|
|
@ -1,186 +0,0 @@ |
|
|
|
\chapter{Solucions} |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Àlgebra lineal} |
|
|
|
\subsection{Determinants} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{itemize} |
|
|
|
\item[\ref{exercici:det-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $13$, \item $73$ \item $-12$ \item $18$ \item $-256$ \end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exercici:det-6}] Aplicant la regla de Sarrus, obtenim que el determinant val $x-x^3 = x (1-x^2)$. Per tant, el determinant val zero si, i només si, $x=0$ o bé $x= \pm 1$. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exercici:det-8}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $x^3+1$. Per tant, $x^3 +1 = 0$ si, i només si $x = \sqrt[3]{-1} = -1$. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exercici:det-10}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $3a+1$. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exercici:det-11}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $-3a^2 + 2a + 5$. Resolent l'equació corresponent, $-3a^2 + 2a + 5 = 1$, tenim que el determinant val 0 si, i només si, $a=-1$ o $a=5/3$ (aplicant la fórmula de segon grau - vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}) |
|
|
|
|
|
|
|
\end{itemize} |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Matrius} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{itemize} |
|
|
|
\item[\ref{exercici:matrius-1}] Tenim que $AB=\left( |
|
|
|
\begin{array}{rr} |
|
|
|
-2 & -3 \\ |
|
|
|
-6 & 1 \\ |
|
|
|
8 & 4% |
|
|
|
\end{array}% |
|
|
|
\right)$ en canvi $BA$ no es pot fer |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exercici:matrius-2}] $\left( |
|
|
|
\begin{array}{ccc} |
|
|
|
33 & -12 & -15\\ |
|
|
|
-12 & 12 & -9\\ |
|
|
|
-15 & -9 & 29% |
|
|
|
\end{array}% |
|
|
|
\right)$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exercici:matrius-8}] $m=-1$ i $n=0$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exercici:matrius-3}] $X=\left( |
|
|
|
\begin{array}{rr} |
|
|
|
-4 & -5 \\ |
|
|
|
7 & 14% |
|
|
|
\end{array}% |
|
|
|
\right)$ i $Y=\left( |
|
|
|
\begin{array}{rr} |
|
|
|
-3 & -5 \\ |
|
|
|
4 & 8% |
|
|
|
\end{array}% |
|
|
|
\right)$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exercici:matrius-15-parametre}] Les matrius són singulars per \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\alpha=-1$ i $\alpha=-4$, \item $a = \pm\sqrt{3}$, \item $a=-3$, \item $\alpha =-1/3$ i $\alpha=2$, \item $a=0$, \item sempre, \item $m=0$, \item $a=0$ i $a=1$, \item mai, \item $a=0$ i $a=\pm 1$, \item $k=0$, \item $a=1$ i $a=2$, \item $a=1$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=2$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=0$, \item $k=\pm 1$ \end{enumerate*} |
|
|
|
\end{itemize} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Sistemes d'equacions} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{itemize} |
|
|
|
\item[\ref{alicia-espuig-sistemes-0}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(0,1,1)$ \item $(1,2,-1)$ \item $(5,1,0)$ \item $(1/2, -1/4, 1)$ \item compatible indeterminat $(\lambda/2, 3\lambda/2, \lambda)$, amb $\lambda \in \mathbb{R}$ \item incompatible |
|
|
|
\end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:espuig-sistemes-1}] $80$ cotxes blancs, $48$ cotxes negres i $12$ cotxes vermells |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:espuig-sistemes-2}]En Pere té $60$ €, en Joan en té $40$ i n'Àngel, $100$. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:espuig-sistemes-3}] Un pastisset de moniato costa $2,5$ €, el de nata, $3,25$ € i el de xocolata, $1,75$ €. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:espuig-sistemes-4}] Hi ha 3 pomes, 4 peres i 5 plàtans. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{xisco:exer4.21}] Inverteixen 5.000€, 5.000 € i 10.000€. |
|
|
|
|
|
|
|
\end{itemize} |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Geometria} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{itemize} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-215}] $\vec{a}$, $\vec{c}$ i $\vec{d}$ són paral·lels. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-216}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $4$, \item El mòdul de $\vec{a}$ és $\sqrt{14}$ i el mòdul de $\vec{b}$ és $\sqrt{5}$, \item l'angle que formen és, aproximadament, de $61,43\degree$ \end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-217}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $m = -2$, \item $m=\frac{2}{5}$\end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-218}] $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{280}} \sim 86,57\degree$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-219}] $m = \frac{5}{3}$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-220}] $\sqrt{54}$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-221}] $\frac{1}{\sqrt{91}} \overrightarrow{(-3, -1, 9)}$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-222}] $\overrightarrow{(-2,-2,4)}$ o $\overrightarrow{(2,2,-4)}$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-223}] $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] = -6$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-224}] $\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert = \lvert -6 \rvert = 6$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-225}] $m = -4$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-226}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $1/\sqrt{24} \overrightarrow{(-2,2,-4)}$, \item $\overrightarrow{\left(-12/\sqrt{24}, 12/\sqrt{24}, -24/\sqrt{24}\right)}$ \end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-227}] $\overrightarrow{(2,-1,1)}$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-228}] $\overrightarrow{(95/30, 57/45, -57/30)}$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-229}] No estan alineats |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-230}] El punt és $A' = (4, -5, 4)$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-231}] $a = -1$ i $b= \frac{-5}{2}$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-232}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item vector \item punt al pla (és una intersecció de dues rectes) i recta a l'espai (és la intersecció de dos plans a l'espai) \item recta en forma paramètrica a l'espai \item punt a l'espai \item recta al pla i pla a l'espai \item pla a l'espai en forma paramètrica \item punt al pla \item recta a l'espai en forma contínua. \end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-233}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-3,2,1) + \lambda \overrightarrow{(-2,1,-1)}$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{ |
|
|
|
\begin{array}{l} |
|
|
|
x=-3-2\lambda \\ |
|
|
|
y=2+\lambda \\ |
|
|
|
z=1-\lambda% |
|
|
|
\end{array}% |
|
|
|
\right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+3}{-2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$, \item Forma implícita $r \equiv \left\{ |
|
|
|
\begin{array}{l} |
|
|
|
x+2y-1 = 0 \\ |
|
|
|
-y -z + 3 = 0% |
|
|
|
\end{array}% |
|
|
|
\right.$ \end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-234}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-4,2,5) + \lambda \overrightarrow{(0,0,1)}$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{ |
|
|
|
\begin{array}{l} |
|
|
|
x=-4 \\ |
|
|
|
y=2 \\ |
|
|
|
z=5+\lambda% |
|
|
|
\end{array}% |
|
|
|
\right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+4}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5}{1}$, \item Forma implícita $r \equiv \left\{ |
|
|
|
\begin{array}{l} |
|
|
|
x+4 = 0 \\ |
|
|
|
y-2 = 0% |
|
|
|
\end{array}% |
|
|
|
\right.$ \end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-235}] No estan en el mateix pla. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-236}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item S'encreuen, \item s'encreuen, \item s'encreuen, \item coincidents \end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-237}] Es tallen |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-238}] $m=12$ i $n = -3$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-239}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \colon 5x -3y +4z -23 = 0$, \item $2x -y +3z +1 = 0$ \end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:mat-especiales-1}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \equiv 13x -y -3z -16 = 0$, \item $\pi \equiv 3x -2y +5z -14 =0$\end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-240}] Per ser paral·lels $m = 6$ i $n = \frac{1}{3}$. No són coincidents. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-241}] $\pi \colon 2x -y +z -5 =0$. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-242}] L'equació del pla que les conté és $2x +16y-20z +38 = 0$. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-243}] $a=-2$; el pla que les conté és $\pi \colon x-y-2z -2 = 0$. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-244}] $r$ és paral·lela a $\pi$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-245}] $4x +7y +z -27 =0$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-246}] $x+14y+11z +12 = 0$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-247}] $m=-1$; $\pi \colon -x +4y -3z +2=0$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-248}] $-5x -3y +z +12 = 0$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-249}] $11x -4y +5z -1 = 0$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-250}] Secants. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-251}] Si $a \neq -1$ o $a \neq 2$, llavors són secants. Si $a=-1$, llavors són paral·lels. Si $a=2$, llavors $r$ està continguda a $\pi$. |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-252}] S'encreuen. L'angle que formen és, aproximadament, $54,74 \degree$ |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-253}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Aproximadament $41,81\degree$ \item $0$ \item $60\degree$ \end{enumerate*} |
|
|
|
|
|
|
|
\item[\ref{exer:geom:antic-254}] |
|
|
|
|
|
|
|
\end{itemize} |