Browse Source

llev propietats innecessàries, llev tipus de determinants, llev exercicis que eren d'aplicació de propietats que ara no hi són, pos combinació lineal a l'apartat de matrius, ... en general, llev coses per adaptar-me a 2h setmanals #14

tags/v2.4.0^0
Xavier B. 1 month ago
parent
commit
7e1c7644ad
4 changed files with 65 additions and 490 deletions
  1. 1
    1
      02-drets-d-autor.tex
  2. 63
    488
      04-algebra-lineal.tex
  3. 1
    1
      08-apendix.tex
  4. BIN
      apunts.pdf

+ 1
- 1
02-drets-d-autor.tex View File

@@ -50,7 +50,7 @@ L'ús d'aquests materials es realitza acollint-se als termes de les corresponent
Mathematics Subject Classification (2010):
97-01, 97A10

La versió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/releases}{2.3.2}. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX}, \href{http://www.geogebra.org/}{Geogebra} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://artixlinux.org/}{GNU/Linux}. La revisió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
La versió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/releases}{2.4.0-pre}. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX}, \href{http://www.geogebra.org/}{Geogebra} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://artixlinux.org/}{GNU/Linux}. La revisió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
require "lualibs-os"
tex.sprint(os.resultof("git log --pretty=oneline | wc -l")+1)
}a}. El conjunt de les versions s'administra amb el \href{http://git-scm.com/}{git}. La referència d'aquesta versió és la:

+ 63
- 488
04-algebra-lineal.tex View File

@@ -263,6 +263,16 @@ De la mateixa manera que per als determinants d'ordre 2, els termes del determin
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
x & 5+x\\
7 & -8x
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}


\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
@@ -285,12 +295,14 @@ x+1 & 1 & 1 \\
\end{multicols}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]
\item $5$, \item $-7$, \item $15$, \item $30$, \item $-40$, \item $68$, \item $-26x^2 -x + 21$, \item $x^3+3x^2$.
\item $5$, \item $-7$, \item $15$, \item $30$, \item $-40$, \item $68$, \item $-8x^2 -7x -35$, \item $-26x^2 -x + 21$, \item $x^3+3x^2$.
\end{enumerate*}
\end{solution*}
\end{exercise}

\section{Adjunt d'un element d'un determinant}\label{seccio:adjunt-determinant}
\section{Càlcul de determinants d'ordre superior a 3}

\subsection{Adjunt d'un element d'un determinant}\label{seccio:adjunt-determinant}

\begin{definition}[menor complementari]\index{menor!complementari} Donat un determinant, el \term{menor complementari} d'un element qualsevol és el determinant que resulta de suprimir la filera i la columna a les quals pertany aquest element.
\end{definition}
@@ -361,7 +373,7 @@ Calculeu l'adjunt de l'element central i de l'element $a_{13}$ del determinant%
\end{equation*}
\end{exercise}

\section{Càlcul de determinants d'ordre superior a 3}
\subsection{Càcul dels determinants d'ordre 4 o superior}

Per al càlcul de determinants d'ordre 4 o majors s'utilitza el \term{desenvolupament}\index{desenvopulament d'un determinant} per una filera o una columna, que consisteix en calcular un determinant d'ordre $n$ a partir de $n$ determinants d'ordre $n-1$. Les passes a seguir són les següents:

@@ -492,25 +504,6 @@ Per exemple:
\right\vert =0
\end{equation*}

\item\label{item:propietat-2} Si es permuten dues línees paral·leles d'un determinant, aquest canvia de signe.

Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-16\quad\text{ \ i \ }\quad\left\vert
\begin{array}{rrr}
5 & 1 & -3 \\
2 & 3 & 0 \\
4 & -1 & -2%
\end{array}%
\right\vert =16
\end{equation*}

\item\label{item:propietat-3} Un determinant que t\'{e} dues línees paral·leles iguals val $0$.

Per exemple:%
@@ -653,232 +646,13 @@ x^3 & 2x^3 & 4x^3%
\end{equation*}
\end{exercise}

\item Si els elements de dues línees paral·leles d'un determinant s\'{o}n proporcionals, el determinant val $0$.

Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & 5 \\
3 & 2 & 15 \\
-1 & 4 & -5%
\end{array}%
\right\vert =0,
\end{equation*}%
ja que la tercera columna \'{e}s igual a la primera multiplicada per $5$.

\item\label{item:propietat-sis} Si tots els elements d'una línia d'un determinant estan
formats per la suma de dos sumands, aquest determinant es pot descomposar en la suma de dos determinants. En concret, si la línia $i$ està formada per la suma de dos sumants, el determinant original es divideix en dos determinants:
\begin{enumerate}
\item un que té el primers sumands en la línia $i$ i a la resta de línies és idèntic al determinant original
\item l'altre que té els segons sumands en la línia $i$ i a la resta de línies és idèntic al determinant original
\end{enumerate}

Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
2-1 & 5 & -3 \\
1+2 & 2 & 0 \\
-1+0 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 5 & -3 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert +\left\vert
\begin{array}{rrr}
-1 & 5 & -3 \\
2 & 2 & 0 \\
0 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

Per exemple:
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
x+a & 2 & 1 \\
x+a & 0 & 1 \\
x+b & 1 & 1%
\end{array}%
\right\vert & =\left\vert
\begin{array}{rrr}
x & 2 & 1 \\
x & 0 & 1 \\
x & 1 & 1%
\end{array}%
\right\vert + \left\vert
\begin{array}{rrr}
a & 2 & 1 \\
a & 0 & 1 \\
b & 1 & 1%
\end{array}%
\right\vert \\
& = x \left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right\vert + \left\vert
\begin{array}{rrr}
a & 2 & 1 \\
a & 0 & 1 \\
b & 1 & 1%
\end{array}%
\right\vert \\
& = 0 + \left(2b-2a\right) \\
& = 2b-2a
\end{split}
\end{equation*}


\item\label{item:propietat-set} Si els elements d'una línia s\'{o}n combinaci\'{o} lineal
de les altres línees paral·leles, aleshores el determinant és igual a $0$.

\begin{definition}[combinació lineal]\label{definicio:combinacio-lineal}\index{combinació lineal} Una línia $L$ és \term{combinació lineal} de $n$ línies $L_1$, $L_2$, \ldots, $L_n$ si, i només si, podem obtenir la línia $L$ com a suma de les línies $L_1$, \ldots, $L_n$ prèviament multiplicades per nombres reals, és a dir,
\begin{equation*}
L = a_1 \cdot L_1 + a_2 \cdot L_2 + \ldots + a_n \cdot L_n.
\end{equation*}
\end{definition}

Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-6 & 0 & -3 & 4 \\
5 & 5 & 0 & 0 \\
8 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert =0,
\end{equation*}%
ja que la primera columna resulta de sumar la segona columna multiplicada per 1 i la tercera per 2 (i la quarta multiplicada per $0$) i
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
8 & 6 & 2 & 4 \\
8 & 6 & 2 & 0 \\
8 & 4 & 4 & 1 \\
8 & 1 & 7 & 3%
\end{array}%
\right\vert =0,
\end{equation*}%,
ja que la primera columna és la suma de les dues primeres columnes.

\item Recíprocament, si un determinant val $0$, aleshores té una línia que és combinaci\'{o} lineal de les altres línies

\item\label{regla-combinacio-lienal} Si a una línia d'un determinant se li suma una combinació lineal d'altres línies paral·leles, aleshores el valor del
determinant no varia.

Per exemple, els determinants
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 4\\
-3 & -3 & 2\\
2 & 5 & 3
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 4 \\
-3 & 3 & 2\\
2 & 1 & 3
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
tenen el mateix valor, ja que el segon determinant resulta de sumar, en el primer determinant, a la segona columna la primera multiplicada per $-2$.

\end{enumerate}


\section{Tipus de determinants}

Existeixen tipus particulars de determinants que fan que el seu càlcul sigui més senzill:

\begin{definition}[diagonal principal] S'anomena \term{diagonal principal}\index{diagonal principal} d'un determinant al conjunt d'elements que van del v\`{e}rtex superior esquerre a l'inferior de la dreta.
\end{definition}


\begin{definition}[determinant triangular superior]Un determinant és diu que és \term{triangular superior}\index{determinant!triangular superior} si, i només si, els elements per davall de la diagonal principal són zero. D'aquesta manera, els elements del triangle superior de la diagonal són, en principi, diferents de zero.
\end{definition}

\begin{definition}[determinant triangular inferior]Un determinant és diu que és \term{triangular inferior}\index{determinant!triangular inferior} si, i només si, els elements per damunt de la diagonal principal són zero, és a dir, els elements del triangle inferior de la diagonal són, en principi, diferents de zero.
\end{definition}

Si no volem especificar el tipus de determinant, parlarem de determinants \term{triangulars}\index{determinant!triangular}. També hem de notar que potser alguns dels elements que es trobin dins el triangle que forma el determinant triangular siguin també iguals a zero.

\begin{example}\label{exemple:det:triangulars} Per exemple, els determinants

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 3 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & 0 & 0 & 0 \\
8 & -7 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & 0 \\
4 & 2 & 5 & 1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{multicols}

són determinants triangulars superior i inferior, respectivament.
\end{example}

\begin{definition}[determinant diagonal] Un determinant es diu que és \term{diagonal}\index{determinant!diagonal} quan té els elements fora de la diagonal principal iguals a zero.

Alguns o tots els elements de la diagonal poden ser també zero.
\end{definition}

\begin{example}\label{exemple:det:diagonal} El determinant següent
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -20 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
és un determinant diagonal
\end{example}

Noteu que els determinants diagonals són casos particulars de determinants triangulars

\begin{proposition} Si $\Delta$ és un determinant triangular, aleshores el seu valor és el producte dels elements de la diagonal: $\Delta = a_{11} \cdot a_{12} \cdot \ldots \cdot a_{nn}$.
\end{proposition}

\begin{example} Els valors dels determinants de l'\autoref{exemple:det:diagonal} i l'\autoref{exemple:det:triangulars} són, respectivament, iguals a $0$, $-28$ i $40$.
\end{example}

\section{Exercicis proposats}

\subsection{Càlcul de determinants}

\begin{exercise}\label{exercici:det-1}
Calculeu el valor dels determinants següents:

@@ -926,249 +700,9 @@ Calculeu el valor dels determinants següents:
\end{enumerate*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:det-7} Calculeu el valor dels determinants següents:%

\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-2 & 0 & 1 & 3 \\
1 & -3 & -2 & 5 \\
3 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & -3 & 4%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 0 & -2 \\
-1 & 5 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & 2 & 4 \\
0 & 4 & -3 & -3%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cccc}
1 & -7 & -4 & -1 \\
1 & 0 & 2 & -8 \\
0 & 4 & 5 & 8 \\
0 & 0 & -3 & 4%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 30 & 2 \\
0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 5 & 0 \\
4 & 0 & -7 & 4%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 & 2 \\
1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 5 & 0 \\
2 & -20 & -7 & 4%
\end{array}%
\right\vert$

\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}


\begin{exercise}\label{exercici:det-2} Calculeu el valor dels determinants següents:%

\begin{multicols}{3}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
n & p \\
l & m%
\end{array}
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
6n & 6p \\
6l & 6m%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
l & 4m \\
n & 4p%
\end{array}%
\right\vert$
\end{enumerate}
\end{multicols}
si sabem que:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
l & m \\
n & p%
\end{array}%
\right\vert =-13
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:det-3} De les expressions següents, indiqueu quines són correctes i, en el seu cas, enuncieu les propietats que s'hi utilitzen:

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
a & a \\
b & b%
\end{array}%
\right\vert =0$

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
3 & 6 \\
9 & 9%
\end{array}%
\right\vert =9\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 3%
\end{array}%
\right\vert $

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
3 & 6 \\
9 & 9%
\end{array}%
\right\vert =3\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 3%
\end{array}%
\right\vert $
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:det-4}
Si $\left\vert
\begin{array}{cc}
m & n \\
p & q%
\end{array}
\right\vert =-5$ i $\left\vert
\begin{array}{cc}
m & p \\
n & q%
\end{array}
\right\vert =-5$, quin és el valor de cadascun dels determinants següents?\footnote{Es pot veure fàcilment que $\left\vert
\begin{array}{cc}
m & n \\
p & q%
\end{array}
\right\vert = \left\vert
\begin{array}{cc}
m & p \\
n & q%
\end{array}
\right\vert$ fent el càlcul directe i aplicant que el producte de nombres és una operació associativa. Més endavant es pot demostrar aquest aplicant directament la transposició de matrius (Secció \ref{subseccio:propietats-matrius-determinants}, \autoref{prop:determinant-matriu-transposta}).} Justifiqueu les respostes.
\subsection{Resolució d'equacions amb determinants}

\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
p & m \\
q & n%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
m+3n & p+3q \\
n & q%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
3n & -m \\
3q & -p%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
p & 2m \\
q & 2n%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
1 & n/m \\
mp & mq%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{cc}
m & 5m \\
p & 5p%
\end{array}%
\right\vert$

\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:det-9} Si sabem que
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
x & y & z%
\end{array}%
\right\vert =5,
\end{equation*}%
calculeu el valor dels determinants següents:%

\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]

\item $\left\vert
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a+7 & b+7 & c+7 \\
x/2 & y/2 & z/2%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{rrr}
a & b & c \\
x & y & z \\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert
\begin{array}{ccc}
1-x & 1-y & 1-z \\
a+2x & b+2y & c+2z \\
2x & 2y & 2z%
\end{array}%
\right\vert$.

\end{enumerate*}
\end{exercise}
Per afrontar aquesta secció és necessari conèixer la resolució d'equacions de primer, de segon grau i de grau major o igual que 3 (vegeu \autoref{repas-equacions-de-primer-grau}, \autoref{annex:equacions-segon-grau} i \autoref{annex:polinomis}; concretament \autoref{example:trobar-arrels-senceres}).

\begin{exercise}\label{exercici:det-5} Resoleu les equacions següents:

@@ -1382,8 +916,6 @@ Les matrius%
són matrius filera i columna respectivament.
\end{example}

A l'igual que pels determinants, tenim el concepte de diagonal principal per a les matrius.

\begin{definition}[diagonal principal] S'anomena \term{diagonal principal}\index{diagonal principal} d'una matriu quadrada al conjunt d'elements que van del vèrtex superior esquerre a l'inferior de la dreta.
\end{definition}

@@ -2355,10 +1887,53 @@ exemple, el menor%
i no hi ha cap menor d'ordre $4$.
\end{example}

Tot seguit, veurem com podem calcular el rang d'una matriu de forma efectiva. Per això, hem d'introduïr el concepte d'independència lineal. En primer lloc, recordem la definició de combinació lineal (veure \autoref{definicio:combinacio-lineal}): una línia $L$ és {\em combinació lineal} de $n$ línies $L_1$, $L_2$, \ldots, $L_n$ si, i només si, podem obtenir la línia $L$ com a suma de les línies $L_1$, \ldots, $L_n$ prèviament multiplicades per nombres reals, és a dir,
Tot seguit, veurem com podem calcular el rang d'una matriu de forma efectiva. Per això, hem d'introduïr el concepte d'independència lineal. En primer lloc, recordem la definició de combinació lineal:

\begin{definition}[combinació lineal]Una línia $L$ és {\em combinació lineal}\index{combinació lineal} de $n$ línies $L_1$, $L_2$, \ldots, $L_n$ si, i només si, podem obtenir la línia $L$ com a suma de les línies $L_1$, \ldots, $L_n$ prèviament multiplicades per nombres reals, és a dir,
\begin{equation*}
L = a_1 \cdot L_1 + a_2 \cdot L_2 + \ldots + a_n \cdot L_n.
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{example}\label{exemple-combinacio-lineal}En la matriu següent
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 5\\
2 & -3 & -5\\
0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
la tercera columna és combinació lineal de les dues primeres, ja que es pot aconseguir sumant la primera columna multiplicada per 2 i la segona columna multiplicada per 3, és a dir, $C_3 = 2 \cdot C_1 + 3 \cdot C_2$.
\end{example}

\begin{proposition}[relació de la combinació lineal i els determinants]Per un determinant qualsevol, són equivalents:
\begin{itemize}
\item Existeix una línia que és combinació lineal de les altres línies paral·leles
\item Totes les línies són combinació lineal de les altres línies paral·leles
\item El determinant val 0
\end{itemize}
\end{proposition}

\begin{example}Tal com hem dit en l'example anterior (\autoref{exemple-combinacio-lineal}), la tercera columna és combinació lineal de les dues anteriors. Per la proposició, això vol dir que:
\begin{itemize}
\item la primera columna també és combinació lineal de la segona i tercera columnes
\item la segona columna és combinació lineal de la primera i tercera columnes
\item el determinant
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 5\\
2 & -3 & -5\\
0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
val 0.
\item qualsevol filera és combinació lineal de les altres fileres
\end{itemize}
\end{example}

\begin{definition}[dependència lineal]\label{def:dependencia-lineal-linies} Una línia és \term{linealment dependent}\index{dependència lineal} de $n$ línies $L_1$, $L_2$, \ldots, $L_n$ si, i només si, $L$ es pot expressar com a combinació lineal de $L_1$, \ldots, $L_n$.


+ 1
- 1
08-apendix.tex View File

@@ -516,7 +516,7 @@ En general trobar les arrels d'un polinomi és un problema irresoluble, però ex
\end{enumerate}
\end{algorithm}

\begin{example}Trobeu les arrels del polinomi $p(x) = x^3 +x^2 -4x -4$.
\begin{example}\label{example:trobar-arrels-senceres}Trobeu les arrels del polinomi $p(x) = x^3 +x^2 -4x -4$.

\begin{enumerate}
\item Els divisors enters de $-4$ són $1$, $-1$, $2$, $-2$, $4$, $-4$.

BIN
apunts.pdf View File


Loading…
Cancel
Save