Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

05-geometria.tex 172KB

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910010110210310410510610710810911011111211311411511611711811912012112212312412512612712812913013113213313413513613713813914014114214314414514614714814915015115215315415515615715815916016116216316416516616716816917017117217317417517617717817918018118218318418518618718818919019119219319419519619719819920020120220320420520620720820921021121221321421521621721821922022122222322422522622722822923023123223323423523623723823924024124224324424524624724824925025125225325425525625725825926026126226326426526626726826927027127227327427527627727827928028128228328428528628728828929029129229329429529629729829930030130230330430530630730830931031131231331431531631731831932032132232332432532632732832933033133233333433533633733833934034134234334434534634734834935035135235335435535635735835936036136236336436536636736836937037137237337437537637737837938038138238338438538638738838939039139239339439539639739839940040140240340440540640740840941041141241341441541641741841942042142242342442542642742842943043143243343443543643743843944044144244344444544644744844945045145245345445545645745845946046146246346446546646746846947047147247347447547647747847948048148248348448548648748848949049149249349449549649749849950050150250350450550650750850951051151251351451551651751851952052152252352452552652752852953053153253353453553653753853954054154254354454554654754854955055155255355455555655755855956056156256356456556656756856957057157257357457557657757857958058158258358458558658758858959059159259359459559659759859960060160260360460560660760860961061161261361461561661761861962062162262362462562662762862963063163263363463563663763863964064164264364464564664764864965065165265365465565665765865966066166266366466566666766866967067167267367467567667767867968068168268368468568668768868969069169269369469569669769869970070170270370470570670770870971071171271371471571671771871972072172272372472572672772872973073173273373473573673773873974074174274374474574674774874975075175275375475575675775875976076176276376476576676776876977077177277377477577677777877978078178278378478578678778878979079179279379479579679779879980080180280380480580680780880981081181281381481581681781881982082182282382482582682782882983083183283383483583683783883984084184284384484584684784884985085185285385485585685785885986086186286386486586686786886987087187287387487587687787887988088188288388488588688788888989089189289389489589689789889990090190290390490590690790890991091191291391491591691791891992092192292392492592692792892993093193293393493593693793893994094194294394494594694794894995095195295395495595695795895996096196296396496596696796896997097197297397497597697797897998098198298398498598698798898999099199299399499599699799899910001001100210031004100510061007100810091010101110121013101410151016101710181019102010211022102310241025102610271028102910301031103210331034103510361037103810391040104110421043104410451046104710481049105010511052105310541055105610571058105910601061106210631064106510661067106810691070107110721073107410751076107710781079108010811082108310841085108610871088108910901091109210931094109510961097109810991100110111021103110411051106110711081109111011111112111311141115111611171118111911201121112211231124112511261127112811291130113111321133113411351136113711381139114011411142114311441145114611471148114911501151115211531154115511561157115811591160116111621163116411651166116711681169117011711172117311741175117611771178117911801181118211831184118511861187118811891190119111921193119411951196119711981199120012011202120312041205120612071208120912101211121212131214121512161217121812191220122112221223122412251226122712281229123012311232123312341235123612371238123912401241124212431244124512461247124812491250125112521253125412551256125712581259126012611262126312641265126612671268126912701271127212731274127512761277127812791280128112821283128412851286128712881289129012911292129312941295129612971298129913001301130213031304130513061307130813091310131113121313131413151316131713181319132013211322132313241325132613271328132913301331133213331334133513361337133813391340134113421343134413451346134713481349135013511352135313541355135613571358135913601361136213631364136513661367136813691370137113721373137413751376137713781379138013811382138313841385138613871388138913901391139213931394139513961397139813991400140114021403140414051406140714081409141014111412141314141415141614171418141914201421142214231424142514261427142814291430143114321433143414351436143714381439144014411442144314441445144614471448144914501451145214531454145514561457145814591460146114621463146414651466146714681469147014711472147314741475147614771478147914801481148214831484148514861487148814891490149114921493149414951496149714981499150015011502150315041505150615071508150915101511151215131514151515161517151815191520152115221523152415251526152715281529153015311532153315341535153615371538153915401541154215431544154515461547154815491550155115521553155415551556155715581559156015611562156315641565156615671568156915701571157215731574157515761577157815791580158115821583158415851586158715881589159015911592159315941595159615971598159916001601160216031604160516061607160816091610161116121613161416151616161716181619162016211622162316241625162616271628162916301631163216331634163516361637163816391640164116421643164416451646164716481649165016511652165316541655165616571658165916601661166216631664166516661667166816691670167116721673167416751676167716781679168016811682168316841685168616871688168916901691169216931694169516961697169816991700170117021703170417051706170717081709171017111712171317141715171617171718171917201721172217231724172517261727172817291730173117321733173417351736173717381739174017411742174317441745174617471748174917501751175217531754175517561757175817591760176117621763176417651766176717681769177017711772177317741775177617771778177917801781178217831784178517861787178817891790179117921793179417951796179717981799180018011802180318041805180618071808180918101811181218131814181518161817181818191820182118221823182418251826182718281829183018311832183318341835183618371838183918401841184218431844184518461847184818491850185118521853185418551856185718581859186018611862186318641865186618671868186918701871187218731874187518761877187818791880188118821883188418851886188718881889189018911892189318941895189618971898189919001901190219031904190519061907190819091910191119121913191419151916191719181919192019211922192319241925192619271928192919301931193219331934193519361937193819391940194119421943194419451946194719481949195019511952195319541955195619571958195919601961196219631964196519661967196819691970197119721973197419751976197719781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015201620172018201920202021202220232024202520262027202820292030203120322033203420352036203720382039204020412042204320442045204620472048204920502051205220532054205520562057205820592060206120622063206420652066206720682069207020712072207320742075207620772078207920802081208220832084208520862087208820892090209120922093209420952096209720982099210021012102210321042105210621072108210921102111211221132114211521162117211821192120212121222123212421252126212721282129213021312132213321342135213621372138213921402141214221432144214521462147214821492150215121522153215421552156215721582159216021612162216321642165216621672168216921702171217221732174217521762177217821792180218121822183218421852186218721882189219021912192219321942195219621972198219922002201220222032204220522062207220822092210221122122213221422152216221722182219222022212222222322242225222622272228222922302231223222332234223522362237223822392240224122422243224422452246224722482249225022512252225322542255225622572258225922602261226222632264226522662267226822692270227122722273227422752276227722782279228022812282228322842285228622872288228922902291229222932294229522962297229822992300230123022303230423052306230723082309231023112312231323142315231623172318231923202321232223232324232523262327232823292330233123322333233423352336233723382339234023412342234323442345234623472348234923502351235223532354235523562357235823592360236123622363236423652366236723682369237023712372237323742375237623772378237923802381238223832384238523862387238823892390239123922393239423952396239723982399240024012402240324042405240624072408240924102411241224132414241524162417241824192420242124222423242424252426242724282429243024312432243324342435243624372438243924402441244224432444244524462447244824492450245124522453245424552456245724582459246024612462246324642465246624672468246924702471247224732474247524762477247824792480248124822483248424852486248724882489249024912492249324942495249624972498249925002501250225032504250525062507250825092510251125122513251425152516251725182519252025212522252325242525252625272528252925302531253225332534253525362537253825392540254125422543254425452546254725482549255025512552255325542555255625572558255925602561256225632564256525662567256825692570257125722573257425752576257725782579258025812582258325842585258625872588258925902591259225932594259525962597259825992600260126022603260426052606260726082609261026112612261326142615261626172618261926202621262226232624262526262627262826292630263126322633263426352636263726382639264026412642264326442645264626472648264926502651265226532654265526562657265826592660266126622663266426652666266726682669267026712672267326742675267626772678267926802681268226832684268526862687268826892690269126922693269426952696269726982699270027012702270327042705270627072708270927102711271227132714271527162717271827192720272127222723272427252726272727282729273027312732273327342735273627372738273927402741274227432744274527462747274827492750275127522753275427552756275727582759276027612762276327642765276627672768276927702771277227732774277527762777277827792780278127822783278427852786278727882789279027912792279327942795279627972798279928002801280228032804280528062807280828092810281128122813281428152816281728182819282028212822282328242825282628272828282928302831283228332834283528362837283828392840284128422843284428452846284728482849285028512852285328542855285628572858285928602861286228632864286528662867286828692870287128722873287428752876287728782879288028812882288328842885288628872888288928902891289228932894289528962897289828992900290129022903290429052906290729082909291029112912291329142915291629172918291929202921292229232924292529262927292829292930293129322933293429352936293729382939294029412942294329442945294629472948294929502951295229532954295529562957295829592960296129622963296429652966296729682969297029712972297329742975297629772978297929802981298229832984298529862987298829892990299129922993299429952996299729982999300030013002300330043005300630073008300930103011301230133014301530163017301830193020302130223023302430253026302730283029303030313032303330343035303630373038303930403041304230433044304530463047304830493050305130523053305430553056305730583059306030613062306330643065306630673068306930703071307230733074307530763077307830793080308130823083308430853086308730883089309030913092309330943095309630973098309931003101310231033104310531063107310831093110311131123113311431153116311731183119312031213122312331243125312631273128312931303131313231333134313531363137313831393140314131423143314431453146314731483149315031513152315331543155315631573158315931603161316231633164316531663167316831693170317131723173317431753176317731783179318031813182318331843185318631873188318931903191319231933194319531963197319831993200320132023203320432053206320732083209321032113212321332143215321632173218321932203221322232233224322532263227322832293230323132323233323432353236323732383239324032413242324332443245324632473248324932503251325232533254325532563257325832593260326132623263326432653266326732683269327032713272327332743275327632773278327932803281328232833284328532863287328832893290329132923293329432953296329732983299330033013302330333043305330633073308330933103311331233133314331533163317331833193320332133223323332433253326332733283329333033313332333333343335333633373338333933403341334233433344334533463347334833493350335133523353335433553356335733583359336033613362336333643365336633673368336933703371337233733374337533763377337833793380338133823383338433853386338733883389339033913392339333943395339633973398339934003401340234033404340534063407340834093410341134123413341434153416341734183419342034213422342334243425342634273428342934303431343234333434343534363437343834393440344134423443344434453446344734483449345034513452345334543455345634573458345934603461346234633464346534663467346834693470347134723473347434753476347734783479348034813482348334843485348634873488348934903491349234933494349534963497349834993500350135023503350435053506350735083509351035113512351335143515351635173518351935203521352235233524352535263527352835293530353135323533353435353536353735383539354035413542354335443545354635473548354935503551355235533554355535563557355835593560356135623563356435653566356735683569357035713572357335743575357635773578357935803581358235833584358535863587358835893590359135923593359435953596359735983599360036013602360336043605360636073608360936103611361236133614361536163617361836193620362136223623362436253626362736283629363036313632363336343635363636373638363936403641364236433644364536463647364836493650365136523653365436553656365736583659366036613662366336643665366636673668366936703671367236733674367536763677367836793680368136823683368436853686368736883689369036913692369336943695369636973698369937003701370237033704370537063707370837093710371137123713371437153716371737183719372037213722372337243725372637273728372937303731373237333734373537363737373837393740374137423743374437453746374737483749375037513752375337543755375637573758375937603761376237633764376537663767376837693770377137723773377437753776377737783779378037813782378337843785378637873788378937903791379237933794379537963797379837993800380138023803380438053806380738083809381038113812381338143815381638173818381938203821382238233824382538263827382838293830383138323833383438353836383738383839384038413842384338443845384638473848384938503851385238533854385538563857385838593860386138623863386438653866386738683869387038713872387338743875387638773878387938803881388238833884388538863887388838893890389138923893389438953896389738983899390039013902390339043905390639073908390939103911391239133914391539163917391839193920392139223923392439253926392739283929393039313932393339343935393639373938393939403941394239433944394539463947394839493950395139523953395439553956395739583959396039613962396339643965396639673968396939703971397239733974
  1. \part{Geometria}
  2. % Definició de colors (per gràfics)
  3. \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
  4. \definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.752941176471,0.752941176471,0.752941176471}
  5. \definecolor{qqttcc}{rgb}{0.,0.2,0.8}
  6. % Començ text
  7. En aquest apartat es tractarà la Geometria en dues parts:
  8. \begin{itemize}
  9. \item Geometria del pla, que estudia aquells elements geomètrics que es
  10. poden representar soble un pla bidimensional.
  11. \item Geometria de l'espai, per a elements de tres dimensions.
  12. \end{itemize}
  13. Tècnicament, s'estudiarà la geometria cartesiana afí i mètrica.
  14. \chapter{Geometria del pla}\label{seccio:geometria-al-pla}
  15. En aquest tema s'estudiaran els vectors i les rectes definits sobre un espai
  16. de dues dimensions.
  17. \section{Punts}
  18. Aquest apartat tracta de l'estudi dels vectors i de les seves operacions a
  19. l'espai de dues dimensions. Aquest espai queda representat per uns \term{eixos de coordenades}\index{eixos de coordenades}, que són dues rectes reglades entre les quals hi ha un angle recte (\autoref{fig:pla-cartesia}):
  20. \begin{itemize}
  21. \item L'eix horitzontal s'anomena \term{eix de les abscises}\index{eix!de les abscises} (o simplement \term{eix de les $X$}) i s'anomena amb la lletra $X$
  22. \item L'eix vertical s'anomena \term{eix de les ordenades}\index{eix!de les ordenades} (o simplement \term{eix de les $Y$}) i s'anomena amb la lletra $Y$
  23. \end{itemize}
  24. En conjunt, els eixos formen el que s'anomena \term{Pla cartesià}\index{pla cartesià}\index{sistema de coordenades}.
  25. Cada punt del pla queda determinat per les seves projeccions sobre cadascun dels eixos, el que s'anomenen \term{coordenades}\index{coordenades} (\autoref{fig:coordenades-punts}).
  26. \begin{figure}[h!]
  27. \centering
  28. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
  29. \draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
  30. \draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
  31. \foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  32. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
  33. \draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
  34. \foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
  35. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
  36. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
  37. \clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
  38. \end{tikzpicture}.
  39. \caption{Pla cartesià}
  40. \label{fig:pla-cartesia}
  41. \end{figure}
  42. \begin{figure}[h!]
  43. \centering
  44. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
  45. \draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
  46. \draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
  47. \foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  48. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
  49. \draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
  50. \foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
  51. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
  52. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
  53. \clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
  54. \draw [fill=qqqqff] (2,3) circle (1.5pt);
  55. \draw[color=qqqqff] (2,3) node[anchor=south] {$(2,3)$};
  56. \draw [fill=qqqqff] (-3,1) circle (1.5pt);
  57. \draw[color=qqqqff] (-3,1) node[anchor=south] {$(-3,1)$};
  58. \draw [fill=qqqqff] (-1.5,-2.5) circle (1.5pt);
  59. \draw[color=qqqqff] (-1.5,-2.5) node[anchor=east] {$(-1.5,2.5)$};
  60. \draw [fill=qqqqff] (0,0) circle (1.5pt);
  61. \draw[color=qqqqff] (0,0) node[anchor=south west] {$(0,0)$};
  62. \draw [fill=qqqqff] (5,0) circle (1.5pt);
  63. \draw[color=qqqqff] (5,0) node[anchor=south] {$(5,0)$};
  64. \end{tikzpicture}.
  65. \caption{Diversos punts al pla cartesià}
  66. \label{fig:coordenades-punts}
  67. \end{figure}
  68. L'\term{origen de coordenades}\index{origen!de coordenades} és el punt de coordenades $(0,0)$.
  69. A partir d'aquest moment identificarem un punt amb les seves coordenades.
  70. \begin{notation}[notació dels punts] Els punts es poden escriure de dues maneres diferents: $A = (0,1)$ o bé $A(0,1)$.
  71. \end{notation}
  72. \subsection{Punt mitjà}
  73. Donats dos punts del pla, $P(x_{1},y_{1})$ i $Q(x_{2},y_{2})$, que
  74. determinen un segment, podem preguntar-nos quines s\'{o}n les cooordenades
  75. del punt mitj\`{a} d'aquest segment. Aquest punt queda determinant per la seg%
  76. \"{u}ent expressi\'{o}:
  77. \begin{equation*}
  78. P_{M}=\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)
  79. \end{equation*}
  80. \begin{example}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( 0,-5\right)$ i $Q\left( -3,1\right)$.%
  81. \begin{equation*}
  82. P_{M}=\left( \frac{0+(-3)}{2},\frac{-5+1}{2}\right) =\left( \frac{-3}{2}%
  83. ,-2\right)
  84. \end{equation*}
  85. \end{example}
  86. \begin{exercise}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( -3,7\right)$ i $Q\left( -5,3\right)$.
  87. \end{exercise}
  88. \begin{exercise}Donat el punt $P\left( 0,-5\right)$, calculeu les coordenades del punt simètric de $P$ respecte del punt $M\left( -1,12\right)$.
  89. \end{exercise}
  90. Hem de notar que, encara que pareixi que sí, aquest resultat no es pot estendre quan es vol trobar un punt que estigui a distància $1/3$ d'$A$ en el segment $\overline{AB}$ (en general, a distància $d \neq 1/2$). En aquest cas, s'haurà de procedir a raonar amb vectors (\autoref{seccio:vectors-2d}), per exemple trobant el vector $1/3 \cdot \overrightarrow{AB}$ i situant-lo amb origen $A$. El seu extrem final seria el punt desitjat.
  91. \section{Vectors}\label{seccio:vectors-2d}
  92. \begin{definition}[vector fix]Un \term{vector fix}\index{vector!fix} és una segment orientat a l'espai (és a dir una fletxa), que té un \term{origen}\index{origen!d'un vector} (el punt on comença) i un \term{final}\index{final d'un vector} (punt on acaba). Els dos punts s'anomenen \term{extrems del vector}\index{extrems d'un vector}.
  93. \end{definition}
  94. Per tant, un vector té:
  95. \begin{itemize}
  96. \item Una direcció: la recta sobre la qual està el vector
  97. \item Un sentit: cap a on apunta la fletxa. Si $A$ i $B$ són els extrems d'un vector, aleshores aquest vector pot tenir dos sentits: de $A$ cap a $B$ (punt origen és $A$ i el punt destí és $B$) o de $B$ cap a $A$ (punt origen és $B$ i el punt destí és $A$)
  98. \item La seva longitud. Formalment s'anomena \term{mòdul} del vector\index{mòdul!d'un vector}
  99. \end{itemize}
  100. \begin{notation}[notació de vectors]Els vectors es denoten amb una fletxa a damunt del seu nom. D'aquesta manera escriurem $\overrightarrow{AB}$ per denotar el vector que té origen $A$ i final a $B$. Si volem obviar els extrems, podem escriure $\overrightarrow{u}$, per exemple.
  101. \end{notation}
  102. \begin{example}Siguin els vectors següents (\autoref{fig:diversos-vectors}):
  103. \begin{itemize}
  104. \item Els extems dels vectors són:
  105. \begin{itemize}
  106. \item El vector $\overrightarrow{a}$ té origen $(-1,1)$ i fi $(-3,-1)$
  107. \item El vector $\overrightarrow{b}$ té origen $(-1,-1)$ i fi $(0,0)$
  108. \item El vector $\overrightarrow{c}$ té origen $(-4,3)$ i fi $(-1,3)$
  109. \item El vector $\overrightarrow{d}$ té origen $(-4,2)$ i fi $(-4,-1)$
  110. \item El vector $\overrightarrow{u}$ té origen $(1,1)$ i fi $(3,3)$
  111. \item El vector $\overrightarrow{v}$ té origen $(4,1)$ i fi $(6,3)$
  112. \item El vector $\overrightarrow{w}$ té origen $(1,-1)$ i fi $(3,1)$
  113. \end{itemize}mòdul
  114. \item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ tenen la mateixa direcció
  115. \item Els vectors $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix sentit, però el vector $\overrightarrow{a}$ té sentit contrari
  116. \item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix mòdul. El mòdul de $\overrightarrow{b}$ és la meitat que el mòdul de $\overrightarrow{u}$. I $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{d}$ tenen el mateix mòdul (encara que no tenguin ni la mateixa direcció ni sentit)
  117. \end{itemize}
  118. \begin{figure}[h!]
  119. \centering
  120. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  121. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  122. \draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-5.1,-2.1) grid (6.1,4.1);
  123. \draw[->,color=black] (-5.5,0) -- (6.2,0);
  124. \foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  125. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
  126. \draw[->,color=black] (0,-2.1) -- (0,4.1);
  127. \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4}
  128. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
  129. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
  130. \draw [->] (1.,1.) -- (3.,3.);
  131. \draw [->] (4.,1.) -- (6.,3.);
  132. \draw [->] (1.,-1.) -- (3.,1.);
  133. \draw [->] (-1.,1.) -- (-3.,-1.);
  134. \draw [->] (-1.,-1.) -- (0.,0.);
  135. \draw [->] (-4.,3.) -- (-1.,3.);
  136. \draw [->] (-4.,2.) -- (-4.,-1.);
  137. \draw[color=black] (2.0038916669677724,2.188648367438086) node {$u$};
  138. \draw[color=black] (4.99308545055815,2.188648367438086) node {$v$};
  139. \draw[color=black] (2.0038916669677724,0.17924587958011154) node {$w$};
  140. \draw[color=black] (-1.9152735159618333,0.09621271892482333) node[anchor=south] {$a$};
  141. \draw[color=black] (-0.5037097848219328,-0.3189530843516177) node {$b$};
  142. \draw[color=black] (-2.4632923762867356,3.201652927432602) node {$c$};
  143. \draw[color=black] (-3.908069371688751,0.6442315792497255) node {$d$};
  144. \end{tikzpicture}
  145. \caption{Diversos vectors al pla}
  146. \label{fig:diversos-vectors}
  147. \end{figure}
  148. \end{example}
  149. \begin{definition}[vector lliure]Un \term{vector lliure}\index{vector!lliure} és un segment orientat al pla, però del qual tenim la llibertat de triar el seu origen. És a dir, vector que tenen la mateixa direcció, sentit i longitud són a partir d'ara iguals per a nosaltres, independentment d'on estiguin situats. Formalment aquests vectors s'anomenen \term{equipolents}\index{vector!equipolent}
  150. \end{definition}
  151. En general, si no se'ns diu el contrari, o no se'ns dóna l'origen d'un vector, es suposarà que aquest és lliure. A més sempre suposarem que l'origen del vector és l'origen de coordenades i, per tant, escriurem el vector com a $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(3,5)}$ i no $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(0,0)(3,5)}$, obviant el seu origen.
  152. A més, de la mateixa manera que pels punts, existeixen dues notacions estàndard: $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{(3,5)}$ o bé $\overrightarrow{A}\overrightarrow{(3,5)}$, que podrem usar indistintament.
  153. \begin{example}Els vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ són equipolents (\autoref{fig:diversos-vectors}). És més, tots aquests vectors es consideren el mateix vector que $\overrightarrow{(2,2)}$.
  154. \end{example}
  155. \begin{definition}[coordenades i components d'un vector]Donat un vector $\overrightarrow{v}$, les seves \term{coordenades}\index{coordenada d'un vector} són els nombres que formen el seu producte cartesià, és a dir, si $\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$, aleshores, $v_x$ i $v_y$ són les seves coordenades. $v_x$ es diu \term{coordenada de l'eix de les abscises} i $v_y$, \term{coordenada de l'eix de les ordenades}, o simplement coordenada de l'eix $X$ i coordenada de l'eix $Y$, respectivament.
  156. Les coordenades es poden interpretar com a les longituds, amb signe, de les projeccions d'un vector sobre els dos eixos de coordenades. Cadascuna de les dues components d'un vector pot ser positiva o negativa segons que la respectiva projecció apunti cap a la part positiva o negativa del
  157. corresponent eix de coordenades (figura~\autoref{fig:components-vector-2D}). En aquest sentit les coordenades s'anomenen \term{components}.
  158. \begin{figure}[h!]
  159. \centering
  160. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  161. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  162. \draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-1.1,-1.1) grid (8,10);
  163. \draw[->,color=black] (-1,0) -- (8,0);
  164. \draw[->,color=black] (0,-1) -- (0,10);
  165. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {$O$};
  166. \draw[color=black] (7.5,0) node[anchor=north] {$x$};
  167. \draw[color=black] (0,9.5) node[anchor=east] {$y$};
  168. \draw [->,color=qqttcc] (2,3) -- (6,8);
  169. \draw [->] (2,3) -- (6,3);
  170. \draw [->] (2,3) -- (2,8);
  171. \draw (3.4,6.04) node[anchor=north west] {$v$};
  172. \draw (3.76,3.04) node[anchor=north west] {$v_x$};
  173. \draw (1.32,5.92) node[anchor=north west] {$v_y$};
  174. \end{tikzpicture}
  175. \caption{Components d'un vector}
  176. \label{fig:components-vector-2D}
  177. \end{figure}
  178. \end{definition}
  179. \begin{example}Són vectors els següents:%
  180. \begin{equation*}
  181. \overrightarrow{B}(3,-2),\, \overrightarrow{C}(-5,1)
  182. \end{equation*}%
  183. El vector $\overrightarrow{B}$ apunta cap a la dreta i cap a baix, i el vector $\overrightarrow{C}$ apunta cap a l'esquerra i cap a dalt. Com que no se'ns diu quins s\'{o}n els seus origens, es considerar\`{a} que aquests vectors s\'{o}n lliures, i que, per tant, podem situar-los els on es desitgi.
  184. \end{example}
  185. \begin{exercise}Representeu gràficament els vectors $\overrightarrow{A}(-3,4)$, $\overrightarrow{B}(5,-1)$ i $\overrightarrow{C}(1,0)$.
  186. \end{exercise}
  187. \begin{claim}[vector d'extrems donats]Si un vector té origen en el punt $P(x_{1},y_{1})$ i final en el punt $Q(x_{2},y_{2})$, aleshores les components d'aquest vector es calculen amb l'expressió següent:%
  188. \begin{equation*}
  189. \overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}),
  190. \end{equation*}
  191. és a dir, restem les coordenades del punt final menys les coordenades del punt inicial.
  192. \end{claim}
  193. \begin{example}Calculeu les components del vector que comença en el punt $P\left(0,-6\right)$ i acaba en el punt $Q\left(-3,2\right)$:
  194. \begin{equation*}
  195. \overrightarrow{PQ}=\left( -3-0,2-\left( -6\right) \right) =\left(-3,8\right)
  196. \end{equation*}
  197. \end{example}
  198. \begin{exercise}Calculeu les components del vector d'origen $P\left( -2,1\right)$ i que acaba en el punt $Q\left( -3,-5\right)$.
  199. \end{exercise}
  200. \begin{exercise}Els punts $A(3,0)$, $B(-5,4)$ i $C(6,-4)$ s\'{o}n vèrtexos d'un paral\textperiodcentered lelogram. Representeu gràficament aquests punts i calculeu les cooordenades de vèrtex restant.
  201. \end{exercise}
  202. \begin{definition}[mòdul d'un vector]El \term{mòdul} d'un vector\index{mòdul!d'un vector} és la seva longitud. El mòdul del vector $\overrightarrow{A}(a,b)$, que es representa per $\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert$, es calcula amb la f\'{o}rmula:%
  203. \begin{equation*}
  204. \left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\left\vert (a,b)\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
  205. \end{equation*}
  206. \end{definition}
  207. \begin{example}El mòdul del vector $\overrightarrow{A}(3,-2)$ és:%
  208. \begin{equation*}
  209. \left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\sqrt{3^{2}+\left( -2\right) ^{2}}=\sqrt{13}.
  210. \end{equation*}
  211. \end{example}
  212. \begin{exercise}
  213. Calculeu el valor del mòdul del vector $\overrightarrow{A}(-5,1)$.
  214. \end{exercise}
  215. Acabem amb unes quantes definicions:
  216. \begin{definition}[vector unitari] Un vector és \term{unitari}\index{vector!unitari} quan té mòdul 1.
  217. \end{definition}
  218. \begin{definition}[ortogonalitat, ortonormalitat]Donats dos vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortogonal}\index{ortogonalitat}\index{vector!ortogonal} a $\overrightarrow{v}$ simplement quan $\overrightarrow{u}$ sigui perpendicular\index{vector!perpendicular} a $\overrightarrow{v}$, és a dir, quan ambdós formen un angle de 90 graus.
  219. Si a més, $\overrightarrow{u}$ és unitari, aleshores direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortonormal}\index{ortonormalitat}\index{vector!ortonormal} a $\overrightarrow{v}$.
  220. \end{definition}
  221. \subsection{Operacions amb vectors}
  222. Definim aqu\'{\i} les diferents operacions que es poden fer amb vectors.
  223. \subsubsection{Suma de dos vectors}
  224. \begin{definition}[suma de dos vectors]. Siguin $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })$ dos vectors. La seva \term{suma}\index{suma!de vectors} es defineix com:
  225. \begin{equation*}
  226. \overrightarrow{A}+\overrightarrow{A^{\prime }}=(a,b)+(a^{\prime },b^{\prime})=\left( a+a^{\prime },b+b^{\prime }\right)
  227. \end{equation*}
  228. \end{definition}
  229. \begin{example}
  230. Donats els vectors $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i $\overrightarrow{B}(-5,1)$, la seva suma \'{e}s:%
  231. \begin{equation*}
  232. \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(3,-2)+(-5,1)=\left( 3-5,-2+1\right)=\left( -2,-1\right)
  233. \end{equation*}
  234. \end{example}
  235. Noteu que, per a què es puguin sumar dos vectors aquests han de tenir el mateix origen o bé ser lliures. En aquest cas, la suma de dos vectors es pot calcular gràficament: en el dibuix següent es representa la suma gràfica de $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$ (\autoref{fig:regla-del-parallelogram}):
  236. \begin{figure}[h!]
  237. \centering
  238. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  239. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  240. \draw [->] (-3.,1.) -- (-2.,3.);
  241. \draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
  242. \draw (-3.08,2.48) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
  243. \draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{B}$};
  244. \end{tikzpicture}
  245. \definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.}
  246. \definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8}
  247. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  248. \draw [->] (-2.,1.) -- (-1.,3.);
  249. \draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
  250. \draw (-2.12,2.54) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
  251. \draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{B}$};
  252. \draw [->,color=qqqqcc] (-1.,3.) -- (2.,4.);
  253. \draw [->,color=qqqqcc] (1.,2.) -- (2.,4.);
  254. \draw [->,color=ccqqqq] (-2.,1.) -- (2.,4.);
  255. \draw (-0.92,3.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$};
  256. \end{tikzpicture}
  257. \caption{Regla del paral·lelogram}
  258. \label{fig:regla-del-parallelogram}
  259. \end{figure}
  260. Es pot procedir de manera anàloga per a qualssevol vectors. Aquesta manera gràfica d'aconseguir la suma es coneix com \term{regla del paral·lelogram}\index{regla!del paral·lelogram}.
  261. \begin{exercise}Calculeu gràficament i analítica la suma dels vectors $\overrightarrow{A}(-5,4)$ i $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
  262. \end{exercise}
  263. \subsubsection{Diferència de dos vectors}
  264. \begin{definition}[diferència de dos vectors] Donats dos vectors $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })$, la seva \term{diferència}\index{diferència!de dos vectors} es defineix com:
  265. \begin{equation*}
  266. \overrightarrow{A}-\overrightarrow{A^{\prime }}=(a,b)-(a^{\prime },b^{\prime})=\left( a-a^{\prime },b-b^{\prime }\right)
  267. \end{equation*}
  268. \end{definition}
  269. \begin{example}
  270. Donats els vectors $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i $\overrightarrow{B}(-5,1),$
  271. la seva difer\`{e}ncia \'{e}s:%
  272. \begin{equation*}
  273. \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(3,-2)-(-5,1)=\left( 3+5,-2-1\right)
  274. =\left( 8,-3\right)
  275. \end{equation*}
  276. \end{example}
  277. \begin{exercise}
  278. Calculeu $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$, amb $\overrightarrow{A}(-5,4) $ i $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
  279. \end{exercise}
  280. \subsubsection{Producte d'un escalar per un vector}
  281. \begin{definition}[producte d'un escalar per un vector] Donat un nombre $k \in \mathbb{R}$ i un vector $\overrightarrow{A}(a,b)$, \term{el producte de $k$ per $\overrightarrow{A}$}\index{producte!d'un escalar per vector}, $k \cdot \overrightarrow{A}$, es defineix com:
  282. \begin{equation*}
  283. k \cdot \overrightarrow{A} = k\cdot (a,b)=\left( ka, kb\right)
  284. \end{equation*}
  285. \end{definition}
  286. \begin{example}
  287. Donats el vector $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i el número $k=-5$, es té que el seu producte és:%
  288. \begin{equation*}
  289. k\text{$\cdot $}\overrightarrow{A}=-5\cdot (3,-2)=\left( -5\cdot 3,-5\cdot
  290. \left( -2\right) \right) =\left( -15,10\right)
  291. \end{equation*}
  292. \end{example}
  293. En el dibuix següent es veu un exemple gràfic del producte d'un nombre (en aquest cas el $3$) per un vector (\autoref{fig:producte-escalar-per-vector}):%
  294. \begin{figure}[h!]
  295. \centering
  296. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  297. \definecolor{ttzzqq}{rgb}{0.2,0.6,0.}
  298. \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
  299. \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
  300. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  301. \clip(-1.,-1.) rectangle (10.,4.);
  302. \draw [->] (0.,0.) -- (2.,1.);
  303. \draw [->] (3.,0.) -- (9.,3.);
  304. \draw (0.46,1.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
  305. \draw (4.94,2.2) node[anchor=north west] {$3\overrightarrow{A}$};
  306. \draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (3.,0.)-- (5.,1.);
  307. \draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (4.067082039324995,0.3658359213500132);
  308. \draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (3.932917960675006,0.6341640786499876);
  309. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (5.,1.)-- (7.,2.);
  310. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.174413302244984,1.4195015528100081);
  311. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.040249223594997,1.6878297101099824);
  312. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.959750776405003,1.312170289890018);
  313. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.825586697755016,1.5804984471899926);
  314. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.,2.)-- (9.,3.);
  315. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (8.067082039324994,2.365835921350013);
  316. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (7.932917960675007,2.634164078649988);
  317. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.852419513485014,2.2585046584300232);
  318. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.718255434835026,2.526832815729998);
  319. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.281744565164972,2.4731671842700025);
  320. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.147580486514986,2.741495341569977);
  321. \draw (1.66,0.68) node[anchor=north west] {$\times 3 =$};
  322. \end{tikzpicture}
  323. \caption{Exemple d'un producte d'un escalar per un vector}
  324. \label{fig:producte-escalar-per-vector}
  325. \end{figure}
  326. \begin{exercise}
  327. Calculeu gràficament i analítica el producte $-3\cdot \overrightarrow{B}$, amb $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
  328. \end{exercise}
  329. \begin{claim}Aquesta operació ens dóna sempre un vector paral·lel al vector inicial, és a dir, els vectors de components $(a,b)$ i $\left(ka,kb\right)$ són paral·lels, ja que si dividim les components respectives d'aquests dos vectors s'obté sempre el mateix nombre:%
  330. \begin{equation*}
  331. \frac{ka}{a}=\frac{kb}{b}=k.
  332. \end{equation*}
  333. \end{claim}
  334. \begin{proposition}[Condició de parel·lelisme entre dos vectors]\label{resultat:proposicio-parallelisme-vectors}En relació a això, podem establir el resultat següent:%
  335. \begin{equation*}
  336. \overrightarrow{A}(a,b)\text{ és paral·lel a } \overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })\iff \frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}
  337. \end{equation*}
  338. \end{proposition}
  339. Expressat en paraules, això ens diu que si dos vectors són paral·lels, aleshores el quocient entre les seves respectives components dóna el mateix resultat, i viceversa, és a dir, que si el quocient entre les respectives components de dos vectors dóna el mateix resultat, aleshores aquests dos vectors són paral·lels.
  340. \begin{example}Determineu, a cadascun dels apartats següents, si els vectors són paral·lels entre si:
  341. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  342. \item $\overrightarrow{A}\left( 2,-3\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 4,-6\right)$:%
  343. \begin{equation*}
  344. \frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}
  345. \end{equation*}%
  346. Per tant, aquests dos vectors són paral·lels entre si.
  347. \item $\overrightarrow{C}\left( 2,-1\right)$ i $\overrightarrow{D}\left( 4,-3\right)$:%
  348. \begin{equation*}
  349. \frac{2}{4}\neq \frac{-1}{-3}
  350. \end{equation*}%
  351. Així, aquests dos vectors no són paral·lels entre si.
  352. \end{enumerate}
  353. \end{example}
  354. \begin{exercise}
  355. Determineu si els vectors següents són paral·lels entre si:
  356. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  357. \item $\overrightarrow{A}\left( 1,-3\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 5,-6\right)$
  358. \item $\overrightarrow{C}\left( 3,-1\right)$ i $\overrightarrow{D}\left( -6,2\right)$
  359. \item $\overrightarrow{E}\left( 3,0\right)$ i $\overrightarrow{F}\left( 5,0\right)$
  360. \end{enumerate}
  361. \end{exercise}
  362. \paragraph{Producte escalar de dos vectors}
  363. \begin{definition}[producte escalar de dos vectors]El \term{producte escalar de dos vectors}\index{producte!escalar}, $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{B}(c,d)$, que es denota per $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$, en una base ortonormal, es defineix de la manera següent:%
  364. \begin{equation}\label{eq:producte-escalar}
  365. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=(a,b)\cdot(c,d)=a\cdot c+b\cdot d
  366. \end{equation}
  367. \end{definition}
  368. Com es veu, el producte escalar de dos vectors és un nombre.
  369. \begin{example}El producte escalar dels vectors $\overrightarrow{A}(2,0)$ i $\overrightarrow{B}(-3,1)$ és igual a:%
  370. \begin{equation*}
  371. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=(2,0)\cdot(-3,1)=2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1=-6
  372. \end{equation*}
  373. \end{example}
  374. \begin{exercise}Calculeu $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$, amb $\overrightarrow{A}(-3,4)$ i $\overrightarrow{B}(-2,-8)$.
  375. \end{exercise}
  376. \paragraph{Angle entre dos vectors}
  377. \begin{proposition}[Relació entre producte escalar i angle entre dos vectors]\label{resultat:angle-producte-esclar}Es pot provar que es cumpleix que la relació:%
  378. \begin{equation}\label{eq:angle-producte-escalar}
  379. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert \cdot \left\vert \overrightarrow{B} \right\vert \cdot \cos \alpha,
  380. \end{equation}%
  381. on $\alpha$ és l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$.
  382. Això permet calcular l'angle $\alpha$ entre dos vectors, o qualsevol altre variables desconeguda d'aquesta fórmula \eqref{eq:angle-producte-escalar} si es coneixen les altres. Recordeu que el producte escalar es pot calcular amb seva fórmula \eqref{eq:producte-escalar}. Per tant, l'equació anterior és equivalent a:
  383. \begin{equation}
  384. ac+bd=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\text{$\cdot $}\sqrt{c^2+d^2}\cdot\cos \alpha
  385. \end{equation}
  386. \end{proposition}
  387. \begin{claim}Recordeu que el cosinus d'un angle es defineix com la projecció del radi definit per l'angle sobre el diàmetre horitzontal de la circumferència de radi unitat.
  388. Els valors del cosinus dels angles més usuals es mostren a continuació (taula~\autoref{tab:taula-valors-cosinus}):
  389. \begin{table}[ht!]
  390. \centering
  391. \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c|c|}
  392. \cline{2-8}
  393. & $0$ \unit{rad} & $\pi/6$ \unit{rad} & $\pi/4$ \unit{rad} & $\pi/3$ \unit{rad} & $\pi/2$ \unit{rad} & $\pi$ \unit{rad} & $3\pi/2$ \unit{rad} \\
  394. \cline{2-8}
  395. & $0\degree$ & $30\degree$ & $45\degree$ & $60\degree$ & $90\degree$ & $180\degree$ & $270\degree$\\
  396. \hline
  397. \multicolumn{1}{|r|}{$\cos \alpha$} & $1$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ & $-1$ & $0$\\
  398. \hline
  399. \end{tabular}%
  400. \caption{Valors dels cosinus pels angles més usuals}
  401. \label{tab:taula-valors-cosinus}
  402. \end{table}
  403. \end{claim}
  404. \begin{example}Què val l'angle format pels vectors $\overrightarrow{A}(2,0)$ i $\overrightarrow{B}(-3,1)$?
  405. Si aplicam la darrera f\'{o}rmula i denotam l'angle per $\alpha $, es té que%
  406. \begin{align*}
  407. 2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1 &= \sqrt{2^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{\left( -3\right) ^{2}+1^{2}}\cdot \cos \alpha
  408. \\
  409. -6 &=2 \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\
  410. \cos \alpha &= \frac{-6}{2\sqrt{10}}=\frac{-3}{\sqrt{10}} \\
  411. \alpha &= \arccos \frac{-3}{\sqrt{10}}\simeq 161,565\degree%
  412. \end{align*}
  413. \end{example}
  414. \begin{exercise}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{A}(-2,-5)$ i $\overrightarrow{B}(-3,2)$.
  415. \end{exercise}
  416. \bigskip
  417. Vegem a continuació les propietats del producte escalar.
  418. \begin{theorem}[Propietats del producte escalar]\label{resultat:propietats-del-producte-esclar} Donats vectors $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{C}$ i un nombre $k$ qualssevol, el producte escalar té les propietats següents:
  419. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  420. \item $\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\sqrt{\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{A}}$. És a dir, el mòdul d'un vector
  421. es pot calcular amb l'arrel quadrada del producte escalar per si mateix.
  422. \item $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{A}$ (propietat conmutativa)
  423. \item $\left( k\overrightarrow{A}\right) \cdot \overrightarrow{B}=k\left( \overrightarrow{A}\text{$\cdot $}\overrightarrow{B}\right)$ (propietat associativa)
  424. \item $\overrightarrow{A}\cdot \left( \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}\right) =\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C}$ (propietat distributiva)
  425. \item \term{Condició de perpendicularitat entre dos vectors}\index{condició!de perpendicularitat entre dos vectors}: si el producte escalar de dos vectors és $0$, aleshores aquests dos vectors són perpendiculars entre si, i viceversa, és a dir, que si dos vectors són perpendiculars entre si, aleshores el seu producte escalar és $0$. Matemàticament,%
  426. \begin{equation*}
  427. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=0\iff \overrightarrow{A} \bot \overrightarrow{B}
  428. \end{equation*}
  429. \end{enumerate}
  430. \end{theorem}
  431. \begin{example}Per exemple, els vectors $\overrightarrow{A}\left( 30,-9\right) $ i $\overrightarrow{B}\left( 3,10\right) $ són perpendiculars, ja que $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=30\cdot 3+\left( -9\right) \cdot 10=0$.
  432. \end{example}
  433. \begin{exercise}En cada cas, calculeu $x$ per a què els vectors $\overrightarrow{A}\left( 8,-15\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 2,x\right)$ siguin:
  434. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  435. \item paral·lels,
  436. \item perpendiculars,
  437. \item formin un angle de $60\degree$.
  438. \end{enumerate}
  439. \end{exercise}
  440. \begin{exercise}Donat el vector $\overrightarrow{A}\left( 5,12\right)$, trobeu:
  441. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  442. \item un vector paral·lel,
  443. \item un vector perpendicular.
  444. \end{enumerate}
  445. \end{exercise}
  446. \section{La recta en el pla}
  447. En aquest apartat farem un estudi de la recta en un espai de dues dimensions.
  448. Una recta, en particular, és una col·lecció de punts. Per tant, un objectiu principal serà trobar les coordenades de tots els seus punts. La manera més senzilla de trobar-la és usar vectors.
  449. Donada una recta $r$, sempre podem obtenir un punt qualsevol $P$ i un vector $v$ sobre aquesta --- per exemple, si sabéssim dos punts $A$ i $B$ sobre la recta, aleshores tendríem un punt, $A$ o $B$, i un vector amb aquestes condicions, $A-B$ o qualsevol múltiple seu. Per tant, qer a qualsevol punt $X$ sobre la recta, aquest forma el vector $\overrightarrow{OX}$, que té com a origen l'origen de coordenades i com a destí $X$. Aquest vector es pot posar com a suma del vector $OP$ i un múltiple del vector $v$ (figura \autoref{fig:equacio-vectorial-recta-2d}), és a dir, existeix un nombre $\lambda$ tal que:
  450. \begin{equation}\label{eq:equacio-vectorial-recta-2d}
  451. \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}.
  452. \end{equation}
  453. \begin{figure}[h!]
  454. \centering
  455. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  456. \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
  457. \definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
  458. \definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
  459. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  460. \draw[->,color=black] (-3.,0.) -- (5.5,0.);
  461. \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
  462. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
  463. \draw[->,color=black] (0.,-1.) -- (0.,5.);
  464. \foreach \y in {-1,1,2,3,4}
  465. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
  466. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
  467. \clip(-3.,-1.) rectangle (5.5,5.);
  468. \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt,domain=-3.:5.5] plot(\x,{(--6.--2.*\x)/4.});
  469. \draw [->] (0.,0.) -- (1.704,2.352);
  470. \draw [->] (0.,0.) -- (4.128,3.564);
  471. \draw [->,color=ffqqqq] (-1.,1.) -- (0.632,1.816);
  472. \draw (-1.9,1.44) node[anchor=north west] {$r$};
  473. \draw (0,0) node[anchor=north east] {$O$};
  474. \begin{scriptsize}
  475. \draw [fill=xdxdff] (1.704,2.352) circle (1.5pt);
  476. \draw[color=xdxdff] (1.84,2.64) node {P};
  477. \draw [fill=xdxdff] (4.128,3.564) circle (1.5pt);
  478. \draw[color=xdxdff] (4.26,3.84) node {X};
  479. \draw [fill=uuuuuu] (0.,0.) circle (1.5pt);
  480. \draw[color=ffqqqq] (-0.16,1.64) node {v};
  481. \end{scriptsize}
  482. \end{tikzpicture}
  483. \caption{Visualització de l'equació vectorial d'una recta}
  484. \label{fig:equacio-vectorial-recta-2d}
  485. \end{figure}
  486. Aquest equació \eqref{eq:equacio-vectorial-recta-2d} s'anomena \term{equació vectorial de la recta}\index{equació!vectorial!d'una recta} i al vector $v$ se li diu \term{vector director} de $r$\index{vector!director}.
  487. \begin{claim}Noteu que realment no fa falta que el vector director $v$ estigui sobre la recta. Basta qualsevol que tengui la mateixa direcció, ja que suposem que feim feina amb vectors lliures. En aquest sentit parlarem de {\em el} vector director de la recta $r$ i no d'{\em un} vector director, per a qualsevol d'aquests vectors, ja que els haurem identificat.
  488. \end{claim}
  489. \begin{example}Trobeu l'equació vectorial de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(4,5)$.
  490. Hem de prendre un punt de la recta i un vector director. Ja tenim el punt: podem prendre $A$ o $B$. Agafarem $A(2,3)$.
  491. Per trobar el vector director, calcularem $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{(4-2,5-3)} = \overrightarrow{(2,2)}$.
  492. Per tant, l'equació vectorial de la recta en qüestió és:
  493. \begin{equation*}
  494. \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{(2,2)}
  495. \end{equation*}
  496. Si denotam $X=(x,y)$ les coordenades del punt $X$, tenim que aquesta equació es transforma en:
  497. \begin{equation*}
  498. \overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(2,3)} + \lambda \overrightarrow{(2,2)}.
  499. \end{equation*}
  500. \end{example}
  501. \begin{claim}
  502. A part d'aquesta equació, n'hi ha d'altres però totes provénen d'aquesta. L'ús d'una o de l'altra dependrà de l'exercici concret que volguem resoldre i de la nostra comoditat.
  503. \end{claim}
  504. \subsection{Equació paramètrica de la recta}
  505. Sigui $r$ una recta donada pel punt $P(x_{1},y_{1})$ i el vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x,v_y)$, aleshores l'equació vectorial de la recta $r$ ve donada per
  506. \begin{equation*}
  507. \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v},
  508. \end{equation*}
  509. on $X(x,y)$ és un punt qualsevol de la recta. Si desenvolupem aquesta equació obtenim que
  510. \begin{equation*}
  511. \overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(x_1,y_1)} + \lambda \cdot \overrightarrow{(v_x, v_y)},
  512. \end{equation*}
  513. és a dir,
  514. \begin{equation*}
  515. \overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(x_1 + \lambda \cdot v_x, y_1 + \lambda v_y)}.
  516. \end{equation*}
  517. Dos vectors són iguals si, i només si, les seves components són iguals. Per tant, $(x,y) = (x_1 + \lambda \cdot v_x, y_1 + \lambda v_y)$, és a dir, s'han de complir simultàniament les equacions següents:
  518. \begin{equation*}
  519. \left\{\begin{aligned}
  520. x & = x_1 + \lambda \cdot v_x,\\
  521. y & = y_1 + \lambda \cdot v_y.
  522. \end{aligned}
  523. \right.
  524. \end{equation*}
  525. Hem obtingut l'\term{equació paramètrica}\index{equació!paramètrica!d'una recta}. L'equació paramètrica d'una recta dóna les coordenades de tots els punts d'una recta depenent d'un paràmetre $\lambda$ (d'aquí el seu nom). Per a cada valor de $\lambda$ obtenim un punt de la recta.
  526. Recapitulant, si $r$ és una recta que passa pel punt $P(x_1, y_1)$ i té com a vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x,v_y)$, aleshores l'equació paramètrica de $r$ ve donada per:
  527. \begin{equation}\label{eq:equacio-parametrica-recta-2d}
  528. r:\left\{\begin{aligned}
  529. x & =x_{1}+\lambda v_{x} \\
  530. y & =y_{1}+\lambda v_{y}%
  531. \end{aligned}%
  532. \right.,
  533. \end{equation}%
  534. amb $\lambda \in \mathbb{R}$.
  535. \begin{example}\label{exemple:equacio-parametria-recta-2d}Si una recta passa pel punt $\left( 0,-1\right)$ i el seu vector director és $\overrightarrow{v}\left(-3,2\right)$, aleshores la seva equació paramètrica és la següent:%
  536. \begin{equation*}
  537. \left. \begin{aligned}
  538. x & =0+\lambda \left( -3\right) \\
  539. y & =-1+\lambda \cdot 2
  540. \end{aligned}%
  541. \right\} ; \left.
  542. \begin{aligned}
  543. x & =-3\lambda \\
  544. y & =-1+2\lambda%
  545. \end{aligned}%
  546. \right\}
  547. \end{equation*}
  548. \end{example}
  549. Per trobar més punts d'aquesta recta basta substituir $\lambda $ per un nombre qualsevol a les expressions anteriors.
  550. \begin{example}Si a la recta anterior feim $\lambda =2$, tenim que%
  551. \begin{equation*}
  552. \left. \begin{aligned}
  553. x & =-6 \\
  554. y & =-1+4=3%
  555. \end{aligned}
  556. \right\},
  557. \end{equation*}%
  558. i, per tant, que $\left( -6,3\right)$ és un altre punt de la recta.
  559. \end{example}
  560. \begin{exercise}Calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per $A(-3,0)$ i segueix la direcció $\overrightarrow{v}\left( 5,-1\right)$. Trobeu tres punts més d'aquesta recta.
  561. \end{exercise}
  562. \begin{claim}Per saber si un punt pertany a una recta donada, només hem de veure si aquest punt verifica les equacions de la recta. Per exemple, si volem saber si $P=(5,3)$ pertany o no a la recta de l'\autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, només hem de substituir a les equacions:
  563. \begin{equation*}
  564. \left\{ \begin{aligned}
  565. 5 & = -3 \lambda\\
  566. 3 & = -1 + 2 \lambda
  567. \end{aligned}\right. ,
  568. \end{equation*}
  569. i hem de resoldre aquest sistema. Si aquest sistema té solució, és a dir, existeix $\lambda$, aleshores $P$ pertanyarà a la recta; sinó, no ho farà. En el nostre cas, $\lambda = -5/3$ de la primera equació i $\lambda = 2$ de la segona. Per tant, $P$ no és de la recta.
  570. Aquest fet també ens servirà per a les altres equacions de la recta.
  571. \end{claim}
  572. \subsection{Equació contínua de la recta}
  573. Si aïllem $\lambda $ a cadascuna de les equacions de la recta en forma paramètrica \eqref{eq:equacio-parametrica-recta-2d}, obtenim
  574. \begin{equation*}
  575. \lambda =\frac{x-x_{1}}{v_{x}},\text{ }\lambda =\frac{y-y_{1}}{v_{y}}.
  576. \end{equation*}
  577. Si ara igualam les dues equacions, s'obté \term{l'equació contínua de la recta}\index{equació!contínua!d'una recta}
  578. \begin{equation}\label{eq:equacio-continua-recta-2d}
  579. r:\frac{x-x_{1}}{v_{x}}=\frac{y-y_{1}}{v_{y}},
  580. \end{equation}
  581. on $P(x_{1},y_{1})$ és qualsevol punt de la recta i $\overrightarrow{v_{r}}(v_x,v_u)$ és el vector director de la recta.
  582. \begin{example}Seguint amb la recta de l'exemple anterior, \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, la seva equació contínua és:%
  583. \begin{equation*}
  584. \frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}
  585. \end{equation*}
  586. \end{example}
  587. \begin{claim}Notem que si alguna component del vector director $\overrightarrow{v_r}$ és zero, aleshores no existeix la fracció corresponent a l'equació \eqref{eq:equacio-continua-recta-2d} (no es pot dividir per zero). Ara bé, en aquest cas es veu l'equació \eqref{eq:equacio-continua-recta-2d} com a {\em notació}.
  588. Per exemple, la recta que passa pel punt $(2,3)$ i té com a vector director $\overrightarrow{(5,0)}$, té com a equació contínua:
  589. \begin{equation*}
  590. \frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{0}
  591. \end{equation*}
  592. \end{claim}
  593. \subsection{Equació general de la recta}
  594. Si a les equacions de la recta en forma contínua llevam els denominadors i ho transposam tot al primer membre, l'equació de la recta s'escriu de la manera següent:%
  595. \begin{equation}\label{eq:equacio-general-recta-2d}
  596. Ax+By+C=0,
  597. \end{equation}%
  598. amb $A$, $B$ i $C$ nombres reals. Aquesta equació rep el nom d'\term{equació general de la recta} o \term{equació implícita de la recta}\index{equació!general!d'una recta}\index{equació!implícita!d'una recta}.
  599. \begin{example}Seguint amb la recta anterior, \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, la seva equació general és:%
  600. \begin{equation*}
  601. r \equiv 2x=-3\left( y+1\right),
  602. \end{equation*}
  603. que simplificada és:
  604. \begin{equation*}
  605. r \equiv 2x+3y+3=0.
  606. \end{equation*}
  607. \end{example}
  608. \begin{claim}Notem que, si a l'exemple anterior, feim $x = \lambda$, llavors
  609. \begin{equation*}
  610. y = \left(-3-2x\right)/3 = -1 + 2/3 \lambda,
  611. \end{equation*}
  612. per la qual cosa
  613. \begin{equation*}
  614. \begin{pmatrix}
  615. x\\
  616. y
  617. \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  618. 0\\
  619. -1
  620. \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
  621. 1\\
  622. -2/3
  623. \end{pmatrix} \cdot \lambda.
  624. \end{equation*}
  625. Això implica que $r$ passa pel punt $(0,-1)$ i té com a vector director $\overrightarrow{(1,-2/3)}$. Noteu que aquest darrer vector director és equivalent a $(-3,2)$ (aquest darrer és el primer multiplicat per $3$), el qual és el que teníem a l'exemple \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}.
  626. \end{claim}
  627. \begin{exercise}Trobeu les equacions contínua i general de la recta que passa per $P(2,-5)$ i segueix la direcció del vector director $\overrightarrow{v}\left(-2,7\right)$.
  628. \end{exercise}
  629. \begin{exercise}Donada la recta d'equació $5x-y+6=0$, trobeu les cooordenades de dos dels seus punts. A partir d'aquests, calculeu el seu vector director.
  630. \end{exercise}
  631. \subsubsection{Vector director a partir de l'equació general}
  632. \begin{proposition}\label{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}Donada una recta en forma general, és a dir, $Ax+By+C=0$, el seu vector director és $\overrightarrow{v}=\left(-B,A\right)$.
  633. \end{proposition}
  634. \begin{demonstration}Una recta genèrica $r$ que passa pel punt $P(x_1, y_1)$ i que té com a vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x, v_y)$ té l'equació contínua
  635. \begin{equation*}
  636. r \equiv \frac{x-x_1}{v_x} = \frac{y-y_1}{v_y}
  637. \end{equation*}
  638. Per tant, $v_y \cdot (x-x_1) = v_x \cdot (y-y_1)$. Aleshores, $v_y x - v_x y + (-v_y x1 + v_x y_1) = 0$. Per la qual cosa, $A=v_y$, $B=-v_x$ i $C=-v_y x_1 + v_x y_1$. Per tant, el vector director és $(v_x, v_y) = (-B, A)$.
  639. \end{demonstration}
  640. \begin{proposition}Donada una recta $r \equiv Ax + By + C = 0$ en forma implícita, tenim que el vector $(A, B)$ és perpendicular a la recta.
  641. \end{proposition}
  642. \begin{demonstration}El vector $(A,B)$ és perpendicular al vector $(-B,A)$ --- ja que el seu producte escalar és $0$. Per tant, el vector $(A,B)$ és un
  643. vector perpendicular a la recta d'equació $Ax+By+D=0$.
  644. \end{demonstration}
  645. \begin{example}El vector director de la recta $5x-2y+1=0$ és $\overrightarrow{v}=\left(2,5\right)$.
  646. \end{example}
  647. \begin{exercise}Calculeu el vector director de les rectes següents:
  648. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  649. \item $4x-3y+1=0$
  650. \item $-y+5=0$
  651. \end{enumerate}
  652. \end{exercise}
  653. \begin{exercise}Donada la recta $x-5y+8=0$, trobeu:
  654. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  655. \item l'equació de la recta paral·lela que passa pel punt $(2,-7)$,
  656. \item l'equació de la recta perpendicular que passa pel punt $(2,-7) $.
  657. \end{enumerate}
  658. \end{exercise}
  659. \begin{claim}La \autoref{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}, serveix per a passar de l'equació general a l'equació contínua o bé a l'equació paramètrica: directament es pot obtenir el seu vector director $v_r$. I després subtituïnt $x$ o $y$, podem trobar un punt seu.
  660. \end{claim}
  661. \begin{example}Obteniu l'equació contínua de la recta $s$ que té equació general $s \equiv 5x -9y -2 = 0$.
  662. Per la \autoref{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}, tenim que el vector director de $s$ és $v_s = (9,5)$.
  663. D'altra banda, trobarem un punt de $s$. Prendre'm $x = 0$, per exemple, amb el que obtenim $y = -2/9$. Per tant $(0,-2/9) \in s$.
  664. Amb tot, tenim que l'equació contínua de $s$ serà:
  665. \begin{equation*}
  666. s \equiv \frac{x}{9} = \frac{y+\frac{2}{9}}{5}
  667. \end{equation*}
  668. \end{example}
  669. \begin{exercise}Donada la recta $r \equiv 2x - 9y +5 = 0$, trobeu les equacions contínua, paramètrica i vectorial.
  670. \end{exercise}
  671. \begin{example}Trobeu el punt de tall de les rectes $r \equiv 2x -5y +10 = 0$ i $s \equiv \frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{8}$.
  672. Diem $P(a,b)$ al punt de tall de $r$ i $s$. Si $P \in r \cap s$, aleshores $P$ verifica les equacions de $r$ i $s$ simultàniament. Per tant, s'ha de verificar el sistema:
  673. \begin{equation*}
  674. \left\{\begin{aligned}
  675. 2a-5b + 10 = 0\\
  676. \frac{a-2}{5} = \frac{b-3}{8}
  677. \end{aligned}\right.
  678. \end{equation*}
  679. Aplicant el mètode de reducció (multiplicant la segona equació per $40$), tenim que
  680. \begin{equation*}
  681. \left\{\begin{aligned}
  682. 2a-5b &= - 10\\
  683. 8a -5b & = 1
  684. \end{aligned}\right.
  685. \end{equation*}
  686. Per tant, $a = 3/2$ i $b = 13/5$. Llavors el punt de tall és $P(\frac{3}{2}, \frac{13}{5})$.
  687. Noteu que no sempre dues rectes tendran punt de tall: quan aquestes siguin paral·leles, aleshores no existiran punts de tall. En aquest cas, el sistema no tendria solució. Vegeu l'apartat referent a la posició relativa de dues rectes (\autoref{subseccio:posicio-relativa-rectes-2d}).
  688. \end{example}
  689. \begin{exercise}Donades les rectes $r \equiv 5x - 2y + 8 = 0$ i $s \equiv \frac{x-2}{3} = \frac{y}{5}$, trobeu:
  690. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  691. \item dues rectes paral·leles a $r$
  692. \item dues rectes paral·leles a $s$
  693. \item una recta perpendicular a $s$ que passi per $(10,10)$
  694. \item una recta perpendicular a $r$ que passi per $(0,0)$
  695. \item el punt de tall de $r$ i $s$
  696. \item el punt de tall de $r$ i la recta perpendicular a $s$ que passa per $(5,20)$
  697. \end{enumerate}
  698. \end{exercise}
  699. \subsection{Equació explícita de la recta}
  700. Si de l'equació general d'una recta \eqref{eq:equacio-general-recta-2d} aillam la $y$ ens queda una equació de la forma:%
  701. \begin{equation}\label{eq:equacio-explícita}
  702. y=mx+b,
  703. \end{equation}%
  704. amb $m$ i $b$ nombres reals. Aquesta equació es coneix amb el nom de \term{equació explícita de la recta}\index{equació!explícita!d'una recta}. S'anomena \term{pendent}\index{pendent d'una recta} al coeficient $m$ i \term{ordenada a l'origen}\index{ordenada a l'origen} al nombre $b$. La interpretació gràfica d'aquests dos paràmetres és la següent:
  705. \begin{itemize}
  706. \item La pendent de la recta és la inclinació d'aquesta:
  707. \begin{itemize}
  708. \item Si $m > 0$, aleshores la recta és \term{creixent}\index{recta!creixent} (quan els valors de $x$ creixen, els valors de $y$ creixen)
  709. \item Si $m < 0$, aleshores la recta és \term{decreixent}\index{recta!decreixent} (quan les valors de $x$ creixen, els valors de $y$ decreixen)
  710. \item Si $m=0$, aleshores la recta és \term{constant}\index{recta!constant}. Té una forma completament horitzontal.
  711. \end{itemize}
  712. D'altra banda, quan $\lvert m \rvert$ és major, la inclinació de la recta és major en el sentit que és més vertical. Per exemple, $y = 3x+2$ tendrà més inclinació que $y=x+2$, i $y=-5x+10$ tendrà més inclinació que $y = -2x+10$.
  713. \item L'ordenada a l'origen $b$ és el valor que de l'eix de les $Y$ quan $x=0$. És a dir, l'ordenada a l'origen ens diu en quin punt talla la recta a l'eix $OY$. En altres paraules, $(0,b)$ és el punt de tall de la recta amb l'eix $OY$.
  714. \end{itemize}
  715. \begin{example}Representeu gràficament la recta $r \equiv y=-2x+3$ i trobeu els seus punts de tall amb els eixos.
  716. Sabem que $r$ és decreixent perquè $-2 < 0$. I que passa per $(0,3)$. Per representar-la només ens fa falta un altre punt (una recta ve determinada per dos punts). Substituïm, per exemple, per $x = 2$: $y = -2 \cdot 2 +3 = -1$. Per tant, $(2,-1) \in r$. Aleshores, $r$ té la representació següent (\autoref{fig:equacio-explicita-recta-2d}):
  717. \begin{figure}[h!]
  718. \centering
  719. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  720. \definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
  721. \definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
  722. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  723. \draw[->,color=black] (-1,0) -- (3,0);
  724. \foreach \x in {-1,1,2}
  725. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
  726. \draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,4);
  727. \foreach \y in {-2,-1,1,2,3}
  728. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
  729. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
  730. \clip(-1,-2) rectangle (3,4);
  731. \draw [domain=-1:3] plot(\x,{(--3-2*\x)/1});
  732. \draw (1,2.24) node[anchor=north west] {$r$};
  733. \begin{scriptsize}
  734. \draw [fill=uuuuuu] (0,3) circle (1.5pt);
  735. \draw[color=uuuuuu] (0.14,3.28) node {$A$};
  736. \draw [fill=xdxdff] (2,-1) circle (1.5pt);
  737. \draw[color=xdxdff] (2.14,-0.72) node {$B$};
  738. \end{scriptsize}
  739. \end{tikzpicture}
  740. \caption{Visualització de l'equació explícita d'una recta}
  741. \label{fig:equacio-explicita-recta-2d}
  742. \end{figure}
  743. Només fa falta trobar el punt de tall amb l'eix de les abscises. En aquest cas, $y=0$. Per tant, $0=-2x+3$, el que implica que $x = 3/2$. Per tant, el punt $(\frac{3}{2},0)$ és el punt de la recta que està sobre l'eix $OX$.
  744. \end{example}
  745. \subsubsection{Càlcul de la pendent mitjançant dos punts}
  746. Donats dos punts $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$, per calcular la pendent de la recta $r \colon y = mx + b$ que els conté, podem substituir ambdós punts a l'equació de la recta i trobar $m$ i $b$. O bé, podem emprar la fórmula següent per a calcular la pendent de $r$:
  747. \begin{equation*}
  748. m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}
  749. \end{equation*}
  750. i després substituir un dels punts a l'equació de la recta per a trobar $b$.
  751. \begin{example} Trobeu l'equació explícita de la recta $r$ que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(10,15)$.
  752. Sigui $r \colon y = mx + n$ l'equació explícita de la recta $r$. Hem de determinar $m$ i $n$. Facem-ho de dues maneres:
  753. \begin{itemize}
  754. \item Substituïnt els dos punts a l'equació explícita.
  755. Com que $A$ i $B$ són punts de la recta $r$, verifiquen la seva equació. Per tant,
  756. \begin{equation*}
  757. \left\{ \begin{aligned}
  758. 3 & = m \cdot 2 + n\\
  759. 15 & = m \cdot 10 + n
  760. \end{aligned} \right.
  761. \end{equation*}
  762. Si resolem aquest sistema per $m$ i $n$, obtenim $m = 3/2$ i $n = 0$.
  763. \item Emprant la fórmula de la pendent
  764. Podem calcular la pendent amb la fórmula:
  765. \begin{equation*}
  766. m = \frac{15-3}{10-2} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}
  767. \end{equation*}
  768. Per tant, $r \colon y = \frac{3}{2} x + n$. Prenem un punt qualsevol de la recta, per exemple $A$, i substituïm-lo a aquesta equació: $3 = \frac{3}{2} \cdot 2 + n$. D'aquí tenim que $n=0$.
  769. \end{itemize}
  770. \end{example}
  771. \subsubsection{Pendents de rectes paral·leles i perpendiculars}
  772. Existeix una relació entre les pendents de rectes paral·leles o perpendiculars:
  773. \begin{proposition}[relació entre les pendents de rectes paral·leles o perpendiculars] Siguin $r\colon y = m_r x + n_r$ i $s \colon y = m_s x + n_s$ dues rectes en el pla. Aleshores:
  774. \begin{itemize}
  775. \item $r \parallel s \iff \text{r, s tenen la mateix pendent} \iff m_r = m_s$
  776. \item $r \bot s \iff m_{r}=-\frac{1}{m_s}$
  777. \end{itemize}
  778. \end{proposition}
  779. Aquest teorema no es podrà generalitzar a la geometria a l'espai.
  780. \begin{example}Si el pendent d'una recta donada val $-5$, la pendent de qualsevol recta paral·lela val tamb\'{e} $-5$, i la de qualsevol recta perpendicular val $1/5$.
  781. \end{example}
  782. \begin{exercise}Donada la recta $x+5y-3=0$, calculeu la seva pendent, la de una recta paral·lela i la de una recta perpendicular.
  783. \end{exercise}
  784. \subsection{Equació de la recta determinada per dos punts}
  785. \begin{proposition}[equació de la recta determinada per dos punts donats]Donats dos punts coneguts $A(x_{1},y_{1})$ i $B(x_{2},y_{2})$, si volem conèixer la recta que determinen, podem emprar la fórmula següent:
  786. \begin{equation*}
  787. \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}},
  788. \end{equation*}
  789. que ens dóna l'equació contínua de la recta.
  790. \end{proposition}
  791. Amb aquesta proposició, ens evitam haver de cercar el vector director i plantejar una equació.
  792. \begin{example}L'equació de la recta que passa pels punts $A\left( 0,-2\right) $ i $B\left( -4,1\right)$ es la següent:%
  793. \begin{equation*}
  794. \frac{x}{-4}=\frac{y+2}{3}
  795. \end{equation*}
  796. \end{example}
  797. \begin{exercise}Calculeu l'equació de la recta que passa pels punts $A\left( 3,-5\right)$ i $B\left( -1,7\right)$.
  798. \end{exercise}
  799. \subsection{Posició relativa entre dues rectes}\label{subseccio:posicio-relativa-rectes-2d}
  800. \begin{proposition}[posició relativa entre dues rectes]Dues rectes al pla cartesià poden ser (vegi's \autoref{fig:posicio-relativa-recta-2d}):
  801. \begin{itemize}
  802. \item \term{secants}\index{rectes!secants}, és a dir, que es tallen a un punt
  803. \item \term{paral·leles}\index{rectes!paral·leles}. Per tant, no es tallen a cap punt.
  804. \item \term{coincidents}\index{rectes!coincidents}, és a dir, són la mateixa recta.
  805. \end{itemize}
  806. Cadascuna d'aquestes posicions s'anomenen la \term{posició relativa} entre les dues rectes\index{posició relativa!entre dues rectes}.
  807. \begin{figure}[h!]
  808. \centering
  809. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  810. \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
  811. \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
  812. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=.75]
  813. \begin{scope}[shift={(-2,0)}]
  814. \clip(0.,0.) rectangle (18.,6.);
  815. \draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-0.--2.52*\x)/2.7});
  816. \draw [color=qqqqff,domain=0.:18.] plot(\x,{(-4.158--2.52*\x)/2.7});
  817. \draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-17.3304--2.52*\x)/2.7});
  818. \draw [color=qqqqff,domain=0.:18.] plot(\x,{(-29.9192--2.84*\x)/0.22});
  819. \draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-31.4244--2.52*\x)/2.7});
  820. \draw (3.54,4.3) node[anchor=north west] {$r$};
  821. \draw (4.86,2.74) node[anchor=north west] {$s$};
  822. \draw (9.08,3.26) node[anchor=north west] {$r$};
  823. \draw (11.04,3.02) node[anchor=north west] {$s$};
  824. \draw (15.44,4.36) node[anchor=north west] {$r \text{ i } s$};
  825. \begin{scriptsize}
  826. \draw [fill=qqqqff] (10.82,3.68) circle (1.5pt);
  827. \end{scriptsize}
  828. \end{scope}
  829. \end{tikzpicture}
  830. \caption{Les diferents posicions relatives possibles entre dues rectes}
  831. \label{fig:posicio-relativa-recta-2d}
  832. \end{figure}
  833. \end{proposition}
  834. La proposició següent ens diu quan dues rectes són secants, paral·leles o coincidents.
  835. \begin{proposition}[criteri de posició relativa] Per a dues rectes $r$ i $s$ en el pla es compleix:
  836. \begin{itemize}
  837. \item Si $r$ i $s$ tenen diferent pendent, aleshores són secants
  838. \item Si $r$ i $s$ tenen la mateixa pendent, aleshores són paral·leles o coincidents. En aquest cas:
  839. \begin{itemize}
  840. \item Si $r$ i $m$ tenen diferents ordenades a l'origen, llavors són paral·leles
  841. \item Si $r$ i $m$ tenen la mateixa ordenada a l'origen, llavors són coincidents
  842. \end{itemize}
  843. \end{itemize}
  844. \end{proposition}
  845. Aquest criteri usant vectors directors és el següent:
  846. \begin{proposition}[criteri de posició relativa] Per a dues rectes $r$ i $s$ en el pla es compleix:
  847. \begin{itemize}
  848. \item Si $r$ i $s$ tenen diferent vector director, aleshores són secants
  849. \item Si $r$ i $s$ tenen el mateix vector director, aleshores són paral·leles o coincidents. En aquest cas, si $r$ i $m$ passen per un punt en comú, aleshores són coincidents. Altrament, són paral·leles
  850. \end{itemize}
  851. \end{proposition}
  852. \subsubsection{Càlcul dels punts de tall}
  853. Fins ara hem vist quina és la posició relativa entre dues rectes. Això vol dir que podem saber si dues rectes es tallen però {\em encara} no sabem com trobar el seu punt de tall.
  854. Per a trobar el punt de tall entre dues rectes, només hem de notar que si $P$ pertany a les dues rectes, aleshores ha de complir ambdues equacions. D'aquesya manera obtindrem un sistema d'equacions de dues incògnites i dues equacions, que podem resoldre fàcilment per reducció, igualació o substitució.
  855. \begin{example}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes $r:x-3y+1=0$ i $s:-4x+7y=0$.
  856. Hem de resoldre el sistema%
  857. \begin{equation*}
  858. \left\{
  859. \begin{aligned}
  860. x-3y+1 & = 0 \\
  861. -4x+7y & = 0%
  862. \end{aligned}%
  863. \right.
  864. \end{equation*}%
  865. Si aplicam el mètode de substitució, aïllant la $x$ de la primera equació: $x=3y-1$, tenim que $-4\left( 3y-1\right) +7y=0$, és a dir, $y=\frac{4}{5}$. Per tant, si substituïm a la primera equació: $x-3\cdot \frac{4}{5}+1=0$, és a dir, $x=\frac{7}{5}$.
  866. Aleshores, el punt de tall entre ambdues rectes \'{e}s el punt $\left( \frac{7}{5},\frac{4}{5}\right)$.
  867. \end{example}
  868. \begin{exercise}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes $r:2x-3y+1=0$ i $s:-4x+7y=0$.
  869. \end{exercise}
  870. \begin{exercise}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes $r:2x-3y+1=0$ i $s:-4x+\alpha y=0$ en funció del paràmetre $\alpha$.
  871. \end{exercise}
  872. \section{Exercicis proposats}
  873. \subsection*{Punts i vectors}
  874. \begin{exercise}Els punts $A\left( 3,-2\right) ,$ $B\left( 5,0\right) $ i $C\left(-1,-3\right)$ són vèrtexs d'un paral·lelogram. Calculeu la posició de l'altre vèrtex. I trobeu el seu perímetre.
  875. \end{exercise}
  876. \begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-1}Donats els punts $A(3,1)$, $B(-5,1)$, $C(-4,-2)$, $D(0,-3)$, calculeu, analíticament, les components i el mòdul dels vectors:
  877. \begin{multicols}{4}
  878. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  879. \item $\overrightarrow{AB}$
  880. \item $\overrightarrow{BA}$
  881. \item $\overrightarrow{BC}$
  882. \item $\overrightarrow{CB}$
  883. \item $\overrightarrow{CD}$
  884. \item $\overrightarrow{AD}$
  885. \item $\overrightarrow{BD}$
  886. \item $\overrightarrow{CA}$
  887. \end{enumerate}
  888. \end{multicols}
  889. \end{exercise}
  890. \begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-2}Calculeu l'extrem del vector $\overrightarrow{AB}=(3,-4)$ si sabem que el seu origen es troba al punt $A(2,-5)$; trobeu l'origen del vector $\overrightarrow{CD} = (-5,1)$ si sabem que el seu extrem final es troba al punt $D(-5,2)$.
  891. \end{exercise}
  892. \begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-3}Donats els punts $A(3,0)$, $B(2,3)$, $C(-2,1)$ i $D(7,2)$, esbrineu si els vectors següents són equipolents:
  893. \begin{multicols}{3}
  894. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  895. \item $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$
  896. \item $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DB}$
  897. \item $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DA}$
  898. \end{enumerate}
  899. \end{multicols}
  900. \end{exercise}
  901. \begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-4}Les coordenades del punt $A$ són el doble de les del punt $B$. Sabent que $\overrightarrow{AB}=(-2,5)$, calculeu les coordenades dels punts $A$ i $B$.
  902. \end{exercise}
  903. \begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-5}Donats els vectors $\overrightarrow{u} = (7,-4)$, $\overrightarrow{v} = (-5,-2)$ i $\overrightarrow{w} = (-6,0)$, calculeu:
  904. \begin{multicols}{3}
  905. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  906. \item $5\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$
  907. \item $3\overrightarrow{u}-\frac{2}{3}\overrightarrow{w}$
  908. \item $-\overrightarrow{w}-3(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$
  909. \item $-3\overrightarrow{v}+5\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$
  910. \end{enumerate}
  911. \end{multicols}
  912. i calculeu-ne els seus mòduls.
  913. \end{exercise}
  914. \begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-6}Trobeu quatre vectors paral·lels i tres perpendiculars al vector $\overrightarrow{u}(-5,4)$. En podeu trobar d'unitaris?
  915. \end{exercise}
  916. \begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-7}Calculeu l'angle que formen els vectors següents i extreis conclusions sobre la seva direcció i sentit:
  917. \begin{multicols}{2}
  918. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  919. \item $\overrightarrow{u}(5,2)$ i $\overrightarrow{v}(10,4)$
  920. \item $\overrightarrow{u}(-3,15)$ i $\overrightarrow{v}(2,-10)$
  921. \item $\overrightarrow{u}(3,4)$ i $\overrightarrow{v}(-50,40)$
  922. \item $\overrightarrow{u}(-3,4)$ i $\overrightarrow{v}(-2,10)$
  923. \end{enumerate}
  924. \end{multicols}
  925. \end{exercise}
  926. \begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-8}Donats els punts $A(2,3)$ i $B(-5,4)$, trobeu els punts que divideixen el segment $AB$ en dues parts iguals, en tres parts iguals i en quatre parts iguals.
  927. \end{exercise}
  928. \subsection*{Rectes}
  929. \begin{example}Trobeu la recta que passa pels punts $A(5,9)$ i $B(-10,8)$.
  930. Ho farem de diverses maneres:
  931. \begin{itemize}
  932. \item Calculant el vector director i amb un punt:
  933. El vector director pot ser $\overrightarrow{v} = (-10-5, 8-9) = (-15,-1)$. Qualsevol múltiple seu també és vector diretor de la recta. Per tant, triarem $\overrightarrow{v}(15,1)$ per evitar els signes.
  934. D'aquí podem obtenir diverses equacions de la recta fàcilment:
  935. \begin{itemize}
  936. \item L'equació vectorial: $\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{(5,9)} + \lambda \cdot \overrightarrow{(15,1)}$
  937. \item L'equació paramètrica: $r \colon \left\{
  938. \begin{aligned}
  939. x & = 5 + 15 \lambda\\
  940. y & = 9 + \lambda
  941. \end{aligned}\right.$
  942. \item L'equació contínua: $r \colon \frac{x-5}{15} = y-9$
  943. \end{itemize}
  944. \item Trobant la pendent:
  945. Amb la fórmula, $m = \frac{8-9}{-10-5} = 1/15$. Per tant $r \colon y = 1/15 x + n$. Substituïnt, per exemple, $A$ a l'equació de la recta, tenim que $9 = 1/15 \cdot 5 + n$. Pel que $n = 26/3$. Per tant, $r \colon y = 1/15 x + 26/3$.
  946. \item A partir de la contínua o a partir de la explícita, podem trobar l'equació general\footnote{No és recomanable fer-ho amb un sistema d'equacions substituïnt els punts.}.
  947. \end{itemize}
  948. \end{example}
  949. \begin{example}Trobeu totes les equacions de la recta que passa pel punt $P\left(3,-2\right)$ i que té per vector director $\overrightarrow{v}\left(1,-4\right)$.
  950. \begin{itemize}
  951. \item L'equació paramètrica és: $r:\left\{
  952. \begin{aligned}
  953. x & =3+\lambda \\
  954. y & =-2-4\lambda%
  955. \end{aligned}%
  956. \right. $
  957. \item L'equació contínua és $r:x-3=\frac{y+2}{-4}$
  958. \item L'equació general és $-4\cdot \left( x-3\right) =y+2$, és a dir, $-4x-y+10=0$
  959. \item Si aïllam la $y$ tenim: $y=-4x+10$. Aleshores, la pendent d'aquesta recta és $-4$.
  960. \end{itemize}
  961. \end{example}
  962. \begin{exercise}\label{exer:espuig-1}Trobeu la recta determinada per:
  963. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  964. \item Els punts $A(-2,-1)$ i $B(2,4)$
  965. \item El punt $P(1,-4)$ i el vector director $\overrightarrow{v}(5,-3)$
  966. \item El punt $P(1,-2)$ i angle que forma amb l'eix $OX$ és $\alpha = 135 \degree$
  967. \item El punt $P(1,-1)$ i la pendent $m=2$
  968. \item La pendent $m=2$ i l'ordenada a l'origen $-5$
  969. \end{enumerate}
  970. \end{exercise}
  971. \begin{exercise}\label{exer:espuig-2}Donada la recta $r$ que passa pel punt $P(-5,-3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(12,8)$:
  972. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  973. \item Trobeu les equacions vectorial i paramètrica de la recta
  974. \item Trobeu tres punts que pertanyin a $r$
  975. \item Esbrina si els punts $(-11,-7)$ i $(2,-1)$ pertanyen a la recta.
  976. \end{enumerate}
  977. \end{exercise}
  978. \begin{exercise}\label{exer:espuig-3}Donada la recta $s$ que passa pel punt $P(4,-3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(2,-7)$:
  979. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  980. \item Trobeu l'equació contínua de la recta
  981. \item Trobeu tres punts que pertanyin a $r$
  982. \item Esbrina si els punts $(8,-7)$ i $(0,11)$ pertanyen a la recta.
  983. \end{enumerate}
  984. \end{exercise}
  985. \begin{exercise}\label{exer:espuig-4}Donada la recta $s$ que passa pel punt $P(-2,3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(-1,4)$:
  986. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  987. \item Trobeu l'equació general de la recta
  988. \item Trobeu tres punts que pertanyin a $r$
  989. \item Esbrina si els punts $(-5,15)$ i $(4,3)$ pertanyen a la recta.
  990. \end{enumerate}
  991. \end{exercise}
  992. \begin{exercise}Troba l'equació general de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(-3,-2)$.
  993. \end{exercise}
  994. \begin{exercise}Troba l'equació explícita de la recta que:
  995. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  996. \item passa pel punt $A(-3,-1)$ i té pendent $m=-2$
  997. \item passa pels punts $A(-4,-2)$ i $B(-3,-1)$
  998. \item passa pel punt $A(-5,2)$ i té ordenada a l'origen $-4$.
  999. \end{enumerate}
  1000. \end{exercise}
  1001. \begin{exercise}\label{exer:espuig-5}Trobeu un punt i el vector director de cadascuna d'aquestes rectes:
  1002. \begin{multicols}{2}
  1003. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1004. \item $\overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(-10,-4)} + k \overrightarrow{(-9,7)}$
  1005. \item $\frac{x-15}{-1} = \frac{y+2}{6}$
  1006. \item $2x-5y +3=0$
  1007. \item $y = -5x+10$
  1008. \item $\left\{\begin{aligned}
  1009. x & = 2 - 8k\\
  1010. y & = 3 + 6k
  1011. \end{aligned}\right.$
  1012. \item $x-5 = \frac{y+4}{12}$
  1013. \item $x+3y+1 = 0$
  1014. \item $y = -\frac{3}{2}x-2$
  1015. \item $\left\{\begin{aligned}
  1016. x & = -7 - k\\
  1017. y & = 11 + k
  1018. \end{aligned}\right.$
  1019. \item $\frac{-x-5}{-1} = \frac{4y+4}{8}$
  1020. \item $-2x -y-12=0$
  1021. \item $y=x+4$
  1022. \end{enumerate}
  1023. \end{multicols}
  1024. \end{exercise}
  1025. \begin{exercise}\label{exer:espuig-6}Indiqueu si els punts següents estan alinets:
  1026. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1027. \item $A(-1,1)$, $B(2,1)$ i $C(8,5)$
  1028. \item $D(-1,2)$, $E(0,0)$ i $F(2,-2)$
  1029. \end{enumerate}
  1030. En cas negatiu, obteniu-ne un que hi estigui.
  1031. \end{exercise}
  1032. \begin{exercise}\label{exer:espuig-7}Esbrineu la posició relativa de les rectes següents:
  1033. \begin{multicols}{2}
  1034. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1035. \item $r \colon 6x-15y+1=0$ i $s\colon -10x+25y+1=0$
  1036. \item $r \colon 2x-10y+8 = 0$ i $s \colon x + 5y +4=0$
  1037. \item $r \colon y=2x +3$ i $s \colon y=2x+1$
  1038. \item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{4}$ i $s\colon \frac{x-2}{-3} = \frac{y+4}{-12}$
  1039. \item $r \colon 2x + 6y +4=0$ i $s \colon -3x-9y -6 = 0$
  1040. \item $r \colon y = x+1$ i $s \colon y=-x+1$
  1041. \item $r \colon y = 3x+\frac{1}{2}$ i $s \colon 6x-2y +1 =0$
  1042. \item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{4}$ i $s \colon \left\{\begin{aligned}
  1043. x & = -10 - k\\
  1044. y & = 2 + k
  1045. \end{aligned}\right.$
  1046. \item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{4}$ i $s\colon 2x-y +5=0$
  1047. \end{enumerate}
  1048. \end{multicols}
  1049. \end{exercise}
  1050. \begin{exercise}\label{exer:espuig-8}Trobeu el punt d'intersecció de les rectes secants de l'exercici anterior.
  1051. \end{exercise}
  1052. \begin{exercise}\label{exer:espuig-9}Trobeu la recta paral·lela a la recta $r$ que passa pel punt $P$ en els casos següents:
  1053. \begin{multicols}{2}
  1054. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1055. \item $r \colon 4x-5y +3=0$, $P(-3,5)$
  1056. \item $r \colon \frac{x+5}{-2} = \frac{y+1}{-3}$, $P(4,-10)$
  1057. \item $r \colon y = -5x + 3$, $P(-1,1)$
  1058. \end{enumerate}
  1059. \end{multicols}
  1060. \end{exercise}
  1061. \begin{exercise}\label{exer:espuig-10}Indiqueu si els parells de rectes següents són perpendiculars:
  1062. \begin{multicols}{2}
  1063. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1064. \item $r \colon x-5y +1 = 0$, $s\colon 10x+2y-3 =0$
  1065. \item $r \colon y=2x+4$, $s\colon y=-\frac{1}{2} x + 8$
  1066. \item $r \colon \frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{4}$, $s \colon \frac{x-2}{4} = \frac{y+4}{-1}$
  1067. \item $r \colon x+y+4=0$, $s \colon -x-y-1 =0$
  1068. \item $r \colon y=x+1$, $s \colon y = -x-2$
  1069. \item $r \colon \frac{x-1}{3} = \frac{y-5}{7}$, $s \colon 7x+3y+5=0$
  1070. \end{enumerate}
  1071. \end{multicols}
  1072. \end{exercise}
  1073. \begin{exercise}\label{exer:espuig-11}Trobeu l'equació de la recta perpendicular a la recta $r$ que passa pel punt $P$:
  1074. \begin{multicols}{2}
  1075. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1076. \item $r \colon 4x-5y+3 =0$, $P(-3,5)$
  1077. \item $r \colon \frac{x+5}{-2} = \frac{y+1}{-3}$, $P(4,-10)$
  1078. \item $r \colon y=-5x+3$, $P(-1,1)$
  1079. \item $r \colon \left\{ \begin{aligned}
  1080. x & = 3 + 5 \lambda\\
  1081. y & = -2 - 6 \lambda
  1082. \end{aligned}\right.$, $P(1,1)$
  1083. \end{enumerate}
  1084. \end{multicols}
  1085. \end{exercise}
  1086. \begin{exercise}\label{exer:espuig-12}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r \equiv 3x+ay+4=0$ i $s \equiv 4x-2y-1=0$ siguin
  1087. \begin{multicols}{2}
  1088. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1089. \item Paral·leles
  1090. \item Perpendiculars
  1091. \item Formin un angle de 45 graus
  1092. \item Formin un angle de 60 graus
  1093. \end{enumerate}
  1094. \end{multicols}
  1095. \end{exercise}
  1096. \begin{exercise}\label{exer:espuig-13}Calculeu l'angle que formen les rectes següents:
  1097. \begin{multicols}{2}
  1098. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1099. \item $r \colon x-y+1=0$, $s\colon 7x+2y-3=0$
  1100. \item $r \colon y=-3x+4$, $s \colon y=-x+1$
  1101. \item $r \colon 2x+y+4=0$, $s \colon -3x+2y-1=0$
  1102. \item $r \colon \frac{x-1}{2} = \frac{y-5}{3}$, $s\colon \frac{x-2}{3} = \frac{y+4}{-2}$
  1103. \end{enumerate}
  1104. \end{multicols}
  1105. \end{exercise}
  1106. \begin{exercise}Donada la recta $r\colon 2x-3y+1=0$, calculeu:
  1107. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1108. \item el seu vector director i un vector perpendicular,
  1109. \item l'equació de la recta que passa pel punt $A\left( 3,-5\right)$ i que és perpendicular a la recta $r$,
  1110. \item el punt simètric del punt $A$ respecte de la recta $r$.
  1111. \end{enumerate}
  1112. \end{exercise}
  1113. \begin{exercise}Calculeu la pendent i l'ordenada a l'origen de les rectes següents:
  1114. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1115. \item $x+3y=4$
  1116. \item $4y+5=-x$
  1117. \item $2x - 7y = 0$
  1118. \item $-8y = 8$
  1119. \end{enumerate}
  1120. \end{exercise}
  1121. \begin{exercise}Calculeu les equacions de la recta que passa pels punts $A\left( -1,0\right)$ i $B\left( -4,-1\right) $. Calculeu el seu vector director i altres dos punts més de la recta.
  1122. \end{exercise}
  1123. \begin{exercise}Calculeu totes les equacions de la recta que passa pel punt $A\left(3,-5\right)$ i que segueix la direcció $\overrightarrow{v}(-1,7)$. Calculeu la seva pendent.
  1124. \end{exercise}
  1125. \begin{exercise}Calculeu totes les equacions de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(-5,1)$.
  1126. \end{exercise}
  1127. \begin{exercise}Donada la recta $y=2x+8$, calculeu:
  1128. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1129. \item el seu vector director,
  1130. \item l'equaci\'{o} de la recta paral\textperiodcentered lela que passa
  1131. pel punt $\left( 0,-8\right) $,
  1132. \item un vector perpendicular a la recta,
  1133. \item l'equaci\'{o} de la recta perpendicular que passa pel punt $\left( 0,-8\right)$.
  1134. \end{enumerate}
  1135. \end{exercise}
  1136. \begin{exercise}Calculeu els punts de tall dels parells de rectes següents:
  1137. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1138. \item $r \colon \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{4}$ i $s \colon 3x - 5y + 2 = 0$
  1139. \item $r \colon y = 6x - 10$ i $s \colon 9x - 3y + 27 = 0$
  1140. \item $r \colon \left\{\begin{aligned}
  1141. x & = 3 + 2 \lambda\\
  1142. y & = -1 + 10 \lambda
  1143. \end{aligned} \right.$ i $s \colon y = -x + 2$
  1144. \item $r \colon \left\{\begin{aligned}
  1145. x & = 3 + 2 \lambda\\
  1146. y & = -1 + 10 \lambda
  1147. \end{aligned} \right.$ i $s \colon \left\{\begin{aligned}
  1148. x & = - 5 \lambda\\
  1149. y & = 2 - 6 \lambda
  1150. \end{aligned} \right.$
  1151. \item $r \colon \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{4}$ i $s \colon \frac{x}{10} = \frac{y+8}{-1}$
  1152. \item $r \colon 3x - 2y + 6 = 0$ i $s \colon 7y -8x + 2 = 0$
  1153. \item $r \colon y = 4x - 2$ i $s \colon y = 10x - 8$
  1154. \item $r \colon y = 4x -2$ i $s \colon y= 4x-10$
  1155. \item $r \colon \left\{\begin{aligned}
  1156. x & = 3 + 2 \lambda\\
  1157. y & = -1 + 10 \lambda
  1158. \end{aligned} \right.$ i $s \colon \frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{3}$
  1159. \item $r \colon \left\{\begin{aligned}
  1160. x & = 3 + 2 \lambda\\
  1161. y & = -1 + 10 \lambda
  1162. \end{aligned} \right.$ i $s \colon 10x - 2y + 3 = 0$
  1163. \item $r \colon \frac{x-2}{3} = \frac{y+10}{-2}$ i $s \colon y = 10x -12$
  1164. \end{enumerate}
  1165. \end{exercise}
  1166. \chapter{Geometria de l'espai}
  1167. \section{Sistema de coordenades espacials}
  1168. De forma anàloga al pla cartesià, a l'espai tridimensional tenim tres eixos de coordenades, $x$, $y$ i $z$, els quals són perpendiculars i parteixen d'un punt, anomenat \term{origen de coordenades}\index{origen!de coordenades}. La forma més usual de representar aquests eixos dibuixant l'eix $x$ en la direccció dreta-esquerra, l'eix $y$ en la direcció davant-darrera i l'eix $z$ en la direcció dalt-baix (\autoref{fig:sistema-de-coordenades-3d})
  1169. \begin{figure}[h!]
  1170. \centering
  1171. % Generat amb TikZ
  1172. \begin{tikzpicture}[thick]
  1173. \draw[->] (0,0,0) -- (3,0,0);
  1174. \draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
  1175. \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
  1176. \draw (3,0,0) node[anchor=west] {$x$};
  1177. \draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
  1178. \draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
  1179. \draw (0,0,0) node[anchor=north] {$O$};
  1180. \end{tikzpicture}
  1181. \caption{Representació usual del sistema de coordenades cartesianes}
  1182. \label{fig:sistema-de-coordenades-3d}
  1183. \end{figure}
  1184. En aquest sistema de coordenades\index{sistema de coordenades}\index{espai cartesià}, un punt qualsevol $P$ ve localitzat per les projeccions als eixos de coordenades. De la mateixa manera que el cas bidimensional, direm que $P$ té \term{coordenades}\index{coodenades} $(x, y, z)$ i el podrem denotar com $P(x,y,z)$. Per exemple, el punt de coordenades $(1,2,3)$ correspon al punt $A$ de la figura següent (\autoref{fig:punt-coordenades-3d}).
  1185. \begin{figure}[h!]
  1186. \centering
  1187. % Generat amb TikZ
  1188. \begin{tikzpicture}[thick]
  1189. \draw[->] (0,0,0) -- (2,0,0);
  1190. \draw[->] (0,0,0) -- (0,4,0);
  1191. \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
  1192. \draw (2,0,0) node[anchor=west] {$x$};
  1193. \draw (0,4,0) node[anchor=south] {$z$};
  1194. \draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
  1195. \draw[dashed] (1,0,2) -- (1,3,2);
  1196. \draw[loosely dotted] (1,0,2) -- (0,0,2);
  1197. \draw[loosely dashed] (1,0,2) -- (1,0,0);
  1198. \fill[color=blue] (1,3,2) circle (2pt);
  1199. \draw (1,3,2) node[anchor=west] {$A(1,2,3)$};
  1200. \end{tikzpicture}
  1201. \caption{Representació del punt $A(1,2,3)$}
  1202. \label{fig:punt-coordenades-3d}
  1203. \end{figure}
  1204. \begin{exercise}Representeu gràficament en els eixos de coordenades els punts $A\left(3,-2,4\right)$ i $B\left( 5,0,-2\right)$.
  1205. \end{exercise}
  1206. \section{Vectors}
  1207. Les definicions relatives a vectors que hem estudiat a l'apartat de Geometria del pla (vector fix, vector lliure, extrems d'un vector, etc.; vegi's \autoref{seccio:geometria-al-pla}) poden adaptar-se fàcilment a l'espai només afegint una altra coordenada als vectors. A l'igual que al pla, suposarem que tots els vectors són lliures.
  1208. \begin{example}Són vectors el següents:%
  1209. \begin{equation*}
  1210. \overrightarrow{B}(3,-2,6),\;\overrightarrow{C}(-5,1,-8)
  1211. \end{equation*}%
  1212. Amb la convenció d'eixos del dibuix anterior (\autoref{fig:sistema-de-coordenades-3d}), el vector $\overrightarrow{B}$ apunta cap a la dreta, cap a baix, i cap al lector, i el vector $\overrightarrow{C}$ apunta cap a l'esquerra, cap a dalt i s'allunya del lector. Com que no se'ns diu quins són els seus origens, es consider que aquests vectors són lliures i que, per tant, es poden situar on es desitgi els seus origens.
  1213. \end{example}
  1214. \subsection{Base estàndard de vectors}
  1215. \begin{definition}[base estàndard de vectors]A l'espai cartesià, existeixen tres vectors que formen el que s'anomena \term{base estàndard de vectors}\index{base estàndard de vectors} la qual està formada per tres vectors $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ i $\overrightarrow{k}$, que tenen les coordenades següents:
  1216. \begin{equation*}
  1217. \overrightarrow{i}=\overrightarrow{(1,0,0)},\; \overrightarrow{j}=\overrightarrow{(0,1,0)}, \; \overrightarrow{k}=\overrightarrow{(0,0,1)}
  1218. \end{equation*}%
  1219. Aquests vectors són unitaris, ortogonals (perpendiculars entre si) i formen un base: qualsevol vector es pot posar com a combinació lineal de $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ i $\overrightarrow{k}$\footnote{Les definicions de base d'un espai vectorial escapen a l'abast d'aquest text.}. És a dir, si $\overrightarrow{v}$ és un vector, aleshores existeixen nombres $a$, $b$ i $c$ de manera que $\overrightarrow{v} = a \overrightarrow{i} + b \overrightarrow{j} + c \overrightarrow{k}$. Per les definicions de $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ i $\overrightarrow{k}$ és clar que aquests $a$, $b$ i $c$ són els valors de les coordenades de $v$.
  1220. \end{definition}
  1221. \begin{example}El vector $\overrightarrow{v} = (3,2,2)$ compleix que $\overrightarrow{v} = 3 \overrightarrow{i} +2 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}$. Es pot veure la seva representació a la figura següent (\autoref{fig:exemple-base-estandard}).
  1222. \begin{figure}[h!]
  1223. \centering
  1224. % Generat amb TikZ
  1225. \begin{tikzpicture}[thick]
  1226. \draw[->] (0,0,0) -- (4,0,0);
  1227. \draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
  1228. \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
  1229. \draw (4,0,0) node[anchor=west] {$x$};
  1230. \draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
  1231. \draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
  1232. \draw[dashed] (3,0,2) -- (3,2,2);
  1233. \draw[loosely dotted] (3,0,2) -- (0,0,2);
  1234. \draw[loosely dashed] (3,0,2) -- (3,0,0);
  1235. \draw[color=blue,very thick,->] (0,0,0) -- (3,2,2);
  1236. \draw (3,2,2) node[anchor=west] {$\overrightarrow{v}(3,2,2)$};
  1237. \draw[color=orange,very thick,->] (0,0,0) -- (3,0,0);
  1238. \draw[color=orange,very thick,->] (0,0,0) -- (0,2,0);
  1239. \draw[color=orange,very thick,->] (0,0,0) -- (0,0,2);
  1240. \draw (3,0,0) node[anchor=south west] {$3 \cdot \overrightarrow{i}$};
  1241. \draw (0,2,0) node[anchor=east] {$2\cdot \overrightarrow{k}$};
  1242. \draw (0,0,2) node[anchor=east] {$2 \cdot \overrightarrow{j}$};
  1243. \end{tikzpicture}
  1244. % Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
  1245. \caption{Descomposició lineal del vector $\protect\overrightarrow{v}(3,2,2)$ respecte de la base estàndard}
  1246. \label{fig:exemple-base-estandard}
  1247. \end{figure}
  1248. \end{example}
  1249. \subsection{Operacions amb vectors anàlogues al pla}
  1250. El mòdul d'un vector i les operacions de suma i resta de vectors, producte d'un escalar per un vector i producte escalar de dos vectors es defineixen de manera anàloga al pla:
  1251. \begin{itemize}
  1252. \item El mòdul d'un vector $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ es calcula com
  1253. \begin{equation*}
  1254. \lvert \overrightarrow{u} \rvert = \sqrt{a^2 + b^2 +c^2}
  1255. \end{equation*}
  1256. Per exemple, $\lvert \overrightarrow{(3,-2,6)} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$.
  1257. \item Donats dos vectors $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$, la seva suma es defineix com $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)$.
  1258. Per exemple, si $\overrightarrow{u} = (2,-3,4)$ i $\overrightarrow{v} = (-2,-7,0)$, aleshores $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = (0,-10,4)$.
  1259. \item La resta de dos vectors $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ es defineix com $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} = (u_1-v_1,u_2-v_2,u_3-v_3)$.
  1260. Per exemple, si $\overrightarrow{u} = (2,-3,4)$ i $\overrightarrow{v} = (-2,-7,0)$, aleshores $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} = (4,4,4)$.
  1261. \item Si $k \in \mathbb{R}$ és un nombre qualsevol i $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ és un vector, llavors el producte $k \cdot \overrightarrow{u} = (k \cdot u_1, k \cdot u_2, k \cdot u_3)$.
  1262. Per exemple, si $\overrightarrow{u} = (2,-3,4)$ i $k = -3$, aleshores $k \cdot \overrightarrow{u} = (-6,+9,-12)$.
  1263. \item Dos vectors $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ són paral·lels si, i només si, $\frac{v_1}{u_1} = \frac{v_2}{u_2} = \frac{v_3}{u_3}$ (vegi's \autoref{resultat:proposicio-parallelisme-vectors})
  1264. \item Si $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ són vectors, el seu producte escalar es defineix com
  1265. \begin{equation*}
  1266. \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3
  1267. \end{equation*}
  1268. Així per exemple, $\overrightarrow{(3,-2,4)} \cdot \overrightarrow{(-1,0,-5)} = -3 + 0 -20 = -23$.
  1269. Es verifica el resultat relatiu a l'angle entre dos vectors (\autoref{resultat:angle-producte-esclar}) i les propietats del producte escalar (\autoref{resultat:propietats-del-producte-esclar}).
  1270. \end{itemize}
  1271. \begin{exercise}Determineu si els vectors són paral·lels entre si:
  1272. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1273. \item $\overrightarrow{u}\left( 2,-3,1\right)$ i $\overrightarrow{v}\left( 4,-6,2\right)$
  1274. \item $\overrightarrow{u}\left( 2,-3,1\right)$ i $\overrightarrow{v}\left( 4,-6,3\right)$
  1275. \end{enumerate}
  1276. \end{exercise}
  1277. \begin{exercise}Què val l'angle format entre els vectors $\overrightarrow{u}(2,0,-3)$ i $\overrightarrow{v}(-3,1,2)$?
  1278. \end{exercise}
  1279. \subsection{Producte vectorial}
  1280. Vegem tot seguit una operació nova: el producte vectorial entre vectors. Noteu la paraula {\em vectorial} (que no escalar) a aquesta expressió. La importància d'aquesta paraula és perquè el producte vectorial donarà com a resultat un vector mentre que el producte escalar dóna com a resultat un nombre.
  1281. \begin{definition}[producte vectorial de vectors]El \term{producte vectorial de dos vectors}\index{producte!vectorial}, $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{w}(w_1,w_2,w_3)$, que es denota per $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w}$ o $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{w}$, respecte de la base estàndard, es defineix com:
  1282. \begin{equation*}
  1283. \begin{split}
  1284. \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w} & =(u_1,u_2,u_3)\wedge
  1285. (w_1, w_2, w_3) \\
  1286. & =\left\vert
  1287. \begin{array}{ccc}
  1288. u_1 & u_2 & u_3 \\
  1289. w_1 & w_2 & w_3 \\
  1290. \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
  1291. \end{array}%
  1292. \right\vert
  1293. \end{split}
  1294. \end{equation*}
  1295. Aquest determinant es pot fer aplicant la regla de Sarrus (\autoref{alg:regla-de-Sarrus}). O bé es pot desenvolupar per la tercera filera, obtenint que
  1296. \begin{equation*}
  1297. \begin{split}
  1298. \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w} & = \left\vert
  1299. \begin{array}{cc}
  1300. u_2 & u_3 \\
  1301. w_2 & w_3%
  1302. \end{array}%
  1303. \right\vert \cdot \overrightarrow{i} + \left\vert
  1304. \begin{array}{cc}
  1305. u_1 & u_3 \\
  1306. w_1 & w_3%
  1307. \end{array}%
  1308. \right\vert \cdot \overrightarrow{j} + \left\vert
  1309. \begin{array}{cc}
  1310. u_1 & u_2 \\
  1311. w_1 & w_2%
  1312. \end{array}%
  1313. \right\vert \overrightarrow{k}\\
  1314. & =\left( \left\vert
  1315. \begin{array}{cc}
  1316. u_2 & u_3 \\
  1317. w_2 & w_3%
  1318. \end{array}%
  1319. \right\vert ,-\left\vert
  1320. \begin{array}{cc}
  1321. u_1 & u_3 \\
  1322. w_1 & w_3%
  1323. \end{array}%
  1324. \right\vert ,\left\vert
  1325. \begin{array}{cc}
  1326. u_1 & u_2 \\
  1327. w_1 & w_2%
  1328. \end{array}%
  1329. \right\vert \right),
  1330. \end{split}
  1331. \end{equation*}
  1332. que és útil per aquelles persones que volen memoritzar fórmules en comptes de realitzar càlculs.
  1333. \end{definition}
  1334. Notem que el producte vectorial de dos vectors és, per tant, un altre vector.
  1335. \begin{example}Siguin els vectors $\overrightarrow{u}(2,0,-3)$ i $\overrightarrow{v}(-3,1,2)$. Aleshores, el seu producte vectorial és:
  1336. \begin{equation*}
  1337. \begin{split}
  1338. \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v} &= \left\vert
  1339. \begin{array}{ccc}
  1340. 2 & 0 & -3 \\
  1341. -3 & 1 & 2 \\
  1342. \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
  1343. \end{array}%
  1344. \right\vert \\
  1345. & = 2\overrightarrow{k} + 0 + 9 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{i} + 0 - 4 \overrightarrow{j}\\
  1346. & = 3\overrightarrow{i} + 5 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}\\
  1347. & =\left( 3,5,2\right)
  1348. \end{split}
  1349. \end{equation*}
  1350. \end{example}
  1351. \begin{exercise}Calculeu $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$, amb $\overrightarrow{u}(0,-2,3)$ i $\overrightarrow{v}(-3,-5,4)$.
  1352. \end{exercise}
  1353. \begin{proposition}[mòdul del producte vectorial]Donat dos vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, el mòdul del seu producte vectorial $\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}$ compleix que \begin{equation*}
  1354. \left\vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\right\vert = \lvert \overrightarrow{u} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{v} \rvert \cdot \sin \widehat{uv},
  1355. \end{equation*}%
  1356. on $\widehat{uv}$ denota l'angle que formen els vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$.
  1357. \end{proposition}
  1358. Vegem ara les propietats del producte vectorial.
  1359. \subsubsection{Propietats del producte vectorial}
  1360. Donats els vectors $\vec{a},\vec{b}$ i $\vec{c}$ i el nombre $k$ qualssevol, el producte vectorial verifica les propietats següents:
  1361. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1362. \item $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}%
  1363. \wedge \overrightarrow{a}$ (anticommutativa)
  1364. \item $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{a}=\vec{0}$
  1365. \item $k\left( \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}\right) =\left( k\overrightarrow{a}\right) \wedge \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\wedge \left( k\overrightarrow{b}\right) $
  1366. \item $\overrightarrow{a}\wedge \left( \overrightarrow{b}+\vec{c}%
  1367. \right) =\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}%
  1368. \wedge \overrightarrow{c}$
  1369. \item En general, $\overrightarrow{a}\wedge \left( \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}\right) \neq \left( \overrightarrow{a}\wedge
  1370. \overrightarrow{b}\right) \wedge \overrightarrow{c}$
  1371. \item El vector $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$ és perpendicular tant al vector $\overrightarrow{a}$ com al vector $\overrightarrow{b}$.
  1372. \item El mòdul del producte vectorial de dos vectors ens dóna l'àrea del paralel·ògram definit per aquest dos vectors (\autoref{fig:calcul-area-parallelogram-producte-vectorial}):
  1373. \begin{figure}[h!]
  1374. \centering
  1375. % Generat amb TikZ
  1376. \definecolor{qqzzcc}{rgb}{0.,0.6,0.8}
  1377. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  1378. \clip(0,0) rectangle (9,4.5);
  1379. \fill[color=qqzzcc,fill=qqzzcc,fill opacity=0.05] (0.5,1.2) -- (3.,4.) -- (8.5,2.8) -- (6.,0.) -- cycle;
  1380. \draw [->] (0.5,1.2) -- (3.,4.);
  1381. \draw [->] (0.5,1.2) -- (6.,0.);
  1382. \draw (0.58,2.86) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{u}$};
  1383. \draw (2.98,0.58) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{v}$};
  1384. \draw [color=qqzzcc] (3.,4.)-- (8.5,2.8);
  1385. \draw [color=qqzzcc] (8.5,2.8)-- (6.,0.);
  1386. \draw (3.72,2.32) node[anchor=north west] {$\vert \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \vert$};
  1387. \end{tikzpicture}
  1388. % Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
  1389. \caption{Àrea del paral·lelogram determinat pels vectors $\protect\overrightarrow{u}$ i $\protect\overrightarrow{v}$}
  1390. \label{fig:calcul-area-parallelogram-producte-vectorial}
  1391. \end{figure}
  1392. \end{enumerate}
  1393. \begin{claim}
  1394. Com que $\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{a}$ són perpendiculars a $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$, això vol dir que $\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{a}$ estan a la mateixa línia, un apuntant cap a baix i un apuntant cap a dalt. Per determinar l'orientació d'aquests dos vectors de forma gràfica existeix un procediment, anomenat {\em regla del llevataps}\index{regla!del llevataps}.
  1395. \end{claim}
  1396. \begin{exercise}Trobeu un vector que sigui perpendicular als vectors $\overrightarrow{a}(-4,0,3)$ i $\overrightarrow{b}(-3,-1,0)$, simultàniament.
  1397. \end{exercise}
  1398. \begin{exercise}Trobeu un vector ortogonal a $\overrightarrow{u}(4,-2,5)$ i $\overrightarrow{v}(3,0,-5)$. Trobeu un altre vector ortonormal.
  1399. \end{exercise}
  1400. \begin{exercise}Trobeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\overrightarrow{u}(-2,0,4)$ i $\overrightarrow{v}(1,3,-1)$.
  1401. \end{exercise}
  1402. \subsection{Producte mixt}
  1403. Tot seguit veurem una nova operació, entre tres vectors, la qual tendrà la principal aplicació de calcular volums de determinats prismes i piràmides (\autoref{resultat:calcul-volum-parallelepiped}, \autoref{resultat:calcul-volum-tetraedre}).
  1404. \begin{definition}[producte mixt]Donats tres vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$, el seu \term{producte mixt}\index{producte!mixt}, que es denota per $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$, es defineix com
  1405. \begin{equation*}
  1406. \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] =\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}).
  1407. \end{equation*}
  1408. \end{definition}
  1409. Notem que el producte mixt no és, en general, una operació commutativa. És a dir, el valor numèric del producte mixt depèn fortament de l'ordre dels vectors involucrats.
  1410. \begin{example}Donats els vectors $\vec{u}\left( 0,-1,5\right) ,$ $\vec{v}(2,0,-3)$ i $\vec{w}(-3,1,2)$, calculeu el producte mixt $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$.
  1411. Tenim que
  1412. \begin{equation*}
  1413. \begin{split}
  1414. \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] & = \overrightarrow{u}\cdot \left(\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}\right) \\
  1415. & = \left( 0,-1,5\right) \cdot \left( (2,0,-3)\wedge (-3,1,2)\right) \\
  1416. & = \left( 0,-1,5\right) \cdot \left( 3,5,2\right)\\
  1417. & =0-5+10=5.
  1418. \end{split}
  1419. \end{equation*}
  1420. \end{example}
  1421. \begin{claim}Per a qualssevol vectors $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)$, $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)$ i $\overrightarrow{w} = (w_1, w_2, w_3)$, el producte mixt $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$ també es pot calcular amb la fórmula següent:%
  1422. \begin{equation*}
  1423. \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]
  1424. =\left\vert
  1425. \begin{array}{rrr}
  1426. u_1 & u_2 & u_3 \\
  1427. v_1 & v_2 & v_3\\
  1428. w_1 & w_2 & w_3%
  1429. \end{array}%
  1430. \right\vert,
  1431. \end{equation*}
  1432. és a dir, els vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ disposats per fileres al determinant.
  1433. \end{claim}
  1434. \begin{example}Donats els vectors $\vec{u}\left( 0,-1,5\right)$, $\vec{v}(2,0,-3)$ i $\vec{w}(-3,1,2)$, calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$:%
  1435. \begin{equation*}
  1436. \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]
  1437. =\left\vert
  1438. \begin{array}{rrr}
  1439. 0 & -1 & 5 \\
  1440. 2 & 0 & -3 \\
  1441. -3 & 1 & 2%
  1442. \end{array}%
  1443. \right\vert =-9+10+4=5.
  1444. \end{equation*}
  1445. \end{example}
  1446. \begin{exercise}Calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$, amb $\vec{u}\left( 3,1,-2\right)$, $\vec{v}(-2,10,0)$ i $\vec{w}(0,-1,-5)$.
  1447. \end{exercise}
  1448. \begin{definition}[paral·lelepípede]Un \term{paral·lelepípede}\index{paral·lelepípede} és un prisme la base del qual és un paral·lelogram (\autoref{fig:wikipedia-paral·lelepípede}).
  1449. \begin{figure}[h!]
  1450. \centering
  1451. \includegraphics[scale=0.25]{./graphics/wk-Parallellopipedum.png}
  1452. \caption{Un paral·lelepípede}
  1453. \label{fig:wikipedia-paral·lelepípede}
  1454. \end{figure}
  1455. \end{definition}
  1456. \begin{proposition}[càlcul del volum d'un paral·lelepípede]\label{resultat:calcul-volum-parallelepiped}Donat el paral·lelepípede\index{volum!paral·lelepípede} definit pels vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ (vegeu \autoref{fig:calcul-volum-paral·lelepípede}), el seu volum $V_p$ és igual al valor absolut del producte mixt, és a dir,
  1457. \begin{equation*}
  1458. V_p=\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert
  1459. \end{equation*}%
  1460. \begin{figure}[h!]
  1461. \centering
  1462. % Generat amb TikZ
  1463. \begin{tikzpicture}[line join=bevel,scale=1.2]
  1464. %\rotateRPY{45}{0}{45}
  1465. \begin{scope}
  1466. \coordinate (A1) at (0,0,0);
  1467. \coordinate (A2) at (-2,0,-3);
  1468. \coordinate (A3) at (-4,0,-3);
  1469. \coordinate (A4) at (-2,0,0);
  1470. \coordinate (B1) at (0.2,-1,0);
  1471. \coordinate (B2) at (-1.8,-1,-3);
  1472. \coordinate (B3) at (-3.8,-1,-3);
  1473. \coordinate (B4) at (-1.8,-1,0);
  1474. % Punts mitjans
  1475. \coordinate (M1) at (-0.5,-1,0);
  1476. \coordinate (M2) at (-0.8,-1,-1.5);
  1477. \coordinate (M3) at (0.1,-0.5,0);
  1478. \draw (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
  1479. \draw[loosely dashed] (B1) -- (B2) -- (B3);
  1480. \draw (B3) -- (B4)-- (B1);
  1481. \draw (A1) -- (B1);
  1482. \draw[loosely dashed] (A2) -- (B2);
  1483. \draw (A3) -- (B3);
  1484. \draw (A4) -- (B4);
  1485. %\draw (A1) node {$A1$};
  1486. %\draw (A2) node {$A2$};
  1487. %\draw (A3) node {$A3$};
  1488. %\draw (A4) node {$A4$};
  1489. %\fill [fill opacity=0.7,fill=green!20] (A1) -- (A2) -- (B2) -- (B1)-- cycle;
  1490. %\fill [fill opacity=0.7,fill=orange!20] (A2) -- (A3) -- (B3) -- (B2)-- cycle;
  1491. \fill [fill opacity=0.7,fill=purple!20] (A3) -- (A4) -- (B4) -- (B3)-- cycle;
  1492. \fill [fill opacity=0.7,fill=red!40] (A4) -- (A1) -- (B1) -- (B4)-- cycle;
  1493. \fill [fill opacity=0.7,fill=yellow!20] (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4)-- cycle;
  1494. %\fill [fill opacity=0.7,fill=blue!20] (B1) -- (B2) -- (B3) -- (B4)-- cycle;
  1495. \draw[ultra thick, color=blue,->] (B1) -- (A1);
  1496. \draw[ultra thick, color=blue,->,loosely dashed] (B1) -- (B2);
  1497. \draw[ultra thick, color=blue,->] (B1) -- (B4);
  1498. \draw (M1) node[anchor=north] {$\overrightarrow{u}$};
  1499. \draw (M2) node[anchor=east] {$\overrightarrow{v}$};
  1500. \draw (M3) node[anchor=west] {$\overrightarrow{w}$};
  1501. \end{scope}
  1502. \end{tikzpicture}
  1503. % Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
  1504. \caption{Volum del paral·lelepípede definit pels vectors $\protect\overrightarrow{u}$, $\protect\overrightarrow{v}$ i $\protect\overrightarrow{w}$}
  1505. \label{fig:calcul-volum-paral·lelepípede}
  1506. \end{figure}
  1507. \end{proposition}
  1508. \begin{definition}[tetraedre] Un \term{tetraedre}\index{tetraedre} és una piràmide amb totes les cares iguals entre si i iguals a triangles equilàters.
  1509. \end{definition}
  1510. \begin{proposition}[càlcul del volum d'un tetraedre]\label{resultat:calcul-volum-tetraedre}Donat el tetraedre\index{volum!tetraedre} format pels vectors $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$, el seu volum $V_t$ és igual a:
  1511. \begin{equation*}
  1512. V_t=\frac{1}{6}\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert .
  1513. \end{equation*}
  1514. \end{proposition}
  1515. \section{La recta a l'espai}
  1516. En aquest apartat farem un estudi de la recta en un espai de tres
  1517. dimensions.
  1518. Si d'una recta coneixem un punt qualsevol d'aquesta i un vector tengui la mateixa direcció (és a dir, que estigui situat sobre ella o bé que estigui situat sobre una recta paral·lela), llavors tenim elements suficients per a determinar-la completament, és a dir, per a determinar les coordenades de qualsevol punt.
  1519. En altres paraules, basta que coneguem un punt de la recta $P_0$ i el seu \term{vector director}\index{vector!director} $\overrightarrow{v}$.
  1520. \begin{definition}[equació vectorial de la recta]Una recta $r$ es pot determinar per un punt $P_0(x_0,y_0,z_0)$ de la recta i un vector director $\overrightarrow{v}$, de manera que, per a qualsevol punt $P(x,y,z)$ pertanyent a la recta, es té que
  1521. \begin{equation}\label{eq:eq-vectorial-recta-3d}
  1522. \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \lambda \overrightarrow{v},
  1523. \end{equation}
  1524. per qualque $\lambda \in \mathbb{R}$ (\autoref{fig:equacio-vectorial-recta-3d-exemple}). Aquesta equació (\ref{eq:eq-vectorial-recta-3d}) es coneix com a \term{equació vectorial de la recta}\index{equació!vectorial!d'una recta}.
  1525. \begin{figure}[h!]
  1526. \centering
  1527. % Generat amb TikZ
  1528. \begin{tikzpicture}[thick]
  1529. \coordinate (O) at (0,0,0);
  1530. \coordinate (P0) at (3,2,2);
  1531. \coordinate (R1) at (-2,1,2);
  1532. \coordinate (P) at (5.5,2.5,2);
  1533. \coordinate (P2) at (8,3,2);
  1534. \coordinate (M) at (4.5,2.3,2);
  1535. \coordinate (M2) at (3.75,2.15,2);
  1536. % eixos de coordenades
  1537. \draw[->] (0,0,0) -- (4,0,0);
  1538. \draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
  1539. \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
  1540. \draw (4,0,0) node[anchor=west] {$x$};
  1541. \draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
  1542. \draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
  1543. % Punts i rectes
  1544. %\draw[dashed] (3,0,2) -- (3,2,2);
  1545. %\draw[loosely dotted] (3,0,2) -- (0,0,2);
  1546. %\draw[loosely dashed] (3,0,2) -- (3,0,0);
  1547. \draw[color=orange,very thick] (R1) -- (P0) -- (P) -- (P2);
  1548. \draw (R1) node[anchor=north] {$r$};
  1549. \draw[color=blue,very thick,->] (O) -- (P0);
  1550. \draw[color=blue,very thick,->] (O) -- (P);
  1551. \draw (P0) node[anchor=south] {$P_0$};
  1552. \filldraw[color=green] (P0) circle (2pt);
  1553. \draw (P) node[anchor=south] {$P$};
  1554. \filldraw[color=green] (P) circle (2pt);
  1555. \draw[ultra thick,color=blue,->] (P0) -- (M);
  1556. \draw (M2) node[anchor=south] {$\overrightarrow{v}$};
  1557. \end{tikzpicture}
  1558. % Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
  1559. \caption{Representació de la recta que té vector director $\protect\overrightarrow{v}$ i que passa per $P_0$.}
  1560. \label{fig:equacio-vectorial-recta-3d-exemple}
  1561. \end{figure}
  1562. \end{definition}
  1563. \subsection{Equació paramètriques de la recta}
  1564. Sigui $r$ una recta determinada per $P_0(x_0,y_0,z_0)$ un punt qualsevol i $\overrightarrow{v}(v_x,v_y,v_z)$ és el seu vector director. Aleshores un punt $P(x,y,z)$ de la recta compleix l'equació vectorial (\autoref{eq:eq-vectorial-recta-3d}), és a dir, $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \lambda \overrightarrow{v}$, per qualque $\lambda \in \mathbb{R}$, o sigui, $\overrightarrow{(x,y,z)} = \overrightarrow{(x_0,y_0,z_0)} + \lambda \overrightarrow{(v_x, v_y, v_z)}$. Operant, tenim que s'ha de verificar que
  1565. \begin{equation*}
  1566. \overrightarrow{(x,y,z)} = \overrightarrow{(x_0 + \lambda v_x,y_0 + \lambda v_y ,z_0+ \lambda v_z)}.
  1567. \end{equation*}
  1568. Si dos vectors són iguals, llavors component a component són iguals. El que implica que
  1569. \begin{equation}\label{eq:equacio-parametrica-recta-3d}
  1570. r \colon \left\{
  1571. \begin{array}{l}
  1572. x=x_0+\lambda v_x \\
  1573. y=y_0+\lambda v_y \\
  1574. z=z_0+\lambda v_z%
  1575. \end{array}%
  1576. \right. ,
  1577. \end{equation}
  1578. on $\lambda \in \mathbb{R}$. Aquesta equació (\autoref{eq:equacio-parametrica-recta-3d}), reb el nom de \term{equació paramètrica de la recta}\index{equació!paramètrica!d'una recta}.
  1579. \begin{example}\label{exemple:equacio-parametrica-3d-1}Si una recta passa pel punt $(0,-1,3)$ i el seu vector director és el $\overrightarrow{v}(-3,2,0)$, llavors la seva equació paramètrica és la següent:%
  1580. \begin{equation*}
  1581. \left\{
  1582. \begin{array}{l}
  1583. x=0+\lambda \cdot \left( -3\right) \\
  1584. y=-1+\lambda \text{$\cdot $}2 \\
  1585. z=3+\lambda \text{$\cdot $}0%
  1586. \end{array}%
  1587. \right. \text{, és a dir, }\left\{
  1588. \begin{array}{l}
  1589. x=-3\lambda \\
  1590. y=-1+2\lambda \\
  1591. z=3%
  1592. \end{array}%
  1593. \right.
  1594. \end{equation*}
  1595. \end{example}
  1596. Per trobar més punts d'aquesta recta basta substituir $\lambda$ per
  1597. qualsevol nombre a les expressions anteriors.
  1598. \begin{example}Si a la recta anterior (\autoref{exemple:equacio-parametrica-3d-1}), feim $\lambda=2$, tenim que%
  1599. \begin{equation*}
  1600. \left.
  1601. \begin{array}{l}
  1602. x=-6 \\
  1603. y=-1+4=3 \\
  1604. z=3%
  1605. \end{array}%
  1606. \right\} ,
  1607. \end{equation*}%
  1608. i, per tant, $(-6,3,3)$ és un altre punt de la recta.
  1609. \end{example}
  1610. \begin{exercise}Escriviu les equacions paramètriques de les rectes següents:
  1611. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1612. \item recta que passa pel punt $(-1,0,2)$ i que té la direcció donada pel vector director $\overrightarrow{v}(1,3,-5)$
  1613. \item recta que passa per l'origen de coordenades i que té com a vector director $\overrightarrow{(
  1614. 1,-2,0)}$
  1615. \item recta que passa pels punts $(3,-5,2)$ i $(2,-7,-3)$
  1616. \end{enumerate}
  1617. Trobeu dos punts més de cada recta.
  1618. \end{exercise}
  1619. \subsection{Equació contínua de la recta}
  1620. Si aïllam $\lambda$ en cadascuna de les equacions de la recta en forma
  1621. paramètrica (\autoref{eq:equacio-parametrica-recta-3d}), tenim que%
  1622. \begin{equation*}
  1623. \lambda =\frac{x-x_0}{v_x},\; \lambda =\frac{y-y_0}{v_y},\;\lambda =\frac{z-z_0}{v_z}
  1624. \end{equation*}%
  1625. Si igualam les expressions, obtenim el que s'anomena \term{equació en forma contínua de la recta} (o simplement \term{equació contínua})\index{equació!contínua!d'una recta}:
  1626. \begin{equation}\label{eq:equacio-recta-forma-continua-3d}
  1627. r\colon \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z},
  1628. \end{equation}%
  1629. on $P(x_0,y_0,z_0)$ és un punt qualsevol de la recta i $\overrightarrow{v}(v_x,v_y,v_z)$ és el seu vector director.
  1630. \begin{example}\label{exemple:recta-equacio-continua-1}La recta $r$ que passa pel punt $(0,-1,3)$ i té com a vector director $\overrightarrow{v}(-3,2,0)$ té com a equació contínua:%
  1631. \begin{equation*}
  1632. \frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{0}
  1633. \end{equation*}
  1634. \end{example}
  1635. \begin{claim}Observem que en aquest exemple ha aparegut un denominador igual a $0$. A pesar de què la divisió per $0$ no és una operació que
  1636. estigui definida, en el context de l'equació contínua d'una recta, aquesta expressió està permesa.
  1637. \end{claim}
  1638. \begin{exercise}\label{exercici:equacions-continues-rectes-3d}Escriviu les equacions contínues de la rectes següents:
  1639. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1640. \item recta que passa per $(0,-5,3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(1,-2,2)$
  1641. \item recta que passa pels punts $(6,-2,0)$ i $(2,-1,-1)$
  1642. \item recta que passa pel punt $(-1,-1,2)$ i que té com a vector director $\overrightarrow{v}(2,0,-3)$.
  1643. \end{enumerate}
  1644. \end{exercise}
  1645. \subsection{Equació implícita de la recta}\label{subseccio:equacio-implicita-recta}
  1646. Si a les equacions de la recta en forma contínua (\autoref{eq:equacio-recta-forma-continua-3d}) llevam els denominadors i transposem tots els termes al primer membre, obtindrem dues equacions de la forma:%
  1647. \begin{equation}\label{eq:equacio-implicita-recta-3d}
  1648. \left\{
  1649. \begin{aligned}
  1650. Ax+By+Cz+D & = 0 \\
  1651. A^{\prime}x+B^{\prime}y+C^{\prime}z+D^{\prime} & = 0%
  1652. \end{aligned}%
  1653. \right.,
  1654. \end{equation}%
  1655. on $A$, $B$, $C$, $D$, $A'$, $B'$, $C'$ i $D'$ són nombres reals. Aquestes equacions reben el nom d'\term{equació implícita de la
  1656. recta}\index{equació!implícita!d'una recta}.
  1657. \begin{example}La recta $r$ que passa pel punt $(0,-1,3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(-3,2,0)$ té l'equació contínua:
  1658. \begin{equation*}
  1659. r \colon \frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{0}
  1660. \end{equation*}
  1661. (vegis' \autoref{exemple:recta-equacio-continua-1}). Per tant, obtenim que:%
  1662. \begin{equation*}
  1663. r \colon \left\{
  1664. \begin{array}{rll}
  1665. 2x & = & -3\left( y+1\right) \\
  1666. 0\left( y+1\right) & = & 2\left( z-3\right)%
  1667. \end{array}%
  1668. \right.
  1669. \end{equation*}
  1670. Operant, obtenim que la seva equació implícita és
  1671. \begin{equation*}
  1672. r \colon \left\{
  1673. \begin{array}{r}
  1674. 2x+3y+3=0 \\
  1675. 2z-6=0%
  1676. \end{array}%
  1677. \right.
  1678. \end{equation*}
  1679. \end{example}
  1680. \begin{exercise}Trobeu les equacions implícites de les rectes de l'\autoref{exercici:equacions-continues-rectes-3d}.
  1681. \end{exercise}
  1682. \begin{claim}Noteu que en principi no podem obtenir l'equació implícita d'una recta directament amb el seu vector director i un punt d'aquesta. Hem de passar per l'equació contínua per obtenir l'equació implícita.
  1683. \end{claim}
  1684. \subsubsection{Pas de l'equació implícita a l'equació paramètrica}\label{subseccio:pas-de-implica-a-parametrica-js}
  1685. % Dels apunts de COU d'en Javier Sánchez
  1686. Resulta més o menys fàcil tornar enrera i obtenir l'equació paramètrica d'una recta a partir de la seva equació implícita. L'únic que s'ha de fer és \term{parametritzar}\index{parametritzar} una variable, és a dir, substituir una variable per un paràmetre (per exemple $\lambda$).
  1687. \begin{example}Trobeu les equacions paramètriques de la recta
  1688. \begin{equation*}
  1689. r \colon \left\{
  1690. \begin{aligned}
  1691. 2x+y+2z+4 & = 0 \\
  1692. x-y+4z+12 & = 0%
  1693. \end{aligned}%
  1694. \right.
  1695. \end{equation*}%
  1696. Fent $z = \lambda$, tenim que
  1697. \begin{equation*}
  1698. r \colon \left\{
  1699. \begin{aligned}
  1700. 2x+y & = -4 -2\lambda \\
  1701. x-y & = -12 -4 \lambda%
  1702. \end{aligned}%
  1703. \right.
  1704. \end{equation*}%
  1705. Per tant, per reducció, tenim que $3x = -16 -6\lambda$ i, per tant, $x = \frac{-16}{3} - 2\lambda$. Substituïnt aquest resultat a la segona equació de l'anterior sistema, tenim que
  1706. \begin{equation*}
  1707. \begin{split}
  1708. y & = - \frac{16}{3} -2\lambda + 4 \lambda +12\\
  1709. & = \frac{20}{3} + 2\lambda%
  1710. \end{split}%
  1711. \end{equation*}%
  1712. Amb tot, tenim que les equacions paramètriques de la recta són:
  1713. \begin{equation*}
  1714. r \colon \left\{
  1715. \begin{aligned}
  1716. x & = -\frac{16}{3} - 2\lambda\\
  1717. y & =\frac{20}{3} + 2\lambda \\
  1718. z & =\lambda%
  1719. \end{aligned}%
  1720. \right.
  1721. \end{equation*}%
  1722. \end{example}
  1723. \subsubsection{Vector director a partir de l'equació implícita}\label{subseccio:vector-director-equacio-implicita}
  1724. La proposició següent dóna una manera per trobar el vector director d'una recta que ve donada mitjançant l'equació implítica.
  1725. \begin{proposition}[vector director a partir de l'equació implícita]\label{prop:v-d-a-partir-eq-implicita-3d}Sigui $r$ una recta donada amb l'equació implícita:
  1726. \begin{equation*}
  1727. r \colon \left\{
  1728. \begin{aligned}
  1729. Ax+By+Cz+D & = 0 \\
  1730. A'x+B'y+C'z+D' & = 0%
  1731. \end{aligned}%
  1732. \right.
  1733. \end{equation*}%
  1734. El seu vector director, $v_r$, es pot calcular amb la fórmula:%
  1735. \begin{equation}\label{eq:calcul-vector-director-producte-vectorial}
  1736. \overrightarrow{v_{r}}=(A,B,C)\wedge (A',B',C')
  1737. \end{equation}
  1738. \end{proposition}
  1739. \begin{example}El vector director de la recta%
  1740. \begin{equation*}
  1741. r \colon \left\{
  1742. \begin{array}{r}
  1743. 2x+3y+3=0 \\
  1744. 2z-6=0%
  1745. \end{array}%
  1746. \right.
  1747. \end{equation*}%
  1748. és $\overrightarrow{v}=(2,3,0)\wedge (0,0,2)$, és a dir,
  1749. \begin{equation*}
  1750. \overrightarrow{v}=\left\vert
  1751. \begin{array}{ccc}
  1752. 2 & 3 & 0 \\
  1753. 0 & 0 & 2 \\
  1754. \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
  1755. \end{array}%
  1756. \right\vert
  1757. =\left( 6,-4,0\right).
  1758. \end{equation*}
  1759. \end{example}
  1760. \begin{exercise}Calculeu el vector director de les rectes:%
  1761. \begin{multicols}{2}
  1762. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1763. \item $\left\{
  1764. \begin{array}{r}
  1765. x-y-5=0 \\
  1766. 4x+y-5z-6=0%
  1767. \end{array}%
  1768. \right.$
  1769. \item $\left\{
  1770. \begin{array}{r}
  1771. 2x-z-5=0 \\
  1772. 3x+y-z-2=0%
  1773. \end{array}%
  1774. \right.$
  1775. \item $\left\{
  1776. \begin{array}{r}
  1777. 2x=0 \\
  1778. 2z+y=0%
  1779. \end{array}%
  1780. \right.$
  1781. \item $\left\{
  1782. \begin{array}{r}
  1783. 2x+3y+5z-2=0 \\
  1784. 4x+6y+10z-4=0%
  1785. \end{array}%
  1786. \right.$
  1787. \end{enumerate}
  1788. \end{multicols}
  1789. \end{exercise}
  1790. \subsubsection{Exercicis d'equacions de rectes}
  1791. Tenim diverses equacions per a expressar una recta (\autoref{fig:relacions-equacions-recta-3d}). Practiquem el pas d'unes a les altres.
  1792. %\pgfdeclarelayer{background}
  1793. %\pgfdeclarelayer{foreground}
  1794. %\pgfsetlayers{background,main,foreground}
  1795. \begin{figure}[h!]
  1796. \centering
  1797. % TikZ picture. From:
  1798. % page 147 of manual,
  1799. % http://www.texample.net/tikz/examples/inertial-navigation-system/
  1800. % http://tex.stackexchange.com/questions/29621/how-can-i-express-half-the-distance-between-two-nodes
  1801. % http://tex.stackexchange.com/questions/42611/list-of-available-tikz-libraries-with-a-short-introduction/42674#42674
  1802. \begin{tikzpicture}[auto]
  1803. \tikzstyle{cloud} = [draw=blue, thick, ellipse, fill=blue!20, minimum height=1em,text width=6em, text centered];
  1804. \tikzstyle{blockred} = [rectangle, draw=orange, thick, fill=orange!20, text centered, rounded corners, minimum height=1em, text width=6em];
  1805. \tikzstyle{block} = [rectangle, draw=green,thick, fill=green!20, text centered, rounded corners, minimum height=1em, text width=6em];
  1806. \tikzstyle{line}=[draw, thick, -latex',shorten >=2pt];
  1807. \matrix[column sep=1cm, row sep=2cm]
  1808. {
  1809. % row 1
  1810. \node[block] (vectorial) {Eq. vectorial}; &
  1811. \node[block] (parametrica) {Eq. paramètrica}; &
  1812. \node[block] (continua) {Eq. contínua}; \\
  1813. % row 2
  1814. &
  1815. &
  1816. \node[blockred] (implicita) {Eq. implícita}; \\
  1817. % row 2
  1818. \node[cloud] (v) {Vector director}; &
  1819. \node[cloud] (p) {Un punt de la recta}; &
  1820. &
  1821. \\
  1822. % row 3
  1823. &
  1824. \node[cloud] (q) {Un punt de la recta}; &
  1825. &
  1826. \\
  1827. };
  1828. \tikzstyle{every node}=[font=\itshape]
  1829. \tikzstyle{every path}=[line]
  1830. \path[<->] (vectorial) -- (parametrica);
  1831. \path[<->] (parametrica) -- (continua);
  1832. \path (continua) -- node [midway] {igualar eqs.} (implicita);
  1833. \path[dashed] (p) -- (v);
  1834. \path[loosely dashed] (implicita) |- node[midway] {substituir $x$, $y$, $z$} (p);
  1835. \path[loosely dashed] (implicita) edge [bend right] node[midway, anchor=north west] {prod. vect.} (v);
  1836. % rectangles
  1837. \begin{pgfonlayer}{background}
  1838. % Compute a few helper coordinates
  1839. \path (v.south west)+(-1,-1) node (a) {};
  1840. \path (p.north east)+(+1,+1) node (b) {};
  1841. \path[fill=yellow!20,rounded corners, draw=black!50, dashed] (a) rectangle (b);
  1842. \path (vectorial.south west)+(-0.5,-0.5) node (c) {};
  1843. \path (continua.north east)+(+0.5,+0.5) node (d) {};
  1844. \path[fill=red!10,rounded corners, draw=black!50, dashed] (c) rectangle (d);
  1845. \end{pgfonlayer}
  1846. % Fletxes als quadres
  1847. % Punt mitjà i sumes de coordenades usant tikz calc library
  1848. \path[dashed] (q) -| ($(v.east) !.5! (p.west)$);
  1849. \path[double,<->] ($ (v.north) + (0,1) $) -- ($ (vectorial.south)+(0,-0.5) $);
  1850. \path[->] (implicita) -- node [midway] {parametritzar} (parametrica);
  1851. \end{tikzpicture}
  1852. \caption{Relacions entre les equacions d'una recta}
  1853. \label{fig:relacions-equacions-recta-3d}
  1854. \end{figure}
  1855. \begin{example}Trobeu totes les equacions de la recta que passa pel punt $P(3,-2,0)$ i que té per vector director $\overrightarrow{v}(1,0,-1)$.
  1856. \bigskip
  1857. Tenim que:
  1858. \begin{itemize}
  1859. \item L'equació vectorial és
  1860. \begin{equation*}
  1861. \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{(3,-2,0)} + \lambda \overrightarrow{(1,0,-1)}
  1862. \end{equation*}
  1863. \item Les equacions paramètriques són%
  1864. \begin{equation*}
  1865. r:\left\{
  1866. \begin{array}{l}
  1867. x=3+\lambda \\
  1868. y=-2 \\
  1869. z=-\lambda%
  1870. \end{array}%
  1871. \right.
  1872. \end{equation*}%
  1873. \item L'equació contínua és%
  1874. \begin{equation*}
  1875. r:x-3=\frac{y+2}{0}=\frac{z}{-1}
  1876. \end{equation*}%
  1877. \item I les equacions implícites són%
  1878. \begin{equation*}
  1879. r:\left\{
  1880. \begin{array}{rll}
  1881. 0\cdot \left( x-3\right) & = & y+2 \\
  1882. -1\cdot \left( x-3\right) & = & z%
  1883. \end{array}%
  1884. \right. \text{, és a dir, }r:\left\{
  1885. \begin{array}{rll}
  1886. y+2 & = & 0 \\
  1887. -x-z+3 & = & 0%
  1888. \end{array}%
  1889. \right.
  1890. \end{equation*}
  1891. \end{itemize}
  1892. \end{example}
  1893. \begin{exercise}Trobeu totes les equacions de les rectes següents:
  1894. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  1895. \item Recta que té vector director $\overrightarrow{(2,-3,-1)}$ i passa per $(0,2,-10)$
  1896. \item Recta que passa pels punts $(7,-4,0)$ i $(3,0,-5)$
  1897. \item Recta donada per l'equació $\overrightarrow{(x,y,z)} = \overrightarrow{(3,2,1)} + \lambda \overrightarrow{(-1,0,1)}$, amb $(x,y,z)$ un punt qualsevol de la recta.
  1898. \item Recta donada per $r \colon \frac{x-3}{5} = y+3 = \frac{z+2}{-2}$
  1899. \item La recta $s \colon \left\{
  1900. \begin{aligned}
  1901. x+3y -z & = 0 \\
  1902. 4x + 7z & = 0%
  1903. \end{aligned}\right.$
  1904. \end{enumerate}
  1905. \end{exercise}
  1906. \subsubsection{Rectes paral·leles}
  1907. Donada una recta $r$ que té vector director $\overrightarrow{v}$ i passa per $P$, si volem trobar una recta paral·lela $s$ que passi per $Q$, només hem de notar que $s$ tendrà $\overrightarrow{v}$ com a vector director i passarà per $Q$.
  1908. \begin{example}Calculeu l'equació de la recta paral·lela a $r \colon \frac{x}{-4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{2}$ que passa pel punt $A(2,5,-1)$.
  1909. Donat que la recta que cercan és paral·lela a la recta $r$, ambdues tenen el mateix vector director: $\overrightarrow{v}(-4,3,2)$. A més, sabem que la recta ha de passar pel punt $A(2,5,-1)$. Llavors, si subtituïm aquestes dues dades, per exemple, a l'equació contínua de la recta, obtindrem:%
  1910. \begin{equation*}
  1911. \frac{x-2}{-4}=\frac{y-5}{3}=\frac{z+1}{2}
  1912. \end{equation*}
  1913. \end{example}
  1914. \begin{exercise}Donada la recta $r:\left\{ x=3+\lambda , \, y=-2,\, z=-\lambda \right\}$ en forma paramètrica, trobeu l'equació contínua de la
  1915. recta paral·lela a $r$ que passa pel punt $A(0,-8,6)$.
  1916. \end{exercise}
  1917. \begin{exercise}Trobeu l'equació paramètrica de la recta $s$ que passa per $(0,4,4)$ i és paral·lela a $r \colon \left\{
  1918. \begin{aligned}
  1919. 2x-y -2z & = 0 \\
  1920. 8x - 7z & = 0%
  1921. \end{aligned}\right..$
  1922. \end{exercise}
  1923. \section{El pla a l'espai}
  1924. Per definir un pla a l'espai\index{pla} necessitam tres punts $A$, $B$ i $C$ no alineats, o equivalentment, un punt $A$, per on passa el pla, i dos vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ linealment independents\index{vector!linealment independent}\footnote{L'equivalència, resulta prenent $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ i $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$.} (la definició de vectors linealment dependents és anàloga a la de línies d'una matriu. Vegi's \autoref{def:dependencia-lineal-linies}) --- en el cas de només tenir dos vectors, tendríem infinits plans paral·lels. Els vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ s'anomenen \term{vectors directors} del pla\index{vector!director}.
  1925. D'aquesta manera, si $\pi$ és el pla determinat per $A$, i els vectors directors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, aleshores un punt $P$ que pertanyi a $\pi$ compleix que
  1926. \begin{equation*}
  1927. \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}
  1928. \end{equation*}
  1929. Però $\overrightarrow{AP}$ és suma dels vectors $\overrightarrow{AM}$ i $\overrightarrow{AN}$, que són múltiples de $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$. És a dir,
  1930. \begin{equation*}
  1931. \begin{split}
  1932. \overrightarrow{OP} & = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}\\
  1933. & = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\\
  1934. & = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v},
  1935. \end{split}
  1936. \end{equation*}
  1937. per qualques $\lambda$, $\mu \in \mathbb{R}$ (\autoref{fig:repr-equacions-vectorials-pla-3d}). En resum,
  1938. \begin{equation}\label{eq:equacions-vectorials-pla-3d}
  1939. \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v},
  1940. \end{equation}
  1941. amb $\lambda$, $\mu \in \mathbb{R}$. Aquesta equació (\autoref{eq:equacions-vectorials-pla-3d}), s'anomena \term{l'equació vectorial del pla}\index{equació!vectorial!d'un pla}.
  1942. \begin{figure}[h!]
  1943. \centering
  1944. % Generat amb TikZ
  1945. % http://tex.stackexchange.com/questions/279917/rotating-axes-in-3d-for-better-viewing-planes
  1946. \begin{tikzpicture}[rotate around y=-15, rotate around z=7]
  1947. % Nota: els punts tenen coordenades (x,z,y)
  1948. \coordinate (O) at (0,0,0);
  1949. \coordinate (P0) at (3,2,2);
  1950. \coordinate (P) at (5.5,2,4);
  1951. % Punts M i N
  1952. \coordinate (M) at (5.5,2,2);
  1953. \coordinate (N) at (3,2,4);
  1954. % Punts dels vectors directors
  1955. \coordinate (V1) at (4,2,2);
  1956. \coordinate (V2) at (3,2,3.2);
  1957. % Punts del pla (a partir de A, P, M i N
  1958. \coordinate (PLA0) at (2.3,2,0.9);
  1959. \coordinate (PLA1) at (6.5,2,0.9);
  1960. \coordinate (PLA2) at (2.3,2,4.5);
  1961. \coordinate (PLA3) at (6.5,2,4.5);
  1962. % eixos de coordenades
  1963. \draw[->] (0,0,0) -- (4,0,0);
  1964. \draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
  1965. \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
  1966. \draw (4,0,0) node[anchor=west] {$x$};
  1967. \draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
  1968. \draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
  1969. % Pla
  1970. \fill[color=green!10,thick,draw=black] (PLA0) -- (PLA1) -- (PLA3) -- (PLA2) -- cycle;
  1971. \draw (PLA1) node[anchor=west] {$\pi$};
  1972. % Punts: A, P i vectors de posició i AP
  1973. \draw[color=orange,very thick,->,dashed] (O) -- (P0);
  1974. \draw[color=green,very thick,->,dashed] (O) -- (P);
  1975. \draw[color=red,ultra thick,->] (P0) -- (P);
  1976. \draw (P0) node[anchor=south] {$A$};
  1977. \draw (P) node[anchor=south] {$P$};
  1978. % Llei del paral·lelogram
  1979. \draw[thick, dotted,->] (P0) -- (M);
  1980. \draw[thick, dotted,->] (P0) -- (N);
  1981. \draw[thick, dotted,->] (M) -- (P);
  1982. \draw[thick, dotted,->] (N) -- (P);
  1983. % Punts M i N i els respectius vectors
  1984. \draw[ultra thick,color=blue,->] (P0) -- (V1);
  1985. \draw[ultra thick,color=blue,->] (P0) -- (V2);
  1986. \draw (M) node[anchor=west] {$M$};
  1987. \draw (N) node[anchor=east] {$N$};
  1988. \end{tikzpicture}
  1989. \caption{Representació de les equacions vectorials d'un pla}
  1990. \label{fig:repr-equacions-vectorials-pla-3d}
  1991. \end{figure}
  1992. \subsection{Equacions paramètriques del pla}
  1993. A partir de l'equació vectorial del pla (\autoref{eq:equacions-vectorials-pla-3d}), igualant coordenades s'obtenen les \term{equacions paramètriques del pla}\index{equació!paramètrica!d'un pla}: si $\pi$ és un pla determinat pel punt $A(x_1, y_1, z_1)$ i els vectors directors $\overrightarrow{u}(u_1, u_2, u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1, v_2, v_3)$, aleshores les equacions paramètriques de $\pi$ són:
  1994. \begin{equation}
  1995. \left.
  1996. \begin{array}{l}
  1997. x=x_1+\lambda u_1+\mu v_1 \\
  1998. y=y_1+\lambda u_2+\mu v_2 \\
  1999. z=z_1+\lambda u_3+\mu v_3%
  2000. \end{array}%
  2001. \right\},
  2002. \end{equation}%
  2003. on $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Recordeu que $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ són vectors no proporcionals entre si.
  2004. \begin{claim}Si donam valors qualssevol als paràmetres $\lambda $ i $\mu $ i els substituim a l'expressió anterior, aleshores trobarem punts del pla en qüestió.
  2005. \end{claim}
  2006. \begin{example}\label{exemple-equacions-parametriques-pla}Sigui $\pi$ el pla que conté el punt $(2,0,-3) $ i que els vectors $(0,3,-1) $ i $(2,5,0) $ (els quals no són proporcionals entre si). Volem trobar dos punts de $\pi$ a més del que ja sabem.
  2007. \bigskip
  2008. L'equació paramètrica de $\pi$ és%
  2009. \begin{equation*}
  2010. \left.
  2011. \begin{array}{l}
  2012. x=2+\lambda \cdot 0+\mu \cdot 2 \\
  2013. y=0+\lambda \cdot 3+\mu \cdot 5 \\
  2014. z=-3+\lambda \cdot \left( -1\right) +\mu \cdot 0%
  2015. \end{array}%
  2016. \right\} \text{ i.e., }\left.
  2017. \begin{array}{l}
  2018. x=2+2\mu \\
  2019. y=3\lambda +5\mu \\
  2020. z=-3-\lambda%
  2021. \end{array}%
  2022. \right\}
  2023. \end{equation*}
  2024. Si donam valors a $\lambda $ i $\mu $ obtenim altres punts del pla:
  2025. \begin{itemize}
  2026. \item Fent $\lambda = 0$ i $\mu = 1$, obtenim que $x=4$, $y=5$ i $z=-3$. Per tant, $(4,5,-3)$ pertany a $\pi$.
  2027. \item Fent $\lambda =1$ i $\mu =0$, obtenim que $x=2$, $y=3$ i $z = -4$. Per tant, $(2,3,-4) \in \pi$.
  2028. \end{itemize}
  2029. \end{example}
  2030. \begin{exercise}Trobeu l'equació del pla que passa pel punt $(0,0,-8)$ i que és paral·lel als vectors $\vec{u}(2,0,-5)$ i $\vec{v}(1,1,9)$. Trobeu tres punts més del pla. Trobeu un vector més que pertanyi al pla (a partir dels punts que heu trobat o bé a partir de combinació lineal de $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$).
  2031. \end{exercise}
  2032. \subsection{Equació general del pla}
  2033. El darrer tipus d'equació del pla és l'\term{equació general}\index{equació!general!del pla}. L'equació general té la forma
  2034. \begin{equation*}
  2035. \pi \equiv Ax+By+Cz+D=0,
  2036. \end{equation*}
  2037. on $A$, $B$, $C$ i $D$ són nombres qualssevol. Per trobar l'equació general d'un pla $\pi$ determinat pels vectors $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ i $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ i que passa pel punt $P = (a, b, c)$, es pot emprar la fórmula següent (\autoref{eq:equacio-general-pla}):
  2038. \begin{equation}\label{eq:equacio-general-pla}
  2039. \left\vert
  2040. \begin{array}{rrr}
  2041. x-a & u_1 & v_1 \\
  2042. y-b & u_2 & v_2 \\
  2043. z-c & u_3 & v_3%
  2044. \end{array}%
  2045. \right\vert =0,
  2046. \end{equation}%
  2047. \begin{example}
  2048. Seguint amb el pla de l'exemple anterior (\autoref{exemple-equacions-parametriques-pla}), tenim que tots els seus punts compleixen l'equació
  2049. \begin{equation*}
  2050. \pi \equiv \left\vert
  2051. \begin{array}{rrr}
  2052. x-2 & 0 & 2 \\
  2053. y-0 & 3 & 5 \\
  2054. z-\left( -3\right) & -1 & 0%
  2055. \end{array}%
  2056. \right\vert =0
  2057. \end{equation*}%
  2058. Calculant el determinant,%
  2059. \begin{equation*}
  2060. \pi \equiv -2y-6\left( z+3\right) +5\left( x-2\right) =0,
  2061. \end{equation*}%
  2062. és a dir,%
  2063. \begin{equation*}
  2064. \pi \equiv 5x-2y-6z-28=0
  2065. \end{equation*}
  2066. \end{example}
  2067. \begin{exercise}Trobeu l'equació general del plans:
  2068. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2069. \item El pla $\pi_1$ que té com a vectors directors $\overrightarrow{(3,-2,3)}$ i $\overrightarrow{(1,1,1)}$ i passa pel punt $(2,2,4)$
  2070. \item El pla $\pi_2$ que passa pel punt $(0,1,-2)$ i és paral·lel als vectors $\vec{u} = (0,2,4)$ i $\vec{v}=(4,4,2)$
  2071. \item El pla que té vectors directors $\vec{u}(1,0,0)$ i $\vec{v}(0,0,1)$ i passa per $(0,2,2)$.
  2072. \end{enumerate}
  2073. \end{exercise}
  2074. \subsubsection{Pas de l'equació general a la paramètrica}
  2075. Notem que, si tenim un pla $\pi$ expressat mitjançant una equació paramètrica, aleshores és relativament senzill expressar $\pi$ mitjançant l'equació general. El motiu és que en l'equació paramètrica del pla tenim els vectors directors i un punt de $\pi$. Per tant, simplement aplicarem la fórmula \autoref{eq:equacio-general-pla}.
  2076. \begin{example}Suposem que $\pi$ té l'equació paramètrica:
  2077. \begin{equation*}
  2078. \pi \equiv \left\{
  2079. \begin{array}{l}
  2080. x=1+\mu \\
  2081. y=-\lambda -2\mu \\
  2082. z=-2-\lambda%
  2083. \end{array}%
  2084. \right.
  2085. \end{equation*}
  2086. Volem expressar $\pi$ amb l'equació general.
  2087. Llavors de l'equació paramètrica, tenim que $\pi$ té com a vectors directors $\vec{u}(0,1,-1)$ i $\vec{v}(1,-2,0)$ i que passa pel punt $P(1,0,-2)$. Per tant, aplicant la fórmula de l'equació general (\autoref{eq:equacio-general-pla}) tenim que:
  2088. \begin{equation*}
  2089. \pi \equiv \left\vert
  2090. \begin{array}{rrr}
  2091. x-1 & 0 & 1 \\
  2092. y & 1 & -2 \\
  2093. z+2 & -1 & 0%
  2094. \end{array}%
  2095. \right\vert =0,
  2096. \end{equation*}%
  2097. és a dir,
  2098. \begin{equation*}
  2099. \pi \equiv -2x -y -z = 0
  2100. \end{equation*}
  2101. \end{example}
  2102. Si volem fer le procés invers, és a dir, passar de l'equació general a l'equació paramètrica, llavors el procés és més llarg, ja que no {\em veiem} els vectors directors ni els punts per on passa $\pi$ de l'equació general. Donat $\pi \equiv Ax + By + Cz + D =0$ un pla qualsevol, si volem trobar la seva equació paramètrica el que hauríem de fer seria:
  2103. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2104. \item Trobar tres punts del pla $P$, $Q$ i $R$
  2105. \item Amb aquests punts trobar dos vectors del pla: per exemple $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{PR}$.
  2106. \item Calcular l'equació paramètric amb els vectors anteriors i un punt del pla (per exemple $P$).
  2107. \end{enumerate}
  2108. \begin{example}Suposem que tenim el pla $\pi \colon 2x-5y -z +3 = 0$ i volem trobar la seva equació paramètrica.
  2109. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2110. \item Trobem tres punts de $\pi$:
  2111. \begin{itemize}
  2112. \item Si prenem $y=0$ i $z=1$, tenim que $x=-1$. Per tant, el punt $P(-1,0,1)$ pertany a $\pi$
  2113. \item Si prenem $x=0$ i $y=0$, tenim que $z = 3$. Per tant, el punt $Q(0,0,3)$ pertany a $\pi$
  2114. \item Si prenem $x=5$ i $z=3$, tenim que $y=2$. Per tant, $R(5,2,3) \in \pi$
  2115. \end{itemize}
  2116. \item Trobem dos vectors que pertanyen a $\pi$:
  2117. \begin{itemize}
  2118. \item $\vec{u} = (1,0,2)$ prenent $P$ i $Q$ com a extrems
  2119. \item $\vec{v} = (6,2,2)$ prenent $P$ i $R$ com a extrems. En comptes de $\vec{v}$ prenem $\vec{w}(3,1,1)$ com a vector director de $\pi$, ja que té nombres menors (si $\vec{v}$ pertany a $\pi$, aleshores $\vec{w}$ també hi pertany, ja que són proporcionals)
  2120. \end{itemize}
  2121. \item Calculem l'equació general de $\pi$ (prenent $Q$ com a punt de $\pi$):
  2122. \begin{equation*}
  2123. \pi \equiv \left\vert
  2124. \begin{array}{ccc}
  2125. x & 1 & 3 \\
  2126. y & 0 & 1 \\
  2127. z-3 & 2 & 1%
  2128. \end{array}%
  2129. \right\vert =0,
  2130. \end{equation*}%
  2131. és a dir, $\pi \equiv -2x + 5y +z -3 =0$.
  2132. \end{enumerate}
  2133. \end{example}
  2134. \subsubsection{Vector normal al pla a partir de l'equació general}\label{sec:subsubseccio:vector-normal-dun-pla}
  2135. Donat un pla $\pi$, en aquesta secció trobarem un vector perpendicular a $\pi$ a partir de la seva equació general, el qual anomenarem \term{vector normal}\index{vector!normal!a un pla}.
  2136. \begin{definition}[vector normal d'un pla] Donat el pla $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$, definirem el seu \term{vector normal}, que denotarem habitualment per $\vec{n}_\pi$ (o simplement $\vec{n}$), com
  2137. \begin{equation*}
  2138. \vec{n} = (A, B, C)
  2139. \end{equation*}
  2140. \end{definition}
  2141. \begin{proposition}[perpendicularitat del vector normal]\label{proposicio-perpendicularitat-vector-normal} Donat un pla qualsevol $\pi$, $\vec{n}$ és perpendicular a $\pi$, és a dir, el vector normal sempre és perpendicular al seu pla (\autoref{fig:vector-normal-de-pla}).
  2142. \end{proposition}
  2143. \definecolor{qqttzz}{rgb}{0.,0.2,0.6}
  2144. \definecolor{qqttqq}{rgb}{0.,0.2,0.}
  2145. \definecolor{qqzzff}{rgb}{0.,0.6,1.}
  2146. \begin{figure}[h!]
  2147. \centering
  2148. % Generat amb Geogebra. De http://tube.geogebra.org/material/show/id/21240
  2149. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.44]
  2150. \fill[color=qqttqq,fill=qqttqq,fill opacity=0.25] (16.314369994233928,2.1735516098406857) -- (8.829139829711197,0.7802834311953475) -- (15.952096881232668,-4.784102422268202) -- (23.330354512532672,-2.8046265446364393) -- cycle;
  2151. \draw [color=qqzzff] (16.319127530674148,4.946870904020575)-- (16.309553188347557,-3.295520534200174);
  2152. \draw [color=qqzzff] (9.160829444220798,-7.088913975103355)-- (16.309553188347557,-3.295520534200174);
  2153. \draw [color=qqzzff] (16.309553188347557,-3.295520534200174)-- (23.171986395382174,-7.266980322667587);
  2154. \draw [color=qqttqq] (16.314369994233928,2.1735516098406857)-- (8.829139829711197,0.7802834311953475);
  2155. \draw [color=qqttqq] (8.829139829711197,0.7802834311953475)-- (15.952096881232668,-4.784102422268202);
  2156. \draw [color=qqttqq] (15.952096881232668,-4.784102422268202)-- (23.330354512532672,-2.8046265446364393);
  2157. \draw [color=qqttqq] (23.330354512532672,-2.8046265446364393)-- (16.314369994233928,2.1735516098406857);
  2158. \draw [->,line width=2.8pt,color=qqttzz] (16.14782106613868,-0.8919428656307156) -- (17.130804935635858,2.539692755216607);
  2159. \draw (22.219830619680312,-6.819780943114806) node[anchor=north west] {$x$};
  2160. \draw (8.709421440136298,-7.04495442944054) node[anchor=north west] {$y$};
  2161. \draw (15.070572428838272,6.127694520614853) node[anchor=north west] {$z$};
  2162. \draw (8.371661210647698,0.7235308487972565) node[anchor=north west] {$\pi$};
  2163. \draw (18.33558798056141,2.7500922257288556) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{n}$};
  2164. \end{tikzpicture}
  2165. \caption{Vector normal a un pla}
  2166. \label{fig:vector-normal-de-pla}
  2167. \end{figure}
  2168. \begin{example}Un vector perpendicular al pla $\pi \colon 5x-2y-6z-28 = 0$ és el vector $\vec{n}\left( 5,-2,-6\right) $.
  2169. \end{example}
  2170. \begin{exercise}Trobeu el vector normal al pla $x-5y+8z+4=0$.
  2171. \end{exercise}
  2172. L'aplicació inversa del vector normal d'un pla és trobar un pla que és perpendicular a un vector donat. És a dir, donat $\vec{u}$ un vector, trobar un pla $\pi$ tal que $\pi$ és perpendicular a $\vec{u}$. Sabem que un pla perpendicular a $\vec{u}$ serà aquell que tengui $\vec{u}$ com al seu vector normal. Tot seguit, veurem un exemple.
  2173. \begin{example}Volem trobar un pla $\pi$ perpendicular al vector $\overrightarrow{v}\left(3,-1,7\right)$ i que passi pel punt $A(2,-4,0)$.
  2174. Un pla perpendicular al vector $\overrightarrow{v}\left( 3,-1,7\right)$, és aquell que té l'equació general de la forma%
  2175. \begin{equation*}
  2176. \pi \equiv 3x-y+7z+D=0,
  2177. \end{equation*}%
  2178. ja que tendria $\vec{u}$ com al seu vector normal (vegi's \autoref{proposicio-perpendicularitat-vector-normal}).
  2179. D'altra banda, sabem que el punt $A$ és de $\pi$, per tant, compleix les equacions del pla. Llavors:
  2180. \begin{equation*}
  2181. 3\cdot 2-(-4)+7\cdot 0+D=0
  2182. \end{equation*}%
  2183. D'aquí es té que $D=-10$, i l'equació del pla és%
  2184. \begin{equation*}
  2185. \pi \equiv 3x-y+7z-10=0
  2186. \end{equation*}
  2187. \end{example}
  2188. \begin{claim}Hem vist abans una fórmula per a calcular el vector director d'una recta a partir de les seves equacions implícites (\autoref{prop:v-d-a-partir-eq-implicita-3d}). És el moment de justificar aquest resultat amb l'ús dels vectors normals: notem que si $r$ és una recta donada per les seves equacions implícites
  2189. \begin{equation*}
  2190. \left\{
  2191. \begin{aligned}
  2192. Ax+By+Cz+D & = 0 \\
  2193. A^{\prime}x+B^{\prime}y+C^{\prime}z+D^{\prime} & = 0%
  2194. \end{aligned}%
  2195. \right.,
  2196. \end{equation*}%
  2197. amb $A$, $B$, $C$, $D$, $A'$, $B'$, $C'$ i $D' \in \mathbb{R}$, aleshores el seu vector director $\overrightarrow{v_r}$ és el vector ortogonal als vectors normals dels plans que defineixen la recta $r$.
  2198. És a dir, podem veure la recta $r$ com la intersecció de dos plans $\pi$ i $\rho$ d'equacions $\pi \colon Ax+By+Cz + D = 0$ i $\rho \colon A'x+B'y+C'z + D' = 0$. En aquest sentit, $\overrightarrow{v_r}$ tendrà la mateixa direcció que $\overrightarrow{n_\pi} \wedge \overrightarrow{n_\rho}$, on $\overrightarrow{n_\pi}$ i $\overrightarrow{n_\rho}$ són els vectors normals dels plans $\pi$ i $\rho$ respectivament (\autoref{fig:repr-vector-director-a-partir-plans}).
  2199. \begin{figure}[h!]
  2200. \centering
  2201. % Generat amb TikZ
  2202. % De http://tex.stackexchange.com/a/20009/61233
  2203. \begin{tikzpicture}[x={(240:0.8cm)}, y={(-10:1cm)}, z={(0,1cm)},
  2204. plane max z=3]
  2205. %\draw[->, red] (0,0,0) -- (3,0,0);
  2206. %\draw[->, yellow] (0,0,0) -- (0,3,0);
  2207. %\draw[->, green] (0,0,0) -- (0,0,3);
  2208. % Plane of equation 1x+1.5y+0z = 2
  2209. \definePlaneByEquation{myplane}{1}{1.5}{0}{2}
  2210. \drawPlane[thick,fill=blue]{myplane}
  2211. % Plane of equation -4z = 0
  2212. % It is determined by the four points:
  2213. % (2,0,0), (0,4/3,0), (a,4/3+1.5a,0), (2+a,1.5a,0)
  2214. % a \in \mathbb{R}
  2215. %\definePlaneByEquation{myplane2}{0}{0}{-4}{0}
  2216. %\drawPlane[thick,fill=green]{myplane2}
  2217. \filldraw[color=green!80,thick,draw=black] (2,0,0) -- (0,1.3333333,0)--(1,2.8333333,0) -- (3,1.5,0) -- cycle;
  2218. % Intersection line
  2219. \draw[ultra thick] (2.75,-0.5,0) -- (-1,2,0);
  2220. \draw (-1,2,0) node[anchor=south] {$r$};
  2221. % Normal vectors: (-4,-6,0) and (0,0,-4)
  2222. %% Medium point of (2,0,0) and (1,4/6,0)
  2223. %\draw (1,0.66666,0) circle (2pt);
  2224. %% + (0.5, 0.5,0);
  2225. %\draw (1.5,1.16666,0) circle (2pt);
  2226. %% Plus normal director (0,0,4)
  2227. \draw[->,thick] (1.5,1.16666,0) -- (1.5,1.16666,1);
  2228. %% Name of the normal vector
  2229. \draw (1.5,1.16666,0.5) node[anchor=west] {$n_\pi$};
  2230. %% The name of the plane
  2231. \draw (0.5,2.08333333,0) node[anchor=west] {$\pi$};
  2232. %% Medium point of (2,0,0) and (1,4/6,0) elevated +2
  2233. %\draw (1.5,1.166666,2) circle (2pt);
  2234. %% Plus normal director 1.2*(1,1.5,0)
  2235. \draw[->,thick] (1.5,1.166666,2) -- (2.2,2.133333,2);
  2236. %% Name of the normal vector
  2237. \draw (1.85,1.649999,2) node[anchor=east] {$n_\rho$};
  2238. %% The name of the plane 2
  2239. \draw (2,0,2) node[anchor=east] {$\rho$};
  2240. \end{tikzpicture}
  2241. \caption{Vector director d'una recta com a producte vectorial dels vectors normals dels plans que la defineixen}
  2242. \label{fig:repr-vector-director-a-partir-plans}
  2243. \end{figure}
  2244. \end{claim}
  2245. \subsection{Plans paral·lels}
  2246. Donat un pla $\pi_0$, un pla \term{paral·lel} $\pi_1$ és un pla tal que té els {\em mateixos} vectors directors\footnote{Realment, no tenen perquè ser els mateixos vectors directors. En general, dos plans són paral·lels quan els vectors directors de primer són combinació lineal dels vectors directors de segon i inversament. Ara bé, sempre podríem triar els mateixos vectors directors per als dos plans.} i passa per un punt que no pertany a $\pi_0$ (en el cas que passàs per un punt de $\pi_0$, els plans serien \term{coincidents}\index{plans!coincidents}, és a dir, el mateix; vegi's \autoref{seccio:posicio-relativa-plans-i-rectes}). Per tant, podem trobar les equacions paramètriques o generals de $\pi_1$, segons convengui, amb la informació proporcionada.
  2247. \begin{example}Trobeu l'equació del pla paral·lel a $\pi :3x-y+z-8=0$
  2248. que passa pel punt $A(-2,-2,6)$.
  2249. Si el pla que cercam és papal·lel al pla $\pi$, ambdós tendran el mateix vector normal. Per tant, la seva equació serà de la forma
  2250. \begin{equation*}
  2251. 3x-y+z+D=0,
  2252. \end{equation*}
  2253. amb $D$ un nombre. Com que el pla que volem trobar passa pel punt $A$, llavors $A$ complirà l'equació del pla anterior:%
  2254. \begin{equation*}
  2255. 3\cdot (-2)-(-2)+6+D=0;
  2256. \end{equation*}%
  2257. Per tant, $D=-2$. Llavors el pla que cercam és $3x-y+z-2=0$.
  2258. \end{example}
  2259. \begin{exercise}Trobeu l'equació del pla que passa pel punt $A(5,-1,0)$ i és paral·lel al pla $-x+3y-8=0$.
  2260. \end{exercise}
  2261. \section{Posició relativa entre rectes i plans}\label{seccio:posicio-relativa-plans-i-rectes}
  2262. \subsection{Posició relativa entre dues rectes}
  2263. Podem suposar que tenim dues rectes $r$ i $s$ i que d'aquestes coneixem els seus vectors directors i un punt pel qual passen. Aquestes dades són bones d'obtenir si les rectes estan en forma de l'equació vectorial, paramètrica o contínua. Si alguna de les rectes es dóna en forma implícita, podem passar-la a forma paramètrica (\autoref{subseccio:pas-de-implica-a-parametrica-js}) o bé trobar el seu vector director i un punt usant el producte vectorial (\autoref{subseccio:vector-director-equacio-implicita}).
  2264. Per tant, suposarem que $r$ té com vector director $\vec{v}$ i passa per $A$, mentre que $s$ té com a vector director $\vec{w}$ i passa per $B$.
  2265. \begin{itemize}
  2266. \item Si $rg(\vec{u}, \vec{w}) = 1$, aleshores $\vec{u}$ i $\vec{w}$ són linealment dependents. Per tant, tenen la mateixa direcció. Llavors $r$ i $s$ poden ser \term{coincidents}\index{rectes!coincidents} (si tenen una infinitat de punts en comú) o \term{paral·leles}\index{rectes!paral·leles} (si no tenen cap punt en comú).
  2267. \begin{itemize}
  2268. \item Si són coincidents, llavors el vector $\overrightarrow{AB}$ té la mateixa direcció que $\vec{u}$ i $\vec{w}$, és a dir, $rg (\vec{u}, \vec{w}, \overrightarrow{AB}) = 1$.
  2269. \item Si són paral·leles, llavors el vector $\overrightarrow{AB}$ no té la mateixa direcció que $\vec{u}$ i $\vec{w}$ i, per tant, $rg (\vec{u}, \vec{w}, \overrightarrow{AB}) = 2$.
  2270. \end{itemize}
  2271. \item Si $rg(\vec{u}, \vec{w}) = 2$, llavors $\vec{u}$ i $\vec{w}$ són linealment independents, Per tant, tenen diferent direcció. Llavors les rectes poden ser \term{secants}\index{rectes!secants} (es tallen en un punt) o bé es \term{creuen}\index{rectes!que es creuen} (no tenen cap punt en comú)
  2272. Raonant de manera anàloga al cas anterior,
  2273. \begin{itemize}
  2274. \item Si són secants, llavors $rg (\vec{u}, \vec{w}, \overrightarrow{AB}) = 2$.
  2275. \item Si es creuen, llavors $rg (\vec{u}, \vec{w}, \overrightarrow{AB}) = 3$.
  2276. \end{itemize}
  2277. \end{itemize}
  2278. Tot això queda reflexat en les proposicions següents:
  2279. \begin{proposition}[posició relativa de dues rectes usant proporcionalitat de vectors] Donades dues rectes $r$ i $s$ amb vectors directors $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$ i $\vec{w}=(w_1, w_2, w_3)$ i que passen pels punts $A=(a_1, a_2, a_3)$ i $B = (b_1, b_2, b_3)$ respectivament, tenim que la seva posició relativa es pot determinar amb l'arbre de decisió següent:
  2280. \begin{itemize}
  2281. \item Si $\vec{u}$ és proporcional a $\vec{w}$ (vegeu \autoref{resultat:proposicio-parallelisme-vectors}), aleshores les rectes poden ser coincidents o paral·leles.
  2282. \begin{itemize}
  2283. \item Si $\overrightarrow{AB}$ és proporcional a $\vec{u}$ (i per tant a $\vec{w}$), llavors $r$ i $s$ són coincidents
  2284. \item Si $\overrightarrow{AB}$ no és proporcional a $\vec{u}$ (i per tant tampoc a $\vec{w}$), llavors $r$ i $s$ són paral·leles
  2285. \end{itemize}
  2286. \item Sinó, llavors les rectes són secants o bé es creuen.
  2287. \begin{itemize}
  2288. \item Si $\overrightarrow{AB}$ és propocional a $\vec{u}$, llavors $r$ i $s$ són secants
  2289. \item Sinó, si $\overrightarrow{AB}$ és proporcional a $\vec{w}$, llavors $r$ i $s$ són secants
  2290. \item Si $\overrightarrow{AB}$ no és proporcional ni a $\vec{u}$ ni a $\vec{w}$, llavors $r$ i $s$ es creuen
  2291. \end{itemize}
  2292. \end{itemize}
  2293. \end{proposition}
  2294. \begin{proposition}[posició relativa de dues rectes usant matrius] Donades dues rectes $r$ i $s$ amb vectors directors $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$ i $\vec{w}=(w_1, w_2, w_3)$ i que passen pels punts $A=(a_1, a_2, a_3)$ i $B = (b_1, b_2, b_3)$ respectivament, tenim que la seva posició relativa ve donada pels rangs següents:
  2295. \begin{itemize}
  2296. \item $rg \left(
  2297. \begin{array}{rr}
  2298. u_1 & w_1 \\
  2299. u_2 & w_2 \\
  2300. u_3 & w_3 %
  2301. \end{array}%
  2302. \right) =1$ i $rg \left(
  2303. \begin{array}{rrr}
  2304. u_1 & w_1 & b_1 -a_1\\
  2305. u_2 & w_2 & b_2 -a_2\\
  2306. u_3 & w_3 & b_3 -a_3%
  2307. \end{array}%
  2308. \right) =1$, $r$ i $s$ són coincidents
  2309. \item $rg \left(
  2310. \begin{array}{rr}
  2311. u_1 & w_1 \\
  2312. u_2 & w_2 \\
  2313. u_3 & w_3 %
  2314. \end{array}%
  2315. \right) =1$ i $rg \left(
  2316. \begin{array}{rrr}
  2317. u_1 & w_1 & b_1 -a_1\\
  2318. u_2 & w_2 & b_2 -a_2\\
  2319. u_3 & w_3 & b_3 -a_3%
  2320. \end{array}%
  2321. \right) =2$, $r$ i $s$ són paral·leles
  2322. \item $rg \left(
  2323. \begin{array}{rr}
  2324. u_1 & w_1 \\
  2325. u_2 & w_2 \\
  2326. u_3 & w_3 %
  2327. \end{array}%
  2328. \right) =2$ i $rg \left(
  2329. \begin{array}{rrr}
  2330. u_1 & w_1 & b_1 -a_1\\
  2331. u_2 & w_2 & b_2 -a_2\\
  2332. u_3 & w_3 & b_3 -a_3%
  2333. \end{array}%
  2334. \right) =2$, $r$ i $s$ es tallen
  2335. \item $rg \left(
  2336. \begin{array}{rr}
  2337. u_1 & w_1 \\
  2338. u_2 & w_2 \\
  2339. u_3 & w_3 %
  2340. \end{array}%
  2341. \right) =2$ i $rg \left(
  2342. \begin{array}{rrr}
  2343. u_1 & w_1 & b_1 -a_1\\
  2344. u_2 & w_2 & b_2 -a_2\\
  2345. u_3 & w_3 & b_3 -a_3%
  2346. \end{array}%
  2347. \right) =3$, $r$ i $s$ es creuen
  2348. \end{itemize}
  2349. \end{proposition}
  2350. \begin{exercise}Determineu la posició relativa d'aquestes rectes:
  2351. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2352. \item $r \colon \left\{
  2353. \begin{array}{l}
  2354. x = \lambda \\
  2355. y = -5 + \lambda \\
  2356. z = 3 + \lambda
  2357. \end{array}%
  2358. \right.$ i $s \colon \frac{x-3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z+2}{2}$
  2359. \item $r \colon \left\{
  2360. \begin{array}{l}
  2361. x = 2 + \lambda \\
  2362. y = 1 + \lambda \\
  2363. z = -1 - 3\lambda
  2364. \end{array}%
  2365. \right.$ i $s \colon \frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+1}{5}$
  2366. \item $r \colon x = y-1 = \frac{z+2}{3}$ i $s \colon \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+4}{6}$
  2367. \item $r \colon \left\{
  2368. \begin{array}{l}
  2369. x = 2 + \lambda \\
  2370. y = 1 + \lambda \\
  2371. z = -1 - 3\lambda
  2372. \end{array}%
  2373. \right.$ i $s \colon \left\{
  2374. \begin{array}{r}
  2375. 2x + 3y + 4z = 1\\
  2376. x -2y + z = 10
  2377. \end{array}%
  2378. \right.$
  2379. \item $r \colon \left\{
  2380. \begin{array}{r}
  2381. -y - z = 3\\
  2382. 2x -z = -1
  2383. \end{array}%
  2384. \right.$ i $s \colon \left\{
  2385. \begin{array}{r}
  2386. -y + z = 0\\
  2387. x -3y + z = 1
  2388. \end{array}%
  2389. \right.$
  2390. \end{enumerate}
  2391. \end{exercise}
  2392. \subsection{Posició relativa d'una recta i un pla}
  2393. Per a determinar la posició relativa entre un pla i una recta tenim dues opcions: estudiar la posició a partir de les equacions implícita de pla i recta o bé estudiar-la a partir de les posicions relatives entre el vector normal del pla i el vector director de la recta. Els dos estudis es resumeixen a les proposicions següents.
  2394. \begin{proposition}[posició relativa entre pla i recta (versió eq. implítica)] Siguin $\pi \equiv A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ i $r \equiv \left\{
  2395. \begin{array}{r}
  2396. A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\\
  2397. A_3x + B_3y + C_3z + D_3= 0
  2398. \end{array}%
  2399. \right.$ un pla i una recta de l'espai qualssevol. Podem construir les matrius de $A$ i $M$:
  2400. \begin{equation*}
  2401. A = \left( \begin{array}{rrr}
  2402. A_1 & B_1 & C_1 \\
  2403. A_2 & B_2 & C_2 \\
  2404. A_3 & B_3 & C_3%
  2405. \end{array}%
  2406. \right) \quad M = \left( \begin{array}{rrrr}
  2407. A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \\
  2408. A_2 & B_2 & C_2 & D_2\\
  2409. A_3 & B_3 & C_3 & D_3%
  2410. \end{array}%
  2411. \right)
  2412. \end{equation*}
  2413. Aleshores:
  2414. \begin{itemize}
  2415. \item Si $rg A = 3$ i $rg M = 3$, llavors el sistema és compatible determinat. Per tant, la recta talla al pla
  2416. \item Si $rg A = 2$ i $rg M = 2$, llavors el sistema és compatible indeterminat. Per tant, la recta està continguda en el pla
  2417. \item Si $rg A = 2$ i $rg M = 3$, llavors el sistema és incompatible. Per tant, la recta i el pla són paral·lels
  2418. \end{itemize}
  2419. \end{proposition}
  2420. \begin{proposition}[posició relativa entre pla i recta (versió vector normal)] Siguin $\pi$ un pla i $r$ una recta del pla. I sigui $\vec{v}$ el vector director de $r$ i $A$ un punt de la recta. Aleshores:
  2421. \begin{itemize}
  2422. \item Si $\vec{v}$ és perpendicular al vector normal del pla $\vec{n}$ i $A \in \pi$, llavors $r$ està continguda a $\pi$
  2423. \item Si $\vec{v}$ és perpendicular al vector normal del pla $\vec{n}$ però $A \not \in \pi$, llavors $r$ és paral·lela a $\pi$
  2424. \item Si $\vec{v}$ no és perpendicular a $\vec{n}$, llavors la recta i el pla es tallen
  2425. \end{itemize}
  2426. \end{proposition}
  2427. \begin{example}Determineu la posició relativa de $r \colon \left\{
  2428. \begin{array}{r}
  2429. 2x + y + 2= 0\\
  2430. 2x - z + 1= 0
  2431. \end{array}%
  2432. \right.$ i $\pi \colon x + y -z + 3 = 0$.
  2433. \begin{itemize}
  2434. \item Primer trobam les matrius de coeficients i ampliada:
  2435. \begin{equation*}
  2436. A = \left( \begin{array}{rrr}
  2437. 2 & 1 & 0 \\
  2438. 2 & 0 & -1 \\
  2439. 1 & 1 & -1%
  2440. \end{array}%
  2441. \right) \quad M = \left( \begin{array}{rrrr}
  2442. 2 & 1 & 0 & 2 \\
  2443. 2 & 0 & -1 & 1\\
  2444. 1 & 1 & -1 & 3%
  2445. \end{array}%
  2446. \right)
  2447. \end{equation*}
  2448. \item Calculem el rang de cada matriu. Després d'alguns càlculs tenim que $rg A = 3$ i $rg M = 3$. Per tant, el sistema és compatible determinat i, per tant, el pla i la recta són secants.
  2449. \end{itemize}
  2450. \end{example}
  2451. \begin{example}Siguin $r \equiv \frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{9} = \frac{z}{6}$ i $\pi \colon 2x-4y+5z = 0$. Determineu la seva posició relativa.
  2452. \begin{itemize}
  2453. \item Tenim que el vector director de $r$, $\vec{v}(3,9,6)$, i el vector normal del pla, $\vec{n}(2,-4,5)$, són perpendiculars: $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$. Per tant, la regla pot ser continguda al pla o bé paral·lela.
  2454. \item Per discriminar, vegem si el pla conté o no un punt de la recta: sabem que $A(1,2,0) \in r$. Però si substituïm a les equacions de $\pi$, tenim que: $2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 0 = -6 \neq 0$. Per tant, $r$ és paral·lela a $\pi$.
  2455. \end{itemize}
  2456. \end{example}
  2457. \begin{exercise}Determineu les posicions relatives entre aquests plans i aquestes rectes:
  2458. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2459. % Javier Sánchez
  2460. \item $r \colon \left\{
  2461. \begin{array}{r}
  2462. 5x -3y + 2z -5= 0\\
  2463. 2x -y - z - 1= 0
  2464. \end{array}%
  2465. \right.$ i $\pi \equiv 4x-3y+7z-7=0$
  2466. \item $r \colon \left\{
  2467. \begin{array}{r}
  2468. x +y - z +2= 0\\
  2469. -x +3y - z + 1= 0
  2470. \end{array}%
  2471. \right.$ i $\pi \equiv x+z+1=0$
  2472. \item $r \colon x = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-1}$ i $\pi \equiv 2x-5y+3z+3=0$
  2473. \item $r \colon \left\{
  2474. \begin{array}{r}
  2475. 2x +y - 2z +2= 0\\
  2476. -x +3y - z + 1= 0
  2477. \end{array}%
  2478. \right.$ i $\pi \equiv x+4y-3z+3=0$
  2479. \end{enumerate}
  2480. \end{exercise}
  2481. \begin{exercise}Trobeu el valor de $\alpha$ per a què la recta $r \equiv \frac{x-1}{6} = \frac{y-2}{\alpha} = \frac{z}{12}$ no talli al pla $\pi \colon 2x-4y+5z = 0$.
  2482. \end{exercise}
  2483. \begin{exercise}Donats el pla $\pi \colon x+y+mz = 1$ i la recta $r \colon \frac{x}{-1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{3}$, discutiu quina és la posició relativa de $r$ i $\pi$ segons els valors de $m$.
  2484. \end{exercise}
  2485. \subsection{Posició relativa entre dos plans}
  2486. Finalment estudiarem la posició relativa entre dos plans. Suposarem que els plans sempre vénen donats mitjançant les seves equacions generals.
  2487. \begin{proposition}[posició relativa entre dos plans (versió rangs de matrius)] Siguin $\pi_1 \equiv A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ i $\pi_2 \equiv A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$ dos plans qualssevol. Considerem les matrius de coeficients i ampliada, $A$ i $M$ respectivament:
  2488. \begin{equation*}
  2489. A = \left( \begin{array}{rrr}
  2490. A_1 & B_1 & C_1 \\
  2491. A_2 & B_2 & C_2 %
  2492. \end{array}%
  2493. \right) \quad M = \left( \begin{array}{rrrr}
  2494. A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \\
  2495. A_2 & B_2 & C_2 & D_2 %
  2496. \end{array}%
  2497. \right)
  2498. \end{equation*}
  2499. Llavors:
  2500. \begin{itemize}
  2501. \item Si $rg A = 2$, llavors $rg M = 2$ i, per tant, el sistema és compatible simplement indeterminat (2 equacions i 3 incògnites). Això significa que els plans es tallen
  2502. \item Si $rg A = 1$:
  2503. \begin{itemize}
  2504. \item Si $rg M = 2$, llavors el sistema és incompatible. Per tant, no tenen punts en comú. Llavors els plans són paral·lels
  2505. \item Si $rg M = 1$, llavors el sistema és compatible doblement indeterminat (1 equació i 3 incògnites). Això significa que els plans són coincidents.
  2506. \end{itemize}
  2507. \end{itemize}
  2508. \end{proposition}
  2509. Disposem d'una proposició que estudia la posició relativa a partir de la proporcionalitat dels seus vectors normals.
  2510. \begin{proposition}[posició relativa entre dos plans (versió vectors normals)] Siguin $\pi_1 \equiv A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ i $\pi_2 \equiv A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$ dos plans qualssevol. Considerem $\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)$ i $\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)$ els seus vectors normals.
  2511. \begin{itemize}
  2512. \item Si $\vec{n}_1$ és proporcional a $\vec{n}_2$, llavors els plans són o bé coincidents o bé paral·lels.
  2513. Com que aquests vectors són proporcionals, llavors $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ és igual a un nombre. Diguem-li $R$.
  2514. \begin{itemize}
  2515. \item Si $\frac{D_1}{D_2} = R$, llavors $\pi_1$ és coincident amb $\pi_2$
  2516. \item Sinó, $\pi_1$ és paral·lel a $\pi_2$
  2517. \end{itemize}
  2518. \item En cas contrari, els plans es tallen
  2519. \end{itemize}
  2520. \end{proposition}
  2521. \begin{exercise} Determineu la posició relativa dels plans següents:
  2522. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2523. \item $\pi_1 = 3x-2y +4z = 2$ i $\pi_2 = 2x+3y-5z = -8$
  2524. \item $\pi_1 = -x+2y -z = 0$ i $\pi_2 = x-2y+z = 0$
  2525. \item $\pi_1 = x-z = -11$ i $\pi_2 = -2y-z = -11$
  2526. \item $\pi_1 = 3x-2y +4z = 2$ i $\pi_2 = \left\{
  2527. \begin{array}{l}
  2528. x = 1 - \lambda + \mu\\
  2529. y = \lambda + 2\mu\\
  2530. z = -1 + \mu %
  2531. \end{array}%
  2532. \right.$
  2533. \end{enumerate}
  2534. \end{exercise}
  2535. \section{Càlcul de la intersecció entre rectes i plans}
  2536. En aquesta secció calcularem la intersecció entre rectes, plans i rectes i plans. No determinarem abans la seva posició relativa. Calcularem els punts (o rectes) d'intersecció {\em a pèl}.
  2537. \subsection{Intersecció entre dos plans}
  2538. \begin{example}Trobeu l'equació de la recta determinada per la intersecció dels plans $\pi_{1}\colon x-2y+z+3=0$ i $\pi_{2} \colon 2x-y+z-4=0$.
  2539. La recta que cercam (veure (\autoref{subseccio:equacio-implicita-recta}) és%
  2540. \begin{equation*}
  2541. r:\left\{
  2542. \begin{array}{c}
  2543. x-2y+z+3=0 \\
  2544. 2x-y+z-4=0%
  2545. \end{array}%
  2546. \right. ,
  2547. \end{equation*}%
  2548. que, com es veu, ve definida per la intersecció de dos plans (si volem
  2549. es pot passar a la forma paramètrica (\autoref{subseccio:pas-de-implica-a-parametrica-js}).
  2550. \end{example}
  2551. \begin{exercise}Trobeu la intersecció entre els plans següents:
  2552. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2553. \item $\pi_1 \colon x + 3y + z - 5=0$ i $\pi_2 \colon x - 2z - 2 =0$
  2554. \item $\pi_1 \colon x + 2y + 3z - 5=0$ i $\pi_2 \colon x + 2y - 3z -2 = 0$
  2555. \item $\pi_1 \colon 2x + y + 5z =0$ i $\pi_2 \colon y - 2z - 10 = 0$
  2556. \item $\pi_1 \colon 2x + 4y + 8z - 10=0$ i $\pi_2 \colon 2x + 4y -8z - 10 = 0$
  2557. \end{enumerate}
  2558. \end{exercise}
  2559. \subsection{Intersecció entre dues rectes}
  2560. \begin{example}Calculeu el punt d'intersecció entre les rectes $r \colon \left\{ x-2y+z+3=0,\right.$ $\left. 2x-y+z-4=0 \right\}$ i $s \colon \left\{ 2x-2y+3z-19=0, x-y+z-4=0\right\}$.
  2561. Una de les maneres de trobar el punt d'intersecció entre ambdues rectes és resoldre el sistema%
  2562. \begin{equation*}
  2563. \left.
  2564. \begin{array}{r}
  2565. x-2y+z+3=0 \\
  2566. 2x-y+z-4=0 \\
  2567. 2x-2y+3z-19=0 \\
  2568. x-y+z-4=0%
  2569. \end{array}%
  2570. \right\} .
  2571. \end{equation*}%
  2572. Com es veu, resoldre'l pels mètodes habituals pot ser bastant engorrós (només els utilitzarem quan el sistema presenti un aspecte senzill). Per aquest motiu, passarem una de les rectes a la seva forma paramètrica i substituirem les seves equacions a les equacions de l'altra recta.
  2573. \begin{itemize}
  2574. \item Passam en primer lloc la recta $r$ a la forma paramètrica:%
  2575. \begin{equation*}
  2576. r:\left\{
  2577. \begin{array}{l}
  2578. x=-\lambda \\
  2579. y=7+\lambda \\
  2580. z=11+3\lambda%
  2581. \end{array}%
  2582. \right.
  2583. \end{equation*}%
  2584. \item Substituïm ara aquestes expressions a les equacions de $s$, i ens queda el sistema%
  2585. \begin{equation*}
  2586. \left.
  2587. \begin{array}{r}
  2588. 2(-\lambda )-2(7+\lambda )+3(11+3\lambda )-19=0 \\
  2589. -\lambda -(7+\lambda )+(11+3\lambda )-4=0%
  2590. \end{array}%
  2591. \right\} ,
  2592. \end{equation*}%
  2593. la solució del qual és, per a cadascuna de les dues equacions, $\lambda=0$. Notem la importància de què la solució sigui la mateixa a les dues equacions. En cas contrari, el sistema seria incompatible i, per tant, no tendria solució.
  2594. \item Substituïm ara aquest valor de $\lambda$ a les equacions de la recta $r$ i en queda%
  2595. \begin{equation*}
  2596. r:\left\{
  2597. \begin{array}{l}
  2598. x=-0 \\
  2599. y=7+0 \\
  2600. z=11+3\text{$\cdot $}0%
  2601. \end{array}%
  2602. \right. =\left\{
  2603. \begin{array}{l}
  2604. x=0 \\
  2605. y=7 \\
  2606. z=11%
  2607. \end{array}%
  2608. \right.
  2609. \end{equation*}%
  2610. El punt d'intersecció és, aleshores, $A(0,7,11)$.
  2611. \end{itemize}
  2612. \end{example}
  2613. \begin{example}Calculeu el punt d'intersecció entre les rectes $r \colon \left\{ x-2y+z+3=0,\right.$ $\left. 2x-y+z-4=0\right\}$ i $s \colon \left\{ 2x-2y+3z=0, x-y+z-4=0\right\}$.
  2614. \begin{itemize}
  2615. \item Passam la recta $r$ a la forma paramètrica:%
  2616. \begin{equation*}
  2617. r:\left\{ x=-\lambda ,y=7+\lambda ,z=11+3\lambda \right\}
  2618. \end{equation*}%
  2619. \item Substituïm aquestes expressions a les equacions de $s$, i ens queda
  2620. el sistema%
  2621. \begin{equation*}
  2622. \left.
  2623. \begin{array}{r}
  2624. 2(-\lambda )-2(7+\lambda )+3(11+3\lambda )=0 \\
  2625. -\lambda -(7+\lambda )+(11+3\lambda )-4=0%
  2626. \end{array}%
  2627. \right\} ,
  2628. \end{equation*}%
  2629. la solució del qual és, per a la primera de les equacions, $\lambda
  2630. =19/5$, i $\lambda =0$ per a la segona. Per tant, el sistema no té solució, del que deduïm que les dues rectes no tenen punts en comú: o bé es creuen o bé són paral·leles. Per saber quina de les dues possibilitats és la bona, mirarem si els seus vectors directors són paral·lels o no:%
  2631. \begin{equation*}
  2632. \overrightarrow{d_{r}}=(-1,1,3), \quad\overrightarrow{d_{s}}=\left\vert
  2633. \begin{array}{rrr}
  2634. 2 & -2 & 3 \\
  2635. 1 & -1 & 1 \\
  2636. \overset{\rightarrow }{i} & \overset{\rightarrow }{j} & \overset{\rightarrow }{k}%
  2637. \end{array}%
  2638. \right\vert =\left(1,1,0\right)
  2639. \end{equation*}%
  2640. Aleshores:%
  2641. \begin{equation*}
  2642. \frac{-1}{1}\neq \frac{1}{1}\neq \frac{3}{0}\Rightarrow \overrightarrow{d_{r}}\text{ i }\overrightarrow{d_{s}}\text{ no són paral·lels}
  2643. \end{equation*}%
  2644. \item Per tant, com les rectes no s'intersequen i no tenen la mateixa direcció. Llavors es creuen.
  2645. \end{itemize}
  2646. \end{example}
  2647. \begin{exercise}Calculeu el punt d'intersecció entre aquestes rectes:
  2648. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2649. \item $r \colon \left\{x+2y + 3z +1 =0, x-y+z =0 \right\}$ i $s \colon \left\{2x+y+4z +1 =0, x-y+z + 3 =0 \right\}$
  2650. \item $r \colon \left\{ x-2y+z+3=0, 2x-y+z-4=0\right\}$ i $s \colon \left\{ 3x-3y+2z-1=0, x+y-7=0\right\}$
  2651. \item $s \colon \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-1}$ i $s \colon \left\{ 2x - 6y + z -1 = 0, x - z +3 = 0\right\}$
  2652. \end{enumerate}
  2653. \end{exercise}
  2654. \subsection{Punt d'intersecció entre una recta i un pla}
  2655. \begin{example}Calculeu el punt d'intersecció entre la recta%
  2656. \begin{equation*}
  2657. r \colon \left\{ x-2y+z+3=0, 2x-y+z-4=0\right\}
  2658. \end{equation*}%
  2659. i el pla $\pi :3x-y+2z-1=0$.
  2660. \begin{itemize}
  2661. \item El punt d'intersecció que cercam és la solució del sistema%
  2662. \begin{equation*}
  2663. \left.
  2664. \begin{array}{r}
  2665. x-2y+z+3=0 \\
  2666. 2x-y+z-4=0 \\
  2667. 3x-y+2z-1=0%
  2668. \end{array}%
  2669. \right\}
  2670. \end{equation*}%
  2671. Una altra manera de trobar-lo és resoldre el sistema passant la recta a la forma paramètrica en primer lloc; queda, aleshores:%
  2672. \begin{equation*}
  2673. \left.
  2674. \begin{array}{l}
  2675. x=-\lambda \\
  2676. y=7+\lambda \\
  2677. z=11+3\lambda \\
  2678. 3x-y+2z-1=0%
  2679. \end{array}%
  2680. \right\}
  2681. \end{equation*}%
  2682. \item Substituint:%
  2683. \begin{equation*}
  2684. 3(-\lambda )-(7+\lambda )+2(11+3\lambda )-1=0; \quad 2\lambda +14=0;\quad \lambda =-7
  2685. \end{equation*}%
  2686. Llavors el punt d'intersecció és
  2687. \begin{equation*}
  2688. \left.
  2689. \begin{array}{l}
  2690. x=-(-7)=7 \\
  2691. y=7+(-7)=0 \\
  2692. z=11+3(-7)=-10%
  2693. \end{array}%
  2694. \right\} =(7,0,-10)
  2695. \end{equation*}
  2696. \end{itemize}
  2697. \end{example}
  2698. \begin{exercise}Calculeu el punt d'intersecció entre les rectes i plans següents:
  2699. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2700. \item $r:\frac{x-3}{2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+2}{5}$ i $\pi \colon 3x-y+2z-1=0$
  2701. \item $r: \left\{x+2y+3z -1 = 0, y-z -3 = 0\right\}$ i $\pi \colon x-y+2z-1=0$
  2702. \item $r: \left\{x+2y+3z -1 = 0, y-z -3 = 0\right\}$ i $\pi \colon x+2y+3z+3=0$
  2703. \end{enumerate}
  2704. \end{exercise}
  2705. \section{Exercicis proposats}
  2706. \subsection{Vectors}
  2707. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-215}Quins dels vectors següents tenen la mateixa direcció?%
  2708. \begin{equation*}
  2709. \vec{a}\left( 1,-3,2\right) ,\quad \vec{b}\left( 2,0,1\right) ,\quad \vec{c}\left( -2,6,-4\right) ,\quad\vec{d}\left( 5,-15,10\right) ,\quad \vec{e}\left( 10,-30,5\right)
  2710. \end{equation*}
  2711. \end{exercise}
  2712. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-216}Donats els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left(2,0,1\right) $, calculeu:
  2713. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2714. \item $\vec{a}\cdot \vec{b}$
  2715. \item $\left\vert \vec{a}\right\vert$ i $\left\vert \vec{b}\right\vert$
  2716. \item l'angle que formen entre si $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$
  2717. \end{enumerate}
  2718. \end{exercise}
  2719. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-217}Donats $\vec{a}=\vec{i}+m\overrightarrow{j}+\vec{k}$ i $\vec{b}=-2 \overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+m\overrightarrow{k}$, calculeu $m$
  2720. per a què els vectors siguin:
  2721. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2722. \item paral·lels,
  2723. \item ortogonals.
  2724. \end{enumerate}
  2725. \end{exercise}
  2726. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-218}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\vec{a}\left(1,2,3\right)$ i $\vec{b}\left( 2,-2,1\right)$.
  2727. \end{exercise}
  2728. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-219}Calculeu $m$ per a què el vector $\vec{a}\left( 1,3,m\right)$ sigui ortogonal al vector $\vec{b}\left( 1,-2,3\right)$.
  2729. \end{exercise}
  2730. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-220}Calculeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left( 2,0,1\right)$.
  2731. \end{exercise}
  2732. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-221}Trobeu un vector perpendicular a $\vec{u}\left( 2,3,1\right)$ i a $\vec{v}\left( -1,3,0\right)$ i que sigui unitari.
  2733. \end{exercise}
  2734. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-222}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}(1,-1,0)$ i $\vec{v}(2,0,1)$ i el mòdul del qual sigui $\sqrt{24}$.
  2735. \end{exercise}
  2736. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-223}Calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \right] $, amb $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$, $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$.
  2737. \end{exercise}
  2738. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-224}Calculeu el volum del paral·lelepípede determinat pels vectors $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$ , $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$.
  2739. \end{exercise}
  2740. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-225}Calculeu el valor de $m$ perquè $\vec{u}\left( 2,-3,1\right)$, $\vec{v}\left( 1,m,3\right)$ i $\vec{w}\left( -4,5,-1\right)$ siguin coplanaris.
  2741. \end{exercise}
  2742. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-226}Donat el vector $\vec{v}\left( -2,2,-4\right)$, trobeu les coordenades dels vectors següents:
  2743. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2744. \item unitari i de la mateixa direcció que $\vec{v}$
  2745. \item paral·lel a $\vec{v}$ i de mòdul 6.
  2746. \end{enumerate}
  2747. \end{exercise}
  2748. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-227}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}\left( 2,3,-1\right)$ i a $\vec{v}\left( 1,4,2\right)$ la tercera component del qual sigui 1.
  2749. \end{exercise}
  2750. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-228}Calculeu les coordenades d'un vector $\vec{u}$ que sigui ortogonal a $\vec{v}\left( 1,2,3\right)$ i $\vec{w}\left( 1,-1,1\right)$ i tal que $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] =19$.
  2751. \end{exercise}
  2752. \subsection{Punts}
  2753. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-229}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right) $ i $C\left( -1,0,-4\right)$ estan alineats o no.
  2754. \end{exercise}
  2755. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-230}Trobeu el punt simètric del punt $A\left( -2,3,0\right)$ respecte del punt $M\left( 1,-1,2\right)$.
  2756. \end{exercise}
  2757. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-231}Calculeu $a$ i $b$ per a què els punts $A\left( 1,2,-1\right)$, $B\left( 3,0,-2\right)$ i $C\left( 4,a,b\right)$ estiguin alineats.
  2758. \end{exercise}
  2759. \subsection{Rectes i plans}
  2760. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-232}Associeu els conceptes de punt, vector, recta i pla a l'espai amb qualcuna o qualcunes de les expresions següents:%
  2761. \begin{equation*}
  2762. \begin{array}{lllll}
  2763. \overrightarrow{A}\left( 2,-3,1\right) , & & \left\{
  2764. \begin{array}{c}
  2765. x+y=2 \\
  2766. y+z=3%
  2767. \end{array}%
  2768. \right. , & & \left\{
  2769. \begin{array}{c}
  2770. x=-2\lambda \\
  2771. y=2+\lambda \\
  2772. z=3%
  2773. \end{array}%
  2774. \right. , \\
  2775. A\left( 2,-3,1\right) , & & x+y=2, & & \left\{
  2776. \begin{array}{c}
  2777. x=-2\lambda +\mu \\
  2778. y=2+\lambda \\
  2779. z=3%
  2780. \end{array}%
  2781. \right. , \\
  2782. \left\{
  2783. \begin{array}{c}
  2784. x=2 \\
  2785. y=3%
  2786. \end{array}%
  2787. \right. , & & \frac{x-1}{0}=y+3=\frac{z}{-6} & &
  2788. \end{array}%
  2789. \end{equation*}
  2790. \end{exercise}
  2791. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-233}Escriviu les equacions de la recta $r$ que passa pels punts $A\left( -3,2,1\right)$ i $B\left( -\tfrac{5}{2},\tfrac{3}{2},0\right)$.
  2792. \end{exercise}
  2793. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-234}Trobeu les equacions de la recta que passa pel punt $A\left( -4,2,5\right)$ i és paral·lela a l'eix $OZ$.
  2794. \end{exercise}
  2795. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-235}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right)$, $C\left( -1,0,-4\right)$ i $D\left( 4,0,-5\right)$ es troben en un mateix pla o no.
  2796. \end{exercise}
  2797. \begin{exercise}Trobeu les equacions paramètrica i contínua la recta%
  2798. \begin{equation*}
  2799. \left.
  2800. \begin{array}{rrr}
  2801. -x++3y-z+10 & = & 0 \\
  2802. 2x+y-z-6 & = & 0%
  2803. \end{array}%
  2804. \right\}
  2805. \end{equation*}
  2806. \end{exercise}
  2807. \subsection{Posició relativa de rectes}
  2808. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-236}Estudieu la posició relativa de les rectes següents, i trobeu el seu punt de tall quan sigui possible:
  2809. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2810. \item $r:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{4}$ i $s:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}$
  2811. \item $r:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{1}$ i $s:\frac{x-4}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2}$
  2812. \item $r:\frac{x}{2}=y-1=\frac{z+1}{3}$ i $s:\left\{ x-2y-1=0, 3y-z+1=0\right\}$
  2813. \item $r:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ i $s:\left\{x=3+4\lambda , y=3+6\lambda , z=4+8\lambda \right\}$
  2814. \end{enumerate}
  2815. \end{exercise}
  2816. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-237}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ es tallin, i trobeu el seu punt de tall:%
  2817. \begin{eqnarray*}
  2818. r &:&x=y=z-a \\
  2819. s &:&\frac{2x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-2}{0}
  2820. \end{eqnarray*}
  2821. \end{exercise}
  2822. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-238}Calculeu els valors de $m$ i $n$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin paral·leles:%
  2823. \begin{equation*}
  2824. r:\left\{
  2825. \begin{array}{l}
  2826. x=5+4\lambda \\
  2827. y=3+\lambda \\
  2828. z=-\lambda%
  2829. \end{array}%
  2830. \right. , \quad s:\frac{x}{m}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+3}{n}
  2831. \end{equation*}
  2832. \end{exercise}
  2833. \subsection{Plans}
  2834. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-239}Calculeu les equacions dels plans següents:
  2835. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2836. \item passa pel punt $P\left( 2,-3,1\right)$ i el vector normal del qual és $\vec{n}\left( 5,-3,-4\right)$
  2837. \item perpendicular a la recta $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$ i que passa pel punt $\left( 1,0,1\right)$
  2838. \end{enumerate}
  2839. \end{exercise}
  2840. \begin{exercise}\label{exer:geom:mat-especiales-1}Trobeu l'equació implícita dels plans següents:
  2841. \begin{itemize}
  2842. \item Pla que passa pels punts $P_1 = (1, 0, -1)$, $P_2 = (1, 3, 0)$ i $P_3 = (2, -1, 3)$
  2843. \item Pla que passa pel punt $Q=(3,0,1)$ i és paral·lel al pla $3x-2y+5z +1=0$
  2844. \end{itemize}
  2845. \end{exercise}
  2846. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-240}Calculeu $m$ i $n$ per a què els plans $\alpha \colon mx+y-3z-1=0$ i $\beta \colon 2x+ny-z-3=0$ siguin paral·lels. Poden ser coincidents?
  2847. \end{exercise}
  2848. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-241}Determineu l'equació del pla que conté el punt $P\left( 2,1,2\right)$ i la recta $x-2=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{-3}$.
  2849. \end{exercise}
  2850. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-242}Comproveu que les rectes $r:\frac{x-1}{2}=y=z-2$ i%
  2851. \begin{equation*}
  2852. s:\left\{
  2853. \begin{array}{r}
  2854. x-2z=5 \\
  2855. x-2y=11%
  2856. \end{array}%
  2857. \right.
  2858. \end{equation*}%
  2859. són paral·leles, i troba l'equació del pla que les conté.
  2860. \end{exercise}
  2861. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-243}Determineu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin coplanàries:%
  2862. \begin{equation*}
  2863. r:x=y-a=\frac{z}{0},\text{ }s:\left\{
  2864. \begin{array}{l}
  2865. x=1+\lambda \\
  2866. y=1-\lambda \\
  2867. z=-1+\lambda%
  2868. \end{array}%
  2869. \right.
  2870. \end{equation*}%
  2871. Trobeu l'equació del pla que les conté.
  2872. \end{exercise}
  2873. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-244}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\frac{x-3}{2}=y+1=\frac{z}{-1}$ i el pla $\pi :x-y+z-3=0$.
  2874. \end{exercise}
  2875. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-245}Trobeu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,3,2\right) $ i $B\left( -2,5,0\right) $ i és paral·lel a la recta%
  2876. \begin{equation*}
  2877. r:\left\{ x=3-\lambda ,\text{ }y=2+\lambda ,\text{ }z=-2-3\lambda \right\}
  2878. \end{equation*}
  2879. \end{exercise}
  2880. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-246}Trobeu l'equació del pla que conté la recta%
  2881. \begin{equation*}
  2882. r:\left\{ x=2+3\lambda ,\text{ }y=-1-\lambda ,\text{ }z=\lambda \right\}
  2883. \end{equation*}%
  2884. i és paral·lel a $s:\frac{x-3}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$.
  2885. \end{exercise}
  2886. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-247}Calculeu el valor de $m$ per a què els punts $A\left( m,0,1\right)$, $B\left( 0,1,2\right)$, $C\left( 1,2,3\right)$ i $D\left( 7,2,1\right)$
  2887. estiguin en un mateix pla. Quina és l'equaci\'{o} d'aquest pla?
  2888. \end{exercise}
  2889. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-248}Donat el pla $\pi \colon 2x-3y+z=0$ i la recta $r \colon x-1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$, trobeu l'equació del pla que conté la recta $r$ i és perpendicular al pla $\pi$.
  2890. \end{exercise}
  2891. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-249}Escriviu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,-3,2\right)$ i $B\left( 0,1,1\right) $ i és paral·lel a la recta%
  2892. \begin{equation*}
  2893. r:\left\{
  2894. \begin{array}{r}
  2895. 3x-2y+1=0 \\
  2896. 2y+3z-3=0%
  2897. \end{array}%
  2898. \right.
  2899. \end{equation*}
  2900. \end{exercise}
  2901. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-250}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\left\{ x=3, y=2\right\}$ i el pla $z=1$.
  2902. \end{exercise}
  2903. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-251}Estudieu les posicions relatives del pla $\pi \colon x+ay-z=1$ i la recta%
  2904. \begin{equation*}
  2905. r:\left\{
  2906. \begin{array}{r}
  2907. 2x+y-az=2 \\
  2908. x-y-z=a-1%
  2909. \end{array}%
  2910. \right.
  2911. \end{equation*}%
  2912. segons els valors de $a$.
  2913. \end{exercise}
  2914. \begin{exercise}\label{exer-js-geometria-1} Trobeu la recta que passa pel punt $A=(1,1,-1)$, és paral·lela al pla $\pi \equiv x - y + z = 5$ i talla a l'eix de coordenades $OZ$.
  2915. \end{exercise}
  2916. \begin{exercise}\label{exer-js-geometria-2} Estudieu la posició relativa dels plans $\pi \equiv x + 3y - 2z = 7$, $\pi' \equiv x+2t-az=5$ i $\pi'' \equiv ax+z = b$, segons els valors d'$a$ i de $b$. Quan es tallen en una recta? Quina d'elles és la que passa pel punt $(-1,4,2)$?
  2917. \end{exercise}
  2918. \begin{exercise}\label{exer-js-geometria-3} Donats el punt $P=(2,1,2)$ i la recta resultant de la intersecció dels plans $4x-y = 12$ i $z - x = 2$, trobeu l'àrea del triangle determinat pel punt $P$, el punt de la recta més proper a $P$ i el punt $Q=(1,0,-1)$.
  2919. \end{exercise}
  2920. \begin{exercise}\label{exer-js-geometria-4} Donada la recta de l'equació $\frac{x}{2} = 1-y = \frac{2z+2}{6}$ i el pla $\pi$ d'equació $x+3y-3z = -3$, trobeu:
  2921. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2922. \item El pla que conté a $r$ i és perpendicular a $\pi$
  2923. \item El volum del tetraedre determinat per $\pi$ i els plans coordenats
  2924. \end{enumerate}
  2925. \end{exercise}
  2926. \begin{exercise}\label{exer-js-geometria-5} Sigui un pla qualsevol $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$. Proveu que el vector $\vec{n} = (A, B, C)$ és un vector perpendicular al pla $\pi$.
  2927. \end{exercise}
  2928. \begin{exercise}\label{exer-Ballve-01} Sigui $\pi$ el pla d'equació $3x+2y-z = 1$ i $r$ la recta d'equacions $\left\{
  2929. \begin{array}{l l}
  2930. 3x+2y & = 0 \\
  2931. y-z & = 1%
  2932. \end{array}%
  2933. \right.$. Estudieu si els punts $P=(1,0,0)$, $Q=(2,-3,-4)$, $R=(0,1,1)$ i $S=(0,0,-1)$ pertanyen al pla $\pi$ o a la recta $r$.
  2934. \end{exercise}
  2935. \begin{exercise}Trobeu les posicions relatives entre aquests plans. En cas de que es tallin, trobeu l'equació contínua de la recta:
  2936. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2937. \item $\pi_1 \colon 3x + 3y + z -1=0$ i $\pi_2 \colon x - -5y + 5z =0$
  2938. \item $\pi_1 \colon x + 2y + z =0$ i $\pi_2 \colon x + 2y z -2 = 0$
  2939. \item $\pi_1 \colon 2x + 4y + z =0$ i $\pi_2 \colon 10x + 20y + 5z +2= 0$
  2940. \item $\pi_1 \colon 2x + 8z - 10=0$ i $\pi_2 \colon 2x +8y - 10 = 0$
  2941. \end{enumerate}
  2942. \end{exercise}
  2943. \subsection{Altres}
  2944. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-252}Estudieu la posició relativa de les rectes%
  2945. \begin{equation*}
  2946. r:\left\{
  2947. \begin{array}{r}
  2948. x-y=3 \\
  2949. y+z=15%
  2950. \end{array}%
  2951. \right. \text{ i }s:\left\{
  2952. \begin{array}{l}
  2953. x=3\lambda \\
  2954. y=1+2\lambda \\
  2955. z=-14+5\lambda%
  2956. \end{array}%
  2957. \right.
  2958. \end{equation*}%
  2959. i trobeu l'angle que formen entre si.
  2960. \end{exercise}
  2961. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-253}Trobeu, en cada cas, l'angle que formen la recta i el pla:
  2962. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  2963. \item $r:\frac{x+1}{-2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z}{2}$, $\pi \colon x-2y-z+1=0$
  2964. \item $r:\left\{ x=\lambda , y=1+2\lambda , z=-2\right\}$, $\pi \colon 2x-y+z=0$
  2965. \item $r:\frac{x-1}{2}=y-3=z$ $\pi \colon x+z=17$
  2966. \end{enumerate}
  2967. \end{exercise}
  2968. \begin{exercise}\label{exer:geom:antic-254}Calculeu l'angle que formen els plans $\alpha \colon z=3$ i $\beta \colon x-y+2z+4=0$.
  2969. \end{exercise}
  2970. \section{Exercicis resolts de geometria de l'espai}
  2971. \begin{example}Trobeu un punt qualsevol de la recta%
  2972. \begin{equation*}
  2973. r:\left\{
  2974. \begin{array}{r}
  2975. x-2y+z+3=0 \\
  2976. 2x-y+z-4=0%
  2977. \end{array}%
  2978. \right.
  2979. \end{equation*}%
  2980. i calculeu el seu vector director.
  2981. \begin{solution*}
  2982. Qualsevol punt de la recta ha de complir les equacions que la defineixen. Per a trobar-ne un, donem un valor qualsevol a les variables. Per exemple $y=0$ i substituiguem aquest valor en les equacions de la recta:%
  2983. \begin{equation*}
  2984. \left.
  2985. \begin{array}{r}
  2986. x-2\text{$\cdot $}0+z+3=0 \\
  2987. 2x-0+z-4=0%
  2988. \end{array}%
  2989. \right\} ;\quad \left.
  2990. \begin{array}{r}
  2991. x+z+3=0 \\
  2992. 2x+z-4=0%
  2993. \end{array}%
  2994. \right\}
  2995. \end{equation*}%
  2996. Les solucions d'aquest sistema són $x=7$, $z=-10$, per la qual cosa el punt que cercam és
  2997. \begin{equation*}
  2998. \left( 7,0,-10\right)
  2999. \end{equation*}%
  3000. El vector director de la recta és%
  3001. \begin{equation*}
  3002. \begin{split}
  3003. \overrightarrow{d} &= \overrightarrow{n_{1}}\wedge \overrightarrow{n_{2}}=(1,-2,1)\wedge (2,-1,1) \\
  3004. &= \left\vert
  3005. \begin{array}{rrr}
  3006. 1 & -2 & 1 \\
  3007. 2 & -1 & 1 \\
  3008. \overset{\rightarrow }{i} & \overset{\rightarrow }{j} & \overset{\rightarrow}{k}
  3009. \end{array}%
  3010. \right\vert \\
  3011. & =\left( \left\vert
  3012. \begin{array}{cc}
  3013. -2 & 1 \\
  3014. -1 & 1%
  3015. \end{array}%
  3016. \right\vert ,-\left\vert
  3017. \begin{array}{cc}
  3018. 1 & 1 \\
  3019. 2 & 1%
  3020. \end{array} \right\vert ,\left\vert
  3021. \begin{array}{rr}
  3022. 1 & -2 \\
  3023. 2 & -1%
  3024. \end{array}%
  3025. \right\vert \right) \\
  3026. &= (-1,1,3)
  3027. \end{split}
  3028. \end{equation*}
  3029. \end{solution*}
  3030. \end{example}
  3031. \begin{example}Trobeu un punt qualsevol del pla $\pi \colon-x+5y+2z-1=0$ i un vector perpendicular a ell.
  3032. \begin{solution*}
  3033. Un punt qualsevol del pla ha de satisfer la seva equació. Per tant, donem valors qualssevol a les variables, per exemple $y=0$ i $z=0$, i substituiguem aquests valors a l'equació del pla:%
  3034. \begin{equation*}
  3035. -x+5\cdot 0+2\cdot 0-1=0; -x-1=0; x=-1
  3036. \end{equation*}%
  3037. Per tant, un punt del pla és%
  3038. \begin{equation*}
  3039. \left( -1,0,0\right)
  3040. \end{equation*}%
  3041. Un vector perpendicular al pla és el seu vector normal: $\overrightarrow{n}=\left(-1,5,2\right)$.
  3042. \end{solution*}
  3043. \end{example}
  3044. \begin{example}Passeu a forma paramètrica la recta
  3045. \begin{equation*}
  3046. r:\left\{ \begin{array}{r}
  3047. x-2y+z+3=0 \\
  3048. 2x-y+z-4=0%
  3049. \end{array}%
  3050. \right.
  3051. \end{equation*}
  3052. \begin{solution*}Per poder escriure una recta en forma paramètrica necessitem un vector director d'ella i un punt qualsevol del seus punts.
  3053. Calculem el vector director de la recta:%
  3054. \begin{equation*}
  3055. \begin{split}
  3056. \overrightarrow{d} & =\overrightarrow{n_{1}}\wedge \overrightarrow{n_{2}} =(1,-2,1)\wedge (2,-1,1)= \\
  3057. & =\left\vert \begin{array}{rrr}
  3058. 1 & -2 & 1 \\
  3059. 2 & -1 & 1 \\
  3060. \overset{\rightarrow }{i} & \overset{\rightarrow }{j} & \overset{\rightarrow}{k}
  3061. \end{array}%
  3062. \right\vert =\left( \left\vert
  3063. \begin{array}{cc}
  3064. -2 & 1 \\
  3065. -1 & 1%
  3066. \end{array}%
  3067. \right\vert ,-\left\vert
  3068. \begin{array}{cc}
  3069. 1 & 1 \\
  3070. 2 & 1%
  3071. \end{array}%
  3072. \right\vert ,\left\vert
  3073. \begin{array}{cc}
  3074. 1 & -2 \\
  3075. 2 & -1%
  3076. \end{array}%
  3077. \right\vert \right)\\
  3078. & =(-1,1,3)
  3079. \end{split}
  3080. \end{equation*}%
  3081. Cerquem ara un punt de la recta. Aquest punt ha de complir les equacions $x-2y+z+3=0$ i $2x-y+z-4=0.$ Facem, per exemple, $x=0$. Aleshores, substituint aquest valor a les dues equacions anteriors queda el sistema d'equacions%
  3082. \begin{equation*}
  3083. \left.
  3084. \begin{array}{r}
  3085. -2y+z=-3 \\
  3086. -y+z=4%
  3087. \end{array}%
  3088. \right\} ,
  3089. \end{equation*}%
  3090. la solució del qual és $y=7,z=11$. Així, un punt de la recta és $A(0,7,11)$.
  3091. L'equació en forma paramètrica és, aleshores%
  3092. \begin{equation*}
  3093. r:\left\{
  3094. \begin{array}{l}
  3095. x=0+(-1)\lambda \\
  3096. y=7+1\lambda \\
  3097. z=11+3\lambda%
  3098. \end{array}%
  3099. \right. =\left\{
  3100. \begin{array}{l}
  3101. x=-\lambda \\
  3102. y=7+\lambda \\
  3103. z=11+3\lambda%
  3104. \end{array}%
  3105. \right.
  3106. \end{equation*}
  3107. \end{solution*}
  3108. \end{example}
  3109. \section{Recull de fórmules de geometria de l'espai}
  3110. \begin{enumerate}
  3111. \item La suma de dos vectors $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ i $\overrightarrow{w}(a',b',c')$:%
  3112. \begin{equation*}
  3113. \overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}=(a,b,c)+(a^{\prime},b^{\prime },c^{\prime })=\left( a+a^{\prime },b+b^{\prime },c+c^{\prime}\right)
  3114. \end{equation*}
  3115. \item La diferència de dos vectors, $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ i $\overrightarrow{w}(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })$:%
  3116. \begin{equation*}
  3117. \overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=(a,b,c)-(a^{\prime},b^{\prime },c^{\prime })=\left( a-a^{\prime },b-b^{\prime },c-c^{\prime}\right)
  3118. \end{equation*}
  3119. \item El producte d'un nombre $k$ per un vector $\overrightarrow{u}(a,b,c)$:%
  3120. \begin{equation*}
  3121. k \cdot\overrightarrow{u}=k\cdot (a,b,c)=\left( ka,kb,kc\right)
  3122. \end{equation*}
  3123. \item Els components del vector d'origen en el punt $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ i extrem en el punt $Q(x_{2},y_{2},z_{2})$:%
  3124. \begin{equation*}
  3125. \overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})
  3126. \end{equation*}
  3127. \item El mòdul del vector $\overrightarrow{u}(a,b,c):$%
  3128. \begin{equation*}
  3129. \left\vert \overrightarrow{u}\right\vert =\left\vert (a,b,c)\right\vert = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
  3130. \end{equation*}
  3131. \item El producte escalar de dos vectors, $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ i $\overrightarrow{w}(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })$, en una base ortonormal:%
  3132. \begin{equation*}
  3133. \overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{w}=(a,b,c) \cdot (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })=aa^{\prime }+bb^{\prime}+cc^{\prime }
  3134. \end{equation*}
  3135. D'altra banda, es cumpleix que%
  3136. \begin{equation*}
  3137. \overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{w} = \lvert \overrightarrow{u} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{w} \rvert \cdot \cos \alpha
  3138. \end{equation*}
  3139. on $\alpha$ és l'angle que formen $\vec{u}$ i $\vec{w}$.
  3140. \item El producte vectorial de dos vectors, $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ i $\overrightarrow{w}(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })$, en una
  3141. base ortonormal:%
  3142. \begin{equation*}
  3143. \begin{split}
  3144. \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w} & =(a,b,c)\wedge (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }) \\
  3145. & =\left\vert
  3146. \begin{array}{rrr}
  3147. a & b & c \\
  3148. a^{\prime } & b^{\prime } & c^{\prime } \\
  3149. \overset{\rightarrow }{i} & \overset{\rightarrow }{j} & \overset{\rightarrow
  3150. }{k}
  3151. \end{array}%
  3152. \right\vert \\
  3153. & =\left( \left\vert
  3154. \begin{array}{rr}
  3155. b & c \\
  3156. b^{\prime } & c^{\prime }%
  3157. \end{array}%
  3158. \right\vert ,-\left\vert
  3159. \begin{array}{rr}
  3160. a & c \\
  3161. a^{\prime } & c^{\prime }%
  3162. \end{array}%
  3163. \right\vert ,\left\vert
  3164. \begin{array}{rr}
  3165. a & b \\
  3166. a^{\prime } & b^{\prime }%
  3167. \end{array}%
  3168. \right\vert \right)
  3169. \end{split}
  3170. \end{equation*}
  3171. A més,
  3172. \begin{equation*}
  3173. \left\vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w}\right\vert = \lvert \overrightarrow{u} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{w} \rvert \cdot \sin \alpha
  3174. \end{equation*}
  3175. on $\alpha$ és l'angle que formen $\vec{u}$ i $\vec{w}$.
  3176. \item El producte mixt de tres vectors:%
  3177. \begin{equation*}
  3178. \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] = \overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w})
  3179. \end{equation*}
  3180. També es pot calcular amb la fórmula
  3181. \begin{equation*}
  3182. \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] =\left\vert
  3183. \begin{array}{rrr}
  3184. u_{x} & u_{y} & u_{z} \\
  3185. v_{x} & v_{y} & v_{z} \\
  3186. w_{x} & w_{y} & w_{z}%
  3187. \end{array}%
  3188. \right\vert
  3189. \end{equation*}
  3190. \item El valor absolut de $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] $ dóna el volum del paral·lelepípede definit pel vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, i $\overrightarrow{w}$, és a dir:%
  3191. \begin{equation*}
  3192. V=\left\vert \left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert
  3193. \end{equation*}
  3194. \item El volum del tetraedre format pel vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ és igual a%
  3195. \begin{equation*}
  3196. V=\frac{1}{6}\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert
  3197. \end{equation*}
  3198. \item El punt mitjà del segment definit pels punts $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ i $Q(x_{2},y_{2},z_{2})$:%
  3199. \begin{equation*}
  3200. P_{M}=\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right)
  3201. \end{equation*}
  3202. \item L'equació paramètrica d'una recta:%
  3203. \begin{equation*}
  3204. r \colon \left\{
  3205. \begin{array}{c}
  3206. x=x_{1}+\lambda d_{x} \\
  3207. y=y_{1}+\lambda d_{y} \\
  3208. z=z_{1}+\lambda d_{z}%
  3209. \end{array}%
  3210. \right. ,
  3211. \end{equation*}%
  3212. on $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ és qualsevol punt de la recta i $\overrightarrow{d_{r}}(d_{x},d_{y},d_{z})$ és el vector director de la recta.
  3213. \item L'equació en forma contínua d'una recta:
  3214. \begin{equation*}
  3215. r \colon \frac{x-x_{1}}{d_{x}}=\frac{y-y_{1}}{d_{y}}=\frac{z-z_{1}}{d_{z}},
  3216. \end{equation*}%
  3217. on $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ és qualsevol punt de la recta i $\overrightarrow{d_{r}}(d_{x},d_{y},d_{z})$ és el vector director de la recta.
  3218. \item L'equació paramètrica d'un pla:
  3219. \begin{equation*}
  3220. \pi :\left\{
  3221. \begin{array}{c}
  3222. x=x_{1}+\lambda u_{x}+\mu v_{x} \\
  3223. y=y_{1}+\lambda u_{y}+\mu v_{y} \\
  3224. z=z_{1}+\lambda u_{z}+\mu v_{z}%
  3225. \end{array}%
  3226. \right. ,
  3227. \end{equation*}%
  3228. on $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ és qualsevol punt del pla i $\vec{u}(u_{x},u_{y},u_{z})$ i $\vec{v}(v_{x},v_{y},v_{z})$ són vectors paral·lels al pla i que no són paral·lels entre si.
  3229. \item L'equació implícita d'un pla es pot trobar amb
  3230. \begin{equation*}
  3231. \left\vert
  3232. \begin{array}{lll}
  3233. x-x_{1} & u_{x} & v_{x} \\
  3234. y-y_{1} & u_{y} & v_{y} \\
  3235. z-z_{1} & u_{z} & v_{z}%
  3236. \end{array}%
  3237. \right\vert =0,
  3238. \end{equation*}%
  3239. on $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ és qualsevol punt del pla i $\vec{u}(u_{1},u_{2},u_{3})$ i $\vec{v}(v_{1},v_{2},v_{3})$ són vectors paral·lels al pla i que no són paral·lels entre si.
  3240. \item L'equació implícita d'un pla és de la forma%
  3241. \begin{equation*}
  3242. Ax+By+Cz+D=0,
  3243. \end{equation*}%
  3244. on $\vec{n}(A,B,C)$ és un vector perpendicular al propi pla, que s'anomena vector normal del pla.
  3245. \item El vector director d'una recta expressada com la intersecció de dos plans, és a dir, expressada de la forma%
  3246. \begin{equation*}
  3247. r:\left\{
  3248. \begin{array}{rrr}
  3249. Ax+By+Cz+D & = & 0 \\
  3250. A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D^{\prime } & = & 0%
  3251. \end{array}%
  3252. \right.
  3253. \end{equation*}%
  3254. és igual a%
  3255. \begin{align*}
  3256. \overrightarrow{d_{r}}& =(A,B,C)\wedge (A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime })=
  3257. \notag \\
  3258. & \notag \\
  3259. & =\left\vert
  3260. \begin{array}{ccc}
  3261. A & B & C \\
  3262. A^{\prime } & B^{\prime } & C^{\prime } \\%
  3263. \overset{\rightarrow }{i} & \overset{\rightarrow }{j} & \overset{\rightarrow}{k}
  3264. \end{array}%
  3265. \right\vert =\left( \left\vert
  3266. \begin{array}{cc}
  3267. B & C \\
  3268. B^{\prime } & C^{\prime }%
  3269. \end{array}%
  3270. \right\vert ,-\left\vert
  3271. \begin{array}{cc}
  3272. A & C \\
  3273. A^{\prime } & C^{\prime }%
  3274. \end{array}%
  3275. \right\vert ,\left\vert
  3276. \begin{array}{cc}
  3277. A & B \\
  3278. A^{\prime } & B^{\prime }%
  3279. \end{array}%
  3280. \right\vert \right)
  3281. \end{align*}
  3282. \item Un vector perpendicular al pla d'equació $Ax+By+Cz+D=0$ és el vector%
  3283. \begin{equation*}
  3284. \overrightarrow{n}=\left( A,B,C\right)
  3285. \end{equation*}
  3286. \item L'angle entre dues rectes, $r$ i $s$:
  3287. \begin{equation*}
  3288. \alpha =\arccos \frac{\left\vert \overrightarrow{d_{r}}\text{$\cdot $}\overrightarrow{d_{s}}\right\vert }{\left\vert \overrightarrow{d_{r}} \right\vert \text{$\cdot $}\left\vert \overrightarrow{d_{s}}\right\vert },
  3289. \end{equation*}%
  3290. on $\overrightarrow{d_{r}}$ i $\overrightarrow{d_{s}}$ són els vectors directors de cadascuna de les rectes.
  3291. \item L'angle entre dos plans, $\pi_{1}$ i $\pi_{2}$:
  3292. \begin{equation*}
  3293. \alpha =\arccos \frac{\left\vert \overrightarrow{n_{\pi_{1}}} \cdot\overrightarrow{n_{\pi_{2}}}\right\vert }{\left\vert \overrightarrow{n_{\pi_{1}}}\right\vert \cdot\left\vert \overrightarrow{n_{\pi_{2}}}\right\vert },
  3294. \end{equation*}%
  3295. on $\overrightarrow{n_{\pi_{1}}}$ i $\overrightarrow{n_{\pi_2}}$ són els vectors normals a cadascun dels plans.
  3296. \item L'angle entre una recta i un pla:
  3297. \begin{equation*}
  3298. \alpha =\arcsin \frac{\left\vert \overrightarrow{d_{r}} \cdot \overrightarrow{n_{\pi }}\right\vert }{\left\vert \overrightarrow{d_{r}} \right\vert \cdot\left\vert \overrightarrow{n_{\pi }}\right\vert },
  3299. \end{equation*}%
  3300. on $\overrightarrow{d_{r}}$ és el vector director de la recta i $\overrightarrow{n_{\pi }}$ és el vector normal al pla.
  3301. \item Per calcular els productes escalars o l'angle que formen plans i rectes, convé tenir present la taula següent (\autoref{tab:taula-valors-sinus-cosinus-tangents}).
  3302. \begin{table}[ht!]
  3303. \centering
  3304. \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c|c|}
  3305. \cline{2-8}
  3306. & $0$ \unit{rad} & $\pi/6$ \unit{rad} & $\pi/4$ \unit{rad} & $\pi/3$ \unit{rad} & $\pi/2$ \unit{rad} & $\pi$ \unit{rad} & $3\pi/2$ \unit{rad} \\
  3307. \cline{2-8}
  3308. & $0\degree$ & $30\degree$ & $45\degree$ & $60\degree$ & $90\degree$ & $180\degree$ & $270\degree$\\
  3309. \hline
  3310. \multicolumn{1}{|r|}{$\sin \alpha$} & $0$ & $1/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $\sqrt{3}/2$ & $1$ & $0$ & $-1$ \\
  3311. \hline
  3312. \multicolumn{1}{|r|}{$\cos \alpha$} & $1$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ & $-1$ & $0$\\
  3313. \hline
  3314. \multicolumn{1}{|r|}{$\tan \alpha$} & $0$ & $\sqrt{3}/3$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & $\not \exists$ & $0$ & $\not \exists$ \\
  3315. \hline
  3316. \end{tabular}%
  3317. \caption{Valors dels sinus, cosinus i tangent pels angles més usuals}
  3318. \label{tab:taula-valors-sinus-cosinus-tangents}
  3319. \end{table}
  3320. \end{enumerate}