Browse Source

Parcialment #2 (filera en comptes de fila) i #18

tags/versio-1.6
Xavier 5 years ago
parent
commit
d69c8ad82f
4 changed files with 86 additions and 68 deletions
  1. 68
    51
      04-algebra-lineal.tex
  2. BIN
      _shake_build/.database
  3. 18
    17
      apunts.loe
  4. BIN
      apunts.pdf

+ 68
- 51
04-algebra-lineal.tex View File

@@ -2,7 +2,7 @@

\chapter{Determinants}

Un determinant \'{e}s el valor associat, segons determinades regles, a una disposici\'{o} de nombres escrits en forma d'$n$ files i $n$ columnes. El tamany del determinant, és a dir, el nombre de files (o de columnes) s'anomena {\bf \em ordre}\index{ordre!determinant}. Alguns exemples d'aquesta disposici\'{o} s\'{o}n les expressions seg\"{u}ents:%
Un determinant \'{e}s el valor associat, segons determinades regles, a una disposici\'{o} de nombres escrits en forma d'$n$ fileres i $n$ columnes. El tamany del determinant, és a dir, el nombre de fileres (o de columnes) s'anomena {\em \color{blue}ordre}\index{ordre!determinant}. Alguns exemples d'aquesta disposici\'{o} s\'{o}n les expressions seg\"{u}ents:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
@@ -131,13 +131,10 @@ markings,mark=at position 0.8 with {\arrow[green,line width=1mm]{>}}}]
\end{equation*}
\end{example}

\item[Ordre $\geq 4$] Els determinants d'ordre superior a 3, dels quals no hem donat una definici\'{o}, es solen calcular amb les propietats que es veuran m\'{e}s endavant.
\item[Ordre $\geq 4$] Per a calcular els determinants d'ordre superior a 3 ens fan falta alguns conceptes que veure més endavant [\ref{seccio:adjunt-determinant}].

\end{description}




\begin{exercise} Calculeu els determinants següents:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
@@ -227,16 +224,12 @@ x+1 & 1 & 1 \\
\end{solution*}
\end{exercise}

\section{Adjunt d'un element d'un determinant}
\section{Adjunt d'un element d'un determinant}\label{seccio:adjunt-determinant}

\begin{definition}
S'anomena \textbf{menor complementari} \textbf{d'un element} d'un
determinant al determinant que resulta de suprimir la fila i la columna a
les quals pertany aquell element.
\begin{definition}[menor complementari]\index{menor complementari} Donat un determinant, el {\em \color{blue}menor complementari} d'un element qualsevol és el determinant que resulta de suprimir la filera i la columna a les quals pertany aquest element.
\end{definition}

\begin{example}
El menor complementari del n\'{u}mero $2$ del seg\"{u}ent determinant%
\begin{example} Donat el determinant següent:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
@@ -247,7 +240,7 @@ El menor complementari del n\'{u}mero $2$ del seg\"{u}ent determinant%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
\'{e}s el determinant%
El menor complementari de l'element que ocupa la filera $3$ i la columna $2$ (és a dir, el nombre $2$) és:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
@@ -257,12 +250,10 @@ El menor complementari del n\'{u}mero $2$ del seg\"{u}ent determinant%
\end{array}%
\right\vert ,
\end{equation*}%
donat que hem llevat la tercera fila i la segona columna.
donat que hem llevat la tercera filera i la segona columna.
\end{example}

\begin{definition}
S'anomena \textbf{adjunt d'un element }al menor complementari precedit del
signe $+$ o $-$ segons el seg\"{u}ent esquema:%
\begin{definition}[adjunt] S'anomena {\em \color{blue}adjunt}\index{adjunt} d'un element al menor complementari precedit del signe $+$ o $-$ segons el seg\"{u}ent esquema:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cccc}
@@ -273,6 +264,8 @@ signe $+$ o $-$ segons el seg\"{u}ent esquema:%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

De forma compacte, el signe de l'element $a_{ij}$ és $(-1)^{i+j}$, on $i$, $j$ indiquen, respectivament, la filera i la columna d'aquest element dins el determinant.
\end{definition}

\begin{example}
@@ -290,7 +283,7 @@ el valor del qual \'{e}s $-27$.
\end{example}

\begin{exercise}
Calcula l'adjunt de l'element central del determinant%
Calculeu l'adjunt de l'element central i de l'element $a_{13}$ del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
@@ -302,12 +295,36 @@ Calcula l'adjunt de l'element central del determinant%
\end{equation*}
\end{exercise}

\section{Determinants d'ordre superior a 3}
\section{Càlcul de determinants d'ordre superior a 3}

Per al càlcul de determinants d'ordre 4 o majors s'utilitza el {\em\color{blue}desenvolupament}\index{desenvopulament d'un determinant} per una filera o una columna, que consisteix en calcular un determinant d'ordre $n$ a partir de $n$ determinants d'ordre $n-1$. Les passes a seguir són les següents:

\begin{algorithm}[desenvolupament d'un determinant]

\begin{enumerate}
\item Es tria una filera o columna qualsevol (la tria és arbitrària)
\item El resultat del determinant és la suma dels adjunts dels elements d'aquesta filera o columna
\end{enumerate}

És a dir, si tenim un determinant d'ordre $n$:
\begin{equation*}
\text{ }\left\vert
\begin{array}{rrrr}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert,
\end{equation*}%
aleshores el seu desenvolupament per la primer filera seria
\begin{equation*}
a_{11} \cdot \Delta_{11} + a_{12} \cdot \Delta_{12} + a_{13} \cdot \Delta_{13} + a_{14} \cdot \Delta_{14} + \ldots + a_{1n} \cdot\Delta_{1n},
\end{equation*}
on $\Delta_{ij}$ denota l'adjunt de l'element $a_{ij}$.

\end{algorithm}

Si b\'{e} no donarem la definici\'{o} formal dels determinats d'ordre
superior a 3, s\'{\i} podem calcular el seu valor. Per a aquest c\`{a}lcul
farem servir la propietat $11$ dels determinants, tal com es mostra en el seg%
\"{u}ent exemple.

\begin{example}
Calcularem el valor del seg\"{u}ent determinant desenvolupant-lo pels
@@ -372,7 +389,7 @@ Calcula el valor del seg\"{u}ente determinant:%
\section{Propietats dels determinats}

\begin{definition}
S'anomena \textbf{l\'{\i}nia }d'un determinant a qualsevol fila o columna
S'anomena \textbf{l\'{\i}nia }d'un determinant a qualsevol filera o columna
del determinant.
\end{definition}

@@ -485,7 +502,7 @@ i%
\right\vert =-32
\end{equation*}%
ja que en aquest determinant hem multiplicat tots els elements de la segona
fila per $2.$
filera per $2.$

\begin{claim}
\textbf{(Extracci\'{o} de factor com\'{u} a un determinat) }Aquesta
@@ -607,8 +624,8 @@ Per exemple:%
ja que la primera columna resulta de sumar la segona columna multiplicada
per 1 i la tercera per 2 (i la quarta multiplicada per $0$).

\item \textit{Si un determinant val }$0$, \textit{aleshores t\'{e} una fila
(i columna) que \'{e}s combinaci\'{o} lineal de les altre files (i columnes).%
\item \textit{Si un determinant val }$0$, \textit{aleshores t\'{e} una filera
(i columna) que \'{e}s combinaci\'{o} lineal de les altre fileres (i columnes).%
}

\item \textit{Si als elements d'una l\'{\i}nia d'un determinant se li sumen
@@ -631,7 +648,7 @@ Per exemple, els determinants
\right\vert
\end{equation*}%
tenen el mateix valor, ja que el segon determinant resulta de sumar en el
primer determinant a la segona fila la primera multiplicada per $-2$.
primer determinant a la segona filera la primera multiplicada per $-2$.

\item \textit{El valor d'un determinant \'{e}s igual a la suma dels
productes dels elements d'una l\'{\i}nia qualsevol pels seus adjunts
@@ -738,8 +755,8 @@ possible per tal d'obtenir el major n\'{u}mero de zeros.

\begin{example}
Anem a calcular el determinant seg\"{u}ent aplicant la regla de Chio.
Triarem la primera fila (que cont\'{e} un $-1$ i un $0$), i anirem
multiplicant la segona columna (que cont\'{e} el $-1$ de la primera fila) i
Triarem la primera filera (que cont\'{e} un $-1$ i un $0$), i anirem
multiplicant la segona columna (que cont\'{e} el $-1$ de la primera filera) i
sumant aquest producte a les columnes restants:
\begin{multline*}
\left\vert
@@ -1062,8 +1079,8 @@ a & a & a & a+1%

\begin{definition}
Una \textbf{matriu}\index{matriu} \'{e}s una colecci\'{o} de n\'{u}meros disposats en
files i columnes. Es diu \textbf{quadrada}\index{matriu!quadrada} si aquesta disposici\'{o} t\'{e}
tantes files com columnes; en cas contrari es diu \textbf{rectangular}\index{matriu!rectangular}.
fileres i columnes. Es diu \textbf{quadrada}\index{matriu!quadrada} si aquesta disposici\'{o} t\'{e}
tantes fileres com columnes; en cas contrari es diu \textbf{rectangular}\index{matriu!rectangular}.
\end{definition}

\begin{example}
@@ -1086,14 +1103,14 @@ quadrada.
\end{example}

\begin{definition}
L'\textbf{ordre}\index{ordre} d'una matriu \'{e}s el n\'{u}mero de files i columnes que t%
L'\textbf{ordre}\index{ordre} d'una matriu \'{e}s el n\'{u}mero de fileres i columnes que t%
\'{e}, i s'escriu de la forma $n\times m$, on $n$ \'{e}s el n\'{u}mero de
files i $m$ \'{e}s el n\'{u}mero de columnes.
fileres i $m$ \'{e}s el n\'{u}mero de columnes.
\end{definition}

En el cas de les matrius quadrades -\'{e}s a dir, aquelles que tenen tantes
files com columnes- es sol indicar el seu ordre \'{u}nicament amb el numero
de files (o columnes).
fileres com columnes- es sol indicar el seu ordre \'{u}nicament amb el numero
de fileres (o columnes).

\begin{example}
A l'exemple anterior la primera \'{e}s d'ordre $2\times 3$, i la segona \'{e}%
@@ -1101,7 +1118,7 @@ s d'ordre $2\times 2$, o b\'{e}, simplement, d'ordre $2$.
\end{example}

\begin{definition}
Una matriu \'{e}s diu \textbf{matriu fila}\index{matriu!fila} si nom\'{e}s t\'{e} una fila, i
Una matriu \'{e}s diu \textbf{matriu filera}\index{matriu!filera} si nom\'{e}s t\'{e} una filera, i
\textbf{matriu columna}\index{matriu!columna} si nom\'{e}s t\'{e} una columna.
\end{definition}

@@ -1119,7 +1136,7 @@ Les matrius%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
s\'{o}n matrius fila i columna respectivament.
s\'{o}n matrius filera i columna respectivament.
\end{example}

\begin{definition}
@@ -1310,14 +1327,14 @@ operaci\'{o} es pugui fer.
\textbf{(del producte de dues matrius) }Per poder multiplicar dues matrius
s'ha de complir el seg\"{u}ent: el n\'{u}mero de columnes de la primera
matriu (la que es col\textperiodcentered loca a l'esquerra) ha de coincidir
amb el n\'{u}mero de files de la segona (la que es col\textperiodcentered
amb el n\'{u}mero de fileres de la segona (la que es col\textperiodcentered
loca a la dreta).
\end{condition}

Aquesta condici\'{o}, a m\'{e}s de ser necess\`{a}ria per a la multiplicaci%
\'{o} de dues matrius, \'{e}s suficient.

Degut a qu\`{e} el n\'{u}mero de files i de columnes de dues matrius poden
Degut a qu\`{e} el n\'{u}mero de fileres i de columnes de dues matrius poden
ser qualssevol, pot succeir que es pugui calcular el producte $A\cdot B$ de
les matrius $A$ i $B$, per\`{o} que no es pugui calcular $B\cdot A$.

@@ -1337,9 +1354,9 @@ b_{mj}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
la fila $i-$\`{e}sima de la matriu $A$ i la columna $j-$\`{e}sima de la
la filera $i-$\`{e}sima de la matriu $A$ i la columna $j-$\`{e}sima de la
matriu $B$ respectivament. Aleshores, l'element $c_{ij}$ -\'{e}s a dir, el
que es troba a la intersecci\'{o} de la fila $i-$\`{e}sima i la columna $j-$%
que es troba a la intersecci\'{o} de la filera $i-$\`{e}sima i la columna $j-$%
\`{e}sima- del producte $A\cdot B$ es calcula de la seg\"{u}ent manera:%
\begin{equation*}
c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+...+a_{im}\cdot b_{mj}
@@ -1384,9 +1401,9 @@ n\times m & & m\times p & & n\times p%
\end{array}%
\right)
\end{multline*}%
\'{E}s a dir, l'element que ha d'anar, per exemple, a la $\mathit{2a}$ fila
\'{E}s a dir, l'element que ha d'anar, per exemple, a la $\mathit{2a}$ filera
i $\mathit{1a}$ columna es calcula sumant els productes dels elements de la $%
\mathit{2a}$ fila de la primera matriu amb els elements de la $\mathit{1a}$
\mathit{2a}$ filera de la primera matriu amb els elements de la $\mathit{1a}$
columna de la segona matriu.
\end{example}

@@ -1433,7 +1450,7 @@ Calcula els seg\"{u}ents productes de matrius:%

\begin{definition}
La \textbf{transposici\'{o}}\index{transposició de matrius} d'una matriu \'{e}s l'operaci\'{o} per la qual
es canvien de manera ordenada les files per les columnes (i viceversa). La
es canvien de manera ordenada les fileres per les columnes (i viceversa). La
matriu transposta\index{matriu!transposta} de la matriu $A$ es representa per $A^{t}$.
\end{definition}

@@ -1888,8 +1905,8 @@ B=\left(
\section{Rang d'una matriu d'ordre qualsevol}

\begin{definition}
Si en una matriu qualsevol seleccionam $p$ files i $p$ columnes, els
elements en qu\`{e} s'encreuen aquestes $p$ files i $p$ columnes formen una
Si en una matriu qualsevol seleccionam $p$ fileres i $p$ columnes, els
elements en qu\`{e} s'encreuen aquestes $p$ fileres i $p$ columnes formen una
submatriu quadrada d'ordre $p$. El determinant d'aquesta submatriu s'anomena%
\textit{\ }\textbf{menor d'ordre }$p$ de la matriu inicial.
\end{definition}
@@ -1914,7 +1931,7 @@ El determinant%
\end{array}%
\right) ,
\end{equation*}%
donat que hem seleccionat els elements en els quals s'encreuen les files $1$
donat que hem seleccionat els elements en els quals s'encreuen les fileres $1$
i $2$ i les columnes $1$ i $3$.
\end{example}

@@ -1979,10 +1996,10 @@ que ens donen una altra manera de calcular el rang:
calcular el rang d'una matriu podem seguir les seg\"{u}ents passes:

\begin{enumerate}
\item Es suprimeixen totes les files o columnes que estiguin formades \'{u}%
\item Es suprimeixen totes les fileres o columnes que estiguin formades \'{u}%
nicament per zeros.

\item S'observa, per simple inspecci\'{o}, si s'aprecien files o columnes
\item S'observa, per simple inspecci\'{o}, si s'aprecien fileres o columnes
que siguin combinaci\'{o} lineal de les seves paral\textperiodcentered
leles, i es procedeix a eliminar-les.

@@ -1995,7 +2012,7 @@ matriu \'{e}s, al menys, $2$.

\item Repetim aquest proc\'{e}s, orlant el menor que ha resultat diferent de
zero en el pas anterior, fins a obtenir un menor d'ordre $k\neq 0$ tal que
quan l'orlam amb les restants files i columnes de la matriu per formar
quan l'orlam amb les restants fileres i columnes de la matriu per formar
menors d'ordre $k+1$, resultin tots ells nuls. Aleshores es pot concloure que
el rang de la matriu \'{e}s $k$.
\end{enumerate}

BIN
_shake_build/.database View File


+ 18
- 17
apunts.loe View File

@@ -4,26 +4,27 @@
\contentsline {example}{\numberline {2}Exemple}{20}{example.2}
\contentsline {exercise}{\numberline {1}Exercici}{20}{exercise.1}
\contentsline {solution*}{\numberline {\let \autodot \@empty }Solució}{21}{thmt@dummyctr.dummy.5}
\contentsline {definition}{\numberline {1}Definició}{21}{definition.1}
\contentsline {definition}{\numberline {1}Definició\thmtformatoptarg {menor complementari}}{21}{definition.1}
\contentsline {example}{\numberline {3}Exemple}{21}{example.3}
\contentsline {definition}{\numberline {2}Definició}{22}{definition.2}
\contentsline {definition}{\numberline {2}Definició\thmtformatoptarg {adjunt}}{22}{definition.2}
\contentsline {example}{\numberline {4}Exemple}{22}{example.4}
\contentsline {exercise}{\numberline {2}Exercici}{22}{exercise.2}
\contentsline {example}{\numberline {5}Exemple}{22}{example.5}
\contentsline {algorithm}{\numberline {2}Algorisme\thmtformatoptarg {desenvolupament d'un determinant}}{22}{algorithm.2}
\contentsline {example}{\numberline {5}Exemple}{23}{example.5}
\contentsline {exercise}{\numberline {3}Exercici}{23}{exercise.3}
\contentsline {definition}{\numberline {3}Definició}{23}{definition.3}
\contentsline {claim}{\numberline {1}Observació}{24}{claim.1}
\contentsline {exercise}{\numberline {4}Exercici}{24}{exercise.4}
\contentsline {algorithm}{\numberline {2}Algorisme\thmtformatoptarg {Regla de Chio}}{26}{algorithm.2}
\contentsline {claim}{\numberline {1}Observació}{25}{claim.1}
\contentsline {exercise}{\numberline {4}Exercici}{25}{exercise.4}
\contentsline {algorithm}{\numberline {3}Algorisme\thmtformatoptarg {Regla de Chio}}{27}{algorithm.3}
\contentsline {example}{\numberline {6}Exemple}{27}{example.6}
\contentsline {exercise}{\numberline {5}Exercici}{27}{exercise.5}
\contentsline {exercise}{\numberline {6}Exercici}{27}{exercise.6}
\contentsline {exercise}{\numberline {7}Exercici}{27}{exercise.7}
\contentsline {exercise}{\numberline {5}Exercici}{28}{exercise.5}
\contentsline {exercise}{\numberline {6}Exercici}{28}{exercise.6}
\contentsline {exercise}{\numberline {7}Exercici}{28}{exercise.7}
\contentsline {exercise}{\numberline {8}Exercici}{28}{exercise.8}
\contentsline {exercise}{\numberline {9}Exercici}{28}{exercise.9}
\contentsline {exercise}{\numberline {10}Exercici}{28}{exercise.10}
\contentsline {exercise}{\numberline {11}Exercici}{28}{exercise.11}
\contentsline {exercise}{\numberline {12}Exercici}{28}{exercise.12}
\contentsline {exercise}{\numberline {10}Exercici}{29}{exercise.10}
\contentsline {exercise}{\numberline {11}Exercici}{29}{exercise.11}
\contentsline {exercise}{\numberline {12}Exercici}{29}{exercise.12}
\contentsline {exercise}{\numberline {13}Exercici}{29}{exercise.13}
\contentsline {exercise}{\numberline {14}Exercici}{29}{exercise.14}
\contentsline {exercise}{\numberline {15}Exercici}{29}{exercise.15}
@@ -55,7 +56,7 @@
\contentsline {exercise}{\numberline {20}Exercici}{35}{exercise.20}
\contentsline {definition}{\numberline {14}Definició}{36}{definition.14}
\contentsline {proposition}{\numberline {1}Proposició}{36}{proposition.1}
\contentsline {algorithm}{\numberline {3}Algorisme}{36}{algorithm.3}
\contentsline {algorithm}{\numberline {4}Algorisme}{36}{algorithm.4}
\contentsline {example}{\numberline {16}Exemple}{37}{example.16}
\contentsline {exercise}{\numberline {21}Exercici}{37}{exercise.21}
\contentsline {example}{\numberline {17}Exemple}{37}{example.17}
@@ -63,9 +64,9 @@
\contentsline {definition}{\numberline {15}Definició}{39}{definition.15}
\contentsline {example}{\numberline {18}Exemple}{39}{example.18}
\contentsline {definition}{\numberline {16}Definició}{39}{definition.16}
\contentsline {algorithm}{\numberline {4}Algorisme}{40}{algorithm.4}
\contentsline {example}{\numberline {19}Exemple}{40}{example.19}
\contentsline {algorithm}{\numberline {5}Algorisme}{40}{algorithm.5}
\contentsline {example}{\numberline {19}Exemple}{40}{example.19}
\contentsline {algorithm}{\numberline {6}Algorisme}{40}{algorithm.6}
\contentsline {example}{\numberline {20}Exemple}{41}{example.20}
\contentsline {exercise}{\numberline {23}Exercici}{41}{exercise.23}
\contentsline {example}{\numberline {21}Exemple}{41}{example.21}
@@ -94,7 +95,7 @@
\contentsline {example}{\numberline {23}Exemple}{46}{example.23}
\contentsline {example}{\numberline {24}Exemple}{47}{example.24}
\contentsline {example}{\numberline {25}Exemple}{47}{example.25}
\contentsline {algorithm}{\numberline {6}Algorisme}{48}{algorithm.6}
\contentsline {algorithm}{\numberline {7}Algorisme}{48}{algorithm.7}
\contentsline {example}{\numberline {26}Exemple}{48}{example.26}
\contentsline {exercise}{\numberline {39}Exercici}{49}{exercise.39}
\contentsline {theorem}{\numberline {2}Teorema}{49}{theorem.2}
@@ -278,7 +279,7 @@
\contentsline {exercise}{\numberline {93}Exercici\thmtformatoptarg {\cite {sanchez96}}}{108}{exercise.93}
\contentsline {exercise}{\numberline {94}Exercici\thmtformatoptarg {\cite {sanchez96}}}{108}{exercise.94}
\contentsline {exercise}{\numberline {95}Exercici\thmtformatoptarg {\cite {ballve04}}}{108}{exercise.95}
\contentsline {solution*}{\numberline {\let \autodot \@empty }Solució}{108}{thmt@dummyctr.dummy.276}
\contentsline {solution*}{\numberline {\let \autodot \@empty }Solució}{108}{thmt@dummyctr.dummy.277}
\addvspace {10\p@ }
\contentsline {definition}{\numberline {1}Definició}{111}{definition.1}
\contentsline {definition}{\numberline {2}Definició}{111}{definition.2}

BIN
apunts.pdf View File


Loading…
Cancel
Save