Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

10-solucions.tex 8.8KB

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358
  1. \chapter{Solucions}
  2. \section{Determinants}
  3. \begin{itemize}
  4. \item[\ref{exercici:det-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $13$, \item $73$ \item $-12$ \item $18$ \item $-256$ \end{enumerate*}
  5. \item[\ref{exercici:det-7}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $256$ \item $-32$ \item $296$ \item $0$ \item $-200$ \end{enumerate*}
  6. \item[\ref{exercici:det-2}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-\left\vert \begin{array}{cc}
  7. l & m \\
  8. n & p%
  9. \end{array}\right\vert = - (-13) = 13$, \item $36 \cdot \left\vert\begin{array}{cc}
  10. n & p \\
  11. l & m%
  12. \end{array}\right\vert = 36 \cdot 13 = 468$ (aplicant \autoref{nota:extraccio-factor-comu} de \autoref{seccio:propietats-dels-determinants} dues vegades i l'apartat anterior), \item $4 \cdot (-13) = -52$ (aplicant \autoref{nota:extraccio-factor-comu} de \autoref{seccio:propietats-dels-determinants}) \end{enumerate*}
  13. \item[\ref{exercici:det-3}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item sí (\autoref{item:propietat-3} de \autoref{seccio:propietats-dels-determinants}), \item sí (en els dos casos, $3 \cdot 3 \cdot \left\vert
  14. \begin{array}{cc}
  15. 1 & 2 \\
  16. 3 & 3%
  17. \end{array}
  18. \right\vert$) \item no ($3 \cdot 3 \cdot \left\vert
  19. \begin{array}{cc}
  20. 1 & 2 \\
  21. 3 & 3%
  22. \end{array}
  23. \right\vert \neq 3 \cdot \left\vert\begin{array}{cc}
  24. 1 & 2 \\
  25. 3 & 3%
  26. \end{array}
  27. \right\vert$)
  28. \end{enumerate*}
  29. \item[\ref{exercici:det-4}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-\left\vert
  30. \begin{array}{cc}
  31. m & p \\
  32. n & q%
  33. \end{array}
  34. \right\vert = - (mq - np) = -\left\vert
  35. \begin{array}{cc}
  36. m & n \\
  37. p & q%
  38. \end{array}
  39. \right\vert = 5$\footnote{Es podria haver vist aquest resultat usant que els determinants d'una matriu quadrada i de la seva transposta són iguals (vegi's \autoref{prop:determinant-matriu-transposta} de \autoref{subseccio:propietats-matrius-determinants}).}, \item $\left\vert
  40. \begin{array}{cc}
  41. m & p \\
  42. n & q%
  43. \end{array}
  44. \right\vert + \left\vert
  45. \begin{array}{cc}
  46. 3n & 3q \\
  47. n & q%
  48. \end{array}
  49. \right\vert$ $= -5 + 3 \cdot 0 = -5$, \item $-3 \cdot \left\vert
  50. \begin{array}{cc}
  51. n & m \\
  52. q & p%
  53. \end{array}
  54. \right\vert = 3 \left\vert
  55. \begin{array}{cc}
  56. m & n \\
  57. p & q%
  58. \end{array}
  59. \right\vert = -15$ \item $2 \cdot \left\vert
  60. \begin{array}{cc}
  61. p & m \\
  62. q & n%
  63. \end{array}
  64. \right\vert = 2 \cdot 5 = 10$, \item $1/m \cdot \left\vert
  65. \begin{array}{cc}
  66. m & n \\
  67. mp & mq%
  68. \end{array}
  69. \right\vert = \left\vert
  70. \begin{array}{cc}
  71. m & n \\
  72. p & q%
  73. \end{array}
  74. \right\vert = -5$, \item $5 \cdot \left\vert
  75. \begin{array}{cc}
  76. m & m \\
  77. p & p%
  78. \end{array}
  79. \right\vert = 0$
  80. \end{enumerate*}
  81. \item[\ref{exercici:det-9}]\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  82. \item \begin{align*}
  83. \left\vert
  84. \begin{array}{ccc}
  85. 1 & 1 & 1 \\
  86. a+7 & b+7 & c+7\\
  87. \frac{x}{2} & \frac{y}{2} & \frac{z}{2}
  88. \end{array}
  89. \right\vert & = \frac{1}{2} \left\vert
  90. \begin{array}{ccc}
  91. 1 & 1 & 1 \\
  92. a+7 & b+7 & c+7\\
  93. x & y & z
  94. \end{array}
  95. \right\vert\\
  96. & = \frac{1}{2} \cdot \left(\left\vert
  97. \begin{array}{ccc}
  98. 1 & 1 & 1 \\
  99. a & b & c\\
  100. x & y & z
  101. \end{array}
  102. \right\vert + \left\vert
  103. \begin{array}{ccc}
  104. 1 & 1 & 1 \\
  105. 7 & 7 & 7\\
  106. x & y & z
  107. \end{array}
  108. \right\vert\right)\\
  109. & = \frac{1}{2} \cdot (5 + 0) = \frac{5}{2}
  110. \end{align*}
  111. \item \begin{equation*}
  112. \left\vert
  113. \begin{array}{ccc}
  114. a & b & c\\
  115. x & y & z\\
  116. 1 & 1 & 1
  117. \end{array}
  118. \right\vert = - \left\vert
  119. \begin{array}{ccc}
  120. 1 & 1 & 1\\
  121. x & y & z\\
  122. a & b & c
  123. \end{array}
  124. \right\vert = \left\vert
  125. \begin{array}{ccc}
  126. 1 & 1 & 1\\
  127. a & b & c\\
  128. x & y & z
  129. \end{array}\right\vert = 5
  130. \end{equation*}
  131. \item \begin{align*}
  132. \left\vert
  133. \begin{array}{ccc}
  134. 1-x & 1-y & 1-z\\
  135. a+2x & b+2y & c+2z\\
  136. 2x & 2y & 2z
  137. \end{array}\right\vert = & \left\vert
  138. \begin{array}{ccc}
  139. 1-x & 1-y & 1-z\\
  140. a & b & c\\
  141. 2x & 2y & 2z
  142. \end{array}\right\vert\\
  143. = 2 \left\vert
  144. \begin{array}{ccc}
  145. 1-x & 1-y & 1-z\\
  146. a & b & c\\
  147. x & y & z
  148. \end{array}\right\vert & = 2\left\vert
  149. \begin{array}{ccc}
  150. 1 & 1 & 1\\
  151. a & b & c\\
  152. x & y & z
  153. \end{array}\right\vert = 10
  154. \end{align*}
  155. \end{enumerate}
  156. \item[\ref{exercici:det-5}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant és igual a $x^3 - x = x(x^2 -1)=0$ si, i només si, $x=0$ o $x=\pm 1$, \item Fent Sarrus, tenim que $-2a + 2 = 0$ si, i només si, $a=1$ \item $\left\vert
  157. \begin{array}{ccc}
  158. a & 1 & -1 \\
  159. 0 & a+6 & 3\\
  160. a & 2 & 0
  161. \end{array}
  162. \right\vert$ $+$ $\left\vert
  163. \begin{array}{ccc}
  164. -1 & 1 & -1 \\
  165. 0 & a+6 & 3\\
  166. -1 & 2 & 0
  167. \end{array}
  168. \right\vert = (a-1) \Delta$, on $\Delta = \left\vert
  169. \begin{array}{ccc}
  170. 1 & 1 & -1 \\
  171. 0 & a+6 & 3\\
  172. 1 & 2 & 0
  173. \end{array}
  174. \right\vert = (a+3)$. Per tant, $a = 1$ o $a=-3$.
  175. \end{enumerate*}
  176. \item[\ref{exercici:det-6}] En comptes de calcular aquest determinant desenvolupant per una línia, ho feim aplicant diverses propietats:
  177. \begin{align*}
  178. \left\vert
  179. \begin{array}{rrrr}
  180. -x & 1 & 0 & 1 \\
  181. 1 & -x & 1 & 0 \\
  182. 0 & 1 & -x & 1 \\
  183. 1 & 0 & 1 & -x%
  184. \end{array}%
  185. \right\vert & = \left\vert
  186. \begin{array}{rrrr}
  187. -x & 1 & 0 & 1 \\
  188. 1 & -x & 1 & 0 \\
  189. 0 & 1 & -x & 1 \\
  190. 0 & x & 0 & -x%
  191. \end{array}%
  192. \right\vert && (F_4-F_3 \rightarrow F_4)\\
  193. & = \left\vert
  194. \begin{array}{cccc}
  195. 0 & -x^2+1 & x & 1 \\
  196. 1 & -x & 1 & 0 \\
  197. 0 & 1 & -x & 1 \\
  198. 0 & x & 0 & -x%
  199. \end{array}%
  200. \right\vert && (F_2 \cdot x + F_1 \rightarrow F_1)\\
  201. & = - \left\vert
  202. \begin{array}{ccc}
  203. -x^2+1 & x & 1 \\
  204. 1 & -x & 1 \\
  205. x & 0 & -x
  206. \end{array}%
  207. \right\vert && (\text{desen. per } C_1)\\
  208. & = -x \cdot \left\vert
  209. \begin{array}{ccc}
  210. -x^2+1 & 1 & 1 \\
  211. 1 & -1 & 1 \\
  212. x & 0 & -x
  213. \end{array}%
  214. \right\vert && (\text{factor comú } C_2)\\
  215. & = -x \left\vert
  216. \begin{array}{ccc}
  217. x^2 & 1 & 1 \\
  218. 0 & -1 & 1 \\
  219. -2x & 0 & -x
  220. \end{array}%
  221. \right\vert && (C_3 - C_1 \rightarrow C_1)\\
  222. & = -x^2 \left\vert
  223. \begin{array}{ccc}
  224. x & 1 & 1 \\
  225. 0 & -1 & 1 \\
  226. -2 & 0 & -x
  227. \end{array}%
  228. \right\vert && (\text{factor comú } C_1)\\
  229. & = -x^2 \left\vert
  230. \begin{array}{ccc}
  231. x & 1 & 2 \\
  232. 0 & -1 & 0 \\
  233. -2 & 0 & -x
  234. \end{array}%
  235. \right\vert && (C_2 + C_3 \rightarrow C_3)\\
  236. & = -x^2 \left\vert
  237. \begin{array}{ccc}
  238. x & 0 & 2 \\
  239. 0 & -1 & 0 \\
  240. -2 & 0 & -x
  241. \end{array}%
  242. \right\vert && (F_2 + F_1 \rightarrow F_1)\\
  243. & = -x^2 \left\vert
  244. \begin{array}{ccc}
  245. x & 0 & 2 \\
  246. 0 & 1 & 0 \\
  247. 2 & 0 & x
  248. \end{array}%
  249. \right\vert && (\text{factor comú } F_2, F_3)\\
  250. & = -x^2 (x^2-4) && (\text{regla de Sarrus})
  251. \end{align*}%
  252. Per tant, el determinant val zero si, i només si, $x=0$ o bé $x= \pm 2$.
  253. \item[\ref{exercici:det-8}] Aplicarem la regla de Chió:
  254. \begin{align*}
  255. \left\vert
  256. \begin{array}{cccc}
  257. x & 1 & 0 & 0 \\
  258. 0 & x & 1 & 0 \\
  259. 0 & 0 & x & 1 \\
  260. 1 & 0 & 0 & x%
  261. \end{array}%
  262. \right\vert & = \left\vert
  263. \begin{array}{cccc}
  264. 0 & 1 & 0 & -x^2 \\
  265. 0 & x & 1 & 0 \\
  266. 0 & 0 & x & 1 \\
  267. 1 & 0 & 0 & x%
  268. \end{array}%
  269. \right\vert && (F1-F_4 \cdot x \rightarrow F_1)\\
  270. & = -\left\vert
  271. \begin{array}{ccc}
  272. 1 & 0 & -x^2 \\
  273. x & 1 & 0 \\
  274. 0 & x & 1 \\
  275. 0 & 0 & x%
  276. \end{array}%
  277. \right\vert && (\text{desenvolupant per } C_1)\\
  278. & = - (1-x^4) && (\text{regla de Sarrus})
  279. \end{align*}
  280. Per tant, el determinant és zero quan $x=\pm 1$.
  281. \item[\ref{exercici:det-10}] $\left\vert
  282. \begin{array}{cccc}
  283. a+1 & a & a & a \\
  284. a & a+1 & a & a\\
  285. a & a & a+1 & a\\
  286. a & a & a & a+1%
  287. \end{array}%
  288. \right\vert = \left\vert
  289. \begin{array}{cccc}
  290. 4a+1 & a & a & a \\
  291. 4a+1 & a+1 & a & a\\
  292. 4a+1 & a & a+1 & a\\
  293. 4a+1 & a & a & a+1%
  294. \end{array}%
  295. \right\vert = (4a+1)\left\vert
  296. \begin{array}{cccc}
  297. 1 & a & a & a \\
  298. 1 & a+1 & a & a\\
  299. 1 & a & a+1 & a\\
  300. 1 & a & a & a+1%
  301. \end{array}%
  302. \right\vert = (4a+1)\left\vert
  303. \begin{array}{cccc}
  304. 1 & a & a & a \\
  305. 0 & 1 & 0 & 0\\
  306. 0 & 0 & 1 & 0\\
  307. 0 & 0 & 0 & 1%
  308. \end{array}%
  309. \right\vert = (4a+1) \cdot 1 = 4a+1$
  310. \end{itemize}
  311. \section{Matrius}
  312. \begin{itemize}
  313. \item[\ref{exercici:matrius-2}] $\left(
  314. \begin{array}{ccc}
  315. 33 & -12 & -15\\
  316. -12 & 12 & -9\\
  317. -15 & -9 & 29%
  318. \end{array}%
  319. \right)$
  320. \item[\ref{exercici:matrius-15-parametre}] Les matrius són singulars per \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\alpha=-1$ i $\alpha=-4$, \item $a = \pm\sqrt{3}$, \item $a=-3$, \item $\alpha =-1/3$ i $\alpha=2$, \item $a=0$, \item sempre, \item $m=0$ i $m=1$, \item $m=0$, \item $a=0$ i $a=1$, \item mai, \item $a=0$ i $a=\pm 1$, \item $k=0$, \item $x=1$ i $x=2$, \item $a=1$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=2$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=0$, \item $k=\pm 1$ \end{enumerate*}
  321. \end{itemize}
  322. \section{Sistemes d'equacions}
  323. \begin{itemize}
  324. \item[\ref{alicia-espuig-sistemes-0}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(0,1,1)$ \item $(1,2,-1)$ \item $(5,1,0)$ \item $(1/2, -1/4, 1)$ \item compatible indeterminat $(\lambda/2, 3\lambda/2, \lambda)$, amb $\lambda \in \mathbb{R}$ \item incompatible
  325. \end{enumerate*}
  326. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-1}] $80$ cotxes blancs, $48$ cotxes negres i $12$ cotxes vermells
  327. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-2}]En Pere té $60$ €, en Joan en té $40$ i n'Àngel, $100$.
  328. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-3}] Un pastisset de moniato costa $2,5$ €, el de nata, $3,25$ € i el de xocolata, $1,75$ €.
  329. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-4}] Hi ha 3 pomes, 4 peres i 5 plàtans.
  330. \end{itemize}