Browse Source

Solució i resolució de determinants (i llev totes les mencions a la regla de Chió) - relacionats amb #9 i #12

tags/v2.3.1
Xavier B. 6 months ago
parent
commit
a109b7a036
4 changed files with 22 additions and 139 deletions
  1. +14
    -3
      04-algebra-lineal.tex
  2. +3
    -0
      08-apendix.tex
  3. +5
    -136
      10-solucions.tex
  4. BIN
      apunts.pdf

+ 14
- 3
04-algebra-lineal.tex View File

@@ -877,8 +877,6 @@ Noteu que els determinants diagonals són casos particulars de determinants tria
\begin{example} Els valors dels determinants de l'\autoref{exemple:det:diagonal} i l'\autoref{exemple:det:triangulars} són, respectivament, iguals a $0$, $-28$ i $40$.
\end{example}

Aquest resultat, juntament amb la regla de Chió, facilita moltíssim el càlcul dels determinants.

\section{Exercicis proposats}

\begin{exercise}\label{exercici:det-1}
@@ -1220,7 +1218,7 @@ a-1 & 2 & 0%
\begin{array}{rrr}
x & 1 & 0 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x %
1 & 0 & x %
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}
@@ -1239,6 +1237,19 @@ a & a & a+1 %
\end{equation*}
\end{exercise}

\medskip
\begin{exercise}\label{exercici:det-11} Trobeu, en funció de $a$, el valor del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{ccc}
a+1 & a+2 & a \\
a & a+1 & 1 \\
a+2 & a & a+1 %
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
i digueu quan el determinant val 0.
\end{exercise}




+ 3
- 0
08-apendix.tex View File

@@ -282,6 +282,9 @@ El factor comú d'una expressió pot ser un nombre, una lletra, o bé ambdues co
\end{eqnarray*}
\end{example}




\section{Equacions de segon grau}\label{annex:equacions-segon-grau}

Les \term{equacions de segon grau}\index{equacions!de segon grau} són aquelles que involucren una $x^2$. Formalment es formen igualant un polinomi de segon grau a zero (vegeu \autoref{annex:polinomis}).

+ 5
- 136
10-solucions.tex View File

@@ -186,144 +186,13 @@ a & 2 & 0
\right\vert = (a+3)$. Per tant, $a = 1$ o $a=-3$.
\end{enumerate*}

\item[\ref{exercici:det-6}] En comptes de calcular aquest determinant desenvolupant per una línia, ho feim aplicant diverses propietats:
\begin{align*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-x & 1 & 0 & 1 \\
1 & -x & 1 & 0 \\
0 & 1 & -x & 1 \\
1 & 0 & 1 & -x%
\end{array}%
\right\vert & = \left\vert
\begin{array}{rrrr}
-x & 1 & 0 & 1 \\
1 & -x & 1 & 0 \\
0 & 1 & -x & 1 \\
0 & x & 0 & -x%
\end{array}%
\right\vert && (F_4-F_3 \rightarrow F_4)\\
& = \left\vert
\begin{array}{cccc}
0 & -x^2+1 & x & 1 \\
1 & -x & 1 & 0 \\
0 & 1 & -x & 1 \\
0 & x & 0 & -x%
\end{array}%
\right\vert && (F_2 \cdot x + F_1 \rightarrow F_1)\\
& = - \left\vert
\begin{array}{ccc}
-x^2+1 & x & 1 \\
1 & -x & 1 \\
x & 0 & -x
\end{array}%
\right\vert && (\text{desen. per } C_1)\\
& = -x \cdot \left\vert
\begin{array}{ccc}
-x^2+1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
x & 0 & -x
\end{array}%
\right\vert && (\text{factor comú } C_2)\\
& = -x \left\vert
\begin{array}{ccc}
x^2 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
-2x & 0 & -x
\end{array}%
\right\vert && (C_3 - C_1 \rightarrow C_1)\\
& = -x^2 \left\vert
\begin{array}{ccc}
x & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
-2 & 0 & -x
\end{array}%
\right\vert && (\text{factor comú } C_1)\\
& = -x^2 \left\vert
\begin{array}{ccc}
x & 1 & 2 \\
0 & -1 & 0 \\
-2 & 0 & -x
\end{array}%
\right\vert && (C_2 + C_3 \rightarrow C_3)\\
& = -x^2 \left\vert
\begin{array}{ccc}
x & 0 & 2 \\
0 & -1 & 0 \\
-2 & 0 & -x
\end{array}%
\right\vert && (F_2 + F_1 \rightarrow F_1)\\
& = -x^2 \left\vert
\begin{array}{ccc}
x & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & x
\end{array}%
\right\vert && (\text{factor comú } F_2, F_3)\\
& = -x^2 (x^2-4) && (\text{regla de Sarrus})
\end{align*}%
\item[\ref{exercici:det-6}] Aplicant la regla de Sarrus, obtenim que el determinant val $x-x^3 = x (1-x^2)$. Per tant, el determinant val zero si, i només si, $x=0$ o bé $x= \pm 1$.

Per tant, el determinant val zero si, i només si, $x=0$ o bé $x= \pm 2$.
\item[\ref{exercici:det-8}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $x^3+1$. Per tant, $x^3 +1 = 0$ si, i només si $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

\item[\ref{exercici:det-8}] Aplicarem la regla de Chió:
\begin{align*}
\left\vert
\begin{array}{cccc}
x & 1 & 0 & 0 \\
0 & x & 1 & 0 \\
0 & 0 & x & 1 \\
1 & 0 & 0 & x%
\end{array}%
\right\vert & = \left\vert
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & -x^2 \\
0 & x & 1 & 0 \\
0 & 0 & x & 1 \\
1 & 0 & 0 & x%
\end{array}%
\right\vert && (F1-F_4 \cdot x \rightarrow F_1)\\
& = -\left\vert
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -x^2 \\
x & 1 & 0 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x%
\end{array}%
\right\vert && (\text{desenvolupant per } C_1)\\
& = - (1-x^4) && (\text{regla de Sarrus})
\end{align*}
\item[\ref{exercici:det-10}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $3a+1$.

Per tant, el determinant és zero quan $x=\pm 1$.

\item[\ref{exercici:det-10}] $\left\vert
\begin{array}{cccc}
a+1 & a & a & a \\
a & a+1 & a & a\\
a & a & a+1 & a\\
a & a & a & a+1%
\end{array}%
\right\vert = \left\vert
\begin{array}{cccc}
4a+1 & a & a & a \\
4a+1 & a+1 & a & a\\
4a+1 & a & a+1 & a\\
4a+1 & a & a & a+1%
\end{array}%
\right\vert = (4a+1)\left\vert
\begin{array}{cccc}
1 & a & a & a \\
1 & a+1 & a & a\\
1 & a & a+1 & a\\
1 & a & a & a+1%
\end{array}%
\right\vert = (4a+1)\left\vert
\begin{array}{cccc}
1 & a & a & a \\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right\vert = (4a+1) \cdot 1 = 4a+1$
\item[\ref{exercici:det-11}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $-3a^2 + 2a + 5$. Resolent l'equació corresponent, $-3a^2 + 2a + 5 = 1$, tenim que el determinant val 0 si, i només si, $a=-1$ o $a=5/3$ (aplicant la fórmula de segon grau - vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau})

\end{itemize}

@@ -355,4 +224,4 @@ a & a & a & a+1%

\item[\ref{exer:espuig-sistemes-4}] Hi ha 3 pomes, 4 peres i 5 plàtans.

\end{itemize}
\end{itemize}

BIN
apunts.pdf View File


Loading…
Cancel
Save