Browse Source

quasi acabada la part abans de plans

tags/v1.7.0
Xavier 3 years ago
parent
commit
dc3d645ce1
7 changed files with 366 additions and 127 deletions
  1. 24
    23
      04-algebra-lineal.tex
  2. 195
    102
      05-geometria.tex
  3. BIN
      apunts.pdf
  4. 7
    1
      apunts.tex
  5. BIN
      graphics/MIJAYE00__19.pdf
  6. 1
    1
      makefile
  7. 139
    0
      tikz-comandes.tex

+ 24
- 23
04-algebra-lineal.tex View File

@@ -2643,29 +2643,6 @@ A=\left(
2643 2643
 \end{equation*}
2644 2644
 \end{exercise}
2645 2645
 
2646
-\begin{exercise}\label{exercici:matrius-3}
2647
-Trobeu dues matrius $X$ i $Y$ que verifiquin el sistema següent:%
2648
-\begin{equation*}
2649
-\left. 
2650
-\begin{array}{ccc}
2651
-2X-3Y & = & \left( 
2652
-\begin{array}{rr}
2653
-1 & 5 \\ 
2654
-2 & 4%
2655
-\end{array}%
2656
-\right) \\ 
2657
-&  &  \\ 
2658
-X-Y & = & \left( 
2659
-\begin{array}{rr}
2660
--1 & 0 \\ 
2661
-3 & 6%
2662
-\end{array}%
2663
-\right)%
2664
-\end{array}%
2665
-\right\}
2666
-\end{equation*}
2667
-\end{exercise}
2668
-
2669 2646
 \begin{exercise}\label{exercici:matrius-4}
2670 2647
 Comproveu que $(A\cdot B)^{t}=B^{t}\cdot A^{t}$ amb les matrius%
2671 2648
 \begin{equation*}
@@ -2759,6 +2736,30 @@ c & c & 0 \\
2759 2736
 Trobeu les condicions que han de complir els coeficientes $a,b$ i $c$ perquè es verifiqui que $AB = BA$.
2760 2737
 \end{exercise}
2761 2738
 
2739
+\begin{exercise}\label{exercici:matrius-3}
2740
+Trobeu dues matrius $X$ i $Y$ que verifiquin el sistema següent:%
2741
+\begin{equation*}
2742
+\left. 
2743
+\begin{array}{ccc}
2744
+2X-3Y & = & \left( 
2745
+\begin{array}{rr}
2746
+1 & 5 \\ 
2747
+2 & 4%
2748
+\end{array}%
2749
+\right) \\ 
2750
+&  &  \\ 
2751
+X-Y & = & \left( 
2752
+\begin{array}{rr}
2753
+-1 & 0 \\ 
2754
+3 & 6%
2755
+\end{array}%
2756
+\right)%
2757
+\end{array}%
2758
+\right\}
2759
+\end{equation*}
2760
+\end{exercise}
2761
+
2762
+
2762 2763
 \begin{exercise}\label{exercici:matrius-10}
2763 2764
 Calculeu, si \'{e}s possible, la matriu inversa de cadascuna de les matrius següents:%
2764 2765
 \begin{equation*}

+ 195
- 102
05-geometria.tex View File

@@ -2024,7 +2024,7 @@ estigui definida, en el context de l'equació contínua d'una recta, aquesta exp
2024 2024
 \end{enumerate}
2025 2025
 \end{exercise}
2026 2026
 
2027
-\subsection{Equacions implícites de la recta}
2027
+\subsection{Equació implícita de la recta}
2028 2028
 
2029 2029
 Si a les equacions de la recta en forma contínua (\autoref{eq:equacio-recta-forma-continua-3d}) llevam els denominadors i transposem tots els termes al primer membre, obtindrem dues equacions de la forma:%
2030 2030
 \begin{equation}\label{eq:equacio-implicita-recta-3d}
@@ -2068,79 +2068,110 @@ r \colon \left\{
2068 2068
 \begin{claim}Noteu que en principi no podem obtenir l'equació implícita d'una recta directament amb el seu vector director i un punt d'aquesta. Hem de passar per l'equació contínua per obtenir l'equació implícita.
2069 2069
 \end{claim}
2070 2070
 
2071
-\subsubsection{Vector director a partir de les equacions impl\'{\i}cites}
2071
+\subsubsection{Vector director a partir de l'equació implícita}
2072 2072
 
2073
-\begin{claim}
2074
-Donada l'equaci\'{o} d'una recta en forma impl\'{\i}cita, \'{e}s a dir,%
2073
+La proposició següent dóna una manera per trobar el vector director d'una recta que ve donada mitjançant l'equació implítica.
2074
+
2075
+
2076
+\begin{proposition}[vector director a partir de l'equació implícita]\label{prop:v-d-a-partir-eq-implicita-3d}Sigui $r$ una recta donada amb l'equació implícita:
2075 2077
 \begin{equation*}
2076
-\left. 
2077
-\begin{array}{rrr}
2078
-Ax+By+Cz+D & = & 0 \\ 
2079
-A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D^{\prime } & = & 0%
2080
-\end{array}%
2081
-\right\} ,
2078
+r \colon \left\{
2079
+\begin{aligned}
2080
+Ax+By+Cz+D & = 0 \\ 
2081
+A'x+B'y+C'z+D' & = 0%
2082
+\end{aligned}%
2083
+\right.
2082 2084
 \end{equation*}%
2083
-el vector director de la recta es pot calcular amb la f\'{o}rmula seg\"{u}%
2084
-ent:%
2085
-\begin{equation*}
2086
-\overrightarrow{d_{r}}=(A,B,C)\wedge (A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime })
2087
-\end{equation*}
2088
-\end{claim}
2085
+El seu vector director, $v_r$, es pot calcular amb la fórmula:%
2086
+\begin{equation}\label{eq:calcul-vector-director-producte-vectorial}
2087
+\overrightarrow{v_{r}}=(A,B,C)\wedge (A',B',C')
2088
+\end{equation}
2089
+\end{proposition}
2089 2090
 
2090
-\begin{example}
2091
-El vector director de la recta%
2091
+\begin{example}El vector director de la recta%
2092 2092
 \begin{equation*}
2093
-\left. 
2093
+r \colon \left\{ 
2094 2094
 \begin{array}{r}
2095 2095
 2x+3y+3=0 \\ 
2096 2096
 2z-6=0%
2097 2097
 \end{array}%
2098
-\right\}
2098
+\right.
2099 2099
 \end{equation*}%
2100
-\'{e}s $\overrightarrow{d_{r}}=(2,3,0)\wedge (0,0,2)=\left( 6,-4,0\right) $.
2100
+és $\overrightarrow{v}=(2,3,0)\wedge (0,0,2)$, és a dir,
2101
+\begin{equation*}
2102
+\overrightarrow{v}=\left\vert 
2103
+\begin{array}{ccc}
2104
+2 & 3 & 0 \\ 
2105
+0 & 0 & 2 \\
2106
+\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
2107
+\end{array}%
2108
+\right\vert
2109
+=\left( 6,-4,0\right).
2110
+\end{equation*}
2101 2111
 \end{example}
2102 2112
 
2103
-\begin{exercise}
2104
-Calcula el vector director de la recta%
2105
-\begin{equation*}
2106
-\left. 
2113
+\begin{exercise}Calculeu el vector director de les rectes:%
2114
+\begin{multicols}{2}
2115
+\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
2116
+\item $\left\{ 
2107 2117
 \begin{array}{r}
2108 2118
 x-y-5=0 \\ 
2109 2119
 4x+y-5z-6=0%
2110 2120
 \end{array}%
2111
-\right\}
2112
-\end{equation*}
2121
+\right.$
2122
+\item $\left\{ 
2123
+\begin{array}{r}
2124
+2x-z-5=0 \\ 
2125
+3x+y-z-2=0%
2126
+\end{array}%
2127
+\right.$
2128
+\item $\left\{ 
2129
+\begin{array}{r}
2130
+2x=0 \\ 
2131
+2z+y=0%
2132
+\end{array}%
2133
+\right.$
2134
+\item $\left\{ 
2135
+\begin{array}{r}
2136
+2x+3y+5z-2=0 \\ 
2137
+4x+6y+10z-4=0%
2138
+\end{array}%
2139
+\right.$
2140
+\end{enumerate}
2141
+\end{multicols}
2113 2142
 \end{exercise}
2114 2143
 
2115
-\subsection{Equaci\'{o} de la recta determinada per dos punts}
2144
+\subsubsection{Exercicis d'equacions de rectes}
2116 2145
 
2117
-Per altra banda, si coneixem dos punts, $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ i $%
2118
-Q(x_{2},y_{2},z_{2})$, pels quals passa una recta, la seg\"{u}ent f\'{o}%
2119
-rmula ens d\'{o}na l'equaci\'{o} d'aquesta recta:%
2120
-\begin{equation*}
2121
-\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{%
2122
-z_{2}-z_{1}}
2123
-\end{equation*}
2146
+Tenim diverses equacions per a expressar una recta (\autoref{fig:relacions-equacions-recta-3d}). Practiquem el pas d'unes a les altres.
2124 2147
 
2125
-\begin{example}
2126
-L'equaci\'{o} de la recta que passa pels punts $A\left( 0,-2,3\right) $ i $%
2127
-B\left( -4,1,5\right) $ es la seg\"{u}ent:%
2128
-\begin{equation*}
2129
-\frac{x}{-4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{2}
2130
-\end{equation*}
2131
-\end{example}
2148
+TODO: Tikz P145
2149
+\begin{figure}[h!]
2150
+    \centering
2132 2151
 
2133
-\begin{exercise}
2134
-Troba l'equaci\'{o} de la recta que passa pels punts $A\left( 7,1,0\right) $
2135
-i $B\left( -4,1,5\right) $.
2136
-\end{exercise}
2152
+	\begin{tikzpicture}
2153
+	 \node (a) {Vectorial};
2154
+	 \node (b) at (3,0) {Paramètrica};
2155
+	 \node (c) at (6,0) {Contínua};
2156
+	 \node (d) at (9,0) {Implícita};
2157
+	 \draw[snake=bumps,segment length=20pt,red,thick] (a) -- (b) --(c);
2158
+	\end{tikzpicture}
2137 2159
 
2138
-\begin{example}
2139
-Troba totes les equacions de la recta que passa pel punt $P\left(
2140
-3,-2,0\right) $ i que t\'{e} per vector director $\overrightarrow{d}\left(
2141
-1,0,-1\right) $.
2160
+    \caption{Relacions entre les equacions d'una recta}
2161
+    \label{fig:relacions-equacions-recta-3d}
2162
+\end{figure}
2163
+
2164
+\begin{example}Trobeu totes les equacions de la recta que passa pel punt $P(3,-2,0)$ i que té per vector director $\overrightarrow{v}(1,0,-1)$.
2165
+
2166
+\bigskip
2167
+Tenim que:
2168
+\begin{itemize}
2169
+\item L'equació vectorial és
2170
+\begin{equation*}
2171
+\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{(3,-2,0)} + \lambda \overrightarrow{(1,0,-1)}
2172
+\end{equation*}
2142 2173
 
2143
-Les equacions param\`{e}triques s\'{o}n%
2174
+\item Les equacions paramètriques són%
2144 2175
 \begin{equation*}
2145 2176
 r:\left\{ 
2146 2177
 \begin{array}{l}
@@ -2150,45 +2181,66 @@ z=-\lambda%
2150 2181
 \end{array}%
2151 2182
 \right.
2152 2183
 \end{equation*}%
2153
-L'equaci\'{o} cont\'{\i}nua \'{e}s%
2184
+
2185
+\item L'equació contínua és%
2154 2186
 \begin{equation*}
2155 2187
 r:x-3=\frac{y+2}{0}=\frac{z}{-1}
2156 2188
 \end{equation*}%
2157
-Les equacions impl\'{\i}cites s\'{o}n%
2189
+
2190
+\item I les equacions implícites són%
2158 2191
 \begin{equation*}
2159 2192
 r:\left\{ 
2160 2193
 \begin{array}{rll}
2161 2194
 0\cdot \left( x-3\right) & = & y+2 \\ 
2162 2195
 -1\cdot \left( x-3\right) & = & z%
2163 2196
 \end{array}%
2164
-\right. ;\text{ }r:\left\{ 
2197
+\right. \text{, és a dir, }r:\left\{ 
2165 2198
 \begin{array}{rll}
2166 2199
 y+2 & = & 0 \\ 
2167 2200
 -x-z+3 & = & 0%
2168 2201
 \end{array}%
2169 2202
 \right.
2170 2203
 \end{equation*}
2204
+\end{itemize}
2171 2205
 \end{example}
2172 2206
 
2173
-\begin{example}
2174
-Calcula l'equaci\'{o} de la recta paral\textperiodcentered lela a $r:\frac{x%
2175
-}{-4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{2}$ que passa pel punt $A(2,5,-1)$.
2207
+\begin{exercise}Trobeu totes les equacions de les rectes següents:
2208
+\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
2209
+\item Recta que té vector director $\overrightarrow{(2,-3,-1)}$ i passa per $(0,2,-10)$
2210
+\item Recta que passa pels punts $(7,-4,0)$ i $(3,0,-5)$
2211
+\item Recta donada per l'equació $\overrightarrow{(x,y,z)} = \overrightarrow{(3,2,1)} + \lambda \overrightarrow{(-1,0,1)}$, amb $(x,y,z)$ un punt qualsevol de la recta.
2212
+\item Recta donada per $r \colon \frac{x-3}{5} = y+3 = \frac{z+2}{-2}$
2213
+\item La recta $s \colon \left\{ 
2214
+\begin{aligned}
2215
+x+3y -z & = 0 \\ 
2216
+4x + 7z & = 0%
2217
+\end{aligned}\right.$
2218
+\end{enumerate}
2219
+\end{exercise}
2220
+
2221
+\subsubsection{Rectes paral·leles}
2222
+
2223
+Donada una recta $r$ que té vector director $\overrightarrow{v}$ i passa per $P$, si volem trobar una recta paral·lela $s$ que passi per $Q$, només hem de notar que $s$ tendrà $\overrightarrow{v}$ com a vector director i passarà per $Q$.
2224
+
2176 2225
 
2177
-Donat que la recta que cercan \'{e}s paral\textperiodcentered lela a la
2178
-recta $r$, ambdues tenen el mateix vector director: $\overrightarrow{d_{r}}%
2179
-(-4,3,2)$. A m\'{e}s, sabem que la recta ha de passar pel punt $A(2,5,-1)$.
2180
-Aleshores, si subtituim aquestes dues dades a l'equaci\'{o} cont\'{\i}nua de
2181
-la recta, aquesta \'{e}s:Per aquest motiu, l'equaci\'{o} de la recta que
2182
-cercam \'{e}s de la forma%
2226
+\begin{example}Calculeu l'equació de la recta paral·lela a $r \colon \frac{x}{-4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{2}$ que passa pel punt $A(2,5,-1)$.
2227
+
2228
+
2229
+Donat que la recta que cercan és paral·lela a la recta $r$, ambdues tenen el mateix vector director: $\overrightarrow{v}(-4,3,2)$. A més, sabem que la recta ha de passar pel punt $A(2,5,-1)$. Llavors, si subtituïm aquestes dues dades, per exemple, a l'equació contínua de la recta, obtindrem:%
2183 2230
 \begin{equation*}
2184 2231
 \frac{x-2}{-4}=\frac{y-5}{3}=\frac{z+1}{2}
2185 2232
 \end{equation*}
2186 2233
 \end{example}
2187 2234
 
2188
-\begin{exercise}
2189
-Donada la recta $r:\left\{ x=3+\lambda ,\text{ }y=-2,\text{ }z=-\lambda
2190
-\right\} $ en forma param\`{e}trica, troba l'equaci\'{o} cont\'{\i}nua de la
2191
-recta paral\textperiodcentered lela a $r$ que passa pel punt $A(0,-8,6)$.
2235
+\begin{exercise}Donada la recta $r:\left\{ x=3+\lambda , \, y=-2,\, z=-\lambda \right\}$ en forma paramètrica, trobeu l'equació contínua de la
2236
+recta paral·lela a $r$ que passa pel punt $A(0,-8,6)$.
2237
+\end{exercise}
2238
+
2239
+\begin{exercise}Trobeu l'equació paramètrica de la recta $s$ que passa per $(0,4,4)$ i és paral·lela a $r \colon \left\{ 
2240
+\begin{aligned}
2241
+2x-y -2z & = 0 \\ 
2242
+8x - 7z & = 0%
2243
+\end{aligned}\right..$ 
2192 2244
 \end{exercise}
2193 2245
 
2194 2246
 \section{El pla a l'espai}
@@ -2331,7 +2383,7 @@ Calculant el determinant,%
2331 2383
 Troba l'equaci\'{o} general del pla de l'exercici anterior.
2332 2384
 \end{exercise}
2333 2385
 
2334
-\subsubsection{Vector normal al pla a partir de l'equaci\'{o} general}
2386
+\subsubsection{Vector normal al pla a partir de l'equaci\'{o} general}\label{sec:subsubseccio:vector-normal-dun-pla}
2335 2387
 
2336 2388
 \begin{claim}
2337 2389
 \textbf{(Vector normal a un pla) }Una observaci\'{o} d'inter\'{e}s que es
@@ -2378,35 +2430,79 @@ D'aqu\'{\i} es t\'{e} que $D=-10$, i l'equaci\'{o} del pla \'{e}s%
2378 2430
 \end{equation*}
2379 2431
 \end{example}
2380 2432
 
2381
-Hem vist abans que l'equaci\'{o} d'una recta es pot donar de forma impl\'{\i}%
2382
-cita, \'{e}s a dir,%
2433
+
2434
+\begin{claim}Hem vist abans una fórmula per a calcular el vector director d'una recta a partir de les seves equacions implícites (\autoref{prop:v-d-a-partir-eq-implicita-3d}). És el moment de justificar aquest resultat amb l'ús dels vectors normals: notem que si $r$ és una recta donada per les seves equacions implícites
2383 2435
 \begin{equation*}
2384
-\left. 
2385
-\begin{array}{rrr}
2386
-Ax+By+Cz+D & = & 0 \\ 
2387
-A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D^{\prime } & = & 0%
2388
-\end{array}%
2389
-\right\}
2436
+\left\{
2437
+\begin{aligned}
2438
+Ax+By+Cz+D & = 0 \\ 
2439
+A^{\prime}x+B^{\prime}y+C^{\prime}z+D^{\prime} & = 0%
2440
+\end{aligned}%
2441
+\right.,
2390 2442
 \end{equation*}%
2391
-Aleshores, l'equaci\'{o} de la recta es pot veure com la intersecci\'{o} de
2392
-dos plans, ja que cadascuna de les equacions anteriors \'{e}s l'equaci\'{o}
2393
-d'un pla:
2443
+amb $A$, $B$, $C$, $D$, $A'$, $B'$, $C'$ i $D' \in \mathbb{R}$, aleshores el seu vector director $\overrightarrow{v_r}$ és el vector ortogonal als vectors normals dels plans que defineixen la recta $r$.
2444
+
2445
+És a dir, podem veure la recta $r$ com la intersecció de dos plans $\pi$ i $\rho$ d'equacions $\pi \colon Ax+By+Cz + D = 0$ i $\rho \colon A'x+B'y+C'z + D' = 0$. En aquest sentit, $\overrightarrow{v_r}$ tendrà la mateixa direcció que $\overrightarrow{n_\pi} \wedge \overrightarrow{n_\rho}$, on $\overrightarrow{n_\pi}$ i $\overrightarrow{n_\rho}$ són els vectors normals dels plans $\pi$ i $\rho$ respectivament (\autoref{fig:repr-vector-director-a-partir-plans}).
2446
+
2447
+\begin{figure}[h!]
2448
+    \centering
2449
+    % Generat amb TikZ
2450
+    % De http://tex.stackexchange.com/a/20009/61233
2451
+	\begin{tikzpicture}[x={(240:0.8cm)}, y={(-10:1cm)}, z={(0,1cm)},
2452
+	        plane max z=3]
2453
+	    %\draw[->, red] (0,0,0) -- (3,0,0);
2454
+	    %\draw[->, yellow] (0,0,0) -- (0,3,0);
2455
+	    %\draw[->, green] (0,0,0) -- (0,0,3);
2456
+	    
2457
+	    % Plane of equation 1x+1.5y+0z = 2
2458
+	    \definePlaneByEquation{myplane}{1}{1.5}{0}{2}
2459
+	    \drawPlane[thick,fill=blue]{myplane}
2460
+	    
2461
+	    % Plane of equation -4z = 0
2462
+	    % It is determined by the four points:
2463
+	    % (2,0,0), (0,4/3,0), (a,4/3+1.5a,0), (2+a,1.5a,0)
2464
+	    % a \in \mathbb{R}
2465
+	    %\definePlaneByEquation{myplane2}{0}{0}{-4}{0}	    
2466
+	    %\drawPlane[thick,fill=green]{myplane2}
2467
+	    
2468
+	    \filldraw[color=green!80,thick,draw=black] (2,0,0) -- (0,1.3333333,0)--(1,2.8333333,0) -- (3,1.5,0) -- cycle;
2469
+	    
2470
+	    % Intersection line
2471
+	    \draw[ultra thick] (2.75,-0.5,0) -- (-1,2,0);
2472
+	    \draw (-1,2,0) node[anchor=south] {$r$};
2473
+	    
2474
+	    % Normal vectors: (-4,-6,0) and (0,0,-4)
2475
+	    %% Medium point of (2,0,0) and (1,4/6,0)
2476
+	    %\draw (1,0.66666,0) circle (2pt);
2477
+	    %% + (0.5, 0.5,0); 
2478
+	    %\draw (1.5,1.16666,0) circle (2pt);
2479
+	    %% Plus normal director (0,0,4)
2480
+	    \draw[->,thick] (1.5,1.16666,0) -- (1.5,1.16666,1);
2481
+	    %% Name of the normal vector
2482
+	    \draw (1.5,1.16666,0.5) node[anchor=west] {$n_\pi$};
2483
+	    
2484
+	    %% The name of the plane
2485
+	    \draw (0.5,2.08333333,0) node[anchor=west] {$\pi$};
2486
+	    
2487
+	    
2488
+	    %% Medium point of (2,0,0) and (1,4/6,0) elevated +2
2489
+	    %\draw (1.5,1.166666,2) circle (2pt);
2490
+	    %% Plus normal director 1.2*(1,1.5,0)
2491
+	    \draw[->,thick] (1.5,1.166666,2) -- (2.2,2.133333,2);
2492
+	    %% Name of the normal vector
2493
+	    \draw (1.85,1.649999,2) node[anchor=east] {$n_\rho$};
2494
+	    
2495
+	    
2496
+	    %% The name of the plane 2
2497
+	    \draw (2,0,2) node[anchor=east] {$\rho$};
2498
+
2499
+	\end{tikzpicture}
2500
+    \caption{Vector director d'una recta com a producte vectorial dels vectors normals dels plans que la defineixen}
2501
+    \label{fig:repr-vector-director-a-partir-plans}
2502
+\end{figure}
2503
+\end{claim}
2504
+
2394 2505
 
2395
-%TCIMACRO{%
2396
-%\FRAME{ftbphF}{2.8662in}{1.5591in}{0pt}{}{}{Figure}{%
2397
-%\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 2.8662in;height 1.5591in;depth 0pt;original-width 3.5423in;original-height 1.9142in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'MIJAYE00.bmp';tempfile-properties "XPR";}}}%
2398
-%BeginExpansion
2399
-\begin{figure}[hptb]\begin{center}
2400
-\includegraphics[natheight=1.9142in, natwidth=3.5423in, height=1.5591in, width=2.8662in]{./graphics/MIJAYE00__19.pdf}
2401
-\end{center}\end{figure}
2402
-%EndExpansion
2403
-Observa que el vector director de la recta es perpendicular a cadascun dels
2404
-vectors normals dels dos plans. Per aix\`{o}, aquest vector director es pot
2405
-calcular, com ja hem dit anteriorment, mitjan\c{c}ant el producte vectorial
2406
-dels dos vectors normals:%
2407
-\begin{equation*}
2408
-\overrightarrow{d_{r}}=(A,B,C)\wedge (A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime })
2409
-\end{equation*}
2410 2506
 
2411 2507
 \begin{example}
2412 2508
 Halla un punto cualquiera de la recta%
@@ -3419,8 +3515,7 @@ Troba un vector perpendicular a $\vec{u}\left( 2,3,1\right) $ i a $\vec{v}%
3419 3515
 \end{exercise}
3420 3516
 
3421 3517
 \begin{exercise}
3422
-Troba un vector ortogonal a $\vec{u}\left( 1,-1,0\right) $ i $\vec{v}\left(
3423
-2,0,1\right) $ i el m\`{o}dul del qual sigui $\sqrt{24}$.
3518
+Troba un vector ortogonal a $\vec{u}(1,-1,0)$ i $\vec{v}(2,0,1)$ i el m\`{o}dul del qual sigui $\sqrt{24}$.
3424 3519
 \end{exercise}
3425 3520
 
3426 3521
 \begin{exercise}
@@ -3429,8 +3524,7 @@ Calcula $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}%
3429 3524
 i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right) $.
3430 3525
 \end{exercise}
3431 3526
 
3432
-\begin{exercise}
3433
-Calcula el volum del paral\textperiodcentered lelep\'{\i}pede determinat
3527
+\begin{exercise}Calculeu el volum del paral·lelepípede determinat
3434 3528
 pels vectors%
3435 3529
 \begin{equation*}
3436 3530
 \vec{u}\left( 1,-1,0\right) ,\text{ }\vec{v}\left( 2,0,1\right) \text{ i }%
@@ -3438,19 +3532,18 @@ pels vectors%
3438 3532
 \end{equation*}
3439 3533
 \end{exercise}
3440 3534
 
3441
-\begin{exercise}
3442
-Calcula el valor de $m$ perqu\`{e} $\vec{u}\left( 2,-3,1\right) ,$ $\vec{v}%
3535
+\begin{exercise}Calculeu el valor de $m$ perquè $\vec{u}\left( 2,-3,1\right) ,$ $\vec{v}%
3443 3536
 \left( 1,m,3\right) $ i $\vec{w}\left( -4,5,-1\right) $ siguin coplanaris.
3444 3537
 \end{exercise}
3445 3538
 
3446 3539
 \begin{exercise}
3447 3540
 Donat el vector $\vec{v}\left( -2,2,-4\right) $, troba les coordenades dels
3448
-vectors seg\"{u}ents:
3541
+vectors següents:
3449 3542
 
3450 3543
 \begin{description}
3451 3544
 \item[(a)] unitari i de la mateixa direcci\'{o} que $\vec{v}$,
3452 3545
 
3453
-\item[(b)] paral\textperiodcentered lel a $\vec{v}$ i de m\`{o}dul 6.
3546
+\item[(b)] paral·lel a $\vec{v}$ i de mòdul 6.
3454 3547
 \end{description}
3455 3548
 \end{exercise}
3456 3549
 

BIN
apunts.pdf View File


+ 7
- 1
apunts.tex View File

@@ -45,7 +45,7 @@
45 45
 \usepackage{pgfmath}
46 46
 \usepackage{mathrsfs}
47 47
 \usetikzlibrary{decorations.markings, mindmap,calc,intersections,through,backgrounds,arrows, shapes.geometric,fadings,decorations.pathreplacing,shadings,positioning,shapes,matrix}
48
-
48
+\usetikzlibrary{snakes}
49 49
 % Break URL
50 50
 \usepackage{breakurl}
51 51
 
@@ -182,6 +182,12 @@ bodyfont=\normalfont
182 182
 % Setting title of List of theorems
183 183
 \renewcommand\listtheoremname{Índex de resultats}
184 184
 
185
+% Commands of tikz for planes
186
+\include{tikz-comandes}
187
+
188
+% Increase the verbosity of TOC until subsubsections
189
+\setcounter{tocdepth}{3}
190
+\setcounter{secnumdepth}{3}
185 191
 
186 192
 % Start the document
187 193
 \begin{document}

BIN
graphics/MIJAYE00__19.pdf View File


+ 1
- 1
makefile View File

@@ -3,7 +3,7 @@
3 3
 all: apunts.pdf
4 4
 .PHONY : all
5 5
 
6
-apunts.pdf: apunts.tex 01-portada.tex 02-drets-d-autor.tex 03-prefaci.tex 04-algebra-lineal.tex 05-geometria.tex 06-analisi.tex 07-probabilitat.tex 08-apendix.tex 09-bibliografia.tex 10-solucions.tex
6
+apunts.pdf: apunts.tex 01-portada.tex 02-drets-d-autor.tex 03-prefaci.tex 04-algebra-lineal.tex 05-geometria.tex 06-analisi.tex 07-probabilitat.tex 08-apendix.tex 09-bibliografia.tex 10-solucions.tex tikz-comandes.tex
7 7
 	# compil document
8 8
 	lualatex --shell-escape apunts.tex
9 9
 	makeindex apunts.idx

+ 139
- 0
tikz-comandes.tex View File

@@ -0,0 +1,139 @@
1
+% Codi per a plans
2
+% De http://tex.stackexchange.com/questions/19972/draw-a-plane-in-space-and-a-coordinate-system-using-tikz
3
+\makeatletter
4
+
5
+% Set some defaults 
6
+\tikzset{
7
+    plane max x/.initial=2,
8
+    plane max y/.initial=2,
9
+    plane max z/.initial=2
10
+}
11
+
12
+\tikzset{plane/.style={fill opacity=0.5}}
13
+
14
+% Define a plane.
15
+% #1 = name of the plane
16
+% #2*x + #3*y + #4*z = #5 is the equation of the plane
17
+\newcommand*\definePlaneByEquation[5]{
18
+    \expandafter\gdef\csname tsx@plane@#1\endcsname{
19
+        \def\tsx@plane@xcoeff{#2}
20
+        \def\tsx@plane@ycoeff{#3}
21
+        \def\tsx@plane@zcoeff{#4}
22
+        \def\tsx@plane@scalar{#5}
23
+    }
24
+}
25
+
26
+% Draw a plane.
27
+% The optional first argument is passed as options to TikZ.
28
+% The mandatory second argument is the name of the plane.
29
+\newcommand\drawPlane[2][]{
30
+    \tikzset{plane max x/.get=\tsx@plane@maxx}
31
+    \tikzset{plane max y/.get=\tsx@plane@maxy}
32
+    \tikzset{plane max z/.get=\tsx@plane@maxz}
33
+    \csname tsx@plane@#2\endcsname
34
+
35
+    \ifdim\tsx@plane@xcoeff pt=0pt
36
+        \ifdim\tsx@plane@ycoeff pt=0pt
37
+            \ifdim\tsx@plane@zcoeff pt=0pt
38
+                %invalid plane
39
+            \else % x=0, y=0
40
+                \filldraw[plane,#1,shift={(0,0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@zcoeff)}]
41
+                    (0,0,0) --
42
+                    (\tsx@plane@maxx,0,0) --
43
+                    (\tsx@plane@maxx,\tsx@plane@maxy,0) --
44
+                    (0,\tsx@plane@maxy,0) --
45
+                    cycle;
46
+            \fi
47
+        \else % x=0, y != 0
48
+            \ifdim\tsx@plane@zcoeff pt=0pt % x=0, z=0
49
+                \filldraw[plane,#1,shift={(0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@ycoeff,0)}]
50
+                    (0,0,0) --
51
+                    (\tsx@plane@maxx,0,0) --
52
+                    (\tsx@plane@maxx,0,\tsx@plane@maxz) --
53
+                    (0,0,\tsx@plane@maxz) --
54
+                    cycle;
55
+            \else % x=0
56
+                \filldraw[plane,#1]
57
+                    (0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@ycoeff,0) --
58
+                    (0,0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@zcoeff) --
59
+                    (\tsx@plane@maxx,0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@zcoeff) --
60
+                    (\tsx@plane@maxx,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@ycoeff,0) --
61
+                    cycle;
62
+            \fi
63
+        \fi
64
+    \else % x!=0
65
+        \ifdim\tsx@plane@ycoeff pt=0pt % x!=0,y=0
66
+            \ifdim\tsx@plane@zcoeff pt=0pt % x!=0,y=0,z=0
67
+                \filldraw[plane,#1,shift={(\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@xcoeff,0,0)}]
68
+                    (0,0,0) --
69
+                    (0,0,\tsx@plane@maxz) --
70
+                    (0,\tsx@plane@maxy,\tsx@plane@maxz) --
71
+                    (0,\tsx@plane@maxy,0) --
72
+                    cycle;
73
+            \else % x!=0,y=0,z!=0
74
+                \filldraw[plane,#1]
75
+                    (\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@xcoeff,0) --
76
+                    (0,0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@zcoeff) --
77
+                    (0,\tsx@plane@maxy,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@zcoeff) --
78
+                    (\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@xcoeff,\tsx@plane@maxy,0) --
79
+                    cycle;
80
+            \fi
81
+        \else % x!=0,y!=0
82
+            \ifdim\tsx@plane@zcoeff pt=0pt % x!=0,y!=0,z=0
83
+                \filldraw[plane,#1]
84
+                    (\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@xcoeff,0) --
85
+                    (0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@ycoeff,0) --
86
+                    (0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@ycoeff,\tsx@plane@maxz) --
87
+                    (\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@xcoeff,0,\tsx@plane@maxz) --
88
+                    cycle;
89
+            \else % x!=0,y!=0,z!=0
90
+                \filldraw[plane,#1]
91
+                    (\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@xcoeff,0,0) --
92
+                    (0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@ycoeff,0) --
93
+                    (0,0,\tsx@plane@scalar/\tsx@plane@zcoeff) --
94
+                    cycle;
95
+            \fi
96
+        \fi
97
+    \fi
98
+}
99
+
100
+% Define a point.
101
+% #1 = name of the point
102
+% (#2,#3,#4) is the location.
103
+% Also creates a coordinate node of name #1 at the location.
104
+\newcommand\definePointByXYZ[4]{
105
+    \coordinate (#1) at (#2,#3,#4);
106
+    \expandafter\gdef\csname tsx@point@#1\endcsname{
107
+        \def\tsx@point@x{#2}
108
+        \def\tsx@point@y{#3}
109
+        \def\tsx@point@z{#4}
110
+    }
111
+}
112
+
113
+% Project a point to a plane.
114
+% #1 = name of the new point
115
+% #2 = name of old point
116
+% #3 = name of plane
117
+\newcommand\projectPointToPlane[3]{{
118
+    \csname tsx@point@#2\endcsname
119
+    \csname tsx@plane@#3\endcsname
120
+
121
+    % square of norm of the normal vector
122
+    \pgfmathparse{\tsx@plane@xcoeff*\tsx@plane@xcoeff + \tsx@plane@ycoeff*\tsx@plane@ycoeff + \tsx@plane@zcoeff*\tsx@plane@zcoeff}
123
+    \let\nnormsq\pgfmathresult
124
+
125
+    % Calculate distance in terms of the (non-normalized) normal vector
126
+    \pgfmathparse{(\tsx@point@x*\tsx@plane@xcoeff + \tsx@point@y*\tsx@plane@ycoeff + \tsx@point@z*\tsx@plane@zcoeff - \tsx@plane@scalar) / \nnormsq}
127
+    \let\distance\pgfmathresult
128
+
129
+    % Calculate point
130
+    \pgfmathparse{\tsx@point@x - \distance*\tsx@plane@xcoeff}
131
+    \let\x\pgfmathresult
132
+    \pgfmathparse{\tsx@point@y - \distance*\tsx@plane@ycoeff}
133
+    \let\y\pgfmathresult
134
+    \pgfmathparse{\tsx@point@z - \distance*\tsx@plane@zcoeff}
135
+    \let\z\pgfmathresult
136
+
137
+    \definePointByXYZ{#1}{\x}{\y}{\z}
138
+}}
139
+\makeatother

Loading…
Cancel
Save