Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

10-solucions.tex 11KB

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353
  1. \chapter{Solucions}
  2. \section{Àlgebra lineal}
  3. \subsection{Determinants}
  4. \begin{itemize}
  5. \item[\ref{exercici:det-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $13$, \item $73$ \item $-12$ \item $18$ \item $-256$ \end{enumerate*}
  6. \item[\ref{exercici:det-7}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $256$ \item $-32$ \item $296$ \item $0$ \item $-200$ \end{enumerate*}
  7. \item[\ref{exercici:det-2}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-\left\vert \begin{array}{cc}
  8. l & m \\
  9. n & p%
  10. \end{array}\right\vert = - (-13) = 13$, \item $36 \cdot \left\vert\begin{array}{cc}
  11. n & p \\
  12. l & m%
  13. \end{array}\right\vert = 36 \cdot 13 = 468$ (aplicant \autoref{nota:extraccio-factor-comu} de \autoref{seccio:propietats-dels-determinants} dues vegades i l'apartat anterior), \item $4 \cdot (-13) = -52$ (aplicant \autoref{nota:extraccio-factor-comu} de \autoref{seccio:propietats-dels-determinants}) \end{enumerate*}
  14. \item[\ref{exercici:det-3}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item sí (\autoref{item:propietat-3} de \autoref{seccio:propietats-dels-determinants}), \item sí (en els dos casos, $3 \cdot 3 \cdot \left\vert
  15. \begin{array}{cc}
  16. 1 & 2 \\
  17. 3 & 3%
  18. \end{array}
  19. \right\vert$) \item no ($3 \cdot 3 \cdot \left\vert
  20. \begin{array}{cc}
  21. 1 & 2 \\
  22. 3 & 3%
  23. \end{array}
  24. \right\vert \neq 3 \cdot \left\vert\begin{array}{cc}
  25. 1 & 2 \\
  26. 3 & 3%
  27. \end{array}
  28. \right\vert$)
  29. \end{enumerate*}
  30. \item[\ref{exercici:det-4}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-\left\vert
  31. \begin{array}{cc}
  32. m & p \\
  33. n & q%
  34. \end{array}
  35. \right\vert = - (mq - np) = -\left\vert
  36. \begin{array}{cc}
  37. m & n \\
  38. p & q%
  39. \end{array}
  40. \right\vert = 5$\footnote{Es podria haver vist aquest resultat usant que els determinants d'una matriu quadrada i de la seva transposta són iguals (vegi's \autoref{prop:determinant-matriu-transposta} de \autoref{subseccio:propietats-matrius-determinants}).}, \item $\left\vert
  41. \begin{array}{cc}
  42. m & p \\
  43. n & q%
  44. \end{array}
  45. \right\vert + \left\vert
  46. \begin{array}{cc}
  47. 3n & 3q \\
  48. n & q%
  49. \end{array}
  50. \right\vert$ $= -5 + 3 \cdot 0 = -5$, \item $-3 \cdot \left\vert
  51. \begin{array}{cc}
  52. n & m \\
  53. q & p%
  54. \end{array}
  55. \right\vert = 3 \left\vert
  56. \begin{array}{cc}
  57. m & n \\
  58. p & q%
  59. \end{array}
  60. \right\vert = -15$ \item $2 \cdot \left\vert
  61. \begin{array}{cc}
  62. p & m \\
  63. q & n%
  64. \end{array}
  65. \right\vert = 2 \cdot 5 = 10$, \item $1/m \cdot \left\vert
  66. \begin{array}{cc}
  67. m & n \\
  68. mp & mq%
  69. \end{array}
  70. \right\vert = \left\vert
  71. \begin{array}{cc}
  72. m & n \\
  73. p & q%
  74. \end{array}
  75. \right\vert = -5$, \item $5 \cdot \left\vert
  76. \begin{array}{cc}
  77. m & m \\
  78. p & p%
  79. \end{array}
  80. \right\vert = 0$
  81. \end{enumerate*}
  82. \item[\ref{exercici:det-9}]\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  83. \item \begin{align*}
  84. \left\vert
  85. \begin{array}{ccc}
  86. 1 & 1 & 1 \\
  87. a+7 & b+7 & c+7\\
  88. \frac{x}{2} & \frac{y}{2} & \frac{z}{2}
  89. \end{array}
  90. \right\vert & = \frac{1}{2} \left\vert
  91. \begin{array}{ccc}
  92. 1 & 1 & 1 \\
  93. a+7 & b+7 & c+7\\
  94. x & y & z
  95. \end{array}
  96. \right\vert\\
  97. & = \frac{1}{2} \cdot \left(\left\vert
  98. \begin{array}{ccc}
  99. 1 & 1 & 1 \\
  100. a & b & c\\
  101. x & y & z
  102. \end{array}
  103. \right\vert + \left\vert
  104. \begin{array}{ccc}
  105. 1 & 1 & 1 \\
  106. 7 & 7 & 7\\
  107. x & y & z
  108. \end{array}
  109. \right\vert\right)\\
  110. & = \frac{1}{2} \cdot (5 + 0) = \frac{5}{2}
  111. \end{align*}
  112. \item \begin{equation*}
  113. \left\vert
  114. \begin{array}{ccc}
  115. a & b & c\\
  116. x & y & z\\
  117. 1 & 1 & 1
  118. \end{array}
  119. \right\vert = - \left\vert
  120. \begin{array}{ccc}
  121. 1 & 1 & 1\\
  122. x & y & z\\
  123. a & b & c
  124. \end{array}
  125. \right\vert = \left\vert
  126. \begin{array}{ccc}
  127. 1 & 1 & 1\\
  128. a & b & c\\
  129. x & y & z
  130. \end{array}\right\vert = 5
  131. \end{equation*}
  132. \item \begin{align*}
  133. \left\vert
  134. \begin{array}{ccc}
  135. 1-x & 1-y & 1-z\\
  136. a+2x & b+2y & c+2z\\
  137. 2x & 2y & 2z
  138. \end{array}\right\vert = & \left\vert
  139. \begin{array}{ccc}
  140. 1-x & 1-y & 1-z\\
  141. a & b & c\\
  142. 2x & 2y & 2z
  143. \end{array}\right\vert\\
  144. = 2 \left\vert
  145. \begin{array}{ccc}
  146. 1-x & 1-y & 1-z\\
  147. a & b & c\\
  148. x & y & z
  149. \end{array}\right\vert & = 2\left\vert
  150. \begin{array}{ccc}
  151. 1 & 1 & 1\\
  152. a & b & c\\
  153. x & y & z
  154. \end{array}\right\vert = 10
  155. \end{align*}
  156. \end{enumerate}
  157. \item[\ref{exercici:det-5}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant és igual a $x^3 - x = x(x^2 -1)=0$ si, i només si, $x=0$ o $x=\pm 1$, \item Fent Sarrus, tenim que $-2a + 2 = 0$ si, i només si, $a=1$ \item $\left\vert
  158. \begin{array}{ccc}
  159. a & 1 & -1 \\
  160. 0 & a+6 & 3\\
  161. a & 2 & 0
  162. \end{array}
  163. \right\vert$ $+$ $\left\vert
  164. \begin{array}{ccc}
  165. -1 & 1 & -1 \\
  166. 0 & a+6 & 3\\
  167. -1 & 2 & 0
  168. \end{array}
  169. \right\vert = (a-1) \Delta$, on $\Delta = \left\vert
  170. \begin{array}{ccc}
  171. 1 & 1 & -1 \\
  172. 0 & a+6 & 3\\
  173. 1 & 2 & 0
  174. \end{array}
  175. \right\vert = (a+3)$. Per tant, $a = 1$ o $a=-3$.
  176. \end{enumerate*}
  177. \item[\ref{exercici:det-6}] Aplicant la regla de Sarrus, obtenim que el determinant val $x-x^3 = x (1-x^2)$. Per tant, el determinant val zero si, i només si, $x=0$ o bé $x= \pm 1$.
  178. \item[\ref{exercici:det-8}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $x^3+1$. Per tant, $x^3 +1 = 0$ si, i només si $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.
  179. \item[\ref{exercici:det-10}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $3a+1$.
  180. \item[\ref{exercici:det-11}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $-3a^2 + 2a + 5$. Resolent l'equació corresponent, $-3a^2 + 2a + 5 = 1$, tenim que el determinant val 0 si, i només si, $a=-1$ o $a=5/3$ (aplicant la fórmula de segon grau - vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau})
  181. \end{itemize}
  182. \subsection{Matrius}
  183. \begin{itemize}
  184. \item[\ref{exercici:matrius-1}] Tenim que $AB=\left(
  185. \begin{array}{rr}
  186. -2 & -3 \\
  187. -6 & 1 \\
  188. 8 & 4%
  189. \end{array}%
  190. \right)$ en canvi $BA$ no es pot fer
  191. \item[\ref{exercici:matrius-2}] $\left(
  192. \begin{array}{ccc}
  193. 33 & -12 & -15\\
  194. -12 & 12 & -9\\
  195. -15 & -9 & 29%
  196. \end{array}%
  197. \right)$
  198. \item[\ref{exercici:matrius-8}] $m=-1$ i $n=0$
  199. \item[\ref{exercici:matrius-3}] $X=\left(
  200. \begin{array}{rr}
  201. -4 & -5 \\
  202. 7 & 14%
  203. \end{array}%
  204. \right)$ i $Y=\left(
  205. \begin{array}{rr}
  206. -3 & -5 \\
  207. 4 & 8%
  208. \end{array}%
  209. \right)$
  210. \item[\ref{exercici:matrius-15-parametre}] Les matrius són singulars per \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\alpha=-1$ i $\alpha=-4$, \item $a = \pm\sqrt{3}$, \item $a=-3$, \item $\alpha =-1/3$ i $\alpha=2$, \item $a=0$, \item sempre, \item $m=0$ i $m=1$, \item $m=0$, \item $a=0$ i $a=1$, \item mai, \item $a=0$ i $a=\pm 1$, \item $k=0$, \item $x=1$ i $x=2$, \item $a=1$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=2$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=0$, \item $k=\pm 1$ \end{enumerate*}
  211. \end{itemize}
  212. \subsection{Sistemes d'equacions}
  213. \begin{itemize}
  214. \item[\ref{alicia-espuig-sistemes-0}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(0,1,1)$ \item $(1,2,-1)$ \item $(5,1,0)$ \item $(1/2, -1/4, 1)$ \item compatible indeterminat $(\lambda/2, 3\lambda/2, \lambda)$, amb $\lambda \in \mathbb{R}$ \item incompatible
  215. \end{enumerate*}
  216. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-1}] $80$ cotxes blancs, $48$ cotxes negres i $12$ cotxes vermells
  217. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-2}]En Pere té $60$ €, en Joan en té $40$ i n'Àngel, $100$.
  218. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-3}] Un pastisset de moniato costa $2,5$ €, el de nata, $3,25$ € i el de xocolata, $1,75$ €.
  219. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-4}] Hi ha 3 pomes, 4 peres i 5 plàtans.
  220. \end{itemize}
  221. \section{Geometria}
  222. \begin{itemize}
  223. \item[\ref{exer:geom:antic-215}] $\vec{a}$ és paral·lel a $\vec{c}$, $\vec{a}$ és paral·lel a $\vec{d}$ i $\vec{c}$ és paral·lel a $\vec{d}$.
  224. \item[\ref{exer:geom:antic-216}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $4$, \item $\sqrt{5}$, \item angle de $61,43\degree$ \end{enumerate*}
  225. \item[\ref{exer:geom:antic-217}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $m = -2$, \item $m=\frac{2}{5}$\end{enumerate*}
  226. \item[\ref{exer:geom:antic-218}] $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{280}} \sim 86,57\degree$
  227. \item[\ref{exer:geom:antic-219}] $m = \frac{5}{3}$
  228. \item[\ref{exer:geom:antic-220}] $\sqrt{54}$
  229. \item[\ref{exer:geom:antic-221}] $\frac{1}{\sqrt{91}} \vec{(-3, -1, 9)}$
  230. \item[\ref{exer:geom:antic-222}] $\vec{(-2,-2,4)}$ o $\vec{(2,2,-4)}$
  231. \item[\ref{exer:geom:antic-223}] $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] = -6$
  232. \item[\ref{exer:geom:antic-224}] $\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert = \lvert -6 \rvert = 6$
  233. \item[\ref{exer:geom:antic-225}] $m = -4$
  234. \item[\ref{exer:geom:antic-226}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $a = 1/\sqrt{24}$, \item $\vec{\left(-12/\sqrt{24}, 12/\sqrt{24}, -24/\sqrt{24}\right)}$ \end{enumerate*}
  235. \item[\ref{exer:geom:antic-227}] $\vec{(2,-1,1)}$
  236. \item[\ref{exer:geom:antic-228}] $\vec{(95/30, 57/45, -57/30)}$
  237. \item[\ref{exer:geom:antic-229}] No estan alineats
  238. \item[\ref{exer:geom:antic-230}] El punt és $A' = (4, -5, 4)$
  239. \item[\ref{exer:geom:antic-231}] $a = -1$ i $b= \frac{-5}{2}$
  240. \item[\ref{exer:geom:antic-233}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-3,2,1) + \lambda (-2,1,-1)$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{
  241. \begin{array}{l}
  242. x=-3-2\lambda \\
  243. y=2+\lambda \\
  244. z=1-\lambda%
  245. \end{array}%
  246. \right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+3}{-2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$, \item Forma implícita $r \equiv \left\{
  247. \begin{array}{l}
  248. x+2y-1 = 0 \\
  249. -y -z + 3 = 0%
  250. \end{array}%
  251. \right.$ \end{enumerate*}
  252. \item[\ref{exer:geom:antic-234}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-4,2,5) + \lambda (0,0,1)$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{
  253. \begin{array}{l}
  254. x=-4 \\
  255. y=2 \\
  256. z=5+\lambda%
  257. \end{array}%
  258. \right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+4}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5}{1}$, \item Forma implícita $r \equiv \left\{
  259. \begin{array}{l}
  260. x+4 = 0 \\
  261. y-2 = 0%
  262. \end{array}%
  263. \right.$ \end{enumerate*}
  264. \item[\ref{exer:geom:antic-235}] No estan en el mateix pla.
  265. \item[\ref{exer:geom:antic-236}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item S'encreuen, \item s'encreuen, \item s'encreuen, \item coincidents \end{enumerate*}
  266. \item[\ref{exer:geom:antic-237}] Es tallen
  267. \item[\ref{exer:geom:antic-238}] $m=12$ i $n = -3$
  268. \item[\ref{exer:geom:antic-239}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \colon 5x -3y +4z -23 = 0$, \item $2x -y +3z +1 = 0$ \end{enumerate*}
  269. \item[\ref{exer:geom:mat-especiales-1}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \equiv 13x -y -3z -16 = 0$, \item $\pi \equiv 3x -2y +5z -14 =0$\end{enumerate*}
  270. \item[\ref{exer:geom:antic-240}] Per ser paral·lels $m = 6$ i $n = \frac{1}{3}$. No són coincidents.
  271. \item[\ref{exer:geom:antic-241}] $\pi \colon 2x -y +z -5 =0$.
  272. \item[\ref{exer:geom:antic-242}] L'equació del pla que les conté és $2x +16y-20z +38 = 0$.
  273. \item[\ref{exer:geom:antic-243}] $a=-2$; el pla que les conté és $\pi \colon x-y-2z -2 = 0$.
  274. \item[\ref{exer:geom:antic-244}] $r$ és paral·lela a $\pi$.
  275. \item[\ref{exer:geom:antic-245}] $4x +7y +z -27 =0$
  276. \item[\ref{exer:geom:antic-246}] $x+14y+11z +12 = 0$
  277. \item[\ref{exer:geom:antic-247}] $m=-1$; $\pi \colon -x +4y -3z +2=0$
  278. \item[\ref{exer:geom:antic-248}] $-5x -3y +z +12 = 0$
  279. \item[\ref{exer:geom:antic-249}] $11x -4y +5z -1 = 0$
  280. \item[\ref{exer:geom:antic-250}] Secants.
  281. \end{itemize}