Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

08-apendix.tex 9.1KB

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256
  1. \chapter{Recordatori de matemàtica elemental}\label{apendix}
  2. Aqu\'{\i} es fa un recordatori de qualcuns continguts de matem\`{a}tiques
  3. elementals.
  4. \section{Operacions amb n\'{u}meros}
  5. \subsection{Sumes i restes}
  6. Si en una expressió només hi apareixen sumes i restes de nombres sencers, el valor final d'aquesta expressió es calcula de la manera següent:
  7. \begin{enumerate}
  8. \item es sumen per separat el nombres positius i els nombres negatius
  9. \item es resten els resultats de l'apartat anterior i es posa el signe del
  10. que tengui major valor absolut.
  11. \end{enumerate}
  12. \begin{example}
  13. \begin{equation*}
  14. -2+8-15-3+7=15-20=-5
  15. \end{equation*}
  16. \end{example}
  17. \subsection{Producte i quocient de dos n\'{u}meros}
  18. Per multiplicar o dividir {\em dos} nombres es segueix la regla següent: si els dos nombres tenen el mateix signe, el resultat del producte o de la divisió és positiu, i si els dos nombres tenen signes diferents, el resultat és negatiu.
  19. \begin{example}
  20. \begin{equation*}
  21. -2\cdot \left( -3\right) =6
  22. \end{equation*}%
  23. \begin{equation*}
  24. 20:\left( -4\right) =-5
  25. \end{equation*}
  26. \end{example}
  27. \subsection{Jerarquia d'operacions}
  28. TODO
  29. \subsection{Càlcul del mínim comú múltiple}
  30. \begin{definition}[múltiple d'un nombre] Donat dos nombres $a$, $b$, direm que $b$ és un \term{múltiple}\index{múltiple} de $a$ si, i només si, existeix un altre nombre $r$ tal que $a \cdot r = b$ o dit d'altra manera si quan dividim $b$ entre $a$ el reste és 0.
  31. \end{definition}
  32. \begin{example}60 és múltiple de 2 perquè $2 \cdot 30 = 60$. També és múltiple de 3, 5, 10, 20, 30 i 60. Però $60$ no és múltiple de $40$ perquè $60$ entre $40$ no dóna reste 0.
  33. \end{example}
  34. Es pot fer una llista de {\em tots} els múltiples d'un nombre multiplicant aquest nombre consecutivament per $1$, $2$, etc. Per exemple, els múltiples de $60$ són: $60 \cdot 1 = 60$, $60 \cdot 2 = 120$, $60 \cdot 3 = 180$, etc.
  35. \begin{definition}[mínim comú múltiple] Donats els nombres $a_1, a_2, \ldots, a_r$ el seu \term{mínim comú múltiple}\index{mínim comú múltiple} és el menor de tots els seus múltiples comuns. El mínim comú múltiple s'abreuja mcm.
  36. \end{definition}
  37. \begin{example}\label{exemple-llista-mcm} Els nombres 10 i 12 tenen com a mínim comú múltiple. La raó és que:
  38. \begin{itemize}
  39. \item Els múltiples de 10 són: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, \ldots
  40. \item Els múltiples de 12 són: 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, \ldots
  41. \end{itemize}
  42. Per tant, els múltiples comuns són $60$, $120$, etc. Llavors $60$ és el menor d'aquests múltiples i, per tant, és el mcm.
  43. \end{example}
  44. Existeixen diversos procediments per a calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres:
  45. \begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la llista de múltiples] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
  46. \begin{enumerate}
  47. \item Es llisten els múltiples de cada nombre
  48. \item Es selecciona el múltiple més petit
  49. \end{enumerate}
  50. \end{algorithm}
  51. L'exemple anterior (\autoref{exemple-llista-mcm}) exemplifica aquest procediment.
  52. S'ha de dir que aquest procediment és molt lent, sobretot per nombres grans.
  53. \begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la factorització de nombres] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
  54. \begin{enumerate}
  55. \item Es factoritzen els nombres en factors primers\footnote{La llista de primers és infinita, però els sis primers primers són: 2, 3, 5, 7, 11, 13.}
  56. \item El mínim comú múltiple s'obté prenent tots els factors elevats al màxim exponent
  57. \end{enumerate}
  58. \end{algorithm}
  59. Aquest és el procediment {\em estàndard} per al càlcul del mínim comú múltiple.
  60. \begin{example} Calculeu el mcm de 20, 12 i 100:
  61. \begin{enumerate}
  62. \item Factoritzem els nombres
  63. \item Per tant, $20 = 2^2 \cdot 5$, $12 = 2^2 \cdot 3$ i $100 = 2^2 \cdot 5^2$
  64. \item Llavors el mcm és igual a $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$
  65. \end{enumerate}
  66. \end{example}
  67. \begin{algorithm}[càlcul del mcm de forma ràpida per nombres petits] Aquest algorisme és ràpid sobretot per nombres petits. Si $a$, $b$, $c$ i $d$ són els nombres dels quals volem trobar el mínim comú múltiple, aleshores:
  68. \begin{enumerate}
  69. \item Es selecciona el nombre més gran. Suposem que és $a$
  70. \item Es generen els seus múltiples
  71. \item Per a cada múltiple es comprova si aquest és múltiple dels altres nombres, és a dir, si la seva divisió dóna exacte
  72. \item Si és així, llavors aquest és el mínim comú múltiple. En cas contrari, es genera el múltiple següent de $a$.
  73. \end{enumerate}
  74. \end{algorithm}
  75. El més usual és que necessitem el mínim comú múltiple per resoldre equacions de primer grau que tenguin fraccions. En aquest cas però no és necessari calcular el mínim comú múltiple. Bastaria calcular un múltiple (vegi's \autoref{repas-equacions-de-primer-grau}).
  76. \begin{exercise} Calculeu el mínim comú múltiple per als conjunts de nombres següents:
  77. \begin{multicols}{3}
  78. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  79. \item $20$ i $8$
  80. \item $12$ i $42$
  81. \item $8$ i $12$
  82. \item $12$ i $21$
  83. \item $30$ i $65$
  84. \item $10$ i $12$
  85. \item $20$ i $36$
  86. \item $15$, $20$ i $30$
  87. \item $6$, $8$ i $12$
  88. \item $30$, $45$ i $60$
  89. \item $12$, $18$, $20$ i $32$
  90. \item $17$, $68$ i $34$
  91. \item $10$, $105$ i $22$
  92. \item $25$, $75$ i $200$
  93. \end{enumerate}
  94. \end{multicols}
  95. \end{exercise}
  96. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 40, \item 84, \item 24, \item 84, \item 390, \item 60, \item 180, \item 60, \item 24, \item 180, \item 1440, \item 68, \item 2310, \item 600 \end{enumerate*} \end{solution*}
  97. \section{Equacions de primer grau}\label{repas-equacions-de-primer-grau}
  98. Per resoldre una equació de primer grau es segueixen les passes de
  99. l'exemple següent:
  100. \begin{example}
  101. Resol l'equaci\'{o}%
  102. \begin{equation*}
  103. 5x-\frac{3x+1}{8}=x+\frac{5x-3}{4}-\frac{3}{2}
  104. \end{equation*}
  105. Resolució:
  106. \begin{enumerate}
  107. \item Primer:
  108. $$\dfrac{5x}{1}-\dfrac{3x+1}{8}=\dfrac{x}{1}+\dfrac{5x-3}{4}-\dfrac{3}{2}$$
  109. \item Segon (càlcul del mcm): $mcm\left( 8,4,2\right) =8$
  110. \item Tercer (reducció a comú denominador):
  111. $$\dfrac{40x}{8}- \dfrac{ 3x+1}{8} =\dfrac{8x}{8}+\dfrac{2\cdot \left(5x-3\right)}{8} -\dfrac{12}{8}$$
  112. \item Quart (eliminem els denominadors):
  113. $$40x-\left( 3x+1\right) =8x+2\cdot \left(5x-3\right) -12$$
  114. \item Cinquè (eliminem els parèntesis):
  115. $$40x-3x-1=8x+10x-6-12$$
  116. \item Sisè (transposició de termes):
  117. $$40x-3x-8x-10x=-6-12+1$$
  118. \item Setè (operar):
  119. $$19x=-17$$
  120. \item Vuitè (aïllar l'incògnita):
  121. $$x=\dfrac{-17}{19}$$
  122. \end{enumerate}
  123. \end{example}
  124. \begin{remark}Normalment es passa del segon al cinquè pas quan es té suficient soltura.
  125. \end{remark}
  126. \begin{remark}D'altra banda, es pot no calcular el mínim comú múltiple dels denominadors i només calcular-ne {\em un} múltiple. Per exemple es podria calcular el múltiple sorgit de la multiplicació dels denominadors, o sigui, $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$. I realitzar tots els càlculs amb 64 en comptes de 8. L'equació resultant tendria les mateixes solucions, encara que els nombres sorgits (dels passos tercer al vuitè) serien majors.
  127. \end{remark}
  128. \begin{exercise}Resoleu les equacions següents:
  129. \begin{multicols}{3}
  130. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  131. \item $x+1 = 5$
  132. \item $x-10 = 50$
  133. \item $3x-10 = 30$
  134. \item $5x-2 = 13$
  135. \item $\frac{x}{2} = 8$
  136. \item $\frac{x}{2} + 1 = 8$
  137. \item $\frac{x}{3} -4 = 8$
  138. \item $2x+1 = 7-x$
  139. \item $3x+10 = 22+x$
  140. \item $4x+2=10+2x$
  141. \item $5x-2 = 13 + 3x$
  142. \end{enumerate}
  143. \end{multicols}
  144. \end{exercise}
  145. TODO: de MathTex i de na Despuig
  146. \section{Extracció de factor comú}
  147. El factor comú d'una expressió pot ser un nombre, una lletra, o bé ambdues coses:
  148. \begin{example}
  149. \begin{eqnarray*}
  150. -8+12-6+2 &=&2\cdot \left( -4+6-3+1\right) \\
  151. && \\
  152. -x^{5}+4x^{3}-x^{2} &=&x^{2}\cdot \left( -x^{3}+4x-1\right) \\
  153. && \\
  154. 5x^{6}-10x^{4}-15x^{3} &=&5x^{3}\cdot \left( x^{3}-2x-3\right)
  155. \end{eqnarray*}
  156. \end{example}
  157. \section{Equacions de segon grau}
  158. Les equacions de segon grau són de la forma%
  159. \begin{equation*}
  160. ax^{2}+bx+c=0,\text{ amb }a\neq 0
  161. \end{equation*}%
  162. La solució d'aquestes equacions es calcula amb la fórmula següent:%
  163. \begin{equation*}
  164. x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
  165. \end{equation*}
  166. \begin{example}La solució de l'equació $x^{2}-5x+6=0$ és%
  167. \begin{eqnarray*}
  168. x &=&\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right) ^{2}-4\cdot 1\cdot 6}%
  169. }{2\cdot 1}=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2} \\
  170. && \\
  171. &=&\frac{5\pm 1}{2}=\left\{
  172. \begin{array}{c}
  173. \frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3 \\
  174. \\
  175. \frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2%
  176. \end{array}%
  177. \right.
  178. \end{eqnarray*}
  179. \end{example}
  180. Les equacions incompletes de segon grau, és a dir, aquelles en les quals $b=0$ o $c=0$ (o tots dos valen zero) es poden resoldre d'una altra manera, encara que també es poden resoldre amb la fórmula de segon grau. Aquí en donem dos exemples:
  181. \begin{example}
  182. \begin{equation*}
  183. -3x^{2}+12=0;\text{ }-3x^{2}=-12;\text{ }x^{2}=\frac{-12}{-3}=4;\text{ }%
  184. x=\pm \sqrt{4}=\pm 2
  185. \end{equation*}
  186. \end{example}
  187. \begin{example}
  188. \begin{equation*}
  189. 2x^{2}-5x=0;\text{ }x\left( 2x-5\right) =0\text{ }\left\{
  190. \begin{array}{l}
  191. x=0 \\
  192. \\
  193. 2x-5=0;\text{ }x=\frac{5}{2}%
  194. \end{array}%
  195. \right.
  196. \end{equation*}
  197. \end{example}