Posades les solucions de Geometria; relacionat amb #9

05-geometria.tex

@@ -3263,13 +3263,13 @@ z=11+3(-7)=-10%
 
 \subsection{Vectors}
 
-\begin{exercise}Quins dels vectors següents tenen la mateixa direcció?%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-215}Quins dels vectors següents tenen la mateixa direcció?%
 \begin{equation*}
 \vec{a}\left( 1,-3,2\right) ,\quad \vec{b}\left( 2,0,1\right) ,\quad \vec{c}\left( -2,6,-4\right) ,\quad\vec{d}\left( 5,-15,10\right) ,\quad \vec{e}\left( 10,-30,5\right)
 \end{equation*}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Donats els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left(2,0,1\right) $, calculeu:
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-216}Donats els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left(2,0,1\right) $, calculeu:
 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 \item $\vec{a}\cdot \vec{b}$
 \item $\left\vert \vec{a}\right\vert$ i $\left\vert \vec{b}\right\vert$
@@ -3277,7 +3277,7 @@ z=11+3(-7)=-10%
 \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Donats $\vec{a}=\vec{i}+m\overrightarrow{j}+\vec{k}$ i $\vec{b}=-2 \overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+m\overrightarrow{k}$, calculeu $m$
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-217}Donats $\vec{a}=\vec{i}+m\overrightarrow{j}+\vec{k}$ i $\vec{b}=-2 \overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+m\overrightarrow{k}$, calculeu $m$
 per a què els vectors siguin:
 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 \item paral·lels,
@@ -3285,57 +3285,57 @@ per a què els vectors siguin:
 \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\vec{a}\left(1,2,3\right)$ i $\vec{b}\left( 2,-2,1\right)$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-218}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\vec{a}\left(1,2,3\right)$ i $\vec{b}\left( 2,-2,1\right)$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu $m$ per a què el vector $\vec{a}\left( 1,3,m\right)$ sigui ortogonal al vector $\vec{b}\left( 1,-2,3\right)$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-219}Calculeu $m$ per a què el vector $\vec{a}\left( 1,3,m\right)$ sigui ortogonal al vector $\vec{b}\left( 1,-2,3\right)$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left( 2,0,1\right)$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-220}Calculeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left( 2,0,1\right)$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Trobeu un vector perpendicular a $\vec{u}\left( 2,3,1\right)$ i a $\vec{v}\left( -1,3,0\right)$ i que sigui unitari.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-221}Trobeu un vector perpendicular a $\vec{u}\left( 2,3,1\right)$ i a $\vec{v}\left( -1,3,0\right)$ i que sigui unitari.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}(1,-1,0)$ i $\vec{v}(2,0,1)$ i el mòdul del qual sigui $\sqrt{24}$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-222}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}(1,-1,0)$ i $\vec{v}(2,0,1)$ i el mòdul del qual sigui $\sqrt{24}$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \right] $, amb $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$, $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-223}Calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \right] $, amb $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$, $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu el volum del paral·lelepípede determinat pels vectors $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$ , $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-224}Calculeu el volum del paral·lelepípede determinat pels vectors $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$ , $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu el valor de $m$ perquè $\vec{u}\left( 2,-3,1\right)$, $\vec{v}\left( 1,m,3\right)$ i $\vec{w}\left( -4,5,-1\right)$ siguin coplanaris.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-225}Calculeu el valor de $m$ perquè $\vec{u}\left( 2,-3,1\right)$, $\vec{v}\left( 1,m,3\right)$ i $\vec{w}\left( -4,5,-1\right)$ siguin coplanaris.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Donat el vector $\vec{v}\left( -2,2,-4\right)$, trobeu les coordenades dels vectors següents:
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-226}Donat el vector $\vec{v}\left( -2,2,-4\right)$, trobeu les coordenades dels vectors següents:
 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 \item unitari i de la mateixa direcció que $\vec{v}$
 \item paral·lel a $\vec{v}$ i de mòdul 6.
 \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}\left( 2,3,-1\right)$ i a $\vec{v}\left( 1,4,2\right)$ la tercera component del qual sigui 1.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-227}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}\left( 2,3,-1\right)$ i a $\vec{v}\left( 1,4,2\right)$ la tercera component del qual sigui 1.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calcula les coordenades d'un vector $\vec{u}$ que sigui ortogonal a $\vec{v}\left( 1,2,3\right)$ i $\vec{w}\left( 1,-1,1\right)$ i tal que $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] =19$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-228}Calculeu les coordenades d'un vector $\vec{u}$ que sigui ortogonal a $\vec{v}\left( 1,2,3\right)$ i $\vec{w}\left( 1,-1,1\right)$ i tal que $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] =19$.
 \end{exercise}
 
 \subsection{Punts}
 
-\begin{exercise}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right) $ i $C\left( -1,0,-4\right)$ estan alineats o no.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-229}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right) $ i $C\left( -1,0,-4\right)$ estan alineats o no.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Trobeu el punt simètric del punt $A\left( -2,3,0\right)$ respecte del punt $M\left( 1,-1,2\right)$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-230}Trobeu el punt simètric del punt $A\left( -2,3,0\right)$ respecte del punt $M\left( 1,-1,2\right)$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu $a$ i $b$ per a què els punts $A\left( 1,2,-1\right)$, $B\left( 3,0,-2\right)$ i $C\left( 4,a,b\right)$ estiguin alineats.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-231}Calculeu $a$ i $b$ per a què els punts $A\left( 1,2,-1\right)$, $B\left( 3,0,-2\right)$ i $C\left( 4,a,b\right)$ estiguin alineats.
 \end{exercise}
 
 \subsection{Rectes i plans}
 
-\begin{exercise}Associeu els conceptes de punt, vector, recta i pla a l'espai amb qualcuna o qualcunes de les expresions següents:%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-232}Associeu els conceptes de punt, vector, recta i pla a l'espai amb qualcuna o qualcunes de les expresions següents:%
 \begin{equation*}
 \begin{array}{lllll}
 \overrightarrow{A}\left( 2,-3,1\right) , &  & \left\{ 
@@ -3367,13 +3367,13 @@ y=3%
 \end{equation*}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Escriviu les equacions de la recta $r$ que passa pels punts $A\left( -3,2,1\right)$ i $B\left( -\tfrac{5}{2},\tfrac{3}{2},0\right)$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-233}Escriviu les equacions de la recta $r$ que passa pels punts $A\left( -3,2,1\right)$ i $B\left( -\tfrac{5}{2},\tfrac{3}{2},0\right)$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Trobeu les equacions de la recta que passa pel punt $A\left( -4,2,5\right)$ i és paral·lela a l'eix $OZ$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-234}Trobeu les equacions de la recta que passa pel punt $A\left( -4,2,5\right)$ i és paral·lela a l'eix $OZ$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right)$, $C\left( -1,0,-4\right)$ i $D\left( 4,0,-5\right)$ es troben en un mateix pla o no.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-235}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right)$, $C\left( -1,0,-4\right)$ i $D\left( 4,0,-5\right)$ es troben en un mateix pla o no.
 \end{exercise}
 
 \begin{exercise}Trobeu les equacions paramètrica i contínua la recta%
@@ -3389,7 +3389,7 @@ y=3%
 
 \subsection{Posició relativa de rectes}
 
-\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de les rectes següents, i trobeu el seu punt de tall quan sigui possible:
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-236}Estudieu la posició relativa de les rectes següents, i trobeu el seu punt de tall quan sigui possible:
 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 \item $r:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{4}$ i $s:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}$
 \item $r:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{1}$ i $s:\frac{x-4}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2}$
@@ -3398,14 +3398,14 @@ y=3%
 \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ es tallin, i trobeu el seu punt de tall:%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-237}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ es tallin, i trobeu el seu punt de tall:%
 \begin{eqnarray*}
 r &:&x=y=z-a \\
 s &:&\frac{2x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-2}{0}
 \end{eqnarray*}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu els valors de $m$ i $n$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin paral·leles:%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-238}Calculeu els valors de $m$ i $n$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin paral·leles:%
 \begin{equation*}
 r:\left\{ 
 \begin{array}{l}
@@ -3419,20 +3419,27 @@ z=-\lambda%
 
 \subsection{Plans}
 
-\begin{exercise}Calculeu les equacions dels plans següents:
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-239}Calculeu les equacions dels plans següents:
 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 \item passa pel punt $P\left( 2,-3,1\right)$ i el vector normal del qual és $\vec{n}\left( 5,-3,-4\right)$
 \item perpendicular a la recta $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$ i que passa pel punt $\left( 1,0,1\right)$
 \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu $m$ i $n$ per a què els plans $\alpha \colon mx+y-3z-1=0$ i $\beta \colon 2x+ny-z-3=0$ siguin paral·lels. Poden ser coincidents?
+\begin{exercise}\label{exer:geom:mat-especiales-1}Trobeu l'equació implícita dels plans següents:
+\begin{itemize}
+\item Pla que passa pels punts $P_1 = (1, 0, -1)$, $P_2 = (1, 3, 0)$ i $P_3 = (2, -1, 3)$
+\item Pla que passa pel punt $Q=(3,0,1)$ i és paral·lel al pla $3x-2y+5z +1=0$
+\end{itemize}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-240}Calculeu $m$ i $n$ per a què els plans $\alpha \colon mx+y-3z-1=0$ i $\beta \colon 2x+ny-z-3=0$ siguin paral·lels. Poden ser coincidents?
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Determineu l'equació del pla que conté el punt $P\left( 2,1,2\right)$ i la recta $x-2=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{-3}$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-241}Determineu l'equació del pla que conté el punt $P\left( 2,1,2\right)$ i la recta $x-2=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{-3}$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Comproveu que les rectes $r:\frac{x-1}{2}=y=z-2$ i%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-242}Comproveu que les rectes $r:\frac{x-1}{2}=y=z-2$ i%
 \begin{equation*}
 s:\left\{ 
 \begin{array}{r}
@@ -3444,7 +3451,7 @@ x-2y=11%
 són paral·leles, i troba l'equació del pla que les conté.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Determineu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin coplanàries:%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-243}Determineu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin coplanàries:%
 \begin{equation*}
 r:x=y-a=\frac{z}{0},\text{ }s:\left\{ 
 \begin{array}{l}
@@ -3457,30 +3464,30 @@ z=-1+\lambda%
 Trobeu l'equació del pla que les conté.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\frac{x-3}{2}=y+1=\frac{z}{-1}$ i el pla $\pi :x-y+z-3=0$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-244}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\frac{x-3}{2}=y+1=\frac{z}{-1}$ i el pla $\pi :x-y+z-3=0$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Trobeu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,3,2\right) $ i $B\left( -2,5,0\right) $ i és paral·lel a la recta%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-245}Trobeu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,3,2\right) $ i $B\left( -2,5,0\right) $ i és paral·lel a la recta%
 \begin{equation*}
 r:\left\{ x=3-\lambda ,\text{ }y=2+\lambda ,\text{ }z=-2-3\lambda \right\}
 \end{equation*}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Trobeu l'equació del pla que conté la recta%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-246}Trobeu l'equació del pla que conté la recta%
 \begin{equation*}
 r:\left\{ x=2+3\lambda ,\text{ }y=-1-\lambda ,\text{ }z=\lambda \right\}
 \end{equation*}%
 i és paral·lel a $s:\frac{x-3}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu el valor de $m$ per a què els punts $A\left( m,0,1\right)$, $B\left( 0,1,2\right)$, $C\left( 1,2,3\right)$ i $D\left( 7,2,1\right)$
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-247}Calculeu el valor de $m$ per a què els punts $A\left( m,0,1\right)$, $B\left( 0,1,2\right)$, $C\left( 1,2,3\right)$ i $D\left( 7,2,1\right)$
 estiguin en un mateix pla. Quina és l'equaci\'{o} d'aquest pla?
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Donat el pla $\pi \colon 2x-3y+z=0$ i la recta $r \colon x-1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$, trobeu l'equació del pla que conté la recta $r$ i és perpendicular al pla $\pi$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-248}Donat el pla $\pi \colon 2x-3y+z=0$ i la recta $r \colon x-1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$, trobeu l'equació del pla que conté la recta $r$ i és perpendicular al pla $\pi$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Escriviu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,-3,2\right)$ i $B\left( 0,1,1\right) $ i és paral·lel a la recta%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-249}Escriviu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,-3,2\right)$ i $B\left( 0,1,1\right) $ i és paral·lel a la recta%
 \begin{equation*}
 r:\left\{ 
 \begin{array}{r}
@@ -3491,10 +3498,10 @@ r:\left\{
 \end{equation*}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\left\{ x=3, y=2\right\}$ i el pla $z=1$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-250}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\left\{ x=3, y=2\right\}$ i el pla $z=1$.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Estudieu les posicions relatives del pla $\pi \colon x+ay-z=1$ i la recta%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-251}Estudieu les posicions relatives del pla $\pi \colon x+ay-z=1$ i la recta%
 \begin{equation*}
 r:\left\{ 
 \begin{array}{r}
@@ -3546,7 +3553,7 @@ y-z & = 1%
 
 \subsection{Altres}
 
-\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de les rectes%
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-252}Estudieu la posició relativa de les rectes%
 \begin{equation*}
 r:\left\{ 
 \begin{array}{r}
@@ -3564,7 +3571,7 @@ z=-14+5\lambda%
 i trobeu l'angle que formen entre si.
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Trobeu, en cada cas, l'angle que formen la recta i el pla:
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-253}Trobeu, en cada cas, l'angle que formen la recta i el pla:
 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 \item $r:\frac{x+1}{-2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z}{2}$, $\pi \colon x-2y-z+1=0$
 \item $r:\left\{ x=\lambda , y=1+2\lambda , z=-2\right\}$, $\pi \colon 2x-y+z=0$
@@ -3572,7 +3579,7 @@ i trobeu l'angle que formen entre si.
 \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}Calculeu l'angle que formen els plans $\alpha \colon z=3$ i $\beta \colon x-y+2z+4=0$.
+\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-254}Calculeu l'angle que formen els plans $\alpha \colon z=3$ i $\beta \colon x-y+2z+4=0$.
 \end{exercise}
 
 \section{Exercicis resolts de geometria de l'espai}

10-solucions.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \chapter{Solucions}
 
-\section{Determinants}
+\section{Àlgebra lineal}
+\subsection{Determinants}
 
 \begin{itemize}
 \item[\ref{exercici:det-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $13$, \item $73$ \item $-12$ \item $18$ \item $-256$ \end{enumerate*}
@@ -196,7 +197,7 @@ a & 2 & 0
 
 \end{itemize}
 
-\section{Matrius}
+\subsection{Matrius}
 
 \begin{itemize}
 \item[\ref{exercici:matrius-2}] $\left( 
@@ -210,7 +211,7 @@ a & 2 & 0
 \end{itemize}
 
 
-\section{Sistemes d'equacions}
+\subsection{Sistemes d'equacions}
 
 \begin{itemize}
 \item[\ref{alicia-espuig-sistemes-0}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(0,1,1)$ \item $(1,2,-1)$ \item $(5,1,0)$ \item $(1/2, -1/4, 1)$ \item compatible indeterminat $(\lambda/2, 3\lambda/2, \lambda)$, amb $\lambda \in \mathbb{R}$ \item incompatible
@@ -225,3 +226,103 @@ a & 2 & 0
 \item[\ref{exer:espuig-sistemes-4}] Hi ha 3 pomes, 4 peres i 5 plàtans.
 
 \end{itemize}
+
+\section{Geometria}
+
+\begin{itemize}
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-215}] $\vec{a}$ és paral·lel a $\vec{c}$, $\vec{a}$ és paral·lel a $\vec{d}$ i $\vec{c}$ és paral·lel a $\vec{d}$.
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-216}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $4$, \item $\sqrt{5}$, \item angle de $61,43\degree$ \end{enumerate*}
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-217}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $m = -2$, \item $m=\frac{2}{5}$\end{enumerate*}
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-218}] $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{280}} \sim 86,57\degree$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-219}] $m = \frac{5}{3}$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-220}] $\sqrt{54}$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-221}] $\frac{1}{\sqrt{91}} \vec{(-3, -1, 9)}$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-222}] $\vec{(-2,-2,4)}$ o $\vec{(2,2,-4)}$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-223}] $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] = -6$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-224}] $\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert = \lvert -6 \rvert = 6$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-225}] $m = -4$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-226}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $a = 1/\sqrt{24}$, \item $\vec{\left(-12/\sqrt{24}, 12/\sqrt{24}, -24/\sqrt{24}\right)}$ \end{enumerate*}
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-227}] $\vec{(2,-1,1)}$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-228}] $\vec{(95/30, 57/45, -57/30)}$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-229}] No estan alineats
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-230}] El punt és $A' = (4, -5, 4)$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-231}] $a = -1$ i $b= \frac{-5}{2}$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-233}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-3,2,1) + \lambda (-2,1,-1)$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{
+\begin{array}{l}
+x=-3-2\lambda \\ 
+y=2+\lambda \\ 
+z=1-\lambda%
+\end{array}%
+\right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+3}{-2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$, \item Forma implícita $r \equiv  \left\{
+\begin{array}{l}
+x+2y-1 = 0 \\ 
+-y -z + 3 = 0%
+\end{array}%
+\right.$ \end{enumerate*}
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-234}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-4,2,5) + \lambda (0,0,1)$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{
+\begin{array}{l}
+x=-4 \\ 
+y=2 \\ 
+z=5+\lambda%
+\end{array}%
+\right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+4}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5}{1}$, \item Forma implícita $r \equiv  \left\{
+\begin{array}{l}
+x+4 = 0 \\ 
+y-2 = 0%
+\end{array}%
+\right.$ \end{enumerate*}
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-235}] No estan en el mateix pla.
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-236}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item S'encreuen, \item s'encreuen, \item s'encreuen, \item coincidents \end{enumerate*}
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-237}] Es tallen
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-238}] $m=12$ i $n = -3$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-239}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \colon 5x -3y +4z -23 = 0$, \item $2x -y +3z +1 = 0$ \end{enumerate*}
+
+\item[\ref{exer:geom:mat-especiales-1}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \equiv 13x -y -3z -16 = 0$, \item $\pi \equiv 3x -2y +5z -14 =0$\end{enumerate*}
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-240}] Per ser paral·lels $m = 6$ i $n = \frac{1}{3}$. No són coincidents.
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-241}] $\pi \colon 2x -y +z -5 =0$.
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-242}] L'equació del pla que les conté és $2x +16y-20z +38 = 0$.
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-243}]  $a=-2$; el pla que les conté és $\pi \colon x-y-2z -2 = 0$.
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-244}] $r$ és paral·lela a $\pi$.
+
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-245}] $4x +7y +z -27 =0$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-246}] $x+14y+11z +12 = 0$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-247}] $m=-1$; $\pi \colon -x +4y -3z +2=0$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-248}] $-5x -3y +z +12 = 0$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-249}] $11x -4y +5z -1 = 0$
+
+\item[\ref{exer:geom:antic-250}] Secants.
+\end{itemize}