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 0 & 3 \\
\pi & 12 & -4 & 2 \\
5 & 2 & -3 & 1%
\end{array}%
\right) ,
\end{equation*}%
donat que hem seleccionat els elements en els quals s'encreuen les files $1$
i $2$ i les columnes $1$ i $3$.
\end{example}
\begin{definition}
S'anomena \textbf{rang d'una matriu}\textit{\ }al m\`{a}xim orde dels seus
menors no nuls. \'{E}s a dir, el rang d'una matriu \'{e}s un n\'{u}mero $p$
que cumpleix les seg\"{u}ents condicions:
\begin{description}
\item[(a)] existeix un menor d'orde $p$ no nul,
\item[(b)] tots els menors d'orde $p+1$ s\'{o}n nuls, o b\'{e} no existeixen
menors d'orde $p+1$.
El rang d'una matriu $A$ es representa per $rg\left( A\right) $ o $rgA$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{algorithm}
\textbf{C\`{a}lcul del rang d'una matriu }Segons la definici\'{o} anterior,
una manera de calcular el rang d'una matriu consisteix en treure un menor
del m\`{a}xim orde possible i mirar si val zero. Si \'{e}s aix\'{\i}, el
rang de la matriu \'{e}s l'orde d'aquest determinant. En cas contrari, \'{e}%
s a dir, si tots els menors d'orde m\`{a}xim que es poden treure de la
matriu s\'{o}n nuls, aleshores procedim a treure menors d'un orde inferior,
i es mira si qualcun d'ells \'{e}s diferent de zero; en tal cas el rang de
la matriu.\'{e}s l'orde d'aquest menor, i en cas contrari repetim aquest proc%
\'{e}s fins a trobar un menor no nul.
\end{algorithm}
\begin{example}
El rang de la matriu%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 2 & 4 \\
2 & 3 & -5 & 4 \\
0 & 3 & 3 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
\'{e}s $3$, ja que existeix, al menys, un menor d'orde $3$ no nul, com, per
exemple, el menor%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 2 \\
2 & 3 & -5 \\
0 & 3 & 3%
\end{array}%
\right\vert \neq 0,
\end{equation*}%
i no hi ha cap menor d'orde $4$.
\end{example}
No obstant, si hi ha molts menors possible a l'hora de calcular el rang
d'una matriu, \'{e}s convenient tenir presents les seg\"{u}ents indicacions,
que ens donen una altra manera de calcular el rang:
\begin{algorithm}
\textbf{C\`{a}lcul del rang d'una matriu (}$\mathbf{2}$\textbf{) }Per
calcular el rang d'una matriu podem seguir les seg\"{u}ents passes:
\begin{enumerate}
\item Es suprimeixen totes les files o columnes que estiguin formades \'{u}%
nicament per zeros.
\item S'observa, per simple inspecci\'{o}, si s'aprecien files o columnes
que siguin combinaci\'{o} lineal de les seves paral\textperiodcentered
leles, i es procedeix a eliminar-les.
\item Es tria un element no nul de la matriu, amb el que asseguram que el
rang de la matriu \'{e}s major o igual que $1$, ja que existeix un menor no
nul d'orde $1$. A continuaci\'{o} orlam aquest menor, \'{e}s a dir, formam
un menor d'orde $2$ que contengui el n\'{u}mero seleccionat. Si qualcun
d'aquests menors aix\'{\i} formats \'{e}s no nul, aleshores el rang de la
matriu \'{e}s, al menys, $2$.
\item Repetim aquest proc\'{e}s, orlant el menor que ha resultat diferent de
zero en el pas anterior, fins a obtenir un menor d'orde $k\neq 0$ tal que
quan l'orlam amb les restants files i columnes de la matriu per formar
menors d'orde $k+1$, resultin tots ells nuls. Aleshores es pot concloure que
el rang de la matriu \'{e}s $k$.
\end{enumerate}
\end{algorithm}
Vegem l'aplicaci\'{o} d'aquest m\`{e}tode amb el seg\"{u}ent exemple.
\begin{example}
Suposem que volem calcular el rang de la seg\"{u}ent matriu:%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & -2 & 4 \\
3 & 1 & 0 & -3 \\
5 & 1 & -4 & 5%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Triem un element no nul d'aquesta matriu; per exemple, triem el $-4$, que
\'{e}s no nul. Orlem aquest n\'{u}mero per a formar un menor d'orde $2$ no
nul; per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
1 & -4%
\end{array}%
\right\vert \neq 0,
\end{equation*}%
amb el que asseguram que el rang \'{e}s, al menys, $2$. Si ara orlam aquest
menor de totes les maneres possibles per formar menors d'orde $3$, es veu
que tots aquest s\'{o}n nuls, \'{e}s a dir,%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -2 \\
3 & 1 & 0 \\
5 & 1 & -4%
\end{array}%
\right\vert =0,\text{ }\left\vert
\begin{array}{rrr}
0 & -2 & 4 \\
1 & 0 & -3 \\
1 & -4 & 5%
\end{array}%
\right\vert =0,
\end{equation*}%
que ens assegura que el rang no pot ser $3$, i, per tant, ha de ser $2$.
\end{example}
\begin{exercise}
Calcula el valor del rang de la seg\"{u}ent matriu:%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & -1 & 3 & -2 \\
-4 & 0 & 3 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\subsection{Rang d'una matriu en funci\'{o} d'un par\`{a}metre}
De vegades, una matriu pot incloure un par\`{a}metre. El rang d'aquesta
matriu dependr\`{a}, aleshores, del valor que tengui aquest par\`{a}metre.
Vegem-ho amb un exemple.
\begin{example}
Sigui la matriu%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 3 \\
0 & 1 & \alpha \\
-2 & 2 & 5%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Anem a calcular el seu rang. Quan en la matriu apareix un par\`{a}metre sol
ser m\'{e}s f\`{a}cil calcular el rang a partir dels menors m\'{e}s grans
possibles. Aix\'{\i}, en aquest exemple comen\c{c}arem amb%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 3 \\
0 & 1 & \alpha \\
-2 & 2 & 5%
\end{array}%
\right\vert =10+2\alpha +6-4\alpha =16-2\alpha ,
\end{equation*}%
que \'{e}s el menor m\'{e}s gran que es pot treure de $A$. Aquest menor val $%
0$ si%
\begin{equation*}
16-2\alpha =0,
\end{equation*}%
\'{e}s a dir, si $\alpha =8$. Aqu\'{\i} apareixen dues possibilitats:
\begin{description}
\item[(a)] Si $\alpha \neq 8$: existeix un menor d'orde $3$ diferent de $0$,
i no hi ha menors d'orde superior a $3$. Per tant, el rang de $A$ \'{e}s $3$.
\item[(b)] Si $\alpha =8$: tots els menors d'orde $3$ -de fet, l'\'{u}nic
menor d'orde $3$ en aquest cas- s\'{o}n zero. Per tant, el rang no pot ser $%
3 $. Cerquem, aleshores, un menor d'orde $2$ diferent de $0$. Per exemple%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
0 & 1%
\end{array}%
\right\vert =2\neq 0,
\end{equation*}%
per la qual cosa el rang \'{e}s $2$.
\end{description}
\end{example}
\begin{exercise}
Calcula el $rgA$ en funci\'{o} del par\`{a}metre $\alpha $, amb%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & -7 & \alpha \\
1 & 3 & 3 \\
0 & 1 & -4%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\section{Exercicis proposats}
\begin{exercise}
Calcula el valor dels seg\"{u}ents determinants:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
-2 & 3 \\
-5 & 1%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 4 \\
3 & -5 & -4 \\
3 & 3 & 1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Calcula el valor dels seg\"{u}ents determinants:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
n & p \\
l & m%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{cc}
6n & 6p \\
6l & 6m%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{cc}
l & 4m \\
n & 4p%
\end{array}%
\right\vert ,
\end{equation*}%
si sabem que:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
l & m \\
n & p%
\end{array}%
\right\vert =-13
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
De les seg\"{u}ents expressions, indica quines s\'{o}n correctes i, en el
seu cas, enuncia les propietats que s'hi utilitzen:
\begin{description}
\item[(a)] $\left\vert
\begin{array}{cc}
a & a \\
b & b%
\end{array}%
\right\vert =0$
\item[(b)] $\left\vert
\begin{array}{cc}
3 & 6 \\
9 & 9%
\end{array}%
\right\vert =9\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 3%
\end{array}%
\right\vert $
\item[(c)] $\left\vert
\begin{array}{cc}
3 & 6 \\
9 & 9%
\end{array}%
\right\vert =3\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 3%
\end{array}%
\right\vert $
\end{description}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Si%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
m & n \\
p & q%
\end{array}%
\right\vert =-5,
\end{equation*}%
quin \'{e}s el valor de cadascun dels seg\"{u}ents determinants? Justifica
les respostes.%
\begin{eqnarray*}
&&\left\vert
\begin{array}{cc}
m+3n & p+3q \\
n & q%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{cc}
p & m \\
q & n%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{cc}
3n & -m \\
3q & -p%
\end{array}%
\right\vert , \\
&&\left\vert
\begin{array}{cc}
p & 2m \\
q & 2n%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & n/m \\
mp & mq%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{cc}
m & 5m \\
p & 5p%
\end{array}%
\right\vert
\end{eqnarray*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Resol les seg\"{u}ents equacions:
\begin{description}
\item[(a)] $\left\vert
\begin{array}{cc}
x-2 & 1-2x \\
x & x^{2}%
\end{array}%
\right\vert =0$
\item[(b)] $\left\vert
\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 0 \\
a & -3 & 1 \\
0 & -1 & 1%
\end{array}%
\right\vert =0$
\item[(c)] $\left\vert
\begin{array}{ccc}
a-1 & 1 & -1 \\
0 & a+6 & 3 \\
a-1 & 2 & 0%
\end{array}%
\right\vert =0$
\end{description}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Per a quin valor de $x$ s'anul\textperiodcentered la el determinant seg\"{u}%
ent?%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-x & 1 & 0 & 1 \\
1 & -x & 1 & 0 \\
0 & 1 & -x & 1 \\
1 & 0 & 1 & -x%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Calcula el valor dels seg\"{u}ents determinants:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-2 & 0 & 1 & 3 \\
1 & -3 & -2 & 5 \\
3 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & -3 & 4%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 0 & -2 \\
-1 & 5 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & 2 & 4 \\
0 & 4 & -3 & -3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Resol la seg\"{u}ent equaci\'{o}:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
x & 1 & 0 & 0 \\
0 & x & 1 & 0 \\
0 & 0 & x & 1 \\
1 & 0 & 0 & x%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Si sabem que
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
x & y & z%
\end{array}%
\right\vert =5,
\end{equation*}%
calcula el valor dels seg\"{u}ents determinants:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a+7 & b+7 & c+7 \\
x/2 & y/2 & z/2%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{rrr}
a & b & c \\
x & y & z \\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{ccc}
1-x & 1-y & 1-z \\
a+2x & b+2y & c+2z \\
2x & 2y & 2z%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Calcula, si \'{e}s possible, la matriu inversa de cadascuna de les seg\"{u}%
ents:%
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 6%
\end{array}%
\right) & B=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 3%
\end{array}%
\right) \\
& \\
C=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
3 & -5 & -2 \\
3 & 3 & 6%
\end{array}%
\right) & D=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 4 \\
3 & -5 & -4 \\
3 & 3 & 1%
\end{array}%
\right)%
\end{array}%
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Calcula la matriu inversa de cadascuna de les seg\"{u}ents:%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
3 & a%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
3 & -5 & -2 \\
3 & b & 6%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Calcula el rang de cadascuna de les seg\"{u}ents matrius:%
\begin{eqnarray*}
A &=&\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 4 & -1 \\
-1 & 3 & 2 \\
2 & 2 & 0%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 0 & 3 \\
-1 & 3 & 1 & 4 \\
2 & 1 & 5 & -1%
\end{array}%
\right) , \\
&& \\
C &=&\left(
\begin{array}{rrr}
3 & 5 & 1 \\
6 & 10 & -2 \\
1 & 0 & 1 \\
4 & 5 & 0%
\end{array}%
\right) ,\text{ }D=\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 0 & 3 \\
-1 & 3 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 1 & 7%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Estudia el rang de les matrius seg\"{u}ents segons el valor del par\`{a}%
metre que hi apareix:%
\begin{eqnarray*}
A &=&\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & -2 \\
3 & 1 & a%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & a \\
a & 3 & 4 \\
3 & -1 & 2%
\end{array}%
\right) ,\text{ }C=\left(
\begin{array}{ccc}
a & -1 & 1 \\
1 & -a & 2a-1%
\end{array}%
\right) , \\
D &=&\left(
\begin{array}{rrr}
t & 1 & 1 \\
1 & -t & 1 \\
1 & 1 & t%
\end{array}%
\right) ,\text{ }E=\left(
\begin{array}{rrr}
t & 2 & 2 \\
2 & t & 0 \\
1 & t & t%
\end{array}%
\right) ,\text{ }F=\left(
\begin{array}{ccc}
t+3 & 4 & 0 \\
0 & t-1 & 1 \\
-4 & -4 & t-1%
\end{array}%
\right) , \\
G &=&\left(
\begin{array}{rrrr}
t & 1 & 1 & 2 \\
2 & t & t^{2} & 1 \\
2 & 1 & 1 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Estudia el rang de la matriu seg\"{u}ent en funci\'{o} de $a,b$ i $c$:%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{ccc}
5 & 5 & 5 \\
a & b & c \\
b+c & a+c & a+b%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Troba, en funci\'{o} de $a$, el valor del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cccc}
a+1 & a & a & a \\
a & a+1 & a & a \\
a & a & a+1 & a \\
a & a & a & a+1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}
\chapter{Sistemas de ecuaciones}
\section{Definiciones}
\begin{definition}
Un \textbf{sistema de ecuaciones lineales} es un conjunto de ecuaciones
lineales en el que aparecen una o varias inc\'{o}gnitas; es decir, una
expresi\'{o}n de la forma%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{ccc}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n} & = & b_{m}%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Este es un sistema de $m$ ecuaciones y $n$ \textbf{inc\'{o}gnitas}. Estas
\'{u}ltimas son $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.
\end{definition}
\begin{definition}
A los n\'{u}meros $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ se les llama \textbf{t\'{e}rminos
independientes}.
\end{definition}
\begin{definition}
Un sistema de ecuaciones se llama \textbf{homog\'{e}neo }si todos sus t\'{e}%
rminos independientes son cero.
\end{definition}
\begin{definition}
Las matrices%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}%
\end{array}%
\right) ,\text{ }M=\left(
\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b_{m}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
se llaman\textit{\ \textbf{matriz de los coeficientes} }y\textit{\ }\textbf{%
matriz ampliada} respectivamente.
\end{definition}
\begin{example}
Por ejemplo, en el sistema%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rcr}
2x-y+z & = & 0 \\
x+3z & = & -2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
las inc\'{o}gnitas son $x,y$ y $z$, y los t\'{e}rminos independientes son $0$
y $-2$. La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son,
respectivamente,%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 3%
\end{array}%
\right) ,\text{ }M=\left(
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 3 & -2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}
\begin{definition}
Diremos que un conjunto de $n$ n\'{u}meros, $\alpha _{1},\alpha
_{2},...,\alpha _{n}$, es \textbf{soluci\'{o}n} de un sistema de ecuaciones
de $n$ inc\'{o}gnitas (y un n\'{u}mero cualquiera de ecuaciones) si al
sustituir dichos n\'{u}meros por las inc\'{o}gnitas se satisface cada una de
las ecuaciones del sistema, es decir, si se cumple que%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{ccc}
a_{11}\cdot \alpha _{1}+a_{12}\cdot \alpha _{2}+...+a_{1n}\cdot \alpha _{n}
& = & b_{1} \\
a_{21}\cdot \alpha _{1}+a_{22}\cdot \alpha _{2}+...+a_{2n}\cdot \alpha _{n}
& = & b_{2} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{m1}\cdot \alpha _{1}+a_{m2}\cdot \alpha _{2}+...+a_{mn}\cdot \alpha _{n}
& = & b_{m}%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Si un conjunto tal de n\'{u}meros existe diremos que el sistema es \textbf{%
compatible}.\textbf{\ }Si el sistema tiene tan solo una soluci\'{o}n, se
dice que es \textbf{compatible determinado}; si tiene infinitas, se dice que
es \textbf{compatible indeterminado}. En caso contrario, -en el cual el
sistema no tiene ninguna soluci\'{o}n-, diremos que es \textbf{incompatible}.
\end{definition}
\begin{example}
El sistema%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rlr}
4x-y+6z & = & -9 \\
-x+3y-2z & = & -1%
\end{array}%
\right\} ,
\end{equation*}%
es compatible, ya que el conjunto de tres n\'{u}meros $x=-2,$ $y=1,$ $z=0$
es soluci\'{o}n del sistema, dado que%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rlr}
4\cdot \left( -2\right) -1+6\cdot 0 & = & -9 \\
-\left( -2\right) +3\cdot \left( -1\right) -2\cdot 0 & = & -1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
En cambio, el conjunto $x=3,$ $y=27,$ $z=1$ no es soluci\'{o}n, puesto que
alguna de las ecuaciones no se verifica (la segunda en este caso):%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rlr}
4\cdot 3-27+6\cdot 1 & = & -9 \\
-3+3\cdot 27-2\cdot 1 & \neq & -1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{example}
\begin{example}
El sistema%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{lll}
x+y & = & 3 \\
x+y & = & 2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
es incompatible (no tiene soluci\'{o}n), pues no existen dos n\'{u}meros, $x$
e $y$, cuya suma sea a la vez $3$ y $2$ (o la suma da $3$ o da $2,$ pero no
los dos valores a la vez).
\end{example}
A veces es costumbre escribir los sistemas de ecuaciones de la siguiente
forma:%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}%
\end{array}%
\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\begin{example}
El sistema%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rlr}
4x-y+6z & = & -9 \\
-x+3y-2z & = & -1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
es el mismo que%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{ccc}
4 & -1 & 6 \\
-1 & 3 & -2%
\end{array}%
\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{c}
-9 \\
-1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}
\section{Regla de Cramer}
La regla que se muestra a continuaci\'{o}n, llamada \textit{regla de Cramer}%
, permite hallar la soluci\'{o}n de sistemas de ecuaciones lineales en los
que hay tantas ecuaciones como inc\'{o}gnitas y en los que el determinante
de la matriz de los coeficientes no es nulo ($\left\vert A\right\vert \neq 0$%
). M\'{a}s expl\'{\i}citamente, sea el sistema
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{ccc}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n} & = & b_{n}%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
de $n$ ecuaciones con $n$ inc\'{o}gnitas tal que%
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
. & . & . & . \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert \neq 0
\end{equation*}
\begin{algorithm}
\textbf{(Regla de Cramer) }La soluci\'{o}n de un sistema en el que hay
tantas ecuaciones como inc\'{o}gnitas y en el que el determinante de la
matriz de los coeficientes es no nulo ($\left\vert A\right\vert \neq 0$), es
la siguiente:%
\begin{equation*}
x_{1}=\frac{\left\vert
\begin{array}{cccc}
b_{1} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
b_{2} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
. & . & . & . \\
b_{n} & a_{n2} & ... & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert },
\end{equation*}%
\begin{equation*}
x_{2}=\frac{\left\vert
\begin{array}{cccc}
a_{11} & b_{1} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & b_{2} & ... & a_{2n} \\
. & . & . & . \\
a_{n1} & b_{n} & ... & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert },
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\vdots
\end{equation*}%
\begin{equation*}
x_{n}=\frac{\left\vert
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & ... & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & ... & b_{2} \\
. & . & . & . \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & b_{n}%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }
\end{equation*}
\end{algorithm}
\begin{example}
Sea el sistema%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rcr}
2x-y+z & = & 0 \\
x+3z & = & -2 \\
x+y & = & 1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Este sistema tiene $3$ ecuaciones y $3$ inc\'{o}gnitas, y adem\'{a}s se
cumple que%
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 3 \\
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right\vert =-3+1-6=-8\neq 0
\end{equation*}%
Podemos, pues, aplicar la regla de Cramer, con lo que la soluci\'{o}n del
sistema es la siguiente:%
\begin{eqnarray*}
x &=&\frac{\left\vert
\begin{array}{rrr}
0 & -1 & 1 \\
-2 & 0 & 3 \\
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8} \\
&& \\
y &=&\frac{\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 1 \\
1 & -2 & 3 \\
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{-3}{-8}=\frac{3}{8} \\
&& \\
z &=&\frac{\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -2 \\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{7}{-8}=\frac{-7}{8}
\end{eqnarray*}
\end{example}
\begin{exercise}
Resuelve el siguiente sistema:%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rcr}
-x-2y+5z & = & -3 \\
3x+3z & = & 4 \\
2x-2y+z & = & 0%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}
\section{Discusi\'{o}n de un sistema de ecuaciones}
Por supuesto, no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen tantas inc%
\'{o}gnitas como ecuaciones, y a\'{u}n en este caso no todos cumplen el
hecho de que el determinante de su matriz de coeficientes sea no nulo, por
lo que la regla de Cramer no es aplicable directamente. Para resolver, por
tanto, sistemas de ecuaciones lineales que no cumplan las condiciones
propias de la regla de Cramer, deber\'{a} hacerse uso de alg\'{u}n criterio
que nos permita saber, antes de resolverlo, qu\'{e} condiciones debe cumplir
tal sistema para que tenga soluci\'{o}n o no. Este criterio es el que se
muestra a continuaci\'{o}n.
\begin{theorem}
\textit{Sea un sistema lineal de ecuaciones cualquiera con }$n$\textit{\ inc%
\'{o}gnitas, y sean }$A$\textit{\ la matriz de los coeficientes y }$M$%
\textit{\ la matriz ampliada. Entonces:}%
\begin{equation*}
\begin{array}{lll}
rgA\neq rgM & \Leftrightarrow &
\begin{array}{l}
\text{\textit{el sistema es incompatible (S.I.)}} \\
\text{\textit{(no tiene soluci\'{o}n)}}%
\end{array}
\\
& & \\
rgA=rgM=n & \Leftrightarrow &
\begin{array}{l}
\text{\textit{el sistema es compatible determinado (S.C.D.)}} \\
\text{\textit{(tiene s\'{o}lo una \'{u}nica soluci\'{o}n)}}%
\end{array}
\\
& & \\
rgA=rgM<n & \Leftrightarrow &
\begin{array}{l}
\text{\textit{el sistema es compatible indeterminado (S.C.I.)}} \\
\text{\textit{(tiene infinitas soluciones)}}%
\end{array}%
\end{array}%
\end{equation*}%
Este resultado se conoce como \textbf{teorema de Rouch\'{e}-Frobenius}.
\end{theorem}
As\'{\i} pues, para saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene soluci%
\'{o}n o no debe calcularse en primer lugar los valores de $rgA$ y de $rgM$,
y proceder a continuaci\'{o}n a su clasificaci\'{o}n seg\'{u}n la tabla
anterior.
\begin{claim}
Una observaci\'{o}n importante es que el rango de $M$ es siempre mayor o
igual que el rango de $A$, es decir,%
\begin{equation*}
rgM\geq rgA
\end{equation*}
\end{claim}
\begin{claim}
En los sistemas de ecuaciones homog\'{e}neos (aquellos en que los t\'{e}%
rminos independientes son todos nulos), se verifica siempre que%
\begin{equation*}
rgM=rgA
\end{equation*}%
Por ello, los sistemas homog\'{e}neos son siempre compatibles.
\end{claim}
Veamos un ejemplo de c\'{o}mo se aplica el criterio de Rouch\'{e}-Frobenius.
\begin{example}
Sea el sistema de ecuaciones%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rcr}
2x-y+z & = & 0 \\
x+3z & = & -2 \\
3x-y+4z & = & -2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Para determinar qu\'{e} tipo de sistema es debemos calcular los rangos de%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 3 \\
3 & -1 & 4%
\end{array}%
\right) \text{ \ \ \ \ y \ \ \ }M=\left(
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 3 & -2 \\
3 & -1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Para calcular el rango de $A$ tomamos un elemento de la matriz no nulo; por
ejemplo, el primer elemento, el $2$, y lo orlamos:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
1 & 0%
\end{array}%
\right\vert =1\neq 0
\end{equation*}%
Como este menor es no nulo, tenemos que $rgA$ es, al menos, $2$. Orlamos
este \'{u}ltimo menor de la \'{u}nica manera posible, y obtenemos que%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 3 \\
3 & -1 & 4%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}%
Por tanto, $rgA=2$.
Procediendo del mismo modo para el c\'{a}lculo de $rgM$, y tomando tambi\'{e}%
n como punto de partida el n\'{u}mero $2$ y orlando este como antes, se
obtiene que el otro menor de orden $3$ que sirve de orla es%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -2 \\
3 & -1 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}%
As\'{\i} pues, todas las orlas de orden $3$ en la matriz $M$ son nulas, con
lo que se concluye que $rgM=2$.
Este sistema es compatible determinado, ya que $rgA=rgM=2<3=$ n\'{u}mero de
inc\'{o}gnitas. Tiene, por tanto, infinitas soluciones.
\end{example}
\begin{exercise}
Clasifica el siguiente sistema%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rcr}
2x-3y+z & = & 0 \\
x-3z & = & 3 \\
3x-3y-2z & = & 3%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}
\subsection{Discusi\'{o}n de un sistema de ecuaciones en funci\'{o}n de un
par\'{a}metro}
Cuando en un sistema aparece un par\'{a}metro en alg\'{u}n o algunos de los
coeficientes o de los t\'{e}rminos independientes del sistema, la clasificaci%
\'{o}n de este depende, por lo general, del valor que demos a ese par\'{a}%
metro.
\begin{example}
Sea el sistema de ecuaciones%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rcr}
2x-3y+5z & = & 0 \\
x-3z & = & -2 \\
3x-\alpha y+2z & = & -2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Estudiemos los valores de los rangos de su matriz de coeficientes y de la
matriz ampliada en funci\'{o}n del par\'{a}metro $\alpha $.
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & -3 & 5 \\
1 & 0 & -3 \\
3 & -\alpha & 2%
\end{array}%
\right\vert =33-11\alpha
\end{equation*}%
Por ello, $\left\vert A\right\vert $ valdr\'{a} cero si $33-11\alpha =0,$ es
decir, si $\alpha =3$. De aqu\'{\i} se sigue la siguiente conclusi\'{o}n:
\begin{itemize}
\item[Caso 1] Si $\alpha \neq 3$, entonces se tiene que $\left\vert
A\right\vert \neq 0$, por lo que hemos hallado un menor de orden $3$
diferente de cero. Puesto que no hay menores de orden $4$, podemos asegurar
que $rgA=3$. Adem\'{a}s, como el rango de $M$ es siempre mayor o igual que
el de $A$, y en $M$ no hay menores de orden $4$, deducimos tambi\'{e}n que $%
rgM=3$. As\'{\i} pues, si $\alpha \neq 3$ concluimos que $rgA=rgM=3=$ n\'{u}%
<