Browse Source

Llevat la part del manual del pas de l'equació implícita a l'equació paramètrica d'una recta usant parametrització del sistema d'equacions de l'equació implícita

tags/v2.4.7^0
Xavier B. 1 month ago
parent
commit
6dfed89a29
3 changed files with 61 additions and 46 deletions
  1. +1
    -1
      02-drets-d-autor.tex
  2. +60
    -45
      05-geometria.tex
  3. BIN
      apunts.pdf

+ 1
- 1
02-drets-d-autor.tex View File

@@ -50,7 +50,7 @@ L'ús d'aquests materials es realitza acollint-se als termes de les corresponent
Mathematics Subject Classification (2010):
97-01, 97A10

La versió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/releases}{2.4.5-pre}. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX}, \href{http://www.geogebra.org/}{Geogebra} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://www.linuxfoundation.org/}{GNU/Linux} (\href{https://artixlinux.org/}{Artix Linux}). La revisió d'aquest document és la número \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
La versió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/releases}{2.4.7}. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX}, \href{http://www.geogebra.org/}{Geogebra} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://www.linuxfoundation.org/}{GNU/Linux} (\href{https://artixlinux.org/}{Artix Linux}). La revisió d'aquest document és la número \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
require "lualibs-os"
tex.sprint(math.floor(os.resultof("git log --pretty=oneline | wc -l")+1))
}}. El conjunt de les versions s'administra amb el \href{http://git-scm.com/}{git}. La referència d'aquesta versió és la:

+ 60
- 45
05-geometria.tex View File

@@ -2068,50 +2068,6 @@ r \colon \left\{
\begin{claim}Noteu que en principi no podem obtenir l'equació implícita d'una recta directament amb el seu vector director i un punt d'aquesta. Hem de passar per l'equació contínua per obtenir l'equació implícita.
\end{claim}

\subsubsection{Pas de l'equació implícita a l'equació paramètrica}\label{subseccio:pas-de-implica-a-parametrica-js}
% Dels apunts de COU d'en Javier Sánchez

Resulta més o menys fàcil tornar enrera i obtenir l'equació paramètrica d'una recta a partir de la seva equació implícita. L'únic que s'ha de fer és \term{parametritzar}\index{parametritzar} una variable, és a dir, substituir una variable per un paràmetre (per exemple $\lambda$).

\begin{example}Trobeu les equacions paramètriques de la recta
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{aligned}
2x+y+2z+4 & = 0 \\
x-y+4z+12 & = 0%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%


Fent $z = \lambda$, tenim que
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{aligned}
2x+y & = -4 -2\lambda \\
x-y & = -12 -4 \lambda%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%
Per tant, per reducció, tenim que $3x = -16 -6\lambda$ i, per tant, $x = \frac{-16}{3} - 2\lambda$. Substituïnt aquest resultat a la segona equació de l'anterior sistema, tenim que
\begin{equation*}
\begin{split}
y & = - \frac{16}{3} -2\lambda + 4 \lambda +12\\
& = \frac{20}{3} + 2\lambda%
\end{split}%
\end{equation*}%

Amb tot, tenim que les equacions paramètriques de la recta són:
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{aligned}
x & = -\frac{16}{3} - 2\lambda\\
y & =\frac{20}{3} + 2\lambda \\
z & =\lambda%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%
\end{example}

\subsubsection{Vector director a partir de l'equació implícita}\label{subseccio:vector-director-equacio-implicita}

@@ -2186,6 +2142,66 @@ x-y-5=0 \\
\end{multicols}
\end{exercise}


\subsubsection{Pas de l'equació implícita a l'equació paramètrica}\label{subseccio:pas-de-implica-a-parametrica-js}

Per passar de l'equació implícita a l'equació paramètrica ho farem indirectament: calcularem el vector director de la recta i un punt\footnote{Es podria fer directament, parametritzant una variable en les equacions de l'equació implícita i resolent el sistema corresponent, però és massa farragós.}.

\begin{example}Trobeu les equacions paramètriques de la recta
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{aligned}
2x+y+2z+4 & = 0 \\
x-y+4z+12 & = 0%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%

\begin{itemize}
\item Per l'apartat anterior (\autoref{subseccio:vector-director-equacio-implicita}), tenim que el seu vector director és
\begin{equation*}
\begin{split}
\overrightarrow{v} &=\left\vert
\begin{array}{ccc}
2 & 1 &2 \\
1 & -1 & 4 \\
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}%
\end{array}%
\right\vert\\
& = -2\overrightarrow{k} + 4\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} +2\overrightarrow{i} -\overrightarrow{k} -8\overrightarrow{j}\\
& = 6\overrightarrow{i} -6\overrightarrow{j} -3 \overrightarrow{k} = \overrightarrow{\left( 6,-6,-3\right)}.
\end{split}
\end{equation*}


\item Per trobar un punt, substituïm una variable qualsevol, o $x$ o $y$ o $z$\footnote{Penseu que una recta té 2 equacions i 3 incògnites. Per tant, hi ha un grau de llibertat. D'aquesta manera només hem de substituir una sola variable.}. Triem $x$. Substituïm, $x=0$. Llavors hem de resoldre el sistema:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
y+2z+4 & = 0 \\
-y+4z+12 & = 0%
\end{aligned}%
\right.
\end{equation*}%

Si apliquem la tècnica de reducció de sistemes d'equacions lineals de dues equacions\footnote{Podríem resoldre aquest sistema usant la regla de Cràmer. També podríem usar la tècnica de substitució i igualació.}, restant les equacions obtenim: $6z + 16 = 0$, el que implica que $z = \frac{-8}{3}$. Substituïnt el valor de $z$ a la primera equació i realitzant els càlculs, obtenim $y = \frac{4}{3}$. Per tant, un punt de la recta és $(0, \frac{4}{3}, \frac{-8}{3})$.

\item Amb tota la informació anterior, l'equació paramètrica de la recta és:
\begin{equation*}
r \colon \left\{
\begin{array}{l}
x= 6\lambda \\
y=\frac{4}{3} -6 \lambda \\
z=\frac{-8}{3} -3 \lambda%
\end{array}%
\right. .
\end{equation*}%


\end{itemize}

\end{example}

\subsubsection{Exercicis d'equacions de rectes}

Tenim diverses equacions per a expressar una recta (\autoref{fig:relacions-equacions-recta-3d}). Practiquem el pas d'unes a les altres.
@@ -2250,7 +2266,6 @@ Tenim diverses equacions per a expressar una recta (\autoref{fig:relacions-equac
% Punt mitjà i sumes de coordenades usant tikz calc library
\path[dashed] (q) -| ($(v.east) !.5! (p.west)$);
\path[double,<->] ($ (v.north) + (0,1) $) -- ($ (vectorial.south)+(0,-0.5) $);
\path[->] (implicita) -- node [midway] {parametritzar} (parametrica);
\end{tikzpicture}

\caption{Relacions entre les equacions d'una recta}

BIN
apunts.pdf View File


Loading…
Cancel
Save