Browse Source

Acabat factorització de polinomis (importat de la versió de Xisco Sebastià del curs 2019-2020) #6

tags/v2.3.1
Xavier B. 9 months ago
parent
commit
c89b70b047
2 changed files with 81 additions and 1 deletions
  1. +81
    -1
      08-apendix.tex
  2. BIN
      apunts.pdf

+ 81
- 1
08-apendix.tex View File

@@ -268,7 +268,7 @@ $$x=\dfrac{-17}{19}$$

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 0, \item 1, \item 2, \item 0, \item 1, \item 2 \end{enumerate*} \end{solution*}

\section{Extracció de factor comú}
\section{Extracció de factor comú}\label{annex:factor-comu}

El factor comú d'una expressió pot ser un nombre, una lletra, o bé ambdues coses:

@@ -595,6 +595,86 @@ També pot ser que no tengui arrels reals: per exemple $x^2 + 2$ no té arrels r

\section{Factorització de polinomis}

\begin{definition}Un polinomi és \term{irreductible}\index{polinomi!irreductible} si no es pot escriure com a producte de polinomis de menor grau. En altre cas, s'anomena \term{reductible}\index{polinomi!reductible}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Els polinomis de primer grau són irreductibles. És a dir, tots els polinomis de l'estil $ax+b$ són irreductibles. Per exemple $2x-4$ i $x+4$ són irreductible.
\item Els polinomis de segon grau són irreductibles si, i només si, no tenen cap arrel real. És a dir $p(x) = ax^2 + bx + c$ és irreductible si, i només si, l'equació $ax^2 +bx+c = 0$ no té solució (vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}). Per exemple, $x^2 + 9$ és irreductible, però $x^2 -9$ i $x^2 -2x +1$ són reductibles.
\item Els polinomis de grau major o igual que 3 mai són irreductibles.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}\term{Factoritzar}\index{factoritzar!un polinomi} un polinomi $p(x)$ és descompondre $p(x)$ com a producte de polinomis irreductibles.
\end{definition}

No existeix cap procediment per a factoritzar polinomis, ja que és equivalent a trobar arrels reals de polinomis de qualsevol grau. Encara que existeix un algorisme per factoritzar polinomis trobant arrels enteres.

\begin{algorithm}[procediment per factoritzar els polinomis]Donat un polinomi $p(x)$, s'han de seguir les passes següents
\begin{enumerate}
\item Treure factor comú, si és possible (vegeu \autoref{annex:factor-comu})
\item Trobarem els divisors del terme independent
\item Per a cada divisor $d$ del terme independent, provarem si $d$ és arrel del polinomi $p(x)$
\item Si $d$ és arrel del polinomi, llavors $p(x)$ es pot expressar com a producte de $(x-d)$ i un polinomi $q(x)$ de grau $d-1$. En aquest cas, repetirem aquest algorisme des del primer pas amb el polinomi $q(x)$..

Si $d$ no és arrel, seguirem provant amb els altres divisors.
\item Si cap divisor del terme independent és arrel, llavors no podem factoritzar $p(x)$.
\item Al final, haurem de d'ajustar el coeficient de major grau per a què quedi el coeficient del terme de major grau de $p(x)$.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

\begin{example}
Factoritzem el polinomi $30x^{4}+35x^{3}-45x^{2}+10x$.

\begin{enumerate}
\item Podem treure factor comú perquè tots el termes són múltiples de $5$ i de $x$:%
\begin{equation*}
5x(6x^3+7x^2-9x+2)
\end{equation*}

\item Aplicam el mètode de Ruffini al polinomi que queda dins el parèntesi (després de provar els divisors, l'únic que va bé és el $-2$):%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $6$ & $7$ & $-9$ & $2$ \\
& & & & \\
$\mathbf{-2}$ & & $-12$ & $10$ & $-2$ \\ \hline
& $6$ & $-5$ & $1$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Cap dels divisors permet factoritzar per Ruffini el polinomi $6x^2-5x+1$.
Així, en aquest punt, la factorització és%
\begin{equation*}
5x(x+2)(6x^2-5x+1)
\end{equation*}

\item Com que el polinomi $6x^2 -5x +1$ és de segon grau, resoldrem l'equació corresponent (sempre farem això amb els polinomis de segon grau):%
\begin{equation*}
6x^2-5x+1=0
\end{equation*}%
Les solucions d'aquesta equació són:%
\begin{equation*}
x=\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{%
2\cdot 6}=\frac{5\pm 1}{12}=\left\{
\begin{array}{c}
\frac{5+1}{12}=\frac{1}{2} \\
\\
\frac{5-1}{12}=\frac{1}{3}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item Per tant, la factorització final obtinguda és
\begin{equation*}
5x\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{3}\right) (x+2).
\end{equation*}
Ara bé, volem tenir $30$ com a coeficient de major grau (30 és el coeficient de major grau del polinomi original) i no 5 (observa que $5x\cdot x\cdot x\cdot x=5x^{4}$ és el terme de major grau).

Llavors, hem de muiltiplicar per 6. D'aquesta manera, la factorització final és $6\cdot 5x\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{3}\right) (x+2)$, és a dir,%
\begin{equation*}
30x\left( x-\tfrac{1}{2}\right) \left( x-\tfrac{1}{3}\right) (x+2).
\end{equation*}%
\end{enumerate}
\end{example}


\begin{exercise}Factoritzeu els polinomis següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]


BIN
apunts.pdf View File


Loading…
Cancel
Save