Browse Source

llev la regla de Chió i incorpor problemes de sistemes d'equacions de la versió 19 de març de 2019 de Xisco Sebastià

tags/v2.3.1
Xavier B. 1 week ago
parent
commit
45622bf6d8
2 changed files with 25 additions and 165 deletions
  1. 25
    165
      04-algebra-lineal.tex
  2. BIN
      apunts.pdf

+ 25
- 165
04-algebra-lineal.tex View File

@@ -803,156 +803,6 @@ tenen el mateix valor, ja que el segon determinant resulta de sumar, en el prime
\end{enumerate}


\section{Regla de Chió}

La regla \ref{regla-combinacio-lienal} permet simplificar el càlcul dels determinants, sobretot els d'ordre superior a 3:

\begin{algorithm}[regla de Chió]\index{regla!de Chió} Aquest algorisme permet transformar un determinant qualsevol en un altre del mateix valor de tal manera que nom\'{e}s s'hagi de calcular un dels seus adjunts. Aix\`{o} es fa seguint les passes seg\"{u}ents:

\begin{enumerate}
\item Es tria aquella línia que contengui un $1$ o un $-1$. D'haver-n'hi més d'una, es tria aquella que contengui més zeros a la línia perpendicular. En cas de no haver-n'hi cap es divideix una línia qualsevol pel nombre convenient per aconseguir-lo (aplicant la regla \ref{multiplicacio-determinant-escalar-propietat})

\item Es multiplica aquesta línia pel nombre que faci falta per obtenir zeros a totes les línies perpendiculars i es suma aquesta multiplicació a la línia en la qual es volen obtenir zeros. Es diu que la línia \term{pivota}\index{pivotar}. Esquemàticament, si volem aconseguir zeros a la línia $F_i$ amb la línia pivot $F_p$, aleshores $F_i + n F_p \rightarrow F_i$\footnote{És molt important notar que no podem modificar la línia en la qual volem aconseguir zeros. En cap cas podríem fer $n F_p - F_i \rightarrow F_i$, perquè ens canviaria el signe del determinant: per exemple, $\left\vert
\begin{array}{cc}
a+1 & a\\%
a & a+1%
\end{array}%
\right\vert = \left\vert
\begin{array}{cc}
a+1 & a\\%
-1 & 1%
\end{array}\right\vert$ fent $F_2 -F_1 \rightarrow F_2$ però $\left\vert
\begin{array}{cc}
a+1 & a\\%
a & a+1%
\end{array}%
\right\vert \neq \left\vert
\begin{array}{cc}
a+1 & a\\%
1 & -1%
\end{array}\right\vert$ fent $F1 - F_2 \rightarrow F_2$. }

\item D'aquesta manera, s'aconsegueix un determinant amb una línia formada per un $1$ i la resta d'elements iguals a $0$.

\item Es desenvolupa el determinant per aquesta línia.

\end{enumerate}
\end{algorithm}

\begin{example} Calculem el determinant següent aplicant la regla de Chió. Triarem la primera filera (que conté un $-1$ i un $0$) i la multiplicarem per nombres conveninents sumant el resultat a les fileres restants:
\begin{align*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 0 & -6 \\
4 & -4 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 8 & 3 \\
-5 & -1 & 3 & -2%
\end{array}%
\right\vert & = \left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 0 & -6 \\
-4 & 0 & 2 & 27 \\
0 & 6 & 8 & 3 \\
-5 & -1 & 3 & -2%
\end{array} \right\vert && (F_2 -4F_{1} \rightarrow F_2)\\
& = \left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 0 & -6 \\
-4 & 0 & 2 & 27 \\
12 & 0 & 8 & -33 \\
-5 & -1 & 3 & -2%
\end{array} \right\vert && (F_3+6F_{1}\rightarrow F_3)\\
& = \left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 0 & -6 \\
-4 & 0 & 2 & 27 \\
12 & 0 & 8 & -33 \\
-7 & 0 & 3 & 4%
\end{array} \right\vert && (F_4-F_{1}\rightarrow F_4)\\
& = - 1 \cdot \left( -\left\vert
\begin{array}{rrr}
-4 & 2 & 27 \\
12 & 8 & -33 \\
-7 & 3 & 4%
\end{array}%
\right\vert \right) && \text{(desenvolupament)}\\
& = 2326
\end{align*}%
Com s'observa, despr\'{e}s d'aquest proc\'{e}s nom\'{e}s es calcula un \'{u}%
nic menor.
\end{example}

\begin{exercise} Apliqueu la regla de Chió per calcular els determinants següents:

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
4 & 2 & 1 & 3 \\
-1 & -3 & 0 & -2 \\
0 & 5 & -3 & 8 \\
6 & 7 & 3 & -1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 1 & 0 \\
4 & 3 & -2 & 1 \\
-1 & -1 & 0 & 2 \\
3 & 3 & 0 & 1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
x & 2x & 3x \\
x^2 & 3x & 2x \\
2x & 5x & 6x%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
x & 1 & 2 \\
1 & 2x & 2 \\
2 & 5x & 6x%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{ccc}
a+1 & a & a \\
a & a+1 & a \\
a & a & a+1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
x & 2x & 4x \\
4x & x & 2x \\
2x & 4x & x%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}


\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\section{Tipus de determinants}

Existeixen tipus particulars de determinants que fan que el seu càlcul sigui més senzill:
@@ -1355,11 +1205,10 @@ a-1 & 2 & 0%
\begin{exercise}\label{exercici:det-6} Per a quin valor de $x$ s'anul·la el determinant següent?
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-x & 1 & 0 & 1 \\
1 & -x & 1 & 0 \\
0 & 1 & -x & 1 \\
1 & 0 & 1 & -x%
\begin{array}{rrr}
-x & 1 & 0 \\
1 & -x & 1 \\
0 & 1 & -x %
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
@@ -1368,11 +1217,10 @@ a-1 & 2 & 0%
\begin{exercise}\label{exercici:det-8} Resoleu l'equació següent:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
x & 1 & 0 & 0 \\
0 & x & 1 & 0 \\
0 & 0 & x & 1 \\
1 & 0 & 0 & x%
\begin{array}{rrr}
x & 1 & 0 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x %
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}
@@ -1382,11 +1230,10 @@ x & 1 & 0 & 0 \\
\begin{exercise}\label{exercici:det-10} Trobeu, en funció de $a$, el valor del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cccc}
a+1 & a & a & a \\
a & a+1 & a & a \\
a & a & a+1 & a \\
a & a & a & a+1%
\begin{array}{ccc}
a+1 & a & a \\
a & a+1 & a \\
a & a & a+1 %
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
@@ -4443,3 +4290,16 @@ ax+3y+z & = & a+2%

\begin{exercise}\label{exer:espuig-sistemes-4}En una caixa hi ha pomes, peres i plàtans. En total sumen 12 peces de fruita. El triple del nombre de pomes és igual a la suma del nombre de peres i plàtans i el doble del nombre de peres és igual a la suma del nombre de pomes i plàtans. Trobeu el nombre de pomes, peres, i plàtans.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{xisco:exer4.21}Dos amics inverteixen 20000 € cadascun. El primer col·loca una quantitat $A$ al 4\% d'interès, una quantitat $B$ al 5\% i la resta al 6\%. L'altre inverteix la mateixa quantitat $A$ al 5\%, la quantitat $B$ al 6\% i la resta al 4\%. Determineu les quantitats $A$, $B$ i $C$ si el primer
obté uns interessos de 1050 € i el segon de 950 €%
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{xisco:exer4.22}Una botiga ha venut 600 exemplars d'un article per un total de 6384€. El preu original era de 12 €, però també han venut còpies defectuoses amb descomptes del 30\% i del 40\%. Si el nombre de còpies defectuoses venudes va ser la meitat del de còpies en bon estat, calculeu a quantes còpies s'aplicà el descompte del 30\%
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{xisco:exer4.23}Un caixer automàtic conté 95 bitllets de 10, 20 i 50 €, i un total de 2000€. Si el nombre de bitllets de 10€ és el doble que el nombre de bitllets de 20€, calculeu quants de bitllets hi ha de cada tipus.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{xisco:exer4.24}La suma de les tres xifres d'un nombre és 7. La xifra de les centenes és igual a la suma de la xifra de les desenes més el doble de la xifra de les unitats. D'altra banda, si s'inverteix l'ordre de la xifres, el nombre original disminueix en 297 unitats. Calculeu les xifres del nombre inicial
\end{exercise}

BIN
apunts.pdf View File


Loading…
Cancel
Save