\begin{exercise}Donats els vectors $\vec{a}\left(1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left(2,0,1\right)$, calculeu:
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-216}Donats els vectors $\vec{a}\left(1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left(2,0,1\right)$, calculeu:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item$\vec{a}\cdot\vec{b}$
\item$\left\vert\vec{a}\right\vert$ i $\left\vert\vec{b}\right\vert$
@ -3277,7 +3277,7 @@ z=11+3(-7)=-10%
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Donats $\vec{a}=\vec{i}+m\overrightarrow{j}+\vec{k}$ i $\vec{b}=-2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+m\overrightarrow{k}$, calculeu $m$
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-217}Donats $\vec{a}=\vec{i}+m\overrightarrow{j}+\vec{k}$ i $\vec{b}=-2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+m\overrightarrow{k}$, calculeu $m$
per a què els vectors siguin:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item paral·lels,
@ -3285,57 +3285,57 @@ per a què els vectors siguin:
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\vec{a}\left(1,2,3\right)$ i $\vec{b}\left(2,-2,1\right)$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-218}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\vec{a}\left(1,2,3\right)$ i $\vec{b}\left(2,-2,1\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu $m$ per a què el vector $\vec{a}\left(1,3,m\right)$ sigui ortogonal al vector $\vec{b}\left(1,-2,3\right)$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-219}Calculeu $m$ per a què el vector $\vec{a}\left(1,3,m\right)$ sigui ortogonal al vector $\vec{b}\left(1,-2,3\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\vec{a}\left(1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left(2,0,1\right)$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-220}Calculeu l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors $\vec{a}\left(1,-3,2\right)$ i $\vec{b}\left(2,0,1\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu un vector perpendicular a $\vec{u}\left(2,3,1\right)$ i a $\vec{v}\left(-1,3,0\right)$ i que sigui unitari.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-221}Trobeu un vector perpendicular a $\vec{u}\left(2,3,1\right)$ i a $\vec{v}\left(-1,3,0\right)$ i que sigui unitari.
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}(1,-1,0)$ i $\vec{v}(2,0,1)$ i el mòdul del qual sigui $\sqrt{24}$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-222}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}(1,-1,0)$ i $\vec{v}(2,0,1)$ i el mòdul del qual sigui $\sqrt{24}$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$, amb $\vec{u}\left(1,-1,0\right)$, $\vec{v}\left(2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left(2,0,-2\right)$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-223}Calculeu $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]$, amb $\vec{u}\left(1,-1,0\right)$, $\vec{v}\left(2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left(2,0,-2\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu el volum del paral·lelepípede determinat pels vectors $\vec{u}\left(1,-1,0\right)$ , $\vec{v}\left(2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left(2,0,-2\right)$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-224}Calculeu el volum del paral·lelepípede determinat pels vectors $\vec{u}\left(1,-1,0\right)$ , $\vec{v}\left(2,0,1\right)$ i $\vec{w}\left(2,0,-2\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu el valor de $m$ perquè $\vec{u}\left(2,-3,1\right)$, $\vec{v}\left(1,m,3\right)$ i $\vec{w}\left(-4,5,-1\right)$ siguin coplanaris.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-225}Calculeu el valor de $m$ perquè $\vec{u}\left(2,-3,1\right)$, $\vec{v}\left(1,m,3\right)$ i $\vec{w}\left(-4,5,-1\right)$ siguin coplanaris.
\end{exercise}
\begin{exercise}Donat el vector $\vec{v}\left(-2,2,-4\right)$, trobeu les coordenades dels vectors següents:
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-226}Donat el vector $\vec{v}\left(-2,2,-4\right)$, trobeu les coordenades dels vectors següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item unitari i de la mateixa direcció que $\vec{v}$
\item paral·lel a $\vec{v}$ i de mòdul 6.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}\left(2,3,-1\right)$ i a $\vec{v}\left(1,4,2\right)$ la tercera component del qual sigui 1.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-227}Trobeu un vector ortogonal a $\vec{u}\left(2,3,-1\right)$ i a $\vec{v}\left(1,4,2\right)$ la tercera component del qual sigui 1.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calcula les coordenades d'un vector $\vec{u}$ que sigui ortogonal a $\vec{v}\left(1,2,3\right)$ i $\vec{w}\left(1,-1,1\right)$ i tal que $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]=19$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-228}Calculeu les coordenades d'un vector $\vec{u}$ que sigui ortogonal a $\vec{v}\left(1,2,3\right)$ i $\vec{w}\left(1,-1,1\right)$ i tal que $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right]=19$.
\end{exercise}
\subsection{Punts}
\begin{exercise}Comproveu si els punts $A\left(1,-2,1\right)$, $B\left(2,3,0\right)$ i $C\left(-1,0,-4\right)$ estan alineats o no.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-229}Comproveu si els punts $A\left(1,-2,1\right)$, $B\left(2,3,0\right)$ i $C\left(-1,0,-4\right)$ estan alineats o no.
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu el punt simètric del punt $A\left(-2,3,0\right)$ respecte del punt $M\left(1,-1,2\right)$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-230}Trobeu el punt simètric del punt $A\left(-2,3,0\right)$ respecte del punt $M\left(1,-1,2\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu $a$ i $b$ per a què els punts $A\left(1,2,-1\right)$, $B\left(3,0,-2\right)$ i $C\left(4,a,b\right)$ estiguin alineats.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-231}Calculeu $a$ i $b$ per a què els punts $A\left(1,2,-1\right)$, $B\left(3,0,-2\right)$ i $C\left(4,a,b\right)$ estiguin alineats.
\end{exercise}
\subsection{Rectes i plans}
\begin{exercise}Associeu els conceptes de punt, vector, recta i pla a l'espai amb qualcuna o qualcunes de les expresions següents:%
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-232}Associeu els conceptes de punt, vector, recta i pla a l'espai amb qualcuna o qualcunes de les expresions següents:%
\begin{exercise}Escriviu les equacions de la recta $r$ que passa pels punts $A\left(-3,2,1\right)$ i $B\left(-\tfrac{5}{2},\tfrac{3}{2},0\right)$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-233}Escriviu les equacions de la recta $r$ que passa pels punts $A\left(-3,2,1\right)$ i $B\left(-\tfrac{5}{2},\tfrac{3}{2},0\right)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu les equacions de la recta que passa pel punt $A\left(-4,2,5\right)$ i és paral·lela a l'eix $OZ$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-234}Trobeu les equacions de la recta que passa pel punt $A\left(-4,2,5\right)$ i és paral·lela a l'eix $OZ$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Comproveu si els punts $A\left(1,-2,1\right)$, $B\left(2,3,0\right)$, $C\left(-1,0,-4\right)$ i $D\left(4,0,-5\right)$ es troben en un mateix pla o no.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-235}Comproveu si els punts $A\left(1,-2,1\right)$, $B\left(2,3,0\right)$, $C\left(-1,0,-4\right)$ i $D\left(4,0,-5\right)$ es troben en un mateix pla o no.
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu les equacions paramètrica i contínua la recta%
@ -3389,7 +3389,7 @@ y=3%
\subsection{Posició relativa de rectes}
\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de les rectes següents, i trobeu el seu punt de tall quan sigui possible:
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-236}Estudieu la posició relativa de les rectes següents, i trobeu el seu punt de tall quan sigui possible:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item$r:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{4}$ i $s:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{3}$
\item$r:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{1}$ i $s:\frac{x-4}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2}$
@ -3398,14 +3398,14 @@ y=3%
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ es tallin, i trobeu el seu punt de tall:%
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-237}Calculeu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ es tallin, i trobeu el seu punt de tall:%
\begin{eqnarray*}
r &:&x=y=z-a \\
s &:&\frac{2x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-2}{0}
\end{eqnarray*}
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu els valors de $m$ i $n$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin paral·leles:%
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-238}Calculeu els valors de $m$ i $n$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin paral·leles:%
\begin{equation*}
r:\left\{
\begin{array}{l}
@ -3419,20 +3419,27 @@ z=-\lambda%
\subsection{Plans}
\begin{exercise}Calculeu les equacions dels plans següents:
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-239}Calculeu les equacions dels plans següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item passa pel punt $P\left(2,-3,1\right)$ i el vector normal del qual és $\vec{n}\left(5,-3,-4\right)$
\item perpendicular a la recta $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$ i que passa pel punt $\left(1,0,1\right)$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu $m$ i $n$ per a què els plans $\alpha\colon mx+y-3z-1=0$ i $\beta\colon2x+ny-z-3=0$ siguin paral·lels. Poden ser coincidents?
\begin{exercise}\label{exer:geom:mat-especiales-1}Trobeu l'equació implícita dels plans següents:
\begin{itemize}
\item Pla que passa pels punts $P_1=(1, 0, -1)$, $P_2=(1, 3, 0)$ i $P_3=(2, -1, 3)$
\item Pla que passa pel punt $Q=(3,0,1)$ i és paral·lel al pla $3x-2y+5z +1=0$
\end{itemize}
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-240}Calculeu $m$ i $n$ per a què els plans $\alpha\colon mx+y-3z-1=0$ i $\beta\colon2x+ny-z-3=0$ siguin paral·lels. Poden ser coincidents?
\end{exercise}
\begin{exercise}Determineu l'equació del pla que conté el punt $P\left(2,1,2\right)$ i la recta $x-2=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{-3}$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-241}Determineu l'equació del pla que conté el punt $P\left(2,1,2\right)$ i la recta $x-2=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{-3}$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Comproveu que les rectes $r:\frac{x-1}{2}=y=z-2$ i%
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-242}Comproveu que les rectes $r:\frac{x-1}{2}=y=z-2$ i%
\begin{equation*}
s:\left\{
\begin{array}{r}
@ -3444,7 +3451,7 @@ x-2y=11%
són paral·leles, i troba l'equació del pla que les conté.
\end{exercise}
\begin{exercise}Determineu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin coplanàries:%
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-243}Determineu el valor de $a$ per a què les rectes $r$ i $s$ siguin coplanàries:%
\begin{equation*}
r:x=y-a=\frac{z}{0},\text{}s:\left\{
\begin{array}{l}
@ -3457,30 +3464,30 @@ z=-1+\lambda%
Trobeu l'equació del pla que les conté.
\end{exercise}
\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\frac{x-3}{2}=y+1=\frac{z}{-1}$ i el pla $\pi :x-y+z-3=0$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-244}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\frac{x-3}{2}=y+1=\frac{z}{-1}$ i el pla $\pi :x-y+z-3=0$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu l'equació del pla que passa pels punts $A\left(1,3,2\right)$ i $B\left(-2,5,0\right)$ i és paral·lel a la recta%
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-245}Trobeu l'equació del pla que passa pels punts $A\left(1,3,2\right)$ i $B\left(-2,5,0\right)$ i és paral·lel a la recta%
i és paral·lel a $s:\frac{x-3}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Calculeu el valor de $m$ per a què els punts $A\left( m,0,1\right)$, $B\left(0,1,2\right)$, $C\left(1,2,3\right)$ i $D\left(7,2,1\right)$
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-247}Calculeu el valor de $m$ per a què els punts $A\left( m,0,1\right)$, $B\left(0,1,2\right)$, $C\left(1,2,3\right)$ i $D\left(7,2,1\right)$
estiguin en un mateix pla. Quina és l'equaci\'{o} d'aquest pla?
\end{exercise}
\begin{exercise}Donat el pla $\pi\colon2x-3y+z=0$ i la recta $r \colon x-1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$, trobeu l'equació del pla que conté la recta $r$ i és perpendicular al pla $\pi$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-248}Donat el pla $\pi\colon2x-3y+z=0$ i la recta $r \colon x-1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$, trobeu l'equació del pla que conté la recta $r$ i és perpendicular al pla $\pi$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Escriviu l'equació del pla que passa pels punts $A\left(1,-3,2\right)$ i $B\left(0,1,1\right)$ i és paral·lel a la recta%
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-249}Escriviu l'equació del pla que passa pels punts $A\left(1,-3,2\right)$ i $B\left(0,1,1\right)$ i és paral·lel a la recta%
\begin{equation*}
r:\left\{
\begin{array}{r}
@ -3491,10 +3498,10 @@ r:\left\{
\end{equation*}
\end{exercise}
\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\left\{ x=3, y=2\right\}$ i el pla $z=1$.
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-250}Estudieu la posició relativa de la recta $r:\left\{ x=3, y=2\right\}$ i el pla $z=1$.
\end{exercise}
\begin{exercise}Estudieu les posicions relatives del pla $\pi\colon x+ay-z=1$ i la recta%
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-251}Estudieu les posicions relatives del pla $\pi\colon x+ay-z=1$ i la recta%
\begin{equation*}
r:\left\{
\begin{array}{r}
@ -3546,7 +3553,7 @@ y-z & = 1%
\subsection{Altres}
\begin{exercise}Estudieu la posició relativa de les rectes%
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-252}Estudieu la posició relativa de les rectes%
\begin{equation*}
r:\left\{
\begin{array}{r}
@ -3564,7 +3571,7 @@ z=-14+5\lambda%
i trobeu l'angle que formen entre si.
\end{exercise}
\begin{exercise}Trobeu, en cada cas, l'angle que formen la recta i el pla:
\begin{exercise}\label{exer:geom:antic-253}Trobeu, en cada cas, l'angle que formen la recta i el pla: