You can not select more than 25 topics
Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
4257 lines
185 KiB
4257 lines
185 KiB
\part{Geometria}
|
|
% Definició de colors (per gràfics)
|
|
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
|
|
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.752941176471,0.752941176471,0.752941176471}
|
|
\definecolor{qqttcc}{rgb}{0.,0.2,0.8}
|
|
|
|
% Començ text
|
|
|
|
En aquest apartat es tractarà la Geometria en dues parts:
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Geometria del pla, que estudia aquells elements geomètrics que es
|
|
poden representar soble un pla bidimensional.
|
|
|
|
\item Geometria de l'espai, per a elements de tres dimensions.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Tècnicament, s'estudiarà la geometria cartesiana afí i mètrica.
|
|
|
|
\chapter{Geometria del pla}\label{seccio:geometria-al-pla}
|
|
|
|
En aquest tema s'estudiaran els vectors i les rectes definits sobre un espai
|
|
de dues dimensions.
|
|
|
|
\section{Punts}
|
|
Aquest apartat tracta de l'estudi dels vectors i de les seves operacions a
|
|
l'espai de dues dimensions. Aquest espai queda representat per uns \term{eixos de coordenades}\index{eixos de coordenades}, que són dues rectes reglades entre les quals hi ha un angle recte (\autoref{fig:pla-cartesia}):
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item L'eix horitzontal s'anomena \term{eix de les abscises}\index{eix!de les abscises} (o simplement \term{eix de les $X$}) i s'anomena amb la lletra $X$
|
|
\item L'eix vertical s'anomena \term{eix de les ordenades}\index{eix!de les ordenades} (o simplement \term{eix de les $Y$}) i s'anomena amb la lletra $Y$
|
|
\end{itemize}
|
|
En conjunt, els eixos formen el que s'anomena \term{Pla cartesià}\index{pla cartesià}\index{sistema de coordenades}.
|
|
|
|
Cada punt del pla queda determinat per les seves projeccions sobre cadascun dels eixos, el que s'anomenen \term{coordenades}\index{coordenades} (\autoref{fig:coordenades-punts}).
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
|
|
\draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
|
|
\draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
|
|
\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
|
|
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
|
|
\draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
|
|
\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
|
|
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
|
|
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
|
|
\clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
|
|
\end{tikzpicture}.
|
|
\caption{Pla cartesià}
|
|
\label{fig:pla-cartesia}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
|
|
\draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
|
|
\draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
|
|
\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
|
|
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
|
|
\draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
|
|
\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
|
|
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
|
|
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
|
|
\clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
|
|
\draw [fill=qqqqff] (2,3) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=qqqqff] (2,3) node[anchor=south] {$(2,3)$};
|
|
\draw [fill=qqqqff] (-3,1) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=qqqqff] (-3,1) node[anchor=south] {$(-3,1)$};
|
|
\draw [fill=qqqqff] (-1.5,-2.5) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=qqqqff] (-1.5,-2.5) node[anchor=east] {$(-1.5,2.5)$};
|
|
\draw [fill=qqqqff] (0,0) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=qqqqff] (0,0) node[anchor=south west] {$(0,0)$};
|
|
\draw [fill=qqqqff] (5,0) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=qqqqff] (5,0) node[anchor=south] {$(5,0)$};
|
|
\end{tikzpicture}.
|
|
\caption{Diversos punts al pla cartesià}
|
|
\label{fig:coordenades-punts}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
L'\term{origen de coordenades}\index{origen!de coordenades} és el punt de coordenades $(0,0)$.
|
|
|
|
A partir d'aquest moment identificarem un punt amb les seves coordenades.
|
|
|
|
\begin{notation}[notació dels punts] Els punts es poden escriure de dues maneres diferents: $A = (0,1)$ o bé $A(0,1)$.
|
|
\end{notation}
|
|
|
|
\subsection{Punt mitjà}
|
|
Donats dos punts del pla, $P(x_{1},y_{1})$ i $Q(x_{2},y_{2})$, que
|
|
determinen un segment, podem preguntar-nos quines s\'{o}n les cooordenades
|
|
del punt mitj\`{a} d'aquest segment. Aquest punt queda determinant per la seg%
|
|
\"{u}ent expressi\'{o}:
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
P_{M}=\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{example}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( 0,-5\right)$ i $Q\left( -3,1\right)$.%
|
|
\begin{equation*}
|
|
P_{M}=\left( \frac{0+(-3)}{2},\frac{-5+1}{2}\right) =\left( \frac{-3}{2}%
|
|
,-2\right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( -3,7\right)$ i $Q\left( -5,3\right)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Donat el punt $P\left( 0,-5\right)$, calculeu les coordenades del punt simètric de $P$ respecte del punt $M\left( -1,12\right)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
Hem de notar que, encara que pareixi que sí, aquest resultat no es pot estendre quan es vol trobar un punt que estigui a distància $1/3$ d'$A$ en el segment $\overline{AB}$ (en general, a distància $d \neq 1/2$). En aquest cas, s'haurà de procedir a raonar amb vectors (\autoref{seccio:vectors-2d}), per exemple trobant el vector $1/3 \cdot \overrightarrow{AB}$ i situant-lo amb origen $A$. El seu extrem final seria el punt desitjat.
|
|
|
|
\section{Vectors}\label{seccio:vectors-2d}
|
|
|
|
\begin{definition}[vector fix]Un \term{vector fix}\index{vector!fix} és una segment orientat a l'espai (és a dir una fletxa), que té un \term{origen}\index{origen!d'un vector} (el punt on comença) i un \term{final}\index{final d'un vector} (punt on acaba). Els dos punts s'anomenen \term{extrems del vector}\index{extrems d'un vector}.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Per tant, un vector té:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Una direcció: la recta sobre la qual està el vector
|
|
\item Un sentit: cap a on apunta la fletxa. Si $A$ i $B$ són els extrems d'un vector, aleshores aquest vector pot tenir dos sentits: de $A$ cap a $B$ (punt origen és $A$ i el punt destí és $B$) o de $B$ cap a $A$ (punt origen és $B$ i el punt destí és $A$)
|
|
\item La seva longitud. Formalment s'anomena \term{mòdul} del vector\index{mòdul!d'un vector}
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\begin{notation}[notació de vectors]Els vectors es denoten amb una fletxa a damunt del seu nom. D'aquesta manera escriurem $\overrightarrow{AB}$ per denotar el vector que té origen $A$ i final a $B$. Si volem obviar els extrems, podem escriure $\overrightarrow{u}$, per exemple.
|
|
\end{notation}
|
|
|
|
\begin{example}Siguin els vectors següents (\autoref{fig:diversos-vectors}):
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Els extems dels vectors són:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item El vector $\overrightarrow{a}$ té origen $(-1,1)$ i fi $(-3,-1)$
|
|
\item El vector $\overrightarrow{b}$ té origen $(-1,-1)$ i fi $(0,0)$
|
|
\item El vector $\overrightarrow{c}$ té origen $(-4,3)$ i fi $(-1,3)$
|
|
\item El vector $\overrightarrow{d}$ té origen $(-4,2)$ i fi $(-4,-1)$
|
|
\item El vector $\overrightarrow{u}$ té origen $(1,1)$ i fi $(3,3)$
|
|
\item El vector $\overrightarrow{v}$ té origen $(4,1)$ i fi $(6,3)$
|
|
\item El vector $\overrightarrow{w}$ té origen $(1,-1)$ i fi $(3,1)$
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ tenen la mateixa direcció
|
|
\item Els vectors $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix sentit, però el vector $\overrightarrow{a}$ té sentit contrari
|
|
\item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix mòdul. El mòdul de $\overrightarrow{b}$ és la meitat que el mòdul de $\overrightarrow{u}$. I $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{d}$ tenen el mateix mòdul (encara que no tenguin ni la mateixa direcció ni sentit)
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
|
|
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-5.1,-2.1) grid (6.1,4.1);
|
|
\draw[->,color=black] (-5.5,0) -- (6.2,0);
|
|
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
|
|
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
|
|
\draw[->,color=black] (0,-2.1) -- (0,4.1);
|
|
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4}
|
|
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
|
|
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
|
|
\draw [->] (1.,1.) -- (3.,3.);
|
|
\draw [->] (4.,1.) -- (6.,3.);
|
|
\draw [->] (1.,-1.) -- (3.,1.);
|
|
\draw [->] (-1.,1.) -- (-3.,-1.);
|
|
\draw [->] (-1.,-1.) -- (0.,0.);
|
|
\draw [->] (-4.,3.) -- (-1.,3.);
|
|
\draw [->] (-4.,2.) -- (-4.,-1.);
|
|
\draw[color=black] (2.0038916669677724,2.188648367438086) node {$u$};
|
|
\draw[color=black] (4.99308545055815,2.188648367438086) node {$v$};
|
|
\draw[color=black] (2.0038916669677724,0.17924587958011154) node {$w$};
|
|
\draw[color=black] (-1.9152735159618333,0.09621271892482333) node[anchor=south] {$a$};
|
|
\draw[color=black] (-0.5037097848219328,-0.3189530843516177) node {$b$};
|
|
\draw[color=black] (-2.4632923762867356,3.201652927432602) node {$c$};
|
|
\draw[color=black] (-3.908069371688751,0.6442315792497255) node {$d$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Diversos vectors al pla}
|
|
\label{fig:diversos-vectors}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{definition}[vector lliure]Un \term{vector lliure}\index{vector!lliure} és un segment orientat al pla, però del qual tenim la llibertat de triar el seu origen. És a dir, vector que tenen la mateixa direcció, sentit i longitud són a partir d'ara iguals per a nosaltres, independentment d'on estiguin situats. Formalment aquests vectors s'anomenen \term{equipolents}\index{vector!equipolent}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
En general, si no se'ns diu el contrari, o no se'ns dóna l'origen d'un vector, es suposarà que aquest és lliure. A més sempre suposarem que l'origen del vector és l'origen de coordenades i, per tant, escriurem el vector com a $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(3,5)}$ i no $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(0,0)(3,5)}$, obviant el seu origen.
|
|
|
|
A més, de la mateixa manera que pels punts, existeixen dues notacions estàndard: $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(3,5)}$ o bé $\overrightarrow{v}(3,5)$, que podrem usar indistintament.
|
|
|
|
\begin{example}Els vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ són equipolents (\autoref{fig:diversos-vectors}). És més, tots aquests vectors es consideren el mateix vector que $\overrightarrow{(2,2)}$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}[coordenades i components d'un vector]Donat un vector $\overrightarrow{v}$, les seves \term{coordenades}\index{coordenada d'un vector} són els nombres que formen el seu producte cartesià, és a dir, si $\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$, aleshores, $v_x$ i $v_y$ són les seves coordenades. $v_x$ es diu \term{coordenada de l'eix de les abscises} i $v_y$, \term{coordenada de l'eix de les ordenades}, o simplement coordenada de l'eix $X$ i coordenada de l'eix $Y$, respectivament.
|
|
|
|
Les coordenades es poden interpretar com a les longituds, amb signe, de les projeccions d'un vector sobre els dos eixos de coordenades. Cadascuna de les dues components d'un vector pot ser positiva o negativa segons que la respectiva projecció apunti cap a la part positiva o negativa del
|
|
corresponent eix de coordenades (figura~\autoref{fig:components-vector-2D}). En aquest sentit les coordenades s'anomenen \term{components}.
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
|
|
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-1.1,-1.1) grid (8,10);
|
|
\draw[->,color=black] (-1,0) -- (8,0);
|
|
\draw[->,color=black] (0,-1) -- (0,10);
|
|
\draw[color=black] (0,0) node[anchor=north west] {$O$};
|
|
\draw[color=black] (7.5,0) node[anchor=north] {$x$};
|
|
\draw[color=black] (0,9.5) node[anchor=east] {$y$};
|
|
\draw [->,color=qqttcc] (1,2) -- (5,7);
|
|
\draw [->] (1,2) -- (5,2);
|
|
\draw [->] (1,2) -- (1,7);
|
|
\draw (3.5,4.8) node {$v$};
|
|
\draw (3,2) node[anchor=south] {$v_x$};
|
|
\draw (1,4.5) node[anchor=west] {$v_y$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Components d'un vector}
|
|
\label{fig:components-vector-2D}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}Siguin els vectors següents:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{u} = (3,-2),\, \overrightarrow{v} = (-5,1)
|
|
\end{equation*}%
|
|
El vector $\overrightarrow{v}$ apunta cap a la dreta i cap a baix, i el vector $\overrightarrow{u}$ apunta cap a l'esquerra i cap a dalt. Com que no se'ns diu quins són els seus origens, es considerarà que aquests vectors són lliures, i que, per tant, podem situar-los els on es desitgi.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Representeu gràficament els vectors $\overrightarrow{u} = (-3,4)$, $\overrightarrow{v} = (5,-1)$ i $\overrightarrow{w} = (1,0)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{claim}[vector d'extrems donats]Donats els punts $P(x_{1},y_{1})$ i $Q(x_{2},y_{2})$, el vector $\overrightarrow{PQ}$ que té origen en $P$ i final en $Q$ té les components següents:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}),
|
|
\end{equation*}
|
|
és a dir, restem les coordenades del punt final menys les coordenades del punt inicial.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{example}Calculeu les components del vector que comença en el punt $P\left(0,-6\right)$ i acaba en el punt $Q\left(-3,2\right)$:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{\left( -3-0,2-\left( -6\right) \right)} =\overrightarrow{\left(-3,8\right)}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu les components del vector d'origen $P\left( -2,1\right)$ i que acaba en el punt $Q\left( -3,-5\right)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Els punts $A(3,0)$, $B(-5,4)$ i $C(6,-4)$ s\'{o}n vèrtexos d'un paral\textperiodcentered lelogram. Representeu gràficament aquests punts i calculeu les cooordenades de vèrtex restant.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{definition}[mòdul d'un vector]El \term{mòdul} d'un vector\index{mòdul!d'un vector} és la seva longitud. El mòdul del vector $\overrightarrow{u} = (a,b)$, que es representa per $\left\vert \overrightarrow{u}\right\vert$, es calcula amb la fórmula:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert \overrightarrow{u}\right\vert =\left\vert (a,b)\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}El mòdul del vector $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{(3,-2)}$ és:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\vert \overrightarrow{u}\right\vert =\sqrt{3^{2}+\left( -2\right) ^{2}}=\sqrt{13}.
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calculeu el valor del mòdul del vector $\overrightarrow{u}(-5,1)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\bigskip
|
|
Acabem amb unes quantes definicions:
|
|
|
|
\begin{definition}[vector unitari] Un vector és \term{unitari}\index{vector!unitari} quan té mòdul 1.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}[ortogonalitat, ortonormalitat]Donats dos vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortogonal}\index{ortogonalitat}\index{vector!ortogonal} a $\overrightarrow{v}$ simplement quan $\overrightarrow{u}$ sigui perpendicular\index{vector!perpendicular} a $\overrightarrow{v}$, és a dir, quan ambdós formen un angle de 90 graus.
|
|
|
|
Si a més, $\overrightarrow{u}$ és unitari, aleshores direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortonormal}\index{ortonormalitat}\index{vector!ortonormal} a $\overrightarrow{v}$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Operacions amb vectors}
|
|
|
|
Definim aquí les diferents operacions que es poden fer amb vectors.
|
|
|
|
\subsubsection{Suma de dos vectors}
|
|
|
|
\begin{definition}[suma de dos vectors]. Siguin $\overrightarrow{u}(a,b)$ i $\overrightarrow{v}(c,d)$ dos vectors. La seva \term{suma}\index{suma!de vectors} es defineix com:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{(a,b)}+\overrightarrow{(c,d)}=\overrightarrow{\left( a+c,b+d\right)}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Donats els vectors $\overrightarrow{u}(3,-2)$ i $\overrightarrow{v}(-5,1)$, la seva suma és:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{(3,-2)}+\overrightarrow{(-5,1)}=\overrightarrow{\left( 3-5,-2+1\right)}=\overrightarrow{\left( -2,-1\right)}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
Noteu que, per a què es puguin sumar dos vectors aquests han de tenir el mateix origen o bé ser lliures. En aquest cas, la suma de dos vectors es pot calcular gràficament: en el dibuix següent es representa la suma gràfica de $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ (\autoref{fig:regla-del-parallelogram}):
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
|
|
\draw [->] (-3.,1.) -- (-2.,3.);
|
|
\draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
|
|
\draw (-3.08,2.48) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{u}$};
|
|
\draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{v}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.}
|
|
\definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8}
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
|
|
\draw [->] (-2.,1.) -- (-1.,3.);
|
|
\draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
|
|
\draw (-2.12,2.54) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{u}$};
|
|
\draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{v}$};
|
|
\draw [->,color=qqqqcc] (-1.,3.) -- (2.,4.);
|
|
\draw [->,color=qqqqcc] (1.,2.) -- (2.,4.);
|
|
\draw [->,color=ccqqqq] (-2.,1.) -- (2.,4.);
|
|
\draw (-0.92,3.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Regla del paral·lelogram per al càlcul de la suma de vectors}
|
|
\label{fig:regla-del-parallelogram}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Es pot procedir de manera anàloga per a qualssevol vectors. Aquesta manera gràfica d'aconseguir la suma es coneix com \term{regla del paral·lelogram}\index{regla!del paral·lelogram}.
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu gràficament i analítica la suma dels vectors $\overrightarrow{u}(-5,4)$ i $\overrightarrow{v}(3,-1)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsubsection{Diferència de dos vectors}
|
|
|
|
\begin{definition}[diferència de dos vectors] Donats dos vectors $\overrightarrow{u}(a,b)$ i $\overrightarrow{v}(c,d)$, la seva \term{diferència}\index{diferència!de dos vectors} es defineix com:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{(a,b)}-\overrightarrow{(c,d)}=\overrightarrow{\left( a-c,b-d\right)}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Donats els vectors $\overrightarrow{u}(3,-2)$ i $\overrightarrow{v}(-5,1),$
|
|
la seva diferència és:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(3,-2)}-\overrightarrow{(-5,1)} = \overrightarrow{\left( 3+5,-2-1\right)} = \overrightarrow{\left( 8,-3\right)}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calculeu $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$, amb $\overrightarrow{u}(-5,4) $ i $\overrightarrow{v}(3,-1)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsubsection{Producte d'un escalar per un vector}
|
|
|
|
\begin{definition}[producte d'un escalar per un vector] Donat un nombre $k \in \mathbb{R}$ i un vector $\overrightarrow{u}(a,b)$, \term{el producte de $k$ per $\overrightarrow{A}$}\index{producte!d'un escalar per vector}, $k \cdot \overrightarrow{u}$, es defineix com:
|
|
\begin{equation*}
|
|
k \cdot \overrightarrow{u} = k\cdot \overrightarrow{(a,b)}=\overrightarrow{\left( ka, kb\right)}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}
|
|
Donats el vector $\overrightarrow{u}(3,-2)$ i el número $k=-5$, es té que el seu producte és:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
k\text{$\cdot $}\overrightarrow{u}=-5\cdot \overrightarrow{(3,-2)}=\overrightarrow{\left( -5\cdot 3,-5\cdot \left( -2\right) \right)} = \overrightarrow{\left( -15,10\right)}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
En el dibuix següent es veu un exemple gràfic del producte d'un nombre (en aquest cas el $3$) per un vector (\autoref{fig:producte-escalar-per-vector}):%
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
|
|
\definecolor{ttzzqq}{rgb}{0.2,0.6,0.}
|
|
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
|
|
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
|
|
\clip(-1.,-1.) rectangle (10.,4.);
|
|
\draw [->] (0.,0.) -- (2.,1.);
|
|
\draw [->] (3.,0.) -- (9.,3.);
|
|
\draw (0.46,1.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{u}$};
|
|
\draw (4.94,2.2) node[anchor=north west] {$3\overrightarrow{u}$};
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (3.,0.)-- (5.,1.);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (4.067082039324995,0.3658359213500132);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (3.932917960675006,0.6341640786499876);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (5.,1.)-- (7.,2.);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.174413302244984,1.4195015528100081);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.040249223594997,1.6878297101099824);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.959750776405003,1.312170289890018);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.825586697755016,1.5804984471899926);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.,2.)-- (9.,3.);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (8.067082039324994,2.365835921350013);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (7.932917960675007,2.634164078649988);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.852419513485014,2.2585046584300232);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.718255434835026,2.526832815729998);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.281744565164972,2.4731671842700025);
|
|
\draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.147580486514986,2.741495341569977);
|
|
\draw (1.66,0.68) node[anchor=north west] {$\times 3 =$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Exemple d'un producte d'un escalar per un vector}
|
|
\label{fig:producte-escalar-per-vector}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Calculeu gràficament i analítica el producte $-3\cdot \overrightarrow{u}$, amb $\overrightarrow{u}(3,-1)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{claim}L'operació del producte d'un escalar per un vector dóna sempre un vector paral·lel al vector inicial. És més, el vector resultant és una allargament (si $k > 1$) o una escurçament (si $k < 1$) del vector original.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{proposition}[Condició de parel·lelisme entre dos vectors]\label{resultat:proposicio-parallelisme-vectors}Siguin $\overrightarrow{u}(a,b)$ i $\overrightarrow{v}(c,d)$ dos vectors qualssevol amb $a, b \neq 0$:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{u} \text{ és paral·lel a } \overrightarrow{v} \iff \frac{c}{a}=\frac{d}{b}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
Expressat en paraules, això ens diu que si dos vectors són paral·lels, aleshores el quocient entre les seves respectives components dóna el mateix resultat, i viceversa, és a dir, que si el quocient entre les respectives components de dos vectors dóna el mateix resultat, aleshores aquests dos vectors són paral·lels.
|
|
|
|
\begin{remark}Si alguns dels vectors anteriors té alguna component igual a zero, l'altre vector per ser-hi proporcional ha de tenir la mateixa component igual a zero. Per exemple $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{(5,0)}$ és proporcional a $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(-7,0)}$ (perquè $\frac{-7}{5} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$) però no ho és a $\overrightarrow{w_1} = \overrightarrow{(0,3)}$ ni a $\overrightarrow{w_2} = \overrightarrow{(5,3)}$.
|
|
\end{remark}
|
|
|
|
\begin{example}Determineu, a cadascun dels apartats següents, si els vectors són paral·lels entre si:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\overrightarrow{a}\left( 2,-3\right)$ i $\overrightarrow{b}\left( 4,-6\right)$:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Per tant, aquests dos vectors són paral·lels entre si.
|
|
|
|
\item $\overrightarrow{c}\left( 2,-1\right)$ i $\overrightarrow{d}\left( 4,-3\right)$:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{2}{4}\neq \frac{-1}{-3}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Així, aquests dos vectors no són paral·lels entre si.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}
|
|
Determineu si els vectors següents són paral·lels entre si:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\overrightarrow{a}\left( 1,-3\right)$ i $\overrightarrow{b}\left( 5,-6\right)$
|
|
|
|
\item $\overrightarrow{c}\left( 3,-1\right)$ i $\overrightarrow{d}\left( -6,2\right)$
|
|
|
|
\item $\overrightarrow{e}\left( 3,0\right)$ i $\overrightarrow{f}\left( 5,0\right)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\paragraph{Producte escalar de dos vectors}
|
|
|
|
\begin{definition}[producte escalar de dos vectors]El \term{producte escalar de dos vectors}\index{producte!escalar}, $\overrightarrow{u}(a,b)$ i $\overrightarrow{v}(c,d)$, que es denota per $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$, es defineix de la manera següent:%
|
|
\begin{equation}\label{eq:producte-escalar}
|
|
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=(a,b)\cdot(c,d)=a\cdot c+b\cdot d
|
|
\end{equation}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Com es veu, el producte escalar de dos vectors és un nombre.
|
|
|
|
\begin{example}El producte escalar dels vectors $\overrightarrow{u}(2,0)$ i $\overrightarrow{v}(-3,1)$ és igual a:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=(2,0)\cdot(-3,1)=2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1=-6
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$, amb $\overrightarrow{u}(-3,4)$ i $\overrightarrow{v}(-2,-8)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Per a quins valors de $\lambda$ el producte escalar $\overrightarrow{(3,-4)} \cdot \overrightarrow{(\lambda, 2)}$ serà $5$?
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Sigui $\overrightarrow{u}(2,-3)$. Trobeu un vector paral·lel i dieu-li $\overrightarrow{v}$. Calculeu el producte $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\paragraph{Angle entre dos vectors}
|
|
|
|
\begin{proposition}[Relació entre producte escalar i angle entre dos vectors]\label{resultat:angle-producte-esclar}Es pot provar que es cumpleix que la relació:%
|
|
\begin{equation}\label{eq:angle-producte-escalar}
|
|
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\left\vert \overrightarrow{u}\right\vert \cdot \left\vert \overrightarrow{v} \right\vert \cdot \cos \alpha,
|
|
\end{equation}%
|
|
on $\alpha$ és l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$.
|
|
|
|
Això permet calcular l'angle $\alpha$ entre dos vectors, o qualsevol altre variable desconeguda d'aquesta fórmula \eqref{eq:angle-producte-escalar} si es coneixen les altres. Recordeu que el producte escalar es pot calcular amb seva fórmula \eqref{eq:producte-escalar}. Per tant, l'equació anterior és equivalent a:
|
|
\begin{equation}
|
|
ac+bd=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\text{$\cdot $}\sqrt{c^2+d^2}\cdot\cos \alpha
|
|
\end{equation}
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
\begin{claim}Recordeu que el cosinus d'un angle es defineix com la projecció del radi definit per l'angle sobre el diàmetre horitzontal de la circumferència de radi unitat.
|
|
|
|
Els valors del cosinus dels angles més usuals es mostren a continuació (taula~\autoref{tab:taula-valors-cosinus}):
|
|
|
|
\begin{table}[ht!]
|
|
\centering
|
|
\begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c|c|}
|
|
\cline{2-8}
|
|
& $0$ \si{\radian} & $\pi/6$ \si{\radian} & $\pi/4$ \si{\radian} & $\pi/3$ \si{\radian} & $\pi/2$ \si{\radian} & $\pi$ \si{\radian} & $3\pi/2$ \si{\radian} \\
|
|
\cline{2-8}
|
|
& $0\degree$ & $30\degree$ & $45\degree$ & $60\degree$ & $90\degree$ & $180\degree$ & $270\degree$\\
|
|
\hline
|
|
\multicolumn{1}{|r|}{$\cos \alpha$} & $1$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ & $-1$ & $0$\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}%
|
|
\caption{Valors dels cosinus pels angles més usuals}
|
|
\label{tab:taula-valors-cosinus}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{example}Què val l'angle format pels vectors $\overrightarrow{u}(2,0)$ i $\overrightarrow{v}(-3,1)$?
|
|
|
|
|
|
\bigskip
|
|
Si aplicam la darrera fórmula i denotam l'angle per $\alpha $, es té que%
|
|
\begin{align*}
|
|
2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1 &= \sqrt{2^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{\left( -3\right) ^{2}+1^{2}}\cdot \cos \alpha
|
|
\\
|
|
-6 &=2 \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\
|
|
\cos \alpha &= \frac{-6}{2\sqrt{10}}=\frac{-3}{\sqrt{10}} \\
|
|
\alpha &= \arccos \frac{-3}{\sqrt{10}}\simeq 161,565\degree%
|
|
\end{align*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{u}(-2,-5)$ i $\overrightarrow{v}(-3,2)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\bigskip
|
|
Vegem a continuació les propietats del producte escalar.
|
|
|
|
\begin{theorem}[Propietats del producte escalar]\label{resultat:propietats-del-producte-esclar} Donats vectors $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ i un nombre $k$ qualssevol, el producte escalar té les propietats següents:
|
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\left\vert \overrightarrow{u}\right\vert =\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}$. És a dir, el mòdul d'un vector es pot calcular amb l'arrel quadrada del producte escalar per si mateix.
|
|
|
|
\item $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$ (propietat conmutativa)
|
|
|
|
\item $\left( k\overrightarrow{u}\right) \cdot \overrightarrow{v}=k\left( \overrightarrow{u}\text{$\cdot $}\overrightarrow{v}\right)$ (propietat associativa)
|
|
|
|
\item $\overrightarrow{u}\cdot \left( \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right) =\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}$ (propietat distributiva)
|
|
|
|
\item \term{Condició de perpendicularitat entre dos vectors}\index{condició!de perpendicularitat entre dos vectors}: si el producte escalar de dos vectors és $0$, aleshores aquests dos vectors són perpendiculars entre si, i viceversa, és a dir, que si dos vectors són perpendiculars entre si, aleshores el seu producte escalar és $0$. Matemàticament,%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0\iff \overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{theorem}
|
|
|
|
\begin{example}Per exemple, els vectors $\overrightarrow{u}\left( 30,-9\right) $ i $\overrightarrow{v}\left( 3,10\right) $ són perpendiculars, ja que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=30\cdot 3+\left( -9\right) \cdot 10=0$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}En cada cas, calculeu $x$ per a què els vectors $\overrightarrow{u}\left( 8,-15\right)$ i $\overrightarrow{v}\left( 2,x\right)$ siguin:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item paral·lels,
|
|
|
|
\item perpendiculars,
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Donat el vector $\overrightarrow{u}\left( 5,12\right)$, trobeu:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item un vector paral·lel,
|
|
|
|
\item un vector perpendicular.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{La recta en el pla}
|
|
|
|
En aquest apartat farem un estudi de la recta en un espai de dues dimensions.
|
|
|
|
Una recta, en particular, és una col·lecció de punts. Per tant, un objectiu principal serà trobar les coordenades de tots els seus punts. La manera més senzilla de trobar-la és usar vectors.
|
|
|
|
Donada una recta $r$, sempre podem obtenir un punt qualsevol $P$ i un vector $v$ sobre aquesta --- per exemple, si sabéssim dos punts $A$ i $B$ sobre la recta, aleshores tendríem un punt, $A$ o $B$, i un vector amb aquestes condicions, $A-B$ o qualsevol múltiple seu. Per tant, qer a qualsevol punt $X$ sobre la recta, aquest forma el vector $\overrightarrow{OX}$, que té com a origen l'origen de coordenades i com a destí $X$. Aquest vector es pot posar com a suma del vector $OP$ i un múltiple del vector $v$ (figura \autoref{fig:equacio-vectorial-recta-2d}), és a dir, existeix un nombre $\lambda$ tal que:
|
|
\begin{equation}\label{eq:equacio-vectorial-recta-2d}
|
|
\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}.
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
|
|
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
|
|
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
|
|
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
|
|
\draw[->,color=black] (-3.,0.) -- (5.5,0.);
|
|
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
|
|
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
|
|
\draw[->,color=black] (0.,-1.) -- (0.,5.);
|
|
\foreach \y in {-1,1,2,3,4}
|
|
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
|
|
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
|
|
\clip(-3.,-1.) rectangle (5.5,5.);
|
|
\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt,domain=-3.:5.5] plot(\x,{(--6.--2.*\x)/4.});
|
|
\draw [->] (0.,0.) -- (1.704,2.352);
|
|
\draw [->] (0.,0.) -- (4.128,3.564);
|
|
\draw [->,color=ffqqqq] (-1.,1.) -- (0.632,1.816);
|
|
\draw (-1.9,1.44) node[anchor=north west] {$r$};
|
|
\draw (0,0) node[anchor=north east] {$O$};
|
|
\begin{scriptsize}
|
|
\draw [fill=xdxdff] (1.704,2.352) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=xdxdff] (1.84,2.64) node {P};
|
|
\draw [fill=xdxdff] (4.128,3.564) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=xdxdff] (4.26,3.84) node {X};
|
|
\draw [fill=uuuuuu] (0.,0.) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=ffqqqq] (-0.16,1.64) node {v};
|
|
\end{scriptsize}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Visualització de l'equació vectorial d'una recta}
|
|
\label{fig:equacio-vectorial-recta-2d}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Aquest equació \eqref{eq:equacio-vectorial-recta-2d} s'anomena \term{equació vectorial de la recta}\index{equació!vectorial!d'una recta} i al vector $v$ se li diu \term{vector director} de $r$\index{vector!director}.
|
|
|
|
\begin{claim}Noteu que realment no fa falta que el vector director $v$ estigui sobre la recta. Basta qualsevol que tengui la mateixa direcció, ja que suposem que feim feina amb vectors lliures. En aquest sentit parlarem de {\em el} vector director de la recta $r$ i no d'{\em un} vector director, per a qualsevol d'aquests vectors, ja que els haurem identificat.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{example}Trobeu l'equació vectorial de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(4,5)$.
|
|
|
|
Hem de prendre un punt de la recta i un vector director. Ja tenim el punt: podem prendre $A$ o $B$. Agafarem $A(2,3)$.
|
|
|
|
Per trobar el vector director, calcularem $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{(4-2,5-3)} = \overrightarrow{(2,2)}$.
|
|
|
|
Per tant, l'equació vectorial de la recta en qüestió és:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{(2,2)}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Si denotam $X=(x,y)$ les coordenades del punt $X$, tenim que aquesta equació es transforma en:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(2,3)} + \lambda \overrightarrow{(2,2)}.
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{claim}
|
|
A part d'aquesta equació, n'hi ha d'altres però totes provénen d'aquesta. L'ús d'una o de l'altra dependrà de l'exercici concret que volguem resoldre i de la nostra comoditat.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\subsection{Equació paramètrica de la recta}
|
|
|
|
Sigui $r$ una recta donada pel punt $P(x_{1},y_{1})$ i el vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x,v_y)$, aleshores l'equació vectorial de la recta $r$ ve donada per
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v},
|
|
\end{equation*}
|
|
on $X(x,y)$ és un punt qualsevol de la recta. Si desenvolupem aquesta equació obtenim que
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(x_1,y_1)} + \lambda \cdot \overrightarrow{(v_x, v_y)},
|
|
\end{equation*}
|
|
és a dir,
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(x_1 + \lambda \cdot v_x, y_1 + \lambda v_y)}.
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Dos vectors són iguals si, i només si, les seves components són iguals. Per tant, $(x,y) = (x_1 + \lambda \cdot v_x, y_1 + \lambda v_y)$, és a dir, s'han de complir simultàniament les equacions següents:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\{\begin{aligned}
|
|
x & = x_1 + \lambda \cdot v_x,\\
|
|
y & = y_1 + \lambda \cdot v_y.
|
|
\end{aligned}
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Hem obtingut l'\term{equació paramètrica}\index{equació!paramètrica!d'una recta}. L'equació paramètrica d'una recta dóna les coordenades de tots els punts d'una recta depenent d'un paràmetre $\lambda$ (d'aquí el seu nom). Per a cada valor de $\lambda$ obtenim un punt de la recta.
|
|
|
|
Recapitulant, si $r$ és una recta que passa pel punt $P(x_1, y_1)$ i té com a vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x,v_y)$, aleshores l'equació paramètrica de $r$ ve donada per:
|
|
\begin{equation}\label{eq:equacio-parametrica-recta-2d}
|
|
r:\left\{\begin{aligned}
|
|
x & =x_{1}+\lambda v_{x} \\
|
|
y & =y_{1}+\lambda v_{y}%
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right.,
|
|
\end{equation}%
|
|
amb $\lambda \in \mathbb{R}$.
|
|
|
|
\begin{example}\label{exemple:equacio-parametria-recta-2d}Si una recta passa pel punt $\left( 0,-1\right)$ i el seu vector director és $\overrightarrow{v}\left(-3,2\right)$, aleshores la seva equació paramètrica és la següent:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left. \begin{aligned}
|
|
x & =0+\lambda \left( -3\right) \\
|
|
y & =-1+\lambda \cdot 2
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right\} ; \left.
|
|
\begin{aligned}
|
|
x & =-3\lambda \\
|
|
y & =-1+2\lambda%
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right\}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
Per trobar més punts d'aquesta recta basta substituir $\lambda $ per un nombre qualsevol a les expressions anteriors.
|
|
|
|
\begin{example}Si a la recta anterior feim $\lambda =2$, tenim que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left. \begin{aligned}
|
|
x & =-6 \\
|
|
y & =-1+4=3%
|
|
\end{aligned}
|
|
\right\},
|
|
\end{equation*}%
|
|
i, per tant, que $\left( -6,3\right)$ és un altre punt de la recta.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per $A(-3,0)$ i segueix la direcció $\overrightarrow{v}\left( 5,-1\right)$. Trobeu tres punts més d'aquesta recta.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{claim}Per saber si un punt pertany a una recta donada, només hem de veure si aquest punt verifica les equacions de la recta. Per exemple, si volem saber si $P=(5,3)$ pertany o no a la recta de l'\autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, només hem de substituir a les equacions:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\{ \begin{aligned}
|
|
5 & = -3 \lambda\\
|
|
3 & = -1 + 2 \lambda
|
|
\end{aligned}\right. ,
|
|
\end{equation*}
|
|
i hem de resoldre aquest sistema. Si aquest sistema té solució, és a dir, existeix $\lambda$, aleshores $P$ pertanyarà a la recta; sinó, no ho farà. En el nostre cas, $\lambda = -5/3$ de la primera equació i $\lambda = 2$ de la segona. Per tant, $P$ no és de la recta.
|
|
|
|
Aquest fet també ens servirà per a les altres equacions de la recta.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\subsection{Equació contínua de la recta}
|
|
|
|
Si aïllem $\lambda $ a cadascuna de les equacions de la recta en forma paramètrica \eqref{eq:equacio-parametrica-recta-2d}, obtenim
|
|
\begin{equation*}
|
|
\lambda =\frac{x-x_{1}}{v_{x}},\text{ }\lambda =\frac{y-y_{1}}{v_{y}}.
|
|
\end{equation*}
|
|
Si ara igualam les dues equacions, s'obté \term{l'equació contínua de la recta}\index{equació!contínua!d'una recta}
|
|
\begin{equation}\label{eq:equacio-continua-recta-2d}
|
|
r:\frac{x-x_{1}}{v_{x}}=\frac{y-y_{1}}{v_{y}},
|
|
\end{equation}
|
|
on $P(x_{1},y_{1})$ és qualsevol punt de la recta i $\overrightarrow{v_{r}}(v_x,v_u)$ és el vector director de la recta.
|
|
|
|
\begin{example}Seguint amb la recta de l'exemple anterior, \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, la seva equació contínua és:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{claim}Notem que si alguna component del vector director $\overrightarrow{v_r}$ és zero, aleshores no existeix la fracció corresponent a l'equació \eqref{eq:equacio-continua-recta-2d} (no es pot dividir per zero). Ara bé, en aquest cas es veu l'equació \eqref{eq:equacio-continua-recta-2d} com a {\em notació}.
|
|
|
|
Per exemple, la recta que passa pel punt $(2,3)$ i té com a vector director $\overrightarrow{(5,0)}$, té com a equació contínua:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{0}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\subsection{Equació general de la recta}\label{seccio:equacio-general-de-la-recta-2d}
|
|
|
|
Si a les equacions de la recta en forma contínua llevam els denominadors i ho transposam tot al primer membre, l'equació de la recta s'escriu de la manera següent:%
|
|
\begin{equation}\label{eq:equacio-general-recta-2d}
|
|
Ax+By+C=0,
|
|
\end{equation}%
|
|
amb $A$, $B$ i $C$ nombres reals. Aquesta equació rep el nom d'\term{equació general de la recta} o \term{equació implícita de la recta}\index{equació!general!d'una recta}\index{equació!implícita!d'una recta}.
|
|
|
|
\begin{example}Seguint amb la recta anterior, \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, la seva equació general és:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \equiv 2x=-3\left( y+1\right),
|
|
\end{equation*}
|
|
que simplificada és:
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \equiv 2x+3y+3=0.
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{claim}Notem que, si a l'exemple anterior, feim $x = \lambda$, llavors
|
|
\begin{equation*}
|
|
y = \left(-3-2x\right)/3 = -1 + 2/3 \lambda,
|
|
\end{equation*}
|
|
per la qual cosa
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
x\\
|
|
y
|
|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
|
|
0\\
|
|
-1
|
|
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
|
|
1\\
|
|
-2/3
|
|
\end{pmatrix} \cdot \lambda.
|
|
\end{equation*}
|
|
Això implica que $r$ passa pel punt $(0,-1)$ i té com a vector director $\overrightarrow{(1,-2/3)}$. Noteu que aquest darrer vector director és equivalent a $(-3,2)$ (aquest darrer és el primer multiplicat per $3$), el qual és el que teníem a l'exemple \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu les equacions contínua i general de la recta que passa per $P(2,-5)$ i segueix la direcció del vector director $\overrightarrow{v}\left(-2,7\right)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Donada la recta d'equació $5x-y+6=0$, trobeu les cooordenades de dos dels seus punts. A partir d'aquests, calculeu el seu vector director.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsubsection{Vector director a partir de l'equació general}
|
|
|
|
\begin{proposition}\label{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}Donada una recta en forma general, és a dir, $Ax+By+C=0$, el seu vector director és $\overrightarrow{v}=\left(-B,A\right)$.
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
\begin{demonstration}Una recta genèrica $r$ que passa pel punt $P(x_1, y_1)$ i que té com a vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x, v_y)$ té l'equació contínua
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \equiv \frac{x-x_1}{v_x} = \frac{y-y_1}{v_y}
|
|
\end{equation*}
|
|
Per tant, $v_y \cdot (x-x_1) = v_x \cdot (y-y_1)$. Aleshores, $v_y x - v_x y + (-v_y x1 + v_x y_1) = 0$. Per la qual cosa, $A=v_y$, $B=-v_x$ i $C=-v_y x_1 + v_x y_1$. Per tant, el vector director és $(v_x, v_y) = (-B, A)$.
|
|
\end{demonstration}
|
|
|
|
\begin{proposition}Donada una recta $r \equiv Ax + By + C = 0$ en forma implícita, tenim que el vector $(A, B)$ és perpendicular a la recta.
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
\begin{demonstration}El vector $(A,B)$ és perpendicular al vector $(-B,A)$ --- ja que el seu producte escalar és $0$. Per tant, el vector $(A,B)$ és un
|
|
vector perpendicular a la recta d'equació $Ax+By+D=0$.
|
|
\end{demonstration}
|
|
|
|
\begin{example}El vector director de la recta $5x-2y+1=0$ és $\overrightarrow{v}=\left(2,5\right)$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu el vector director de les rectes següents:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $4x-3y+1=0$
|
|
|
|
\item $-y+5=0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Donada la recta $x-5y+8=0$, trobeu:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item l'equació de la recta paral·lela que passa pel punt $(2,-7)$,
|
|
|
|
\item l'equació de la recta perpendicular que passa pel punt $(2,-7) $.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{claim}La \autoref{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}, serveix per a passar de l'equació general a l'equació contínua o bé a l'equació paramètrica: directament es pot obtenir el seu vector director $v_r$. I després subtituïnt $x$ o $y$, podem trobar un punt seu.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{example}Obteniu l'equació contínua de la recta $s$ que té equació general $s \equiv 5x -9y -2 = 0$.
|
|
|
|
|
|
Per la \autoref{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}, tenim que el vector director de $s$ és $v_s = (9,5)$.
|
|
|
|
D'altra banda, trobarem un punt de $s$. Prendre'm $x = 0$, per exemple, amb el que obtenim $y = -2/9$. Per tant $(0,-2/9) \in s$.
|
|
|
|
Amb tot, tenim que l'equació contínua de $s$ serà:
|
|
\begin{equation*}
|
|
s \equiv \frac{x}{9} = \frac{y+\frac{2}{9}}{5}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Donada la recta $r \equiv 2x - 9y +5 = 0$, trobeu les equacions contínua, paramètrica i vectorial.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{example}Trobeu el punt de tall de les rectes $r \equiv 2x -5y +10 = 0$ i $s \equiv \frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{8}$.
|
|
|
|
|
|
Diem $P(a,b)$ al punt de tall de $r$ i $s$. Si $P \in r \cap s$, aleshores $P$ verifica les equacions de $r$ i $s$ simultàniament. Per tant, s'ha de verificar el sistema:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\{\begin{aligned}
|
|
2a-5b + 10 = 0\\
|
|
\frac{a-2}{5} = \frac{b-3}{8}
|
|
\end{aligned}\right.
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Aplicant el mètode de reducció (multiplicant la segona equació per $40$), tenim que
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\{\begin{aligned}
|
|
2a-5b &= - 10\\
|
|
8a -5b & = 1
|
|
\end{aligned}\right.
|
|
\end{equation*}
|
|
Per tant, $a = 3/2$ i $b = 13/5$. Llavors el punt de tall és $P(\frac{3}{2}, \frac{13}{5})$.
|
|
|
|
Noteu que no sempre dues rectes tendran punt de tall: quan aquestes siguin paral·leles, aleshores no existiran punts de tall. En aquest cas, el sistema no tendria solució. Vegeu l'apartat referent a la posició relativa de dues rectes (\autoref{subseccio:posicio-relativa-rectes-2d}).
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Donades les rectes $r \equiv 5x - 2y + 8 = 0$ i $s \equiv \frac{x-2}{3} = \frac{y}{5}$, trobeu:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item dues rectes paral·leles a $r$
|
|
\item dues rectes paral·leles a $s$
|
|
\item una recta perpendicular a $s$ que passi per $(10,10)$
|
|
\item una recta perpendicular a $r$ que passi per $(0,0)$
|
|
\item el punt de tall de $r$ i $s$
|
|
\item el punt de tall de $r$ i la recta perpendicular a $s$ que passa per $(5,20)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Equació explícita de la recta}
|
|
|
|
Si de l'equació general d'una recta \eqref{eq:equacio-general-recta-2d} aillam la $y$ ens queda una equació de la forma:%
|
|
\begin{equation}\label{eq:equacio-explícita}
|
|
y=mx+b,
|
|
\end{equation}%
|
|
amb $m$ i $b$ nombres reals. Aquesta equació es coneix amb el nom de \term{equació explícita de la recta}\index{equació!explícita!d'una recta}. S'anomena \term{pendent}\index{pendent d'una recta} al coeficient $m$ i \term{ordenada a l'origen}\index{ordenada a l'origen} al nombre $b$. La interpretació gràfica d'aquests dos paràmetres és la següent:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item La pendent de la recta és la inclinació d'aquesta:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Si $m > 0$, aleshores la recta és \term{creixent}\index{recta!creixent} (quan els valors de $x$ creixen, els valors de $y$ creixen)
|
|
\item Si $m < 0$, aleshores la recta és \term{decreixent}\index{recta!decreixent} (quan les valors de $x$ creixen, els valors de $y$ decreixen)
|
|
\item Si $m=0$, aleshores la recta és \term{constant}\index{recta!constant}. Té una forma completament horitzontal.
|
|
\end{itemize}
|
|
D'altra banda, quan $\lvert m \rvert$ és major, la inclinació de la recta és major en el sentit que és més vertical. Per exemple, $y = 3x+2$ tendrà més inclinació que $y=x+2$, i $y=-5x+10$ tendrà més inclinació que $y = -2x+10$.
|
|
|
|
\item L'ordenada a l'origen $b$ és el valor que de l'eix de les $Y$ quan $x=0$. És a dir, l'ordenada a l'origen ens diu en quin punt talla la recta a l'eix $OY$. En altres paraules, $(0,b)$ és el punt de tall de la recta amb l'eix $OY$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\begin{example}Representeu gràficament la recta $r \equiv y=-2x+3$ i trobeu els seus punts de tall amb els eixos.
|
|
|
|
Sabem que $r$ és decreixent perquè $-2 < 0$. I que passa per $(0,3)$. Per representar-la només ens fa falta un altre punt (una recta ve determinada per dos punts). Substituïm, per exemple, per $x = 2$: $y = -2 \cdot 2 +3 = -1$. Per tant, $(2,-1) \in r$. Aleshores, $r$ té la representació següent (\autoref{fig:equacio-explicita-recta-2d}):
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
|
|
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
|
|
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
|
|
\draw[->,color=black] (-1,0) -- (3,0);
|
|
\foreach \x in {-1,1,2}
|
|
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
|
|
\draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,4);
|
|
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}
|
|
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
|
|
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
|
|
\clip(-1,-2) rectangle (3,4);
|
|
\draw [domain=-1:3] plot(\x,{(--3-2*\x)/1});
|
|
\draw (1,2.24) node[anchor=north west] {$r$};
|
|
\begin{scriptsize}
|
|
\draw [fill=uuuuuu] (0,3) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=uuuuuu] (0.14,3.28) node {$A$};
|
|
\draw [fill=xdxdff] (2,-1) circle (1.5pt);
|
|
\draw[color=xdxdff] (2.14,-0.72) node {$B$};
|
|
\end{scriptsize}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Visualització de l'equació explícita d'una recta}
|
|
\label{fig:equacio-explicita-recta-2d}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
Només fa falta trobar el punt de tall amb l'eix de les abscises. En aquest cas, $y=0$. Per tant, $0=-2x+3$, el que implica que $x = 3/2$. Per tant, el punt $(\frac{3}{2},0)$ és el punt de la recta que està sobre l'eix $OX$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\subsubsection{Càlcul de la pendent mitjançant dos punts}
|
|
|
|
Donats dos punts $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$, per calcular la pendent de la recta $r \colon y = mx + b$ que els conté, podem substituir ambdós punts a l'equació de la recta i trobar $m$ i $b$. O bé, podem emprar la fórmula següent per a calcular la pendent de $r$:
|
|
\begin{equation*}
|
|
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}
|
|
\end{equation*}
|
|
i després substituir un dels punts a l'equació de la recta per a trobar $b$.
|
|
|
|
\begin{example} Trobeu l'equació explícita de la recta $r$ que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(10,15)$.
|
|
|
|
Sigui $r \colon y = mx + n$ l'equació explícita de la recta $r$. Hem de determinar $m$ i $n$. Facem-ho de dues maneres:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Substituïnt els dos punts a l'equació explícita.
|
|
|
|
Com que $A$ i $B$ són punts de la recta $r$, verifiquen la seva equació. Per tant,
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\{ \begin{aligned}
|
|
3 & = m \cdot 2 + n\\
|
|
15 & = m \cdot 10 + n
|
|
\end{aligned} \right.
|
|
\end{equation*}
|
|
Si resolem aquest sistema per $m$ i $n$, obtenim $m = 3/2$ i $n = 0$.
|
|
|
|
\item Emprant la fórmula de la pendent
|
|
|
|
Podem calcular la pendent amb la fórmula:
|
|
\begin{equation*}
|
|
m = \frac{15-3}{10-2} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}
|
|
\end{equation*}
|
|
Per tant, $r \colon y = \frac{3}{2} x + n$. Prenem un punt qualsevol de la recta, per exemple $A$, i substituïm-lo a aquesta equació: $3 = \frac{3}{2} \cdot 2 + n$. D'aquí tenim que $n=0$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Pendents de rectes paral·leles i perpendiculars}
|
|
|
|
Existeix una relació entre les pendents de rectes paral·leles o perpendiculars:
|
|
|
|
\begin{proposition}[relació entre les pendents de rectes paral·leles o perpendiculars] Siguin $r\colon y = m_r x + n_r$ i $s \colon y = m_s x + n_s$ dues rectes en el pla. Aleshores:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $r \parallel s \iff \text{r, s tenen la mateix pendent} \iff m_r = m_s$
|
|
|
|
\item $r \bot s \iff m_{r}=-\frac{1}{m_s}$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
Aquest teorema no es podrà generalitzar a la geometria a l'espai.
|
|
|
|
\begin{example}Si el pendent d'una recta donada val $-5$, la pendent de qualsevol recta paral·lela val tamb\'{e} $-5$, i la de qualsevol recta perpendicular val $1/5$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Donada la recta $x+5y-3=0$, calculeu la seva pendent, la de una recta paral·lela i la de una recta perpendicular.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Equació de la recta determinada per dos punts}
|
|
|
|
\begin{proposition}[equació de la recta determinada per dos punts donats]Donats dos punts coneguts $A(x_{1},y_{1})$ i $B(x_{2},y_{2})$, si volem conèixer la recta que determinen, podem emprar la fórmula següent:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}},
|
|
\end{equation*}
|
|
que ens dóna l'equació contínua de la recta.
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
Amb aquesta proposició, ens evitam haver de cercar el vector director i plantejar una equació.
|
|
|
|
\begin{example}L'equació de la recta que passa pels punts $A\left( 0,-2\right) $ i $B\left( -4,1\right)$ es la següent:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{x}{-4}=\frac{y+2}{3}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu l'equació de la recta que passa pels punts $A\left( 3,-5\right)$ i $B\left( -1,7\right)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Exemples de càlcul d'equacions de rectes}
|
|
|
|
\begin{example}Trobeu la recta que passa pels punts $A(5,9)$ i $B(-10,8)$.
|
|
|
|
Ho farem de diverses maneres:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Calculant el vector director i amb un punt:
|
|
|
|
El vector director pot ser $\overrightarrow{v} = (-10-5, 8-9) = (-15,-1)$. Qualsevol múltiple seu també és vector diretor de la recta. Per tant, triarem $\overrightarrow{v}(15,1)$ per evitar els signes.
|
|
|
|
D'aquí podem obtenir diverses equacions de la recta fàcilment:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item L'equació vectorial: $\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{(5,9)} + \lambda \cdot \overrightarrow{(15,1)}$
|
|
\item L'equació paramètrica: $r \colon \left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
x & = 5 + 15 \lambda\\
|
|
y & = 9 + \lambda
|
|
\end{aligned}\right.$
|
|
\item L'equació contínua: $r \colon \frac{x-5}{15} = y-9$
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Trobant la pendent:
|
|
|
|
Amb la fórmula, $m = \frac{8-9}{-10-5} = 1/15$. Per tant $r \colon y = 1/15 x + n$. Substituïnt, per exemple, $A$ a l'equació de la recta, tenim que $9 = 1/15 \cdot 5 + n$. Pel que $n = 26/3$. Per tant, $r \colon y = 1/15 x + 26/3$.
|
|
\item A partir de la contínua o a partir de la explícita, podem trobar l'equació general\footnote{No és recomanable fer-ho amb un sistema d'equacions substituïnt els punts.}.
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{example}Trobeu totes les equacions de la recta que passa pel punt $P\left(3,-2\right)$ i que té per vector director $\overrightarrow{v}\left(1,-4\right)$.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item L'equació paramètrica és: $r:\left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
x & =3+\lambda \\
|
|
y & =-2-4\lambda%
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right. $
|
|
|
|
\item L'equació contínua és $r:x-3=\frac{y+2}{-4}$
|
|
|
|
\item L'equació general és $-4\cdot \left( x-3\right) =y+2$, és a dir, $-4x-y+10=0$
|
|
\item Si aïllam la $y$ tenim: $y=-4x+10$. Aleshores, la pendent d'aquesta recta és $-4$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Posició relativa entre dues rectes}\label{subseccio:posicio-relativa-rectes-2d}
|
|
|
|
\begin{proposition}[posició relativa entre dues rectes]Dues rectes al pla cartesià poden ser (vegi's \autoref{fig:posicio-relativa-recta-2d}):
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item \term{secants}\index{rectes!secants}, és a dir, que es tallen a un punt
|
|
\item \term{paral·leles}\index{rectes!paral·leles}. Per tant, no es tallen a cap punt.
|
|
\item \term{coincidents}\index{rectes!coincidents}, és a dir, són la mateixa recta.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Cadascuna d'aquestes posicions s'anomenen la \term{posició relativa} entre les dues rectes\index{posició relativa!entre dues rectes}.
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb geogebra. Modificat manualment
|
|
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
|
|
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=.75]
|
|
\begin{scope}[shift={(-2,0)}]
|
|
\clip(0.,0.) rectangle (18.,6.);
|
|
\draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-0.--2.52*\x)/2.7});
|
|
\draw [color=qqqqff,domain=0.:18.] plot(\x,{(-4.158--2.52*\x)/2.7});
|
|
\draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-17.3304--2.52*\x)/2.7});
|
|
\draw [color=qqqqff,domain=0.:18.] plot(\x,{(-29.9192--2.84*\x)/0.22});
|
|
\draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-31.4244--2.52*\x)/2.7});
|
|
\draw (3.54,4.3) node[anchor=north west] {$r$};
|
|
\draw (4.86,2.74) node[anchor=north west] {$s$};
|
|
\draw (9.08,3.26) node[anchor=north west] {$r$};
|
|
\draw (11.04,3.02) node[anchor=north west] {$s$};
|
|
\draw (15.44,4.36) node[anchor=north west] {$r \text{ i } s$};
|
|
\begin{scriptsize}
|
|
\draw [fill=qqqqff] (10.82,3.68) circle (1.5pt);
|
|
\end{scriptsize}
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Les diferents posicions relatives possibles entre dues rectes}
|
|
\label{fig:posicio-relativa-recta-2d}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
La proposició següent ens diu quan dues rectes són secants, paral·leles o coincidents.
|
|
|
|
\begin{proposition}[criteri de posició relativa] Per a dues rectes $r$ i $s$ en el pla es compleix:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Si $r$ i $s$ tenen diferent pendent, aleshores són secants
|
|
\item Si $r$ i $s$ tenen la mateixa pendent, aleshores són paral·leles o coincidents. En aquest cas:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Si $r$ i $m$ tenen diferents ordenades a l'origen, llavors són paral·leles
|
|
\item Si $r$ i $m$ tenen la mateixa ordenada a l'origen, llavors són coincidents
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
Aquest criteri usant vectors directors és el següent:
|
|
|
|
\begin{proposition}[criteri de posició relativa] Per a dues rectes $r$ i $s$ en el pla es compleix:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Si $r$ i $s$ no tenen vectors directors proporcionals, aleshores són secants
|
|
\item Si $r$ i $s$ tenen vectors directors proporcionals\footnote{Hem de notar aquí que si dues rectes tenen vectors directors que són proporcionals, sempre podem prendre el mateix vector director a les dues rectes. Per exemple $r \colon \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4}$ té com a vector director $\overrightarrow{(2,4)}$ i $s \colon \frac{x-5}{1} = \frac{y-8}{2}$ té com a vector director $\overrightarrow{(1,2)}$, els quals són proporcionals. Per tant, podríem prendre com a equació contínua de la recta $r$ l'equació $\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{2}$.}, aleshores són paral·leles o coincidents. En aquest cas, si $r$ i $s$ passen per un punt en comú, aleshores són coincidents. Altrament, són paral·leles
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu la posició relativa de les rectes:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $r \colon y = 2x -5$ i $s \colon y = 3x+4$
|
|
\item $r \colon 2x + 5y -4 = 0$ i $s \colon \left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
x & = 2 + 5 k\\
|
|
y & = -3 + 7k
|
|
\end{aligned}\right.$
|
|
\item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y + 2}{2}$ i $s \colon x - 2y + 5 = 0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsubsection{Càlcul dels punts de tall}
|
|
|
|
Fins ara hem vist quina és la posició relativa entre dues rectes. Això vol dir que podem saber si dues rectes es tallen però {\em encara} no sabem com trobar el seu punt de tall.
|
|
|
|
Per a trobar el punt de tall entre dues rectes, només hem de notar que si $P$ pertany a les dues rectes, aleshores ha de complir ambdues equacions. D'aquesya manera obtindrem un sistema d'equacions de dues incògnites i dues equacions, que podem resoldre fàcilment per reducció, igualació o substitució.
|
|
|
|
\begin{example}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes $r:x-3y+1=0$ i $s:-4x+7y=0$.
|
|
|
|
Hem de resoldre el sistema%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
x-3y+1 & = 0 \\
|
|
-4x+7y & = 0%
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}%
|
|
|
|
Si aplicam el mètode de substitució, aïllant la $x$ de la primera equació: $x=3y-1$, tenim que $-4\left( 3y-1\right) +7y=0$, és a dir, $y=\frac{4}{5}$. Per tant, si substituïm a la primera equació: $x-3\cdot \frac{4}{5}+1=0$, és a dir, $x=\frac{7}{5}$.
|
|
|
|
Aleshores, el punt de tall entre ambdues rectes \'{e}s el punt $\left( \frac{7}{5},\frac{4}{5}\right)$.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes $r:2x-3y+1=0$ i $s:-4x+7y=0$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $r \colon y = 2x +4$ i $s \colon y = 7x-5$
|
|
\item $r \colon y = 2x +4$ i $s \colon x -y -5 = 0$
|
|
\item $r \colon 2x - y - 2 = 0$ i $s \colon \frac{x-1}{2} = \frac{x+5}{2}$
|
|
\item $r \colon 2x - 5y - 4 = 0$ i $s \colon x - y - 2 = 0$
|
|
\item $r \colon \left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
x & = 2 - 5 \lambda\\
|
|
y & = 1 + \lambda
|
|
\end{aligned}\right.$ i $s \colon \left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
x & = 2 \lambda\\
|
|
y & = 3 - 2\lambda
|
|
\end{aligned}\right.$
|
|
\item $r \colon \left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
x & = 1 + 2 \lambda\\
|
|
y & = 2 - 3\lambda
|
|
\end{aligned}\right.$ i $s \colon \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu els punts de tall, si existeixen, entre les rectes $r:2x-3y+1=0$ i $s:-4x+\alpha y=0$ en funció del paràmetre $\alpha$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Exercicis proposats}
|
|
|
|
\subsection*{Punts i vectors}
|
|
|
|
\begin{exercise}Els punts $A\left( 3,-2\right) ,$ $B\left( 5,0\right) $ i $C\left(-1,-3\right)$ són vèrtexs d'un paral·lelogram. Calculeu la posició de l'altre vèrtex $D$. I trobeu el seu perímetre. Calculeu analíticament $\overrightarrow{AD}$ i el seu mòdul.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-1}Donats els punts $A(3,1)$, $B(-5,1)$, $C(-4,-2)$ i $D(0,-3)$, calculeu, analíticament, les components i el mòdul dels vectors:
|
|
\begin{multicols}{4}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\overrightarrow{AB}$
|
|
\item $\overrightarrow{BA}$
|
|
\item $\overrightarrow{BC}$
|
|
\item $\overrightarrow{CB}$
|
|
\item $\overrightarrow{CD}$
|
|
\item $\overrightarrow{AD}$
|
|
\item $\overrightarrow{BD}$
|
|
\item $\overrightarrow{CA}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-2}Calculeu les coordenades de $B$ si sabem que el vector $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(3,-4)}$ i $A = (2,-5)$; trobeu les coordenades del punt $C$ si sabem que $D(-5,2)$ i $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{(-5,1)}$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-3}Donats els punts $A(3,0)$, $B(2,3)$, $C(-2,1)$ i $D(7,2)$, esbrineu si els vectors següents són equipolents:
|
|
\begin{multicols}{3}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$
|
|
\item $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DB}$
|
|
\item $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DA}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-4}Les coordenades del punt $A$ són el doble de les del punt $B$. Sabent que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(-2,5)}$, calculeu les coordenades dels punts $A$ i $B$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-5}Donats els vectors $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{(7,-4)}$, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(-5,-2)}$ i $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{(-6,0)}$, calculeu:
|
|
\begin{multicols}{3}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $5\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$
|
|
\item $3\overrightarrow{u}-\frac{2}{3}\overrightarrow{w}$
|
|
\item $-\overrightarrow{w}-3(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$
|
|
\item $-3\overrightarrow{v}+5\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
i calculeu-ne els seus mòduls.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-6}Trobeu quatre vectors paral·lels i tres perpendiculars al vector $\overrightarrow{u}(-5,4)$. En podeu trobar d'unitaris?
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-7}Calculeu l'angle que formen els vectors següents i extreis conclusions sobre la seva direcció i sentit:
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\overrightarrow{u}(5,2)$ i $\overrightarrow{v}(10,4)$
|
|
\item $\overrightarrow{u}(-3,15)$ i $\overrightarrow{v}(2,-10)$
|
|
\item $\overrightarrow{u}(3,4)$ i $\overrightarrow{v}(-50,40)$
|
|
\item $\overrightarrow{u}(-3,4)$ i $\overrightarrow{v}(-2,10)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-punts-8}Donats els punts $A(2,3)$ i $B(-5,4)$, trobeu els punts que divideixen el segment $AB$ en dues parts iguals, en tres parts iguals i en quatre parts iguals.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection*{Rectes}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-1}Trobeu la recta determinada per:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item Els punts $A(-2,-1)$ i $B(2,4)$
|
|
\item El punt $P(1,-4)$ i el vector director $\overrightarrow{v}(5,-3)$
|
|
\item El punt $P(1,-2)$ i l'angle que forma amb l'eix $OX$ és $\alpha = 135 \degree$
|
|
\item El punt $P(1,-1)$ i la pendent $m=2$
|
|
\item La pendent $m=2$ i l'ordenada a l'origen $-5$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-2}Donada la recta $r$ que passa pel punt $P(-5,-3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(12,8)$:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item Trobeu les equacions vectorial i paramètrica de la recta
|
|
\item Trobeu tres punts que pertanyin a $r$
|
|
\item Esbrineu si els punts $(-11,-7)$ i $(2,-1)$ pertanyen a la recta.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-3}Donada la recta $s$ que passa pel punt $P(4,-3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(2,-7)$:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item Trobeu l'equació contínua de la recta
|
|
\item Trobeu tres punts que pertanyin a $s$
|
|
\item Esbrineu si els punts $(8,-7)$ i $(0,11)$ pertanyen a la recta.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-4}Donada la recta $s$ que passa pel punt $P(-2,3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(-1,4)$:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item Trobeu l'equació general de la recta
|
|
\item Trobeu tres punts que pertanyin a $s$
|
|
\item Esbrineu si els punts $(-5,15)$ i $(4,3)$ pertanyen a la recta.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu l'equació general de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(-3,-2)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu l'equació explícita de la recta que:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item passa pel punt $A(-3,-1)$ i té pendent $m=-2$
|
|
\item passa pels punts $A(-4,-2)$ i $B(-3,-1)$
|
|
\item passa pel punt $A(-5,2)$ i té ordenada a l'origen $-4$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-5}Trobeu un punt i el vector director de cadascuna d'aquestes rectes:
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(-10,-4)} + k \overrightarrow{(-9,7)}$
|
|
\item $\frac{x-15}{-1} = \frac{y+2}{6}$
|
|
\item $2x-5y +3=0$
|
|
\item $y = -5x+10$
|
|
\item $\left\{\begin{aligned}
|
|
x & = 2 - 8k\\
|
|
y & = 3 + 6k
|
|
\end{aligned}\right.$
|
|
\item $x-5 = \frac{y+4}{12}$
|
|
\item $x+3y+1 = 0$
|
|
\item $y = -\frac{3}{2}x-2$
|
|
\item $\left\{\begin{aligned}
|
|
x & = -7 - k\\
|
|
y & = 11 + k
|
|
\end{aligned}\right.$
|
|
\item $\frac{-x-5}{-1} = \frac{4y+4}{8}$
|
|
\item $-2x -y-12=0$
|
|
\item $y=x+4$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-6}Indiqueu si els punts següents estan alinets:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $A(-1,1)$, $B(2,1)$ i $C(8,5)$
|
|
\item $D(-1,2)$, $E(0,0)$ i $F(2,-2)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
En cas negatiu, obteniu-ne un que hi estigui.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-7}Esbrineu la posició relativa de les rectes següents:
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $r \colon 6x-15y+1=0$ i $s\colon -10x+25y+1=0$
|
|
\item $r \colon 2x-10y+8 = 0$ i $s \colon x + 5y +4=0$
|
|
\item $r \colon y=2x +3$ i $s \colon y=2x+1$
|
|
\item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{4}$ i $s\colon \frac{x-2}{-3} = \frac{y+4}{-12}$
|
|
\item $r \colon 2x + 6y +4=0$ i $s \colon -3x-9y -6 = 0$
|
|
\columnbreak
|
|
% https://tex.stackexchange.com/questions/8683/how-do-i-force-a-column-break-in-a-multi-column-page
|
|
\item $r \colon y = x+1$ i $s \colon y=-x+1$
|
|
\item $r \colon y = 3x+\frac{1}{2}$ i $s \colon 6x-2y +1 =0$
|
|
\item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{4}$ i $s \colon \left\{\begin{aligned}
|
|
x & = -10 - k\\
|
|
y & = 2 + k
|
|
\end{aligned}\right.$
|
|
\item $r \colon \frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{4}$ i $s\colon 2x-y +5=0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-8}Trobeu el punt d'intersecció de les rectes secants de l'exercici anterior.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-9}Trobeu la recta paral·lela a la recta $r$ que passa pel punt $P$ en els casos següents:
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $r \colon 4x-5y +3=0$, $P(-3,5)$
|
|
\item $r \colon \frac{x+5}{-2} = \frac{y+1}{-3}$, $P(4,-10)$
|
|
\item $r \colon y = -5x + 3$, $P(-1,1)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-10}Indiqueu si els parells de rectes següents són perpendiculars:
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $r \colon x-5y +1 = 0$, $s\colon 10x+2y-3 =0$
|
|
\item $r \colon y=2x+4$, $s\colon y=-\frac{1}{2} x + 8$
|
|
\item $r \colon \frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{4}$, $s \colon \frac{x-2}{4} = \frac{y+4}{-1}$
|
|
\item $r \colon x+y+4=0$, $s \colon -x-y-1 =0$
|
|
\item $r \colon y=x+1$, $s \colon y = -x-2$
|
|
\item $r \colon \frac{x-1}{3} = \frac{y-5}{7}$, $s \colon 7x+3y+5=0$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-11}Trobeu l'equació de la recta perpendicular a la recta $r$ que passa pel punt $P$:
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $r \colon 4x-5y+3 =0$, $P(-3,5)$
|
|
\item $r \colon \frac{x+5}{-2} = \frac{y+1}{-3}$, $P(4,-10)$
|
|
\item $r \colon y=-5x+3$, $P(-1,1)$
|
|
\item $r \colon \left\{ \begin{aligned}
|
|
x & = 3 + 5 \lambda\\
|
|
y & = -2 - 6 \lambda
|
|
\end{aligned}\right.$, $P(1,1)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-12}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r \equiv 3x+ay+4=0$ i $s \equiv 4x-2y-1=0$ siguin
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item Paral·leles
|
|
\item Perpendiculars
|
|
\item Formin un angle de 45 graus
|
|
\item Formin un angle de 60 graus
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:espuig-13}Calculeu l'angle que formen les rectes següents:
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $r \colon x-y+1=0$, $s\colon 7x+2y-3=0$
|
|
\item $r \colon y=-3x+4$, $s \colon y=-x+1$
|
|
\item $r \colon 2x+y+4=0$, $s \colon -3x+2y-1=0$
|
|
\item $r \colon \frac{x-1}{2} = \frac{y-5}{3}$, $s\colon \frac{x-2}{3} = \frac{y+4}{-2}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Donada la recta $r\colon 2x-3y+1=0$, calculeu:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item el seu vector director i un vector perpendicular,
|
|
|
|
\item l'equació de la recta que passa pel punt $A\left( 3,-5\right)$ i que és perpendicular a la recta $r$,
|
|
|
|
\item el punt simètric del punt $A$ respecte de la recta $r$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu la pendent i l'ordenada a l'origen de les rectes següents:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $x+3y=4$
|
|
|
|
\item $4y+5=-x$
|
|
|
|
\item $2x - 7y = 0$
|
|
|
|
\item $-8y = 8$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu les equacions de la recta que passa pels punts $A\left( -1,0\right)$ i $B\left( -4,-1\right) $. Calculeu el seu vector director i altres dos punts més de la recta.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu totes les equacions de la recta que passa pel punt $A\left(3,-5\right)$ i que segueix la direcció $\overrightarrow{v}(-1,7)$. Calculeu la seva pendent.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu totes les equacions de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(-5,1)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Donada la recta $y=2x+8$, calculeu:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item el seu vector director,
|
|
|
|
\item l'equaci\'{o} de la recta paral\textperiodcentered lela que passa
|
|
pel punt $\left( 0,-8\right) $,
|
|
|
|
\item un vector perpendicular a la recta,
|
|
|
|
\item l'equaci\'{o} de la recta perpendicular que passa pel punt $\left( 0,-8\right)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu els punts de tall dels parells de rectes següents:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $r \colon \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{4}$ i $s \colon 3x - 5y + 2 = 0$
|
|
\item $r \colon y = 6x - 10$ i $s \colon 9x - 3y + 27 = 0$
|
|
\item $r \colon \left\{\begin{aligned}
|
|
x & = 3 + 2 \lambda\\
|
|
y & = -1 + 10 \lambda
|
|
\end{aligned} \right.$ i $s \colon y = -x + 2$
|
|
\item $r \colon \left\{\begin{aligned}
|
|
x & = 3 + 2 \lambda\\
|
|
y & = -1 + 10 \lambda
|
|
\end{aligned} \right.$ i $s \colon \left\{\begin{aligned}
|
|
x & = - 5 \lambda\\
|
|
y & = 2 - 6 \lambda
|
|
\end{aligned} \right.$
|
|
\item $r \colon \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{4}$ i $s \colon \frac{x}{10} = \frac{y+8}{-1}$
|
|
\item $r \colon 3x - 2y + 6 = 0$ i $s \colon -8x + 7y + 2 = 0$
|
|
\item $r \colon y = 4x - 2$ i $s \colon y = 10x - 8$
|
|
\item $r \colon y = 4x -2$ i $s \colon y= 4x-10$
|
|
\item $r \colon \left\{\begin{aligned}
|
|
x & = 3 + 2 \lambda\\
|
|
y & = -1 + 10 \lambda
|
|
\end{aligned} \right.$ i $s \colon \frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{3}$
|
|
\item $r \colon \left\{\begin{aligned}
|
|
x & = 3 + 2 \lambda\\
|
|
y & = -1 + 10 \lambda
|
|
\end{aligned} \right.$ i $s \colon 10x - 2y + 3 = 0$
|
|
\item $r \colon \frac{x-2}{3} = \frac{y+10}{-2}$ i $s \colon y = 10x -12$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\chapter{Geometria de l'espai}
|
|
|
|
\section{Sistema de coordenades espacials}
|
|
|
|
De forma anàloga al pla cartesià, a l'espai tridimensional tenim tres eixos de coordenades, $x$, $y$ i $z$, els quals són perpendiculars i parteixen d'un punt, anomenat \term{origen de coordenades}\index{origen!de coordenades}. La forma més usual de representar aquests eixos dibuixant l'eix $x$ en la direccció dreta-esquerra, l'eix $y$ en la direcció davant-darrera i l'eix $z$ en la direcció dalt-baix (\autoref{fig:sistema-de-coordenades-3d})
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb TikZ
|
|
\begin{tikzpicture}[thick]
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (3,0,0);
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
|
|
\draw (3,0,0) node[anchor=west] {$x$};
|
|
\draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
|
|
\draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
|
|
\draw (0,0,0) node[anchor=north] {$O$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Representació usual del sistema de coordenades cartesianes}
|
|
\label{fig:sistema-de-coordenades-3d}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
En aquest sistema de coordenades\index{sistema de coordenades}\index{espai cartesià}, un punt qualsevol $P$ ve localitzat per les projeccions als eixos de coordenades. De la mateixa manera que el cas bidimensional, direm que $P$ té \term{coordenades}\index{coodenades} $(x, y, z)$ i el podrem denotar com $P(x,y,z)$. Per exemple, el punt de coordenades $(1,2,3)$ correspon al punt $A$ de la figura següent (\autoref{fig:punt-coordenades-3d}).
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb TikZ
|
|
\begin{tikzpicture}[thick]
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (2,0,0);
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (0,4,0);
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
|
|
\draw (2,0,0) node[anchor=west] {$x$};
|
|
\draw (0,4,0) node[anchor=south] {$z$};
|
|
\draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
|
|
\draw[dashed] (1,0,2) -- (1,3,2);
|
|
\draw[loosely dotted] (1,0,2) -- (0,0,2);
|
|
\draw[loosely dashed] (1,0,2) -- (1,0,0);
|
|
\fill[color=blue] (1,3,2) circle (2pt);
|
|
\draw (1,3,2) node[anchor=west] {$A(1,2,3)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Representació del punt $A(1,2,3)$}
|
|
\label{fig:punt-coordenades-3d}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{exercise}Representeu gràficament en els eixos de coordenades els punts $A\left(3,-2,4\right)$ i $B\left( 5,0,-2\right)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Vectors}
|
|
|
|
Les definicions relatives a vectors que hem estudiat a l'apartat de Geometria del pla (vector fix, vector lliure, extrems d'un vector, etc.; vegi's \autoref{seccio:geometria-al-pla}) poden adaptar-se fàcilment a l'espai només afegint una altra coordenada als vectors. A l'igual que al pla, suposarem que tots els vectors són lliures.
|
|
|
|
\begin{example}Són vectors el següents:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{B}(3,-2,6),\;\overrightarrow{C}(-5,1,-8)
|
|
\end{equation*}%
|
|
Amb la convenció d'eixos del dibuix anterior (\autoref{fig:sistema-de-coordenades-3d}), el vector $\overrightarrow{B}$ apunta cap a la dreta, s'allunya del lector, i cap a dalt, i el vector $\overrightarrow{C}$ apunta cap a l'esquerra, cap al lector, i cap a baix. Com que no se'ns diu quins són els seus origens, es consider que aquests vectors són lliures i que, per tant, els seus punts d'origen es poden situar on es desitgi.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\subsection{Base estàndard de vectors}
|
|
|
|
\begin{definition}[base estàndard de vectors]A l'espai cartesià, existeixen tres vectors que formen el que s'anomena \term{base estàndard de vectors}\index{base estàndard de vectors} la qual està formada per tres vectors $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ i $\overrightarrow{k}$, que tenen les coordenades següents:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{i}=\overrightarrow{(1,0,0)},\; \overrightarrow{j}=\overrightarrow{(0,1,0)}, \; \overrightarrow{k}=\overrightarrow{(0,0,1)}
|
|
\end{equation*}%
|
|
|
|
Aquests vectors són unitaris, ortogonals (perpendiculars entre si) i formen un base: qualsevol vector es pot posar com a combinació lineal de $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ i $\overrightarrow{k}$\footnote{Les definicions de base d'un espai vectorial escapen a l'abast d'aquest text.}. És a dir, si $\overrightarrow{v}$ és un vector, aleshores existeixen nombres $a$, $b$ i $c$ de manera que $\overrightarrow{v} = a \overrightarrow{i} + b \overrightarrow{j} + c \overrightarrow{k}$. Per les definicions de $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ i $\overrightarrow{k}$ és clar que aquests $a$, $b$ i $c$ són els valors de les coordenades de $v$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{example}El vector $\overrightarrow{v} = (3,2,2)$ compleix que $\overrightarrow{v} = 3 \overrightarrow{i} +2 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}$. Es pot veure la seva representació a la figura següent (\autoref{fig:exemple-base-estandard}).
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb TikZ
|
|
\begin{tikzpicture}[thick]
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (4,0,0);
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
|
|
\draw (4,0,0) node[anchor=west] {$x$};
|
|
\draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
|
|
\draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
|
|
\draw[dashed] (3,0,2) -- (3,2,2);
|
|
\draw[loosely dotted] (3,0,2) -- (0,0,2);
|
|
\draw[loosely dashed] (3,0,2) -- (3,0,0);
|
|
\draw[color=blue,very thick,->] (0,0,0) -- (3,2,2);
|
|
\draw (3,2,2) node[anchor=west] {$\overrightarrow{v}(3,2,2)$};
|
|
\draw[color=orange,very thick,->] (0,0,0) -- (3,0,0);
|
|
\draw[color=orange,very thick,->] (0,0,0) -- (0,2,0);
|
|
\draw[color=orange,very thick,->] (0,0,0) -- (0,0,2);
|
|
\draw (3,0,0) node[anchor=south west] {$3 \cdot \overrightarrow{i}$};
|
|
\draw (0,2,0) node[anchor=east] {$2\cdot \overrightarrow{k}$};
|
|
\draw (0,0,2) node[anchor=east] {$2 \cdot \overrightarrow{j}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
% Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
|
|
\caption{Descomposició lineal del vector $\protect\overrightarrow{v}(3,2,2)$ respecte de la base estàndard}
|
|
\label{fig:exemple-base-estandard}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\subsection{Operacions amb vectors anàlogues al pla}
|
|
|
|
El mòdul d'un vector i les operacions de suma i resta de vectors, producte d'un escalar per un vector i producte escalar de dos vectors es defineixen de manera anàloga al pla:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item El mòdul d'un vector $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ es calcula com
|
|
\begin{equation*}
|
|
\lvert \overrightarrow{u} \rvert = \sqrt{a^2 + b^2 +c^2}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Per exemple, $\lvert \overrightarrow{(3,-2,6)} \rvert = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$.
|
|
|
|
\item Donats dos vectors $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$, la seva suma es defineix com $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)$.
|
|
|
|
Per exemple, si $\overrightarrow{u} = (2,-3,4)$ i $\overrightarrow{v} = (-2,-7,0)$, aleshores $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = (0,-10,4)$.
|
|
|
|
\item La resta de dos vectors $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ es defineix com $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} = (u_1-v_1,u_2-v_2,u_3-v_3)$.
|
|
|
|
Per exemple, si $\overrightarrow{u} = (2,-3,4)$ i $\overrightarrow{v} = (-2,-7,0)$, aleshores $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} = (4,4,4)$.
|
|
|
|
\item Si $k \in \mathbb{R}$ és un nombre qualsevol i $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ és un vector, llavors el producte $k \cdot \overrightarrow{u} = (k \cdot u_1, k \cdot u_2, k \cdot u_3)$.
|
|
|
|
Per exemple, si $\overrightarrow{u} = (2,-3,4)$ i $k = -3$, aleshores $k \cdot \overrightarrow{u} = (-6,+9,-12)$.
|
|
|
|
\item Dos vectors $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ són paral·lels si, i només si, $\frac{v_1}{u_1} = \frac{v_2}{u_2} = \frac{v_3}{u_3}$ (vegi's \autoref{resultat:proposicio-parallelisme-vectors})
|
|
|
|
\item Si $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ són vectors, el seu producte escalar es defineix com
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Així per exemple, $\overrightarrow{(3,-2,4)} \cdot \overrightarrow{(-1,0,-5)} = -3 + 0 -20 = -23$.
|
|
|
|
Es verifica el resultat relatiu a l'angle entre dos vectors (\autoref{resultat:angle-producte-esclar}) i les propietats del producte escalar (\autoref{resultat:propietats-del-producte-esclar}).
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Determineu si els vectors són paral·lels entre si:
|
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\overrightarrow{u}\left( 2,-3,1\right)$ i $\overrightarrow{v}\left( 4,-6,2\right)$
|
|
|
|
\item $\overrightarrow{u}\left( 2,-3,1\right)$ i $\overrightarrow{v}\left( 4,-6,3\right)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Què val l'angle format entre els vectors $\overrightarrow{u}(2,0,-3)$ i $\overrightarrow{v}(-3,1,2)$?
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Producte vectorial}
|
|
|
|
Vegem tot seguit una operació nova: el producte vectorial entre vectors. Noteu la paraula {\em vectorial} (que no escalar) a aquesta expressió. La importància d'aquesta paraula és perquè el producte vectorial donarà com a resultat un vector mentre que el producte escalar dóna com a resultat un nombre.
|
|
|
|
\begin{definition}[producte vectorial de vectors]El \term{producte vectorial de dos vectors}\index{producte!vectorial}, $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ i $\overrightarrow{w}(w_1,w_2,w_3)$, que es denota per $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w}$ o $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{w}$, respecte de la base estàndard, es defineix com:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{split}
|
|
\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w} & =(u_1,u_2,u_3)\wedge
|
|
(w_1, w_2, w_3) \\
|
|
& =\left\vert
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
u_1 & u_2 & u_3 \\
|
|
w_1 & w_2 & w_3 \\
|
|
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Aquest determinant es pot fer aplicant la regla de Sarrus (\autoref{alg:regla-de-Sarrus}). O bé es pot desenvolupar per la tercera filera, obtenint que
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{split}
|
|
\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w} & = \left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
u_2 & u_3 \\
|
|
w_2 & w_3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \cdot \overrightarrow{i} + \left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
u_1 & u_3 \\
|
|
w_1 & w_3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \cdot \overrightarrow{j} + \left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
u_1 & u_2 \\
|
|
w_1 & w_2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \overrightarrow{k}\\
|
|
& =\left( \left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
u_2 & u_3 \\
|
|
w_2 & w_3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,-\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
u_1 & u_3 \\
|
|
w_1 & w_3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert ,\left\vert
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
u_1 & u_2 \\
|
|
w_1 & w_2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \right),
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation*}
|
|
que és útil per aquelles persones que volen memoritzar fórmules en comptes de realitzar càlculs.
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Notem que el producte vectorial de dos vectors és, per tant, un altre vector.
|
|
|
|
\begin{example}Siguin els vectors $\overrightarrow{u}(2,0,-3)$ i $\overrightarrow{v}(-3,1,2)$. Aleshores, el seu producte vectorial és:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{split}
|
|
\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v} &= \left\vert
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
2 & 0 & -3 \\
|
|
-3 & 1 & 2 \\
|
|
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert \\
|
|
& = 2\overrightarrow{k} + 0 + 9 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{i} + 0 - 4 \overrightarrow{j}\\
|
|
& = 3\overrightarrow{i} + 5 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}\\
|
|
& =\left( 3,5,2\right)
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu $\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$, amb $\overrightarrow{u}(0,-2,3)$ i $\overrightarrow{v}(-3,-5,4)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{proposition}[mòdul del producte vectorial]Donat dos vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, el mòdul del seu producte vectorial $\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}$ compleix que \begin{equation*}
|
|
\left\vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\right\vert = \lvert \overrightarrow{u} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{v} \rvert \cdot \sin \widehat{uv},
|
|
\end{equation*}%
|
|
on $\widehat{uv}$ denota l'angle que formen els vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$.
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
Vegem ara les propietats del producte vectorial.
|
|
|
|
\subsubsection{Propietats del producte vectorial}
|
|
|
|
Donats els vectors $\vec{a},\vec{b}$ i $\vec{c}$ i el nombre $k$ qualssevol, el producte vectorial verifica les propietats següents:
|
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}%
|
|
\wedge \overrightarrow{a}$ (anticommutativa)
|
|
|
|
\item $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{a}=\vec{0}$
|
|
|
|
\item $k\left( \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}\right) =\left( k\overrightarrow{a}\right) \wedge \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\wedge \left( k\overrightarrow{b}\right) $
|
|
|
|
\item $\overrightarrow{a}\wedge \left( \overrightarrow{b}+\vec{c}%
|
|
\right) =\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}%
|
|
\wedge \overrightarrow{c}$
|
|
|
|
\item En general, $\overrightarrow{a}\wedge \left( \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}\right) \neq \left( \overrightarrow{a}\wedge
|
|
\overrightarrow{b}\right) \wedge \overrightarrow{c}$
|
|
|
|
\item El vector $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$ és perpendicular tant al vector $\overrightarrow{a}$ com al vector $\overrightarrow{b}$.
|
|
|
|
\item El mòdul del producte vectorial de dos vectors ens dóna l'àrea del paralel·lògram definit per aquest dos vectors (\autoref{fig:calcul-area-parallelogram-producte-vectorial}):
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb TikZ
|
|
\definecolor{qqzzcc}{rgb}{0.,0.6,0.8}
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
|
|
\coordinate (A) at (0,1);
|
|
\coordinate (B) at (3,4);
|
|
\coordinate (C) at (9,3);
|
|
\coordinate (D) at (6,0);
|
|
% punt mitjà de A i B
|
|
\coordinate (M1) at (1.5,2.5);
|
|
% punt mijtà de A i D
|
|
\coordinate (M2) at (3,0.5);
|
|
\fill[color=qqzzcc,fill=qqzzcc,fill opacity=0.05] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
|
|
\draw [->] (A) -- (B);
|
|
\draw [->] (A) -- (D);
|
|
\draw (M1) node[anchor=south east] {$\overrightarrow{u}$};
|
|
\draw (M2) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{v}$};
|
|
\draw [color=qqzzcc] (B)-- (C);
|
|
\draw [color=qqzzcc] (C)-- (D);
|
|
\draw (3.72,2.32) node[anchor=north west] {$\vert \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \vert$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
% Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
|
|
\caption{Àrea del paral·lelogram determinat pels vectors $\protect\overrightarrow{u}$ i $\protect\overrightarrow{v}$}
|
|
\label{fig:calcul-area-parallelogram-producte-vectorial}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\begin{claim}
|
|
Com que $\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{a}$ són perpendiculars a $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$, això vol dir que $\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{a}$ estan a la mateixa línia, un apuntant cap a baix i un apuntant cap a dalt. Per determinar l'orientació d'aquests dos vectors de forma gràfica existeix un procediment, anomenat {\em regla del llevataps}\index{regla!del llevataps}.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu un vector que sigui perpendicular als vectors $\overrightarrow{a}(-4,0,3)$ i $\overrightarrow{b}(-3,-1,0)$, simultàniament.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu un vector ortogonal a $\overrightarrow{u}(4,-2,5)$ i $\overrightarrow{v}(3,0,-5)$. Trobeu un altre vector ortonormal.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\overrightarrow{u}(-2,0,4)$ i $\overrightarrow{v}(1,3,-1)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Producte mixt}
|
|
|
|
Tot seguit veurem una nova operació, entre tres vectors, la qual tendrà la principal aplicació de calcular volums de determinats prismes i piràmides (\autoref{resultat:calcul-volum-parallelepiped}, \autoref{resultat:calcul-volum-tetraedre}).
|
|
|
|
\begin{definition}[producte mixt]Donats tres vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$, el seu \term{producte mixt}\index{producte!mixt}, que es denota per $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$, es defineix com
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] =\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}).
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Notem que el producte mixt no és, en general, una operació commutativa. És a dir, el valor numèric del producte mixt depèn fortament de l'ordre dels vectors involucrats.
|
|
|
|
\begin{example}Donats els vectors $\vec{u}\left( 0,-1,5\right) ,$ $\vec{v}(2,0,-3)$ i $\vec{w}(-3,1,2)$, calculeu el producte mixt $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$.
|
|
|
|
|
|
Tenim que
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{split}
|
|
\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] & = \overrightarrow{u}\cdot \left(\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}\right) \\
|
|
& = \left( 0,-1,5\right) \cdot \left( (2,0,-3)\wedge (-3,1,2)\right) \\
|
|
& = \left( 0,-1,5\right) \cdot \left( 3,5,2\right)\\
|
|
& =0-5+10=5.
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{claim}Per a qualssevol vectors $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)$, $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)$ i $\overrightarrow{w} = (w_1, w_2, w_3)$, el producte mixt $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$ també es pot calcular amb la fórmula següent:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]
|
|
=\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
u_1 & u_2 & u_3 \\
|
|
v_1 & v_2 & v_3\\
|
|
w_1 & w_2 & w_3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert,
|
|
\end{equation*}
|
|
és a dir, els vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ disposats per fileres al determinant.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{example}Donats els vectors $\vec{u}\left( 0,-1,5\right)$, $\vec{v}(2,0,-3)$ i $\vec{w}(-3,1,2)$, calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]
|
|
=\left\vert
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
0 & -1 & 5 \\
|
|
2 & 0 & -3 \\
|
|
-3 & 1 & 2%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert =-9+10+4=5.
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$, amb $\vec{u}\left( 3,1,-2\right)$, $\vec{v}(-2,10,0)$ i $\vec{w}(0,-1,-5)$.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{definition}[paral·lelepípede]Un \term{paral·lelepípede}\index{paral·lelepípede} és un prisme la base del qual és un paral·lelogram (\autoref{fig:wikipedia-paral·lelepípede}).
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[scale=0.25]{./graphics/wk-Parallellopipedum.png}
|
|
\caption{Un paral·lelepípede}
|
|
\label{fig:wikipedia-paral·lelepípede}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{proposition}[càlcul del volum d'un paral·lelepípede]\label{resultat:calcul-volum-parallelepiped}Donat el paral·lelepípede\index{volum!paral·lelepípede} definit pels vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ (vegeu \autoref{fig:calcul-volum-paral·lelepípede}), el seu volum $V_p$ és igual al valor absolut del producte mixt, és a dir,
|
|
\begin{equation*}
|
|
V_p=\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert
|
|
\end{equation*}%
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb TikZ
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[line join=bevel,scale=1.2]
|
|
%\rotateRPY{45}{0}{45}
|
|
\begin{scope}
|
|
\coordinate (A1) at (0,0,0);
|
|
\coordinate (A2) at (-2,0,-3);
|
|
\coordinate (A3) at (-4,0,-3);
|
|
\coordinate (A4) at (-2,0,0);
|
|
|
|
\coordinate (B1) at (0.2,-1,0);
|
|
\coordinate (B2) at (-1.8,-1,-3);
|
|
\coordinate (B3) at (-3.8,-1,-3);
|
|
\coordinate (B4) at (-1.8,-1,0);
|
|
|
|
% Punts mitjans
|
|
\coordinate (M1) at (-0.5,-1,0);
|
|
\coordinate (M2) at (-0.8,-1,-1.5);
|
|
\coordinate (M3) at (0.1,-0.5,0);
|
|
|
|
\draw (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
|
|
\draw[loosely dashed] (B1) -- (B2) -- (B3);
|
|
\draw (B3) -- (B4)-- (B1);
|
|
\draw (A1) -- (B1);
|
|
\draw[loosely dashed] (A2) -- (B2);
|
|
\draw (A3) -- (B3);
|
|
\draw (A4) -- (B4);
|
|
%\draw (A1) node {$A1$};
|
|
%\draw (A2) node {$A2$};
|
|
%\draw (A3) node {$A3$};
|
|
%\draw (A4) node {$A4$};
|
|
%\fill [fill opacity=0.7,fill=green!20] (A1) -- (A2) -- (B2) -- (B1)-- cycle;
|
|
%\fill [fill opacity=0.7,fill=orange!20] (A2) -- (A3) -- (B3) -- (B2)-- cycle;
|
|
\fill [fill opacity=0.7,fill=purple!20] (A3) -- (A4) -- (B4) -- (B3)-- cycle;
|
|
\fill [fill opacity=0.7,fill=red!40] (A4) -- (A1) -- (B1) -- (B4)-- cycle;
|
|
\fill [fill opacity=0.7,fill=yellow!20] (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4)-- cycle;
|
|
%\fill [fill opacity=0.7,fill=blue!20] (B1) -- (B2) -- (B3) -- (B4)-- cycle;
|
|
\draw[ultra thick, color=blue,->] (B1) -- (A1);
|
|
\draw[ultra thick, color=blue,->,loosely dashed] (B1) -- (B2);
|
|
\draw[ultra thick, color=blue,->] (B1) -- (B4);
|
|
\draw (M1) node[anchor=north] {$\overrightarrow{u}$};
|
|
\draw (M2) node[anchor=east] {$\overrightarrow{v}$};
|
|
\draw (M3) node[anchor=west] {$\overrightarrow{w}$};
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
% Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
|
|
\caption{Volum del paral·lelepípede definit pels vectors $\protect\overrightarrow{u}$, $\protect\overrightarrow{v}$ i $\protect\overrightarrow{w}$}
|
|
\label{fig:calcul-volum-paral·lelepípede}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
\begin{definition}[tetraedre] Un \term{tetraedre}\index{tetraedre} és una piràmide amb totes les cares iguals entre si i iguals a triangles equilàters.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
\begin{proposition}[càlcul del volum d'un tetraedre]\label{resultat:calcul-volum-tetraedre}Donat el tetraedre\index{volum!tetraedre} format pels vectors $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$, el seu volum $V_t$ és igual a:
|
|
\begin{equation*}
|
|
V_t=\frac{1}{6}\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert .
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
\section{La recta a l'espai}
|
|
|
|
En aquest apartat farem un estudi de la recta en un espai de tres
|
|
dimensions.
|
|
|
|
Si d'una recta coneixem un punt qualsevol d'aquesta i un vector tengui la mateixa direcció (és a dir, que estigui situat sobre ella o bé que estigui situat sobre una recta paral·lela), llavors tenim elements suficients per a determinar-la completament, és a dir, per a determinar les coordenades de qualsevol punt.
|
|
|
|
En altres paraules, basta que coneguem un punt de la recta $P_0$ i el seu \term{vector director}\index{vector!director} $\overrightarrow{v}$.
|
|
|
|
\begin{definition}[equació vectorial de la recta]Una recta $r$ es pot determinar per un punt $P_0(x_0,y_0,z_0)$ de la recta i un vector director $\overrightarrow{v}$, de manera que, per a qualsevol punt $P(x,y,z)$ pertanyent a la recta, es té que
|
|
\begin{equation}\label{eq:eq-vectorial-recta-3d}
|
|
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \lambda \overrightarrow{v},
|
|
\end{equation}
|
|
per qualque $\lambda \in \mathbb{R}$ (\autoref{fig:equacio-vectorial-recta-3d-exemple}). Aquesta equació (\ref{eq:eq-vectorial-recta-3d}) es coneix com a \term{equació vectorial de la recta}\index{equació!vectorial!d'una recta}.
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
\centering
|
|
% Generat amb TikZ
|
|
\begin{tikzpicture}[thick]
|
|
\coordinate (O) at (0,0,0);
|
|
\coordinate (P0) at (3,2,2);
|
|
\coordinate (R1) at (-2,1,2);
|
|
\coordinate (P) at (5.5,2.5,2);
|
|
\coordinate (P2) at (8,3,2);
|
|
\coordinate (M) at (4.5,2.3,2);
|
|
\coordinate (M2) at (3.75,2.15,2);
|
|
|
|
|
|
% eixos de coordenades
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (4,0,0);
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0);
|
|
\draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3);
|
|
\draw (4,0,0) node[anchor=west] {$x$};
|
|
\draw (0,3,0) node[anchor=south] {$z$};
|
|
\draw (0,0,3) node[anchor=north east] {$y$};
|
|
|
|
% Punts i rectes
|
|
%\draw[dashed] (3,0,2) -- (3,2,2);
|
|
%\draw[loosely dotted] (3,0,2) -- (0,0,2);
|
|
%\draw[loosely dashed] (3,0,2) -- (3,0,0);
|
|
|
|
\draw[color=orange,very thick] (R1) -- (P0) -- (P) -- (P2);
|
|
\draw (R1) node[anchor=north] {$r$};
|
|
\draw[color=blue,very thick,->] (O) -- (P0);
|
|
\draw[color=blue,very thick,->] (O) -- (P);
|
|
\draw (P0) node[anchor=south] {$P_0$};
|
|
\filldraw[color=green] (P0) circle (2pt);
|
|
\draw (P) node[anchor=south] {$P$};
|
|
\filldraw[color=green] (P) circle (2pt);
|
|
\draw[ultra thick,color=blue,->] (P0) -- (M);
|
|
\draw (M2) node[anchor=south] {$\overrightarrow{v}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
% Needed \protect http://www.latex-community.org/forum/viewtopic.php?f=44&t=4475
|
|
\caption{Representació de la recta que té vector director $\protect\overrightarrow{v}$ i que passa per $P_0$.}
|
|
\label{fig:equacio-vectorial-recta-3d-exemple}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Equació paramètriques de la recta}
|
|
|
|
Sigui $r$ una recta determinada per $P_0(x_0,y_0,z_0)$ un punt qualsevol i $\overrightarrow{v}(v_x,v_y,v_z)$ és el seu vector director. Aleshores un punt $P(x,y,z)$ de la recta compleix l'equació vectorial (\autoref{eq:eq-vectorial-recta-3d}), és a dir, $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \lambda \overrightarrow{v}$, per qualque $\lambda \in \mathbb{R}$, o sigui, $\overrightarrow{(x,y,z)} = \overrightarrow{(x_0,y_0,z_0)} + \lambda \overrightarrow{(v_x, v_y, v_z)}$. Operant, tenim que s'ha de verificar que
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{(x,y,z)} = \overrightarrow{(x_0 + \lambda v_x,y_0 + \lambda v_y ,z_0+ \lambda v_z)}.
|
|
\end{equation*}
|
|
Si dos vectors són iguals, llavors component a component són iguals. El que implica que
|
|
\begin{equation}\label{eq:equacio-parametrica-recta-3d}
|
|
r \colon \left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
x=x_0+\lambda v_x \\
|
|
y=y_0+\lambda v_y \\
|
|
z=z_0+\lambda v_z%
|
|
\end{array}%
|
|
\right. ,
|
|
\end{equation}
|
|
on $\lambda \in \mathbb{R}$. Aquesta equació (\autoref{eq:equacio-parametrica-recta-3d}), reb el nom de \term{equació paramètrica de la recta}\index{equació!paramètrica!d'una recta}.
|
|
|
|
\begin{example}\label{exemple:equacio-parametrica-3d-1}Si una recta passa pel punt $(0,-1,3)$ i el seu vector director és el $\overrightarrow{v}(-3,2,0)$, llavors la seva equació paramètrica és la següent:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
x=0+\lambda \cdot \left( -3\right) \\
|
|
y=-1+\lambda \text{$\cdot $}2 \\
|
|
z=3+\lambda \text{$\cdot $}0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right. \text{, és a dir, }\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
x=-3\lambda \\
|
|
y=-1+2\lambda \\
|
|
z=3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
Per trobar més punts d'aquesta recta basta substituir $\lambda$ per
|
|
qualsevol nombre a les expressions anteriors.
|
|
|
|
\begin{example}Si a la recta anterior (\autoref{exemple:equacio-parametrica-3d-1}), feim $\lambda=2$, tenim que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{l}
|
|
x=-6 \\
|
|
y=-1+4=3 \\
|
|
z=3%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\} ,
|
|
\end{equation*}%
|
|
i, per tant, $(-6,3,3)$ és un altre punt de la recta.
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Escriviu les equacions paramètriques de les rectes següents:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item recta que passa pel punt $(-1,0,2)$ i que té la direcció donada pel vector director $\overrightarrow{v}(1,3,-5)$
|
|
\item recta que passa per l'origen de coordenades i que té com a vector director $\overrightarrow{(
|
|
1,-2,0)}$
|
|
\item recta que passa pels punts $(3,-5,2)$ i $(2,-7,-3)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
Trobeu dos punts més de cada recta.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Equació contínua de la recta}
|
|
|
|
Si aïllam $\lambda$ en cadascuna de les equacions de la recta en forma
|
|
paramètrica (\autoref{eq:equacio-parametrica-recta-3d}), tenim que%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\lambda =\frac{x-x_0}{v_x},\; \lambda =\frac{y-y_0}{v_y},\;\lambda =\frac{z-z_0}{v_z}
|
|
\end{equation*}%
|
|
Si igualam les expressions, obtenim el que s'anomena \term{equació en forma contínua de la recta} (o simplement \term{equació contínua})\index{equació!contínua!d'una recta}:
|
|
\begin{equation}\label{eq:equacio-recta-forma-continua-3d}
|
|
r\colon \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z},
|
|
\end{equation}%
|
|
on $P(x_0,y_0,z_0)$ és un punt qualsevol de la recta i $\overrightarrow{v}(v_x,v_y,v_z)$ és el seu vector director.
|
|
|
|
\begin{example}\label{exemple:recta-equacio-continua-1}La recta $r$ que passa pel punt $(0,-1,3)$ i té com a vector director $\overrightarrow{v}(-3,2,0)$ té com a equació contínua:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{0}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{claim}Observem que en aquest exemple ha aparegut un denominador igual a $0$. A pesar de què la divisió per $0$ no és una operació que
|
|
estigui definida, en el context de l'equació contínua d'una recta, aquesta expressió està permesa.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exercici:equacions-continues-rectes-3d}Escriviu les equacions contínues de la rectes següents:
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item recta que passa per $(0,-5,3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(1,-2,2)$
|
|
\item recta que passa pels punts $(6,-2,0)$ i $(2,-1,-1)$
|
|
\item recta que passa pel punt $(-1,-1,2)$ i que té com a vector director $\overrightarrow{v}(2,0,-3)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\subsection{Equació implícita de la recta}\label{subseccio:equacio-implicita-recta}
|
|
|
|
Si a les equacions de la recta en forma contínua (\autoref{eq:equacio-recta-forma-continua-3d}) llevam els denominadors i transposem tots els termes al primer membre, obtindrem dues equacions de la forma:%
|
|
\begin{equation}\label{eq:equacio-implicita-recta-3d}
|
|
\left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
Ax+By+Cz+D & = 0 \\
|
|
A^{\prime}x+B^{\prime}y+C^{\prime}z+D^{\prime} & = 0%
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right.,
|
|
\end{equation}%
|
|
on $A$, $B$, $C$, $D$, $A'$, $B'$, $C'$ i $D'$ són nombres reals. Aquestes equacions reben el nom d'\term{equació implícita de la
|
|
recta}\index{equació!implícita!d'una recta}.
|
|
|
|
\begin{example}La recta $r$ que passa pel punt $(0,-1,3)$ i que té vector director $\overrightarrow{v}(-3,2,0)$ té l'equació contínua:
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \colon \frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{0}
|
|
\end{equation*}
|
|
(vegis' \autoref{exemple:recta-equacio-continua-1}). Per tant, fent els productes creuats de cada igualtat, obtenim que:%
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \colon \left\{
|
|
\begin{array}{rll}
|
|
2x & = & -3\left( y+1\right) \\
|
|
0\left( y+1\right) & = & 2\left( z-3\right)\\
|
|
0 & = & -3 (z-3)%
|
|
\end{array}%
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}
|
|
Així, operant, obtenim un sistema de tres equacions i tres incògnites:
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \colon \left\{
|
|
\begin{array}{r}
|
|
2x+3y+3=0 \\
|
|
2z-6=0\\
|
|
-3z + 9 = 0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}
|
|
Per la naturalesa de la recta aquest sistema té rang 2, és a dir, té un grau de llibertat. Això vol dir que d'aquestes tres equacions, n'hem de triar dues que no siguin linealment dependents. En el nostre cas, es veu que la segona i la tercera són linealment independents. Per tant, l'equació implícita de la recta queda:
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \colon \left\{
|
|
\begin{array}{r}
|
|
2x+3y+3=0 \\
|
|
2z-6=0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{claim}De vegades és necessari calcular tots els productes creuats per a passar de l'equació contínua a la implícita perquè els productes creuats de la primera i segona fracció i de la segona i tercera fracció poden ser linealment dependents. Vegeu per exemple l'exercici \autoref{exercici:eq-recta} apartat \ref{exercici:eq-recta-itemc}.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{claim}Noteu que en principi no podem obtenir l'equació implícita d'una recta directament amb el seu vector director i un punt d'aquesta. En aquest cas, hem de passar per l'equació contínua per obtenir l'equació implícita.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{claim}L'equació general de la recta en el pla és de la forma $Ax+By+D =0$ (\autoref{seccio:equacio-general-de-la-recta-2d}). Per tant, es podria pensar que la generalització d'aquesta equació a l'espai seria $Ax + By + Cz + D = 0$. Però això no és així: aquesta equació correspon a un pla (vegeu \autoref{seccio:el-pla-a-lespai}). La raó d'aquest fet és que, si fos així, tendríem una equació amb dues incògnites, la qual cosa ens donaria dos graus de llibertat, el que correspon a un pla. En aquest sentit, l'equació implícita d'una recta (\autoref{eq:equacio-implicita-recta-3d}) es pot veure com a la intersecció de dos plans.
|
|
\end{claim}
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu les equacions implícites de les rectes de l'\autoref{exercici:equacions-continues-rectes-3d}.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Vector director a partir de l'equació implícita}\label{subseccio:vector-director-equacio-implicita}
|
|
|
|
La proposició següent dóna una manera per trobar el vector director d'una recta que ve donada mitjançant l'equació implítica.
|
|
|
|
|
|
\begin{proposition}[vector director a partir de l'equació implícita]\label{prop:v-d-a-partir-eq-implicita-3d}Sigui $r$ una recta donada amb l'equació implícita:
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \colon \left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
Ax+By+Cz+D & = 0 \\
|
|
A'x+B'y+C'z+D' & = 0%
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}%
|
|
El seu vector director, $v_r$, es pot calcular amb la fórmula:%
|
|
\begin{equation}\label{eq:calcul-vector-director-producte-vectorial}
|
|
\overrightarrow{v_{r}}=(A,B,C)\wedge (A',B',C')
|
|
\end{equation}
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
\begin{example}El vector director de la recta%
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \colon \left\{
|
|
\begin{array}{r}
|
|
2x+3y+3=0 \\
|
|
2z-6=0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}%
|
|
és $\overrightarrow{v}=(2,3,0)\wedge (0,0,2)$, és a dir,
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{v}=\left\vert
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
2 & 3 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 2 \\
|
|
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert
|
|
=\left( 6,-4,0\right).
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{example}
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu el vector director de les rectes:%
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
|
|
\item $\left\{
|
|
\begin{array}{r}
|
|
x-y-5=0 \\
|
|
4x+y-5z-6=0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right.$
|
|
\item $\left\{
|
|
\begin{array}{r}
|
|
2x-z-5=0 \\
|
|
3x+y-z-2=0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right.$
|
|
\item $\left\{
|
|
\begin{array}{r}
|
|
2x=0 \\
|
|
2z+y=0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right.$
|
|
\item $\left\{
|
|
\begin{array}{r}
|
|
2x+3y+5z-2=0 \\
|
|
4x+6y+10z-4=0%
|
|
\end{array}%
|
|
\right.$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Pas de l'equació implícita a l'equació paramètrica}\label{subseccio:pas-de-implica-a-parametrica-js}
|
|
|
|
\paragraph{Mètode 1. Càlcul de punts i vector director}
|
|
|
|
Per passar de l'equació implícita a l'equació paramètrica ho farem indirectament: calcularem el vector director de la recta i un punt.
|
|
|
|
\begin{example}Trobeu les equacions paramètriques de la recta
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \colon \left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
2x+y+2z+4 & = 0 \\
|
|
x-y+4z+12 & = 0%
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}%
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Per l'apartat anterior (\autoref{subseccio:vector-director-equacio-implicita}), tenim que el seu vector director és
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{split}
|
|
\overrightarrow{v} &=\left\vert
|
|
\begin{array}{ccc}
|
|
2 & 1 &2 \\
|
|
1 & -1 & 4 \\
|
|
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
|
|
\end{array}%
|
|
\right\vert\\
|
|
& = -2\overrightarrow{k} + 4\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} +2\overrightarrow{i} -\overrightarrow{k} -8\overrightarrow{j}\\
|
|
& = 6\overrightarrow{i} -6\overrightarrow{j} -3 \overrightarrow{k} = \overrightarrow{\left( 6,-6,-3\right)}.
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
|
|
\item Per trobar un punt, substituïm una variable qualsevol, o $x$ o $y$ o $z$\footnote{Penseu que una recta té 2 equacions i 3 incògnites. Per tant, hi ha un grau de llibertat. D'aquesta manera només hem de substituir una sola variable.}. Triem $x$. Substituïm, $x=0$. Llavors hem de resoldre el sistema:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
y+2z+4 & = 0 \\
|
|
-y+4z+12 & = 0%
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right.
|
|
\end{equation*}%
|
|
|
|
Si apliquem la tècnica de reducció de sistemes d'equacions lineals de dues equacions\footnote{Podríem resoldre aquest sistema usant la regla de Cràmer. També podríem usar la tècnica de substitució i igualació.}, restant les equacions obtenim: $6z + 16 = 0$, el que implica que $z = \frac{-8}{3}$. Substituïnt el valor de $z$ a la primera equació i realitzant els càlculs, obtenim $y = \frac{4}{3}$. Per tant, un punt de la recta és $(0, \frac{4}{3}, \frac{-8}{3})$.
|
|
|
|
\item Amb tota la informació anterior, l'equació paramètrica de la recta és:
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \colon \left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
x= 6\lambda \\
|
|
y=\frac{4}{3} -6 \lambda \\
|
|
z=\frac{-8}{3} -3 \lambda%
|
|
\end{array}%
|
|
\right. .
|
|
\end{equation*}%
|
|
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{example}
|
|
|
|
|
|
\paragraph{Mètode 2. Parametritzant variables}
|
|
|
|
En aquest cas, per passar de l'equació implítica a l'equació paramètrica, escollirem una variable qualsevol, que parametritzarem. I després resoldrem un sistema d'equacions de dues variables i dues incògnites.
|
|
|
|
\begin{example}Trobeu les equacions paramètriques de la recta
|
|
\begin{equation*}
|
|
r \colon \left\{
|
|
\begin{aligned}
|
|
2x+y+2z+4 & = 0 \\
|
|
x-y+4z+12 & = 0%
|
|
\end{aligned}%
|
|
\right.
|
|