Sfoglia il codice sorgente

Posades les solucions de Matrius (parcial); relacionat amb #9

tags/v2.3.1^0
Xavier B. 2 mesi fa
parent
commit
6ddcbd2383
3 ha cambiato i file con 71 aggiunte e 49 eliminazioni
  1. 46
    49
      04-algebra-lineal.tex
  2. 25
    0
      10-solucions.tex
  3. BIN
      apunts.pdf

+ 46
- 49
04-algebra-lineal.tex Vedi File

@@ -1257,11 +1257,11 @@ i digueu quan el determinant val 0.

\section{Definicions}

\begin{definition}[matriu] Una \term{matriu}\index{matriu} és una col·lecci\'{o} de nombres disposats en fileres i columnes. Es diu \term{quadrada}\index{matriu!quadrada} si aquesta disposici\'{o} t\'{e} tantes fileres com columnes; en cas contrari es diu \term{rectangular}\index{matriu!rectangular}.
\begin{definition}[matriu] Una \term{matriu}\index{matriu} és una col·lecció de nombres disposats en fileres i columnes. Es diu \term{quadrada}\index{matriu!quadrada} si aquesta disposició té tantes fileres com columnes; en cas contrari es diu \term{rectangular}\index{matriu!rectangular}.
\end{definition}

\begin{example}
S\'{o}n exemples de matrius les seg\"{u}ents:%
Són exemples de matrius les següents:%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rrr}
@@ -1275,7 +1275,7 @@ S\'{o}n exemples de matrius les seg\"{u}ents:%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
La primera \'{e}s una matriu rectangular i la segona \'{e}s una matriu
La primera és una matriu rectangular i la segona és una matriu
quadrada.
\end{example}

@@ -1284,11 +1284,10 @@ quadrada.
De vegades també s'anomena \term{dimensió} de la matriu\index{dimensió}.
\end{definition}

En el cas de les matrius quadrades es sol indicar el seu ordre \'{u}nicament amb el nombre de fileres (o columnes).
En el cas de les matrius quadrades es sol indicar el seu ordre únicament amb el nombre de fileres (o columnes).

\begin{example}
A l'exemple anterior la primera \'{e}s d'ordre $2\times 3$, i la segona \'{e}%
s d'ordre $2\times 2$, o b\'{e}, simplement, d'ordre $2$.
A l'exemple anterior la primera és d'ordre $2\times 3$, i la segona és d'ordre $2\times 2$, o bé, simplement, d'ordre $2$.
\end{example}

En general, una matriu $A$ d'ordre $n \times m$ tendrà l'aspecte
@@ -1360,10 +1359,10 @@ són nul·les (d'ordre $3 \times 4$ i $3 \times 3$ respectivament).
\end{example}


\begin{definition}[matriu filera] Una matriu es diu \term{matriu filera}\index{matriu!filera} si nom\'{e}s t\'{e} una filera, és a dir, quan és d'ordre $1 \times m$.
\begin{definition}[matriu filera] Una matriu es diu \term{matriu filera}\index{matriu!filera} si només té una filera, és a dir, quan és d'ordre $1 \times m$.
\end{definition}

\begin{definition}[matriu columna] Una matriu s'anomena \term{matriu columna}\index{matriu!columna} si nom\'{e}s t\'{e} una columna, o sigui quan té ordre $n \times 1$.
\begin{definition}[matriu columna] Una matriu s'anomena \term{matriu columna}\index{matriu!columna} si només té una columna, o sigui quan té ordre $n \times 1$.
\end{definition}

\begin{example}
@@ -1380,12 +1379,12 @@ Les matrius%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
s\'{o}n matrius filera i columna respectivament.
són matrius filera i columna respectivament.
\end{example}

A l'igual que pels determinants, tenim el concepte de diagonal principal per a les matrius.

\begin{definition}[diagonal principal] S'anomena \term{diagonal principal}\index{diagonal principal} d'una matriu quadrada al conjunt d'elements que van del v\`{e}rtex superior esquerre a l'inferior de la dreta.
\begin{definition}[diagonal principal] S'anomena \term{diagonal principal}\index{diagonal principal} d'una matriu quadrada al conjunt d'elements que van del vèrtex superior esquerre a l'inferior de la dreta.
\end{definition}

\begin{example}
@@ -1399,11 +1398,11 @@ A la matriu%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
els nombres $3,-1$ i $7$ s\'{o}n els que formen la diagonal principal.
els nombres $3,-1$ i $7$ són els que formen la diagonal principal.
\end{example}

\begin{definition}[matriu unitat] Es diu \term{matriu unitat} (o \term{matriu identitat})\index{matriu!unitat}\index{matriu!identitat} a aquella matriu quadrada en la qual tots els
elements de la diagonal principal s\'{o}n uns i la resta d'elements són zeros. Es simbolitza per $I$ o $Id$. Si es vol indicar el seu ordre, aleshores s'indica mitjançant un subíndex:%
elements de la diagonal principal són uns i la resta d'elements són zeros. Es simbolitza per $I$ o $Id$. Si es vol indicar el seu ordre, aleshores s'indica mitjançant un subíndex:%
\begin{equation*}
I_{2}=\left(
\begin{array}{cc}
@@ -1439,7 +1438,7 @@ són les matrius unitat d'ordre $2$, d'ordre $3$, etc.

\subsection*{Igualtat entre matrius}

\begin{definition}[igualtat de matrius] Direm que dues matrius s\'{o}n \term{iguals}\index{igualtat de matrius} si s\'{o}n del mateix ordre i els seus elements respectius s\'{o}n iguals.
\begin{definition}[igualtat de matrius] Direm que dues matrius són \term{iguals}\index{igualtat de matrius} si són del mateix ordre i els seus elements respectius són iguals.
\end{definition}

\begin{example}
@@ -1457,10 +1456,10 @@ Per exemple, les matrius
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
s\'{o}n iguals.
són iguals.
\end{example}

\begin{exercise} Calculeu el valor de $x$ perqu\`{e} les matrius $A$ i $B$ siguin iguals, amb%
\begin{exercise} Calculeu el valor de $x$ perquè les matrius $A$ i $B$ siguin iguals, amb%
\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{cc}
@@ -1478,9 +1477,9 @@ A=\left(

\section{Operacions amb matrius}

A continuaci\'{o} es defineixen les operacions que es poden realitzar amb matrius.
A continuació es defineixen les operacions que es poden realitzar amb matrius.

\subsection{Suma i difer\`{e}ncia de matrius}
\subsection{Suma i diferència de matrius}

\begin{definition}[suma i resta de matrius] La \term{suma}\index{suma!de matrius} de dues matrius del mateix ordre es fa sumant els elements respectius. La \term{diferència} (o resta)\index{resta!de matrius} es calcula restant els elements corresponents.

@@ -1489,7 +1488,7 @@ A continuaci\'{o} es defineixen les operacions que es poden realitzar amb matriu
\end{definition}

\begin{example}
Vegem una difer\`{e}ncia de matrius:%
Vegem una diferència de matrius:%
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rr}
@@ -1513,7 +1512,7 @@ Vegem una difer\`{e}ncia de matrius:%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
La suma es fa de manera an\`{a}loga.
La suma es fa de manera anàloga.
\end{example}

\begin{exercise}
@@ -1533,7 +1532,7 @@ A=\left(
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Multiplicaci\'{o} d'un nombre per una matriu}
\subsection{Multiplicació d'un nombre per una matriu}

\begin{definition}[multiplicació de nombres i matrius] Per \term{multiplicar un nombre per una matriu}\index{multiplicació!d'escalar per matriu} es multiplica aquest nombre per cadascun dels elements de la matriu.

@@ -1582,16 +1581,15 @@ Calculeu%

\subsection{Producte de dues matrius}

No sempre \'{e}s possible multiplicar dues matrius. Per aquest motiu, abans de definir la multiplicaci\'{o} de dues matrius hem de veure quina condició han de complir les matrius que volem multiplicar per a que aquesta operaci\'{o} es pugui fer.
No sempre és possible multiplicar dues matrius. Per aquest motiu, abans de definir la multiplicació de dues matrius hem de veure quina condició han de complir les matrius que volem multiplicar per a que aquesta operacióes pugui fer.

\begin{condition}[producte de dues matrius]\label{condicio:producte:matrius} Per poder multiplicar dues matrius s'ha de complir que el nombre de columnes de la primera matriu (la que es col·loca a l'esquerra) ha de coincidir
amb el nombre de fileres de la segona (la que es col·loca a la dreta).
\end{condition}

Aquesta condici\'{o}, a m\'{e}s de ser necess\`{a}ria per a la multiplicaci%
\'{o} de dues matrius, \'{e}s suficient.
Aquesta condició, a més de ser necessària per a la multiplicació de dues matrius, és suficient.

Degut a qu\`{e} el nombre de fileres i de columnes de dues matrius poden ser qualssevol, pot ocorre que es pugui calcular el producte $A\cdot B$ de les matrius $A$ i $B$, per\`{o} que no es pugui calcular $B\cdot A$.
Degut a què el nombre de fileres i de columnes de dues matrius poden ser qualssevol, pot ocorre que es pugui calcular el producte $A\cdot B$ de les matrius $A$ i $B$, però que no es pugui calcular $B\cdot A$.


\begin{example} No podem calcular el producte
@@ -1665,8 +1663,8 @@ c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+...+a_{im}\cdot b_{mj}
\end{enumerate}
\end{definition}

Amb aquesta definici\'{o}, l'ordre de la matriu $A\cdot B$ \'{e}s $n\times p$%
. Esquem\`{a}ticament:%
Amb aquesta definició, l'ordre de la matriu $A\cdot B$ és $n\times p$%
. Esquemàticament:%
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccc}
A & \cdot & B & = & AB \\
@@ -1746,9 +1744,9 @@ Calculeu els productes de matrius següents:%
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Transposici\'{o} d'una matriu}
\subsection{Transposició d'una matriu}

\begin{definition}[transposició de matrius] La \term{transposici\'{o}}\index{transposició de matrius} d'una matriu \'{e}s l'operaci\'{o} per la qual es canvien de manera ordenada les fileres per les columnes (i viceversa). La \term{matriu transposta}\index{matriu!transposta} de la matriu $A$ es representa per $A^{t}$.
\begin{definition}[transposició de matrius] La \term{transposició}\index{transposició de matrius} d'una matriu és l'operació per la qual es canvien de manera ordenada les fileres per les columnes (i viceversa). La \term{matriu transposta}\index{matriu!transposta} de la matriu $A$ es representa per $A^{t}$.
\end{definition}

\begin{example}
@@ -1797,8 +1795,7 @@ A=\left(

\subsection*{Propietats de la suma de matrius}

Siguin $A,B$ i $C$ matrius d'ordre $m\times n$. Aleshores, es compleixen les
seg\"{u}ents propietats:
Siguin $A,B$ i $C$ matrius d'ordre $m\times n$. Aleshores, es compleixen les propietats següents:

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Associativa:%
@@ -1815,7 +1812,7 @@ A+B=B+A
\subsection*{Propietats del producte de nombres per matrius}

Siguin $a$ i $b$ nombres reals, i $A$ i $B$ matrius d'ordre $m\times n$.
Aleshores, es compleixen les seg\"{u}ents propietats:
Aleshores, es compleixen les propietats següents:

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Pseudoassociativa: $a\cdot \left( b \cdot A\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot A$
@@ -1985,17 +1982,17 @@ Però la primera i la segona equació impliquen que $0 = 1$. Contradicció!.

\begin{theorem} Una matriu quadrada $A$ és regular si, i només si, $\lvert A \rvert \neq 0$. És a dir
\begin{equation*}
A\text{ t\'{e} inversa}\iff \left\vert A\right\vert \neq 0
A\text{ té inversa}\iff \left\vert A\right\vert \neq 0
\end{equation*}%

Expressat amb paraules:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si una matriu quadrada t\'{e} inversa, aleshores el seu determinant \'{e}s diferent de zero
\item I si el determinant d'una matriu quadrada no val zero, aleshores aquesta matriu t\'{e} inversa.
\item Si una matriu quadrada té inversa, aleshores el seu determinant és diferent de zero
\item I si el determinant d'una matriu quadrada no val zero, aleshores aquesta matriu té inversa.
\end{enumerate}
\end{theorem}

Ara sabem quina condició s'ha de complir per a què una matriu sigui regular, però com es calcula la matriu inversa d'una matriu quadrada? A continuaci\'{o} ho veurem.
Ara sabem quina condició s'ha de complir per a què una matriu sigui regular, però com es calcula la matriu inversa d'una matriu quadrada? A continuació ho veurem.

\begin{theorem}[càlcul de la matriu inversa] Si $A$ és regular, aleshores
\begin{equation*}
@@ -2007,13 +2004,13 @@ on $Adj(A)$ denota la \term{matriu adjunta} d'$A$\index{matriu!adjunta}, formada
\begin{algorithm}[càlcul de la matriu inversa] Per calcular la matriu inversa d'una matriu quadrada $A$ seguirem les passes següents:

\begin{enumerate}
\item En primer lloc calcularem $\left\vert A\right\vert $. Si aquest val $0$, ja podem assegurar que la matriu $A$ no t\'{e} inversa. Si $\left\vert A\right\vert \neq 0$, seguim amb els punts seg\"{u}ents.
\item En primer lloc calcularem $\left\vert A\right\vert $. Si aquest val $0$, ja podem assegurar que la matriu $A$ no té inversa. Si $\left\vert A\right\vert \neq 0$, seguim amb els punts següents.

\item Calculam la matriu adjunta de $A$, és a dir, $Adj(A)$.

\item Farem la transposta de $Adj(A)$. La denotarem per $\left( Adj(A)\right)^{t}$.

\item Finalment, es t\'{e} que%
\item Finalment, es té que%
\begin{equation*}
A^{-1}=\frac{\left( Adj(A)\right)^{t}}{\left\vert A\right\vert }
\end{equation*}
@@ -2037,10 +2034,10 @@ Tenim que
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =-9-16=-25\neq 0
\end{equation*}%
El fet de qu\`{e} aquest determinant no valgui zero ens assegura que
El fet de què aquest determinant no valgui zero ens assegura que
existeix la matriu inversa de $A$. Anem a calcular-la.

La matriu adjunta de $A$ \'{e}s%
La matriu adjunta de $A$ és%
\begin{equation*}
\begin{split}
Adj(A) & =\left(
@@ -2106,7 +2103,7 @@ Adj(A) & =\left(
\right)
\end{split}
\end{equation*}%
La transposta de l'adjunta \'{e}s, aleshores,%
La transposta de l'adjunta és, aleshores,%
\begin{equation*}
\left( Adj(A)\right)^{t}=\left(
\begin{array}{rrr}
@@ -2162,12 +2159,12 @@ B=\left(
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Aquesta matriu dep\`{e}n del par\`{a}metre $a$. Per tant, podem suposar que la matriu inversa de $B$ existir\`{a} o no segons el valor num\`{e}ric que prengui el par\`{a}metre $a$. \textquestiondown Qu\`{e} ha de valer $a$ per a qu\`{e} existeixi $B^{-1}$? Aquest valor de $a$ quedar\`{a} imposat per la
condici\'{o}
Aquesta matriu depèn del paràmetre $a$. Per tant, podem suposar que la matriu inversa de $B$ existirà o no segons el valor numèric que prengui el paràmetre $a$. \textquestiondown Què ha de valer $a$ per a què existeixi $B^{-1}$? Aquest valor de $a$ quedarà imposat per la
condició
\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert \neq 0,
\end{equation*}
que \'{e}s la condici\'{o} que ens assegura que existeix la matriu inversa de $B$. Calculem $\left\vert B\right\vert $:%
que és la condició que ens assegura que existeix la matriu inversa de $B$. Calculem $\left\vert B\right\vert $:%
\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =\left\vert
\begin{array}{rrr}
@@ -2177,7 +2174,7 @@ que \'{e}s la condici\'{o} que ens assegura que existeix la matriu inversa de $B
\end{array}%
\right\vert =21a-7
\end{equation*}%
Aquest determinant val $0$ si, i nom\'{e}s si, quan $21a-7=0$. És a dir, quan $a=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$. Aquí apareixen dues possibilitats:
Aquest determinant val $0$ si, i només si, quan $21a-7=0$. És a dir, quan $a=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$. Aquí apareixen dues possibilitats:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si $a=1/3$, tenim que $\left\vert B\right\vert =0$, i, per tant, no existeix la matriu inversa de $B$.

@@ -2344,7 +2341,7 @@ El rang de la matriu%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
\'{e}s $3$, ja que existeix, al menys, un menor d'ordre $3$ no nul, com, per
és $3$, ja que existeix, al menys, un menor d'ordre $3$ no nul, com, per
exemple, el menor%
\begin{equation*}
\left\vert
@@ -2487,9 +2484,9 @@ que és el menor més gran que es pot treure a partir d'$A$. Aquest menor val $0

Diferenciem casos:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si $\alpha \neq 8$: existeix un menor d'ordre $3$ diferent de $0$ ($\Delta \neq 0$), i no hi ha menors d'ordre superior a $3$ ($rg A \leq 3$). Per tant, el rang de $A$ \'{e}s $3$.
\item Si $\alpha \neq 8$: existeix un menor d'ordre $3$ diferent de $0$ ($\Delta \neq 0$), i no hi ha menors d'ordre superior a $3$ ($rg A \leq 3$). Per tant, el rang de $A$ és $3$.

\item Si $\alpha =8$: tots els menors d'ordre $3$ (de fet, l'\'{u}nic menor d'ordre $3$ en aquest cas) s\'{o}n zero. Per tant, $rg A < 3$. Cerquem, aleshores, un menor d'ordre $2$ diferent de $0$. Per exemple%
\item Si $\alpha =8$: tots els menors d'ordre $3$ (de fet, l'únic menor d'ordre $3$ en aquest cas) són zero. Per tant, $rg A < 3$. Cerquem, aleshores, un menor d'ordre $2$ diferent de $0$. Per exemple%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
@@ -2498,7 +2495,7 @@ Diferenciem casos:
\end{array}%
\right\vert =2\neq 0,
\end{equation*}%
per la qual cosa el rang \'{e}s $2$.
per la qual cosa el rang és $2$.
\end{enumerate}

En conclusió, si $\alpha \neq 8$, aleshores $rg A = 3$. I si $\alpha = 8$, aleshores $rg A = 2$.
@@ -2707,7 +2704,7 @@ A=\left(
-1 & 2 \\
3 & a%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left(
\right) ,\; B=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
3 & -5 & -2 \\

+ 25
- 0
10-solucions.tex Vedi File

@@ -200,6 +200,15 @@ a & 2 & 0
\subsection{Matrius}

\begin{itemize}
\item[\ref{exercici:matrius-1}] Tenim que $AB=\left(
\begin{array}{rr}
-2 & -3 \\
-6 & 1 \\
8 & 4%
\end{array}%
\right)$ en canvi $BA$ no es pot fer


\item[\ref{exercici:matrius-2}] $\left(
\begin{array}{ccc}
33 & -12 & -15\\
@@ -207,6 +216,22 @@ a & 2 & 0
-15 & -9 & 29%
\end{array}%
\right)$

\item[\ref{exercici:matrius-8}] $m=-1$ i $n=0$

\item[\ref{exercici:matrius-3}] $X=\left(
\begin{array}{rr}
-4 & -5 \\
7 & 14%
\end{array}%
\right)$ i $Y=\left(
\begin{array}{rr}
-3 & -5 \\
4 & 8%
\end{array}%
\right)$


\item[\ref{exercici:matrius-15-parametre}] Les matrius són singulars per \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\alpha=-1$ i $\alpha=-4$, \item $a = \pm\sqrt{3}$, \item $a=-3$, \item $\alpha =-1/3$ i $\alpha=2$, \item $a=0$, \item sempre, \item $m=0$ i $m=1$, \item $m=0$, \item $a=0$ i $a=1$, \item mai, \item $a=0$ i $a=\pm 1$, \item $k=0$, \item $x=1$ i $x=2$, \item $a=1$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=2$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=0$, \item $k=\pm 1$ \end{enumerate*}
\end{itemize}


BIN
apunts.pdf Vedi File


Loading…
Annulla
Salva