Browse Source

exercicis d'intersecció de plans (closes #3) i quasi acabat l'apèndix (autocontingut; #6)

tags/v2.3.1
Xavier B. 5 months ago
parent
commit
afa35b34b4
6 changed files with 253 additions and 22 deletions
  1. +3
    -2
      02-drets-d-autor.tex
  2. +4
    -4
      03-prefaci.tex
  3. +2
    -2
      04-algebra-lineal.tex
  4. +19
    -1
      05-geometria.tex
  5. +225
    -13
      08-apendix.tex
  6. BIN
      apunts.pdf

+ 3
- 2
02-drets-d-autor.tex View File

@@ -26,13 +26,14 @@ Els següents continguts no són propis i, per tant, es distribueixen amb les se
\item Les figures \ref{fig:operacions-conjunts} i \ref{fig:metode-Venn-1} són obres derivades del fitxer {\em \href{http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/}{Set operations illustrated with Venn diagrams}}\footnote{http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/} de n'Uwe Ziegenhagen. 2010. L'obra original es distribueix sota llicència Reconeixement 2.5 de Creative Commons (CC-BY 2.5).
\item Les figures \ref{fig:diagrama-venn-de-tres} i \ref{fig:tecniques-2} són obres derivades de {\em \href{http://www.texample.net/tikz/examples/venn/}{A Venn diagram with PDF blending}}\footnote{http://www.texample.net/tikz/examples/venn/} de n'Stefan Kottwitz. 2015. L'obra original es distribueix sota llicència Reconeixement 2.5 de Creative Commons (CC-BY 2.5).
\item La figure \ref{fig:diagrama-arbre-0} és una obra derivada de {\em \href{http://www.texample.net/tikz/examples/probability-tree/}{Probability tree}}\footnote{http://www.texample.net/tikz/examples/probability-tree/} d'en Kjell Magne Fauske. 2006. L'obra original es distribueix sota llicència Reconeixement 2.5 de Creative Commons (CC-BY 2.5).
\item Els exercicis \ref{matex-1}, \ref{matex-2} i \ref{matex-3} estan extrets del \href{https://personales.unican.es/gonzaleof/}{"Proyecto Ma\TeX-1-ESO"} (exercicis 20 al 29) de Francisco Javier González Ortiz. 2004. L'obra original té tots els drets reservats.
\end{itemize}

L'ús d'aquests materials es realitza acollint-se als termes de les corresponents llicències i al dret de cita i ressenya per a fins docents amparat per l'article 32 de la Llei de Propietat Intel·lectual de la legislació espanyola --- Real Decreto Legislativo 1/1996, de 12 d'abril de 1996. \href{http://boe.es/boe/dias/1996/04/22/pdfs/A14369-14396.pdf}{Entrada 8930} del BOE 97, de 22 d'abril de 1996.

\section*{Informació del document}

La versió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/releases}{2.4.0-pre}. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX}, \href{http://www.geogebra.org/}{Geogebra} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://artixlinux.org/}{GNU/Linux}. La revisió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
La versió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/releases}{2.3.1-pre}. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX}, \href{http://www.geogebra.org/}{Geogebra} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://artixlinux.org/}{GNU/Linux}. La revisió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
require "lualibs-os"
tex.sprint(os.resultof("git log --pretty=oneline | wc -l")+1)
}a}. El conjunt de les versions s'administra amb el \href{http://git-scm.com/}{git}. La referència d'aquesta versió és la:
@@ -55,4 +56,4 @@ El document ha estat mecanografiat. Encara que s'hagi revisat diverses vegades
\thispagestyle{empty}
D'altra banda, si adapteu o modifiqueu aquesta obra i considereu que el canvi ha estat per a millorar-la, us agraïríem que ens ho communiquéssiu. Si el canvi fos del nostre gust, l'incorporaríem a l'obra original en els mateixos termes de la llicència.

}
}

+ 4
- 4
03-prefaci.tex View File

@@ -1,13 +1,13 @@
\chapter*{Prefaci}

\markboth{PREFACI}{PREFACI}
En aquest text es desenvolupen \'{u}nicament tres de les quatre parts de qu\`{e} consta el temari de la prova de Matem\`{a}tiques d'\href{http://estudis.uib.cat/grau/acces/mes_grans25/}{Acc\'{e}s a la Universitat de les Illes Balears per a majors de 25 anys}\footnote{El motiu principal d'aquest fet és que, encara que el manual les tengués, no es tendria temps material de veure-les a classe amb els set mesos d'un curs de preparació a la UIB de qualsevol ESPA.}. Aquestes tres parts no es tracten aqu\'{\i} d'una manera exhaustiva en relaci\'{o} a l'esmentat temari; el que es vol presentar \'{e}s, nom\'{e}s, un manual principalment pr\`{a}ctic d'una part del temari d'aquestes proves.
En aquest text es desenvolupen únicament tres de les quatre parts de les quals consta el temari de la prova de Matemàtiques d'\href{http://estudis.uib.cat/grau/acces/mes_grans25/}{Accés a la Universitat de les Illes Balears per a majors de 25 anys}. El motiu principal d'aquest fet és que, encara que el manual les tengués, no es tendria temps material de veure-les a classe amb els set mesos d'un curs de preparació a la UIB de qualsevol Centre d'Educació de Persones Adultes. Aquestes tres parts no es tracten aquí d'una manera exhaustiva en relació a l'esmentat temari; el que es vol presentar és, només, un manual principalment pràctic d'una part del temari d'aquestes proves.

S'han deixat de banda els aspectes m\'{e}s formals propis d'un curs amb els continguts que es tractaran aqu\'{\i}, i, per aquest motiu, algunes de les definicions es presenten d'una manera intuïtiva i m\'{e}s propera als alumnes.
S'han deixat de banda els aspectes més formals propis d'un curs amb els continguts que es tractaran aquí, i, per aquest motiu, algunes de les definicions es presenten d'una manera intuïtiva i més propera als alumnes.

D'altra banda, nom\'{e}s es necessari un coneixement elemental de Matem\`{a}tiques per poder seguir aquestes notes: operacions amb els diferents tipus de nombres, resoluci\'{o} d'equacions de primer i segon grau, etc. (vegeu l'\autoref{apendix}).
D'altra banda, només es necessari un coneixement elemental de Matemàtiques per poder seguir aquestes notes: operacions amb els diferents tipus de nombres, resolució d'equacions de primer i segon grau, etc. (vegeu l'\autoref{apendix}).

El nivell dels continguts es correspondria, essencialment, amb un segon de batxillerat excepte la part de Geometria al pla i Probabilitat que equivaldria a un nivell de l'Educació Secundària Obligatòria (ESO).

\bigskip
Palma, \today.
Palma, \today.

+ 2
- 2
04-algebra-lineal.tex View File

@@ -2978,8 +2978,8 @@ de manera que s'han de verificar conjuntament.
Anomenarem:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item A $x_1$, \ldots, $x_n$ les \term{incògnites} del sistema\index{incògnites d'un sistema}
\item A $a_{ij}$, on $i=1,\ldots, m$ i $j=1,\ldots, n$, els \term{coeficients} del sistema\index{coeficients d'un sistema}
\item A $b_1$, \ldots, $b_m$ els \term{termes independents} del sistema\index{termes independents d'un sistema}
\item A $a_{ij}$, on $i=1,\ldots, m$ i $j=1,\ldots, n$, els \term{coeficients} del sistema\index{coeficients!d'un sistema}
\item A $b_1$, \ldots, $b_m$ els \term{termes independents} del sistema\index{termes!independents d'un sistema}
\end{enumerate}

Una \term{solució} del sistema\index{solució d'un sistema} és un conjunt de valors $c_1$, \ldots, $c_n$ de manera que verifiquen simultàniament cada equació, és a dir,

+ 19
- 1
05-geometria.tex View File

@@ -3091,6 +3091,15 @@ que, com es veu, ve definida per la intersecció de dos plans (si volem
es pot passar a la forma paramètrica (\autoref{subseccio:pas-de-implica-a-parametrica-js}).
\end{example}

\begin{exercise}Trobeu la intersecció entre els plans següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\pi_1 \colon x + 3y + z - 5=0$ i $\pi_2 \colon x - 2z - 2 =0$
\item $\pi_1 \colon x + 2y + 3z - 5=0$ i $\pi_2 \colon x + 2y - 3z -2 = 0$
\item $\pi_1 \colon 2x + y + 5z =0$ i $\pi_2 \colon y - 2z - 10 = 0$
\item $\pi_1 \colon 2x + 4y + 8z - 10=0$ i $\pi_2 \colon 2x + 4y -8z - 10 = 0$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\subsection{Intersecció entre dues rectes}

\begin{example}Calculeu el punt d'intersecció entre les rectes $r \colon \left\{ x-2y+z+3=0,\right.$ $\left. 2x-y+z-4=0 \right\}$ i $s \colon \left\{ 2x-2y+3z-19=0, x-y+z-4=0\right\}$.
@@ -3500,7 +3509,7 @@ segons els valors de $a$.
\begin{exercise}\label{exer-js-geometria-1} Trobeu la recta que passa pel punt $A=(1,1,-1)$, és paral·lela al pla $\pi \equiv x - y + z = 5$ i talla a l'eix de coordenades $OZ$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exer-js-geometria-2} Estudiau la posició relativa dels plans $\pi \equiv x + 3y - 2z = 7$, $\pi' \equiv x+2t-az=5$ i $\pi'' \equiv ax+z = b$, segons els valors d'$a$ i de $b$. Quan es tallen en una recta? Quina d'elles és la que passa pel punt $(-1,4,2)$?
\begin{exercise}\label{exer-js-geometria-2} Estudieu la posició relativa dels plans $\pi \equiv x + 3y - 2z = 7$, $\pi' \equiv x+2t-az=5$ i $\pi'' \equiv ax+z = b$, segons els valors d'$a$ i de $b$. Quan es tallen en una recta? Quina d'elles és la que passa pel punt $(-1,4,2)$?
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exer-js-geometria-3} Donats el punt $P=(2,1,2)$ i la recta resultant de la intersecció dels plans $4x-y = 12$ i $z - x = 2$, trobeu l'àrea del triangle determinat pel punt $P$, el punt de la recta més proper a $P$ i el punt $Q=(1,0,-1)$.
@@ -3526,6 +3535,15 @@ y-z & = 1%
\right.$. Estudieu si els punts $P=(1,0,0)$, $Q=(2,-3,-4)$, $R=(0,1,1)$ i $S=(0,0,-1)$ pertanyen al pla $\pi$ o a la recta $r$.
\end{exercise}

\begin{exercise}Trobeu les posicions relatives entre aquests plans. En cas de que es tallin, trobeu l'equació contínua de la recta:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\pi_1 \colon 3x + 3y + z -1=0$ i $\pi_2 \colon x - -5y + 5z =0$
\item $\pi_1 \colon x + 2y + z =0$ i $\pi_2 \colon x + 2y z -2 = 0$
\item $\pi_1 \colon 2x + 4y + z =0$ i $\pi_2 \colon 10x + 20y + 5z +2= 0$
\item $\pi_1 \colon 2x + 8z - 10=0$ i $\pi_2 \colon 2x +8y - 10 = 0$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\subsection{Altres}

\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de les rectes%

+ 225
- 13
08-apendix.tex View File

@@ -3,7 +3,7 @@
Aqu\'{\i} es fa un recordatori de qualcuns continguts de matem\`{a}tiques
elementals.

\section{Operacions amb n\'{u}meros}
\section{Operacions amb nombres}

\subsection{Sumes i restes}

@@ -22,7 +22,7 @@ que tengui major valor absolut.
\end{equation*}
\end{example}

\subsection{Producte i quocient de dos n\'{u}meros}
\subsection{Producte i quocient de dos nombres}

Per multiplicar o dividir {\em dos} nombres es segueix la regla següent: si els dos nombres tenen el mateix signe, el resultat del producte o de la divisió és positiu, i si els dos nombres tenen signes diferents, el resultat és negatiu.

@@ -37,7 +37,51 @@ Per multiplicar o dividir {\em dos} nombres es segueix la regla següent: si els

\subsection{Jerarquia d'operacions}

TODO
Per a calcular expressions aritmètiques que tenen diverses operacions, s'aplica un ordre en la que certes operacions es calculen abans que unes altres. S'anomena \term{jerarquia d'operacions}\index{jerarquia!d'operacions} a l'ordre en el que s'efectuen les operacions. Aquesta és:

\begin{enumerate}
\item Parèntesis
\item Potències
\item Productes i divisions
\item Sumes i rectes
\end{enumerate}

\begin{example}Calculeu
\begin{equation*}
3 + 4 \cdot 5
\end{equation*}

\bigskip
Per a calcular aquesta expressió, hem de calcular en primer lloc el producte, encara que l'operació no sigui la primera en aparèixer. En posterioritat, calcularíem la suma. Per tant,

\begin{equation*}
\begin{split}
3+4 \cdot 5 & = 3 + 20\\
& = 23
\end{split}
\end{equation*}


\end{example}

\begin{example}Calculeu
\begin{equation*}
\left(3 + 4\right) \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(3^2 - 5\cdot 2\right)^2 + 2^2
\end{equation*}

En primer lloc, calcularem els parèntesis. S'ha de dir que com que el resultat d'un no influeix al resultat de l'altre, llavors es poden calcular de forma simultània. En general, podem fer això sempre que les subexpressions siguin sumands d'una expressió més general (tècnicament es diuen \term{termes}\index{termes}). Així, calcularíem l'expressió numèrica de la forma:

\begin{equation*}
\begin{split}
\left(3 + 4\right) \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(3^2 - 5\cdot 2\right)^2 + 2^2 & = 7 \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(9-10\right) + 4\\
& = 35 + \frac{1}{2} - (-1) + 4\\
& = 35 + \frac{1}{2} + 1 +4 \\
& = 40 + \frac{1}{2} \\
& = \frac{81}{2}
\end{split}
\end{equation*}

\end{example}


\subsection{Càlcul del mínim comú múltiple}
@@ -129,11 +173,11 @@ El més usual és que necessitem el mínim comú múltiple per resoldre equacion

\section{Equacions de primer grau}\label{repas-equacions-de-primer-grau}

Per resoldre una equació de primer grau es segueixen les passes de
Per resoldre una \term{equació de primer grau}\index{equació!de primer grau} es segueixen les passes de
l'exemple següent:

\begin{example}
Resol l'equaci\'{o}%
Resol l'equació%
\begin{equation*}
5x-\frac{3x+1}{8}=x+\frac{5x-3}{4}-\frac{3}{2}
\end{equation*}
@@ -172,7 +216,7 @@ $$x=\dfrac{-17}{19}$$
\begin{remark}D'altra banda, es pot no calcular el mínim comú múltiple dels denominadors i només calcular-ne {\em un} múltiple. Per exemple es podria calcular el múltiple sorgit de la multiplicació dels denominadors, o sigui, $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$. I realitzar tots els càlculs amb 64 en comptes de 8. L'equació resultant tendria les mateixes solucions, encara que els nombres sorgits (dels passos tercer al vuitè) serien majors.
\end{remark}

\begin{exercise}Resoleu les equacions següents:
\begin{exercise}\label{matex-1}Resoleu les equacions següents:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x+1 = 5$
@@ -186,11 +230,43 @@ $$x=\dfrac{-17}{19}$$
\item $3x+10 = 22+x$
\item $4x+2=10+2x$
\item $5x-2 = 13 + 3x$
\item $2x+1 = 5$
\item $2x+10 = 2 (7-x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

TODO: de MathTex i de na Despuig
\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 5, \item 60, \item $\frac{4}{3}$, \item 3, \item 16, \item 14, \item 36, \item 2, \item 6, \item 4, \item $\frac{15}{2}$, \item 2, \item 0 \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{exercise}\label{matex-2}Resoleu les equacions següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $-(3x + 10) = 1 - (21 + x)$
\item $2(x+2) = 24 - 2x$
\item $2(x-2) = 3(1-x) - 7$
\item $1-(3x+10) = 1 - (14-x)$
\item $3-2(x-2) = -5 - 3(1-x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 5, \item 0, \item 1, \item 3 \end{enumerate*} \end{solution*}

\begin{exercise}\label{matex-3}Resoleu les equacions següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $(x+2) - (x+3) = 2 - 3(1-x)$
\item $2x+1 + (2x-3) = 2 + 3(1-x)$
\item $x+1 + (3-x) = -3 (1-2x) -5$
\item $2(x+2) - (x+3) = 1 -3x$
\item $-(2x+1) + (2x-3) = -2 -3 (1-x)$
\item $3x - (x-2) = -3(1+x) + 20$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 0, \item 1, \item 2, \item 0, \item 1, \item 2 \end{enumerate*} \end{solution*}

\section{Extracció de factor comú}

@@ -208,14 +284,16 @@ El factor comú d'una expressió pot ser un nombre, una lletra, o bé ambdues co

\section{Equacions de segon grau}

Les \term{equacions de segon grau}\index{equacions!de segon grau} són aquelles que involucren una $x^2$. Formalment es formen igualant un polinomi de segon grau a zero (vegeu \autoref{annex:polinomis}).

Les equacions de segon grau són de la forma%
\begin{equation*}
ax^{2}+bx+c=0,\text{ amb }a\neq 0
\end{equation*}%
\begin{equation}\label{eq:formula-eq-segon-grau}
ax^{2}+bx+c=0, \text{ amb }a\neq 0
\end{equation}%
La solució d'aquestes equacions es calcula amb la fórmula següent:%
\begin{equation*}
\begin{equation}\label{eq:formula-de-segon-grau}
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\end{equation*}
\end{equation}

\begin{example}La solució de l'equació $x^{2}-5x+6=0$ és%
\begin{eqnarray*}
@@ -232,7 +310,7 @@ x &=&\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right) ^{2}-4\cdot 1\cdot 6}%
\end{eqnarray*}
\end{example}

Les equacions incompletes de segon grau, és a dir, aquelles en les quals $b=0$ o $c=0$ (o tots dos valen zero) es poden resoldre d'una altra manera, encara que també es poden resoldre amb la fórmula de segon grau. Aquí en donem dos exemples:
Les \term{equacions incompletes}\index{equacions!incompletes de segon grau} de segon grau, és a dir, aquelles en les quals $b=0$ o $c=0$ (o tots dos valen zero) es poden resoldre d'una altra manera, encara que també es poden resoldre amb la fórmula de segon grau. Aquí en donem dos exemples (les equacions de segon grau que tenen tots els termes diferents de zero, s'anomenen \term{equacions completes}\index{equacions!completes de segon grau}).

\begin{example}
\begin{equation*}
@@ -253,4 +331,138 @@ x=0 \\
\end{equation*}
\end{example}

En general, les equacions de segon grau poden no ser de la forma \eqref{eq:formula-eq-segon-grau}, encara que sempre es poden reduir a aquesta forma.

\begin{example}Resoleu l'equació $-3x^2 -2x + 15 = -15 +2x +2x^2 +x$.

Aquesta equació és equivalent a $-3x^2 -2x + 15 +15 -2x -2x^2 -x = 0$. Sumant els termes semblants, tenim que això és equivalent a $-5x^2 -5x +30 = 0$. Aplicant la fórmula de segon grau \eqref{eq:formula-de-segon-grau}, obtenim que les solucions són $2$ i $-3$.
\end{example}


\begin{exercise}\label{meus-eq-2n-grau-2}Resoleu les equacions de 2n grau següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $4x^2 + 2x - 4 = -2x +4$
\item $9x^2 - 63 x + 90 = 0$
\item $-x^2 - 3x + 10 = x^2+3x-10$
\item $-2x^2 + 4x -3 = -2x + x^2$
\item $2x^2 + 4x +1 = -1$
\item $2x + 1 = -2 -x^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-2$ i $1$, \item $2$ i $5$, \item $-5$ i $2$, \item $1$, \item $-1$, \item no té solució \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{exercise}\label{meus-eq-2n-grau-1}Resoleu les equacions de 2n grau següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $3x^2 + 2x = 5x -2$
\item $10x - 8x = x^2 -5$
\item $9x - 8 = 7 -x^2$
\item $8x^2 - 2 = 10x^2 -5x$
\item $(x-2)^2 -5 = 10$
\item $3(x+4)^2 = 10$
\item $(x-2)^2 - 8 = 20x$
\item $5(x-1)^2 = 2$
\item $(x-1)^2 = -4$
\item $(x-5)^2 = 5x^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item no té solucions, \item no té solucions, \item $-\frac{9}{2} \pm\frac{\sqrt{141}}{2}$, \item $2$ i $\frac{1}{2}$, \item $2\pm\sqrt{15}$, \item $-4 \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$, \item $6 \pm 2\sqrt{37}$, \item $1 \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$, \item no té solució, \item $-\frac{5}{4} \pm 5 \frac{\sqrt{5}}{4}$ \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{remark}Recordeu que $(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
\end{remark}


\section{Arrels de polinomis}\label{annex:polinomis}

\begin{definition}Un \term{monomi}\index{monomi} és una expressió algebraica formada pel producte d'un nombre real i una o diverses lletres. Al nombre se l'anomena \term{coeficient}\index{coeficient!d'un monomi} del monomi; a la part que conté les lletres de l'anomena \term{part literal}\index{part literal d'un monomi}. Les diverses lletres s'anomenen \term{variables}\index{variables}.
\end{definition}

\begin{example}Les expressions següents són monomis:
\begin{itemize}
\item $5x^3$
\item $2x^2y^5$
\item $-4xy$
\item $\frac{-6}{5}x^4$
\item $6x$
\item $8$
\end{itemize}
En canvi aquestes expressions no són monomis:
\begin{itemize}
\item $\frac{5}{x}$
\item $5x^3\sqrt{y}$
\item $3x^{-2}$
\end{itemize}
\end{example}

\begin{definition}Un \term{polinomi}\index{polinomi} és una expressió algebraica formada per la suma de diversos monomis. Els monomis que formen part del polinomi s'anomenen \term{termes}\index{termes!d'un polinomi}.
\end{definition}


Aquí només veurem polinomis d'una variable, usualment $x$, com per exemple $4x^2 - 5x + 2$ o $5x^4 + 2x^2$.

\begin{definition}El \term{grau}\index{grau!d'un polinomi} d'un polinomi d'un variable és el major exponent de la variable de cadascun dels seus termes
\end{definition}

\begin{example}El grau del polinomi $4x^5 - 2^3 - 5x + 8$ és 5 i el grau de $x^{10} - 2x^2 - 5x$ és 10.
\end{example}

\begin{definition}El \term{terme independent} d'un polinomi\index{terme independent!d'un polinomi} és el monomi de grau 0 del polinomi. Pot no tenir-ne.
\end{definition}

\begin{example}El terme independent del polinomi $4x^3- 2x^2 + 5x - 7$ és $-7$; en canvi el polinomi $4x^3 - 2x^2 - 5x$ no en té.
\end{example}

Pendent: Arrel d'un polinomi

Pendent: Reals vs enteres

Pendent: Ruffini

\begin{exercise}Factoritzeu els polinomis següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$
\item $x^3 - x^2 + 9x -9$
\item $15x^3 + 25x^2 - 10x$
\item $3x^3-3x^2-6x$
\item $2 x^4 + 4 x^3 - 10 x^2 - 8 x + 12$
\item $-x^3 + x^2 + 4 x - 4$
\item $-5 x^4 + 20 x^2 - 20$
\item $3 x^4 - 6 x^3 - 27 x^2 + 54 x$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$, \item $(x - 1) (x^2 + 9)$, \item $5 x (3 x - 1) (x + 2)$, \item $3x(x-2)(x+1)$, \item $2(x-1)(x^2-2)(x+3)$, \item $-(x-1)(x+2)(x-2)$, \item $-5(x^2-2)(x^2-2)$, \item $3 (x - 2) x (x - 3) (x + 3)$ \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{exercise}Trobeu les arrels dels polinomis següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x^4 + 3x^3 - 40x^2$
\item $2x^3 - x^2 -118 x -315$
\item $x^5 - 2 x^4 - 3 x^2 + 6 x$
\item $x^4 + x^3 - 8 x^2 - 2 x + 12$
\item $3 x^4 - 12 x^3 - 33 x^2 + 90 x$
\item $x^4 + 28 x^3 - 60 x^2$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-8$, $0$ i $5$, \item $-5$, $\frac{-7}{2}$ i $9$, \item $0$, $2$ i $\pm \sqrt{3}$, \item $\pm \sqrt{2}$, $2$ i $-3$, \item $2$, $-3$, $0$ i $5$, \item $0$ (doble), $2$ i $-30$ \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{exercise}Resoleu les equacions següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x^4 + 3x^3 - 40x^2 = 0$
\item $2x^3 - x^2 -118 x = 315$
\item $x^3 - \frac{5x^2}{2} + x = 0$
\item $x^4 - x^3 - (11 x^2)/4 + 2 x = - 3/2 $
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-8$, $0$ i $5$, \item $5$, $\frac{-7}{2}$ i $9$, \item $\frac{1}{2}$, $2$ i $0$, \item $-\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$ \end{enumerate*} \end{solution*}


BIN
apunts.pdf View File


Loading…
Cancel
Save