Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

08-apendix.tex 30KB

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605606607608609610611612613614615616617618619620621622623624625626627628629630631632633634635636637638639640641642643644645646647648649650651652653654655656657658659660661662663664665666667668669670671672673674675676677678679680681682683684685686687688689690691692693694695696697698
  1. \chapter{Recordatori de matemàtica elemental}\label{apendix}
  2. Aqu\'{\i} es fa un recordatori de qualcuns continguts de matem\`{a}tiques
  3. elementals.
  4. \section{Operacions amb nombres}
  5. \subsection{Sumes i restes}
  6. Si en una expressió només hi apareixen sumes i restes de nombres sencers, el valor final d'aquesta expressió es calcula de la manera següent:
  7. \begin{enumerate}
  8. \item es sumen per separat el nombres positius i els nombres negatius
  9. \item es resten els resultats de l'apartat anterior i es posa el signe del
  10. que tengui major valor absolut.
  11. \end{enumerate}
  12. \begin{example}
  13. \begin{equation*}
  14. -2+8-15-3+7=15-20=-5
  15. \end{equation*}
  16. \end{example}
  17. \subsection{Producte i quocient de dos nombres}
  18. Per multiplicar o dividir {\em dos} nombres es segueix la regla següent: si els dos nombres tenen el mateix signe, el resultat del producte o de la divisió és positiu, i si els dos nombres tenen signes diferents, el resultat és negatiu.
  19. \begin{example}
  20. \begin{equation*}
  21. -2\cdot \left( -3\right) =6
  22. \end{equation*}%
  23. \begin{equation*}
  24. 20:\left( -4\right) =-5
  25. \end{equation*}
  26. \end{example}
  27. \subsection{Jerarquia d'operacions}
  28. Per a calcular expressions aritmètiques que tenen diverses operacions, s'aplica un ordre en la que certes operacions es calculen abans que unes altres. S'anomena \term{jerarquia d'operacions}\index{jerarquia!d'operacions} a l'ordre en el que s'efectuen les operacions. Aquesta és:
  29. \begin{enumerate}
  30. \item Parèntesis
  31. \item Potències
  32. \item Productes i divisions
  33. \item Sumes i rectes
  34. \end{enumerate}
  35. \begin{example}Calculeu
  36. \begin{equation*}
  37. 3 + 4 \cdot 5
  38. \end{equation*}
  39. \bigskip
  40. Per a calcular aquesta expressió, hem de calcular en primer lloc el producte, encara que l'operació no sigui la primera en aparèixer. En posterioritat, calcularíem la suma. Per tant,
  41. \begin{equation*}
  42. \begin{split}
  43. 3+4 \cdot 5 & = 3 + 20\\
  44. & = 23
  45. \end{split}
  46. \end{equation*}
  47. \end{example}
  48. \begin{example}Calculeu
  49. \begin{equation*}
  50. \left(3 + 4\right) \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(3^2 - 5\cdot 2\right)^2 + 2^2
  51. \end{equation*}
  52. En primer lloc, calcularem els parèntesis. S'ha de dir que com que el resultat d'un no influeix al resultat de l'altre, llavors es poden calcular de forma simultània. En general, podem fer això sempre que les subexpressions siguin sumands d'una expressió més general (tècnicament es diuen \term{termes}\index{termes}). Així, calcularíem l'expressió numèrica de la forma:
  53. \begin{equation*}
  54. \begin{split}
  55. \left(3 + 4\right) \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(3^2 - 5\cdot 2\right)^2 + 2^2 & = 7 \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(9-10\right) + 4\\
  56. & = 35 + \frac{1}{2} - (-1) + 4\\
  57. & = 35 + \frac{1}{2} + 1 +4 \\
  58. & = 40 + \frac{1}{2} \\
  59. & = \frac{81}{2}
  60. \end{split}
  61. \end{equation*}
  62. \end{example}
  63. \subsection{Càlcul del mínim comú múltiple}
  64. \begin{definition}[múltiple d'un nombre] Donat dos nombres $a$, $b$, direm que $b$ és un \term{múltiple}\index{múltiple} de $a$ si, i només si, existeix un altre nombre $r$ tal que $a \cdot r = b$ o dit d'altra manera si quan dividim $b$ entre $a$ el reste és 0.
  65. \end{definition}
  66. \begin{example}60 és múltiple de 2 perquè $2 \cdot 30 = 60$. També és múltiple de 3, 5, 10, 20, 30 i 60. Però $60$ no és múltiple de $40$ perquè $60$ entre $40$ no dóna reste 0.
  67. \end{example}
  68. Es pot fer una llista de {\em tots} els múltiples d'un nombre multiplicant aquest nombre consecutivament per $1$, $2$, etc. Per exemple, els múltiples de $60$ són: $60 \cdot 1 = 60$, $60 \cdot 2 = 120$, $60 \cdot 3 = 180$, etc.
  69. \begin{definition}[mínim comú múltiple] Donats els nombres $a_1, a_2, \ldots, a_r$ el seu \term{mínim comú múltiple}\index{mínim comú múltiple} és el menor de tots els seus múltiples comuns. El mínim comú múltiple s'abreuja mcm.
  70. \end{definition}
  71. \begin{example}\label{exemple-llista-mcm} Els nombres 10 i 12 tenen com a mínim comú múltiple. La raó és que:
  72. \begin{itemize}
  73. \item Els múltiples de 10 són: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, \ldots
  74. \item Els múltiples de 12 són: 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, \ldots
  75. \end{itemize}
  76. Per tant, els múltiples comuns són $60$, $120$, etc. Llavors $60$ és el menor d'aquests múltiples i, per tant, és el mcm.
  77. \end{example}
  78. Existeixen diversos procediments per a calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres:
  79. \begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la llista de múltiples] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
  80. \begin{enumerate}
  81. \item Es llisten els múltiples de cada nombre
  82. \item Es selecciona el múltiple més petit
  83. \end{enumerate}
  84. \end{algorithm}
  85. L'exemple anterior (\autoref{exemple-llista-mcm}) exemplifica aquest procediment.
  86. S'ha de dir que aquest procediment és molt lent, sobretot per nombres grans.
  87. \begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la factorització de nombres] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
  88. \begin{enumerate}
  89. \item Es factoritzen els nombres en factors primers\footnote{La llista de primers és infinita, però els sis primers primers són: 2, 3, 5, 7, 11, 13.}
  90. \item El mínim comú múltiple s'obté prenent tots els factors elevats al màxim exponent
  91. \end{enumerate}
  92. \end{algorithm}
  93. Aquest és el procediment {\em estàndard} per al càlcul del mínim comú múltiple.
  94. \begin{example} Calculeu el mcm de 20, 12 i 100:
  95. \begin{enumerate}
  96. \item Factoritzem els nombres
  97. \item Per tant, $20 = 2^2 \cdot 5$, $12 = 2^2 \cdot 3$ i $100 = 2^2 \cdot 5^2$
  98. \item Llavors el mcm és igual a $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$
  99. \end{enumerate}
  100. \end{example}
  101. \begin{algorithm}[càlcul del mcm de forma ràpida per nombres petits] Aquest algorisme és ràpid sobretot per nombres petits. Si $a$, $b$, $c$ i $d$ són els nombres dels quals volem trobar el mínim comú múltiple, aleshores:
  102. \begin{enumerate}
  103. \item Es selecciona el nombre més gran. Suposem que és $a$
  104. \item Es generen els seus múltiples
  105. \item Per a cada múltiple es comprova si aquest és múltiple dels altres nombres, és a dir, si la seva divisió dóna exacte
  106. \item Si és així, llavors aquest és el mínim comú múltiple. En cas contrari, es genera el múltiple següent de $a$.
  107. \end{enumerate}
  108. \end{algorithm}
  109. El més usual és que necessitem el mínim comú múltiple per resoldre equacions de primer grau que tenguin fraccions. En aquest cas però no és necessari calcular el mínim comú múltiple. Bastaria calcular un múltiple (vegi's \autoref{repas-equacions-de-primer-grau}).
  110. \begin{exercise} Calculeu el mínim comú múltiple per als conjunts de nombres següents:
  111. \begin{multicols}{3}
  112. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  113. \item $20$ i $8$
  114. \item $12$ i $42$
  115. \item $8$ i $12$
  116. \item $12$ i $21$
  117. \item $30$ i $65$
  118. \item $10$ i $12$
  119. \item $20$ i $36$
  120. \item $15$, $20$ i $30$
  121. \item $6$, $8$ i $12$
  122. \item $30$, $45$ i $60$
  123. \item $12$, $18$, $20$ i $32$
  124. \item $17$, $68$ i $34$
  125. \item $10$, $105$ i $22$
  126. \item $25$, $75$ i $200$
  127. \end{enumerate}
  128. \end{multicols}
  129. \end{exercise}
  130. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 40, \item 84, \item 24, \item 84, \item 390, \item 60, \item 180, \item 60, \item 24, \item 180, \item 1440, \item 68, \item 2310, \item 600 \end{enumerate*} \end{solution*}
  131. \section{Equacions de primer grau}\label{repas-equacions-de-primer-grau}
  132. Per resoldre una \term{equació de primer grau}\index{equació!de primer grau} es segueixen les passes de
  133. l'exemple següent:
  134. \begin{example}
  135. Resol l'equació%
  136. \begin{equation*}
  137. 5x-\frac{3x+1}{8}=x+\frac{5x-3}{4}-\frac{3}{2}
  138. \end{equation*}
  139. Resolució:
  140. \begin{enumerate}
  141. \item Primer:
  142. $$\dfrac{5x}{1}-\dfrac{3x+1}{8}=\dfrac{x}{1}+\dfrac{5x-3}{4}-\dfrac{3}{2}$$
  143. \item Segon (càlcul del mcm): $mcm\left( 8,4,2\right) =8$
  144. \item Tercer (reducció a comú denominador):
  145. $$\dfrac{40x}{8}- \dfrac{ 3x+1}{8} =\dfrac{8x}{8}+\dfrac{2\cdot \left(5x-3\right)}{8} -\dfrac{12}{8}$$
  146. \item Quart (eliminem els denominadors):
  147. $$40x-\left( 3x+1\right) =8x+2\cdot \left(5x-3\right) -12$$
  148. \item Cinquè (eliminem els parèntesis):
  149. $$40x-3x-1=8x+10x-6-12$$
  150. \item Sisè (transposició de termes):
  151. $$40x-3x-8x-10x=-6-12+1$$
  152. \item Setè (operar):
  153. $$19x=-17$$
  154. \item Vuitè (aïllar l'incògnita):
  155. $$x=\dfrac{-17}{19}$$
  156. \end{enumerate}
  157. \end{example}
  158. \begin{remark}Normalment es passa del segon al cinquè pas quan es té suficient soltura.
  159. \end{remark}
  160. \begin{remark}D'altra banda, es pot no calcular el mínim comú múltiple dels denominadors i només calcular-ne {\em un} múltiple. Per exemple es podria calcular el múltiple sorgit de la multiplicació dels denominadors, o sigui, $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$. I realitzar tots els càlculs amb 64 en comptes de 8. L'equació resultant tendria les mateixes solucions, encara que els nombres sorgits (dels passos tercer al vuitè) serien majors.
  161. \end{remark}
  162. \begin{exercise}\label{matex-1}Resoleu les equacions següents:
  163. \begin{multicols}{3}
  164. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  165. \item $x+1 = 5$
  166. \item $x-10 = 50$
  167. \item $3x-10 = 30$
  168. \item $5x-2 = 13$
  169. \item $\frac{x}{2} = 8$
  170. \item $\frac{x}{2} + 1 = 8$
  171. \item $\frac{x}{3} -4 = 8$
  172. \item $2x+1 = 7-x$
  173. \item $3x+10 = 22+x$
  174. \item $4x+2=10+2x$
  175. \item $5x-2 = 13 + 3x$
  176. \item $2x+1 = 5$
  177. \item $2x+10 = 2 (7-x)$
  178. \end{enumerate}
  179. \end{multicols}
  180. \end{exercise}
  181. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 5, \item 60, \item $\frac{4}{3}$, \item 3, \item 16, \item 14, \item 36, \item 2, \item 6, \item 4, \item $\frac{15}{2}$, \item 2, \item 0 \end{enumerate*} \end{solution*}
  182. \begin{exercise}\label{matex-2}Resoleu les equacions següents:
  183. \begin{multicols}{2}
  184. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  185. \item $-(3x + 10) = 1 - (21 + x)$
  186. \item $2(x+2) = 24 - 2x$
  187. \item $2(x-2) = 3(1-x) - 7$
  188. \item $1-(3x+10) = 1 - (14-x)$
  189. \item $3-2(x-2) = -5 - 3(1-x)$
  190. \end{enumerate}
  191. \end{multicols}
  192. \end{exercise}
  193. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 5, \item 0, \item 1, \item 3 \end{enumerate*} \end{solution*}
  194. \begin{exercise}\label{matex-3}Resoleu les equacions següents:
  195. \begin{multicols}{2}
  196. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  197. \item $(x+2) - (x+3) = 2 - 3(1-x)$
  198. \item $2x+1 + (2x-3) = 2 + 3(1-x)$
  199. \item $x+1 + (3-x) = -3 (1-2x) -5$
  200. \item $2(x+2) - (x+3) = 1 -3x$
  201. \item $-(2x+1) + (2x-3) = -2 -3 (1-x)$
  202. \item $3x - (x-2) = -3(1+x) + 20$
  203. \end{enumerate}
  204. \end{multicols}
  205. \end{exercise}
  206. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 0, \item 1, \item 2, \item 0, \item 1, \item 2 \end{enumerate*} \end{solution*}
  207. \section{Extracció de factor comú}\label{annex:factor-comu}
  208. El factor comú d'una expressió pot ser un nombre, una lletra, o bé ambdues coses:
  209. \begin{example}
  210. \begin{eqnarray*}
  211. -8+12-6+2 &=&2\cdot \left( -4+6-3+1\right) \\
  212. && \\
  213. -x^{5}+4x^{3}-x^{2} &=&x^{2}\cdot \left( -x^{3}+4x-1\right) \\
  214. && \\
  215. 5x^{6}-10x^{4}-15x^{3} &=&5x^{3}\cdot \left( x^{3}-2x-3\right)
  216. \end{eqnarray*}
  217. \end{example}
  218. \section{Equacions de segon grau}\label{annex:equacions-segon-grau}
  219. Les \term{equacions de segon grau}\index{equacions!de segon grau} són aquelles que involucren una $x^2$. Formalment es formen igualant un polinomi de segon grau a zero (vegeu \autoref{annex:polinomis}).
  220. Les equacions de segon grau són de la forma%
  221. \begin{equation}\label{eq:formula-eq-segon-grau}
  222. ax^{2}+bx+c=0, \text{ amb }a\neq 0
  223. \end{equation}%
  224. La solució d'aquestes equacions es calcula amb la fórmula següent:%
  225. \begin{equation}\label{eq:formula-de-segon-grau}
  226. x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
  227. \end{equation}
  228. \begin{example}La solució de l'equació $x^{2}-5x+6=0$ és%
  229. \begin{eqnarray*}
  230. x &=&\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right) ^{2}-4\cdot 1\cdot 6}%
  231. }{2\cdot 1}=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2} \\
  232. && \\
  233. &=&\frac{5\pm 1}{2}=\left\{
  234. \begin{array}{c}
  235. \frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3 \\
  236. \\
  237. \frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2%
  238. \end{array}%
  239. \right.
  240. \end{eqnarray*}
  241. \end{example}
  242. Les \term{equacions incompletes}\index{equacions!incompletes de segon grau} de segon grau, és a dir, aquelles en les quals $b=0$ o $c=0$ (o tots dos valen zero) es poden resoldre d'una altra manera, encara que també es poden resoldre amb la fórmula de segon grau. Aquí en donem dos exemples (les equacions de segon grau que tenen tots els termes diferents de zero, s'anomenen \term{equacions completes}\index{equacions!completes de segon grau}).
  243. \begin{example}
  244. \begin{equation*}
  245. -3x^{2}+12=0;\text{ }-3x^{2}=-12;\text{ }x^{2}=\frac{-12}{-3}=4;\text{ }%
  246. x=\pm \sqrt{4}=\pm 2
  247. \end{equation*}
  248. \end{example}
  249. \begin{example}
  250. \begin{equation*}
  251. 2x^{2}-5x=0;\text{ }x\left( 2x-5\right) =0\text{ }\left\{
  252. \begin{array}{l}
  253. x=0 \\
  254. \\
  255. 2x-5=0;\text{ }x=\frac{5}{2}%
  256. \end{array}%
  257. \right.
  258. \end{equation*}
  259. \end{example}
  260. En general, les equacions de segon grau poden no ser de la forma \eqref{eq:formula-eq-segon-grau}, encara que sempre es poden reduir a aquesta forma.
  261. \begin{example}Resoleu l'equació $-3x^2 -2x + 15 = -15 +2x +2x^2 +x$.
  262. Aquesta equació és equivalent a $-3x^2 -2x + 15 +15 -2x -2x^2 -x = 0$. Sumant els termes semblants, tenim que això és equivalent a $-5x^2 -5x +30 = 0$. Aplicant la fórmula de segon grau \eqref{eq:formula-de-segon-grau}, obtenim que les solucions són $2$ i $-3$.
  263. \end{example}
  264. \begin{exercise}\label{meus-eq-2n-grau-2}Resoleu les equacions de 2n grau següents:
  265. \begin{multicols}{2}
  266. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  267. \item $4x^2 + 2x - 4 = -2x +4$
  268. \item $9x^2 - 63 x + 90 = 0$
  269. \item $-x^2 - 3x + 10 = x^2+3x-10$
  270. \item $-2x^2 + 4x -3 = -2x + x^2$
  271. \item $2x^2 + 4x +1 = -1$
  272. \item $2x + 1 = -2 -x^2$
  273. \end{enumerate}
  274. \end{multicols}
  275. \end{exercise}
  276. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-2$ i $1$, \item $2$ i $5$, \item $-5$ i $2$, \item $1$, \item $-1$, \item no té solució \end{enumerate*} \end{solution*}
  277. \begin{exercise}\label{meus-eq-2n-grau-1}Resoleu les equacions de 2n grau següents:
  278. \begin{multicols}{2}
  279. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  280. \item $3x^2 + 2x = 5x -2$
  281. \item $10x - 8x = x^2 -5$
  282. \item $9x - 8 = 7 -x^2$
  283. \item $8x^2 - 2 = 10x^2 -5x$
  284. \item $(x-2)^2 -5 = 10$
  285. \item $3(x+4)^2 = 10$
  286. \item $(x-2)^2 - 8 = 20x$
  287. \item $5(x-1)^2 = 2$
  288. \item $(x-1)^2 = -4$
  289. \item $(x-5)^2 = 5x^2$
  290. \end{enumerate}
  291. \end{multicols}
  292. \end{exercise}
  293. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item no té solucions, \item no té solucions, \item $-\frac{9}{2} \pm\frac{\sqrt{141}}{2}$, \item $2$ i $\frac{1}{2}$, \item $2\pm\sqrt{15}$, \item $-4 \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$, \item $6 \pm 2\sqrt{37}$, \item $1 \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$, \item no té solució, \item $-\frac{5}{4} \pm 5 \frac{\sqrt{5}}{4}$ \end{enumerate*} \end{solution*}
  294. \begin{remark}Recordeu que $(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
  295. \end{remark}
  296. \section{Arrels de polinomis}\label{annex:polinomis}
  297. \begin{definition}[monomi]Un \term{monomi}\index{monomi} és una expressió algebraica formada pel producte d'un nombre real i una o diverses lletres. Al nombre se l'anomena \term{coeficient}\index{coeficient!d'un monomi} del monomi; a la part que conté les lletres de l'anomena \term{part literal}\index{part literal d'un monomi}. Les diverses lletres s'anomenen \term{variables}\index{variables}.
  298. \end{definition}
  299. \begin{example}Les expressions següents són monomis:
  300. \begin{itemize}
  301. \item $5x^3$
  302. \item $2x^2y^5$
  303. \item $-4xy$
  304. \item $\frac{-6}{5}x^4$
  305. \item $6x$
  306. \item $8$
  307. \end{itemize}
  308. En canvi aquestes expressions no són monomis:
  309. \begin{itemize}
  310. \item $\frac{5}{x}$
  311. \item $5x^3\sqrt{y}$
  312. \item $3x^{-2}$
  313. \end{itemize}
  314. \end{example}
  315. \begin{definition}[polinomi]Un \term{polinomi}\index{polinomi} és una expressió algebraica formada per la suma de diversos monomis. Els monomis que formen part del polinomi s'anomenen \term{termes}\index{termes!d'un polinomi}.
  316. \end{definition}
  317. Aquí només veurem polinomis d'una variable, usualment $x$, com per exemple $4x^2 - 5x + 2$ o $5x^4 + 2x^2$.
  318. \begin{definition}[grau d'un polinomi]El \term{grau}\index{grau!d'un polinomi} d'un polinomi d'un variable és el major exponent de la variable de cadascun dels seus termes
  319. \end{definition}
  320. \begin{example}El grau del polinomi $4x^5 - 2^3 - 5x + 8$ és 5 i el grau de $x^{10} - 2x^2 - 5x$ és 10.
  321. \end{example}
  322. \begin{definition}[terme independent d'un polinomi]El \term{terme independent} d'un polinomi\index{terme independent!d'un polinomi} és el monomi de grau 0 del polinomi. Pot no tenir-ne.
  323. \end{definition}
  324. \begin{example}El terme independent del polinomi $4x^3- 2x^2 + 5x - 7$ és $-7$; en canvi el polinomi $4x^3 - 2x^2 - 5x$ no en té.
  325. \end{example}
  326. \begin{notation}Els polinomis en una variable $x$, es denoten per $p(x)$, $q(x)$, etc. que es llegeix ``$p$ de $x$'', ``$q$ de $x$'', etc. Així per exemple si $p(x) = 5x^2 - 2x$ i $q(x) = x^2-2x$, tenim que la seva suma és $p(x) + q(x) = 6x^2 - 4x$.
  327. \end{notation}
  328. Les \term{operacions amb polinomis}\index{operacions!de polinomis} bàsiques són:
  329. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  330. \item Suma. Per sumar dos polinomis, es sumen els termes del mateix grau. Així per exemple si $p(x) = x^5 -6x^3 +8x^2 -10x +7$ i $q(x) = -7x^5 + 3x^4 +6x^3 -x^2 -4x-15$, la seva suma és $p(x) + q(x) = -6x^5 +3x^4 +7x^2 -14x -8$. Aquesta suma es pot fer verticalment:
  331. \begin{equation*}
  332. \begin{tabular}{rrrrrr}
  333. $x^{5}$ & & $-6x^{3}$ & $+8x^{2}$ & $-10x$ & $+7$ \\
  334. & & & & & \\
  335. $-7x^{5}$ & $+3x^{4}$ & $+6x^{3}$ & $-x^{2}$ & $-4x$ & $-15$ \\ \hline
  336. $-6x^{5}$ & $+3x^{4}$ & & $+7x^{2}$ & $-14x$ & $-8$%
  337. \end{tabular}%
  338. \end{equation*}
  339. \item Resta. La resta $p(x) - q(x)$ es calcula sumant el polinomi $p(x)$ amb el polinomi $q(x)$ amb tots els coeficients canviats, és a dir, $p(x) + (-q(x))$. Si $p(x) =x^5-6x^3+8x^2-10x+7$ i $q(x) = x^5-7x^4+9x^3+x^2-6x$, llavors $p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x)) = x^5 -6x^3 +8x^2 -10x +7 - x^5 +7x^4 -9x^3 -x^2 +6x = 7x^4-15x^3+7x^2-4x+7$.
  340. També es pot fer verticalment:
  341. \begin{equation*}
  342. \begin{tabular}{rrrrrr}
  343. $x^{5}$ & & $-6x^{3}$ & $+8x^{2}$ & $-10x$ & $+7$ \\
  344. & & & & & \\
  345. $-x^{5}$ & $+7x^{4}$ & $-9x^{3}$ & $-x^{2}$ & $+6x$ & \\ \hline
  346. & $+7x^{4}$ & $-15x^{3}$ & $+7x^{2}$ & $-4x$ & $+7$%
  347. \end{tabular}%
  348. \end{equation*}
  349. \item Producte de polinomis. Es calcula multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del segon: si $p(x) = 7x^2 -4x +7$ i $q(x) = 2x^4 -5x^3 +x^2$, llavors $p(x) \cdot q(x)$ és igual a:
  350. \begin{multline*}
  351. \left(7x^2-4x+7)\cdot (2x^4-5x^3+x^2\right)= \\
  352. \\
  353. 14x^6-35x^5+7x^4-8x^5+20x^4-4x^3+14x^4-35x^3+7x^2= \\
  354. \\
  355. 14x^6-43x^5+41x^4-39x^3+7x^2
  356. \end{multline*}
  357. \item No tractarem la divisió de polinomis en general. Només tractarem el \term{mètode de Ruffini}\index{mètode de Ruffini}, que permet dividir un polinomi qualsevol $p(x)$ per un polinomi de la forma $x-a$, amb $a$ un nombre enter positiu. Veurem un exemple: volem dividir el polinomi $p(x) = x^3 - x^2 -4x -4$ per $x-1$:
  358. \begin{enumerate}
  359. \item En primer lloc, escrivim els coeficients del polinomi $p(x)$ de major
  360. a menor grau a una taula, posant-hi zeros allà on el polinomi no tengui termes:%
  361. \begin{equation*}
  362. \begin{tabular}{r|rrrr}
  363. & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
  364. & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
  365. $1$ & & $1$ & $2$ & $-2$ \\ \hline
  366. & $1$ & $2$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$-6$}%
  367. \end{tabular}%
  368. \end{equation*}%
  369. \item El primer coeficient del polinomi $p(x)$ baixa sempre directament, tal com indica la fletxa,
  370. \item A continuació, el divisor (l'$1$), que l'hem escrit a l'esquerra
  371. de la línea vertical, multiplica el primer coeficient ($1\cdot 1=1$) i
  372. el resultat es col·loca davall del segon coeficient del polinomi,
  373. \item Llavors es suma el resultat d'aquesta multiplicació amb el segon
  374. coeficient del polinomi ($1+1=2$)
  375. \item Ara, el divisor multiplica aquesta suma i el resultat es
  376. col·loca davall del tercer coeficient del polinomi $p(x)$
  377. \item Es repeteix aquest procés fins que no quedin coeficients.
  378. \item El darrer nombre és el reste de la divisió (en aquest cas $-6$); el quocient de la divisió l'hem d'extreure dels nombres del final de la taula $1 \; 0 \; -4 \rightarrow x^2 + 0x -4$. El grau del polinomi quocient és sempre un menys que el grau de $p(x)$ (en aquest cas $3-1 = 2$).
  379. \item Per tant, la divisió de $p(x) = x^3 - x^2 -4x -4$ per $x-1$ dóna com a quocient $x^2 -4$ i reste $-6$; en altres paraules $(x^2 -4)(x-1) + (-6) = x^3 - x^2 -4x -4$.
  380. \end{enumerate}
  381. \end{enumerate}
  382. El mètode de Ruffini serveix per a factoritzar un polinomi en polinomis irrecductibles i per a trobar les seves arrels enteres.
  383. \begin{definition}[arrel d'un polinomi]Donat un polinomi $p(x)$, un nombre $a$ és una \term{arrel}\index{arrel d'un polinomi} seva si substituïnt la $x$ pel valor de $a$, dóna 0.
  384. \end{definition}
  385. \begin{theorem}[teorema fonamental de l'Àlgebra]\label{thm:fonamental-algebra}Donat un polinomi, el nombre d'arrels reals d'aquest polinomi és com a màxim el seu grau
  386. \end{theorem}
  387. \begin{example}Són arrels de $p(x) = 2 x^2 - 7 x + 6$ són $2$ i $\frac{3}{2}$, ja que l'equació de segon grau $2 x^2 - 7 x + 6 = 0$ té com a solucions aquests nombres (vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}); en altres paraules $p(\frac{3}{2}) = 0$ i $p(2) = 0$.
  388. \end{example}
  389. En general trobar les arrels d'un polinomi és un problema irresoluble, però existeix una manera de trobar les seves arrels enteres.
  390. \begin{algorithm}[procediment per trobar les arrels enteres d'un polinomi]Donat un polinomi $p(x)$, les arrels
  391. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  392. \item Si té terme independent, calculam els seus divisors enters
  393. \item Per a cada divisor $d$ del terme independent, dividim $p(x)$ per $x-d$. Si el reste de la divisió és 0, llavors $d$ és una arrel de $p(x)$. Si el reste de la divisió no és 0, llavors $d$ no és una arrel de $p(x)$.
  394. \item En cas de no tenir terme independent, llavors $0$ és una arrel i podem factoritzar $p(x)$ com un polinomi $q(x)$ multiplicat per $x^r$, per qualque $r > 0$. En aquest cas, apliquem l'anterior a $q(x)$: totes les arrels de $q(x)$ ho seran de $p(x)$.
  395. \end{enumerate}
  396. \end{algorithm}
  397. \begin{example}\label{example:trobar-arrels-senceres}Trobeu les arrels del polinomi $p(x) = x^3 +x^2 -4x -4$.
  398. \begin{enumerate}
  399. \item Els divisors enters de $-4$ són $1$, $-1$, $2$, $-2$, $4$, $-4$.
  400. \item Provam de fer Ruffini amb $p(x)$ i $x-1$:
  401. \begin{equation*}
  402. \begin{tabular}{r|rrrr}
  403. & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
  404. & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
  405. $\mathbf{1}$ & & $1$ & $2$ & $-2$ \\ \hline
  406. & $1$ & $2$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$-6$}%
  407. \end{tabular}%
  408. \end{equation*}%
  409. Com que el reste és $-6$ vol dir que 1 no és arrel de $p(x)$
  410. \item Ara provem amb $-1$:
  411. \begin{equation*}
  412. \begin{tabular}{r|rrrr}
  413. & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
  414. & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
  415. $\mathbf{-1}$ & & $-1$ & $0$ & $4$ \\ \hline
  416. & $1$ & $0$ & $-4$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
  417. \end{tabular}%
  418. \end{equation*}%
  419. Ara sí que hem obtingut un 0 al final. Per tant, $-1$ és arrel de $p(x)$.
  420. \item Ara provem de fer Ruffini amb 2:
  421. \begin{equation*}
  422. \begin{tabular}{r|rrrr}
  423. & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
  424. & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
  425. $\mathbf{2}$ & & $2$ & $6$ & $4$ \\ \hline
  426. & $1$ & $3$ & $2$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
  427. \end{tabular}%
  428. \end{equation*}%
  429. Per tant, $2$ és arrel de $p(x)$.
  430. \item Igualment, si aplicam el mètode de Ruffini amb $-2$ també tendrem reste 0, pel que $-2$ també és una arrel.
  431. \begin{equation*}
  432. \begin{tabular}{r|rrrr}
  433. & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
  434. & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
  435. $\mathbf{-2}$ & & $-2$ & $2$ & $4$ \\ \hline
  436. & $1$ & $-1$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
  437. \end{tabular}%
  438. \end{equation*}%
  439. \item Com que ja tenim 3 arrels, ja no hem de intentar trobar-ne més (\autoref{thm:fonamental-algebra}).
  440. \end{enumerate}
  441. \end{example}
  442. \begin{remark}En general, l'ordre en el que provem si els divisors senzers són o no arrels enteres és indistint
  443. \end{remark}
  444. \begin{remark}Pot ser que un polinomi no tengui arrels enteres però sí arrels reals: per exemple $x^2 -2$ no té arrels enteres (proveu de fer Ruffini per als divisors de $-2$) però sí té arrels reals ($\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$).
  445. També pot ser que no tengui arrels reals: per exemple $x^2 + 2$ no té arrels reals (es veu aplicant la fórmula de segon grau).
  446. \end{remark}
  447. \begin{exercise}Trobeu les arrels dels polinomis següents:
  448. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  449. \item $x^4 + 3x^3 - 40x^2$
  450. \item $2x^3 - x^2 -118 x -315$
  451. \item $x^5 - 2 x^4 - 3 x^2 + 6 x$
  452. \item $x^4 + x^3 - 8 x^2 - 2 x + 12$
  453. \item $3 x^4 - 12 x^3 - 33 x^2 + 90 x$
  454. \item $x^4 + 28 x^3 - 60 x^2$
  455. \end{enumerate}
  456. \end{exercise}
  457. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-8$, $0$ i $5$, \item $-5$, $\frac{-7}{2}$ i $9$, \item $0$, $2$ i $\\sqrt[3]{3}$, \item $\pm \sqrt{2}$, $2$ i $-3$, \item $2$, $-3$, $0$ i $5$, \item $0$ (doble), $2$ i $-30$ \end{enumerate*} \end{solution*}
  458. \begin{exercise}Resoleu les equacions següents:
  459. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  460. \item $x^4 + 3x^3 - 40x^2 = 0$
  461. \item $2x^3 - x^2 -118 x = 315$
  462. \item $x^3 - \frac{5x^2}{2} + x = 0$
  463. \item $12x^4 -39x^2 + 27 = 0 $
  464. \end{enumerate}
  465. \end{exercise}
  466. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-8$, $0$ i $5$, \item $5$, $\frac{-7}{2}$ i $9$, \item $\frac{1}{2}$, $2$ i $0$, \item $\pm\frac{3}{2}$, $\pm 1$.\end{enumerate*} \end{solution*}
  467. \section{Factorització de polinomis}
  468. \begin{definition}[polinomi irreductible]Un polinomi és \term{irreductible}\index{polinomi!irreductible} si no es pot escriure com a producte de polinomis de menor grau. En altre cas, s'anomena \term{reductible}\index{polinomi!reductible}
  469. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  470. \item Els polinomis de primer grau són irreductibles. És a dir, tots els polinomis de l'estil $ax+b$ són irreductibles. Per exemple $2x-4$ i $x+4$ són irreductible.
  471. \item Els polinomis de segon grau són irreductibles si, i només si, no tenen cap arrel real. És a dir $p(x) = ax^2 + bx + c$ és irreductible si, i només si, l'equació $ax^2 +bx+c = 0$ no té solució (vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}). Per exemple, $x^2 + 9$ és irreductible, però $x^2 -9$ i $x^2 -2x +1$ són reductibles.
  472. \item Els polinomis de grau major o igual que 3 mai són irreductibles.
  473. \end{enumerate}
  474. \end{definition}
  475. \begin{definition}[factorització de polinomis]\term{Factoritzar}\index{factoritzar!un polinomi} un polinomi $p(x)$ és descompondre $p(x)$ com a producte de polinomis irreductibles.
  476. \end{definition}
  477. No existeix cap procediment per a factoritzar polinomis, ja que és equivalent a trobar arrels reals de polinomis de qualsevol grau. Encara que existeix un algorisme per factoritzar polinomis trobant arrels enteres.
  478. \begin{algorithm}[procediment per factoritzar els polinomis]Donat un polinomi $p(x)$, s'han de seguir les passes següents
  479. \begin{enumerate}
  480. \item Treure factor comú, si és possible (vegeu \autoref{annex:factor-comu})
  481. \item Trobarem els divisors del terme independent
  482. \item Per a cada divisor $d$ del terme independent, provarem si $d$ és arrel del polinomi $p(x)$
  483. \item Si $d$ és arrel del polinomi, llavors $p(x)$ es pot expressar com a producte de $(x-d)$ i un polinomi $q(x)$ de grau $d-1$. En aquest cas, repetirem aquest algorisme des del primer pas amb el polinomi $q(x)$..
  484. Si $d$ no és arrel, seguirem provant amb els altres divisors.
  485. \item Si cap divisor del terme independent és arrel, llavors no podem factoritzar $p(x)$.
  486. \item Al final, haurem de d'ajustar el coeficient de major grau per a què quedi el coeficient del terme de major grau de $p(x)$.
  487. \end{enumerate}
  488. \end{algorithm}
  489. \begin{example}
  490. Factoritzem el polinomi $30x^{4}+35x^{3}-45x^{2}+10x$.
  491. \begin{enumerate}
  492. \item Podem treure factor comú perquè tots el termes són múltiples de $5$ i de $x$:%
  493. \begin{equation*}
  494. 5x(6x^3+7x^2-9x+2)
  495. \end{equation*}
  496. \item Aplicam el mètode de Ruffini al polinomi que queda dins el parèntesi (després de provar els divisors, l'únic que va bé és el $-2$):%
  497. \begin{equation*}
  498. \begin{tabular}{r|rrrr}
  499. & $6$ & $7$ & $-9$ & $2$ \\
  500. & & & & \\
  501. $\mathbf{-2}$ & & $-12$ & $10$ & $-2$ \\ \hline
  502. & $6$ & $-5$ & $1$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
  503. \end{tabular}%
  504. \end{equation*}%
  505. Cap dels divisors permet factoritzar per Ruffini el polinomi $6x^2-5x+1$.
  506. Així, en aquest punt, la factorització és%
  507. \begin{equation*}
  508. 5x(x+2)(6x^2-5x+1)
  509. \end{equation*}
  510. \item Com que el polinomi $6x^2 -5x +1$ és de segon grau, resoldrem l'equació corresponent (sempre farem això amb els polinomis de segon grau):%
  511. \begin{equation*}
  512. 6x^2-5x+1=0
  513. \end{equation*}%
  514. Les solucions d'aquesta equació són:%
  515. \begin{equation*}
  516. x=\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{%
  517. 2\cdot 6}=\frac{5\pm 1}{12}=\left\{
  518. \begin{array}{c}
  519. \frac{5+1}{12}=\frac{1}{2} \\
  520. \\
  521. \frac{5-1}{12}=\frac{1}{3}%
  522. \end{array}%
  523. \right.
  524. \end{equation*}%
  525. \item Per tant, la factorització final obtinguda és
  526. \begin{equation*}
  527. 5x\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{3}\right) (x+2).
  528. \end{equation*}
  529. Ara bé, volem tenir $30$ com a coeficient de major grau (30 és el coeficient de major grau del polinomi original) i no 5 (observa que $5x\cdot x\cdot x\cdot x=5x^{4}$ és el terme de major grau).
  530. Llavors, hem de muiltiplicar per 6. D'aquesta manera, la factorització final és $6\cdot 5x\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{3}\right) (x+2)$, és a dir,%
  531. \begin{equation*}
  532. 30x\left( x-\tfrac{1}{2}\right) \left( x-\tfrac{1}{3}\right) (x+2).
  533. \end{equation*}%
  534. \end{enumerate}
  535. \end{example}
  536. \begin{exercise}Factoritzeu els polinomis següents:
  537. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  538. \item $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$
  539. \item $x^3 - x^2 + 9x -9$
  540. \item $15x^3 + 25x^2 - 10x$
  541. \item $3x^3-3x^2-6x$
  542. \item $2 x^4 + 4 x^3 - 10 x^2 - 8 x + 12$
  543. \item $-x^3 + x^2 + 4 x - 4$
  544. \item $-5 x^4 + 20 x^2 - 20$
  545. \item $3 x^4 - 6 x^3 - 27 x^2 + 54 x$
  546. \end{enumerate}
  547. \end{exercise}
  548. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$, \item $(x - 1) (x^2 + 9)$, \item $15 x (x - \frac{1}{3}) (x + 2)$, \item $3x(x-2)(x+1)$, \item $2(x-1)(x^2-2)(x+3)$, \item $-(x-1)(x+2)(x-2)$, \item $-5 (x- \sqrt{2})^2 (x+\sqrt{2})^2$ (resoleu l'equació biquadrada $-5t^2 + 20t -20 =0$), \item $3 (x - 2) x (x - 3) (x + 3)$ \end{enumerate*} \end{solution*}