Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

05-geometria.tex 168 KiB

5 years ago
5 years ago
5 years ago
5 years ago
5 years ago
5 years ago
5 years ago
5 years ago
5 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910010110210310410510610710810911011111211311411511611711811912012112212312412512612712812913013113213313413513613713813914014114214314414514614714814915015115215315415515615715815916016116216316416516616716816917017117217317417517617717817918018118218318418518618718818919019119219319419519619719819920020120220320420520620720820921021121221321421521621721821922022122222322422522622722822923023123223323423523623723823924024124224324424524624724824925025125225325425525625725825926026126226326426526626726826927027127227327427527627727827928028128228328428528628728828929029129229329429529629729829930030130230330430530630730830931031131231331431531631731831932032132232332432532632732832933033133233333433533633733833934034134234334434534634734834935035135235335435535635735835936036136236336436536636736836937037137237337437537637737837938038138238338438538638738838939039139239339439539639739839940040140240340440540640740840941041141241341441541641741841942042142242342442542642742842943043143243343443543643743843944044144244344444544644744844945045145245345445545645745845946046146246346446546646746846947047147247347447547647747847948048148248348448548648748848949049149249349449549649749849950050150250350450550650750850951051151251351451551651751851952052152252352452552652752852953053153253353453553653753853954054154254354454554654754854955055155255355455555655755855956056156256356456556656756856957057157257357457557657757857958058158258358458558658758858959059159259359459559659759859960060160260360460560660760860961061161261361461561661761861962062162262362462562662762862963063163263363463563663763863964064164264364464564664764864965065165265365465565665765865966066166266366466566666766866967067167267367467567667767867968068168268368468568668768868969069169269369469569669769869970070170270370470570670770870971071171271371471571671771871972072172272372472572672772872973073173273373473573673773873974074174274374474574674774874975075175275375475575675775875976076176276376476576676776876977077177277377477577677777877978078178278378478578678778878979079179279379479579679779879980080180280380480580680780880981081181281381481581681781881982082182282382482582682782882983083183283383483583683783883984084184284384484584684784884985085185285385485585685785885986086186286386486586686786886987087187287387487587687787887988088188288388488588688788888989089189289389489589689789889990090190290390490590690790890991091191291391491591691791891992092192292392492592692792892993093193293393493593693793893994094194294394494594694794894995095195295395495595695795895996096196296396496596696796896997097197297397497597697797897998098198298398498598698798898999099199299399499599699799899910001001100210031004100510061007100810091010101110121013101410151016101710181019102010211022102310241025102610271028102910301031103210331034103510361037103810391040104110421043104410451046104710481049105010511052105310541055105610571058105910601061106210631064106510661067106810691070107110721073107410751076107710781079108010811082108310841085108610871088108910901091109210931094109510961097109810991100110111021103110411051106110711081109111011111112111311141115111611171118111911201121112211231124112511261127112811291130113111321133113411351136113711381139114011411142114311441145114611471148114911501151115211531154115511561157115811591160116111621163116411651166116711681169117011711172117311741175117611771178117911801181118211831184118511861187118811891190119111921193119411951196119711981199120012011202120312041205120612071208120912101211121212131214121512161217121812191220122112221223122412251226122712281229123012311232123312341235123612371238123912401241124212431244124512461247124812491250125112521253125412551256125712581259126012611262126312641265126612671268126912701271127212731274127512761277127812791280128112821283128412851286128712881289129012911292129312941295129612971298129913001301130213031304130513061307130813091310131113121313131413151316131713181319132013211322132313241325132613271328132913301331133213331334133513361337133813391340134113421343134413451346134713481349135013511352135313541355135613571358135913601361136213631364136513661367136813691370137113721373137413751376137713781379138013811382138313841385138613871388138913901391139213931394139513961397139813991400140114021403140414051406140714081409141014111412141314141415141614171418141914201421142214231424142514261427142814291430143114321433143414351436143714381439144014411442144314441445144614471448144914501451145214531454145514561457145814591460146114621463146414651466146714681469147014711472147314741475147614771478147914801481148214831484148514861487148814891490149114921493149414951496149714981499150015011502150315041505150615071508150915101511151215131514151515161517151815191520152115221523152415251526152715281529153015311532153315341535153615371538153915401541154215431544154515461547154815491550155115521553155415551556155715581559156015611562156315641565156615671568156915701571157215731574157515761577157815791580158115821583158415851586158715881589159015911592159315941595159615971598159916001601160216031604160516061607160816091610161116121613161416151616161716181619162016211622162316241625162616271628162916301631163216331634163516361637163816391640164116421643164416451646164716481649165016511652165316541655165616571658165916601661166216631664166516661667166816691670167116721673167416751676167716781679168016811682168316841685168616871688168916901691169216931694169516961697169816991700170117021703170417051706170717081709171017111712171317141715171617171718171917201721172217231724172517261727172817291730173117321733173417351736173717381739174017411742174317441745174617471748174917501751175217531754175517561757175817591760176117621763176417651766176717681769177017711772177317741775177617771778177917801781178217831784178517861787178817891790179117921793179417951796179717981799180018011802180318041805180618071808180918101811181218131814181518161817181818191820182118221823182418251826182718281829183018311832183318341835183618371838183918401841184218431844184518461847184818491850185118521853185418551856185718581859186018611862186318641865186618671868186918701871187218731874187518761877187818791880188118821883188418851886188718881889189018911892189318941895189618971898189919001901190219031904190519061907190819091910191119121913191419151916191719181919192019211922192319241925192619271928192919301931193219331934193519361937193819391940194119421943194419451946194719481949195019511952195319541955195619571958195919601961196219631964196519661967196819691970197119721973197419751976197719781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015201620172018201920202021202220232024202520262027202820292030203120322033203420352036203720382039204020412042204320442045204620472048204920502051205220532054205520562057205820592060206120622063206420652066206720682069207020712072207320742075207620772078207920802081208220832084208520862087208820892090209120922093209420952096209720982099210021012102210321042105210621072108210921102111211221132114211521162117211821192120212121222123212421252126212721282129213021312132213321342135213621372138213921402141214221432144214521462147214821492150215121522153215421552156215721582159216021612162216321642165216621672168216921702171217221732174217521762177217821792180218121822183218421852186218721882189219021912192219321942195219621972198219922002201220222032204220522062207220822092210221122122213221422152216221722182219222022212222222322242225222622272228222922302231223222332234223522362237223822392240224122422243224422452246224722482249225022512252225322542255225622572258225922602261226222632264226522662267226822692270227122722273227422752276227722782279228022812282228322842285228622872288228922902291229222932294229522962297229822992300230123022303230423052306230723082309231023112312231323142315231623172318231923202321232223232324232523262327232823292330233123322333233423352336233723382339234023412342234323442345234623472348234923502351235223532354235523562357235823592360236123622363236423652366236723682369237023712372237323742375237623772378237923802381238223832384238523862387238823892390239123922393239423952396239723982399240024012402240324042405240624072408240924102411241224132414241524162417241824192420242124222423242424252426242724282429243024312432243324342435243624372438243924402441244224432444244524462447244824492450245124522453245424552456245724582459246024612462246324642465246624672468246924702471247224732474247524762477247824792480248124822483248424852486248724882489249024912492249324942495249624972498249925002501250225032504250525062507250825092510251125122513251425152516251725182519252025212522252325242525252625272528252925302531253225332534253525362537253825392540254125422543254425452546254725482549255025512552255325542555255625572558255925602561256225632564256525662567256825692570257125722573257425752576257725782579258025812582258325842585258625872588258925902591259225932594259525962597259825992600260126022603260426052606260726082609261026112612261326142615261626172618261926202621262226232624262526262627262826292630263126322633263426352636263726382639264026412642264326442645264626472648264926502651265226532654265526562657265826592660266126622663266426652666266726682669267026712672267326742675267626772678267926802681268226832684268526862687268826892690269126922693269426952696269726982699270027012702270327042705270627072708270927102711271227132714271527162717271827192720272127222723272427252726272727282729273027312732273327342735273627372738273927402741274227432744274527462747274827492750275127522753275427552756275727582759276027612762276327642765276627672768276927702771277227732774277527762777277827792780278127822783278427852786278727882789279027912792279327942795279627972798279928002801280228032804280528062807280828092810281128122813281428152816281728182819282028212822282328242825282628272828282928302831283228332834283528362837283828392840284128422843284428452846284728482849285028512852285328542855285628572858285928602861286228632864286528662867286828692870287128722873287428752876287728782879288028812882288328842885288628872888288928902891289228932894289528962897289828992900290129022903290429052906290729082909291029112912291329142915291629172918291929202921292229232924292529262927292829292930293129322933293429352936293729382939294029412942294329442945294629472948294929502951295229532954295529562957295829592960296129622963296429652966296729682969297029712972297329742975297629772978297929802981298229832984298529862987298829892990299129922993299429952996299729982999300030013002300330043005300630073008300930103011301230133014301530163017301830193020302130223023302430253026302730283029303030313032303330343035303630373038303930403041304230433044304530463047304830493050305130523053305430553056305730583059306030613062306330643065306630673068306930703071307230733074307530763077307830793080308130823083308430853086308730883089309030913092309330943095309630973098309931003101310231033104310531063107310831093110311131123113311431153116311731183119312031213122312331243125312631273128312931303131313231333134313531363137313831393140314131423143314431453146314731483149315031513152315331543155315631573158315931603161316231633164316531663167316831693170317131723173317431753176317731783179318031813182318331843185318631873188318931903191319231933194319531963197319831993200320132023203320432053206320732083209321032113212321332143215321632173218321932203221322232233224322532263227322832293230323132323233323432353236323732383239324032413242324332443245324632473248324932503251325232533254325532563257325832593260326132623263326432653266326732683269327032713272327332743275327632773278327932803281328232833284328532863287328832893290329132923293329432953296329732983299330033013302330333043305330633073308330933103311331233133314331533163317331833193320332133223323332433253326332733283329333033313332333333343335333633373338333933403341334233433344334533463347334833493350335133523353335433553356335733583359336033613362336333643365336633673368336933703371337233733374337533763377337833793380338133823383338433853386338733883389339033913392339333943395339633973398339934003401340234033404340534063407340834093410341134123413341434153416341734183419342034213422342334243425342634273428342934303431343234333434343534363437343834393440344134423443344434453446344734483449345034513452345334543455345634573458345934603461346234633464346534663467346834693470347134723473347434753476347734783479348034813482348334843485348634873488348934903491349234933494349534963497349834993500350135023503350435053506350735083509351035113512351335143515351635173518351935203521352235233524352535263527352835293530353135323533353435353536353735383539354035413542354335443545354635473548354935503551355235533554355535563557355835593560356135623563356435653566356735683569357035713572357335743575357635773578357935803581358235833584358535863587358835893590359135923593359435953596359735983599360036013602360336043605360636073608360936103611361236133614361536163617361836193620362136223623362436253626362736283629363036313632363336343635363636373638363936403641364236433644364536463647364836493650365136523653365436553656365736583659366036613662366336643665366636673668366936703671367236733674367536763677367836793680368136823683368436853686368736883689369036913692369336943695369636973698369937003701370237033704370537063707370837093710371137123713371437153716371737183719372037213722372337243725372637273728372937303731373237333734373537363737373837393740374137423743374437453746374737483749375037513752375337543755375637573758375937603761376237633764376537663767376837693770377137723773377437753776377737783779378037813782378337843785378637873788378937903791379237933794379537963797379837993800380138023803380438053806380738083809381038113812381338143815381638173818381938203821382238233824382538263827382838293830383138323833383438353836383738383839384038413842384338443845384638473848384938503851385238533854385538563857385838593860386138623863386438653866386738683869387038713872387338743875387638773878387938803881388238833884388538863887388838893890389138923893389438953896389738983899390039013902390339043905390639073908390939103911391239133914391539163917391839193920
  1. \part{Geometria}
  2. % Definició de colors (per gràfics)
  3. \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
  4. \definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.752941176471,0.752941176471,0.752941176471}
  5. \definecolor{qqttcc}{rgb}{0.,0.2,0.8}
  6. % Començ text
  7. En aquest apartat es tractarà la Geometria en dues parts:
  8. \begin{itemize}
  9. \item Geometria del pla, que estudia aquells elements geomètrics que es
  10. poden representar soble un pla bidimensional.
  11. \item Geometria de l'espai, per a elements de tres dimensions.
  12. \end{itemize}
  13. Tècnicament, s'estudiarà la geometria cartesiana afí i mètrica.
  14. \chapter{Geometria del pla}\label{seccio:geometria-al-pla}
  15. En aquest tema s'estudiaran els vectors i les rectes definits sobre un espai
  16. de dues dimensions.
  17. \section{Punts}
  18. Aquest apartat tracta de l'estudi dels vectors i de les seves operacions a
  19. l'espai de dues dimensions. Aquest espai queda representat per uns \term{eixos de coordenades}\index{eixos de coordenades}, que són dues rectes reglades entre les quals hi ha un angle recte (\autoref{fig:pla-cartesia}):
  20. \begin{itemize}
  21. \item L'eix horitzontal s'anomena \term{eix de les abscises}\index{eix!de les abscises} (o simplement \term{eix de les $X$}) i s'anomena amb la lletra $X$
  22. \item L'eix vertical s'anomena \term{eix de les ordenades}\index{eix!de les ordenades} (o simplement \term{eix de les $Y$}) i s'anomena amb la lletra $Y$
  23. \end{itemize}
  24. En conjunt, els eixos formen el que s'anomena \term{Pla cartesià}\index{pla cartesià}\index{sistema de coordenades}.
  25. Cada punt del pla queda determinat per les seves projeccions sobre cadascun dels eixos, el que s'anomenen \term{coordenades}\index{coordenades} (\autoref{fig:coordenades-punts}).
  26. \begin{figure}[h!]
  27. \centering
  28. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
  29. \draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
  30. \draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
  31. \foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  32. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
  33. \draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
  34. \foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
  35. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
  36. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
  37. \clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
  38. \end{tikzpicture}.
  39. \caption{Pla cartesià}
  40. \label{fig:pla-cartesia}
  41. \end{figure}
  42. \begin{figure}[h!]
  43. \centering
  44. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
  45. \draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
  46. \draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
  47. \foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  48. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
  49. \draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
  50. \foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
  51. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
  52. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
  53. \clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
  54. \draw [fill=qqqqff] (2,3) circle (1.5pt);
  55. \draw[color=qqqqff] (2,3) node[anchor=south] {$(2,3)$};
  56. \draw [fill=qqqqff] (-3,1) circle (1.5pt);
  57. \draw[color=qqqqff] (-3,1) node[anchor=south] {$(-3,1)$};
  58. \draw [fill=qqqqff] (-1.5,-2.5) circle (1.5pt);
  59. \draw[color=qqqqff] (-1.5,-2.5) node[anchor=east] {$(-1.5,2.5)$};
  60. \draw [fill=qqqqff] (0,0) circle (1.5pt);
  61. \draw[color=qqqqff] (0,0) node[anchor=south west] {$(0,0)$};
  62. \draw [fill=qqqqff] (5,0) circle (1.5pt);
  63. \draw[color=qqqqff] (5,0) node[anchor=south] {$(5,0)$};
  64. \end{tikzpicture}.
  65. \caption{Diversos punts al pla cartesià}
  66. \label{fig:coordenades-punts}
  67. \end{figure}
  68. L'\term{origen de coordenades}\index{origen!de coordenades} és el punt de coordenades $(0,0)$.
  69. A partir d'aquest moment identificarem un punt amb les seves coordenades.
  70. \begin{notation}[notació dels punts] Els punts es poden escriure de dues maneres diferents: $A = (0,1)$ o bé $A(0,1)$.
  71. \end{notation}
  72. \subsection{Punt mitjà}
  73. Donats dos punts del pla, $P(x_{1},y_{1})$ i $Q(x_{2},y_{2})$, que
  74. determinen un segment, podem preguntar-nos quines s\'{o}n les cooordenades
  75. del punt mitj\`{a} d'aquest segment. Aquest punt queda determinant per la seg%
  76. \"{u}ent expressi\'{o}:
  77. \begin{equation*}
  78. P_{M}=\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)
  79. \end{equation*}
  80. \begin{example}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( 0,-5\right)$ i $Q\left( -3,1\right)$.%
  81. \begin{equation*}
  82. P_{M}=\left( \frac{0+(-3)}{2},\frac{-5+1}{2}\right) =\left( \frac{-3}{2}%
  83. ,-2\right)
  84. \end{equation*}
  85. \end{example}
  86. \begin{exercise}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( -3,7\right)$ i $Q\left( -5,3\right)$.
  87. \end{exercise}
  88. \begin{exercise}Donat el punt $P\left( 0,-5\right)$, calculeu les coordenades del punt simètric de $P$ respecte del punt $M\left( -1,12\right)$.
  89. \end{exercise}
  90. Hem de notar que, encara que pareixi que sí, aquest resultat no es pot estendre quan es vol trobar un punt que estigui a distància $1/3$ d'$A$ en el segment $\overline{AB}$ (en general, a distància $d \neq 1/2$). En aquest cas, s'haurà de procedir a raonar amb vectors (\autoref{seccio:vectors-2d}), per exemple trobant el vector $1/3 \cdot \overrightarrow{AB}$ i situant-lo amb origen $A$. El seu extrem final seria el punt desitjat.
  91. \section{Vectors}\label{seccio:vectors-2d}
  92. \begin{definition}[vector fix]Un \term{vector fix}\index{vector!fix} és una segment orientat a l'espai (és a dir una fletxa), que té un \term{origen}\index{origen!d'un vector} (el punt on comença) i un \term{final}\index{final d'un vector} (punt on acaba). Els dos punts s'anomenen \term{extrems del vector}\index{extrems d'un vector}.
  93. \end{definition}
  94. Per tant, un vector té:
  95. \begin{itemize}
  96. \item Una direcció: la recta sobre la qual està el vector
  97. \item Un sentit: cap a on apunta la fletxa. Si $A$ i $B$ són els extrems d'un vector, aleshores aquest vector pot tenir dos sentits: de $A$ cap a $B$ (punt origen és $A$ i el punt destí és $B$) o de $B$ cap a $A$ (punt origen és $B$ i el punt destí és $A$)
  98. \item La seva longitud. Formalment s'anomena \term{mòdul} del vector\index{mòdul!d'un vector}
  99. \end{itemize}
  100. \begin{notation}[notació de vectors]Els vectors es denoten amb una fletxa a damunt del seu nom. D'aquesta manera escriurem $\overrightarrow{AB}$ per denotar el vector que té origen $A$ i final a $B$. Si volem obviar els extrems, podem escriure $\overrightarrow{u}$, per exemple.
  101. \end{notation}
  102. \begin{example}Siguin els vectors següents (\autoref{fig:diversos-vectors}):
  103. \begin{itemize}
  104. \item Els extems dels vectors són:
  105. \begin{itemize}
  106. \item El vector $\overrightarrow{a}$ té origen $(-1,1)$ i fi $(-3,-1)$
  107. \item El vector $\overrightarrow{b}$ té origen $(-1,-1)$ i fi $(0,0)$
  108. \item El vector $\overrightarrow{c}$ té origen $(-4,3)$ i fi $(-1,3)$
  109. \item El vector $\overrightarrow{d}$ té origen $(-4,2)$ i fi $(-4,-1)$
  110. \item El vector $\overrightarrow{u}$ té origen $(1,1)$ i fi $(3,3)$
  111. \item El vector $\overrightarrow{v}$ té origen $(4,1)$ i fi $(6,3)$
  112. \item El vector $\overrightarrow{w}$ té origen $(1,-1)$ i fi $(3,1)$
  113. \end{itemize}mòdul
  114. \item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ tenen la mateixa direcció
  115. \item Els vectors $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix sentit, però el vector $\overrightarrow{a}$ té sentit contrari
  116. \item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix mòdul. El mòdul de $\overrightarrow{b}$ és la meitat que el mòdul de $\overrightarrow{u}$. I $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{d}$ tenen el mateix mòdul (encara que no tenguin ni la mateixa direcció ni sentit)
  117. \end{itemize}
  118. \begin{figure}[h!]
  119. \centering
  120. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  121. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  122. \draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-5.1,-2.1) grid (6.1,4.1);
  123. \draw[->,color=black] (-5.5,0) -- (6.2,0);
  124. \foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  125. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
  126. \draw[->,color=black] (0,-2.1) -- (0,4.1);
  127. \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4}
  128. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
  129. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
  130. \draw [->] (1.,1.) -- (3.,3.);
  131. \draw [->] (4.,1.) -- (6.,3.);
  132. \draw [->] (1.,-1.) -- (3.,1.);
  133. \draw [->] (-1.,1.) -- (-3.,-1.);
  134. \draw [->] (-1.,-1.) -- (0.,0.);
  135. \draw [->] (-4.,3.) -- (-1.,3.);
  136. \draw [->] (-4.,2.) -- (-4.,-1.);
  137. \draw[color=black] (2.0038916669677724,2.188648367438086) node {$u$};
  138. \draw[color=black] (4.99308545055815,2.188648367438086) node {$v$};
  139. \draw[color=black] (2.0038916669677724,0.17924587958011154) node {$w$};
  140. \draw[color=black] (-1.9152735159618333,0.09621271892482333) node[anchor=south] {$a$};
  141. \draw[color=black] (-0.5037097848219328,-0.3189530843516177) node {$b$};
  142. \draw[color=black] (-2.4632923762867356,3.201652927432602) node {$c$};
  143. \draw[color=black] (-3.908069371688751,0.6442315792497255) node {$d$};
  144. \end{tikzpicture}
  145. \caption{Diversos vectors al pla}
  146. \label{fig:diversos-vectors}
  147. \end{figure}
  148. \end{example}
  149. \begin{definition}[vector lliure]Un \term{vector lliure}\index{vector!lliure} és un segment orientat al pla, però del qual tenim la llibertat de triar el seu origen. És a dir, vector que tenen la mateixa direcció, sentit i longitud són a partir d'ara iguals per a nosaltres, independentment d'on estiguin situats. Formalment aquests vectors s'anomenen \term{equipolents}\index{vector!equipolent}
  150. \end{definition}
  151. En general, si no se'ns diu el contrari, o no se'ns dóna l'origen d'un vector, es suposarà que aquest és lliure. A més sempre suposarem que l'origen del vector és l'origen de coordenades i, per tant, escriurem el vector com a $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(3,5)}$ i no $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(0,0)(3,5)}$, obviant el seu origen.
  152. A més, de la mateixa manera que pels punts, existeixen dues notacions estàndard: $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{(3,5)}$ o bé $\overrightarrow{A}\overrightarrow{(3,5)}$, que podrem usar indistintament.
  153. \begin{example}Els vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ són equipolents (\autoref{fig:diversos-vectors}). És més, tots aquests vectors es consideren el mateix vector que $\overrightarrow{(2,2)}$.
  154. \end{example}
  155. \begin{definition}[coordenades i components d'un vector]Donat un vector $\overrightarrow{v}$, les seves \term{coordenades}\index{coordenada d'un vector} són els nombres que formen el seu producte cartesià, és a dir, si $\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$, aleshores, $v_x$ i $v_y$ són les seves coordenades. $v_x$ es diu \term{coordenada de l'eix de les abscises} i $v_y$, \term{coordenada de l'eix de les ordenades}, o simplement coordenada de l'eix $X$ i coordenada de l'eix $Y$, respectivament.
  156. Les coordenades es poden interpretar com a les longituds, amb signe, de les projeccions d'un vector sobre els dos eixos de coordenades. Cadascuna de les dues components d'un vector pot ser positiva o negativa segons que la respectiva projecció apunti cap a la part positiva o negativa del
  157. corresponent eix de coordenades (figura~\autoref{fig:components-vector-2D}). En aquest sentit les coordenades s'anomenen \term{components}.
  158. \begin{figure}[h!]
  159. \centering
  160. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  161. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  162. \draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-1.1,-1.1) grid (8,10);
  163. \draw[->,color=black] (-1,0) -- (8,0);
  164. \draw[->,color=black] (0,-1) -- (0,10);
  165. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {$O$};
  166. \draw[color=black] (7.5,0) node[anchor=north] {$x$};
  167. \draw[color=black] (0,9.5) node[anchor=east] {$y$};
  168. \draw [->,color=qqttcc] (2,3) -- (6,8);
  169. \draw [->] (2,3) -- (6,3);
  170. \draw [->] (2,3) -- (2,8);
  171. \draw (3.4,6.04) node[anchor=north west] {$v$};
  172. \draw (3.76,3.04) node[anchor=north west] {$v_x$};
  173. \draw (1.32,5.92) node[anchor=north west] {$v_y$};
  174. \end{tikzpicture}
  175. \caption{Components d'un vector}
  176. \label{fig:components-vector-2D}
  177. \end{figure}
  178. \end{definition}
  179. \begin{example}Són vectors els següents:%
  180. \begin{equation*}
  181. \overrightarrow{B}(3,-2),\, \overrightarrow{C}(-5,1)
  182. \end{equation*}%
  183. El vector $\overrightarrow{B}$ apunta cap a la dreta i cap a baix, i el vector $\overrightarrow{C}$ apunta cap a l'esquerra i cap a dalt. Com que no se'ns diu quins s\'{o}n els seus origens, es considerar\`{a} que aquests vectors s\'{o}n lliures, i que, per tant, podem situar-los els on es desitgi.
  184. \end{example}
  185. \begin{exercise}Representeu gràficament els vectors $\overrightarrow{A}(-3,4)$, $\overrightarrow{B}(5,-1)$ i $\overrightarrow{C}(1,0)$.
  186. \end{exercise}
  187. \begin{claim}[vector d'extrems donats]Si un vector té origen en el punt $P(x_{1},y_{1})$ i final en el punt $Q(x_{2},y_{2})$, aleshores les components d'aquest vector es calculen amb l'expressió següent:%
  188. \begin{equation*}
  189. \overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}),
  190. \end{equation*}
  191. és a dir, restem les coordenades del punt final menys les coordenades del punt inicial.
  192. \end{claim}
  193. \begin{example}Calculeu les components del vector que comença en el punt $P\left(0,-6\right)$ i acaba en el punt $Q\left(-3,2\right)$:
  194. \begin{equation*}
  195. \overrightarrow{PQ}=\left( -3-0,2-\left( -6\right) \right) =\left(-3,8\right)
  196. \end{equation*}
  197. \end{example}
  198. \begin{exercise}Calculeu les components del vector d'origen $P\left( -2,1\right)$ i que acaba en el punt $Q\left( -3,-5\right)$.
  199. \end{exercise}
  200. \begin{exercise}Els punts $A(3,0)$, $B(-5,4)$ i $C(6,-4)$ s\'{o}n vèrtexos d'un paral\textperiodcentered lelogram. Representeu gràficament aquests punts i calculeu les cooordenades de vèrtex restant.
  201. \end{exercise}
  202. \begin{definition}[mòdul d'un vector]El \term{mòdul} d'un vector\index{mòdul!d'un vector} és la seva longitud. El mòdul del vector $\overrightarrow{A}(a,b)$, que es representa per $\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert$, es calcula amb la f\'{o}rmula:%
  203. \begin{equation*}
  204. \left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\left\vert (a,b)\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
  205. \end{equation*}
  206. \end{definition}
  207. \begin{example}El mòdul del vector $\overrightarrow{A}(3,-2)$ és:%
  208. \begin{equation*}
  209. \left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\sqrt{3^{2}+\left( -2\right) ^{2}}=\sqrt{13}.
  210. \end{equation*}
  211. \end{example}
  212. \begin{exercise}
  213. Calculeu el valor del mòdul del vector $\overrightarrow{A}(-5,1)$.
  214. \end{exercise}
  215. Acabem amb unes quantes definicions:
  216. \begin{definition}[vector unitari] Un vector és \term{unitari}\index{vector!unitari} quan té mòdul 1.
  217. \end{definition}
  218. \begin{definition}[ortogonalitat, ortonormalitat]Donats dos vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortogonal}\index{ortogonalitat}\index{vector!ortogonal} a $\overrightarrow{v}$ simplement quan $\overrightarrow{u}$ sigui perpendicular\index{vector!perpendicular} a $\overrightarrow{v}$, és a dir, quan ambdós formen un angle de 90 graus.
  219. Si a més, $\overrightarrow{u}$ és unitari, aleshores direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortonormal}\index{ortonormalitat}\index{vector!ortonormal} a $\overrightarrow{v}$.
  220. \end{definition}
  221. \subsection{Operacions amb vectors}
  222. Definim aqu\'{\i} les diferents operacions que es poden fer amb vectors.
  223. \subsubsection{Suma de dos vectors}
  224. \begin{definition}[suma de dos vectors]. Siguin $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })$ dos vectors. La seva \term{suma}\index{suma!de vectors} es defineix com:
  225. \begin{equation*}
  226. \overrightarrow{A}+\overrightarrow{A^{\prime }}=(a,b)+(a^{\prime },b^{\prime})=\left( a+a^{\prime },b+b^{\prime }\right)
  227. \end{equation*}
  228. \end{definition}
  229. \begin{example}
  230. Donats els vectors $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i $\overrightarrow{B}(-5,1)$, la seva suma \'{e}s:%
  231. \begin{equation*}
  232. \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(3,-2)+(-5,1)=\left( 3-5,-2+1\right)=\left( -2,-1\right)
  233. \end{equation*}
  234. \end{example}
  235. Noteu que, per a què es puguin sumar dos vectors aquests han de tenir el mateix origen o bé ser lliures. En aquest cas, la suma de dos vectors es pot calcular gràficament: en el dibuix següent es representa la suma gràfica de $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$ (\autoref{fig:regla-del-parallelogram}):
  236. \begin{figure}[h!]
  237. \centering
  238. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  239. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  240. \draw [->] (-3.,1.) -- (-2.,3.);
  241. \draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
  242. \draw (-3.08,2.48) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
  243. \draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{B}$};
  244. \end{tikzpicture}
  245. \definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.}
  246. \definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8}
  247. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  248. \draw [->] (-2.,1.) -- (-1.,3.);
  249. \draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
  250. \draw (-2.12,2.54) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
  251. \draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{B}$};
  252. \draw [->,color=qqqqcc] (-1.,3.) -- (2.,4.);
  253. \draw [->,color=qqqqcc] (1.,2.) -- (2.,4.);
  254. \draw [->,color=ccqqqq] (-2.,1.) -- (2.,4.);
  255. \draw (-0.92,3.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$};
  256. \end{tikzpicture}
  257. \caption{Regla del paral·lelogram}
  258. \label{fig:regla-del-parallelogram}
  259. \end{figure}
  260. Es pot procedir de manera anàloga per a qualssevol vectors. Aquesta manera gràfica d'aconseguir la suma es coneix com \term{regla del paral·lelogram}\index{regla!del paral·lelogram}.
  261. \begin{exercise}Calculeu gràficament i analítica la suma dels vectors $\overrightarrow{A}(-5,4)$ i $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
  262. \end{exercise}
  263. \subsubsection{Diferència de dos vectors}
  264. \begin{definition}[diferència de dos vectors] Donats dos vectors $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })$, la seva \term{diferència}\index{diferència!de dos vectors} es defineix com:
  265. \begin{equation*}
  266. \overrightarrow{A}-\overrightarrow{A^{\prime }}=(a,b)-(a^{\prime },b^{\prime})=\left( a-a^{\prime },b-b^{\prime }\right)
  267. \end{equation*}
  268. \end{definition}
  269. \begin{example}
  270. Donats els vectors $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i $\overrightarrow{B}(-5,1),$
  271. la seva difer\`{e}ncia \'{e}s:%
  272. \begin{equation*}
  273. \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(3,-2)-(-5,1)=\left( 3+5,-2-1\right)
  274. =\left( 8,-3\right)
  275. \end{equation*}
  276. \end{example}
  277. \begin{exercise}
  278. Calculeu $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$, amb $\overrightarrow{A}(-5,4) $ i $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
  279. \end{exercise}
  280. \subsubsection{Producte d'un escalar per un vector}
  281. \begin{definition}[producte d'un escalar per un vector] Donat un nombre $k \in \mathbb{R}$ i un vector $\overrightarrow{A}(a,b)$, \term{el producte de $k$ per $\overrightarrow{A}$}\index{producte!d'un escalar per vector}, $k \cdot \overrightarrow{A}$, es defineix com:
  282. \begin{equation*}
  283. k \cdot \overrightarrow{A} = k\cdot (a,b)=\left( ka, kb\right)
  284. \end{equation*}
  285. \end{definition}
  286. \begin{example}
  287. Donats el vector $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i el número $k=-5$, es té que el seu producte és:%
  288. \begin{equation*}
  289. k\text{$\cdot $}\overrightarrow{A}=-5\cdot (3,-2)=\left( -5\cdot 3,-5\cdot
  290. \left( -2\right) \right) =\left( -15,10\right)
  291. \end{equation*}
  292. \end{example}
  293. En el dibuix següent es veu un exemple gràfic del producte d'un nombre (en aquest cas el $3$) per un vector (\autoref{fig:producte-escalar-per-vector}):%
  294. \begin{figure}[h!]
  295. \centering
  296. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  297. \definecolor{ttzzqq}{rgb}{0.2,0.6,0.}
  298. \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
  299. \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
  300. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  301. \clip(-1.,-1.) rectangle (10.,4.);
  302. \draw [->] (0.,0.) -- (2.,1.);
  303. \draw [->] (3.,0.) -- (9.,3.);
  304. \draw (0.46,1.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
  305. \draw (4.94,2.2) node[anchor=north west] {$3\overrightarrow{A}$};
  306. \draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (3.,0.)-- (5.,1.);
  307. \draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (4.067082039324995,0.3658359213500132);
  308. \draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (3.932917960675006,0.6341640786499876);
  309. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (5.,1.)-- (7.,2.);
  310. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.174413302244984,1.4195015528100081);
  311. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.040249223594997,1.6878297101099824);
  312. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.959750776405003,1.312170289890018);
  313. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.825586697755016,1.5804984471899926);
  314. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.,2.)-- (9.,3.);
  315. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (8.067082039324994,2.365835921350013);
  316. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (7.932917960675007,2.634164078649988);
  317. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.852419513485014,2.2585046584300232);
  318. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.718255434835026,2.526832815729998);
  319. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.281744565164972,2.4731671842700025);
  320. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.147580486514986,2.741495341569977);
  321. \draw (1.66,0.68) node[anchor=north west] {$\times 3 =$};
  322. \end{tikzpicture}
  323. \caption{Exemple d'un producte d'un escalar per un vector}
  324. \label{fig:producte-escalar-per-vector}
  325. \end{figure}
  326. \begin{exercise}
  327. Calculeu gràficament i analítica el producte $-3\cdot \overrightarrow{B}$, amb $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
  328. \end{exercise}
  329. \begin{claim}Aquesta operació ens dóna sempre un vector paral·lel al vector inicial, és a dir, els vectors de components $(a,b)$ i $\left(ka,kb\right)$ són paral·lels, ja que si dividim les components respectives d'aquests dos vectors s'obté sempre el mateix nombre:%
  330. \begin{equation*}
  331. \frac{ka}{a}=\frac{kb}{b}=k.
  332. \end{equation*}
  333. \end{claim}
  334. \begin{proposition}[Condició de parel·lelisme entre dos vectors]\label{resultat:proposicio-parallelisme-vectors}En relació a això, podem establir el resultat següent:%
  335. \begin{equation*}
  336. \overrightarrow{A}(a,b)\text{ és paral·lel a } \overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })\iff \frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}
  337. \end{equation*}
  338. \end{proposition}
  339. Expressat en paraules, això ens diu que si dos vectors són paral·lels, aleshores el quocient entre les seves respectives components dóna el mateix resultat, i viceversa, és a dir, que si el quocient entre les respectives components de dos vectors dóna el mateix resultat, aleshores aquests dos vectors són paral·lels.
  340. \begin{example}Determineu, a cadascun dels apartats següents, si els vectors són paral·lels entre si:
  341. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  342. \item $\overrightarrow{A}\left( 2,-3\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 4,-6\right)$:%
  343. \begin{equation*}
  344. \frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}
  345. \end{equation*}%
  346. Per tant, aquests dos vectors són paral·lels entre si.
  347. \item $\overrightarrow{C}\left( 2,-1\right)$ i $\overrightarrow{D}\left( 4,-3\right)$:%
  348. \begin{equation*}
  349. \frac{2}{4}\neq \frac{-1}{-3}
  350. \end{equation*}%
  351. Així, aquests dos vectors no són paral·lels entre si.
  352. \end{enumerate}
  353. \end{example}
  354. \begin{exercise}
  355. Determineu si els vectors següents són paral·lels entre si:
  356. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  357. \item $\overrightarrow{A}\left( 1,-3\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 5,-6\right)$
  358. \item $\overrightarrow{C}\left( 3,-1\right)$ i $\overrightarrow{D}\left( -6,2\right)$
  359. \item $\overrightarrow{E}\left( 3,0\right)$ i $\overrightarrow{F}\left( 5,0\right)$
  360. \end{enumerate}
  361. \end{exercise}
  362. \paragraph{Producte escalar de dos vectors}
  363. \begin{definition}[producte escalar de dos vectors]El \term{producte escalar de dos vectors}\index{producte!escalar}, $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{B}(c,d)$, que es denota per $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$, en una base ortonormal, es defineix de la manera següent:%
  364. \begin{equation}\label{eq:producte-escalar}
  365. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=(a,b)\cdot(c,d)=a\cdot c+b\cdot d
  366. \end{equation}
  367. \end{definition}
  368. Com es veu, el producte escalar de dos vectors és un nombre.
  369. \begin{example}El producte escalar dels vectors $\overrightarrow{A}(2,0)$ i $\overrightarrow{B}(-3,1)$ és igual a:%
  370. \begin{equation*}
  371. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=(2,0)\cdot(-3,1)=2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1=-6
  372. \end{equation*}
  373. \end{example}
  374. \begin{exercise}Calculeu $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$, amb $\overrightarrow{A}(-3,4)$ i $\overrightarrow{B}(-2,-8)$.
  375. \end{exercise}
  376. \paragraph{Angle entre dos vectors}
  377. \begin{proposition}[Relació entre producte escalar i angle entre dos vectors]\label{resultat:angle-producte-esclar}Es pot provar que es cumpleix que la relació:%
  378. \begin{equation}\label{eq:angle-producte-escalar}
  379. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert \cdot \left\vert \overrightarrow{B} \right\vert \cdot \cos \alpha,
  380. \end{equation}%
  381. on $\alpha$ és l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$.
  382. Això permet calcular l'angle $\alpha$ entre dos vectors, o qualsevol altre variables desconeguda d'aquesta fórmula \eqref{eq:angle-producte-escalar} si es coneixen les altres. Recordeu que el producte escalar es pot calcular amb seva fórmula \eqref{eq:producte-escalar}. Per tant, l'equació anterior és equivalent a:
  383. \begin{equation}
  384. ac+bd=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\text{$\cdot $}\sqrt{c^2+d^2}\cdot\cos \alpha
  385. \end{equation}
  386. \end{proposition}
  387. \begin{claim}Recordeu que el cosinus d'un angle es defineix com la projecció del radi definit per l'angle sobre el diàmetre horitzontal de la circumferència de radi unitat.
  388. Els valors del cosinus dels angles més usuals es mostren a continuació (taula~\autoref{tab:taula-valors-cosinus}):
  389. \begin{table}[ht!]
  390. \centering
  391. \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c|c|}
  392. \cline{2-8}
  393. & $0$ \unit{rad} & $\pi/6$ \unit{rad} & $\pi/4$ \unit{rad} & $\pi/3$ \unit{rad} & $\pi/2$ \unit{rad} & $\pi$ \unit{rad} & $3\pi/2$ \unit{rad} \\
  394. \cline{2-8}
  395. & $0\degree$ & $30\degree$ & $45\degree$ & $60\degree$ & $90\degree$ & $180\degree$ & $270\degree$\\
  396. \hline
  397. \multicolumn{1}{|r|}{$\cos \alpha$} & $1$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ & $-1$ & $0$\\
  398. \hline
  399. \end{tabular}%
  400. \caption{Valors dels cosinus pels angles més usuals}
  401. \label{tab:taula-valors-cosinus}
  402. \end{table}
  403. \end{claim}
  404. \begin{example}Què val l'angle format pels vectors $\overrightarrow{A}(2,0)$ i $\overrightarrow{B}(-3,1)$?
  405. Si aplicam la darrera f\'{o}rmula i denotam l'angle per $\alpha $, es té que%
  406. \begin{align*}
  407. 2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1 &= \sqrt{2^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{\left( -3\right) ^{2}+1^{2}}\cdot \cos \alpha
  408. \\
  409. -6 &=2 \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\
  410. \cos \alpha &= \frac{-6}{2\sqrt{10}}=\frac{-3}{\sqrt{10}} \\
  411. \alpha &= \arccos \frac{-3}{\sqrt{10}}\simeq 161,565\degree%
  412. \end{align*}
  413. \end{example}
  414. \begin{exercise}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{A}(-2,-5)$ i $\overrightarrow{B}(-3,2)$.
  415. \end{exercise}
  416. \bigskip
  417. Vegem a continuació les propietats del producte escalar.
  418. \begin{theorem}[Propietats del producte escalar]\label{resultat:propietats-del-producte-esclar} Donats vectors $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{C}$ i un nombre $k$ qualssevol, el producte escalar té les propietats següents:
  419. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  420. \item $\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\sqrt{\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{A}}$. És a dir, el mòdul d'un vector
  421. es pot calcular amb l'arrel quadrada del producte escalar per si mateix.
  422. \item $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{A}$ (propietat conmutativa)
  423. \item $\left( k\overrightarrow{A}\right) \cdot \overrightarrow{B}=k\left( \overrightarrow{A}\text{$\cdot $}\overrightarrow{B}\right)$ (propietat associativa)
  424. \item $\overrightarrow{A}\cdot \left( \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}\right) =\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C}$ (propietat distributiva)
  425. \item \term{Condició de perpendicularitat entre dos vectors}: si el producte escalar de dos vectors és $0$, aleshores aquests dos vectors són perpendiculars entre si, i viceversa, és a dir, que si dos vectors són perpendiculars entre si, aleshores el seu producte escalar és $0$. Matemàticament,%
  426. \begin{equation*}
  427. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=0\iff \overrightarrow{A} \bot \overrightarrow{B}
  428. \end{equation*}
  429. \end{enumerate}
  430. \end{theorem}
  431. \begin{example}Per exemple, els vectors $\overrightarrow{A}\left( 30,-9\right) $ i $\overrightarrow{B}\left( 3,10\right) $ són perpendiculars, ja que $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=30\cdot 3+\left( -9\right) \cdot 10=0$.
  432. \end{example}
  433. \begin{exercise}En cada cas, calculeu $x$ per a què els vectors $\overrightarrow{A}\left( 8,-15\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 2,x\right)$ siguin:
  434. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  435. \item paral·lels,
  436. \item perpendiculars,
  437. \item formin un angle de $60\degree$.
  438. \end{enumerate}
  439. \end{exercise}
  440. \begin{exercise}Donat el vector $\overrightarrow{A}\left( 5,12\right)$, trobeu:
  441. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  442. \item un vector paral·lel,
  443. \item un vector perpendicular.
  444. \end{enumerate}
  445. \end{exercise}
  446. \section{La recta en el pla}
  447. En aquest apartat farem un estudi de la recta en un espai de dues dimensions.
  448. Una recta, en particular, és una col·lecció de punts. Per tant, un objectiu principal serà trobar les coordenades de tots els seus punts. La manera més senzilla de trobar-la és usar vectors.
  449. Donada una recta $r$, sempre podem obtenir un punt qualsevol $P$ i un vector $v$ sobre aquesta --- per exemple, si sabéssim dos punts $A$ i $B$ sobre la recta, aleshores tendríem un punt, $A$ o $B$, i un vector amb aquestes condicions, $A-B$ o qualsevol múltiple seu. Per tant, qer a qualsevol punt $X$ sobre la recta, aquest forma el vector $\overrightarrow{OX}$, que té com a origen l'origen de coordenades i com a destí $X$. Aquest vector es pot posar com a suma del vector $OP$ i un múltiple del vector $v$ (figura \autoref{fig:equacio-vectorial-recta-2d}), és a dir, existeix un nombre $\lambda$ tal que:
  450. \begin{equation}\label{eq:equacio-vectorial-recta-2d}
  451. \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}.
  452. \end{equation}
  453. \begin{figure}[h!]
  454. \centering
  455. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  456. \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
  457. \definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
  458. \definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
  459. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  460. \draw[->,color=black] (-3.,0.) -- (5.5,0.);
  461. \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
  462. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
  463. \draw[->,color=black] (0.,-1.) -- (0.,5.);
  464. \foreach \y in {-1,1,2,3,4}
  465. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
  466. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
  467. \clip(-3.,-1.) rectangle (5.5,5.);
  468. \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt,domain=-3.:5.5] plot(\x,{(--6.--2.*\x)/4.});
  469. \draw [->] (0.,0.) -- (1.704,2.352);
  470. \draw [->] (0.,0.) -- (4.128,3.564);
  471. \draw [->,color=ffqqqq] (-1.,1.) -- (0.632,1.816);
  472. \draw (-1.9,1.44) node[anchor=north west] {$r$};
  473. \draw (0,0) node[anchor=north east] {$O$};
  474. \begin{scriptsize}
  475. \draw [fill=xdxdff] (1.704,2.352) circle (1.5pt);
  476. \draw[color=xdxdff] (1.84,2.64) node {P};
  477. \draw [fill=xdxdff] (4.128,3.564) circle (1.5pt);
  478. \draw[color=xdxdff] (4.26,3.84) node {X};
  479. \draw [fill=uuuuuu] (0.,0.) circle (1.5pt);
  480. \draw[color=ffqqqq] (-0.16,1.64) node {v};
  481. \end{scriptsize}
  482. \end{tikzpicture}
  483. \caption{Visualització de l'equació vectorial d'una recta}
  484. \label{fig:equacio-vectorial-recta-2d}
  485. \end{figure}
  486. Aquest equació \eqref{eq:equacio-vectorial-recta-2d} s'anomena \term{equació vectorial de la recta}\index{equació!vectorial!d'una recta} i al vector $v$ se li diu \term{vector director} de $r$\index{vector!director}.
  487. \begin{claim}Noteu que realment no fa falta que el vector director $v$ estigui sobre la recta. Basta qualsevol que tengui la mateixa direcció, ja que suposem que feim feina amb vectors lliures. En aquest sentit parlarem de {\em el} vector director de la recta $r$ i no d'{\em un} vector director, per a qualsevol d'aquests vectors, ja que els haurem identificat.
  488. \end{claim}
  489. \begin{example}Trobeu l'equació vectorial de la recta que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(4,5)$.
  490. Hem de prendre un punt de la recta i un vector director. Ja tenim el punt: podem prendre $A$ o $B$. Agafarem $A(2,3)$.
  491. Per trobar el vector director, calcularem $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{(4-2,5-3)} = \overrightarrow{(2,2)}$.
  492. Per tant, l'equació vectorial de la recta en qüestió és:
  493. \begin{equation*}
  494. \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{(2,2)}
  495. \end{equation*}
  496. Si denotam $X=(x,y)$ les coordenades del punt $X$, tenim que aquesta equació es transforma en:
  497. \begin{equation*}
  498. \overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(2,3)} + \lambda \overrightarrow{(2,2)}.
  499. \end{equation*}
  500. \end{example}
  501. \begin{claim}
  502. A part d'aquesta equació, n'hi ha d'altres però totes provénen d'aquesta. L'ús d'una o de l'altra dependrà de l'exercici concret que volguem resoldre i de la nostra comoditat.
  503. \end{claim}
  504. \subsection{Equació paramètrica de la recta}
  505. Sigui $r$ una recta donada pel punt $P(x_{1},y_{1})$ i el vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x,v_y)$, aleshores l'equació vectorial de la recta $r$ ve donada per
  506. \begin{equation*}
  507. \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v},
  508. \end{equation*}
  509. on $X(x,y)$ és un punt qualsevol de la recta. Si desenvolupem aquesta equació obtenim que
  510. \begin{equation*}
  511. \overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(x_1,y_1)} + \lambda \cdot \overrightarrow{(v_x, v_y)},
  512. \end{equation*}
  513. és a dir,
  514. \begin{equation*}
  515. \overrightarrow{(x,y)} = \overrightarrow{(x_1 + \lambda \cdot v_x, y_1 + \lambda v_y)}.
  516. \end{equation*}
  517. Dos vectors són iguals si, i només si, les seves components són iguals. Per tant, $(x,y) = (x_1 + \lambda \cdot v_x, y_1 + \lambda v_y)$, és a dir, s'han de complir simultàniament les equacions següents:
  518. \begin{equation*}
  519. \left\{\begin{aligned}
  520. x & = x_1 + \lambda \cdot v_x,\\
  521. y & = y_1 + \lambda \cdot v_y.
  522. \end{aligned}
  523. \right.
  524. \end{equation*}
  525. Hem obtingut l'\term{equació paramètrica}\index{equació!paramètrica!d'una recta}. L'equació paramètrica d'una recta dóna les coordenades de tots els punts d'una recta depenent d'un paràmetre $\lambda$ (d'aquí el seu nom). Per a cada valor de $\lambda$ obtenim un punt de la recta.
  526. Recapitulant, si $r$ és una recta que passa pel punt $P(x_1, y_1)$ i té com a vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x,v_y)$, aleshores l'equació paramètrica de $r$ ve donada per:
  527. \begin{equation}\label{eq:equacio-parametrica-recta-2d}
  528. r:\left\{\begin{aligned}
  529. x & =x_{1}+\lambda v_{x} \\
  530. y & =y_{1}+\lambda v_{y}%
  531. \end{aligned}%
  532. \right.,
  533. \end{equation}%
  534. amb $\lambda \in \mathbb{R}$.
  535. \begin{example}\label{exemple:equacio-parametria-recta-2d}Si una recta passa pel punt $\left( 0,-1\right)$ i el seu vector director és $\overrightarrow{v}\left(-3,2\right)$, aleshores la seva equació paramètrica és la següent:%
  536. \begin{equation*}
  537. \left. \begin{aligned}
  538. x & =0+\lambda \left( -3\right) \\
  539. y & =-1+\lambda \cdot 2
  540. \end{aligned}%
  541. \right\} ; \left.
  542. \begin{aligned}
  543. x & =-3\lambda \\
  544. y & =-1+2\lambda%
  545. \end{aligned}%
  546. \right\}
  547. \end{equation*}
  548. \end{example}
  549. Per trobar més punts d'aquesta recta basta substituir $\lambda $ per un nombre qualsevol a les expressions anteriors.
  550. \begin{example}Si a la recta anterior feim $\lambda =2$, tenim que%
  551. \begin{equation*}
  552. \left. \begin{aligned}
  553. x & =-6 \\
  554. y & =-1+4=3%
  555. \end{aligned}
  556. \right\},
  557. \end{equation*}%
  558. i, per tant, que $\left( -6,3\right)$ és un altre punt de la recta.
  559. \end{example}
  560. \begin{exercise}Calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per $A(-3,0)$ i segueix la direcció $\overrightarrow{v}\left( 5,-1\right)$. Trobeu tres punts més d'aquesta recta.
  561. \end{exercise}
  562. \begin{claim}Per saber si un punt pertany a una recta donada, només hem de veure si aquest punt verifica les equacions de la recta. Per exemple, si volem saber si $P=(5,3)$ pertany o no a la recta de l'\autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, només hem de substituir a les equacions:
  563. \begin{equation*}
  564. \left\{ \begin{aligned}
  565. 5 & = -3 \lambda\\
  566. 3 & = -1 + 2 \lambda
  567. \end{aligned}\right. ,
  568. \end{equation*}
  569. i hem de resoldre aquest sistema. Si aquest sistema té solució, és a dir, existeix $\lambda$, aleshores $P$ pertanyarà a la recta; sinó, no ho farà. En el nostre cas, $\lambda = -5/3$ de la primera equació i $\lambda = 2$ de la segona. Per tant, $P$ no és de la recta.
  570. Aquest fet també ens servirà per a les altres equacions de la recta.
  571. \end{claim}
  572. \subsection{Equació contínua de la recta}
  573. Si aïllem $\lambda $ a cadascuna de les equacions de la recta en forma paramètrica \eqref{eq:equacio-parametrica-recta-2d}, obtenim
  574. \begin{equation*}
  575. \lambda =\frac{x-x_{1}}{v_{x}},\text{ }\lambda =\frac{y-y_{1}}{v_{y}}.
  576. \end{equation*}
  577. Si ara igualam les dues equacions, s'obté \term{l'equació contínua de la recta}\index{equació!contínua!d'una recta}
  578. \begin{equation}\label{eq:equacio-continua-recta-2d}
  579. r:\frac{x-x_{1}}{v_{x}}=\frac{y-y_{1}}{v_{y}},
  580. \end{equation}
  581. on $P(x_{1},y_{1})$ és qualsevol punt de la recta i $\overrightarrow{v_{r}}(v_x,v_u)$ és el vector director de la recta.
  582. \begin{example}Seguint amb la recta de l'exemple anterior, \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, la seva equació contínua és:%
  583. \begin{equation*}
  584. \frac{x}{-3}=\frac{y+1}{2}
  585. \end{equation*}
  586. \end{example}
  587. \begin{claim}Notem que si alguna component del vector director $\overrightarrow{v_r}$ és zero, aleshores no existeix la fracció corresponent a l'equació \eqref{eq:equacio-continua-recta-2d} (no es pot dividir per zero). Ara bé, en aquest cas es veu l'equació \eqref{eq:equacio-continua-recta-2d} com a {\em notació}.
  588. Per exemple, la recta que passa pel punt $(2,3)$ i té com a vector director $\overrightarrow{(5,0)}$, té com a equació contínua:
  589. \begin{equation*}
  590. \frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{0}
  591. \end{equation*}
  592. \end{claim}
  593. \subsection{Equació general de la recta}
  594. Si a les equacions de la recta en forma contínua llevam els denominadors i ho transposam tot al primer membre, l'equació de la recta s'escriu de la manera següent:%
  595. \begin{equation}\label{eq:equacio-general-recta-2d}
  596. Ax+By+C=0,
  597. \end{equation}%
  598. amb $A$, $B$ i $C$ nombres reals. Aquesta equació rep el nom d'\term{equació general de la recta} o \term{equació implícita de la recta}\index{equació!general!d'una recta}\index{equació!implícita!d'una recta}.
  599. \begin{example}Seguint amb la recta anterior, \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}, la seva equació general és:%
  600. \begin{equation*}
  601. r \equiv 2x=-3\left( y+1\right),
  602. \end{equation*}
  603. que simplificada és:
  604. \begin{equation*}
  605. r \equiv 2x+3y+3=0.
  606. \end{equation*}
  607. \end{example}
  608. \begin{claim}Notem que, si a l'exemple anterior, feim $x = \lambda$, llavors
  609. \begin{equation*}
  610. y = \left(-3-2x\right)/3 = -1 + 2/3 \lambda,
  611. \end{equation*}
  612. per la qual cosa
  613. \begin{equation*}
  614. \begin{pmatrix}
  615. x\\
  616. y
  617. \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  618. 0\\
  619. -1
  620. \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
  621. 1\\
  622. -2/3
  623. \end{pmatrix} \cdot \lambda.
  624. \end{equation*}
  625. Això implica que $r$ passa pel punt $(0,-1)$ i té com a vector director $\overrightarrow{(1,-2/3)}$. Noteu que aquest darrer vector director és equivalent a $(-3,2)$ (aquest darrer és el primer multiplicat per $3$), el qual és el que teníem a l'exemple \autoref{exemple:equacio-parametria-recta-2d}.
  626. \end{claim}
  627. \begin{exercise}Trobeu les equacions contínua i general de la recta que passa per $P(2,-5)$ i segueix la direcció del vector director $\overrightarrow{v}\left(-2,7\right)$.
  628. \end{exercise}
  629. \begin{exercise}Donada la recta d'equació $5x-y+6=0$, trobeu les cooordenades de dos dels seus punts. A partir d'aquests, calculeu el seu vector director.
  630. \end{exercise}
  631. \subsubsection{Vector director a partir de l'equació general}
  632. \begin{proposition}\label{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}Donada una recta en forma general, és a dir, $Ax+By+C=0$, el seu vector director és $\overrightarrow{v}=\left(-B,A\right)$.
  633. \end{proposition}
  634. \begin{demonstration}Una recta genèrica $r$ que passa pel punt $P(x_1, y_1)$ i que té com a vector director $\overrightarrow{v_r}(v_x, v_y)$ té l'equació contínua
  635. \begin{equation*}
  636. r \equiv \frac{x-x_1}{v_x} = \frac{y-y_1}{v_y}
  637. \end{equation*}
  638. Per tant, $v_y \cdot (x-x_1) = v_x \cdot (y-y_1)$. Aleshores, $v_y x - v_x y + (-v_y x1 + v_x y_1) = 0$. Per la qual cosa, $A=v_y$, $B=-v_x$ i $C=-v_y x_1 + v_x y_1$. Per tant, el vector director és $(v_x, v_y) = (-B, A)$.
  639. \end{demonstration}
  640. \begin{proposition}Donada una recta $r \equiv Ax + By + C = 0$ en forma implícita, tenim que el vector $(A, B)$ és perpendicular a la recta.
  641. \end{proposition}
  642. \begin{demonstration}El vector $(A,B)$ és perpendicular al vector $(-B,A)$ --- ja que el seu producte escalar és $0$. Per tant, el vector $(A,B)$ és un
  643. vector perpendicular a la recta d'equació $Ax+By+D=0$.
  644. \end{demonstration}
  645. \begin{example}El vector director de la recta $5x-2y+1=0$ és $\overrightarrow{v}=\left(2,5\right)$.
  646. \end{example}
  647. \begin{exercise}Calculeu el vector director de les rectes següents:
  648. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  649. \item $4x-3y+1=0$
  650. \item $-y+5=0$
  651. \end{enumerate}
  652. \end{exercise}
  653. \begin{exercise}Donada la recta $x-5y+8=0$, trobeu:
  654. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  655. \item l'equació de la recta paral·lela que passa pel punt $(2,-7)$,
  656. \item l'equació de la recta perpendicular que passa pel punt $(2,-7) $.
  657. \end{enumerate}
  658. \end{exercise}
  659. \begin{claim}La \autoref{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}, serveix per a passar de l'equació general a l'equació contínua o bé a l'equació paramètrica: directament es pot obtenir el seu vector director $v_r$. I després subtituïnt $x$ o $y$, podem trobar un punt seu.
  660. \end{claim}
  661. \begin{example}Obteniu l'equació contínua de la recta $s$ que té equació general $s \equiv 5x -9y -2 = 0$.
  662. Per la \autoref{prop:vector-director-a-partir-eq-implicita}, tenim que el vector director de $s$ és $v_s = (9,5)$.
  663. D'altra banda, trobarem un punt de $s$. Prendre'm $x = 0$, per exemple, amb el que obtenim $y = -2/9$. Per tant $(0,-2/9) \in s$.
  664. Amb tot, tenim que l'equació contínua de $s$ serà:
  665. \begin{equation*}
  666. s \equiv \frac{x}{9} = \frac{y+\frac{2}{9}}{5}
  667. \end{equation*}
  668. \end{example}
  669. \begin{exercise}Donada la recta $r \equiv 2x - 9x +5 = 0$, trobeu les equacions contínua, paramètrica i vectorial.
  670. \end{exercise}
  671. \begin{example}Trobeu el punt de tall de les rectes $r \equiv 2x -5y +10 = 0$ i $s \equiv \frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{8}$.
  672. Diem $P(a,b)$ al punt de tall de $r$ i $s$. Si $P \in r \cap s$, aleshores $P$ verifica les equacions de $r$ i $s$ simultàniament. Per tant, s'ha de verificar el sistema:
  673. \begin{equation*}
  674. \left\{\begin{aligned}
  675. 2a-5b + 10 = 0\\
  676. \frac{a-2}{5} = \frac{b-3}{8}
  677. \end{aligned}\right.
  678. \end{equation*}
  679. Aplicant el mètode de reducció (multiplicant la segona equació per $40$), tenim que
  680. \begin{equation*}
  681. \left\{\begin{aligned}
  682. 2a-5b &= - 10\\
  683. 8a -5b & = 1
  684. \end{aligned}\right.
  685. \end{equation*}
  686. Per tant, $a = 3/2$ i $b = 13/5$. Llavors el punt de tall és $P(\frac{3}{2}, \frac{13}{5})$.
  687. Noteu que no sempre dues rectes tendran punt de tall: quan aquestes siguin paral·leles, aleshores no existiran punts de tall. En aquest cas, el sistema no tendria solució. Vegeu l'apartat referent a la posició relativa de dues rectes (\autoref{subseccio:posicio-relativa-rectes-2d}).
  688. \end{example}
  689. \begin{exercise}Donades les rectes $r \equiv 5x - 2y + 8 = 0$ i $s \equiv \frac{x-2}{3} = \frac{y}{5}$, trobeu:
  690. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  691. \item dues rectes paral·leles a $r$
  692. \item dues rectes paral·leles a $s$
  693. \item una recta perpendicular a $s$ que passi per $(10,10)$
  694. \item una recta perpendicular a $r$ que passi per $(0,0)$
  695. \item el punt de tall de $r$ i $s$
  696. \item el punt de tall de $r$ i la recta perpendicular a $s$ que passa per $(5,20)$
  697. \end{enumerate}
  698. \end{exercise}
  699. \subsection{Equació explícita de la recta}
  700. Si de l'equació general d'una recta \eqref{eq:equacio-general-recta-2d} aillam la $y$ ens queda una equació de la forma:%
  701. \begin{equation}\label{eq:equacio-explícita}
  702. y=mx+b,
  703. \end{equation}%
  704. amb $m$ i $b$ nombres reals. Aquesta equació es coneix amb el nom de \term{equació explícita de la recta}\index{equació!explícita!d'una recta}. S'anomena \term{pendent}\index{pendent d'una recta} al coeficient $m$ i \term{ordenada a l'origen}\index{ordenada a l'origen} al nombre $b$. La interpretació gràfica d'aquests dos paràmetres és la següent:
  705. \begin{itemize}
  706. \item La pendent de la recta és la inclinació d'aquesta:
  707. \begin{itemize}
  708. \item Si $m > 0$, aleshores la recta és \term{creixent}\index{recta!creixent} (quan els valors de $x$ creixen, els valors de $y$ creixen)
  709. \item Si $m < 0$, aleshores la recta és \term{decreixent}\index{recta!decreixent} (quan les valors de $x$ creixen, els valors de $y$ decreixen)
  710. \item Si $m=0$, aleshores la recta és \term{constant}\index{recta!constant}. Té una forma completament horitzontal.
  711. \end{itemize}
  712. D'altra banda, quan $\lvert m \rvert$ és major, la inclinació de la recta és major en el sentit que és més vertical. Per exemple, $y = 3x+2$ tendrà més inclinació que $y=x+2$, i $y=-5x+10$ tendrà més inclinació que $y = -2x+10$.
  713. \item L'ordenada a l'origen $b$ és el valor que de l'eix de les $Y$ quan $x=0$. És a dir, l'ordenada a l'origen ens diu en quin punt talla la recta a l'eix $OY$. En altres paraules, $(0,b)$ és el punt de tall de la recta amb l'eix $OY$.
  714. \end{itemize}
  715. \begin{example}Representeu gràficament la recta $r \equiv y=-2x+3$ i trobeu els seus punts de tall amb els eixos.
  716. Sabem que $r$ és decreixent perquè $-2 < 0$. I que passa per $(0,3)$. Per representar-la només ens fa falta un altre punt (una recta ve determinada per dos punts). Substituïm, per exemple, per $x = 2$: $y = -2 \cdot 2 +3 = -1$. Per tant, $(2,-1) \in r$. Aleshores, $r$ té la representació següent (\autoref{fig:equacio-explicita-recta-2d}):
  717. \begin{figure}[h!]
  718. \centering
  719. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  720. \definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
  721. \definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
  722. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  723. \draw[->,color=black] (-1,0) -- (3,0);
  724. \foreach \x in {-1,1,2}
  725. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
  726. \draw[->,color=black] (0,-2) -- (0,4);
  727. \foreach \y in {-2,-1,1,2,3}
  728. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
  729. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
  730. \clip(-1,-2) rectangle (3,4);
  731. \draw [domain=-1:3] plot(\x,{(--3-2*\x)/1});
  732. \draw (1,2.24) node[anchor=north west] {$r$};
  733. \begin{scriptsize}
  734. \draw [fill=uuuuuu] (0,3) circle (1.5pt);
  735. \draw[color=uuuuuu] (0.14,3.28) node {$A$};
  736. \draw [fill=xdxdff] (2,-1) circle (1.5pt);
  737. \draw[color=xdxdff] (2.14,-0.72) node {$B$};
  738. \end{scriptsize}
  739. \end{tikzpicture}
  740. \caption{Visualització de l'equació explícita d'una recta}
  741. \label{fig:equacio-explicita-recta-2d}
  742. \end{figure}
  743. Només fa falta trobar el punt de tall amb l'eix de les abscises. En aquest cas, $y=0$. Per tant, $0=-2x+3$, el que implica que $x = 3/2$. Per tant, el punt $(\frac{3}{2},0)$ és el punt de la recta que està sobre l'eix $OX$.
  744. \end{example}
  745. \subsubsection{Càlcul de la pendent mitjançant dos punts}
  746. Donats dos punts $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$, per calcular la pendent de la recta $r \colon y = mx + b$ que els conté, podem substituir ambdós punts a l'equació de la recta i trobar $m$ i $b$. O bé, podem emprar la fórmula següent per a calcular la pendent de $r$:
  747. \begin{equation*}
  748. m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}
  749. \end{equation*}
  750. i després substituir un dels punts a l'equació de la recta per a trobar $b$.
  751. \begin{example} Trobeu l'equació explícita de la recta $r$ que passa pels punts $A(2,3)$ i $B(10,15)$.
  752. Sigui $r \colon y = mx + n$ l'equació explícita de la recta $r$. Hem de determinar $m$ i $n$. Facem-ho de dues maneres:
  753. \begin{itemize}
  754. \item Substituïnt els dos punts a l'equació explícita.
  755. Com que $A$ i $B$ són punts de la recta $r$, verifiquen la seva equació. Per tant,
  756. \begin{equation*}
  757. \left\{ \begin{aligned}
  758. 3 & = m \cdot 2 + n\\
  759. 15 & = m \cdot 10 + n
  760. \end{aligned} \right.
  761. \end{equation*}
  762. Si resolem aquest sistema per $m$ i $n$, obtenim $m = 3/2$ i $n = 0$.
  763. \item Emprant la fórmula de la pendent
  764. Podem calcular la pendent amb la fórmula:
  765. \begin{equation*}
  766. m = \frac{15-3}{10-2} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}
  767. \end{equation*}
  768. Per tant, $r \colon y = \frac{3}{2} x + n$. Prenem un punt qualsevol de la recta, per exemple $A$, i substituïm-lo a aquesta equació: $3 = \frac{3}{2} \cdot 2 + n$. D'aquí tenim que $n=0$.
  769. \end{itemize}
  770. \end{example}
  771. \subsubsection{Pendents de rectes paral·leles i perpendiculars}
  772. Existeix una relació entre les pendents de rectes paral·leles o perpendiculars:
  773. \begin{proposition}[relació entre les pendents de rectes paral·leles o perpendiculars] Siguin $r\colon y = m_r x + n_r$ i $s \colon y = m_s x + n_s$ dues rectes en el pla. Aleshores:
  774. \begin{itemize}
  775. \item $r \parallel s \iff \text{r, s tenen la mateix pendent} \iff m_r = m_s$
  776. \item $r \bot s \iff m_{r}=-\frac{1}{m_s}$
  777. \end{itemize}
  778. \end{proposition}
  779. Aquest teorema no es podrà generalitzar a la geometria a l'espai.
  780. \begin{example}Si el pendent d'una recta donada val $-5$, la pendent de qualsevol recta paral·lela val tamb\'{e} $-5$, i la de qualsevol recta perpendicular val $1/5$.
  781. \end{example}
  782. \begin{exercise}Donada la recta $x+5y-3=0$, calculeu la seva pendent, la de una recta paral·lela i la de una recta perpendicular.
  783. \end{exercise}
  784. \subsection{Equació de la recta determinada per dos punts}
  785. \begin{proposition}[equació de la recta determinada per dos punts donats]Donats dos punts coneguts $A(x_{1},y_{1})$ i $B(x_{2},y_{2})$, si volem conèixer la recta que determinen, podem emprar la fórmula següent:
  786. \begin{equation*}
  787. \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}},
  788. \end{equation*}
  789. que ens dóna l'equació contínua de la recta.
  790. \end{proposition}
  791. Amb aquesta proposició, ens evitam haver de cercar el vector director i plantejar una equació.
  792. \begin{example}L'equació de la recta que passa pels punts $A\left( 0,-2\right) $ i $B\left( -4,1\right)$ es la següent:%
  793. \begin{equation*}
  794. \frac{x}{-4}=\frac{y+2}{3}
  795. \end{equation*}
  796. \end{example}
  797. \begin{exercise}Calculeu l'equació de la recta que passa pels punts $A\left( 3,-5\right)$ i $B\left( -1,7\right)$.
  798. \end{exercise}
  799. \subsection{Posició relativa entre dues rectes}\label{subseccio:posicio-relativa-rectes-2d}
  800. \begin{proposition}[posició relativa entre dues rectes]Dues rectes al pla cartesià poden ser (vegi's \autoref{fig:posicio-relativa-recta-2d}):
  801. \begin{itemize}
  802. \item \term{secants}\index{rectes!secants}, és a dir, que es tallen a un punt
  803. \item \term{paral·leles}\index{rectes!paral·leles}. Per tant, no es tallen a cap punt.
  804. \item \term{coincidents}\index{rectes!coincidents}, és a dir, són la mateixa recta.
  805. \end{itemize}
  806. Cadascuna d'aquestes posicions s'anomenen la \term{posició relativa} entre les dues rectes\index{posició relativa!entre dues rectes}.
  807. \begin{figure}[h!]
  808. \centering
  809. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  810. \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
  811. \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
  812. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=.75]
  813. \begin{scope}[shift={(-2,0)}]
  814. \clip(0.,0.) rectangle (18.,6.);
  815. \draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-0.--2.52*\x)/2.7});
  816. \draw [color=qqqqff,domain=0.:18.] plot(\x,{(-4.158--2.52*\x)/2.7});
  817. \draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-17.3304--2.52*\x)/2.7});
  818. \draw [color=qqqqff,domain=0.:18.] plot(\x,{(-29.9192--2.84*\x)/0.22});
  819. \draw [color=ffqqqq,domain=0.:18.] plot(\x,{(-31.4244--2.52*\x)/2.7});
  820. \draw (3.54,4.3) node[anchor=north west] {$r$};
  821. \draw (4.86,2.74) node[anchor=north west] {$s$};
  822. \draw (9.08,3.26) node[anchor=north west] {$r$};
  823. \draw (11.04,3.02) node[anchor=north west] {$s$};
  824. \draw (15.44,4.36) node[anchor=north west] {$r \text{ i } s$};
  825. \begin{scriptsize}
  826. \draw [fill=qqqqff] (10.82,3.68) circle (1.5pt);
  827. \end{scriptsize}
  828. \end{scope}
  829. \end{tikzpicture}
  830. \caption{Les diferents posicions relatives possibles entre dues rectes}
  831. \label{fig:posicio-relativa-recta-2d}