Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
 
 

176 lines
6.6 KiB

  1. \chapter{Solucions}
  2. \section{Àlgebra lineal}
  3. \subsection{Determinants}
  4. \begin{itemize}
  5. \item[\ref{exercici:det-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $13$, \item $73$ \item $-12$ \item $18$ \item $-256$ \end{enumerate*}
  6. \item[\ref{exercici:det-6}] Aplicant la regla de Sarrus, obtenim que el determinant val $x-x^3 = x (1-x^2)$. Per tant, el determinant val zero si, i només si, $x=0$ o bé $x= \pm 1$.
  7. \item[\ref{exercici:det-8}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $x^3+1$. Per tant, $x^3 +1 = 0$ si, i només si $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.
  8. \item[\ref{exercici:det-10}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $3a+1$.
  9. \item[\ref{exercici:det-11}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $-3a^2 + 2a + 5$. Resolent l'equació corresponent, $-3a^2 + 2a + 5 = 1$, tenim que el determinant val 0 si, i només si, $a=-1$ o $a=5/3$ (aplicant la fórmula de segon grau - vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau})
  10. \end{itemize}
  11. \subsection{Matrius}
  12. \begin{itemize}
  13. \item[\ref{exercici:matrius-1}] Tenim que $AB=\left(
  14. \begin{array}{rr}
  15. -2 & -3 \\
  16. -6 & 1 \\
  17. 8 & 4%
  18. \end{array}%
  19. \right)$ en canvi $BA$ no es pot fer
  20. \item[\ref{exercici:matrius-2}] $\left(
  21. \begin{array}{ccc}
  22. 33 & -12 & -15\\
  23. -12 & 12 & -9\\
  24. -15 & -9 & 29%
  25. \end{array}%
  26. \right)$
  27. \item[\ref{exercici:matrius-8}] $m=-1$ i $n=0$
  28. \item[\ref{exercici:matrius-3}] $X=\left(
  29. \begin{array}{rr}
  30. -4 & -5 \\
  31. 7 & 14%
  32. \end{array}%
  33. \right)$ i $Y=\left(
  34. \begin{array}{rr}
  35. -3 & -5 \\
  36. 4 & 8%
  37. \end{array}%
  38. \right)$
  39. \item[\ref{exercici:matrius-15-parametre}] Les matrius són singulars per \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\alpha=-1$ i $\alpha=-4$, \item $a = \pm\sqrt{3}$, \item $a=-3$, \item $\alpha =-1/3$ i $\alpha=2$, \item $a=0$, \item sempre, \item $m=0$ i $m=1$, \item $m=0$, \item $a=0$ i $a=1$, \item mai, \item $a=0$ i $a=\pm 1$, \item $k=0$, \item $x=1$ i $x=2$, \item $a=1$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=2$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=0$, \item $k=\pm 1$ \end{enumerate*}
  40. \end{itemize}
  41. \subsection{Sistemes d'equacions}
  42. \begin{itemize}
  43. \item[\ref{alicia-espuig-sistemes-0}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(0,1,1)$ \item $(1,2,-1)$ \item $(5,1,0)$ \item $(1/2, -1/4, 1)$ \item compatible indeterminat $(\lambda/2, 3\lambda/2, \lambda)$, amb $\lambda \in \mathbb{R}$ \item incompatible
  44. \end{enumerate*}
  45. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-1}] $80$ cotxes blancs, $48$ cotxes negres i $12$ cotxes vermells
  46. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-2}]En Pere té $60$ €, en Joan en té $40$ i n'Àngel, $100$.
  47. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-3}] Un pastisset de moniato costa $2,5$ €, el de nata, $3,25$ € i el de xocolata, $1,75$ €.
  48. \item[\ref{exer:espuig-sistemes-4}] Hi ha 3 pomes, 4 peres i 5 plàtans.
  49. \item[\ref{xisco:exer4.21}] Inverteixen 5.000€, 5.000 € i 10.000€.
  50. \end{itemize}
  51. \section{Geometria}
  52. \begin{itemize}
  53. \item[\ref{exer:geom:antic-215}] $\vec{a}$ és paral·lel a $\vec{c}$, $\vec{a}$ és paral·lel a $\vec{d}$ i $\vec{c}$ és paral·lel a $\vec{d}$.
  54. \item[\ref{exer:geom:antic-216}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $4$, \item $\sqrt{5}$, \item angle de $61,43\degree$ \end{enumerate*}
  55. \item[\ref{exer:geom:antic-217}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $m = -2$, \item $m=\frac{2}{5}$\end{enumerate*}
  56. \item[\ref{exer:geom:antic-218}] $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{280}} \sim 86,57\degree$
  57. \item[\ref{exer:geom:antic-219}] $m = \frac{5}{3}$
  58. \item[\ref{exer:geom:antic-220}] $\sqrt{54}$
  59. \item[\ref{exer:geom:antic-221}] $\frac{1}{\sqrt{91}} \vec{(-3, -1, 9)}$
  60. \item[\ref{exer:geom:antic-222}] $\vec{(-2,-2,4)}$ o $\vec{(2,2,-4)}$
  61. \item[\ref{exer:geom:antic-223}] $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] = -6$
  62. \item[\ref{exer:geom:antic-224}] $\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert = \lvert -6 \rvert = 6$
  63. \item[\ref{exer:geom:antic-225}] $m = -4$
  64. \item[\ref{exer:geom:antic-226}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $a = 1/\sqrt{24}$, \item $\vec{\left(-12/\sqrt{24}, 12/\sqrt{24}, -24/\sqrt{24}\right)}$ \end{enumerate*}
  65. \item[\ref{exer:geom:antic-227}] $\vec{(2,-1,1)}$
  66. \item[\ref{exer:geom:antic-228}] $\vec{(95/30, 57/45, -57/30)}$
  67. \item[\ref{exer:geom:antic-229}] No estan alineats
  68. \item[\ref{exer:geom:antic-230}] El punt és $A' = (4, -5, 4)$
  69. \item[\ref{exer:geom:antic-231}] $a = -1$ i $b= \frac{-5}{2}$
  70. \item[\ref{exer:geom:antic-233}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-3,2,1) + \lambda (-2,1,-1)$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{
  71. \begin{array}{l}
  72. x=-3-2\lambda \\
  73. y=2+\lambda \\
  74. z=1-\lambda%
  75. \end{array}%
  76. \right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+3}{-2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$, \item Forma implícita $r \equiv \left\{
  77. \begin{array}{l}
  78. x+2y-1 = 0 \\
  79. -y -z + 3 = 0%
  80. \end{array}%
  81. \right.$ \end{enumerate*}
  82. \item[\ref{exer:geom:antic-234}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-4,2,5) + \lambda (0,0,1)$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{
  83. \begin{array}{l}
  84. x=-4 \\
  85. y=2 \\
  86. z=5+\lambda%
  87. \end{array}%
  88. \right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+4}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5}{1}$, \item Forma implícita $r \equiv \left\{
  89. \begin{array}{l}
  90. x+4 = 0 \\
  91. y-2 = 0%
  92. \end{array}%
  93. \right.$ \end{enumerate*}
  94. \item[\ref{exer:geom:antic-235}] No estan en el mateix pla.
  95. \item[\ref{exer:geom:antic-236}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item S'encreuen, \item s'encreuen, \item s'encreuen, \item coincidents \end{enumerate*}
  96. \item[\ref{exer:geom:antic-237}] Es tallen
  97. \item[\ref{exer:geom:antic-238}] $m=12$ i $n = -3$
  98. \item[\ref{exer:geom:antic-239}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \colon 5x -3y +4z -23 = 0$, \item $2x -y +3z +1 = 0$ \end{enumerate*}
  99. \item[\ref{exer:geom:mat-especiales-1}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \equiv 13x -y -3z -16 = 0$, \item $\pi \equiv 3x -2y +5z -14 =0$\end{enumerate*}
  100. \item[\ref{exer:geom:antic-240}] Per ser paral·lels $m = 6$ i $n = \frac{1}{3}$. No són coincidents.
  101. \item[\ref{exer:geom:antic-241}] $\pi \colon 2x -y +z -5 =0$.
  102. \item[\ref{exer:geom:antic-242}] L'equació del pla que les conté és $2x +16y-20z +38 = 0$.
  103. \item[\ref{exer:geom:antic-243}] $a=-2$; el pla que les conté és $\pi \colon x-y-2z -2 = 0$.
  104. \item[\ref{exer:geom:antic-244}] $r$ és paral·lela a $\pi$.
  105. \item[\ref{exer:geom:antic-245}] $4x +7y +z -27 =0$
  106. \item[\ref{exer:geom:antic-246}] $x+14y+11z +12 = 0$
  107. \item[\ref{exer:geom:antic-247}] $m=-1$; $\pi \colon -x +4y -3z +2=0$
  108. \item[\ref{exer:geom:antic-248}] $-5x -3y +z +12 = 0$
  109. \item[\ref{exer:geom:antic-249}] $11x -4y +5z -1 = 0$
  110. \item[\ref{exer:geom:antic-250}] Secants.
  111. \end{itemize}