|
|
@@ -3263,13 +3263,13 @@ z=11+3(-7)=-10% |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Vectors} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Quins dels vectors següents tenen la mateixa direcció?% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-215}Quins dels vectors següents tenen la mateixa direcció?% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
\vec{a}\left( 1,-3,2\right) ,\quad \vec{b}\left( 2,0,1\right) ,\quad \vec{c}\left( -2,6,-4\right) ,\quad\vec{d}\left( 5,-15,10\right) ,\quad \vec{e}\left( 10,-30,5\right) |
|
|
|
\end{equation*} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Donats els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left(2,0,1\right) $, calculeu: |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-216}Donats els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left(2,0,1\right) $, calculeu: |
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})] |
|
|
|
\item $\vec{a}\cdot \vec{b}$ |
|
|
|
\item $\left\vert \vec{a}\right\vert$ i $\left\vert \vec{b}\right\vert$ |
|
|
@@ -3277,7 +3277,7 @@ z=11+3(-7)=-10% |
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Donats $\vec{a}=\vec{i}+m\overrightarrow{j}+\vec{k}$ i $\vec{b}=-2 \overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+m\overrightarrow{k}$, calculeu $m$ |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-217}Donats $\vec{a}=\vec{i}+m\overrightarrow{j}+\vec{k}$ i $\vec{b}=-2 \overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+m\overrightarrow{k}$, calculeu $m$ |
|
|
|
per a què els vectors siguin: |
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})] |
|
|
|
\item paral·lels, |
|
|
@@ -3285,57 +3285,57 @@ per a què els vectors siguin: |
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\vec{a}\left(1,2,3\right)$ i $\vec{b}\left( 2,-2,1\right)$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-218}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\vec{a}\left(1,2,3\right)$ i $\vec{b}\left( 2,-2,1\right)$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu $m$ per a què el vector $\vec{a}\left( 1,3,m\right)$ sigui ortogonal al vector $\vec{b}\left( 1,-2,3\right)$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-219}Calculeu $m$ per a què el vector $\vec{a}\left( 1,3,m\right)$ sigui ortogonal al vector $\vec{b}\left( 1,-2,3\right)$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left( 2,0,1\right)$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-220}Calculeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\vec{a}\left( 1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left( 2,0,1\right)$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu un vector perpendicular a $\vec{u}\left( 2,3,1\right)$ i a $\vec{v}\left( -1,3,0\right)$ i que sigui unitari. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-221}Trobeu un vector perpendicular a $\vec{u}\left( 2,3,1\right)$ i a $\vec{v}\left( -1,3,0\right)$ i que sigui unitari. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}(1,-1,0)$ i $\vec{v}(2,0,1)$ i el mòdul del qual sigui $\sqrt{24}$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-222}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}(1,-1,0)$ i $\vec{v}(2,0,1)$ i el mòdul del qual sigui $\sqrt{24}$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \right] $, amb $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$, $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-223}Calculeu $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \right] $, amb $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$, $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu el volum del paral·lelepípede determinat pels vectors $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$ , $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-224}Calculeu el volum del paral·lelepípede determinat pels vectors $\vec{u}\left( 1,-1,0\right)$ , $\vec{v}\left( 2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left( 2,0,-2\right)$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu el valor de $m$ perquè $\vec{u}\left( 2,-3,1\right)$, $\vec{v}\left( 1,m,3\right)$ i $\vec{w}\left( -4,5,-1\right)$ siguin coplanaris. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-225}Calculeu el valor de $m$ perquè $\vec{u}\left( 2,-3,1\right)$, $\vec{v}\left( 1,m,3\right)$ i $\vec{w}\left( -4,5,-1\right)$ siguin coplanaris. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Donat el vector $\vec{v}\left( -2,2,-4\right)$, trobeu les coordenades dels vectors següents: |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-226}Donat el vector $\vec{v}\left( -2,2,-4\right)$, trobeu les coordenades dels vectors següents: |
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})] |
|
|
|
\item unitari i de la mateixa direcció que $\vec{v}$ |
|
|
|
\item paral·lel a $\vec{v}$ i de mòdul 6. |
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}\left( 2,3,-1\right)$ i a $\vec{v}\left( 1,4,2\right)$ la tercera component del qual sigui 1. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-227}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}\left( 2,3,-1\right)$ i a $\vec{v}\left( 1,4,2\right)$ la tercera component del qual sigui 1. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calcula les coordenades d'un vector $\vec{u}$ que sigui ortogonal a $\vec{v}\left( 1,2,3\right)$ i $\vec{w}\left( 1,-1,1\right)$ i tal que $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] =19$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-228}Calculeu les coordenades d'un vector $\vec{u}$ que sigui ortogonal a $\vec{v}\left( 1,2,3\right)$ i $\vec{w}\left( 1,-1,1\right)$ i tal que $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] =19$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Punts} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right) $ i $C\left( -1,0,-4\right)$ estan alineats o no. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-229}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right) $ i $C\left( -1,0,-4\right)$ estan alineats o no. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu el punt simètric del punt $A\left( -2,3,0\right)$ respecte del punt $M\left( 1,-1,2\right)$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-230}Trobeu el punt simètric del punt $A\left( -2,3,0\right)$ respecte del punt $M\left( 1,-1,2\right)$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu $a$ i $b$ per a què els punts $A\left( 1,2,-1\right)$, $B\left( 3,0,-2\right)$ i $C\left( 4,a,b\right)$ estiguin alineats. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-231}Calculeu $a$ i $b$ per a què els punts $A\left( 1,2,-1\right)$, $B\left( 3,0,-2\right)$ i $C\left( 4,a,b\right)$ estiguin alineats. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Rectes i plans} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Associeu els conceptes de punt, vector, recta i pla a l'espai amb qualcuna o qualcunes de les expresions següents:% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-232}Associeu els conceptes de punt, vector, recta i pla a l'espai amb qualcuna o qualcunes de les expresions següents:% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
\begin{array}{lllll} |
|
|
|
\overrightarrow{A}\left( 2,-3,1\right) , & & \left\{ |
|
|
@@ -3367,13 +3367,13 @@ y=3% |
|
|
|
\end{equation*} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Escriviu les equacions de la recta $r$ que passa pels punts $A\left( -3,2,1\right)$ i $B\left( -\tfrac{5}{2},\tfrac{3}{2},0\right)$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-233}Escriviu les equacions de la recta $r$ que passa pels punts $A\left( -3,2,1\right)$ i $B\left( -\tfrac{5}{2},\tfrac{3}{2},0\right)$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu les equacions de la recta que passa pel punt $A\left( -4,2,5\right)$ i és paral·lela a l'eix $OZ$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-234}Trobeu les equacions de la recta que passa pel punt $A\left( -4,2,5\right)$ i és paral·lela a l'eix $OZ$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right)$, $C\left( -1,0,-4\right)$ i $D\left( 4,0,-5\right)$ es troben en un mateix pla o no. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-235}Comproveu si els punts $A\left( 1,-2,1\right)$, $B\left( 2,3,0\right)$, $C\left( -1,0,-4\right)$ i $D\left( 4,0,-5\right)$ es troben en un mateix pla o no. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu les equacions paramètrica i contínua la recta% |
|
|
@@ -3389,7 +3389,7 @@ y=3% |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Posició relativa de rectes} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de les rectes següents, i trobeu el seu punt de tall quan sigui possible: |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-236}Estudieu la posició relativa de les rectes següents, i trobeu el seu punt de tall quan sigui possible: |
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})] |
|
|
|
\item $r:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{4}$ i $s:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}$ |
|
|
|
\item $r:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{1}$ i $s:\frac{x-4}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2}$ |
|
|
@@ -3398,14 +3398,14 @@ y=3% |
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ es tallin, i trobeu el seu punt de tall:% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-237}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ es tallin, i trobeu el seu punt de tall:% |
|
|
|
\begin{eqnarray*} |
|
|
|
r &:&x=y=z-a \\ |
|
|
|
s &:&\frac{2x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-2}{0} |
|
|
|
\end{eqnarray*} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu els valors de $m$ i $n$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin paral·leles:% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-238}Calculeu els valors de $m$ i $n$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin paral·leles:% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
r:\left\{ |
|
|
|
\begin{array}{l} |
|
|
@@ -3419,20 +3419,27 @@ z=-\lambda% |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Plans} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu les equacions dels plans següents: |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-239}Calculeu les equacions dels plans següents: |
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})] |
|
|
|
\item passa pel punt $P\left( 2,-3,1\right)$ i el vector normal del qual és $\vec{n}\left( 5,-3,-4\right)$ |
|
|
|
\item perpendicular a la recta $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$ i que passa pel punt $\left( 1,0,1\right)$ |
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu $m$ i $n$ per a què els plans $\alpha \colon mx+y-3z-1=0$ i $\beta \colon 2x+ny-z-3=0$ siguin paral·lels. Poden ser coincidents? |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:mat-especiales-1}Trobeu l'equació implícita dels plans següents: |
|
|
|
\begin{itemize} |
|
|
|
\item Pla que passa pels punts $P_1 = (1, 0, -1)$, $P_2 = (1, 3, 0)$ i $P_3 = (2, -1, 3)$ |
|
|
|
\item Pla que passa pel punt $Q=(3,0,1)$ i és paral·lel al pla $3x-2y+5z +1=0$ |
|
|
|
\end{itemize} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-240}Calculeu $m$ i $n$ per a què els plans $\alpha \colon mx+y-3z-1=0$ i $\beta \colon 2x+ny-z-3=0$ siguin paral·lels. Poden ser coincidents? |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Determineu l'equació del pla que conté el punt $P\left( 2,1,2\right)$ i la recta $x-2=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{-3}$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-241}Determineu l'equació del pla que conté el punt $P\left( 2,1,2\right)$ i la recta $x-2=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{-3}$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Comproveu que les rectes $r:\frac{x-1}{2}=y=z-2$ i% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-242}Comproveu que les rectes $r:\frac{x-1}{2}=y=z-2$ i% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
s:\left\{ |
|
|
|
\begin{array}{r} |
|
|
@@ -3444,7 +3451,7 @@ x-2y=11% |
|
|
|
són paral·leles, i troba l'equació del pla que les conté. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Determineu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin coplanàries:% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-243}Determineu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin coplanàries:% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
r:x=y-a=\frac{z}{0},\text{ }s:\left\{ |
|
|
|
\begin{array}{l} |
|
|
@@ -3457,30 +3464,30 @@ z=-1+\lambda% |
|
|
|
Trobeu l'equació del pla que les conté. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\frac{x-3}{2}=y+1=\frac{z}{-1}$ i el pla $\pi :x-y+z-3=0$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-244}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\frac{x-3}{2}=y+1=\frac{z}{-1}$ i el pla $\pi :x-y+z-3=0$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,3,2\right) $ i $B\left( -2,5,0\right) $ i és paral·lel a la recta% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-245}Trobeu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,3,2\right) $ i $B\left( -2,5,0\right) $ i és paral·lel a la recta% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
r:\left\{ x=3-\lambda ,\text{ }y=2+\lambda ,\text{ }z=-2-3\lambda \right\} |
|
|
|
\end{equation*} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu l'equació del pla que conté la recta% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-246}Trobeu l'equació del pla que conté la recta% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
r:\left\{ x=2+3\lambda ,\text{ }y=-1-\lambda ,\text{ }z=\lambda \right\} |
|
|
|
\end{equation*}% |
|
|
|
i és paral·lel a $s:\frac{x-3}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu el valor de $m$ per a què els punts $A\left( m,0,1\right)$, $B\left( 0,1,2\right)$, $C\left( 1,2,3\right)$ i $D\left( 7,2,1\right)$ |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-247}Calculeu el valor de $m$ per a què els punts $A\left( m,0,1\right)$, $B\left( 0,1,2\right)$, $C\left( 1,2,3\right)$ i $D\left( 7,2,1\right)$ |
|
|
|
estiguin en un mateix pla. Quina és l'equaci\'{o} d'aquest pla? |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Donat el pla $\pi \colon 2x-3y+z=0$ i la recta $r \colon x-1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$, trobeu l'equació del pla que conté la recta $r$ i és perpendicular al pla $\pi$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-248}Donat el pla $\pi \colon 2x-3y+z=0$ i la recta $r \colon x-1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$, trobeu l'equació del pla que conté la recta $r$ i és perpendicular al pla $\pi$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Escriviu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,-3,2\right)$ i $B\left( 0,1,1\right) $ i és paral·lel a la recta% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-249}Escriviu l'equació del pla que passa pels punts $A\left( 1,-3,2\right)$ i $B\left( 0,1,1\right) $ i és paral·lel a la recta% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
r:\left\{ |
|
|
|
\begin{array}{r} |
|
|
@@ -3491,10 +3498,10 @@ r:\left\{ |
|
|
|
\end{equation*} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\left\{ x=3, y=2\right\}$ i el pla $z=1$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-250}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\left\{ x=3, y=2\right\}$ i el pla $z=1$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Estudieu les posicions relatives del pla $\pi \colon x+ay-z=1$ i la recta% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-251}Estudieu les posicions relatives del pla $\pi \colon x+ay-z=1$ i la recta% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
r:\left\{ |
|
|
|
\begin{array}{r} |
|
|
@@ -3546,7 +3553,7 @@ y-z & = 1% |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Altres} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de les rectes% |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-252}Estudieu la posició relativa de les rectes% |
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
r:\left\{ |
|
|
|
\begin{array}{r} |
|
|
@@ -3564,7 +3571,7 @@ z=-14+5\lambda% |
|
|
|
i trobeu l'angle que formen entre si. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Trobeu, en cada cas, l'angle que formen la recta i el pla: |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-253}Trobeu, en cada cas, l'angle que formen la recta i el pla: |
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})] |
|
|
|
\item $r:\frac{x+1}{-2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z}{2}$, $\pi \colon x-2y-z+1=0$ |
|
|
|
\item $r:\left\{ x=\lambda , y=1+2\lambda , z=-2\right\}$, $\pi \colon 2x-y+z=0$ |
|
|
@@ -3572,7 +3579,7 @@ i trobeu l'angle que formen entre si. |
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}Calculeu l'angle que formen els plans $\alpha \colon z=3$ i $\beta \colon x-y+2z+4=0$. |
|
|
|
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-254}Calculeu l'angle que formen els plans $\alpha \colon z=3$ i $\beta \colon x-y+2z+4=0$. |
|
|
|
\end{exercise} |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Exercicis resolts de geometria de l'espai} |