Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
Du kannst nicht mehr als 25 Themen auswählen Themen müssen mit entweder einem Buchstaben oder einer Ziffer beginnen. Sie können Bindestriche („-“) enthalten und bis zu 35 Zeichen lang sein.

07-probabilitat.tex 74KB

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910010110210310410510610710810911011111211311411511611711811912012112212312412512612712812913013113213313413513613713813914014114214314414514614714814915015115215315415515615715815916016116216316416516616716816917017117217317417517617717817918018118218318418518618718818919019119219319419519619719819920020120220320420520620720820921021121221321421521621721821922022122222322422522622722822923023123223323423523623723823924024124224324424524624724824925025125225325425525625725825926026126226326426526626726826927027127227327427527627727827928028128228328428528628728828929029129229329429529629729829930030130230330430530630730830931031131231331431531631731831932032132232332432532632732832933033133233333433533633733833934034134234334434534634734834935035135235335435535635735835936036136236336436536636736836937037137237337437537637737837938038138238338438538638738838939039139239339439539639739839940040140240340440540640740840941041141241341441541641741841942042142242342442542642742842943043143243343443543643743843944044144244344444544644744844945045145245345445545645745845946046146246346446546646746846947047147247347447547647747847948048148248348448548648748848949049149249349449549649749849950050150250350450550650750850951051151251351451551651751851952052152252352452552652752852953053153253353453553653753853954054154254354454554654754854955055155255355455555655755855956056156256356456556656756856957057157257357457557657757857958058158258358458558658758858959059159259359459559659759859960060160260360460560660760860961061161261361461561661761861962062162262362462562662762862963063163263363463563663763863964064164264364464564664764864965065165265365465565665765865966066166266366466566666766866967067167267367467567667767867968068168268368468568668768868969069169269369469569669769869970070170270370470570670770870971071171271371471571671771871972072172272372472572672772872973073173273373473573673773873974074174274374474574674774874975075175275375475575675775875976076176276376476576676776876977077177277377477577677777877978078178278378478578678778878979079179279379479579679779879980080180280380480580680780880981081181281381481581681781881982082182282382482582682782882983083183283383483583683783883984084184284384484584684784884985085185285385485585685785885986086186286386486586686786886987087187287387487587687787887988088188288388488588688788888989089189289389489589689789889990090190290390490590690790890991091191291391491591691791891992092192292392492592692792892993093193293393493593693793893994094194294394494594694794894995095195295395495595695795895996096196296396496596696796896997097197297397497597697797897998098198298398498598698798898999099199299399499599699799899910001001100210031004100510061007100810091010101110121013101410151016101710181019102010211022102310241025102610271028102910301031103210331034103510361037103810391040104110421043104410451046104710481049105010511052105310541055105610571058105910601061106210631064106510661067106810691070107110721073107410751076107710781079108010811082108310841085108610871088108910901091109210931094109510961097109810991100110111021103110411051106110711081109111011111112111311141115111611171118111911201121112211231124112511261127112811291130113111321133113411351136113711381139114011411142114311441145114611471148114911501151115211531154115511561157115811591160116111621163116411651166116711681169117011711172117311741175117611771178117911801181118211831184118511861187118811891190119111921193119411951196119711981199120012011202120312041205120612071208120912101211121212131214121512161217121812191220122112221223122412251226122712281229123012311232123312341235123612371238123912401241124212431244124512461247124812491250125112521253125412551256125712581259126012611262126312641265126612671268126912701271127212731274127512761277127812791280128112821283128412851286128712881289129012911292129312941295129612971298129913001301130213031304130513061307130813091310131113121313
  1. \part{Probabilitat}
  2. \chapter{Experiències aleatòries}
  3. En aquest capítol ens ocuparem de les definicions, més o menys formals, que permeten definir el concepte de probabilitat.
  4. \begin{definition}[experiència] Una \term{experiència}\index{experiència} o \term{experiment}\index{experiment} és qualsevol procediment, pràctica o simplement aconteixement en el que les regles de joc, és a dir, com s'ha de realitzar aquest, estan clares des d'un principi i en el que es mesura cert resultat final.
  5. En principi existeixen variables rellevants a l'experiment i altres de negligibles.
  6. \end{definition}
  7. \begin{example}\label{exemple:experiments}Exemples d'experiments serien:
  8. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  9. \item Llançar una moneda i mirar-ne el resultat
  10. En aquest experiment les variables rellevants serien, per exemple, la distribució de pesos de les cares, la forma de la moneda i el mètode de tir.
  11. \item Accelerar un vehicle fins a una velocitat concreta i després frenar bruscament i mirar la distància recorreguda
  12. En aquest experiment les variables rellevants seiren la velocitat just abans de frenar, el pes del vehicle, la pendent del terreny i la força de fregament.
  13. \item Comptar la freqüència absoluta dels colors dels cotxes en un aparcament per a determinar el color més freqüent.
  14. En aquest darrer experiment, les variables rellevants serien, per exemple, el nombre de cotxes de cada tipus de color a l'aparcament.
  15. \end{enumerate}
  16. \end{example}
  17. \begin{definition}[experiment determinista]Un \term{experiment determinista}\index{experiment!determinista}\index{experiència!determinista} és aquell experiment la repetició del qual produeix idèntics resultats, és a dir, per al mateix valor de les variables rellevants, s'obté el mateix resultat\footnote{Tècnicament, si les condicions inicials són les mateixes, les condicions finals també ho són.}. Per tant, el resultat de l'experiment es pot conèixer abans de dur-lo a terme una vegada estudiat aquest prèviament.
  18. \end{definition}
  19. \begin{definition}[experiment aleatori] Un \term{experiment aleatori}\index{experiment!aleatori}\index{experiència!aleatòria} és aquell experiment que es caracteritza per la imprevisibilitat del seu desenllaç, a pesar de què s'executi sempre amb les mateixes condicions. En general, depèn de l'atzar.
  20. \end{definition}
  21. Els experiments aleatoris tenen les característiques següents:
  22. \begin{itemize}
  23. \item En la realització de cada repetició, el seu resultat pot diferir
  24. \item Si repetim les proves calculant les seves freqüències relatives\footnote{Recordem que la freqüència relativa no és res més que la divisió entre el nombre de vegades que apareix un resultat dividit pel nombre total de proves. És el tant per u d'aparició.} de cadascun dels resultats possibles, llavors aquestes freqüències tendeixen a estabilitzar-se cap a un nombre fix, que és el que anomerarem \term{probabilitat}
  25. \end{itemize}
  26. \begin{example}En l'exemple anterior, \autoref{exemple:experiments}, el llançament de la moneda seria un experiment aleatori, l'experiment de la frenada del vehicle seria un experiment determinista i l'experiment dels colors dels vehicles es consideraria un experiment aleatori.
  27. \end{example}
  28. En aquesta part ens ocuparem dels experiments aleatoris.
  29. \section{Espai mostral i esdeveniments}
  30. \begin{definition}[espai mostral]S'anomena \term{espai mostral}\index{espai mostral} al conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment aleatori. Es sol designar per $E$ o per $\Omega$.
  31. \end{definition}
  32. \begin{example}Si llançam un dau, l'espai mostral és $E=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} $. Si llançam una moneda, l'espai mostral és $E = \{ C, X \}$ (hem obviat que ens pugui sortir cantó).
  33. \end{example}
  34. \begin{example}\label{exemple:bolles}En l'experiment corresponent a extreure una bolla d'una urna amb tres bolles vermelles ($V$), dues de blaves ($B$) i 4 de negres ($N$), l'espai mostral és $E = \{V, B, N\}$.
  35. \end{example}
  36. Hi ha exemples d'espais mostrals més complicats.
  37. \begin{example}\label{exemple:dues-monedes-espai-m}Si llançam dues monedes l'espai mostral és%
  38. \begin{equation*}
  39. E=\left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(X,X\right) \right\}
  40. \end{equation*}
  41. Recordem que la notació $(a,b)$ denota un parell ordenat. Per tant, el resultat $(C,X)$ no és el mateix que el resultat $(X, C)$. En el primer cas, voldria dir que la moneda és cara i el segona moneda ha donat creu. El segon cas és totalment el contrari.
  42. Si no tenguéssim en compte l'ordre, és a dir, si per a nosaltres les monedes fossin indistingibles\footnote{Ho sigui si només {\em comptéssim} el nombre de cares i el nombre de creus.}, llavors l'espai mostral seria
  43. \begin{equation*}
  44. E=\left\{ CC ,CX, XX \right\}
  45. \end{equation*}
  46. De forma intuïtiva està clar que la probabilitat de $CX$ en el segon cas seria major que la probabilitat de $(C, X)$ en el primer, ja que {\em compta doble}. Per tant, hem d'anar molt alerta de si prenem els resultats amb ordre o no.
  47. \end{example}
  48. \begin{example}\label{exemple:dos-daus-em}Si llançéssim dos daus, l'espai mostral seria%
  49. \begin{equation*}
  50. E=\left\{
  51. \begin{tabular}{llllll}
  52. $\left( 1,1\right) ,$ & $\left( 1,2\right) ,$ & $\left( 1,3\right) ,$ & $%
  53. \left( 1,4\right) ,$ & $\left( 1,5\right) ,$ & $\left( 1,6\right) ,$ \\
  54. $\left( 2,1\right) ,$ & $\left( 2,2\right) ,$ & $\left( 2,3\right) ,$ & $%
  55. \left( 2,4\right) ,$ & $\left( 2,5\right) ,$ & $\left( 2,6\right) ,$ \\
  56. $\left( 3,1\right) ,$ & $\left( 3,2\right) ,$ & $\left( 3,3\right) ,$ & $%
  57. \left( 3,4\right) ,$ & $\left( 3,5\right) ,$ & $\left( 3,6\right) ,$ \\
  58. $\left( 4,1\right) ,$ & $\left( 4,2\right) ,$ & $\left( 4,3\right) ,$ & $%
  59. \left( 4,4\right) ,$ & $\left( 4,5\right) ,$ & $\left( 4,6\right) ,$ \\
  60. $\left( 5,1\right) ,$ & $\left( 5,2\right) ,$ & $\left( 5,3\right) ,$ & $%
  61. \left( 5,4\right) ,$ & $\left( 5,5\right) ,$ & $\left( 5,6\right) ,$ \\
  62. $\left( 6,1\right) ,$ & $\left( 6,2\right) ,$ & $\left( 6,3\right) ,$ & $%
  63. \left( 6,4\right) ,$ & $\left( 6,5\right) ,$ & $\left( 6,6\right) $%
  64. \end{tabular}%
  65. \right\}
  66. \end{equation*}
  67. \end{example}
  68. \begin{example}\label{exemple:moneda-dau-em}En l'experiment consistent en llançar una moneda i posteriorment un dau, l'espai mostral és%
  69. \begin{equation*}
  70. E=\left\{
  71. \begin{tabular}{llllll}
  72. $\left( C,1\right) ,$ & $\left( C,2\right) ,$ & $\left( C,3\right) ,$ & $%
  73. \left( C,4\right) ,$ & $\left( C,5\right) ,$ & $\left( C,6\right) ,$ \\
  74. $\left( X,1\right) ,$ & $\left( X,2\right) ,$ & $\left( X,3\right) ,$ & $%
  75. \left( X,4\right) ,$ & $\left( X,5\right) ,$ & $\left( X,6\right) $%
  76. \end{tabular}%
  77. \right\}
  78. \end{equation*}
  79. \end{example}
  80. Notem que si l'experiment consistís en tirar primer el dau i després la moneda, llavors l'espai mostral seria:
  81. Si no s'especifica l'ordre amb el qual llancem les coses, l'ordre amb el qual escrivim els resultats no té importància, però una vegada decidit s'ha de mantenir al llarg de tot l'exercici.
  82. \begin{exercise}Escriviu l'espai mostral corresponent als experiments següents:
  83. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  84. \item Un dau de quatre cares
  85. \item Tres monedes
  86. \end{enumerate}
  87. \end{exercise}
  88. \begin{definition}[esdeveniment]S'anomena \term{esdeveniment} (o \term{succés})\index{esdeveniment}\index{succés} a qualsevol subconjunt de $E$.
  89. \end{definition}
  90. \begin{example}
  91. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  92. \item En l'experiment aleatori del llançament d'una moneda, tenim que els seus esdeveniments són: $\{C, X\}$, $\{ C \}$, $\{X\}$ i $\emptyset$. $\emptyset$ denota el \term{conjunt buit}\index{conjunt buit}, el qual no té cap element.
  93. \item Els esdeveniments de l'experiment consistent en llançar un dau serien $\{1\}$, $\{2\}$, \ldots, $\{1,2\}$, \ldots, $\{1,2,3\}$, \ldots, $\{3,5,6\}$, \ldots, $\{1,2,3,4,5,6\}$.
  94. \end{enumerate}
  95. \end{example}
  96. \begin{exercise}\label{exercici:em-1}Escriviu tots els possibles esdeveniments corresponents als experiments següents:
  97. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  98. \item Llançar un dau de 4 cares
  99. \item Llançar dues monedes (\autoref{exemple:dues-monedes-espai-m})
  100. \item Extreure una bolla d'una urna de l'\autoref{exemple:bolles}
  101. \end{enumerate}
  102. \end{exercise}
  103. \begin{exercise}\label{exercici:em-2}
  104. Escriviu quatre esdeveniments corresponents als experiments:
  105. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  106. \item Llançar dos daus (\autoref{exemple:dos-daus-em})
  107. \item Llançar una moneda i un dau (\autoref{exemple:moneda-dau-em})
  108. \end{enumerate}
  109. \end{exercise}
  110. \begin{proposition}En un experiment aleatori, si el seu espai mostral $E$ és finit i té $n$ elements, llavors hi ha $2^n$ possibles esdeveniments.
  111. \end{proposition}
  112. \begin{definition}[esdeveniment elemental] Un \term{esdeveniment elemental}\index{esdeveniment!elemental} és qualsevol esdeveniment que té un sol element. En cas contrari, quan l'esdeveniment tengui més d'un element, es diu \term{esdeveniment compost}\index{esdeveniment!compost}.
  113. \end{definition}
  114. \begin{example}Referint-nos al llançament d'un dau de sis cares, els seus esdeveniments elementals són $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{4\}$, $\{5\}$, $\{6\}$. Esdeveniments compostos són, per exemple $\{2, 3, 6\}$ i $\{1, 5\}$ o el mateix $E$.
  115. En el llançament d'una moneda, els seus esdeveniments elementals són $\{C\}$ i $\{X\}$ i els seus esdeveniments compostos són $\{C, X\}$.
  116. \end{example}
  117. \begin{definition}[esdeveniment impossible]S'anomena \term{esdeveniment impossible}\index{esdeveniment!impossible} a aquell esdeveniment que mai pot ocórrer. És el conjunt buit, $\emptyset$.
  118. \end{definition}
  119. \begin{definition}[esdeveniment segur]S'anomena \term{esdeveniment segur}\index{esdeveniment!segur} al que sempre es verifica. Correspon a l'espai mostral, $E$.
  120. \end{definition}
  121. \begin{example}En el llan\c{c}ament de dues monedes l'esdeveniment segur és%
  122. \begin{equation*}
  123. \left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(
  124. X,X\right) \right\}
  125. \end{equation*}%
  126. \end{example}
  127. \begin{exercise}Trobeu els esdeveniments segurs i impossibles dels exercicis \autoref{exercici:em-1} i \autoref{exercici:em-2}.
  128. \end{exercise}
  129. \section{Operacions amb esdeveniments}
  130. \begin{definition}[unió d'esdeveniments]La \term{unió}\index{unió d'esdeveniments} de dos esdeveniments, $A$ i $B$, és aquell esdeveniment, denotat per $A\cup B$, format per cada element que hi ha en $A$ o en $B$.
  131. \end{definition}
  132. Col·loquialment, la unió de dos esdeveniments és aquell esdeveniment que ocorre quan ocorre, al menys, un dels dos. De la definició és veu que $A\cup B$ és el mateix que $B\cup A$.
  133. Gràficament, aquest concepte es pot representar mitjançant un \term{diagrama de Venn}\index{diagrama!de Venn} (\autoref{fig:operacions-conjunts-unio}):
  134. \begin{figure}[h!]
  135. \centering
  136. \def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
  137. \def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
  138. \colorlet{circle edge}{blue!50}
  139. \colorlet{circle area}{blue!20}
  140. \tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
  141. outline/.style={draw=circle edge, thick}}
  142. \tikzset{filled2/.style={fill=white, draw=black, thick},
  143. outline/.style={draw=black, thick}}
  144. \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
  145. % Generat amb TikZ
  146. % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
  147. \begin{tikzpicture}
  148. \draw[filled] \firstcircle node {$A$} \secondcircle node {$B$};
  149. \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cup B$};
  150. \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
  151. \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  152. \end{tikzpicture}
  153. \caption{Unió de dos esdeveniments}
  154. \label{fig:operacions-conjunts-unio}
  155. \end{subfigure}
  156. \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
  157. % Generat amb TikZ
  158. % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
  159. \begin{tikzpicture}
  160. \begin{scope}
  161. \clip \firstcircle;
  162. \fill[filled] \secondcircle;
  163. \end{scope}
  164. \draw[outline] \firstcircle node {$A$};
  165. \draw[outline] \secondcircle node {$B$};
  166. \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cap B$};
  167. \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
  168. \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  169. \end{tikzpicture}
  170. \caption{Intersecció de dos esdeveniments}
  171. \label{fig:operacions-conjunts-interseccio}
  172. \end{subfigure}
  173. \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
  174. % Generat amb TikZ
  175. % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
  176. \begin{tikzpicture}
  177. \begin{scope}
  178. \clip \secondcircle;
  179. \draw[filled, even odd rule] \firstcircle
  180. \secondcircle node {$B$};
  181. \end{scope}
  182. \draw[outline] \firstcircle node {$A$}
  183. \secondcircle;
  184. \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$B - A$};
  185. \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
  186. \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  187. \end{tikzpicture}
  188. \caption{Diferència de dos esdeveniments}
  189. \label{fig:operacions-conjunts-resta}
  190. \end{subfigure}
  191. \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
  192. % Generat amb TikZ
  193. % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
  194. \begin{tikzpicture}
  195. \draw[fill=blue!20] (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
  196. \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  197. \draw[filled2] \firstcircle node {$A$};
  198. \node[anchor=south] at (0,1.5) {$A^c$};
  199. \end{tikzpicture}
  200. \caption{Complementari d'un esdeveniment}
  201. \label{fig:operacions-conjunts-complementari}
  202. \end{subfigure}
  203. \caption{Operacions entre esdeveniments representats mitjançant diagrames de Venn}
  204. \label{fig:operacions-conjunts}
  205. \end{figure}
  206. \begin{definition}[intersecció d'esdeveniments]La \term{intersecció}\index{intersecció d'esdeveniments} de dos esdeveniments, $A$ i $B$, és aquell esdeveniment, denotat per $A\cap B$, format per aquells elements que estan simultàniament a $A$ i a $B$. Dos esdeveniments són \term{incompatibles}\index{esdeveniments!incompatibles} si la seva intersecció és el conjunt buit. En cas contrari, es diu que són \term{compatibles}\index{esdeveniments!compatibles}.
  207. \end{definition}
  208. De manera informal, l'esdeveniment intersecció de dos esdeveniment és aquell que ocorre quan ocorren ambdós. De la definició es veu que $A\cap B$ és el mateix que $B\cap A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-interseccio}).
  209. \begin{definition}[esdeveniment contrari]Donat un esdeveniment $A$, el seu \term{esdeveniment contrari} o \term{complementari}\index{esdeveniment!contrari}\index{esdeveniment!complementari}, que es denota per $A^c$ o $\overline{A}$, és l'esdeveniment format per tots els elements de l'espai mostral que no són de $A$. És a dir, l'esdeveniment contrari de $A$ es verifica quan no ocorre $A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-complementari}.
  210. \end{definition}
  211. \begin{definition}[diferència d'esdeveniments]Donats dos esdeveniments, $A$ i $B$, la \term{diferència} entre $A$ i $B$, que es denota per $A \setminus B$ (o $A - B$), és l'esdeveniment format pels elements de $A$ que no estan en $B$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-resta}).
  212. \end{definition}
  213. \begin{example}En l'experiment de llançar un dau i mirar el resultat, tenim que $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si agafam $A =$ que surti parell i $B =$ que surti un nombre menor que 5, tenim que:
  214. \begin{itemize}
  215. \item $A \cup B$ = que surti parell o menor que 5 = $\{2,4,6\} \cup \{1,2,3,4\}$ = $\{1,2,3,4,6\}$. Per tant, $A \cup B = \{1,2,3,4,6\}$.
  216. \item $A \cap B$ = que surti parell i menor que 5 = $\{2,4,6\} \cap \{1,2,3,4\}$ = $\{2,4\}$. Per tant, $A \cap B = \{2, 4\}$.
  217. \item $A \setminus B$ = $\{6\}$
  218. \item $B \setminus A$ = $\{1,2\}$
  219. \item $A^c$ = el contrari de què surti parell = $\{1,3,5\}$
  220. \item $B^c$ = el contrari de què surti un nombre menor que 5 = $\{5, 6\}$
  221. \end{itemize}
  222. \end{example}
  223. \subsection{Propietats de les operacions}
  224. Les operacions sobre el conjunt d'esdeveniments anteriorment descrites satisfan certes propietats. Si $A$, $B$ i $C$ són esdeveniments qualssevol i $E$ denota l'espai mostral, aleshores:
  225. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  226. \item $A \cup E =E$; $A \cup \emptyset = A$; $A \cup A^c = E$
  227. \item $A \cap E =A$; $A \cap \emptyset = \emptyset$; $A \cap A^c = \emptyset$
  228. \item $A \setminus B = A \cap B^c$
  229. \item $(A \setminus B) \cup (A \cap B) \cup (B \setminus A) = A \cup B$
  230. \item Idempotència: $\left(A^c\right)^c = A$
  231. \item Commutatives:
  232. \begin{enumerate}
  233. \item $A \cup B = B \cup A$
  234. \item $A \cap B = B \cap A$
  235. \end{enumerate}
  236. \item Associatives:
  237. \begin{enumerate}
  238. \item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
  239. \item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
  240. \end{enumerate}
  241. \item Distributives:
  242. \begin{enumerate}
  243. \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
  244. \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
  245. \end{enumerate}
  246. En particular:
  247. \begin{itemize}
  248. \item $A\cup \left( A\cap B\right) =A$
  249. \item $A\cap \left( A\cup B\right) =A$
  250. \end{itemize}
  251. \item \term{Lleis de De Morgan}\index{lleis!de De Morgan}
  252. \begin{enumerate}
  253. \item $\left( A\cup B\right) ^{c}=A^{c}\cap B^{c}$
  254. \item $\left( A\cap B\right) ^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
  255. \end{enumerate}
  256. \end{enumerate}
  257. \begin{claim}Les més importants són les propietats distributives i les lleis de de Morgan.
  258. \end{claim}
  259. \begin{exercise}Es disposa d'una urna amb bolles numerades de l'1 al 16, de la qual s'extreu una bolla. Considerem els esdeveniments següents:
  260. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  261. \item $A$ = treure un 7
  262. \item $B$ = treure un nombre menor que 7
  263. \item $C$ = treure un nombre parell
  264. \item $D$ = treure un múltiple de 3
  265. \end{enumerate}
  266. Calculeu \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\Omega$, \item $A \cap B$, \item $A \cup B$, \item $B \cap C$, \item $C \cap D$, \item $C \cup D$, \item $B^c$, \item $A\setminus B$, $B \setminus A$ \end{enumerate*}. Existeixen esdeveniments incompatible entre si?
  267. \end{exercise}
  268. \begin{exercise} Es llança una ruleta de 10 costats, numerats de la següent manera: 2, 4, 6, 8, \ldots, 20, i s'observa el resultat obtingut.
  269. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  270. \item Trobeu l'espai mostral.
  271. \item Escriviu com a conjunts els esdeveniments següents:
  272. \begin{enumerate}
  273. \item $A$ = ``obtenir un nombre parell''
  274. \item $B$ = ``obtenir un nombre senar''
  275. \item $C$ = ``obtenir un múltiple de 3''
  276. \item $D$ = ``obtenir un múltiple de 5''
  277. \item $E$ = ``obtenir un nombre major que 4''
  278. \item $F$ = ``obtenir un nombre menor que 6''
  279. \item $G$ = ``obtenir un múltiple de 3 i 4''
  280. \end{enumerate}
  281. \item Calculeu els seus esdeveniments contraris.
  282. \item Trobeu la unió, la intersecció i la diferència d'$A$ amb cadascun dels altres esdeveniments.
  283. \item Assenyaleu un parell d'esdeveniments incompatibles entre si. Justifiqueu la resposta.
  284. \end{enumerate}
  285. \end{exercise}
  286. \begin{exercise}Aplicant les propietats anteriors, demostreu que:
  287. \begin{multicols}{2}
  288. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  289. \item $A \cap (A \cap B) = A \cap B$
  290. \item $A \cup (B \setminus A) = A \cup B$
  291. \item $(A \setminus B) \cap B = \emptyset$
  292. \item $(A^c \cap B) \cup A = A \cup B$
  293. \item $(A \cup B^c) \cap B = A \cap B$
  294. \item $\left( \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) \right)^c = A \cap B$
  295. \end{enumerate}
  296. \end{multicols}
  297. \end{exercise}
  298. \begin{example}\label{exemple:js-probabilitat-1}D'entre els habitants d'un poble es tria una persona a l'atzar. Considerem els esdeveniments següents: $A$ = ser soci del casino, $B$ = ser soci del club de futbol local i $C$ ser soci d'alguna associació juvenil.
  299. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  300. \item Expresseu en funció de $A$, $B$ i $C$ les situacions següents:
  301. \begin{enumerate}
  302. \item ``ser soci d'alguna d'aquestes associacions'': $A \cup B \cup C$
  303. \item ``ser soci de les tres associacions'': $A \cap B \cap C$
  304. \item ``ser soci només del casino'': $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$
  305. \item ``ser soci de, com a màxim, una o dues associacions: $A \cup B \cup C - (A \cap B \cap C)$
  306. \item ``no ser soci de cap de les associacions'': $\overline{\left(A \cap B \cap C\right)} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$
  307. \item ``ser soci d'una sola associació'': $(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)$
  308. \end{enumerate}
  309. \item Expresseu el significat dels esdeveniments següents:
  310. \begin{enumerate}
  311. \item $A \cup B \cup C$: ``pertànyer a, almenys, ua associació''
  312. \item $\overline{\left( A \cup B \cup C\right)}$: ``no ser soci de cap associació''
  313. \item $A \cup B - C$: ``no ser soci de juvenil però sí d'alguna de les altres dues''
  314. \item $\overline{\left( A \cap B \cap C\right)}$: ``no ser soci de les tres alhora''
  315. \item $C - (A \cup B)$: ``ser soci, només, de l'associació juvenil''
  316. \item $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$: ``ser soci de, almenys, dues associacions''
  317. \end{enumerate}
  318. \end{enumerate}
  319. Per ajudar-nos a resoldre cadascun dels apartats, hem fet servir el diagrama de Venn de tres esdeveniments (\autoref{fig:diagrama-venn-de-tres}).
  320. \end{example}
  321. \begin{figure}[h!]
  322. \centering
  323. % From http://www.texample.net/tikz/examples/venn/
  324. % A Venn diagram with PDF blending
  325. % Author: Stefan Kottwitz
  326. % https://www.packtpub.com/hardware-and-creative/latex-cookbook
  327. \begin{tikzpicture}
  328. \begin{scope}[blend group = soft light]
  329. \fill[red!30!white] ( 90:1.2) circle (2);
  330. \fill[green!30!white] (210:1.2) circle (2);
  331. \fill[blue!30!white] (330:1.2) circle (2);
  332. \end{scope}
  333. \node at ( 90:2) {$A$};
  334. \node at ( 210:2) {$B$};
  335. \node at ( 330:2) {$C$};
  336. \draw (-4,-3) -- (-4,4) -- (4,4) --(4,-3) -- cycle;
  337. \draw (4,-3) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  338. \end{tikzpicture}
  339. \caption{Diagrama de Venn de tres esdeveniments}
  340. \label{fig:diagrama-venn-de-tres}
  341. \end{figure}
  342. \begin{exercise}\label{exer:js-probabilitat-1}Siguin els esdeveniments següents: $A$ = ``plou avui'', $B$ = ``plou demà'' i $C$ = ``plou passat-demà''. Expresseu mitjançant operacions entre esdeveniments:
  343. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  344. \item Plou un dels tres dies, almenys
  345. \item Plou avui però no demà ni passat-demà
  346. \item No plou cap dels tres dies
  347. \item Plou com a màxim dos d'aquests tres dies
  348. \item Plou avui però no demà
  349. \end{enumerate}
  350. Expliqueu el significat de
  351. \begin{multicols}{2}
  352. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  353. \item $( A \cap B) - C$
  354. \item $(A \cup B) - C$
  355. \item $ A \cup B \cup \overline{C}$
  356. \item $\left( A \cap B \right) \cup \left( C \cap A \right)$
  357. \item $\overline{A \cup B}$
  358. \end{enumerate}
  359. \end{multicols}
  360. \end{exercise}
  361. \begin{exercise}\label{exer:js-probabilitat-2}Considerem els esdeveniments ``ser oient de RNE'', ``set oient de la SER'', ``ser oient de M80''. Expreseu, mitjançant operacions amb esdeveniments, els esdeveniments següents: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item ``ser oient de només dues emissores'', \item ``ser oient de RNE però no de la SER ni de M80'', \item ``ser oient de, almenys, una emissora'', \item `escoltar alguna emissora però no les tres'', \item ``no escoltar més d'una emissora'' \end{enumerate*}
  362. \end{exercise}
  363. \section{Probabilitat}
  364. La probabilitat és la mesura de la certesa de què ocorri un cert esdeveniment aleatori, és a dir, la probabilitat mesura la {\em facilitat} de què l'esdeveniment tengui lloc: a major probabilitat, majors són les possibilitats de què l'esdeveniment ocorri. A cada esdeveniment se li associa un nombre, de $0$ a $1$:
  365. \begin{itemize}
  366. \item Si la probabilitat d'un esdeveniment és $0$, llavors és impossible que occorri dit esdeveniment
  367. \item Si la probabilitat és $1$, llavors l'esdeveniment és segur que passarà, en qualsevol cas
  368. \item En els altres casos, el valor de la probabilitat indica el tant per u de possibilitats de què l'esdeveniment ocorri.
  369. \end{itemize}
  370. De manera més formal,
  371. \begin{definition}[probabilitat]La \term{probabilitat}\index{probabilitat} és una aplicació que associa a cada esdeveniment $A$ un nombre, $p(A)$, anomenat la probabilitat de $A$, que satisfà les propietats següents:
  372. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  373. \item $p(A)\geq 0$ per a qualsevol esdeveniment $A$. És a dir, la
  374. probabilitat d'un esdeveniment qualsevol no pot ser negativa.
  375. \item $p(E)=1$. La probabilitat de l'esdeveniment segur és $1$.
  376. \item $p(\emptyset) = 0$. La probabilitat de l'esdeveniment impossible és $0$.
  377. \item Si $A$ i $B$ són esdeveniments incompatibles, llavors $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$.\footnote{La definició axiomàtica de la probabilitat s'escapa de l'abast d'aquest manual. Conceptes com el de $\sigma$-àlgebra i $\sigma$-additivitat són necessaris per introduir-la.}
  378. \end{enumerate}
  379. \end{definition}
  380. \subsection{Propietats de la probabilitat}
  381. La definició anterior, té una sèrie de conseqüències: si $A$ és un esdeveniment qualsevol, llavors:
  382. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  383. \item $p(A^{c})=1-p(A)$
  384. \item Si $A$ és un subconjunt de $B$, llavors $p(A) \leq p(B)$
  385. \item $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
  386. \item \term{regla de Laplace}\index{regla!de Laplace} Si els esdeveniments elementals tenen tots la mateixa probabilitat, llavors
  387. \begin{equation*}
  388. p(A) =\frac{\text{nombre de casos favorables a } A}{\text{nombre de casos possibles}},
  389. \end{equation*}%
  390. \end{enumerate}
  391. \begin{example}[aplicació de la regla de Laplace]Una urna conté $5$ bolles blanques, $7$ bolles negres i $3$ bolles verdes. Se n'extreu una a l'atzar. Quina és la probabilitat de què aquesta sigui negra?
  392. Tenim que la probabilitat de treure una bolla concreta és la mateixa (les bolles no estan trucades), per tant podem aplicar la llei de Laplace:
  393. \begin{equation*}
  394. p(\text{negra}) = \frac{\text{ nombre de bolles negres} }{\text{nombre
  395. total de bolles}} = \frac{7}{15}
  396. \end{equation*}
  397. \end{example}
  398. \begin{example}[aplicació de la regla de Laplace]D'un joc de cartes espanyoles en triam una a l'atzar\footnote{A la baralla espanyola, hi ha $48$ cartes: $12$ cartes de bastos, $12$ d'ors, $12$ d'espases i $12$ de copes. El $10$ s'anomena {\em sota}, l'$11$ s'anomena {\em cavall} i el $12$, {\em rei}.}. Quina és la probabilitat de què aquesta sigui una figura, és a dir un $10$, un $11$ o un $12$?
  399. Treure una carta és un esdeveniment equiprobable, per tant podem aplicar la llei de Laplace:%
  400. \begin{equation*}
  401. p(\text{figura}) = \frac{12}{48}=\frac{1}{4}
  402. \end{equation*}
  403. \end{example}
  404. \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-1}En el llançament d'un dau, calculeu la probabilitat de què:
  405. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  406. \item surti un cinc,
  407. \item surti un nombre parell,
  408. \item no surti un nombre parell,
  409. \item surti múltiple de $3$.
  410. \end{enumerate}
  411. \end{exercise}
  412. \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-2}A una oficina, un $30\%$ del personal són homes. Es tria una persona a
  413. l'atzar. Calculeu la probabilitat de què aquesta sigui una dona.
  414. \end{exercise}
  415. \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-3} En l'experiment consistent a treure una carta d’una baralla espanyola de 48 cartes, calculeu la probabilitat que sigui:
  416. \begin{multicols}{3}
  417. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  418. \item Sota
  419. \item Copa o oros
  420. \item Copa i oros
  421. \item Figura i espasa
  422. \item Figura o espasa
  423. \item Cavall o espasa
  424. \end{enumerate}
  425. \end{multicols}
  426. \end{exercise}
  427. \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-4} En una bossa hi ha 5 bolles vermelles, 10 bolles negres i 5 bolles blaves. En treiem una i miram de quin color és. Calculeu la probabilitat de:
  428. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  429. \item Treure una bolla vermella
  430. \item Treure una bolla negra o blava
  431. \item Treure una bolla que no sigui blava.
  432. \end{enumerate}
  433. \end{exercise}
  434. \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-5}En una bossa hi ha deu boles numerades de l'1 al 10. Si extraiem una bola de la bossa, calculeu la probabilitat de:
  435. \begin{multicols}{2}
  436. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  437. \item Treure un 7
  438. \item Treure un nombre menor que 7
  439. \item Treure un nombre no inferior 7
  440. \item Treure un múltiple de 5
  441. \item Treure un divisor de 6
  442. \item Treure un nombre primer
  443. \end{enumerate}
  444. \end{multicols}
  445. \end{exercise}
  446. \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-6}En una capsa hi ha vuit bolles numerades consecutivament com segueix: 2, 4, 6, \ldots, 16. Si diem $A =$ ``treure un nombre menor o igual que 10'' i $B =$ ``treure un múltiple de 3''. Calculeu la probabilitat de: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $A$ \item $B$ \item $A^c$ \item $B^c$ \item $A \cup B$ \item $A \cap B$ \end{enumerate*}
  447. \end{exercise}
  448. \begin{solution*}
  449. \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]
  450. \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $1/6$, \item $1/2$, \item $1/2$, \item $1/3$ \end{enumerate*}, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-2}] $0.3$, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-3}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $4/48$, \item $1/2$, \item $0$, \item $3/48$, \item $21/48$, \item $15/48$ \end{enumerate*}, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-4}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $1/4$, \item $3/4$ \item $3/4$ \end{enumerate*}, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-5}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0.1$, \item $0.6$, \item $0.4$, \item $0.2$, \item $0.3$, \item $0.4$ \end{enumerate*}, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-6}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0.625$, \item $0.25$, \item $0.375$, \item $0.75$, \item $0.75$, \item $0.125$ \end{enumerate*}
  451. \end{enumerate*}
  452. \end{solution*}
  453. \begin{exercise}\label{exercici:js-prob-simple-1}En el llançament de dos daus, trobeu la probabilitat de què \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item ambdues cares sigui parells, \item la suma de les cares sigui 9\end{enumerate*}
  454. \end{exercise}
  455. \begin{exercise}\label{exercici:js-prob-simple-2}Si sabem que la probabilitat dels esdeveniments $A$, $B$ i $A \cap B$ és $p(A) = 1/3$, $p(B) = 2/5$ i $p(A \cap B) = 1/15$, trobeu les probabilitats de: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item que es compleixi algun dels esdeveniments $A$ o $B$ \item que no es compleixi $A$ però sí $B$, \item que es compleixi, només, un esdeveniment \item que no es compleixi ni $A$ ni $B$ \end{enumerate*}
  456. \begin{solution*}
  457. \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $2/3$, \item $1/3$, \item $3/5$, \item $1/3$\end{enumerate*}
  458. \end{solution*}
  459. \end{exercise}
  460. \begin{exercise}\label{exercici:js-prob-simple-3}En un banc hi ha dues alarmes, $A$ i $B$. En cas d'atracament, la probabilitat de què s'activi $A$, $B$ o ambdues és: $p(A) = 0,75$, $p(B) = 0,85$ i $p(A \cap B) = 0,65$. Trobeu la probabilitat de què: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item s'activi alguna de les dues \item s'activi només una \item no se n'activi cap\end{enumerate*}
  461. \end{exercise}
  462. \begin{example}Donats els esdeveniments $A$ i $B$, i les probabilitats $p(A)=0.1$, $p(B)=0.2$ i $p(A\cup B)=0.25$, calculeu \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $p(A^{c})$ \item $p(A\cap B)$ \end{enumerate*}.
  463. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  464. \item Tenim que $p(A^{c}) = 1-p(A) = 1-0.1 = 0.9$
  465. \item Aplicant la probabilitat de la unió: $0.25=0.1+0.2-p(A\cap B)$. Per tant, $p(A\cap B)=0.1+0.2-0.25=0.05$.
  466. \end{enumerate}
  467. \end{example}
  468. \begin{exercise}Determineu si són compatibles o incompatibles els esdeveniments $A$ i $B$, sabent que $p(A)=1/4$, $p(B)=1/2$ i $p(A\cup B)=2/3$.
  469. \end{exercise}
  470. \begin{exercise}Dels esdeveniments $A$ i $B$ se sap que $p(A)=2/5$, $p(B)=1/3$ i $p(A^{c}\cap B^{c})=1/3$. Calculeu $p(A\cup B)$ i $p(A\cap B)$.
  471. \end{exercise}
  472. \section{Probabilitat condicionada}
  473. En molts de casos, la probabilitat depèn d'un factor. Per exemple, la probabilitat de què una persona sigui calba és relativament baixa. Ara bé, la probabilitat de què un home sigui calb ja és, per desgràcia, més alta. Per tant, la probabilitat de ser calb depèn del sexe de les persones. D'aquesta manera podem calcular la probabilitat de ser calb o bé la probabilitat de ser calb condicionat a ser home. Això darrer vol dir que sabent que triam un home, quina és la probabilitat de què aquest sigui calb.
  474. \begin{definition}[probabilitat condicionada]Donats els esdeveniments $A$ i $B$, per \term{probabilitat de $A$ condicionat a $B$}\index{probabilitat!condicionada}\index{probabilitat!de $A$ condicionat a $B$} entendrem la probabilitat de què es verifiqui l'esdeveniment $A$ si prèviament s'ha verificat l'esdeveniment $B$. S'escriu $p\left( A \mid B\right) $ i es calcula com%
  475. \begin{equation*}
  476. p\left( A \mid B\right) =\frac{p\left( A\cap B\right) }{p\left( B\right) },
  477. \end{equation*}
  478. amb $p(B) \neq 0$.
  479. \end{definition}
  480. \subsection{Propietats de la probabilitat condicionada}
  481. Si $A$ i $B$ són esdeveniments qualssevol, llavors:
  482. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  483. \item $p(B \mid A) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$, si $p(A) \neq 0$.
  484. \item $p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B \mid A) = p(B) \cdot p(A \mid B)$
  485. \item Dos esdeveniments són \term{independents}\index{esdeveniments!independents} quan $p(A\mid B) = p(A)$. En aquest cas, $p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B)$
  486. \begin{proposition}Si $A$ i $B$ són independents, llavors també ho són $A^c$ i $B^c$
  487. \end{proposition}
  488. \end{enumerate}
  489. \begin{example}[probabilitat condicionada]\label{exemple-prob-condicionada}En una bossa tenim:
  490. \begin{itemize}
  491. \item tres bolles verdes, numerades de l'$1$ al $3$,
  492. \item quatre bolles vermelles, numerades del $4$ al $7$,
  493. \item una bolla negra, amb el nombre $8$.
  494. \end{itemize}
  495. de la qual extraiem una bolla. Calculeu $p(\text{parell}|\text{verda})$, $p(\text{parell}|\text{vermella})$ i $p(\text{parell}|\text{negra})$.
  496. Hem de calcular les probabilitats condicionades següents:
  497. \begin{eqnarray*}
  498. p(\text{parell} \mid \text{verda}) &=&\frac{p(\text{parell} \cap \text{verda})}{p(\text{verda})}=\frac{1/8}{3/8}=\frac{1}{3} \\
  499. p(\text{parell}\mid \text{vermella}) &=&\frac{p(\text{parell} \cap \text{vermella})}{p(\text{vermella})}=\frac{2/8}{4/8}=\frac{1}{2} \\
  500. p(\text{parell} \mid \text{negra}) &=&\frac{p(\text{parell} \cap \text{negra})}{p(\text{negra})}=\frac{1/8}{1/8}=1
  501. \end{eqnarray*}
  502. \end{example}
  503. \begin{exercise}D'un joc de cartes se'n treu una a l'atzar. Calculeu la probabilitat de què:
  504. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  505. \item sigui un rei,
  506. \item sigui una figura,
  507. \item sigui el rei d'espases,
  508. \item sigui un rei sabent que ha sortit una figura,
  509. \item sigui una figura sabent que ha sortit un rei,
  510. \item sigui el rei d'espases sabent que ha sortit una figura.
  511. \end{enumerate}
  512. \end{exercise}
  513. \begin{example}
  514. A l'exemple anterior (\autoref{exemple-prob-condicionada}), els esdeveniments ``parell'' i ``vermella'' són independents, ja que%
  515. \begin{equation*}
  516. p(\text{parell} \mid \text{vermella})=p(\text{parell})=\frac{1}{2}
  517. \end{equation*}
  518. \end{example}
  519. \section{Experiments compostos: tècniques de resolució}
  520. \begin{definition}[experiment compost]Un experiment es diu \term{compost}\index{experiment!compost} si està format per més d'una part, la qual dóna lloc a un resultat. Si l'experiment només té una part es diu \term{experiment simple}\index{experiment!simple}.
  521. \end{definition}
  522. \begin{example}[exemple d'experiments compostos]Exemple d'experiment compost és:
  523. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  524. \item Tirar dos daus
  525. \item Extreure dues (o més) bolles d'una urna, amb o sense reposició (la reposició és si tornam la bolla extreta a l'urna).
  526. \item Extreure una bolla d'una urna i, segons el color de la bolla, extreure'n una altra d'una altra.
  527. \end{enumerate}
  528. \end{example}
  529. Existeixen diverses tècniques per a calcular les probabilitats dels experiments compostos, les quals de forma general podem emprar indistintament. El millor és veure'ls amb exemples.
  530. \subsection{Diagrama d'arbre}
  531. \begin{example}A una casa hi ha tres clauers, $A$, $B$ i $C$ amb $5$, $7$ i $8$ claus respectivament, de les quals només una de cada clauer obri la porta del rebost. Es tria un clauer a l'atzar i, d'aquest, una clau per intentar obrir el rebost.
  532. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  533. \item Quina és la probabilitat d'obrir el rebost?
  534. \item Quina és la probabilitat de què es triï el tercer clauer i la que la clau triada no obri el rebost?
  535. \item Quina és la probabilitat de què s'hagi triat el clauer $C$ sabent que s'ha obert el rebost?
  536. \end{enumerate}
  537. \begin{solution*}
  538. En primer lloc, facem un \term{diagrama d'arbre}\index{diagrama!d'arbre} (\autoref{fig:diagrama-arbre-0}).
  539. \begin{figure}[h!]
  540. \centering
  541. % From http://www.texample.net/tikz/examples/probability-tree/
  542. % Set the overall layout of the tree
  543. \tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=3.5cm]
  544. \tikzstyle{level 2}=[level distance=3.5cm, sibling distance=2cm]
  545. % Define styles for bags and leafs
  546. \tikzstyle{bag} = [text width=4em, text centered]
  547. \tikzstyle{end} = [circle, minimum width=3pt,fill, inner sep=0pt]
  548. % The sloped option gives rotated edge labels. Personally
  549. % I find sloped labels a bit difficult to read. Remove the sloped options
  550. % to get horizontal labels.
  551. \begin{tikzpicture}[grow=right, sloped]
  552. \node[bag] {Inici}
  553. child {
  554. node[bag] {Clauer $C$}
  555. child {
  556. node[end, label=right:
  557. {$p(C \cap O)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{24}$}] {}
  558. edge from parent
  559. node[above] {Obri}
  560. node[below] {$\frac{1}{8}$}
  561. }
  562. child {
  563. node[end, label=right:
  564. {$p(C \cap \overline{O})=\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{24}$}] {}
  565. edge from parent
  566. node[above] {No obri}
  567. node[below] {$\frac{7}{8}$}
  568. }
  569. edge from parent
  570. node[above] {$C$}
  571. node[below] {$\frac{1}{3}$}
  572. }
  573. child {
  574. node[bag] {Clauer $B$}
  575. child {
  576. node[end, label=right:
  577. {$p(B \cap O)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{21}$}] {}
  578. edge from parent
  579. node[above] {Obri}
  580. node[below] {$\frac{1}{7}$}
  581. }
  582. child {
  583. node[end, label=right:
  584. {$p(B \cap \overline{O})=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{7}=\frac{6}{21}$}] {}
  585. edge from parent
  586. node[above] {No obri}
  587. node[below] {$\frac{6}{7}$}
  588. }
  589. edge from parent
  590. node[above] {$B$}
  591. node[below] {$\frac{1}{3}$}
  592. }
  593. child {
  594. node[bag] {Clauer $A$}
  595. child {
  596. node[end, label=right:
  597. {$p(A \cap O)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}$}] {}
  598. edge from parent
  599. node[above] {Obri}
  600. node[below] {$\frac{1}{5}$}
  601. }
  602. child {
  603. node[end, label=right:
  604. {$p(A \cap \overline{O})=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{15}$}] {}
  605. edge from parent
  606. node[above] {No obri}
  607. node[below] {$\frac{4}{5}$}
  608. }
  609. edge from parent
  610. node[above] {$A$}
  611. node[below] {$\frac{1}{3}$}
  612. };
  613. \end{tikzpicture}
  614. \caption{Diagrama d'arbre}
  615. \label{fig:diagrama-arbre-0}
  616. \end{figure}
  617. D'aquesta manera, tenim que
  618. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  619. \item\label{apartat:a} La probabilitat d'obrir el rebost és:
  620. \begin{equation*}
  621. p(O) = p(A \cap O) + p(B \cap O) + p(C \cap O) = \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24} = \frac{131}{840}
  622. \end{equation*}
  623. \item La probabilitat de triar el clauer $C$ i no obrir el rebost és $p(C \cap \overline{O}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{24}$.
  624. \item\label{apartat:c} La probabilitat de què s'hagi triat el clauer $C$ sabent que s'ha obert el rebost és $p(C \mid O)$:
  625. \begin{equation*}
  626. p(C \mid O) = \frac{p(C \cap O)}{p(O)} = \frac{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} }{ \frac{131}{840}} = \frac{1/24}{131/840} = \frac{840}{3144} = \frac{35}{131}
  627. \end{equation*}
  628. \end{enumerate}
  629. Notem diverses coses:
  630. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  631. \item Per calcular la probabilitat d'una {\em fulla}\index{fulla!d'un diagrama d'arbre} del diagrama d'arbre, hem de multiplicar cadascun del valors de les probabilitats que té cada {\em branca}\index{branca!d'un diagrama d'arbre}. Així hem calculat la probabilitat $p(C \cap \overline{O})$.
  632. \item Cada branca és disjunta, és a dir, la seva intersecció és buida. D'aquesta manera, la probabilitat de què passin esdeveniments que estan a diferents fulles es calcula sumant les seves probabilitats. Així hem calculat $p(O)$.
  633. \item Notem que l'espai mostral d'aquest experiment compost seria
  634. \begin{equation*}
  635. \Omega = \{ (a, a_1), \ldots, (a, a_5), (b, b_1), (b, b_2), \ldots, (b, b_7), (c, c_1), \ldots (c, c_8) \},
  636. \end{equation*}
  637. on, per exemple, $(b, b_5)$ denota que s'ha triat el clauer $B$ i s'ha triat la cinquena clau d'aquest clauer. D'aquesta manera, triar el clauer $A$ seria l'esdeveniment
  638. \begin{equation*}
  639. A = \{ (a, a_1), (a, a_2), (a, a_3), (a, a_4), (a, a_5) \}
  640. \end{equation*}
  641. De forma anàloga es definirien els esdeveniments $B$, triar el clauer $B$, i $C$, triar el clauer $C$. L'esdeveniment ``la clau triada obri el rebost'', $O$, seria
  642. \begin{equation*}
  643. O = \{ (a, a_2), (b, b_3), (c, c_4) \},
  644. \end{equation*}
  645. si suposem que $a_2$, $b_3$ i $c_4$ serien les claus que obririen el rebost. Noteu que el diagrama d'arbre serveix per a trobar fàcilment les probabilitats de $A$, $B$, $C$ i $O$ sense haver de manejar conjunts.
  646. \item Als apartats \ref{apartat:a} i \ref{apartat:c} hem aplicat, sense saber-ho, la probabilitat total de l'esdeveniment $O$ i el teorema de Bayes.
  647. \begin{proposition}[probabilitat total]Sigui un esdeveniment $B$ que pot dependre d'altres esdeveniments $A_1, A_2, \ldots, A_n$ incompatibles entre si ($A_i \cap A_j = \emptyset$ per a tots els $i, j$) i tals que la seva unió és $\Omega$ ($A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \Omega$). Aleshores la probabilitat de $B$ es pot calcular com
  648. \begin{equation*}
  649. p(B) = p(A_1) \cdot p(B \mid A_1) + p(A_2) \cdot p(B \mid A_2) + \ldots + p(A_n) \cdot p(B \mid A_n)
  650. \end{equation*}
  651. Aquesta igualtat es coneix com a \term{probabilitat total de $B$}\index{probabilitat!total}.
  652. \end{proposition}
  653. \begin{theorem}[teorema de Bayes]Amb els mateixos termes que el teorema de la probabilitat total\index{teorema!de Bayes},
  654. \begin{equation*}
  655. p(A_i | B) = \frac{p(A_i) \cdot p(B\mid A_i)}{p(A_1) \cdot p(B \mid A_1) + \ldots + p(A_n) \cdot p(B \mid A_n)}
  656. \end{equation*}
  657. \end{theorem}
  658. \end{enumerate}
  659. \end{solution*}
  660. \end{example}
  661. \begin{exercise}\label{exercici-diagrama-arbre-1}Llançam una moneda dues vegades. Quina és la probabilitat d'obtenir: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Dues cares? \item Almenys una cara? \item Una cara i una creu? \end{enumerate*}
  662. \end{exercise}
  663. \begin{exercise}\label{exercici-diagrama-arbre-2}Un moix encalça un ratolí. Aquest pot fugir per tres carrerons diferents, que designarem per $A$, $B$ i $C$. Les probabilitats de què el ratolí entri en els carrerons $A$, $B$ i $C$ són, respectivament, de $0.3$, $0.5$ i $0.2$. Se sap que la probabilitat de què el moix caci al ratolí després de què aquest entri al carreró $A$ és de $0.4$, de $0.6$ si entra en el carreró $B$, i de $0.1$ si ho fa pel carreró $C$. Calculeu \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item la probabilitat de què el moix caci al ratolí \item la probabilitat de què el ratolí hagi entrat en el carreró $A$ si sabem que finalment el moix l'ha caçat \end{enumerate*}
  664. \begin{exercise}\label{exercici-diagrama-arbre-3}D'un joc de cartes espanyoles, n'extraiem dues (sense reemplaçament). Quina és la probabilitat de què ambdues siguin d'espases?
  665. \end{exercise}
  666. \end{exercise}
  667. \begin{solution*}
  668. \begin{enumerate*}
  669. \item[Exercici~\ref{exercici-diagrama-arbre-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $1/4$ \item $3/4$ \item $1/2$ \end{enumerate*}
  670. \item[Exercici~\ref{exercici-diagrama-arbre-2}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0.44$ \item $0.273$ \end{enumerate*}
  671. \item[Exercici~\ref{exercici-diagrama-arbre-3}] $11/188$
  672. \end{enumerate*}
  673. \end{solution*}
  674. \begin{exercise} A certa floristeria varen rebre quantitats iguals de roses i gladiols, de color groc i blanc. El $60\%$ dels gladiols són de color groc, mentre que el $70\%$ de les roses són de color blanc.
  675. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  676. \item Si triem una rosa, quina probabilitat tenim que sigui de color groc?
  677. \item Quina proporció de flors són de color blanc?
  678. \item Si es varen comprar un total de 2000 flors i prenem dos gladiols, quina és la probabilitat de què aquests siguin de diferent color?
  679. \end{enumerate}
  680. \end{exercise}
  681. \begin{exercise}Una màquina ha produït 100 peces, de les quals 15 han presentat algun defecte.
  682. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  683. \item Trobeu la proporció de peces que no són defectuoses
  684. \item Calculeu la probabilitat de què, si examinem dues peces, ambdues resultin defectuoses
  685. \item Calculeu la probabilitat de què, sabent que la segona peça és defectuosa, la primera també ho sigui.
  686. \end{enumerate}
  687. \end{exercise}
  688. \begin{exercise}Un estoig conté 15 llàpissos de color vermell i 10 de color blau.
  689. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  690. \item Si triem un llapis a l'atzar, quina probabilitat es té que sigui vermell?
  691. \item Si n'extraiem dos, quina és la probabilitat de què ambdos siguin blaus?
  692. \item Calculeu la probabilitat de què, sabent que el segon és vermell, el primer hagi estat blau
  693. \end{enumerate}
  694. \end{exercise}
  695. \subsection{Taules de contingència}
  696. \begin{example}En una empresa hi ha 300 empleats, amb 200 dones i 100 homes. D'aquests, un $30\%$ dels homes i un $40\%$ de les dones tenen un contracte indefinit. Trobeu la probabilitat de què \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item una persona elegida a l'atzar sigui dona amb contracte indefinit \item una persona tengui un contracte indefinit \item sigui dona sabent que té un contracte indefinit \end{enumerate*}
  697. \begin{solution*} En comptes de fer un diagrama d'arbre, realitzarem una \term{taula de contingència}\index{taula!de contingència} (\autoref{tab:taula-contingencia-contracte}).
  698. \begin{table}[ht!]
  699. \centering
  700. \begin{tabular}{r|r|r|r}
  701. \cline{2-3}
  702. & Homes & Dones & \\
  703. \hline
  704. Contracte indefinit & $30$ & $80$ & $110$\\
  705. \hline
  706. Altres contractes & $70$ & $120$ & $190$\\
  707. \hline
  708. Total & $100$ & $200$ & $300$\\
  709. \hline
  710. \end{tabular}%
  711. \caption{Taula de contingència del sexe i tipus de contracte}
  712. \label{tab:taula-contingencia-contracte}
  713. \end{table}
  714. Per saber, per exemple, el nombre d'homes amb contracte indefinit hem calculat el $30\%$ de $100$: $\frac{30}{100} \cdot 100 = 30$. De forma anàloga, per saber el nombre de dones amb contracte indefinit: $\frac{40}{100} \cdot 200 = 80$. Per saber els homes i dones amb diferent contracte, hem restat el total menys el nombre de contractes indefinits per sexes.
  715. Amb aquesta taula podem veure fàcilment que
  716. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  717. \item La probabilitat de què una persona triada a l'atzar sigui dona amb contracte indefinit és $80/300 = 4/15$
  718. \item La probabilitat de què una persona tengui contracte indefinit és de $110/300 = 11/30$
  719. \item La probabilitat de què una persona sigui dona sabent que té contracte indefinit és
  720. \begin{equation*}
  721. p(\text{dona} \mid \text{indefinit}) = \frac{ p(\text{dona} \cap \text{indefinit})}{p(\text{indefinit})} = \frac{80/300}{110/300} = \frac{80}{110} = \frac{8}{11}.
  722. \end{equation*}
  723. \end{enumerate}
  724. \end{solution*}
  725. \end{example}
  726. \begin{claim}En el cas de no saber el nombre total d'empleats, podríem suposar que fossin 100, per exemple.
  727. \end{claim}
  728. \begin{exercise}En una determinada població hi ha un $53\%$ de dones. Un $20\%$ dels homes té afició per la lectura. Aquesta afició augmenta fins al $30\%$ en el cas de les dones. Es tria una persona a l'atzar. \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Quina és la probabilitat de què sigui dina i no tengui afició a la lectura? \item Quina és la probabilitat de què la persona triada sigui una dona sabent que té afició per la lectura? \end{enumerate*}
  729. \begin{solution*} \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,371$ \item $0,63$ \end{enumerate*}
  730. \end{solution*}
  731. \end{exercise}
  732. \begin{exercise}En una oficina, el $70 \%$ dels empleats són extrangers. De entre aquests, el $50 \%$ són dones, mentre que, dels nacionals, són homes el $20 \%$.
  733. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  734. \item Quin percentatge d'empleats nacionals són dones?
  735. \item Calculeu la probabilitat de què un empleat de l'oficina sigui dona
  736. \item En Ferran fa feina a l'oficina. Quina és la probabilitat de què sigui extranger?
  737. \end{enumerate}
  738. \begin{solution*} \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $80\%$ \item $0,59$ \item $35/41$ \end{enumerate*}
  739. \end{solution*}
  740. \end{exercise}
  741. \begin{exercise}Una ciutat ha remodelat el seu passeig marítim i en diari local ha aparegut l'enquesta, realitzada a $200$ persones, sobre si el resultat ha estat satisfactori. Els resultats varien depenent de la zona on viuen els enquestats: dels qui viuen al centre, el $30\%$ li ha agradat el resultat final de les obres. Si viuen a les afores, aquest percentatge ha pujat a un $50\%$. Dels $200$ enquestats, $120$ viuen en el centre.
  742. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  743. \item Quina és la probabilitat de què a una persona li hagin agradat les obres?
  744. \item Si sabem que la persona li han agradat les obres, quina probabilitat hi ha que visqui en el centre?
  745. \end{enumerate}
  746. \end{exercise}
  747. \begin{exercise}S'ha realitzat un estudi entre els estudiants d'un curs ofimàtica: d'entre els estudiants, un $40\%$ ja havia cursat anteriorment un curset d'ofimàtica. D'aquests, un $20\%$ té un ordinador a casa, mentre que dels que no havien cursat anteriorment ofimàtica, aquest percentatge baixa al $10\%$.
  748. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  749. \item Quina és la probabilitat de què un estudiant tengui ordinador a casa?
  750. \item Si un estudiant té ordinador a casa, quina és la probabilitat de què no hagi rebut abans formació d'ofimàtica?
  751. \end{enumerate}
  752. \end{exercise}
  753. \subsection{Diagrames de Venn}
  754. Aquest mètode és convenient aplicar-lo quan sabem informació sobre esdeveniments excloents, com per exemple tenir una afició o una altra.
  755. \begin{example}En un poble, el $55\%$ dels habitants consumeix pa integral, el $30\%$ pa multicereal i el $20\%$ d'ambdós tipus. Quina és la probabilitat de què una persona triada a l'atzar no consumeixi cap dels dos tipus de pa?
  756. \begin{solution*} Elaborarem un diagrama de Venn dels consumidors de pa (\autoref{fig:metode-Venn-1}). Per fer-ho, suposarem que hi ha 100 habitants al poble (tenim tants per cent al problema, per tant no és una suposició descabellada):
  757. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  758. \item Si hi ha 55 habitants que consumeixen pa integral i 20 que també consumeixen multicereal, aleshores n'hi ha 35 que {\em només} consumeixen pa integral.
  759. \item De la mateixa manera, hi ha 10 persones que només consumeixen pa multicereal.
  760. \item Si en total hi ha 100 persones, tenim que hi ha 35 persones que no consumeixen cap tipus de pa.
  761. \end{enumerate}
  762. \begin{figure}[h!]
  763. \centering
  764. \def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
  765. \def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
  766. \colorlet{circle edge}{blue!50}
  767. \colorlet{circle area}{blue!20}
  768. \tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
  769. outline/.style={draw=circle edge, thick}}
  770. \tikzset{filled2/.style={fill=white, draw=black, thick},
  771. outline/.style={draw=black, thick}}
  772. % Generat amb TikZ
  773. % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
  774. \begin{tikzpicture}
  775. \draw[outline] \firstcircle node {$35$};
  776. \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$I$};
  777. \draw[outline] \secondcircle node {$10$};
  778. \node[anchor=south] at (2,1.5) {$M$};
  779. \draw (0:1cm) node {$20$};
  780. \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
  781. \draw (4.5,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  782. \draw (-2,-2) node[anchor=south west] {$35$};
  783. \draw (4,-2.5) node[anchor=south east] {$100$};
  784. \end{tikzpicture}
  785. \caption{Diagrama de Venn dels consumidors de pa}
  786. \label{fig:metode-Venn-1}
  787. \end{figure}
  788. Per tant, la probabilitat de triar un habitant que no consumeixi cap tipus de pa és $p(\overline{I} \cap \overline{M}) = 35/100 = 0.35$.\footnote{Haguéssim pogut obtenir aquest resultat usant les propietats de les operacions d'esdeveniments: $p(\overline{I} \cap \overline{M}) = p(\overline{(I \cup M)}) = 1 - p(I \cup M) = 1 - (p(I) + p(M) - p(I \cap M)) = 1 - (0.55 + 0.30 - 0.20) = 0.35$ }
  789. \end{solution*}
  790. \end{example}
  791. \begin{exercise}En una població, es sap que el $30\%$ escolta els informatius per la radio, el $60\%$ per la televisió i el $20\%$ pels dos mitjans. Si es tria una persona a l'atzar, determineu la probabilitat de què:
  792. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  793. \item escolti algun dels mitjans de comunicació
  794. \item escolti la radio i no vegi la televisió
  795. \item sabent que no veu la televisió, que escolti la radio
  796. \item escolti només un mitjà de comunicació
  797. \end{enumerate}
  798. \end{exercise}
  799. \begin{example}En una ciutat es publiquen tres diaris: $A$, $B$ i $C$. El $50\%$ de la gent està subscrita al diari $A$, el $40\%$ a $B$ i el $30\%$ a $C$. El $20\%$ està subscrit a $A$ i a $B$, el $10\%$ a $A$ i $C$, el $20\%$ a $B$ i $C$ i el $5\%$ a tots els diaris. Si triem una persona a l'atzar d'aquesta ciutat, calculeu la probabilitat de què:
  800. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  801. \item estigui subscrit almenys a un diari
  802. \item no estigui subscrit a cap diari
  803. \item estigui subscrit exactament a un diari
  804. \end{enumerate}
  805. \begin{solution*}Facem un diagrama de Venn de tres conjunts: subscriptors de $A$, de $B$ i de $C$ (\autoref{fig:tecniques-2}). Hem marcat en negreta les dades donades. Per calcular les dades que falten, hem procedit de la manera següent:
  806. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  807. \item Hem suposat que hi ha $100$ persones en total.
  808. \item Sabem que $\lvert A \cap B \cap C \rvert = 5$ i $\lvert A \cap B \rvert = 20$. Per tant, els subscritors de $A$ i $B$ però que no estan subscrits a $C$, i.e., $A \cap B \cap \overline{C}$, són $20-5 = 15$. De la mateixa manera, $\lvert A \cap C \cap \overline{B} \rvert = 5$ i $\lvert B \cap C \cap \overline{A} \rvert = 15$.
  809. \item Com que $\lvert A \rvert = 50$, per l'apartat anterior, tenim que $\lvert A \cap \overline{B} \cap \overline{C} \rvert = 50 - (5+5+15) = 25$. De la mateixa manera, $\lvert B \cap \overline{C} \cap \overline{A} \rvert = 40 - (5+15+15) = 5$ i $\lvert C \cap \overline{A} \cap \overline{B} \rvert = 30 - (5+5+15) = 5$
  810. \item Per últim, $\lvert \overline{(A \cup B \cup C)} \rvert = 100 - 75 = 25$.
  811. \end{enumerate}
  812. \begin{figure}[h!]
  813. \centering
  814. % From http://www.texample.net/tikz/examples/venn/
  815. % A Venn diagram with PDF blending
  816. % Author: Stefan Kottwitz
  817. % https://www.packtpub.com/hardware-and-creative/latex-cookbook
  818. \begin{tikzpicture}
  819. \begin{scope}[blend group = soft light]
  820. \draw[thick] ( 90:1.2) circle (2);
  821. \draw[thick] (210:1.2) circle (2);
  822. \draw[thick] (330:1.2) circle (2);
  823. \end{scope}
  824. \node at ( 90:2) {$25$};
  825. \node at ( 210:2) {$5$};
  826. \node at ( 330:2) {$5$};
  827. \draw (0,0) node {$\mathbf{5}$};
  828. \draw (0,3.2) node[anchor=south] {$A$};
  829. \draw (-3,-2.2) node[anchor=south] {$B$};
  830. \draw (3,-2.2) node[anchor=south] {$C$};
  831. \draw (-4,-4) -- (-4,4) -- (4,4) --(4,-4) -- cycle;
  832. \draw (4,-4) node[anchor=south east] {$\Omega$};
  833. \draw (-4,-4) node[anchor=south west] {$25$};
  834. \draw (270:1.2) node {$15$};
  835. \draw (150:1.2) node {$15$};
  836. \draw (40:1.2) node {$5$};
  837. \end{tikzpicture}
  838. \caption{Diagrama de Venn dels subscriptors de diaris}
  839. \label{fig:tecniques-2}
  840. \end{figure}
  841. Per tant, amb tot,
  842. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  843. \item $p(\text{almenys un diari}) = \frac{25+15+5+5+15+5+5}{100} = 75/100 = 0.75$
  844. \item $p(\text{cap diari}) = 25/100 = 0.25$
  845. \item $p(\text{exactament 1 diari}) = \frac{25+5+5}{100} = 35/100 = 0.35$
  846. \end{enumerate}
  847. \end{solution*}
  848. \end{example}
  849. \begin{exercise}En un grup de matrimonis heterosexuals s'ha observat que en el $50\%$ dels casos la dona té estudis universitaris. En un $30\%$ tant l'home com la dona els té i, finalment, el $37,5\%$ dels matrimonis en els que l'home té estudis universitaris i la dona no els té.
  850. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  851. \item Quina probabilitat hi ha de què en un matrimoni heterosexual l'home tengui estudis universitaris?
  852. \item En quin percentatge de matrimonis heterosexuals en els que la dona té estudis universitaris, l'home també els té?
  853. \item Quin percentatge correspon a matrimonis en el que l'home no té estudis universitaris i la dona sí?
  854. \end{enumerate}
  855. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,675$, \item $60\%$, \item $20\%$ \end{enumerate*}
  856. \end{solution*}
  857. \end{exercise}
  858. \begin{exercise}Un estudiant fa dues proves el mateix dia. La probabilitat de què passi la primera és de $0,6$, la que passi la segona és de $0,8$ i de què passi ambdues és de $0,5$. Es demana:
  859. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  860. \item la probabilitat de què passi almenys una prova
  861. \item la probabilitat de què no passi cap prova
  862. \item són les proves esdeveniments independents?
  863. \item la probabilitat de què passi la segona prova en cas de no haver superat la primera
  864. \end{enumerate}
  865. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,9$, \item $0,1$, \item no són independents \item $0,75$ \end{enumerate*}
  866. \end{solution*}
  867. \end{exercise}
  868. \begin{exercise}Un aparell elèctric està constituït per dos components: $A$ i $B$. Sabent que hi ha una probabilitat de $0,58$ de què no falli cap element, i que en el $32\%$ dels casos falla $B$ però no $A$, determineu la probabilitat de què en un d'aquests aparells no falli el component $A$.
  869. \begin{solution*}$0,9$\end{solution*}
  870. \end{exercise}
  871. \section{Exercicis proposats}
  872. \begin{exercise}Un restaurant té contractats a dos cambrers: Javier i Ana per atendre el servei del menjador. Ana posa el servei el $70\%$ dels dies i es confon al col·locar els coberts només el $5\%$ dels dies. Mentre, Javier col·loca malament alguna peça el $25\%$ dels dies que posa el servei.
  873. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  874. \item Aquest matí, l'encarregat del restaurant ha passat revista al servei. Quina és la probabilitat de què trobi algun servei mal col·locat?
  875. \item Per desgràcia, l'encarregat va trobar uns coberts mal col·locats i vol trobar quina és la probabilitat de què hagi estat en Javier
  876. \end{enumerate}
  877. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,11$ \item $15/22$ \end{enumerate*}
  878. \end{solution*}
  879. \end{exercise}
  880. \begin{exercise}Certa persona compra tots els dies el diari local, comprant-lo indistintament en un de les botigues, $A$ i $B$, que estan més pròximes a ca seva. El $80\%$ dels dies el compra a la botiga $A$.
  881. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  882. \item Quina proporció dels dies compra el diari a la botiga $B$?
  883. \item Quina probabilitat hi ha de què compri dos dies el diari a la botiga $A$?
  884. \item Quina és la probabilitat de què dos dies consecutius compri el diari a dues botigues diferents?
  885. \end{enumerate}
  886. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,20$ \item $0,64$ \item $0,32$\end{enumerate*}
  887. \end{solution*}
  888. \end{exercise}
  889. \begin{exercise}La probabilitat de què un aficionat al futbol vagi al camp municipal a veure un partit és del $90\%$ quan es disputa en cap de setmana i el $50\%$ si té lloc en un dia laborable. La probabilitat de què un partit es jugui en cap de setmana és la mateixa que se jugui entre setmana.
  890. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  891. \item Cert partit es celebrarà la setmana que ve en un dia encara sense determinar. Calculeu la probabilitat de què els aficionats vagin a veure'l al camp
  892. \item Si finalment un aficionat va anar a veure el partit, quina és la probabilitat de què aquest hagi estat en cap de setmana?
  893. \end{enumerate}
  894. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,7$ \item $45/70$\end{enumerate*}
  895. \end{solution*}
  896. \end{exercise}
  897. \begin{exercise}En una capsa estan desats 20 rellotges, dels quals n'hi ha 15 que funcionen correctament.
  898. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  899. \item Si s'extreu un rellotge a l'atzar, quina és la probabilitat que funcioni bé?
  900. \item Si s'extreuen dos rellotges a l'atzar, quina és la probabilitat de què funcionin els dos correctament?
  901. \item Si el segon no funciona correctament, quina és la probabilitat de què el primer tampoc ho faci?
  902. \end{enumerate}
  903. \end{exercise}
  904. \begin{exercise}El $25\%$ de les famílies de certa comunitat autònoma espanyola no surt fora de la mateixa durant les vacances d'estiu. El $65\%$ estiueja per la resta de l'estat i el $10\%$ restant se'n va a l'extranger. Dels qui queden a la seva comunitat, només un $10\%$ no usa cotxe en els desplaçaments. Aquesta quantitat augmenta al $30\%$ entre els que surtin per la resta d'Espanya, i al $90\%$ entre els que viatgen a l'extranger.
  905. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  906. \item Calculeu el percentatge de famílies d'aquesta comunitat que utilitza el cotxe en els seus desplaçaments d'estiu
  907. \item Una família no usa cotxe en les seves vacances d'estiu. Quina és la probabilitat de què surti de la comunitat movent-se per la resta d'Espanya?
  908. \end{enumerate}
  909. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $69\%$ \item $13/20$\end{enumerate*}
  910. \end{solution*}
  911. \end{exercise}
  912. \begin{exercise}Un grup de $40$ persones acabar de prendre un bus. D'aquests, només $10$ són fumadors. Entre els fumadors, el $70\%$ es mareja durant el viatge. I entre els qui no fumen, aquesta quantitat baixa al $40\%$.
  913. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  914. \item Quina probabilitat hi ha que dues persones siguin fumadores ambdues?
  915. \item Quina és la probabilitat de què un viatger no es maregi?
  916. \end{enumerate}
  917. \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $3/52$ \item $0,525$\end{enumerate*}
  918. \end{solution*}
  919. \end{exercise}
  920. \begin{exercise}Dos joves aficionats als jocs d'atzar es troben realitzant un solitari amb una baralla espanyola. Extreuen una carta de la baralla i volen saber quina és la probabilitat d'obtenir rei condicionat a què s'hagi tret figura
  921. \begin{solution*}$1/3$\end{solution*}
  922. \end{exercise}
  923. \begin{exercise}En un país s'ha constituït una comissió parlamentària integrada per deu membres, dels quals set pertanyen al partit governant i la resta al partit de l'oposició. Entre els set membres del partit governant hi ha quatres homes; dos entre els del partit de l'oposició. El president de la comissió s'elegeix per sorteig entre els seus integrants. Celebrat el sorteig, es sap que el president triat ha estat un home. Quin partit té més possibilitats de dirigir la comissió?
  924. \begin{solution*}$2/3$\end{solution*}
  925. \end{exercise}
  926. \begin{exercise}S'ha fet un estudi d'un nou tractament sobre $120$ persones que pateixen certa enfermetat. Trenta d'elles ja han patit l'enfermetat amb anterioritat. Entre les persones que l'han patida anteriorment, el $80\%$ ha reaccionat positivament al nou tractament. De les que no la han patida amb anterioritat, el percentatge de la reacció positiva ha estat del $90\%$.
  927. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  928. \item Si triem a l'atzar un pacient, quina és la probabilitat de què no reaccioni positivament al nou tractament?
  929. \item Si un pacient ha reaccionat positivament al tractament, quina és la probabilitat de què no hagi patit l'enfermetat amb anterioritat?
  930. \end{enumerate}
  931. \end{exercise}
  932. \begin{exercise}A cert curs d'un centre d'ensenyament, el $62.5 \%$ dels alumnes varen aprovar Matemàtiques. D'altra banda, d'entre els qui varen aprovar Matemàtiques, el $80 \%$ també varen aprovar Física. Es sap igualment que només el $33,3 \%$ dels qui no varen aprovar Matemàtiques varen aprovar Física.
  933. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  934. \item Quin percentatge va aconseguir aprovar ambdues assignatures alhora?
  935. \item Quin va ser el percentatge d'aprovats a l'assignatura de Física?
  936. \item Su un estudiant no aprovà Física, quina és la probabilitat de què aprovàs Matemàtiques?
  937. \end{enumerate}
  938. \end{exercise}
  939. \begin{exercise}El $70 \%$ dels sol·licitants d'un lloc de feina té experiència i a més formació adient amb el lloc de treball. Malgrat això, hi ha un $20\%$ que té experiència i no una formació adient. Es sap també que entre els sol·licitants que tenen formació adient amb el lloc, un $88,5 \%$ té experiència.
  940. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  941. \item Quina és la probabilitat de què un sol·licitant no tengui experiència?
  942. \item Si un sol·licitant té experiència, quina és la probabilitat de què la seva formació sigui adient amb el lloc de treball?
  943. \item Calculeu la probabilitat de què un sol·licitant tengui formació adient amb el lloc.
  944. \end{enumerate}
  945. \end{exercise}
  946. \begin{exercise}Un grup d'amics ha estat parlant sobre els seus gusts musicals. La música clàssica agrada al $20\%$ d'ells. Es sap també que el percentatge dels qui els agrada la música moderna d'entre els que els agrada la música clàssica és del $75\%$ i que el percentatge de qui els agrada la música moderna d'entre els qui no els agrada la música clàssica és del $87,5\%$.
  947. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  948. \item Quina és la probabilitat de què a un individu del grup li agradi la música moderna?
  949. \item Quina és la probabilitat de què a un individu del grup li agradi tant la música clàssica com la moderna?
  950. \item Si a una persona li agrada la música moderna, quina és la probabilitat de què tamé li agradi la música clàssica?
  951. \item Si a una persona no li agradi la música moderna, quina és la probabilitat de què li agradi la clàssica?
  952. \end{enumerate}
  953. \end{exercise}
  954. \begin{exercise}En un grup de matrimonis heterosexuals s'ha observat que en el $50\%$ dels casos la dona té estudis universitaris; en un $30\%$ tant l'home com la dona els tenen; finalment, en el $37,5\%$ dels matrimonis en els que l'home té estudis universitaris, la dóna també els té. En aquest grup de matrimonis:
  955. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  956. \item Quina probabilitat hi ha de què en un matrimoni el marit tengui estudis universitaris?
  957. \item En quin percentatge de matrimonis en els que la muller té estudis universitaris el marit també els té?
  958. \item En quin percentatge de matrimonis el marit no té estudis universitaris i la muller sí?
  959. \end{enumerate}
  960. \end{exercise}
  961. \begin{exercise}En un grup de persones, al $50\%$ els hi han posat alguna vegada una multa de trànsit. D'altra banda, al $12,5\%$ no els hi han posat mai cap multa però sí han sofert alguna vegada un accident. Finalment, al $60\%$ dels qui mai han tengut un accident no els hi han posat mai una multa.
  962. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  963. \item Quin percentatge de persones no han tengut mai un accident ni els hi han posat una multa?
  964. \item Quin percentatge de persones no han tengut mai cap accident?
  965. \item Entre les persones que mai han tengut cap multa, quin percentatge no ha tengut mai un accident?
  966. \end{enumerate}
  967. \end{exercise}
  968. \begin{exercise}L'urna $S$ conté 4 bolles blanques i 3 negres, i l'urna $T$
  969. conté 3 bolles blanques i dues negres. Prenem a l'atzar una bolla de l'urna $S$ i, sense mirar-la, la introduïm a l'urna $T$. A continuació, extraïem amb reemplaçament dues bolles de l'urna $T$. Trobeu la probabilitat de què:
  970. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  971. \item les bolles siguin del mateix color
  972. \item les bolles siguin de distint color
  973. \end{enumerate}
  974. \end{exercise}
  975. \begin{exercise}Un banc concedeix tres tipus de crèdits: hipotecaris, empresarials i personals. Es sap que el $30\%$ dels crèdits concedits són hipotecaris; el $50\%$, empresarials; i el $20\%$ restant són personals. Han resultat impagats el $20\%$ dels crèdits hipotecaris, el $25\%$ dels crèdits empresarials i el $50\%$ dels crèdits personals. Es demana:
  976. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  977. \item Representar la situació mitjançant un diagrama d'arbre
  978. \item Seleccionat un crèdit a l'atzar, calcular la probabilitat de què es pagui
  979. \item Un crèdit determinat ha resultat impagat. Calculeu la probabilitat de què sigui un crèdit hipotecari
  980. \end{enumerate}
  981. \end{exercise}
  982. \begin{exercise}En un trajecte entre dues ciutats pròximes, un automobilista ha d'atravessar tres zones que estan en obres i en les que es regula el trànsit mitjançant semàfors. La probabilitat de trobar el semàfor en vermell per a cadascuna de les tres zones és $0,3$, $0,7$ i $0,5$. Calculeu la probabilitat de què el conductor:
  983. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  984. \item Trobi els tres semàfors en vermell
  985. \item Trobi els tres semàfors en vermell
  986. \item Trobi exactament un semàfor en vermell
  987. \item Trobi almenys un semàfor en vermell
  988. \end{enumerate}
  989. \end{exercise}
  990. \begin{exercise}En un determinat barri d'una ciutat s'ha observat que el $70\%$ dels seus habitants té més de 50 anys i que d'aquests el $60\%$ és propietari de la vivenda que habita. També es sap que el percentatge de propietaris és del $30\%$ entre aquelles persones que no superen els 50 anys. Es demana:
  991. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  992. \item Trobar la probabilitat de què un veïnat del barri, el qual ha estat triat a l'atzar, sigui propietari de la vivenda en la qual habita.
  993. \item Triat un veïnat a l'atzar, que és propietari de la vivenda on habita, calculeu la probabilitat de què tengui més de 50 anys.
  994. \end{enumerate}
  995. \end{exercise}
  996. \begin{exercise}Provem una vacuna contra el grip en un grup de 400 persones, de les quals 180 són homes i 220 dones. De les dones, 25 es contagien de grip i, dels homes, ho fan 23. Determineu les probabilitats de què:
  997. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  998. \item Al seleccionar una persona a l'atzar, resulti que no té grip
  999. \item Al seleccionar una persona a a l'atzar, resulti ser una dona que no té grip
  1000. \item Seleccionada una persona que no té grip, resulti que sigui un home
  1001. \item Seleccionada una dona, resulti que no té grip
  1002. \end{enumerate}
  1003. \end{exercise}
  1004. \begin{exercise}El $20 \%$ dels empleats d'una empresa són enginyers i un altre $20\%$ són economistes. Tres de quatre enginyers ocupa un càrrec directiu, mentre que només ho fa el $50 \%$ dels economistes. De la resta dels empleats, només ocupen càrrecs directius un $20\%$. Calculeu les probabilitats de què:
  1005. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1006. \item Al seleccionar un empleat a l'atzar resulti ser un enginyer que no ocupa càrrec directiu
  1007. \item Al seleccionar un empleat a l'atzar resulti no ser ni enginyer ni economista, però que ocupi un càrrec directiu
  1008. \item Al seleccionar un càrrec directiu a l'atzar resulti ser economista
  1009. \item Al seleccionar un càrrec directiu a l'atzar resulti ser enginyer o economista
  1010. \end{enumerate}
  1011. \end{exercise}
  1012. \begin{exercise}El $15 \%$ dels habitants d'un país pateix certa enfermetat.
  1013. Per a diagnosticar-la es disposa d'un procediment, el qual no és completament fiable: dóna positiu en el $90\%$ dels casos de persones realment malaltes, però també dóna positiu en el $5\%$ de les persones sanes (el que es coneix com {\em fals positius}). Determineu la probabilitat de què:
  1014. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1015. \item estigui sana una persona el diagnòstic de la qual ha donat positiu
  1016. \item estigui malalta una persona el diagnòstic del qual ha estat negatiu
  1017. \end{enumerate}
  1018. \end{exercise}
  1019. \begin{exercise}Tres avions disparen simultàniament a un blanc, sent
  1020. independients els dispars l'uns dels altres, i sent la probabilitat de què un avió acerti al blanc de $0,6$. Calculeu la probabilitat de què el blanc sigui destruït.
  1021. \end{exercise}
  1022. \begin{exercise}Una caixa conté 100 peces, entre les que hi ha 20 defectuoses pel que fa a la longitud, 12 defectuoses pel que fa a l'amplada i 15 defectuoses pel que fa a l'altura. D'altra banda, sabem que hi ha 7 peces defectuoses en longitud i altura, 4 peces defectuoses en longitud i amplada, 5 que ho són en amplada i altura i 2 defectuoses en els tres aspectes. Es demana:
  1023. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1024. \item La probabilitat de què una peça triada a l'atzar presenti un sol defecte.
  1025. \item La probabilitat de què una peça triada a l'atzar sigui defectuosa només pel que respecte a la longitud
  1026. \end{enumerate}
  1027. \end{exercise}
  1028. \begin{exercise}De 150 pacients, 90 tenen una enfermetat cardíaca, 50 tenen càncer i 20 tenen ambdues enfermetats. Determineu la probabilitat de què un pacient triat a l'atzar tengui només una de les dues enfermetats.
  1029. \end{exercise}
  1030. \begin{exercise}Una màquina es composa de dos components: $A$ i $B$. La probabilitat de què el component $A$ falli és de $0,05$ mentre que la probabilitat de què $B$ arribi a fallar és de $0,03$. La màquina funciona correctament sempre que ho fan ambdos components i també en el $30\%$ dels casos en què ambdos components es comportin erròniament. En cas contrari, la màquina falla. Calculeu la probabilitat de què la màquina no funcioni correctament.
  1031. \end{exercise}
  1032. \begin{exercise}Els habitants d'un poble poden votar entre dos partits polítics: $A$ i $B$. El $55 \%$ dels habitants són menors de 30 anys; d'ells, el
  1033. $80 \%$ són del partit $B$. Dels majors de 30 anys, només ho són 1 de 10 persones. Escollim una persona a l'atzar.
  1034. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1035. \item Calculeu la probabilitat de què sigui del partit $A$
  1036. \item La persona triada resulta ser del partido $A$. Quina probabilitat hi ha de què tengui menys de 30 anys?
  1037. \end{enumerate}
  1038. \end{exercise}
  1039. \begin{exercise}N'Aina, en Bartomeu i en Cristòfol sortegen a l'atzar l'ordre en què entraran per una porta.
  1040. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1041. \item Calculeu la probabilitat de què els dos darrers en entrar siguin homes
  1042. \item Determineu si són independients els esdeveniments `la dona entra abans que algun dels homes' i `els dos homes entren consecutivament'.
  1043. \end{enumerate}
  1044. \end{exercise}
  1045. \begin{exercise}Es tenen dues urnes, $U_1$ i $U_2$, el contingut del qual és el següent:
  1046. \begin{itemize}
  1047. \item en l'urna $U_1$ hi ha 4 bolles blaves, 3 vermelles i 3 verdes
  1048. \item en l'urna $U_2$ hi ha 4 bolles vermelles, 5 blaves i 1 verda
  1049. \end{itemize}
  1050. Es llancen tres monedes a l'aire i si s'obtenen dues cares, s'extreu una bolla de l'urna $U_1$; en qualsevol cas, s'extreu una bolla de l'urna $U_2$. Trobeu la probabilitat de què la bolla extreta sigui blava. Ajudeu-vos d'un diagrama d'arbre.
  1051. \end{exercise}
  1052. \begin{exercise}Un aparell elèctric està constituït per dos components, $A$ i $B$. Sabent que hi ha una probabilitat de $0,58$ que no falli cap dels
  1053. dos components, i que en el $32 \%$ dels casos falla $B$ no havent fallat $A$, determineu la probabilitat de què en un d'aquests aparells no falli el component $A$.
  1054. \end{exercise}
  1055. \begin{exercise}Una urna, $A$, conté 5 bolles blanques i 3 de negres. Una altra urna, $B$, en té 6 de blanques i 4 de negres. Elegim una urna a l'atzar i extraiem dues bolles, que resulten ser negres. Trobeu la probabilitat de què l'urna elegida hagi estat la $B$.
  1056. \end{exercise}