Browse Source

Feta l'apartat de l'annex d'arrels de polinomis (importació de Xisco Sebastià)

tags/v2.3.1
Xavier B. 2 months ago
parent
commit
5aaf21289b
2 changed files with 163 additions and 16 deletions
  1. 163
    16
      08-apendix.tex
  2. BIN
      apunts.pdf

+ 163
- 16
08-apendix.tex View File

@@ -282,7 +282,7 @@ El factor comú d'una expressió pot ser un nombre, una lletra, o bé ambdues co
\end{eqnarray*}
\end{example}

\section{Equacions de segon grau}
\section{Equacions de segon grau}\label{annex:equacions-segon-grau}

Les \term{equacions de segon grau}\index{equacions!de segon grau} són aquelles que involucren una $x^2$. Formalment es formen igualant un polinomi de segon grau a zero (vegeu \autoref{annex:polinomis}).

@@ -417,29 +417,156 @@ Aquí només veurem polinomis d'una variable, usualment $x$, com per exemple $4x
\end{definition}

\begin{example}El terme independent del polinomi $4x^3- 2x^2 + 5x - 7$ és $-7$; en canvi el polinomi $4x^3 - 2x^2 - 5x$ no en té.
\end{example}
\end{example}

Pendent: Arrel d'un polinomi
\begin{notation}Els polinomis en una variable $x$, es denoten per $p(x)$, $q(x)$, etc. que es llegeix ``$p$ de $x$'', ``$q$ de $x$'', etc. Així per exemple si $p(x) = 5x^2 - 2x$ i $q(x) = x^2-2x$, tenim que la seva suma és $p(x) + q(x) = 6x^2 - 4x$.
\end{notation}

Pendent: Reals vs enteres
Les \term{operacions amb polinomis}\index{operacions!de polinomis} bàsiques són:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Suma. Per sumar dos polinomis, es sumen els termes del mateix grau. Així per exemple si $p(x) = x^5 -6x^3 +8x^2 -10x +7$ i $q(x) = -7x^5 + 3x^4 +6x^3 -x^2 -4x-15$, la seva suma és $p(x) + q(x) = -6x^5 +3x^4 +7x^2 -14x -8$. Aquesta suma es pot fer verticalment:

Pendent: Ruffini
\begin{equation*}
\begin{tabular}{rrrrrr}
$x^{5}$ & & $-6x^{3}$ & $+8x^{2}$ & $-10x$ & $+7$ \\
& & & & & \\
$-7x^{5}$ & $+3x^{4}$ & $+6x^{3}$ & $-x^{2}$ & $-4x$ & $-15$ \\ \hline
$-6x^{5}$ & $+3x^{4}$ & & $+7x^{2}$ & $-14x$ & $-8$%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item Resta. La resta $p(x) - q(x)$ es calcula sumant el polinomi $p(x)$ amb el polinomi $q(x)$ amb tots els coeficients canviats, és a dir, $p(x) + (-q(x))$. Si $p(x) =x^5-6x^3+8x^2-10x+7$ i $q(x) = x^5-7x^4+9x^3+x^2-6x$, llavors $p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x)) = x^5 -6x^3 +8x^2 -10x +7 - x^5 +7x^4 -9x^3 -x^2 +6x = 7x^4-15x^3+7x^2-4x+7$.

També es pot fer verticalment:
\begin{equation*}
\begin{tabular}{rrrrrr}
$x^{5}$ & & $-6x^{3}$ & $+8x^{2}$ & $-10x$ & $+7$ \\
& & & & & \\
$-x^{5}$ & $+7x^{4}$ & $-9x^{3}$ & $-x^{2}$ & $+6x$ & \\ \hline
& $+7x^{4}$ & $-15x^{3}$ & $+7x^{2}$ & $-4x$ & $+7$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\item Producte de polinomis. Es calcula multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del segon: si $p(x) = 7x^2 -4x +7$ i $q(x) = 2x^4 -5x^3 +x^2$, llavors $p(x) \cdot q(x)$ és igual a:

\begin{multline*}
\left(7x^2-4x+7)\cdot (2x^4-5x^3+x^2\right)= \\
\\
14x^6-35x^5+7x^4-8x^5+20x^4-4x^3+14x^4-35x^3+7x^2= \\
\\
14x^6-43x^5+41x^4-39x^3+7x^2
\end{multline*}

\item No tractarem la divisió de polinomis en general. Només tractarem el \term{mètode de Ruffini}\index{mètode de Ruffini}, que permet dividir un polinomi qualsevol $p(x)$ per un polinomi de la forma $x-a$, amb $a$ un nombre enter positiu. Veurem un exemple: volem dividir el polinomi $p(x) = x^3 - x^2 -4x -4$ per $x-1$:

\begin{enumerate}
\item En primer lloc, escrivim els coeficients del polinomi $p(x)$ de major
a menor grau a una taula, posant-hi zeros allà on el polinomi no tengui termes:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
$1$ & & $1$ & $2$ & $-2$ \\ \hline
& $1$ & $2$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$-6$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%

\item El primer coeficient del polinomi $p(x)$ baixa sempre directament, tal com indica la fletxa,

\item A continuació, el divisor (l'$1$), que l'hem escrit a l'esquerra
de la línea vertical, multiplica el primer coeficient ($1\cdot 1=1$) i
el resultat es col·loca davall del segon coeficient del polinomi,

\item Llavors es suma el resultat d'aquesta multiplicació amb el segon
coeficient del polinomi ($1+1=2$)

\item Ara, el divisor multiplica aquesta suma i el resultat es
col·loca davall del tercer coeficient del polinomi $p(x)$

\item Es repeteix aquest procés fins que no quedin coeficients.

\item El darrer nombre és el reste de la divisió (en aquest cas $-6$); el quocient de la divisió l'hem d'extreure dels nombres del final de la taula $1 \; 0 \; -4 \rightarrow x^2 + 0x -4$. El grau del polinomi quocient és sempre un menys que el grau de $p(x)$ (en aquest cas $3-1 = 2$).

\item Per tant, la divisió de $p(x) = x^3 - x^2 -4x -4$ per $x-1$ dóna com a quocient $x^2 -4$ i reste $-6$; en altres paraules $(x^2 -4)(x-1) + (-6) = x^3 - x^2 -4x -4$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

El mètode de Ruffini serveix per a factoritzar un polinomi en polinomis irrecductibles i per a trobar les seves arrels enteres.

\begin{definition}Donat un polinomi $p(x)$, un nombre $a$ és una \term{arrel}\index{arrel d'un polinomi} seva si substituïnt la $x$ pel valor de $a$, dóna 0.
\end{definition}

\begin{theorem}[teorema fonamental de l'Àlgebra]\label{thm:fonamental-algebra}Donat un polinomi, el nombre d'arrels reals d'aquest polinomi és com a màxim el seu grau
\end{theorem}

\begin{example}Són arrels de $p(x) = 2 x^2 - 7 x + 6$ són $2$ i $\frac{3}{2}$, ja que l'equació de segon grau $2 x^2 - 7 x + 6 = 0$ té com a solucions aquests nombres (vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}); en altres paraules $p(\frac{3}{2}) = 0$ i $p(2) = 0$.
\end{example}

En general trobar les arrels d'un polinomi és un problema irresoluble, però existeix una manera de trobar les seves arrels enteres.

\begin{algorithm}[procediment per trobar les arrels enteres d'un polinomi]Donat un polinomi $p(x)$, les arrels

\begin{exercise}Factoritzeu els polinomis següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$
\item $x^3 - x^2 + 9x -9$
\item $15x^3 + 25x^2 - 10x$
\item $3x^3-3x^2-6x$
\item $2 x^4 + 4 x^3 - 10 x^2 - 8 x + 12$
\item $-x^3 + x^2 + 4 x - 4$
\item $-5 x^4 + 20 x^2 - 20$
\item $3 x^4 - 6 x^3 - 27 x^2 + 54 x$
\item Si té terme independent, calculam els seus divisors enters
\item Per a cada divisor $d$ del terme independent, dividim $p(x)$ per $x-d$. Si el reste de la divisió és 0, llavors $d$ és una arrel de $p(x)$. Si el reste de la divisió no és 0, llavors $d$ no és una arrel de $p(x)$.
\item En cas de no tenir terme independent, llavors $0$ és una arrel i podem factoritzar $p(x)$ com un polinomi $q(x)$ multiplicat per $x^r$, per qualque $r > 0$. En aquest cas, apliquem l'anterior a $q(x)$: totes les arrels de $q(x)$ ho seran de $p(x)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{algorithm}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$, \item $(x - 1) (x^2 + 9)$, \item $5 x (3 x - 1) (x + 2)$, \item $3x(x-2)(x+1)$, \item $2(x-1)(x^2-2)(x+3)$, \item $-(x-1)(x+2)(x-2)$, \item $-5(x^2-2)(x^2-2)$, \item $3 (x - 2) x (x - 3) (x + 3)$ \end{enumerate*} \end{solution*}
\begin{example}Trobeu les arrels del polinomi $p(x) = x^3 +x^2 -4x -4$.

\begin{enumerate}
\item Els divisors enters de $-4$ són $1$, $-1$, $2$, $-2$, $4$, $-4$.
\item Provam de fer Ruffini amb $p(x)$ i $x-1$:
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
$\mathbf{1}$ & & $1$ & $2$ & $-2$ \\ \hline
& $1$ & $2$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$-6$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Com que el reste és $-6$ vol dir que 1 no és arrel de $p(x)$
\item Ara provem amb $-1$:
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
$\mathbf{-1}$ & & $-1$ & $0$ & $4$ \\ \hline
& $1$ & $0$ & $-4$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Ara sí que hem obtingut un 0 al final. Per tant, $-1$ és arrel de $p(x)$.
\item Ara provem de fer Ruffini amb 2:
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
$\mathbf{2}$ & & $2$ & $6$ & $4$ \\ \hline
& $1$ & $3$ & $2$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Per tant, $2$ és arrel de $p(x)$.
\item Igualment, si aplicam el mètode de Ruffini amb $-2$ també tendrem reste 0, pel que $-2$ també és una arrel.
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
$\mathbf{-2}$ & & $-2$ & $2$ & $4$ \\ \hline
& $1$ & $-1$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\item Com que ja tenim 3 arrels, ja no hem de intentar trobar-ne més (\autoref{thm:fonamental-algebra}).
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{remark}En general, l'ordre en el que provem si els divisors senzers són o no arrels enteres és indistint
\end{remark}

\begin{remark}Pot ser que un polinomi no tengui arrels enteres però sí arrels reals: per exemple $x^2 -2$ no té arrels enteres (proveu de fer Ruffini per als divisors de $-2$) però sí té arrels reals ($\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$).

També pot ser que no tengui arrels reals: per exemple $x^2 + 2$ no té arrels reals (es veu aplicant la fórmula de segon grau).
\end{remark}

\begin{exercise}Trobeu les arrels dels polinomis següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
@@ -466,3 +593,23 @@ Pendent: Ruffini

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-8$, $0$ i $5$, \item $5$, $\frac{-7}{2}$ i $9$, \item $\frac{1}{2}$, $2$ i $0$, \item $-\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$ \end{enumerate*} \end{solution*}

\section{Factorització de polinomis}


\begin{exercise}Factoritzeu els polinomis següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$
\item $x^3 - x^2 + 9x -9$
\item $15x^3 + 25x^2 - 10x$
\item $3x^3-3x^2-6x$
\item $2 x^4 + 4 x^3 - 10 x^2 - 8 x + 12$
\item $-x^3 + x^2 + 4 x - 4$
\item $-5 x^4 + 20 x^2 - 20$
\item $3 x^4 - 6 x^3 - 27 x^2 + 54 x$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$, \item $(x - 1) (x^2 + 9)$, \item $5 x (3 x - 1) (x + 2)$, \item $3x(x-2)(x+1)$, \item $2(x-1)(x^2-2)(x+3)$, \item $-(x-1)(x+2)(x-2)$, \item $-5(x^2-2)(x^2-2)$, \item $3 (x - 2) x (x - 3) (x + 3)$ \end{enumerate*} \end{solution*}




BIN
apunts.pdf View File


Loading…
Cancel
Save