瀏覽代碼

2.3.0

posicions relatives raonant sobre vectors
tags/v2.3.0^0
Xavier 2 年之前
父節點
當前提交
5298b01e9a
共有 3 個檔案被更改,包括 40 行新增11 行删除
  1. 1
    1
      02-drets-d-autor.tex
  2. 39
    10
      05-geometria.tex
  3. 二進制
      apunts.pdf

+ 1
- 1
02-drets-d-autor.tex 查看文件

@@ -32,7 +32,7 @@ L'ús d'aquests materials es realitza acollint-se als termes de les corresponent

\section*{Informació del document}

La versió d'aquest document és la \href{https://github.com/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/releases}{2.3.0-pre}. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX}, \href{http://www.geogebra.org/}{Geogebra} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://www.archlinux.org}{GNU/Linux}. La revisió d'aquest document és la \href{https://github.com/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
La versió d'aquest document és la \href{https://github.com/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/releases}{2.3.0}. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX}, \href{http://www.geogebra.org/}{Geogebra} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://www.archlinux.org}{GNU/Linux}. La revisió d'aquest document és la \href{https://github.com/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
require "lualibs-os"
tex.sprint(os.resultof("git log --pretty=oneline | wc -l")+1)
}a}. El conjunt de les versions s'administra amb el \href{http://git-scm.com/}{git}. La referència d'aquesta versió és la:

+ 39
- 10
05-geometria.tex 查看文件

@@ -528,7 +528,7 @@ es pot calcular amb l'arrel quadrada del producte escalar per si mateix.

\item $\overrightarrow{A}\cdot \left( \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}\right) =\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C}$ (propietat distributiva)

\item \term{Condició de perpendicularitat entre dos vectors}: si el producte escalar de dos vectors és $0$, aleshores aquests dos vectors són perpendiculars entre si, i viceversa, és a dir, que si dos vectors són perpendiculars entre si, aleshores el seu producte escalar és $0$. Matemàticament,%
\item \term{Condició de perpendicularitat entre dos vectors}\index{condició!de perpendicularitat entre dos vectors}: si el producte escalar de dos vectors és $0$, aleshores aquests dos vectors són perpendiculars entre si, i viceversa, és a dir, que si dos vectors són perpendiculars entre si, aleshores el seu producte escalar és $0$. Matemàticament,%
\begin{equation*}
\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=0\iff \overrightarrow{A} \bot \overrightarrow{B}
\end{equation*}
@@ -2788,9 +2788,25 @@ Raonant de manera anàloga al cas anterior,

\end{itemize}

Tot això queda reflexat en la proposició següent:
Tot això queda reflexat en les proposicions següents:

\begin{proposition}[posició relativa de dues rectes] Donades dues rectes $r$ i $s$ amb vectors directors $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$ i $\vec{w}=(w_1, w_2, w_3)$ i que passen pels punts $A=(a_1, a_2, a_3)$ i $B = (b_1, b_2, b_3)$ respectivament, tenim que la seva posició relativa ve donada pels rangs següents:
\begin{proposition}[posició relativa de dues rectes usant proporcionalitat de vectors] Donades dues rectes $r$ i $s$ amb vectors directors $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$ i $\vec{w}=(w_1, w_2, w_3)$ i que passen pels punts $A=(a_1, a_2, a_3)$ i $B = (b_1, b_2, b_3)$ respectivament, tenim que la seva posició relativa es pot determinar amb l'arbre de decisió següent:
\begin{itemize}
\item Si $\vec{u}$ és proporcional a $\vec{w}$ (vegeu \autoref{resultat:proposicio-parallelisme-vectors}), aleshores les rectes poden ser coincidents o paral·leles.
\begin{itemize}
\item Si $\overrightarrow{AB}$ és proporcional a $\vec{u}$ (i per tant a $\vec{w}$), llavors $r$ i $s$ són coincidents
\item Si $\overrightarrow{AB}$ no és proporcional a $\vec{u}$ (i per tant tampoc a $\vec{w}$), llavors $r$ i $s$ són paral·leles
\end{itemize}
\item Sinó, llavors les rectes són secants o bé es creuen.
\begin{itemize}
\item Si $\overrightarrow{AB}$ és propocional a $\vec{u}$, llavors $r$ i $s$ són secants
\item Sinó, si $\overrightarrow{AB}$ és proporcional a $\vec{w}$, llavors $r$ i $s$ són secants
\item Si $\overrightarrow{AB}$ no és proporcional ni a $\vec{u}$ ni a $\vec{w}$, llavors $r$ i $s$ es creuen
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proposition}

\begin{proposition}[posició relativa de dues rectes usant matrius] Donades dues rectes $r$ i $s$ amb vectors directors $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$ i $\vec{w}=(w_1, w_2, w_3)$ i que passen pels punts $A=(a_1, a_2, a_3)$ i $B = (b_1, b_2, b_3)$ respectivament, tenim que la seva posició relativa ve donada pels rangs següents:
\begin{itemize}
\item $rg \left(
\begin{array}{rr}
@@ -2924,16 +2940,14 @@ Aleshores:
\end{itemize}
\end{proposition}

\begin{proposition}[posició relativa entre pla i recta (versió vector normal)] Siguin $\pi$ un pla i $r$ una recta del pla. I sigui $\vec{v}_r$ el vector director de $r$ i $A$ un punt de la recta. Aleshores:
\begin{proposition}[posició relativa entre pla i recta (versió vector normal)] Siguin $\pi$ un pla i $r$ una recta del pla. I sigui $\vec{v}$ el vector director de $r$ i $A$ un punt de la recta. Aleshores:
\begin{itemize}
\item Si $\vec{v}_r$ és perpendicular al vector normal del pla $\vec{n}$ i $A \in \pi$, llavors $r$ està continguda a $\pi$
\item Si $\vec{v}_r$ és perpendicular al vector normal del pla $\vec{n}$ però $A \not \in \pi$, llavors $r$ és paral·lela a $\pi$
\item Si $\vec{v}_r$ no és perpendicular a $\vec{n}$, llavors la recta i el pla es tallen
\item Si $\vec{v}$ és perpendicular al vector normal del pla $\vec{n}$ i $A \in \pi$, llavors $r$ està continguda a $\pi$
\item Si $\vec{v}$ és perpendicular al vector normal del pla $\vec{n}$ però $A \not \in \pi$, llavors $r$ és paral·lela a $\pi$
\item Si $\vec{v}$ no és perpendicular a $\vec{n}$, llavors la recta i el pla es tallen
\end{itemize}
\end{proposition}

A part d'aquests mètodes, també podríem determinar la posició relativa de $r$ i $\pi$ esbrinant si el vector director de $r$, $\vec{v}_r$, és combinació lineal dels vectors directors de $\pi$, $\vec{u}$ i $\vec{v}$: si $\vec{v}_r$ no és combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$ (és a dir, $Det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{v}_r) \neq 0$), llavors $r$ talla a $\pi$. Si $\vec{v}_r$ és combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$, llavors si un punt de $r$ pertany a $\pi$, llavors $r$ està continguda a $\pi$. En cas contrari, $r$ és paral·lela a $\pi$.

\begin{example}Determineu la posició relativa de $r \colon \left\{
\begin{array}{r}
2x + y + 2= 0\\
@@ -3003,7 +3017,7 @@ x +y - z +2= 0\\

Finalment estudiarem la posició relativa entre dos plans. Suposarem que els plans sempre vénen donats mitjançant les seves equacions generals.

\begin{proposition}[posició relativa entre dos plans] Siguin $\pi_1 \equiv A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ i $\pi_2 \equiv A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$ dos plans qualssevol. Considerem les matrius de coeficients i ampliada, $A$ i $M$ respectivament:
\begin{proposition}[posició relativa entre dos plans (versió rangs de matrius)] Siguin $\pi_1 \equiv A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ i $\pi_2 \equiv A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$ dos plans qualssevol. Considerem les matrius de coeficients i ampliada, $A$ i $M$ respectivament:
\begin{equation*}
A = \left( \begin{array}{rrr}
A_1 & B_1 & C_1 \\
@@ -3026,6 +3040,21 @@ Llavors:
\end{itemize}
\end{proposition}

Disposem d'una proposició que estudia la posició relativa a partir de la proporcionalitat dels seus vectors normals.
\begin{proposition}[posició relativa entre dos plans (versió vectors normals)] Siguin $\pi_1 \equiv A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ i $\pi_2 \equiv A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$ dos plans qualssevol. Considerem $\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)$ i $\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)$ els seus vectors normals.
\begin{itemize}
\item Si $\vec{n}_1$ és proporcional a $\vec{n}_2$, llavors els plans són o bé coincidents o bé paral·lels.

Com que aquests vectors són proporcionals, llavors $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ és igual a un nombre. Diguem-li $R$.
\begin{itemize}
\item Si $\frac{D_1}{D_2} = R$, llavors $\pi_1$ és coincident amb $\pi_2$
\item Sinó, $\pi_1$ és paral·lel a $\pi_2$
\end{itemize}
\item En cas contrari, els plans es tallen
\end{itemize}
\end{proposition}


\begin{exercise} Determineu la posició relativa dels plans següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\pi_1 = 3x-2y +4z = 2$ i $\pi_2 = 2x+3y-5z = -8$

二進制
apunts.pdf 查看文件


Loading…
取消
儲存