Browse Source

Llev les propietats dels determinants (fins i tot els exercicis associats) i re-redact el càlcul dels determinants d'ordre superior a 3. #20

master
Xavier B. 2 weeks ago
parent
commit
3e537ba63f
5 changed files with 92 additions and 347 deletions
  1. +2
    -2
      02-drets-d-autor.tex
  2. +1
    -1
      03-prefaci.tex
  3. +80
    -335
      04-algebra-lineal.tex
  4. BIN
      apunts.pdf
  5. +9
    -9
      apunts.tex

+ 2
- 2
02-drets-d-autor.tex View File

@@ -52,7 +52,7 @@ L'ús d'aquests materials es realitza acollint-se als termes de les corresponent
Mathematics Subject Classification (2010):
97-01, 97A10

La versió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/releases}{2.5.0-pre}. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX}, \href{http://www.geogebra.org/}{Geogebra} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://www.linuxfoundation.org/}{GNU/Linux} (\href{https://artixlinux.org/}{Artix Linux}). La revisió d'aquest document és la número \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
La versió d'aquest document és la 2.6.0-pre. Aquest document ha estat generat, el \today\space a les \currenttime, usant \LaTeX, \href{http://www.luatex.org}{LuaTeX} i \href{http://sourceforge.net/projects/pgf/}{Ti{\em k}Z} sota un entorn \href{https://www.linuxfoundation.org/}{GNU/Linux} (\href{https://artixlinux.org/}{Artix Linux}). La revisió d'aquest document és la número \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/commits/master}{\directlua{
require "lualibs-os"
tex.sprint(math.floor(os.resultof("git log --pretty=oneline | wc -l")+1))
}}. El conjunt de les versions s'administra amb el \href{http://git-scm.com/}{git}. La referència d'aquesta versió és la:
@@ -69,7 +69,7 @@ La versió d'aquest document és la \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier
El document ha estat mecanografiat. Encara que s'hagi revisat diverses vegades és possible que hi hagi errors. Si en detecteu algun, si us plau, aviseu-nos pel canal que considereu més oportú:
\begin{itemize}
\item Obrint una incidència a la web del codi font: {\small \href{http://git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/issues}{\burl{git.somenxavier.xyz/somenxavier/apunts-acces-uib-per-a-majors-de-25-anys/issues}}}
\item Enviant un missatge de correu electrònic a \href{mailto:somenxavier@gmail.com?subject=apunts-uib}{somenxavier@gmail.com}
\item Enviant un missatge de correu electrònic a \href{mailto:somenxavier@posteo.net?subject=apunts-uib}{somenxavier@posteo.net}
\end{itemize}

\thispagestyle{empty}


+ 1
- 1
03-prefaci.tex View File

@@ -2,7 +2,7 @@

Aquest text pretén ser un manual per a la preparació de la prova de Matemàtiques d'\href{http://estudis.uib.cat/grau/acces/mes_grans25/}{Accés a la Universitat de les Illes Balears per a majors de 25 anys} de l'assignatura de Matemàtiques.

Els continguts d'aquest manual només abarquen tres de les quatre parts de les quals consta el temari. El motiu principal d'aquest fet és que, encara que el manual les tengués, no es tendria temps material de veure-les a classe amb els set mesos d'un curs de preparació a la UIB de qualsevol Centre d'Educació de Persones Adultes (d'octubre a abril). S'ha optat per deixar de banda el bloc d'Anàlisi, que és el que requereix més coneixements previs per entendre'l.
Els continguts d'aquest manual només abarquen tres de les quatre parts de les quals consta el temari. El motiu principal d'aquest fet és que, encara que el manual les tengués, no es tendria temps material de veure-les a classe amb els sis mesos d'un curs de preparació a la UIB de qualsevol Centre d'Educació de Persones Adultes (d'octubre a març)\footnote{Les proves d'accés a la UIB solen ser a principis d'abril.}. S'ha optat per deixar de banda el bloc d'Anàlisi, que és el que requereix més coneixements previs per entendre'l.

S'ha procurat que l'estil del manual sigui el més proper a l'alumne, sense deixar de banda, però, els aspectes més formals.



+ 80
- 335
04-algebra-lineal.tex View File

@@ -2,7 +2,13 @@

\chapter{Determinants}

Un \term{determinant}\index{determinant} el nombre, que es calcula segons determinades regles, associat a una disposici\'{o} de nombres escrits en forma d'$n$ fileres i $n$ columnes. El tamany del determinant, és a dir, el nombre de fileres (o de columnes) s'anomena \term{ordre}\index{ordre!determinant}. Alguns exemples d'aquesta disposici\'{o} s\'{o}n les expressions seg\"{u}ents:%
Un \term{determinant}\index{determinant} el nombre, que es calcula segons determinades regles, associat a una disposició de nombres escrits en forma de fileres i columnes. Els determinants tenen el mateix nombre de fileres i de columnes.

El tamany del determinant, és a dir, el nombre de fileres (i de columnes) que té, s'anomena \term{ordre}\index{ordre!determinant}.

Per denotar que comença i acaba un determinant, s'escriu un segment recta al principi i al final dels nombres que el conformen.

Alguns exemples de determinants són:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rr}
@@ -17,28 +23,12 @@ Un \term{determinant}\index{determinant} el nombre, que es calcula segons determ
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%

En aquest cas, el primer determinant té ordre $2$ i el segon determinant té ordre $3$.

En general, un determinant d'ordre $n$ tendrà una expressió de l'estil

\begin{equation*}
\text{ }\left\vert
\begin{array}{rrrr}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert,
\end{equation*}%

on cada $a_{ij}$ és un nombre, amb $i=1,\ldots,n$ i $j=1,\ldots,n$.
\section{Càlcul de determinants}

\medskip
A continuació veurem com es calculen aquests valors numèrics associats a cadascuna d'aquestes expressions. Com pareix natural, aquests valors dependran de l'ordre del determinant.
Es té un procediment de càlcul en funció de l'ordre del determinant. Els casos que més apareixen en els exercicis són els d'ordre 2 i 3.

\section{Càlcul de determinants}

\begin{description}
\item[Ordre 1] El determinant d'ordre 1 és el propi element que el constitueix:
@@ -47,14 +37,16 @@ A continuació veurem com es calculen aquests valors numèrics associats a cadas
\left\vert a \right\vert = a
\end{equation*}

No hem de confondre el determinant d'ordre 1 amb el valor absolut del nombre, que es denota de la mateixa manera. Recordem que el \term{valor absolut}\index{valor+absolut} d'un nombre és la distància d'aquest nombre a 0 a la recta numèrica: és a dir $\left\vert -2 \right\vert = 2$ i $\left\vert 2 \right\vert = 2$.

\item[Ordre 2] Es calculen mitjançant la regla següent:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}%
a & b \\
c & d%
\end{array}%
\right\vert =a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}
\right\vert =a \cdot d-c \cdot b
\end{equation*}

\begin{example}
@@ -197,7 +189,72 @@ De la mateixa manera que per als determinants d'ordre 2, els termes del determin
\end{equation*}
\end{example}

\item[Ordre $\geq 4$] Per a calcular els determinants d'ordre superior a 3 ens fan falta alguns conceptes que veure més endavant (vegeu \autoref{seccio:adjunt-determinant}).
\item[Ordre $\geq 4$] Per a calcular els determinants d'ordre superior a 3 es fa \term{desenvolupant} el determinant per una filera o una columna. En general, es calcula un determinant d'ordre $n$ a partir de $n$ determinants d'ordre $n-1$.

\begin{algorithm}[desenvolupament d'un determinant]\hfill%

\begin{enumerate}
\item Es tria una filera o columna qualsevol (la tria és arbitrària)
\item El resultat del determinant és la suma dels elements d'aquesta filera pels seus adjunts.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

L'\term{adjunt}\index{adjunt} d'un element és el determinant que resulta de suprimir la filera i la columna a les quals pertany aquest element. El signe de l'adjunt ve determinat segons l'esquema següent:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cccc}
+ & - & + & ... \\
- & + & - & ... \\
+ & - & + & ... \\
. & . & . & .%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
és a dir, s'alternen els signes $+$ i $-$, començant pel signe $+$ que li correspon a l'element que es troba a la primera filera i primera columna. Això es pot escriure en termes més compactes $(-1)^{i+j}$, on $i$ denota la filera i $j$ la columna. Això vol dir que si la suma de la filera i la columna és parell, aleshores el signe de l'adjunt serà positiu, i si la suma és senar, aleshores l'adjunt tendrà signe negatiu.

\begin{example} Calcularem el valor del determinant seg\"{u}ent desenvolupant-lo per la quarta columna:
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-6 & 5 & 2 & -3 \\
2 & 5 & -1 & 1 \\
-3 & 1 & 3 & 0 \\
4 & -2 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert & =-3 \cdot \left( -\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 5 & -1 \\
-3 & 1 & 3 \\
4 & -2 & 0
\end{array}
\right\vert \right) +1 \cdot \left( \left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 5 & 2 \\
-3 & 1 & 3 \\
4 & -2 & 0
\end{array}
\right\vert \right) \\
& \quad + 0 \cdot \left( -\left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 5 & 2 \\
2 & 5 & -1 \\
4 & -2 & 0
\end{array}
\right\vert \right) +3 \cdot \left( \left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 5 & 2 \\
2 & 5 & -1 \\
-3 & 1 & 3
\end{array}
\right\vert \right) \\
& = -3 \cdot (-70) + 1 \cdot 28 + 0 + 3 \cdot (-77)\\
& = 7
\end{split}
\end{equation*}
\end{example}

Observem que, amb aquest mètode, és convenient triar aquella línea que contengui més zeros, ja que per a aquests no és necessari ni tan sols calcular el seu adjunt.

\end{description}

@@ -300,152 +357,6 @@ x+1 & 1 & 1 \\
\end{solution*}
\end{exercise}

\section{Càlcul de determinants d'ordre superior a 3}

\subsection{Adjunt d'un element d'un determinant}\label{seccio:adjunt-determinant}

\begin{definition}[menor complementari]\index{menor!complementari} Donat un determinant, el \term{menor complementari} d'un element qualsevol és el determinant que resulta de suprimir la filera i la columna a les quals pertany aquest element.
\end{definition}

\begin{example} Donat el determinant següent:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & -3 & 4 \\
3 & 5 & 0 & 0 \\
-4 & 2 & 3 & 1 \\
-6 & 1 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
El menor complementari de l'element que ocupa la filera $3$ i la columna $2$ (és a dir, el nombre $2$) és:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 4 \\
3 & 0 & 0 \\
-6 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert ,
\end{equation*}%
donat que hem llevat la tercera filera i la segona columna.
\end{example}

\begin{definition}[adjunt] S'anomena \term{adjunt}\index{adjunt} d'un element al menor complementari precedit del signe $+$ o $-$ segons l'esquema següent:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cccc}
+ & - & + & ... \\
- & + & - & ... \\
+ & - & + & ... \\
. & . & . & .%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

De forma compacte, el signe de l'element $a_{ij}$ és $(-1)^{i+j}$, on $i$, $j$ indiquen, respectivament, la filera i la columna d'aquest element dins el determinant. Això vol dir que si la suma $i+j$ és parell, aleshores el signe de l'adjunt serà positiu, i si $i+j$ és senar, aleshores l'adjunt tendrà signe negatiu.
\end{definition}

\begin{example}
A l'exemple anterior, l'adjunt del $2$ \'{e}s%
\begin{equation*}
-\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 4 \\
3 & 0 & 0 \\
-6 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert ,
\end{equation*}%
el valor del qual \'{e}s $-27$.
\end{example}

\begin{exercise}
Calculeu l'adjunt de l'element central i de l'element $a_{13}$ del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
6 & -1 & 0 \\
-2 & 0 & -3 \\
6 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Càcul dels determinants d'ordre 4 o superior}

Per al càlcul de determinants d'ordre 4 o majors s'utilitza el \term{desenvolupament}\index{desenvopulament d'un determinant} per una filera o una columna, que consisteix en calcular un determinant d'ordre $n$ a partir de $n$ determinants d'ordre $n-1$. Les passes a seguir són les següents:

\begin{algorithm}[desenvolupament d'un determinant]\hfill%

\begin{enumerate}
\item Es tria una filera o columna qualsevol (la tria és arbitrària)
\item El resultat del determinant és la suma dels adjunts dels elements d'aquesta filera pels seus adjunts
\end{enumerate}

És a dir, si tenim un determinant d'ordre $n$:
\begin{equation*}
\text{ }\left\vert
\begin{array}{rrrr}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert,
\end{equation*}%
aleshores el seu desenvolupament per la primer filera seria
\begin{equation*}
a_{11} \cdot \Delta_{11} + a_{12} \cdot \Delta_{12} + a_{13} \cdot \Delta_{13} + a_{14} \cdot \Delta_{14} + \ldots + a_{1n} \cdot\Delta_{1n},
\end{equation*}
on $\Delta_{ij}$ denota l'adjunt de l'element $a_{ij}$.

\end{algorithm}

\begin{example} Calcularem el valor del determinant seg\"{u}ent desenvolupant-lo per la quarta columna:
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\vert
\begin{array}{rrrr}
-6 & 5 & 2 & -3 \\
2 & 5 & -1 & 1 \\
-3 & 1 & 3 & 0 \\
4 & -2 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert & =-3 \cdot \left( -\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 5 & -1 \\
-3 & 1 & 3 \\
4 & -2 & 0
\end{array}
\right\vert \right) +1 \cdot \left( \left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 5 & 2 \\
-3 & 1 & 3 \\
4 & -2 & 0
\end{array}
\right\vert \right) \\
& \quad + 0 \cdot \left( -\left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 5 & 2 \\
2 & 5 & -1 \\
4 & -2 & 0
\end{array}
\right\vert \right) +3 \cdot \left( \left\vert
\begin{array}{rrr}
-6 & 5 & 2 \\
2 & 5 & -1 \\
-3 & 1 & 3
\end{array}
\right\vert \right) \\
& = -3 \cdot (-70) + 1 \cdot 28 + 0 + 3 \cdot (-77)\\
& = 7
\end{split}
\end{equation*}
\end{example}

Observem que, amb aquest mètode, és convenient triar aquella línea que contengui més zeros, ja que per a aquests no és necessari ni tan sols calcular el seu adjunt.

\begin{exercise} Calculeu el valor dels determinants seg\"{u}ents:

@@ -483,172 +394,6 @@ Observem que, amb aquest mètode, és convenient triar aquella línea que conten

\end{exercise}

\section{Propietats dels determinants}\label{seccio:propietats-dels-determinants}

\begin{definition}[línia d'un determinant]S'anomena \term{línia}\index{línia d'un determinant} d'un determinant a qualsevol filera o columna del determinant.
\end{definition}

Vegem a continuaci\'{o} les propietats dels determinants.

\begin{enumerate}
\item Si un determinant té tots els elements d'una línia qualsevol iguals a zero, el determinant val $0$.

Per exemple:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 3 & 0 \\
-1 & -2 & 0 \\
7 & 3 & 0%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}

\item\label{item:propietat-3} Un determinant que t\'{e} dues línees paral·leles iguals val $0$.

Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
5 & 5 & -3 \\
2 & 2 & 0 \\
4 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}

Això és especialment útil quan el determinant involucra lletres. Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
a & 1 & a \\
a & 2 & a \\
a & 3 & a%
\end{array}%
\right\vert =0,
\end{equation*}
fet que ens estalvia una considerable feina, que de ben segur faríem si calculèssim el valor d'aquest determinant emprant la regla de Sarrus.

\item\label{multiplicacio-determinant-escalar-propietat} Si es multipliquen tots els elements d'una línia d'un determinant per un mateix nombre, el valor del determinant queda
multiplicat per aquest nombre.

Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-16\quad\text{ \ i \ }\quad\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
6 & 4 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-32.
\end{equation*}%
En aquest darrer determinant hem multiplicat tots els elements de la segona filera per $2$.

Aquesta propietat es fa servir per treure factor com\'{u} d'un determinant; aquesta operaci\'{o} s'ha de fer l\'{\i}nia a l\'{\i}nia quan s'aplica m\'{e}s d'una vegada a un mateix determinant:

\begin{claim}[extracció de factor comú a un determinant]\label{nota:extraccio-factor-comu} Si una línia d'un determinant està multiplicada per un mateix nombre, es pot treure factor comú aquest nombre a fora del determinant. Per exemple:%
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 10 & -6 \\
6 & 4 & 0 \\
-2 & 8 & -4%
\end{array}%
\right\vert & = 2 \cdot \left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 10 & -6 \\
6 & 4 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert \\
& = 2 \cdot 2 \cdot \left\vert
\begin{array}{rrr}
2 & 10 & -6 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert \\
& = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert\\
& = 8 \cdot 56 \\
& = 448
\end{split}
\end{equation*}
Després de seguir aquesta regla, el determinant resultant té nombres més petits i, per tant, resulta més fàcil de calcular.
\end{claim}

\begin{example}Volem calcular el determinant $\left\vert
\begin{array}{rrr}
a & 1 & b \\
a & 3 & b \\
a & 2 & b%
\end{array}%
\right\vert$.

Podríem aplicar la regla de Sarrus, però el fet de què el determinant tingui lletres faria que fos molt farragós. Per això intentarem extreure factor comú:
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
a & 1 & b \\
a & 3 & b \\
a & 2 & b%
\end{array}%
\right\vert = a \cdot \left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & b \\
1 & 3 & b \\
1 & 2 & b%
\end{array}%
\right\vert
= a b \left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 1%
\end{array}%
\right\vert = 0,
\end{equation*}
ja que té dues columnes iguals.
\end{example}

\begin{exercise} Treieu tot el factor com\'{u} que es pugui del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
6 & -18 \\
-4 & 15%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}Només treient factor comú, calculeu el valor del determinant
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
x & 2x & 4x \\
x^2 & 2x^2 & 4x^2 \\
x^3 & 2x^3 & 4x^3%
\end{array}%
\right\vert.
\end{equation*}
\end{exercise}

\end{enumerate}


\section{Exercicis proposats}

\subsection{Càlcul de determinants}


BIN
apunts.pdf View File


+ 9
- 9
apunts.tex View File

@@ -204,15 +204,6 @@ bodyfont=\normalfont
\newpage
\tableofcontents

%% list of figures
\listoffigures

%% list of tables
\listoftables

%% list of theorems
\listoftheorems[ignoreall,show={theorem,corollary,lemma,proposition,algorithm,claim,condition,definition,notation}]

% Preface
\include{03-prefaci}

@@ -248,4 +239,13 @@ bodyfont=\normalfont
% Glossari
\printindex

%% list of figures
\listoffigures

%% list of tables
\listoftables

%% list of theorems
\listoftheorems[ignoreall,show={theorem,corollary,lemma,proposition,algorithm,claim,condition,definition,notation}]

\end{document}

Loading…
Cancel
Save