Bläddra i källkod

fins a definició de probabilitat (no inclosa) quasi acabat

tags/v2.1
Xavier 3 år sedan
förälder
incheckning
bbd765e99f
3 ändrade filer med 113 tillägg och 31 borttagningar
  1. 1
    0
      02-drets-d-autor.tex
  2. 112
    31
      07-probabilitat.tex
  3. Binär
      apunts.pdf

+ 1
- 0
02-drets-d-autor.tex Visa fil

@@ -15,6 +15,7 @@ Els següents continguts no són propis i, per tant, es distribueixen amb les se
\item Els exercicis \ref{alicia-espuig-sistemes-0}, \ref{exer:espuig-sistemes-1}, \ref{exer:espuig-sistemes-2}, \ref{exer:espuig-sistemes-3}, \ref{exer:espuig-sistemes-4}, \ref{exer:espuig-punts-1}, \ref{exer:espuig-punts-2}, \ref{exer:espuig-punts-3}, \ref{exer:espuig-punts-4}, \ref{exer:espuig-punts-5}, \ref{exer:espuig-punts-6}, \ref{exer:espuig-punts-7}, \ref{exer:espuig-punts-8}, \ref{exer:espuig-1}, \ref{exer:espuig-2}, \ref{exer:espuig-3}, \ref{exer:espuig-4}, \ref{exer:espuig-5}, \ref{exer:espuig-6}, \ref{exer:espuig-7}, \ref{exer:espuig-8}, \ref{exer:espuig-9}, \ref{exer:espuig-10}, \ref{exer:espuig-11}, \ref{exer:espuig-12} i \ref{exer:espuig-13} s'han extret dels capítols {\em Sistemes de tres equacions amb tres incògnites} i {\em Vectors en el pla} del llibre {\em Curs de preparació per a la prova d'accés a cicles formatius de grau superior. Matemàtiques} de n'Alícia Espuig Bermell. 2009. Disponible \href{http://somenxavier.github.io/cepasud/acfgs-alicia-espuig.html}{en línia}\footnote{http://somenxavier.github.io/cepasud/acfgs-alicia-espuig.html}. Aquest material es distribueix sota llicència {\em Reconeixement NoComercial CompartirIgual 3.0 de Creative Commons} (CC-BY-NC-SA 3.0).
\item La figura \ref{fig:calcul-volum-paral·lelepípede} correspon al fitxer {\em \href{https://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Parallellopipedum.png}{Parallellopipedum.png}}\footnote{https://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Parallellopipedum.png} el qual està extret de la Wikipedia. Alliberat al domini públic. 2007 \href{https://nl.wikipedia.org/wiki/Gebruiker:Svdmolen}{Gebruker Svdmolen}.
\item La figura \ref{fig:vector-normal-de-pla} és una obra derivada del fitxer de Geogebra {\em \href{http://tube.geogebra.org/material/show/id/21240}{Plane with normal vector}}\footnote{http://tube.geogebra.org/material/show/id/21240} de \O{ystein} Nordvik i Stord Haugesund de la University College. 2012. El material original es distribueix sota llicència Reconeixement CompartirIgual 3.0 de Creative Commons (CC-BY-SA 3.0).
\item Les figures \ref{fig:operacions-conjunts} són obres derivades del fitxer {\em \href{http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/}{Example: Set operations illustrated with Venn diagrams}}\footnote{http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/} de Uwe Ziegenhagen. 2010. Distribuït sota llicència Reconeixement 2.5 de Creative Commons (CC-BY 2.5).
\end{itemize}

L'ús d'aquests materials es realitza acollint-se als termes de les corresponents llicències i al dret de cita i ressenya per a fins docents amparat a l'article 32 de la Llei de Propietat Intel·lectual de la legislació espanyola --- Real Decreto Legislativo 1/1996, de 12 d'abril de 1996. \href{http://boe.es/boe/dias/1996/04/22/pdfs/A14369-14396.pdf}{Entrada 8930} del BOE 97, de 22 d'abril de 1996.

+ 112
- 31
07-probabilitat.tex Visa fil

@@ -267,49 +267,130 @@ Gràficament, aquest concepte es pot representar mitjançant un diagrama de Venn

De manera informal, l'esdeveniment intersecció de dos esdeveniment és aquell que ocorre quan ocorren ambdós. De la definició es veu que $A\cap B$ és el mateix que $B\cap A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-interseccio}).

\begin{definition}[esdeveniment contrari]Donat un esdeveniment $A$, el seu \term{esdeveniment contrari} o \term{complementari}\index{esdeveniment!contrari}\index{esdeveniment!complementari}, que es denota per $A^c$ $\overline{A}$, és l'esdeveniment format per tots els elements de l'espai mostral que no són de $A$. És a dir, l'esdeveniment contrari de $A$ es verifica quan no ocorre $A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-complementari}.
\begin{definition}[esdeveniment contrari]Donat un esdeveniment $A$, el seu \term{esdeveniment contrari} o \term{complementari}\index{esdeveniment!contrari}\index{esdeveniment!complementari}, que es denota per $A^c$ o $\overline{A}$, és l'esdeveniment format per tots els elements de l'espai mostral que no són de $A$. És a dir, l'esdeveniment contrari de $A$ es verifica quan no ocorre $A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-complementari}.
\end{definition}

FALTA la diferència
\begin{definition}[diferència d'esdeveniments]Donats dos esdeveniments, $A$ i $B$, la \term{diferència} entre $A$ i $B$, que es denota per $A \setminus B$ (o $A - B$), és l'esdeveniment format pels elements de $A$ que no estan en $B$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-resta}).
\end{definition}

\begin{example}
En el llan\c{c}ament d'un dau consideram els succesos $A=\left\{ \text{parell%
}\right\} $, $B=\left\{ \text{imparell}\right\} $ i $C=\left\{ \text{m\'{u}%
ltiple de tres}\right\} $. Aleshores:

\begin{tabular}{lll}
$A\cup B=E$ & $A\cup C=\left\{ 2,3,4,6\right\} $ & $B\cup C=\left\{
1,3,5,6\right\} $ \\
$A\cap B=\left\{ \varnothing \right\} $ & $A\cap C=\left\{ 6\right\} $ & $%
B\cap C=\left\{ 3\right\} $ \\
$A^{c}=\left\{ 1,3,5\right\} $ & $B^{c}=\left\{ 2,4,6\right\} $ & $%
C^{c}=\left\{ 1,2,4,5\right\} $%
\end{tabular}
\begin{example}En l'experiment de llançar un dau i mirar el resultat, tenim que $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si agafam $A =$ que surti parell i $B =$ que surti un nombre menor que 5, tenim que:
\begin{itemize}
\item $A \cup B$ = que surti parell o menor que 5 = $\{2,4,6\} \cup \{1,2,3,4\}$ = $\{1,2,3,4,6\}$. Per tant, $A \cup B = \{1,2,3,4,6\}$.
\item $A \cap B$ = que surti parell i menor que 5 = $\{2,4,6\} \cap \{1,2,3,4\}$ = $\{2,4\}$. Per tant, $A \cap B = \{2, 4\}$.
\item $A \setminus B$ = $\{6\}$
\item $B \setminus A$ = $\{1,2\}$
\item $A^c$ = el contrari de què surti parell = $\{1,3,5\}$
\item $B^c$ = el contrari de què surti un nombre menor que 5 = $\{6\}$
\end{itemize}
\end{example}

Existeixen unes relacions destacades entre la uni\'{o}, la intersecci\'{o} i
el complementari de successos:
\subsection{Propietats de les operacions}

\begin{description}
\item[(i)] $A\cup \left( A\cap B\right) =A$
Les operacions sobre el conjunt d'esdeveniments anteriorment descrites satisfan certes propietats. Si $A$, $B$ i $C$ són esdeveniments qualssevol i $E$ denota l'espai mostral, aleshores:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $A \cup E =E$; $A \cup \emptyset = A$; $A \cup A^c = E$
\item $A \cap E =A$; $A \cap \emptyset = \emptyset$; $A \cap A^c = \emptyset$
\item $A \setminus B = A \cap B^c$
\item $(A \setminus B) \cup (A \cap B) \cup (B \setminus A) = A \cup B$
\item Idempotència: $\left(A^c\right)^c = A$
\item Commutatives:
\begin{enumerate}
\item $A \cup B = B \cup A$
\item $A \cap B = B \cap A$
\end{enumerate}
\item Associatives:
\begin{enumerate}
\item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
\item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
\end{enumerate}
\item Distributives:
\begin{enumerate}
\item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
\end{enumerate}

En particular:
\begin{itemize}
\item $A\cup \left( A\cap B\right) =A$
\item $A\cap \left( A\cup B\right) =A$
\end{itemize}

\item \term{Lleis de De Morgan}\index{lleis!de De Morgan}
\begin{enumerate}
\item $\left( A\cup B\right) ^{c}=A^{c}\cap B^{c}$
\item $\left( A\cap B\right) ^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Les més importants són les propietats distributives i les lleis de de Morgan.

\item[(ii)] $A\cap \left( A\cup B\right) =A$
\begin{exercise}Es disposa d'una urna amb bolles numerades de l'1 al 16, de la qual s'extreu una bolla. Considerem els esdeveniments següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $A$ = treure un 7
\item $B$ = treure un nombre menor que 7
\item $C$ = treure un nombre parell
\item $D$ = treure un múltiple de 3
\end{enumerate}
Calculeu \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\Omega$, \item $A \cap B$, \item $A \cup B$, \item $B \cap C$, \item $C \cap D$, \item $C \cup D$, \item $B^c$, \item $A\setminus B$, $B \setminus A$ \end{enumerate*}. Existeixen esdeveniments incompatible entre si?
\end{exercise}

\begin{exercise} Es llança una ruleta de 10 costats, numerats de la següent manera: 2, 4, 6, 8, \ldots, 20, i s'observa el resultat obtingut.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Trobeu l'espai mostral.
\item Escriviu com a conjunts els esdeveniments següents:
\begin{enumerate}
\item $A$ = ``obtenir un nombre parell''
\item $B$ = ``obtenir un nombre senar''
\item $C$ = ``obtenir un múltiple de 3''
\item $D$ = ``obtenir un múltiple de 5''
\item $E$ = ``obtenir un nombre major que 4''
\item $F$ = ``obtenir un nombre menor que 6''
\item $G$ = ``obtenir un múltiple de 3 i 4''
\end{enumerate}
\item Calculeu els seus esdeveniments contraris.
\item Trobeu la unió, la intersecció i la diferència d'$A$ amb cadascun dels altres esdeveniments.
\item Assenyaleu un parell d'esdeveniments incompatibles entre si. Justifiqueu la resposta.

\item[(iii)] $\left( A^{c}\right) ^{c}=A$ (el complementari del
complementari d'un succ\'{e}s \'{e}s el mateix succ\'{e}s)
\end{enumerate}
\end{exercise}

\item[(iv)] $\left( A\cup B\right) ^{c}=A^{c}\cap B^{c}$ (el complementari
de la uni\'{o} \'{e}s la intersecci\'{o} dels complementaris)
\begin{exercise}Aplicant les propietats anteriors, demostreu que:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $A \cap (A \cap B) = A \cap B$
\item $A \cup (B \setminus A) = A \cup B$
\item $(A \setminus B) \cap B = \emptyset$
\item $(A^c \cap B) \cup A = A \cup B$
\item $(A \cup B^c) \cap B = A \cap B$
\item $\left( \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) \right)^c = A \cap B$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\item[(v)] $\left( A\cap B\right) ^{c}=A^{c}\cup B^{c}$ (el complementari de
la intersecci\'{o} \'{e}s la uni\'{o} dels complementaris)
\begin{example}D'entre els habitants d'un poble es tria una persona a l'atzar. Considerem els esdeveniments següents: $A$ = ser soci del casino, $B$ = ser soci del club de futbol local i $C$ ser soci d'alguna associació juvenil. Expresseu en funció de $A$, $B$ i $C$ les situacions següents:
\end{example}

Aquestes dues darreres igualtats es coneixen com les \textbf{lleis de Morgan}%
.
\end{description}
\begin{exercise}Siguin els esdeveniments següents: $A$ = ``plou avui'', $B$ = ``plou demà'' i $C$ = ``plou passat-demà''. Expresseu mitjançant operacions entre esdeveniments:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Plou un dels tres dies, almenys
\item Plou avui però no demà ni passat-demà
\item No plou cap dels tres dies
\item Plou com a màxim dos d'aquests tres dies
\item Plou avui però no demà
\end{enumerate}
Expliqueu el significat de
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $( A \cap B) - C$
\item $(A \cup B) - C$
\item $ A \cup B \cup \overline{C}$
\item $\left( A \cap B \right) \cup \left( C \cap A \right)$
\item $\overline{A \cup B}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Demostra gr\`{a}ficament aquestes cinc propietats.
\begin{exercise}Considerem els esdeveniments ``ser oient de RNE'', ``set oient de la SER'', ``ser oient de M80''. Expreseu, mitjançant operacions amb esdeveniments, els esdeveniments següents: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item ``ser oient de només dues emissores'', \item ``ser oient de RNE però no de la SER ni de M80'', \item ``ser oient de, almenys, una emissora'', \item `escoltar alguna emissora però no les tres'', \item ``no escoltar més d'una emissora'' \end{enumerate*}
\end{exercise}

\section{Definici\'{o} de probabilitat}

Binär
apunts.pdf Visa fil


Laddar…
Avbryt
Spara