Apunts de Matemàtiques per a l'accés a la UIB per a majors de 25 anys
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

05-geometria.tex 168KB

4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
4 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
3 years ago
12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910010110210310410510610710810911011111211311411511611711811912012112212312412512612712812913013113213313413513613713813914014114214314414514614714814915015115215315415515615715815916016116216316416516616716816917017117217317417517617717817918018118218318418518618718818919019119219319419519619719819920020120220320420520620720820921021121221321421521621721821922022122222322422522622722822923023123223323423523623723823924024124224324424524624724824925025125225325425525625725825926026126226326426526626726826927027127227327427527627727827928028128228328428528628728828929029129229329429529629729829930030130230330430530630730830931031131231331431531631731831932032132232332432532632732832933033133233333433533633733833934034134234334434534634734834935035135235335435535635735835936036136236336436536636736836937037137237337437537637737837938038138238338438538638738838939039139239339439539639739839940040140240340440540640740840941041141241341441541641741841942042142242342442542642742842943043143243343443543643743843944044144244344444544644744844945045145245345445545645745845946046146246346446546646746846947047147247347447547647747847948048148248348448548648748848949049149249349449549649749849950050150250350450550650750850951051151251351451551651751851952052152252352452552652752852953053153253353453553653753853954054154254354454554654754854955055155255355455555655755855956056156256356456556656756856957057157257357457557657757857958058158258358458558658758858959059159259359459559659759859960060160260360460560660760860961061161261361461561661761861962062162262362462562662762862963063163263363463563663763863964064164264364464564664764864965065165265365465565665765865966066166266366466566666766866967067167267367467567667767867968068168268368468568668768868969069169269369469569669769869970070170270370470570670770870971071171271371471571671771871972072172272372472572672772872973073173273373473573673773873974074174274374474574674774874975075175275375475575675775875976076176276376476576676776876977077177277377477577677777877978078178278378478578678778878979079179279379479579679779879980080180280380480580680780880981081181281381481581681781881982082182282382482582682782882983083183283383483583683783883984084184284384484584684784884985085185285385485585685785885986086186286386486586686786886987087187287387487587687787887988088188288388488588688788888989089189289389489589689789889990090190290390490590690790890991091191291391491591691791891992092192292392492592692792892993093193293393493593693793893994094194294394494594694794894995095195295395495595695795895996096196296396496596696796896997097197297397497597697797897998098198298398498598698798898999099199299399499599699799899910001001100210031004100510061007100810091010101110121013101410151016101710181019102010211022102310241025102610271028102910301031103210331034103510361037103810391040104110421043104410451046104710481049105010511052105310541055105610571058105910601061106210631064106510661067106810691070107110721073107410751076107710781079108010811082108310841085108610871088108910901091109210931094109510961097109810991100110111021103110411051106110711081109111011111112111311141115111611171118111911201121112211231124112511261127112811291130113111321133113411351136113711381139114011411142114311441145114611471148114911501151115211531154115511561157115811591160116111621163116411651166116711681169117011711172117311741175117611771178117911801181118211831184118511861187118811891190119111921193119411951196119711981199120012011202120312041205120612071208120912101211121212131214121512161217121812191220122112221223122412251226122712281229123012311232123312341235123612371238123912401241124212431244124512461247124812491250125112521253125412551256125712581259126012611262126312641265126612671268126912701271127212731274127512761277127812791280128112821283128412851286128712881289129012911292129312941295129612971298129913001301130213031304130513061307130813091310131113121313131413151316131713181319132013211322132313241325132613271328132913301331133213331334133513361337133813391340134113421343134413451346134713481349135013511352135313541355135613571358135913601361136213631364136513661367136813691370137113721373137413751376137713781379138013811382138313841385138613871388138913901391139213931394139513961397139813991400140114021403140414051406140714081409141014111412141314141415141614171418141914201421142214231424142514261427142814291430143114321433143414351436143714381439144014411442144314441445144614471448144914501451145214531454145514561457145814591460146114621463146414651466146714681469147014711472147314741475147614771478147914801481148214831484148514861487148814891490149114921493149414951496149714981499150015011502150315041505150615071508150915101511151215131514151515161517151815191520152115221523152415251526152715281529153015311532153315341535153615371538153915401541154215431544154515461547154815491550155115521553155415551556155715581559156015611562156315641565156615671568156915701571157215731574157515761577157815791580158115821583158415851586158715881589159015911592159315941595159615971598159916001601160216031604160516061607160816091610161116121613161416151616161716181619162016211622162316241625162616271628162916301631163216331634163516361637163816391640164116421643164416451646164716481649165016511652165316541655165616571658165916601661166216631664166516661667166816691670167116721673167416751676167716781679168016811682168316841685168616871688168916901691169216931694169516961697169816991700170117021703170417051706170717081709171017111712171317141715171617171718171917201721172217231724172517261727172817291730173117321733173417351736173717381739174017411742174317441745174617471748174917501751175217531754175517561757175817591760176117621763176417651766176717681769177017711772177317741775177617771778177917801781178217831784178517861787178817891790179117921793179417951796179717981799180018011802180318041805180618071808180918101811181218131814181518161817181818191820182118221823182418251826182718281829183018311832183318341835183618371838183918401841184218431844184518461847184818491850185118521853185418551856185718581859186018611862186318641865186618671868186918701871187218731874187518761877187818791880188118821883188418851886188718881889189018911892189318941895189618971898189919001901190219031904190519061907190819091910191119121913191419151916191719181919192019211922192319241925192619271928192919301931193219331934193519361937193819391940194119421943194419451946194719481949195019511952195319541955195619571958195919601961196219631964196519661967196819691970197119721973197419751976197719781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015201620172018201920202021202220232024202520262027202820292030203120322033203420352036203720382039204020412042204320442045204620472048204920502051205220532054205520562057205820592060206120622063206420652066206720682069207020712072207320742075207620772078207920802081208220832084208520862087208820892090209120922093209420952096209720982099210021012102210321042105210621072108210921102111211221132114211521162117211821192120212121222123212421252126212721282129213021312132213321342135213621372138213921402141214221432144214521462147214821492150215121522153215421552156215721582159216021612162216321642165216621672168216921702171217221732174217521762177217821792180218121822183218421852186218721882189219021912192219321942195219621972198219922002201220222032204220522062207220822092210221122122213221422152216221722182219222022212222222322242225222622272228222922302231223222332234223522362237223822392240224122422243224422452246224722482249225022512252225322542255225622572258225922602261226222632264226522662267226822692270227122722273227422752276227722782279228022812282228322842285228622872288228922902291229222932294229522962297229822992300230123022303230423052306230723082309231023112312231323142315231623172318231923202321232223232324232523262327232823292330233123322333233423352336233723382339234023412342234323442345234623472348234923502351235223532354235523562357235823592360236123622363236423652366236723682369237023712372237323742375237623772378237923802381238223832384238523862387238823892390239123922393239423952396239723982399240024012402240324042405240624072408240924102411241224132414241524162417241824192420242124222423242424252426242724282429243024312432243324342435243624372438243924402441244224432444244524462447244824492450245124522453245424552456245724582459246024612462246324642465246624672468246924702471247224732474247524762477247824792480248124822483248424852486248724882489249024912492249324942495249624972498249925002501250225032504250525062507250825092510251125122513251425152516251725182519252025212522252325242525252625272528252925302531253225332534253525362537253825392540254125422543254425452546254725482549255025512552255325542555255625572558255925602561256225632564256525662567256825692570257125722573257425752576257725782579258025812582258325842585258625872588258925902591259225932594259525962597259825992600260126022603260426052606260726082609261026112612261326142615261626172618261926202621262226232624262526262627262826292630263126322633263426352636263726382639264026412642264326442645264626472648264926502651265226532654265526562657265826592660266126622663266426652666266726682669267026712672267326742675267626772678267926802681268226832684268526862687268826892690269126922693269426952696269726982699270027012702270327042705270627072708270927102711271227132714271527162717271827192720272127222723272427252726272727282729273027312732273327342735273627372738273927402741274227432744274527462747274827492750275127522753275427552756275727582759276027612762276327642765276627672768276927702771277227732774277527762777277827792780278127822783278427852786278727882789279027912792279327942795279627972798279928002801280228032804280528062807280828092810281128122813281428152816281728182819282028212822282328242825282628272828282928302831283228332834283528362837283828392840284128422843284428452846284728482849285028512852285328542855285628572858285928602861286228632864286528662867286828692870287128722873287428752876287728782879288028812882288328842885288628872888288928902891289228932894289528962897289828992900290129022903290429052906290729082909291029112912291329142915291629172918291929202921292229232924292529262927292829292930293129322933293429352936293729382939294029412942294329442945294629472948294929502951295229532954295529562957295829592960296129622963296429652966296729682969297029712972297329742975297629772978297929802981298229832984298529862987298829892990299129922993299429952996299729982999300030013002300330043005300630073008300930103011301230133014301530163017301830193020302130223023302430253026302730283029303030313032303330343035303630373038303930403041304230433044304530463047304830493050305130523053305430553056305730583059306030613062306330643065306630673068306930703071307230733074307530763077307830793080308130823083308430853086308730883089309030913092309330943095309630973098309931003101310231033104310531063107310831093110311131123113311431153116311731183119312031213122312331243125312631273128312931303131313231333134313531363137313831393140314131423143314431453146314731483149315031513152315331543155315631573158315931603161316231633164316531663167316831693170317131723173317431753176317731783179318031813182318331843185318631873188318931903191319231933194319531963197319831993200320132023203320432053206320732083209321032113212321332143215321632173218321932203221322232233224322532263227322832293230323132323233323432353236323732383239324032413242324332443245324632473248324932503251325232533254325532563257325832593260326132623263326432653266326732683269327032713272327332743275327632773278327932803281328232833284328532863287328832893290329132923293329432953296329732983299330033013302330333043305330633073308330933103311331233133314331533163317331833193320332133223323332433253326332733283329333033313332333333343335333633373338333933403341334233433344334533463347334833493350335133523353335433553356335733583359336033613362336333643365336633673368336933703371337233733374337533763377337833793380338133823383338433853386338733883389339033913392339333943395339633973398339934003401340234033404340534063407340834093410341134123413341434153416341734183419342034213422342334243425342634273428342934303431343234333434343534363437343834393440344134423443344434453446344734483449345034513452345334543455345634573458345934603461346234633464346534663467346834693470347134723473347434753476347734783479348034813482348334843485348634873488348934903491349234933494349534963497349834993500350135023503350435053506350735083509351035113512351335143515351635173518351935203521352235233524352535263527352835293530353135323533353435353536353735383539354035413542354335443545354635473548354935503551355235533554355535563557355835593560356135623563356435653566356735683569357035713572357335743575357635773578357935803581358235833584358535863587358835893590359135923593359435953596359735983599360036013602360336043605360636073608360936103611361236133614361536163617361836193620362136223623362436253626362736283629363036313632363336343635363636373638363936403641364236433644364536463647364836493650365136523653365436553656365736583659366036613662366336643665366636673668366936703671367236733674367536763677367836793680368136823683368436853686368736883689369036913692369336943695369636973698369937003701370237033704370537063707370837093710371137123713371437153716371737183719372037213722372337243725372637273728372937303731373237333734373537363737373837393740374137423743374437453746374737483749375037513752375337543755375637573758375937603761376237633764376537663767376837693770377137723773377437753776377737783779378037813782378337843785378637873788378937903791379237933794379537963797379837993800380138023803380438053806380738083809381038113812381338143815381638173818381938203821382238233824382538263827382838293830383138323833383438353836383738383839384038413842384338443845384638473848384938503851385238533854385538563857385838593860386138623863386438653866386738683869387038713872387338743875387638773878387938803881388238833884388538863887388838893890389138923893389438953896389738983899390039013902390339043905390639073908390939103911391239133914391539163917391839193920
  1. \part{Geometria}
  2. % Definició de colors (per gràfics)
  3. \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
  4. \definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.752941176471,0.752941176471,0.752941176471}
  5. \definecolor{qqttcc}{rgb}{0.,0.2,0.8}
  6. % Començ text
  7. En aquest apartat es tractarà la Geometria en dues parts:
  8. \begin{itemize}
  9. \item Geometria del pla, que estudia aquells elements geomètrics que es
  10. poden representar soble un pla bidimensional.
  11. \item Geometria de l'espai, per a elements de tres dimensions.
  12. \end{itemize}
  13. Tècnicament, s'estudiarà la geometria cartesiana afí i mètrica.
  14. \chapter{Geometria del pla}\label{seccio:geometria-al-pla}
  15. En aquest tema s'estudiaran els vectors i les rectes definits sobre un espai
  16. de dues dimensions.
  17. \section{Punts}
  18. Aquest apartat tracta de l'estudi dels vectors i de les seves operacions a
  19. l'espai de dues dimensions. Aquest espai queda representat per uns \term{eixos de coordenades}\index{eixos de coordenades}, que són dues rectes reglades entre les quals hi ha un angle recte (\autoref{fig:pla-cartesia}):
  20. \begin{itemize}
  21. \item L'eix horitzontal s'anomena \term{eix de les abscises}\index{eix!de les abscises} (o simplement \term{eix de les $X$}) i s'anomena amb la lletra $X$
  22. \item L'eix vertical s'anomena \term{eix de les ordenades}\index{eix!de les ordenades} (o simplement \term{eix de les $Y$}) i s'anomena amb la lletra $Y$
  23. \end{itemize}
  24. En conjunt, els eixos formen el que s'anomena \term{Pla cartesià}\index{pla cartesià}\index{sistema de coordenades}.
  25. Cada punt del pla queda determinat per les seves projeccions sobre cadascun dels eixos, el que s'anomenen \term{coordenades}\index{coordenades} (\autoref{fig:coordenades-punts}).
  26. \begin{figure}[h!]
  27. \centering
  28. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
  29. \draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
  30. \draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
  31. \foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  32. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
  33. \draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
  34. \foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
  35. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
  36. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
  37. \clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
  38. \end{tikzpicture}.
  39. \caption{Pla cartesià}
  40. \label{fig:pla-cartesia}
  41. \end{figure}
  42. \begin{figure}[h!]
  43. \centering
  44. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.75]
  45. \draw [color=cqcqcq, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.18,-3.14) grid (6.74,5.9);
  46. \draw[->,color=black] (-6.18,0.) -- (6.74,0.);
  47. \foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  48. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\small $\x$};
  49. \draw[->,color=black] (0.,-3.14) -- (0.,5.9);
  50. \foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
  51. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\small $\y$};
  52. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\small $0$};
  53. \clip(-6.18,-3.14) rectangle (6.74,5.9);
  54. \draw [fill=qqqqff] (2,3) circle (1.5pt);
  55. \draw[color=qqqqff] (2,3) node[anchor=south] {$(2,3)$};
  56. \draw [fill=qqqqff] (-3,1) circle (1.5pt);
  57. \draw[color=qqqqff] (-3,1) node[anchor=south] {$(-3,1)$};
  58. \draw [fill=qqqqff] (-1.5,-2.5) circle (1.5pt);
  59. \draw[color=qqqqff] (-1.5,-2.5) node[anchor=east] {$(-1.5,2.5)$};
  60. \draw [fill=qqqqff] (0,0) circle (1.5pt);
  61. \draw[color=qqqqff] (0,0) node[anchor=south west] {$(0,0)$};
  62. \draw [fill=qqqqff] (5,0) circle (1.5pt);
  63. \draw[color=qqqqff] (5,0) node[anchor=south] {$(5,0)$};
  64. \end{tikzpicture}.
  65. \caption{Diversos punts al pla cartesià}
  66. \label{fig:coordenades-punts}
  67. \end{figure}
  68. L'\term{origen de coordenades}\index{origen!de coordenades} és el punt de coordenades $(0,0)$.
  69. A partir d'aquest moment identificarem un punt amb les seves coordenades.
  70. \begin{notation}[notació dels punts] Els punts es poden escriure de dues maneres diferents: $A = (0,1)$ o bé $A(0,1)$.
  71. \end{notation}
  72. \subsection{Punt mitjà}
  73. Donats dos punts del pla, $P(x_{1},y_{1})$ i $Q(x_{2},y_{2})$, que
  74. determinen un segment, podem preguntar-nos quines s\'{o}n les cooordenades
  75. del punt mitj\`{a} d'aquest segment. Aquest punt queda determinant per la seg%
  76. \"{u}ent expressi\'{o}:
  77. \begin{equation*}
  78. P_{M}=\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)
  79. \end{equation*}
  80. \begin{example}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( 0,-5\right)$ i $Q\left( -3,1\right)$.%
  81. \begin{equation*}
  82. P_{M}=\left( \frac{0+(-3)}{2},\frac{-5+1}{2}\right) =\left( \frac{-3}{2}%
  83. ,-2\right)
  84. \end{equation*}
  85. \end{example}
  86. \begin{exercise}Calculeu les coordenades del punt mitjà del segment determinant pels punts $P\left( -3,7\right)$ i $Q\left( -5,3\right)$.
  87. \end{exercise}
  88. \begin{exercise}Donat el punt $P\left( 0,-5\right)$, calculeu les coordenades del punt simètric de $P$ respecte del punt $M\left( -1,12\right)$.
  89. \end{exercise}
  90. Hem de notar que, encara que pareixi que sí, aquest resultat no es pot estendre quan es vol trobar un punt que estigui a distància $1/3$ d'$A$ en el segment $\overline{AB}$ (en general, a distància $d \neq 1/2$). En aquest cas, s'haurà de procedir a raonar amb vectors (\autoref{seccio:vectors-2d}), per exemple trobant el vector $1/3 \cdot \overrightarrow{AB}$ i situant-lo amb origen $A$. El seu extrem final seria el punt desitjat.
  91. \section{Vectors}\label{seccio:vectors-2d}
  92. \begin{definition}[vector fix]Un \term{vector fix}\index{vector!fix} és una segment orientat a l'espai (és a dir una fletxa), que té un \term{origen}\index{origen!d'un vector} (el punt on comença) i un \term{final}\index{final d'un vector} (punt on acaba). Els dos punts s'anomenen \term{extrems del vector}\index{extrems d'un vector}.
  93. \end{definition}
  94. Per tant, un vector té:
  95. \begin{itemize}
  96. \item Una direcció: la recta sobre la qual està el vector
  97. \item Un sentit: cap a on apunta la fletxa. Si $A$ i $B$ són els extrems d'un vector, aleshores aquest vector pot tenir dos sentits: de $A$ cap a $B$ (punt origen és $A$ i el punt destí és $B$) o de $B$ cap a $A$ (punt origen és $B$ i el punt destí és $A$)
  98. \item La seva longitud. Formalment s'anomena \term{mòdul} del vector\index{mòdul!d'un vector}
  99. \end{itemize}
  100. \begin{notation}[notació de vectors]Els vectors es denoten amb una fletxa a damunt del seu nom. D'aquesta manera escriurem $\overrightarrow{AB}$ per denotar el vector que té origen $A$ i final a $B$. Si volem obviar els extrems, podem escriure $\overrightarrow{u}$, per exemple.
  101. \end{notation}
  102. \begin{example}Siguin els vectors següents (\autoref{fig:diversos-vectors}):
  103. \begin{itemize}
  104. \item Els extems dels vectors són:
  105. \begin{itemize}
  106. \item El vector $\overrightarrow{a}$ té origen $(-1,1)$ i fi $(-3,-1)$
  107. \item El vector $\overrightarrow{b}$ té origen $(-1,-1)$ i fi $(0,0)$
  108. \item El vector $\overrightarrow{c}$ té origen $(-4,3)$ i fi $(-1,3)$
  109. \item El vector $\overrightarrow{d}$ té origen $(-4,2)$ i fi $(-4,-1)$
  110. \item El vector $\overrightarrow{u}$ té origen $(1,1)$ i fi $(3,3)$
  111. \item El vector $\overrightarrow{v}$ té origen $(4,1)$ i fi $(6,3)$
  112. \item El vector $\overrightarrow{w}$ té origen $(1,-1)$ i fi $(3,1)$
  113. \end{itemize}mòdul
  114. \item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ tenen la mateixa direcció
  115. \item Els vectors $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix sentit, però el vector $\overrightarrow{a}$ té sentit contrari
  116. \item Els vectors $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ tenen el mateix mòdul. El mòdul de $\overrightarrow{b}$ és la meitat que el mòdul de $\overrightarrow{u}$. I $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{d}$ tenen el mateix mòdul (encara que no tenguin ni la mateixa direcció ni sentit)
  117. \end{itemize}
  118. \begin{figure}[h!]
  119. \centering
  120. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  121. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  122. \draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-5.1,-2.1) grid (6.1,4.1);
  123. \draw[->,color=black] (-5.5,0) -- (6.2,0);
  124. \foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
  125. \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
  126. \draw[->,color=black] (0,-2.1) -- (0,4.1);
  127. \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4}
  128. \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
  129. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
  130. \draw [->] (1.,1.) -- (3.,3.);
  131. \draw [->] (4.,1.) -- (6.,3.);
  132. \draw [->] (1.,-1.) -- (3.,1.);
  133. \draw [->] (-1.,1.) -- (-3.,-1.);
  134. \draw [->] (-1.,-1.) -- (0.,0.);
  135. \draw [->] (-4.,3.) -- (-1.,3.);
  136. \draw [->] (-4.,2.) -- (-4.,-1.);
  137. \draw[color=black] (2.0038916669677724,2.188648367438086) node {$u$};
  138. \draw[color=black] (4.99308545055815,2.188648367438086) node {$v$};
  139. \draw[color=black] (2.0038916669677724,0.17924587958011154) node {$w$};
  140. \draw[color=black] (-1.9152735159618333,0.09621271892482333) node[anchor=south] {$a$};
  141. \draw[color=black] (-0.5037097848219328,-0.3189530843516177) node {$b$};
  142. \draw[color=black] (-2.4632923762867356,3.201652927432602) node {$c$};
  143. \draw[color=black] (-3.908069371688751,0.6442315792497255) node {$d$};
  144. \end{tikzpicture}
  145. \caption{Diversos vectors al pla}
  146. \label{fig:diversos-vectors}
  147. \end{figure}
  148. \end{example}
  149. \begin{definition}[vector lliure]Un \term{vector lliure}\index{vector!lliure} és un segment orientat al pla, però del qual tenim la llibertat de triar el seu origen. És a dir, vector que tenen la mateixa direcció, sentit i longitud són a partir d'ara iguals per a nosaltres, independentment d'on estiguin situats. Formalment aquests vectors s'anomenen \term{equipolents}\index{vector!equipolent}
  150. \end{definition}
  151. En general, si no se'ns diu el contrari, o no se'ns dóna l'origen d'un vector, es suposarà que aquest és lliure. A més sempre suposarem que l'origen del vector és l'origen de coordenades i, per tant, escriurem el vector com a $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(3,5)}$ i no $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{(0,0)(3,5)}$, obviant el seu origen.
  152. A més, de la mateixa manera que pels punts, existeixen dues notacions estàndard: $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{(3,5)}$ o bé $\overrightarrow{A}\overrightarrow{(3,5)}$, que podrem usar indistintament.
  153. \begin{example}Els vectors $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ són equipolents (\autoref{fig:diversos-vectors}). És més, tots aquests vectors es consideren el mateix vector que $\overrightarrow{(2,2)}$.
  154. \end{example}
  155. \begin{definition}[coordenades i components d'un vector]Donat un vector $\overrightarrow{v}$, les seves \term{coordenades}\index{coordenada d'un vector} són els nombres que formen el seu producte cartesià, és a dir, si $\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$, aleshores, $v_x$ i $v_y$ són les seves coordenades. $v_x$ es diu \term{coordenada de l'eix de les abscises} i $v_y$, \term{coordenada de l'eix de les ordenades}, o simplement coordenada de l'eix $X$ i coordenada de l'eix $Y$, respectivament.
  156. Les coordenades es poden interpretar com a les longituds, amb signe, de les projeccions d'un vector sobre els dos eixos de coordenades. Cadascuna de les dues components d'un vector pot ser positiva o negativa segons que la respectiva projecció apunti cap a la part positiva o negativa del
  157. corresponent eix de coordenades (figura~\autoref{fig:components-vector-2D}). En aquest sentit les coordenades s'anomenen \term{components}.
  158. \begin{figure}[h!]
  159. \centering
  160. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  161. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  162. \draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-1.1,-1.1) grid (8,10);
  163. \draw[->,color=black] (-1,0) -- (8,0);
  164. \draw[->,color=black] (0,-1) -- (0,10);
  165. \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {$O$};
  166. \draw[color=black] (7.5,0) node[anchor=north] {$x$};
  167. \draw[color=black] (0,9.5) node[anchor=east] {$y$};
  168. \draw [->,color=qqttcc] (2,3) -- (6,8);
  169. \draw [->] (2,3) -- (6,3);
  170. \draw [->] (2,3) -- (2,8);
  171. \draw (3.4,6.04) node[anchor=north west] {$v$};
  172. \draw (3.76,3.04) node[anchor=north west] {$v_x$};
  173. \draw (1.32,5.92) node[anchor=north west] {$v_y$};
  174. \end{tikzpicture}
  175. \caption{Components d'un vector}
  176. \label{fig:components-vector-2D}
  177. \end{figure}
  178. \end{definition}
  179. \begin{example}Són vectors els següents:%
  180. \begin{equation*}
  181. \overrightarrow{B}(3,-2),\, \overrightarrow{C}(-5,1)
  182. \end{equation*}%
  183. El vector $\overrightarrow{B}$ apunta cap a la dreta i cap a baix, i el vector $\overrightarrow{C}$ apunta cap a l'esquerra i cap a dalt. Com que no se'ns diu quins s\'{o}n els seus origens, es considerar\`{a} que aquests vectors s\'{o}n lliures, i que, per tant, podem situar-los els on es desitgi.
  184. \end{example}
  185. \begin{exercise}Representeu gràficament els vectors $\overrightarrow{A}(-3,4)$, $\overrightarrow{B}(5,-1)$ i $\overrightarrow{C}(1,0)$.
  186. \end{exercise}
  187. \begin{claim}[vector d'extrems donats]Si un vector té origen en el punt $P(x_{1},y_{1})$ i final en el punt $Q(x_{2},y_{2})$, aleshores les components d'aquest vector es calculen amb l'expressió següent:%
  188. \begin{equation*}
  189. \overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}),
  190. \end{equation*}
  191. és a dir, restem les coordenades del punt final menys les coordenades del punt inicial.
  192. \end{claim}
  193. \begin{example}Calculeu les components del vector que comença en el punt $P\left(0,-6\right)$ i acaba en el punt $Q\left(-3,2\right)$:
  194. \begin{equation*}
  195. \overrightarrow{PQ}=\left( -3-0,2-\left( -6\right) \right) =\left(-3,8\right)
  196. \end{equation*}
  197. \end{example}
  198. \begin{exercise}Calculeu les components del vector d'origen $P\left( -2,1\right)$ i que acaba en el punt $Q\left( -3,-5\right)$.
  199. \end{exercise}
  200. \begin{exercise}Els punts $A(3,0)$, $B(-5,4)$ i $C(6,-4)$ s\'{o}n vèrtexos d'un paral\textperiodcentered lelogram. Representeu gràficament aquests punts i calculeu les cooordenades de vèrtex restant.
  201. \end{exercise}
  202. \begin{definition}[mòdul d'un vector]El \term{mòdul} d'un vector\index{mòdul!d'un vector} és la seva longitud. El mòdul del vector $\overrightarrow{A}(a,b)$, que es representa per $\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert$, es calcula amb la f\'{o}rmula:%
  203. \begin{equation*}
  204. \left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\left\vert (a,b)\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
  205. \end{equation*}
  206. \end{definition}
  207. \begin{example}El mòdul del vector $\overrightarrow{A}(3,-2)$ és:%
  208. \begin{equation*}
  209. \left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\sqrt{3^{2}+\left( -2\right) ^{2}}=\sqrt{13}.
  210. \end{equation*}
  211. \end{example}
  212. \begin{exercise}
  213. Calculeu el valor del mòdul del vector $\overrightarrow{A}(-5,1)$.
  214. \end{exercise}
  215. Acabem amb unes quantes definicions:
  216. \begin{definition}[vector unitari] Un vector és \term{unitari}\index{vector!unitari} quan té mòdul 1.
  217. \end{definition}
  218. \begin{definition}[ortogonalitat, ortonormalitat]Donats dos vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortogonal}\index{ortogonalitat}\index{vector!ortogonal} a $\overrightarrow{v}$ simplement quan $\overrightarrow{u}$ sigui perpendicular\index{vector!perpendicular} a $\overrightarrow{v}$, és a dir, quan ambdós formen un angle de 90 graus.
  219. Si a més, $\overrightarrow{u}$ és unitari, aleshores direm que $\overrightarrow{u}$ és \term{ortonormal}\index{ortonormalitat}\index{vector!ortonormal} a $\overrightarrow{v}$.
  220. \end{definition}
  221. \subsection{Operacions amb vectors}
  222. Definim aqu\'{\i} les diferents operacions que es poden fer amb vectors.
  223. \subsubsection{Suma de dos vectors}
  224. \begin{definition}[suma de dos vectors]. Siguin $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })$ dos vectors. La seva \term{suma}\index{suma!de vectors} es defineix com:
  225. \begin{equation*}
  226. \overrightarrow{A}+\overrightarrow{A^{\prime }}=(a,b)+(a^{\prime },b^{\prime})=\left( a+a^{\prime },b+b^{\prime }\right)
  227. \end{equation*}
  228. \end{definition}
  229. \begin{example}
  230. Donats els vectors $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i $\overrightarrow{B}(-5,1)$, la seva suma \'{e}s:%
  231. \begin{equation*}
  232. \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(3,-2)+(-5,1)=\left( 3-5,-2+1\right)=\left( -2,-1\right)
  233. \end{equation*}
  234. \end{example}
  235. Noteu que, per a què es puguin sumar dos vectors aquests han de tenir el mateix origen o bé ser lliures. En aquest cas, la suma de dos vectors es pot calcular gràficament: en el dibuix següent es representa la suma gràfica de $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$ (\autoref{fig:regla-del-parallelogram}):
  236. \begin{figure}[h!]
  237. \centering
  238. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  239. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  240. \draw [->] (-3.,1.) -- (-2.,3.);
  241. \draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
  242. \draw (-3.08,2.48) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
  243. \draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{B}$};
  244. \end{tikzpicture}
  245. \definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.}
  246. \definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8}
  247. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  248. \draw [->] (-2.,1.) -- (-1.,3.);
  249. \draw [->] (-2.,1.) -- (1.,2.);
  250. \draw (-2.12,2.54) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
  251. \draw (-0.5,1.66) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{B}$};
  252. \draw [->,color=qqqqcc] (-1.,3.) -- (2.,4.);
  253. \draw [->,color=qqqqcc] (1.,2.) -- (2.,4.);
  254. \draw [->,color=ccqqqq] (-2.,1.) -- (2.,4.);
  255. \draw (-0.92,3.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$};
  256. \end{tikzpicture}
  257. \caption{Regla del paral·lelogram}
  258. \label{fig:regla-del-parallelogram}
  259. \end{figure}
  260. Es pot procedir de manera anàloga per a qualssevol vectors. Aquesta manera gràfica d'aconseguir la suma es coneix com \term{regla del paral·lelogram}\index{regla!del paral·lelogram}.
  261. \begin{exercise}Calculeu gràficament i analítica la suma dels vectors $\overrightarrow{A}(-5,4)$ i $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
  262. \end{exercise}
  263. \subsubsection{Diferència de dos vectors}
  264. \begin{definition}[diferència de dos vectors] Donats dos vectors $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })$, la seva \term{diferència}\index{diferència!de dos vectors} es defineix com:
  265. \begin{equation*}
  266. \overrightarrow{A}-\overrightarrow{A^{\prime }}=(a,b)-(a^{\prime },b^{\prime})=\left( a-a^{\prime },b-b^{\prime }\right)
  267. \end{equation*}
  268. \end{definition}
  269. \begin{example}
  270. Donats els vectors $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i $\overrightarrow{B}(-5,1),$
  271. la seva difer\`{e}ncia \'{e}s:%
  272. \begin{equation*}
  273. \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(3,-2)-(-5,1)=\left( 3+5,-2-1\right)
  274. =\left( 8,-3\right)
  275. \end{equation*}
  276. \end{example}
  277. \begin{exercise}
  278. Calculeu $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$, amb $\overrightarrow{A}(-5,4) $ i $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
  279. \end{exercise}
  280. \subsubsection{Producte d'un escalar per un vector}
  281. \begin{definition}[producte d'un escalar per un vector] Donat un nombre $k \in \mathbb{R}$ i un vector $\overrightarrow{A}(a,b)$, \term{el producte de $k$ per $\overrightarrow{A}$}\index{producte!d'un escalar per vector}, $k \cdot \overrightarrow{A}$, es defineix com:
  282. \begin{equation*}
  283. k \cdot \overrightarrow{A} = k\cdot (a,b)=\left( ka, kb\right)
  284. \end{equation*}
  285. \end{definition}
  286. \begin{example}
  287. Donats el vector $\overrightarrow{A}(3,-2)$ i el número $k=-5$, es té que el seu producte és:%
  288. \begin{equation*}
  289. k\text{$\cdot $}\overrightarrow{A}=-5\cdot (3,-2)=\left( -5\cdot 3,-5\cdot
  290. \left( -2\right) \right) =\left( -15,10\right)
  291. \end{equation*}
  292. \end{example}
  293. En el dibuix següent es veu un exemple gràfic del producte d'un nombre (en aquest cas el $3$) per un vector (\autoref{fig:producte-escalar-per-vector}):%
  294. \begin{figure}[h!]
  295. \centering
  296. % Generat amb geogebra. Modificat manualment
  297. \definecolor{ttzzqq}{rgb}{0.2,0.6,0.}
  298. \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
  299. \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
  300. \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  301. \clip(-1.,-1.) rectangle (10.,4.);
  302. \draw [->] (0.,0.) -- (2.,1.);
  303. \draw [->] (3.,0.) -- (9.,3.);
  304. \draw (0.46,1.26) node[anchor=north west] {$\overrightarrow{A}$};
  305. \draw (4.94,2.2) node[anchor=north west] {$3\overrightarrow{A}$};
  306. \draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (3.,0.)-- (5.,1.);
  307. \draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (4.067082039324995,0.3658359213500132);
  308. \draw [line width=1.2pt,color=ffqqqq] (4.10733126291999,0.5536656314599954) -- (3.932917960675006,0.6341640786499876);
  309. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (5.,1.)-- (7.,2.);
  310. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.174413302244984,1.4195015528100081);
  311. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.214662525839981,1.60733126291999) -- (6.040249223594997,1.6878297101099824);
  312. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.959750776405003,1.312170289890018);
  313. \draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (6.,1.5) -- (5.825586697755016,1.5804984471899926);
  314. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.,2.)-- (9.,3.);
  315. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (8.067082039324994,2.365835921350013);
  316. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.107331262919992,2.553665631459995) -- (7.932917960675007,2.634164078649988);
  317. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.852419513485014,2.2585046584300232);
  318. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (7.89266873708001,2.4463343685400054) -- (7.718255434835026,2.526832815729998);
  319. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.281744565164972,2.4731671842700025);
  320. \draw [line width=1.2pt,color=ttzzqq] (8.32199378875997,2.660996894379985) -- (8.147580486514986,2.741495341569977);
  321. \draw (1.66,0.68) node[anchor=north west] {$\times 3 =$};
  322. \end{tikzpicture}
  323. \caption{Exemple d'un producte d'un escalar per un vector}
  324. \label{fig:producte-escalar-per-vector}
  325. \end{figure}
  326. \begin{exercise}
  327. Calculeu gràficament i analítica el producte $-3\cdot \overrightarrow{B}$, amb $\overrightarrow{B}(3,-1)$.
  328. \end{exercise}
  329. \begin{claim}Aquesta operació ens dóna sempre un vector paral·lel al vector inicial, és a dir, els vectors de components $(a,b)$ i $\left(ka,kb\right)$ són paral·lels, ja que si dividim les components respectives d'aquests dos vectors s'obté sempre el mateix nombre:%
  330. \begin{equation*}
  331. \frac{ka}{a}=\frac{kb}{b}=k.
  332. \end{equation*}
  333. \end{claim}
  334. \begin{proposition}[Condició de parel·lelisme entre dos vectors]\label{resultat:proposicio-parallelisme-vectors}En relació a això, podem establir el resultat següent:%
  335. \begin{equation*}
  336. \overrightarrow{A}(a,b)\text{ és paral·lel a } \overrightarrow{A^{\prime }}(a^{\prime },b^{\prime })\iff \frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}
  337. \end{equation*}
  338. \end{proposition}
  339. Expressat en paraules, això ens diu que si dos vectors són paral·lels, aleshores el quocient entre les seves respectives components dóna el mateix resultat, i viceversa, és a dir, que si el quocient entre les respectives components de dos vectors dóna el mateix resultat, aleshores aquests dos vectors són paral·lels.
  340. \begin{example}Determineu, a cadascun dels apartats següents, si els vectors són paral·lels entre si:
  341. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  342. \item $\overrightarrow{A}\left( 2,-3\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 4,-6\right)$:%
  343. \begin{equation*}
  344. \frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}
  345. \end{equation*}%
  346. Per tant, aquests dos vectors són paral·lels entre si.
  347. \item $\overrightarrow{C}\left( 2,-1\right)$ i $\overrightarrow{D}\left( 4,-3\right)$:%
  348. \begin{equation*}
  349. \frac{2}{4}\neq \frac{-1}{-3}
  350. \end{equation*}%
  351. Així, aquests dos vectors no són paral·lels entre si.
  352. \end{enumerate}
  353. \end{example}
  354. \begin{exercise}
  355. Determineu si els vectors següents són paral·lels entre si:
  356. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  357. \item $\overrightarrow{A}\left( 1,-3\right)$ i $\overrightarrow{B}\left( 5,-6\right)$
  358. \item $\overrightarrow{C}\left( 3,-1\right)$ i $\overrightarrow{D}\left( -6,2\right)$
  359. \item $\overrightarrow{E}\left( 3,0\right)$ i $\overrightarrow{F}\left( 5,0\right)$
  360. \end{enumerate}
  361. \end{exercise}
  362. \paragraph{Producte escalar de dos vectors}
  363. \begin{definition}[producte escalar de dos vectors]El \term{producte escalar de dos vectors}\index{producte!escalar}, $\overrightarrow{A}(a,b)$ i $\overrightarrow{B}(c,d)$, que es denota per $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$, en una base ortonormal, es defineix de la manera següent:%
  364. \begin{equation}\label{eq:producte-escalar}
  365. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=(a,b)\cdot(c,d)=a\cdot c+b\cdot d
  366. \end{equation}
  367. \end{definition}
  368. Com es veu, el producte escalar de dos vectors és un nombre.
  369. \begin{example}El producte escalar dels vectors $\overrightarrow{A}(2,0)$ i $\overrightarrow{B}(-3,1)$ és igual a:%
  370. \begin{equation*}
  371. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=(2,0)\cdot(-3,1)=2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1=-6
  372. \end{equation*}
  373. \end{example}
  374. \begin{exercise}Calculeu $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$, amb $\overrightarrow{A}(-3,4)$ i $\overrightarrow{B}(-2,-8)$.
  375. \end{exercise}
  376. \paragraph{Angle entre dos vectors}
  377. \begin{proposition}[Relació entre producte escalar i angle entre dos vectors]\label{resultat:angle-producte-esclar}Es pot provar que es cumpleix que la relació:%
  378. \begin{equation}\label{eq:angle-producte-escalar}
  379. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert \cdot \left\vert \overrightarrow{B} \right\vert \cdot \cos \alpha,
  380. \end{equation}%
  381. on $\alpha$ és l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$.
  382. Això permet calcular l'angle $\alpha$ entre dos vectors, o qualsevol altre variables desconeguda d'aquesta fórmula \eqref{eq:angle-producte-escalar} si es coneixen les altres. Recordeu que el producte escalar es pot calcular amb seva fórmula \eqref{eq:producte-escalar}. Per tant, l'equació anterior és equivalent a:
  383. \begin{equation}
  384. ac+bd=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\text{$\cdot $}\sqrt{c^2+d^2}\cdot\cos \alpha
  385. \end{equation}
  386. \end{proposition}
  387. \begin{claim}Recordeu que el cosinus d'un angle es defineix com la projecció del radi definit per l'angle sobre el diàmetre horitzontal de la circumferència de radi unitat.
  388. Els valors del cosinus dels angles més usuals es mostren a continuació (taula~\autoref{tab:taula-valors-cosinus}):
  389. \begin{table}[ht!]
  390. \centering
  391. \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c|c|}
  392. \cline{2-8}
  393. & $0$ \unit{rad} & $\pi/6$ \unit{rad} & $\pi/4$ \unit{rad} & $\pi/3$ \unit{rad} & $\pi/2$ \unit{rad} & $\pi$ \unit{rad} & $3\pi/2$ \unit{rad} \\
  394. \cline{2-8}
  395. & $0\degree$ & $30\degree$ & $45\degree$ & $60\degree$ & $90\degree$ & $180\degree$ & $270\degree$\\
  396. \hline
  397. \multicolumn{1}{|r|}{$\cos \alpha$} & $1$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ & $-1$ & $0$\\
  398. \hline
  399. \end{tabular}%
  400. \caption{Valors dels cosinus pels angles més usuals}
  401. \label{tab:taula-valors-cosinus}
  402. \end{table}
  403. \end{claim}
  404. \begin{example}Què val l'angle format pels vectors $\overrightarrow{A}(2,0)$ i $\overrightarrow{B}(-3,1)$?
  405. Si aplicam la darrera f\'{o}rmula i denotam l'angle per $\alpha $, es té que%
  406. \begin{align*}
  407. 2\cdot\left( -3\right) +0\cdot 1 &= \sqrt{2^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{\left( -3\right) ^{2}+1^{2}}\cdot \cos \alpha
  408. \\
  409. -6 &=2 \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \alpha \\
  410. \cos \alpha &= \frac{-6}{2\sqrt{10}}=\frac{-3}{\sqrt{10}} \\
  411. \alpha &= \arccos \frac{-3}{\sqrt{10}}\simeq 161,565\degree%
  412. \end{align*}
  413. \end{example}
  414. \begin{exercise}Calculeu l'angle que formen entre si els vectors $\overrightarrow{A}(-2,-5)$ i $\overrightarrow{B}(-3,2)$.
  415. \end{exercise}
  416. \bigskip
  417. Vegem a continuació les propietats del producte escalar.
  418. \begin{theorem}[Propietats del producte escalar]\label{resultat:propietats-del-producte-esclar} Donats vectors $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{C}$ i un nombre $k$ qualssevol, el producte escalar té les propietats següents:
  419. \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  420. \item $\left\vert \overrightarrow{A}\right\vert =\sqrt{\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{A}}$. És a dir, el mòdul d'un vector
  421. es pot calcular amb l'arrel quadrada del producte escalar per si mateix.
  422. \item $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{A}$ (propietat conmutativa)
  423. \item $\left( k\overrightarrow{A}\right) \cdot \overrightarrow{B}=k\left( \overrightarrow{A}\text{$\cdot $}\overrightarrow{B}\right)$ (propietat associativa)
  424. \item $\overrightarrow{A}\cdot \left( \overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}\right) =\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C}$ (propietat distributiva)
  425. \item \term{Condició de perpendicularitat entre dos vectors}: si el producte escalar de dos vectors és $0$, aleshores aquests dos vectors són perpendiculars entre si, i viceversa, és a dir, que si dos vectors són perpendiculars entre si, aleshores el seu producte escalar és $0$. Matemàticament,%
  426. \begin{equation*}
  427. \overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=0\iff \overrightarrow{A} \bot \overrightarrow{B}
  428. \end{equation*}
  429. \end{enumerate}
  430. \end{theorem}
  431. \begin{example}Per exemple, els vectors $\overrightarrow{A}\left( 30,-9\right) $ i $\overrightarrow{B}\left( 3,10\right) $ són perpendiculars, ja que $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=30\cdot 3+\left( -9\right) \cdot 10=0$.
  432. \end{example}
  433. \begin{exercise}En cada cas, calculeu $x$ per a què els vectors $\overrightarrow{A}\left( 8